Dette materialet er viet til et slikt konsept som vinkelen mellom to kryssende rette linjer. I første avsnitt vil vi forklare hva det er og vise det i illustrasjoner. Deretter vil vi analysere hvordan du kan finne sinus, cosinus til denne vinkelen og selve vinkelen (vi vil separat vurdere tilfeller med et plan og tredimensjonalt rom), vi vil gi de nødvendige formlene og vise med eksempler hvordan nøyaktig de brukes i praksis.
For å forstå hva en vinkel dannet i skjæringspunktet mellom to linjer er, må vi huske selve definisjonen av en vinkel, perpendikularitet og et skjæringspunkt.
Definisjon 1
Vi kaller to linjer som krysser hverandre hvis de har ett felles punkt. Dette punktet kalles skjæringspunktet mellom de to linjene.
Hver linje er delt av skjæringspunktet i stråler. I dette tilfellet danner begge linjene 4 vinkler, hvorav to er vertikale og to er tilstøtende. Hvis vi vet målet til en av dem, kan vi bestemme de andre gjenværende.
La oss si at vi vet at en av vinklene er lik α. I et slikt tilfelle vil vinkelen som er vertikal til den også være lik α. For å finne de resterende vinklene må vi beregne differansen 180 ° - α . Hvis α er lik 90 grader, vil alle vinkler være rette. Linjer som krysser i rette vinkler kalles vinkelrett (en egen artikkel er viet begrepet vinkelrett).
Ta en titt på bildet:
La oss gå videre til formuleringen av hoveddefinisjonen.
Definisjon 2
Vinkelen som dannes av to kryssende linjer er målet på den minste av de 4 vinklene som danner disse to linjene.
En viktig konklusjon må trekkes fra definisjonen: størrelsen på vinkelen i dette tilfellet vil uttrykkes med et hvilket som helst reelt tall i intervallet (0 , 90 ] . Hvis linjene er vinkelrette, vil vinkelen mellom dem uansett være lik 90 grader.
Evnen til å finne mål på vinkelen mellom to kryssende linjer er nyttig for å løse mange praktiske problemer. Løsningsmetoden kan velges fra flere alternativer.
For det første kan vi ta geometriske metoder. Hvis vi vet noe om tilleggsvinkler, så kan vi koble dem til vinkelen vi trenger ved å bruke egenskapene til like eller lignende former. For eksempel, hvis vi kjenner sidene i en trekant og trenger å beregne vinkelen mellom linjene som disse sidene er plassert på, så er cosinussetningen egnet for å løse. Hvis vi har en rettvinklet trekant i betingelsen, vil vi for beregninger også trenge å kjenne sinus, cosinus og tangens til vinkelen.
Koordinatmetoden er også veldig praktisk for å løse problemer av denne typen. La oss forklare hvordan du bruker det riktig.
Vi har et rektangulært (kartesisk) koordinatsystem O x y med to rette linjer. La oss betegne dem med bokstavene a og b. I dette tilfellet kan rette linjer beskrives ved hjelp av alle ligninger. De opprinnelige linjene har et skjæringspunkt M . Hvordan bestemme ønsket vinkel (la oss betegne den α) mellom disse linjene?
La oss starte med formuleringen av det grunnleggende prinsippet om å finne en vinkel under gitte forhold.
Vi vet at slike begreper som retning og normalvektor er nært beslektet med begrepet en rett linje. Hvis vi har ligningen til en rett linje, kan vi ta koordinatene til disse vektorene fra den. Vi kan gjøre dette for to kryssende linjer samtidig.
Vinkelen dannet av to kryssende linjer kan bli funnet ved å bruke:
- vinkel mellom retningsvektorer;
- vinkel mellom normale vektorer;
- vinkelen mellom normalvektoren til en linje og retningsvektoren til den andre.
La oss nå se på hver metode separat.
1. Anta at vi har en linje a med retningsvektor a → = (a x , a y) og en linje b med retningsvektor b → (b x , b y) . La oss nå sette til side to vektorer a → og b → fra skjæringspunktet. Etter det skal vi se at de blir plassert på hver sin linje. Da har vi fire alternativer for deres relative posisjon. Se illustrasjon:
Hvis vinkelen mellom to vektorer ikke er stump, vil det være vinkelen vi trenger mellom de kryssende linjene a og b. Hvis den er stump, vil den ønskede vinkelen være lik vinkelen ved siden av vinkelen a → , b → ^ . Dermed er α = a → , b → ^ hvis a → , b → ^ ≤ 90 ° , og α = 180 ° - a → , b → ^ hvis a → , b → ^ > 90 ° .
Basert på det faktum at cosinusene til like vinkler er like, kan vi omskrive de resulterende likhetene som følger: cos α = cos a → , b → ^ hvis a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ hvis a → , b → ^ > 90 ° .
I det andre tilfellet ble det brukt reduksjonsformler. Dermed,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
La oss skrive den siste formelen med ord:
Definisjon 3
Cosinus til vinkelen dannet av to kryssende linjer vil være lik modulen til cosinus til vinkelen mellom retningsvektorene.
Den generelle formen for formelen for cosinus til vinkelen mellom to vektorer a → = (a x, a y) og b → = (b x, b y) ser slik ut:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Fra den kan vi utlede formelen for cosinus til vinkelen mellom to gitte linjer:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Da kan selve vinkelen bli funnet ved å bruke følgende formel:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Her er a → = (a x , a y) og b → = (b x , b y) retningsvektorene til de gitte linjene.
La oss gi et eksempel på hvordan du løser problemet.
Eksempel 1
I et rektangulært koordinatsystem er to kryssende linjer a og b gitt på planet. De kan beskrives med parametriske ligninger x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R og x 5 = y - 6 - 3 . Regn ut vinkelen mellom disse linjene.
Løsning
Vi har en parametrisk ligning i betingelsen, som betyr at for denne rette linjen kan vi umiddelbart skrive ned koordinatene til retningsvektoren. For å gjøre dette må vi ta verdiene til koeffisientene ved parameteren, dvs. linjen x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R vil ha en retningsvektor a → = (4 , 1) .
Den andre rette linjen er beskrevet ved å bruke den kanoniske ligningen x 5 = y - 6 - 3 . Her kan vi ta koordinatene fra nevnerne. Dermed har denne linjen en retningsvektor b → = (5 , - 3) .
Deretter fortsetter vi direkte for å finne vinkelen. For å gjøre dette, erstatt de tilgjengelige koordinatene til de to vektorene inn i formelen ovenfor α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Vi får følgende:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°
Svar: Disse linjene danner en vinkel på 45 grader.
Vi kan løse et lignende problem ved å finne vinkelen mellom normalvektorer. Hvis vi har en linje a med en normalvektor n a → = (n a x , n a y) og en linje b med en normalvektor n b → = (n b x , n b y) , så vil vinkelen mellom dem være lik vinkelen mellom n a → og n b → eller vinkelen som vil være ved siden av n a → , n b → ^ . Denne metoden er vist på bildet:
Formlene for å beregne cosinus til vinkelen mellom kryssende linjer og denne vinkelen ved å bruke koordinatene til normale vektorer ser slik ut:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n by y 2
Her betegner n a → og n b → normalvektorene til to gitte linjer.
Eksempel 2
To rette linjer er gitt i et rektangulært koordinatsystem ved å bruke ligningene 3 x + 5 y - 30 = 0 og x + 4 y - 17 = 0 . Finn sinus, cosinus til vinkelen mellom dem, og størrelsen på selve vinkelen.
Løsning
De opprinnelige rette linjene er gitt ved bruk av normale rettlinjeligninger på formen A x + B y + C = 0 . Angi normalvektoren n → = (A , B) . La oss finne koordinatene til den første normalvektoren for én rett linje og skrive dem ned: n a → = (3 , 5) . For den andre linjen x + 4 y - 17 = 0 vil normalvektoren ha koordinater n b → = (1 , 4) . Legg nå de oppnådde verdiene til formelen og beregn totalen:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Hvis vi kjenner cosinus til en vinkel, kan vi beregne sinus ved å bruke den grunnleggende trigonometriske identiteten. Siden vinkelen α dannet av rette linjer ikke er stump, er sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.
I dette tilfellet er α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .
Svar: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
La oss analysere det siste tilfellet - finne vinkelen mellom linjene, hvis vi kjenner koordinatene til retningsvektoren til en linje og normalvektoren til den andre.
Anta at linje a har en retningsvektor a → = (a x , a y) , og linje b har en normalvektor n b → = (n b x , n b y) . Vi må utsette disse vektorene fra skjæringspunktet og vurdere alle alternativer for deres relative posisjon. Se bilde:
Hvis vinkelen mellom de gitte vektorene ikke er mer enn 90 grader, viser det seg at den vil komplementere vinkelen mellom a og b til en rett vinkel.
a → , n b → ^ = 90 ° - α hvis a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Hvis det er mindre enn 90 grader, får vi følgende:
a → , n b → ^ > 90 ° , deretter a → , n b → ^ = 90 ° + α
Ved å bruke regelen om likhet for cosinus med like vinkler, skriver vi:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α for a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α ved a → , n b → ^ > 90 ° .
Dermed,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
La oss formulere en konklusjon.
Definisjon 4
For å finne sinusen til vinkelen mellom to linjer som skjærer hverandre i et plan, må du beregne modulen til cosinus til vinkelen mellom retningsvektoren til den første linjen og normalvektoren til den andre.
La oss skrive ned de nødvendige formlene. Finne sinusen til en vinkel:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Å finne selve hjørnet:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Her er a → retningsvektoren til den første linjen, og n b → er normalvektoren til den andre.
Eksempel 3
To kryssende linjer er gitt av ligningene x - 5 = y - 6 3 og x + 4 y - 17 = 0 . Finn skjæringsvinkelen.
Løsning
Vi tar koordinatene til retnings- og normalvektoren fra de gitte ligningene. Det viser seg a → = (- 5 , 3) og n → b = (1 , 4) . Vi tar formelen α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 og vurderer:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Merk at vi tok likningene fra forrige oppgave og fikk nøyaktig samme resultat, men på en annen måte.
Svar:α = a r c sin 7 2 34
Her er en annen måte å finne ønsket vinkel ved å bruke helningskoeffisienten til gitte linjer.
Vi har en linje a , som er definert i et rektangulært koordinatsystem ved hjelp av ligningen y = k 1 · x + b 1 , og en linje b , definert som y = k 2 · x + b 2 . Dette er ligninger av linjer med en helning. For å finne skjæringsvinkelen, bruk formelen:
α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1, hvor k 1 og k 2 er stigningene til de gitte linjene. For å få denne posten ble formler for å bestemme vinkelen gjennom koordinatene til normale vektorer brukt.
Eksempel 4
Det er to rette linjer som skjærer hverandre i planet, gitt av ligningene y = - 3 5 x + 6 og y = - 1 4 x + 17 4 . Regn ut skjæringsvinkelen.
Løsning
Helningene til linjene våre er lik k 1 = - 3 5 og k 2 = - 1 4 . La oss legge dem til formelen α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 og regne ut:
α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34
Svar:α = a r c cos 23 2 34
I konklusjonene til dette avsnittet bør det bemerkes at formlene for å finne vinkelen gitt her ikke trenger å læres utenat. For å gjøre dette er det nok å kjenne koordinatene til guidene og/eller normalvektorene til de gitte linjene og kunne bestemme dem ved hjelp av forskjellige typer ligninger. Men formlene for å beregne cosinus til en vinkel er bedre å huske eller skrive ned.
Hvordan beregne vinkelen mellom kryssende linjer i rommet
Beregningen av en slik vinkel kan reduseres til beregningen av koordinatene til retningsvektorene og bestemmelsen av størrelsen på vinkelen som dannes av disse vektorene. For slike eksempler bruker vi samme resonnement som vi har gitt tidligere.
La oss si at vi har et rektangulært koordinatsystem plassert i 3D-rom. Den inneholder to linjer a og b med skjæringspunktet M . For å beregne koordinatene til retningsvektorene, må vi kjenne likningene til disse linjene. Angi retningsvektorene a → = (a x , a y , a z) og b → = (b x , b y , b z) . For å beregne cosinus til vinkelen mellom dem bruker vi formelen:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
For å finne selve vinkelen trenger vi denne formelen:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Eksempel 5
Vi har en rett linje definert i 3D-rom ved å bruke ligningen x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Det er kjent at den skjærer Oz-aksen. Regn ut skjæringsvinkelen og cosinus til den vinkelen.
Løsning
La oss betegne vinkelen som skal beregnes med bokstaven α. La oss skrive ned koordinatene til retningsvektoren for den første rette linjen - a → = (1 , - 3 , - 2) . For applikataksen kan vi ta koordinatvektoren k → = (0 , 0 , 1) som en guide. Vi har mottatt de nødvendige dataene og kan legge dem til ønsket formel:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Som et resultat fikk vi at vinkelen vi trenger vil være lik a r c cos 1 2 = 45 °.
Svar: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Hjørne φ generelle ligninger A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, beregnes med formelen:
Hjørne φ mellom to rette linjer kanoniske ligninger(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 og (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, beregnes med formelen:
Avstand fra punkt til linje
Hvert plan i rommet kan representeres som en lineær ligning kalt generell ligning flyet
Spesielle tilfeller.
o Hvis i ligning (8), så går planet gjennom origo.
o Med (,) er planet parallelt med henholdsvis aksen(akse, akse).
o Når (,) planet er parallelt med planet (plan, plan).
Løsning: bruk (7)
Svar: den generelle ligningen til planet.
Eksempel.
Planet i det rektangulære koordinatsystemet Oxyz er gitt ved den generelle ligningen til planet 
. Skriv ned koordinatene til alle normalvektorene i dette planet.
Vi vet at koeffisientene til variablene x, y og z i den generelle likningen til planet er de tilsvarende koordinatene til normalvektoren til det planet. Derfor normalvektoren til det gitte planet 
har koordinater. Settet av alle normalvektorer kan gis som.
Skriv likningen til et plan hvis det i et rektangulært koordinatsystem Oxyz i rommet går gjennom et punkt 
, A 
er normalvektoren til dette planet.
Vi presenterer to løsninger på dette problemet.
Fra tilstanden vi har. Vi erstatter disse dataene i den generelle ligningen til planet som går gjennom punktet:
Skriv den generelle ligningen for et plan parallelt med koordinatplanet Oyz og som går gjennom punktet 
.
Et plan som er parallelt med koordinatplanet Oyz kan gis ved en generell ufullstendig ligning av skjemaets plan. Siden punktet 
hører til planet etter betingelse, så må koordinatene til dette punktet tilfredsstille ligningen til planet, det vil si at likheten må være sann. Herfra finner vi. Dermed har den ønskede ligningen formen.
Løsning. Vektorproduktet, per definisjon 10.26, er ortogonalt til vektorene p og q. Derfor er den ortogonal til det ønskede planet, og vektoren kan tas som sin normale vektor. Finn koordinatene til vektoren n:
det er 
. Ved å bruke formel (11.1) får vi
Ved å åpne parentesene i denne ligningen kommer vi til det endelige svaret.
Svar: 
.
La oss omskrive normalvektoren i skjemaet og finne lengden:
I henhold til ovenstående:
Svar: 
Parallelle plan har samme normalvektor. 1) Fra ligningen finner vi normalvektoren til planet:.
2) Vi komponerer likningen til planet i henhold til punktet og normalvektoren: 
Svar:
Vektorligning av et plan i verdensrommet
Parametrisk ligning for et plan i rommet
Ligning av et plan som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor
La et rektangulært kartesisk koordinatsystem gis i tredimensjonalt rom. La oss formulere følgende problem:
Skriv en ligning for et plan som går gjennom et gitt punkt M(x 0, y 0, z 0) vinkelrett på den gitte vektoren n = ( EN, B, C} .
Løsning. La P(x, y, z) er et vilkårlig punkt i rommet. Punktum P tilhører planet hvis og bare hvis vektoren MP = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) ortogonalt til vektor n = {EN, B, C) (Figur 1).
Etter å ha skrevet ortogonalitetsbetingelsen for disse vektorene (n, MP) = 0 i koordinatform får vi:
|
EN(x − x 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0 |
Ligning av et plan med tre punkter
I vektorform
I koordinater
Gjensidig arrangement av fly i rommet
er generelle ligninger av to plan. Deretter:
1) hvis 
, da faller flyene sammen;
2) hvis 
, da er planene parallelle;
3) hvis eller , så krysser planene og ligningssystemet
(6)
er ligningene til skjæringslinjen til de gitte planene.
|
Løsning: Vi komponerer de kanoniske ligningene til den rette linjen med formelen: Svar: |
Vi tar de resulterende ligningene og mentalt "pin off", for eksempel, venstre brikke: . Nå sidestiller vi dette stykket til et hvilket som helst nummer(husk at det allerede var en null), for eksempel til en: . Siden , så må de to andre "brikkene" også være lik en. I hovedsak må du løse systemet: |
Skriv parametriske ligninger for følgende linjer: 
Løsning: Linjene er gitt ved kanoniske ligninger og på det første trinnet bør man finne et punkt som tilhører linjen og dens retningsvektor.
a) Fra ligningene 
fjern punktet og retningsvektoren: . Du kan velge et annet punkt (hvordan du gjør dette er beskrevet ovenfor), men det er bedre å ta det mest åpenbare. Forresten, for å unngå feil, bytt alltid koordinatene inn i ligningene.
La oss komponere de parametriske ligningene til denne rette linjen: 
Det praktiske med parametriske ligninger er at med deres hjelp er det veldig enkelt å finne andre punkter på linjen. La oss for eksempel finne et punkt hvis koordinater, for eksempel, tilsvarer verdien av parameteren: 
Dermed: b) Betrakt de kanoniske ligningene 
. Valget av et punkt her er enkelt, men lumsk: (pass på så du ikke blander sammen koordinatene!!!). Hvordan trekke ut en guidevektor? Du kan argumentere for hva denne rette linjen er parallell med, eller du kan bruke et enkelt formelt triks: proporsjonen er "y" og "z", så vi skriver retningsvektoren , og setter null i det gjenværende rommet: .
Vi komponerer de parametriske ligningene til den rette linjen: 
c) La oss skrive om likningene i formen , det vil si at "Z" kan være hva som helst. Og hvis noen, så la for eksempel . Dermed hører punktet til denne linjen. For å finne retningsvektoren bruker vi følgende formelle teknikk: i startligningene er det "x" og "y", og i retningsvektoren på disse stedene skriver vi nuller: . På det resterende stedet legger vi enhet: . I stedet for én vil et hvilket som helst tall, bortsett fra null, gjøre det.
Vi skriver de parametriske ligningene til den rette linjen: 
Oh-oh-oh-oh-oh ... vel, det er blikkt, som om du leser setningen for deg selv =) Men da vil avslapning hjelpe, spesielt siden jeg kjøpte passende tilbehør i dag. Derfor, la oss fortsette til den første delen, håper jeg, ved slutten av artikkelen vil jeg holde et muntert humør.
Gjensidig arrangement av to rette linjer
Saken når salen synger med i kor. To linjer kan:
1) match;
2) være parallell: ;
3) eller kryss på et enkelt punkt: .
Hjelp til dummies : husk det matematiske tegnet på krysset, det vil forekomme veldig ofte. Oppføringen betyr at linjen skjærer linjen i punktet.
Hvordan bestemme den relative plasseringen av to linjer?
La oss starte med det første tilfellet:
To linjer faller sammen hvis og bare hvis deres respektive koeffisienter er proporsjonale, det vil si at det er et slikt tall «lambda» at likestillingene
La oss vurdere rette linjer og komponere tre likninger fra de tilsvarende koeffisientene: . Fra hver ligning følger det at derfor disse linjene faller sammen.
Faktisk, hvis alle koeffisientene til ligningen 
multipliser med -1 (endre fortegn), og reduser alle koeffisientene til ligningen med 2, får du samme ligning:.
Det andre tilfellet når linjene er parallelle:
To linjer er parallelle hvis og bare hvis koeffisientene ved variablene er proporsjonale: 
, Men.
Som et eksempel, tenk på to rette linjer. Vi sjekker proporsjonaliteten til de tilsvarende koeffisientene for variablene: 
Det er imidlertid klart at.
Og det tredje tilfellet, når linjene krysser hverandre:
To linjer krysser hverandre hvis og bare hvis koeffisientene til variablene IKKE er proporsjonale, det vil si at det IKKE er en slik verdi av «lambda» at likestillingene oppfylles 
Så for rette linjer vil vi komponere et system: 
Fra den første ligningen følger det at , og fra den andre ligningen: , derav, systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Dermed er koeffisientene ved variablene ikke proporsjonale.
Konklusjon: linjer krysser hverandre
I praktiske problemer kan løsningsskjemaet som nettopp er vurdert, brukes. Den er forresten veldig lik algoritmen for å sjekke vektorer for kollinearitet, som vi vurderte i leksjonen. Konseptet med lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Vektor basis. Men det er en mer sivilisert pakke:
Eksempel 1
Finn ut den relative plasseringen av linjene: 
Løsning basert på studiet av retningsvektorer av rette linjer:
a) Fra ligningene finner vi retningsvektorene til linjene: 
.
, så vektorene er ikke kollineære og linjene krysser hverandre.
I tilfelle vil jeg sette en stein med pekere ved veikrysset:
Resten hopper over steinen og følger videre, rett til Kashchei the Deathless =)
b) Finn retningsvektorene til linjene: 
Linjene har samme retningsvektor, noe som betyr at de enten er parallelle eller like. Her er ikke determinanten nødvendig.
Selvfølgelig er koeffisientene til de ukjente proporsjonale, mens .
La oss finne ut om likheten er sann: 
Dermed,
c) Finn retningsvektorene til linjene: 
La oss beregne determinanten, sammensatt av koordinatene til disse vektorene: 
, derfor er retningsvektorene kollineære. Linjene er enten parallelle eller sammenfallende.
Proporsjonalitetsfaktoren "lambda" er lett å se direkte fra forholdet mellom kollineære retningsvektorer. Imidlertid kan det også bli funnet gjennom koeffisientene til selve ligningene: 
.
La oss nå finne ut om likheten er sann. Begge gratisvilkårene er null, så:
Den resulterende verdien tilfredsstiller denne ligningen (hvilket som helst tall tilfredsstiller den vanligvis).
Dermed faller linjene sammen.
Svar:
Svært snart vil du lære (eller til og med allerede har lært) å løse det vurderte problemet verbalt bokstavelig talt i løpet av sekunder. I denne forbindelse ser jeg ingen grunn til å tilby noe for en uavhengig løsning, det er bedre å legge en viktig murstein i det geometriske fundamentet:
Hvordan tegne en linje parallelt med en gitt?
For uvitenhet om denne enkleste oppgaven, straffer Nattergalen røveren hardt.
Eksempel 2
Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en parallell linje som går gjennom punktet.
Løsning: Angi den ukjente linjen med bokstaven . Hva sier tilstanden om det? Linjen går gjennom punktet. Og hvis linjene er parallelle, så er det åpenbart at retningsvektoren til linjen "ce" også er egnet for å konstruere linjen "de".
Vi tar ut retningsvektoren fra ligningen:
Svar:
Geometrien til eksemplet ser enkel ut: 
Analytisk verifisering består av følgende trinn:
1) Vi sjekker at linjene har samme retningsvektor (hvis likningen til linjen ikke er riktig forenklet, vil vektorene være kollineære).
2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.
Analytisk verifisering er i de fleste tilfeller enkel å utføre muntlig. Se på de to ligningene, og mange av dere vil raskt finne ut hvordan linjene er parallelle uten noen tegning.
Eksempler på selvløsning i dag vil være kreative. For du må fortsatt konkurrere med Baba Yaga, og hun, du vet, elsker alle slags gåter.
Eksempel 3
Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen if
Det er en rasjonell og lite rasjonell måte å løse på. Den korteste veien er på slutten av leksjonen.
Vi jobbet litt med parallelle linjer og kommer tilbake til dem senere. Tilfellet med sammenfallende linjer er av liten interesse, så la oss vurdere et problem som er godt kjent for deg fra skolens læreplan:
Hvordan finne skjæringspunktet mellom to linjer?
Hvis rett 
skjærer hverandre i punktet , så er koordinatene løsningen systemer av lineære ligninger 
Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.
Her er til deg geometrisk betydning av et system av to lineære ligninger med to ukjente er to kryssende (oftest) rette linjer på et plan.
Eksempel 4
Finn skjæringspunktet mellom linjer
Løsning: Det er to måter å løse - grafisk og analytisk.
Den grafiske måten er å ganske enkelt tegne de gitte linjene og finne ut skjæringspunktet direkte fra tegningen: 
Her er poenget vårt:. For å sjekke, bør du erstatte koordinatene i hver ligning på en rett linje, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinatene til et punkt løsningen av systemet. Faktisk vurderte vi en grafisk måte å løse på systemer av lineære ligninger med to ligninger, to ukjente.
Den grafiske metoden er selvfølgelig ikke dårlig, men det er merkbare ulemper. Nei, poenget er ikke at sjuendeklassinger bestemmer seg på denne måten, poenget er at det vil ta tid å lage en riktig og NØYAKTIG tegning. I tillegg er noen linjer ikke så enkle å konstruere, og selve skjæringspunktet kan ligge et sted i det trettiende rike utenfor notatbokarket.
Derfor er det mer hensiktsmessig å søke etter skjæringspunktet ved hjelp av den analytiske metoden. La oss løse systemet: 
For å løse systemet ble metoden med termvis addisjon av ligninger brukt. For å utvikle de relevante ferdighetene, besøk leksjonen Hvordan løse et ligningssystem?
Svar:
Verifikasjonen er triviell - koordinatene til skjæringspunktet må tilfredsstille hver likning i systemet.
Eksempel 5
Finn skjæringspunktet for linjene hvis de skjærer hverandre.
Dette er et gjør-det-selv eksempel. Oppgaven kan enkelt deles inn i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Skriv ligningen til en rett linje.
2) Skriv ligningen til en rett linje.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.
Utviklingen av en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gjentatte ganger fokusere på dette.
Full løsning og svar på slutten av opplæringen:
Et par sko er ennå ikke utslitt, da vi kom til den andre delen av leksjonen:
Vinkelrette linjer. Avstanden fra et punkt til en linje.
Vinkel mellom linjene
La oss starte med en typisk og veldig viktig oppgave. I den første delen lærte vi hvordan vi bygger en rett linje parallelt med den gitte, og nå vil hytta på kyllingbein snu 90 grader:
Hvordan tegne en linje vinkelrett på en gitt?
Eksempel 6
Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en likning for en vinkelrett linje som går gjennom et punkt.
Løsning: Det er kjent ved å anta at . Det ville vært fint å finne retningsvektoren til den rette linjen. Siden linjene er vinkelrette, er trikset enkelt:
Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være retningsvektoren til den rette linjen.
Vi komponerer likningen av en rett linje med et punkt og en retningsvektor:
Svar: 
La oss brette ut den geometriske skissen:
Hmmm... Oransje himmel, oransje hav, oransje kamel.
Analytisk verifisering av løsningen:
1) Trekk ut retningsvektorene fra ligningene 
og med hjelp prikkprodukt av vektorer vi konkluderer med at linjene faktisk er vinkelrette: .
Du kan forresten bruke vanlige vektorer, det er enda enklere.
2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen 
.
Verifisering, igjen, er enkel å utføre verbalt.
Eksempel 7
Finn skjæringspunktet mellom vinkelrette linjer, hvis ligningen er kjent 
og prikk.
Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det er flere handlinger i oppgaven, så det er praktisk å ordne løsningen punkt for punkt.
Vår spennende reise fortsetter:
Avstand fra punkt til linje
Foran oss ligger en rett stripe av elven og vår oppgave er å nå den på korteste vei. Det er ingen hindringer, og den mest optimale ruten vil være bevegelse langs perpendikulæren. Det vil si at avstanden fra et punkt til en linje er lengden på det vinkelrette segmentet.
Avstanden i geometri er tradisjonelt betegnet med den greske bokstaven "ro", for eksempel: - avstanden fra punktet "em" til den rette linjen "de".
Avstand fra punkt til linje 
uttrykkes med formelen
Eksempel 8
Finn avstanden fra et punkt til en linje 
Løsning: alt du trenger er å erstatte tallene nøye i formelen og gjøre beregningene:
Svar: 
La oss utføre tegningen: 
Avstanden funnet fra punktet til linjen er nøyaktig lengden på det røde segmentet. Hvis du lager en tegning på rutete papir i en skala på 1 enhet. \u003d 1 cm (2 celler), så kan avstanden måles med en vanlig linjal.
Vurder en annen oppgave i henhold til samme tegning:
Oppgaven er å finne koordinatene til punktet, som er symmetrisk med punktet i forhold til linjen 
. Jeg foreslår å utføre handlingene på egen hånd, men jeg vil skissere løsningsalgoritmen med mellomresultater:
1) Finn en linje som er vinkelrett på en linje.
2) Finn skjæringspunktet mellom linjene: 
.
Begge handlingene diskuteres i detalj i denne leksjonen.
3) Punktet er midtpunktet i segmentet. Vi kjenner koordinatene til midten og en av endene. Av formler for koordinatene til midten av segmentet finne.
Det vil ikke være overflødig å kontrollere at avstanden også er lik 2,2 enheter.
Vanskeligheter her kan oppstå i beregninger, men i tårnet hjelper en mikrokalkulator mye, slik at du kan telle vanlige brøker. Har gitt råd mange ganger og vil anbefale igjen.
Hvordan finne avstanden mellom to parallelle linjer?
Eksempel 9
Finn avstanden mellom to parallelle linjer
Dette er nok et eksempel på en uavhengig løsning. Et lite hint: det er uendelig mange måter å løse på. Debriefing på slutten av leksjonen, men prøv å gjette selv, jeg tror du klarte å spre oppfinnsomheten din godt.
Vinkel mellom to linjer
Uansett hjørne, så jamben: 
I geometri er vinkelen mellom to rette linjer tatt som den MINDRE vinkelen, hvorav det automatisk følger at den ikke kan være stump. På figuren regnes ikke vinkelen angitt av den røde buen som vinkelen mellom kryssende linjer. Og dens "grønne" nabo eller motsatt orientert crimson hjørne.
Hvis linjene er vinkelrette, kan en hvilken som helst av de 4 vinklene tas som vinkelen mellom dem.
Hvordan er vinklene forskjellige? Orientering. For det første er retningen for å "rulle" hjørnet grunnleggende viktig. For det andre skrives en negativt orientert vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .
Hvorfor sa jeg dette? Det ser ut til at du kan klare deg med det vanlige konseptet med en vinkel. Faktum er at i formlene som vi finner vinklene med, kan et negativt resultat lett oppnås, og dette bør ikke overraske deg. En vinkel med et minustegn er ikke verre, og har en veldig spesifikk geometrisk betydning. På tegningen for en negativ vinkel er det viktig å angi orienteringen (med klokken) med en pil.
Hvordan finne vinkelen mellom to linjer? Det er to arbeidsformler:
Eksempel 10
Finn vinkelen mellom linjene
Løsning Og Metode én
Tenk på to rette linjer gitt av ligninger i generell form: 
Hvis rett ikke vinkelrett, Det orientert vinkelen mellom dem kan beregnes ved hjelp av formelen: 
La oss følge nøye med på nevneren - dette er nøyaktig skalært produkt retningsvektorer for rette linjer:
Hvis , så forsvinner nevneren til formelen, og vektorene vil være ortogonale og linjene vil være vinkelrette. Det er derfor tatt forbehold om at linjene i formuleringen ikke er vinkelrett.
Basert på det foregående er løsningen praktisk formalisert i to trinn:
1) Beregn skalarproduktet av retningsvektorer av rette linjer:
så linjene er ikke vinkelrette.
2) Vi finner vinkelen mellom linjene ved formelen:
Ved å bruke den omvendte funksjonen er det enkelt å finne selve vinkelen. I dette tilfellet bruker vi oddeligheten til buetangensen (se fig. Grafer og egenskaper til elementære funksjoner):
Svar: 
I svaret angir vi den nøyaktige verdien, samt den omtrentlige verdien (gjerne både i grader og i radianer), beregnet ved hjelp av en kalkulator.
Vel, minus, så minus, det er greit. Her er en geometrisk illustrasjon: 
Det er ikke overraskende at vinkelen viste seg å ha en negativ orientering, fordi i tilstanden til problemet er det første tallet en rett linje og "vridningen" av vinkelen begynte nøyaktig fra den.
Hvis du virkelig ønsker å få en positiv vinkel, må du bytte de rette linjene, det vil si ta koeffisientene fra den andre ligningen 
, og ta koeffisientene fra den første ligningen. Kort sagt, du må begynne med en direkte 
.
VINKEL MELLOM FLY
La oss vurdere to plan α 1 og α 2 gitt henholdsvis av ligningene:
Under hjørne mellom to plan mener vi en av de dihedrale vinklene som dannes av disse planene. Det er åpenbart at vinkelen mellom normalvektorene og planene α 1 og α 2 er lik en av de indikerte tilstøtende dihedrale vinklene eller 
. Derfor 
. Fordi 
Og 
, Det
.
Eksempel. Bestem vinkelen mellom planene x+2y-3z+4=0 og 2 x+3y+z+8=0.
Tilstand for parallellitet av to plan.
To plan α 1 og α 2 er parallelle hvis og bare hvis deres normalvektorer og er parallelle, og dermed 
.
Så to plan er parallelle med hverandre hvis og bare hvis koeffisientene ved de tilsvarende koordinatene er proporsjonale:
eller
Betingelse for vinkelrett av plan.
Det er klart at to plan er vinkelrette hvis og bare hvis deres normale vektorer er vinkelrette, og derfor, eller .
Dermed, .
Eksempler.
DIREKTE I ROMMET.
VEKTORLIGNING DIREKTE.
PARAMETRISKE LIGNINGER DIREKTE
Posisjonen til en rett linje i rommet bestemmes fullstendig ved å spesifisere noen av dens faste punkter M 1 og en vektor parallell med denne linjen.
En vektor parallell med en rett linje kalles veiledning vektoren til denne linjen.
Så la det rette l går gjennom et punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1) liggende på en rett linje parallelt med vektoren.
Tenk på et vilkårlig poeng M(x,y,z) på en rett linje. Det kan sees av figuren at 
.
Vektorene og er kollineære, så det er et slikt tall t, hva , hvor er multiplikatoren t kan ta hvilken som helst numerisk verdi avhengig av posisjonen til punktet M på en rett linje. Faktor t kalles en parameter. Angir radiusvektorene til punktene M 1 og M henholdsvis gjennom og , får vi . Denne ligningen kalles vektor rettlinjeligning. Den viser at hver parameterverdi t tilsvarer radiusvektoren til et punkt M liggende på en rett linje.
Vi skriver denne ligningen i koordinatform. Legg merke til det , 
og herfra
De resulterende ligningene kalles parametrisk rettlinjeligninger.
Ved endring av parameter t koordinatene endres x, y Og z og prikk M beveger seg i en rett linje.
KANONISKE LIGNINGER DIREKTE
La M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - et punkt som ligger på en rett linje l, Og 
er retningsvektoren. Igjen, ta et vilkårlig punkt på en rett linje M(x,y,z) og vurdere vektoren.
Det er klart at vektorene og er kollineære, så deres respektive koordinater må være proporsjonale, derfor
– kanonisk rettlinjeligninger.
Merknad 1. Merk at de kanoniske ligningene til linjen kan fås fra de parametriske ligningene ved å eliminere parameteren t. Faktisk, fra de parametriske ligningene vi får 
eller .
Eksempel. Skriv ligningen til en rett linje 
på en parametrisk måte.
Betegn 
, derfor x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Merknad 2. La linjen være vinkelrett på en av koordinataksene, for eksempel aksen Okse. Da er retningsvektoren til linjen vinkelrett Okse, derfor, m=0. Følgelig tar de parametriske ligningene til den rette linjen formen
Eliminering av parameteren fra ligningene t, får vi ligningene til den rette linjen i formen
Men også i dette tilfellet er vi enige om å formelt skrive de kanoniske ligningene til den rette linjen i skjemaet 
. Således, hvis nevneren til en av brøkene er null, betyr dette at linjen er vinkelrett på den tilsvarende koordinataksen.
Tilsvarende de kanoniske ligningene 
tilsvarer en rett linje vinkelrett på aksene Okse Og Oy eller parallell akse Oz.
Eksempler.
GENERELLE LIGNINGER EN DIREKTE LINJE SOM EN LINJE FOR AVSkjærING AV TO FLY
Gjennom hver rett linje i rommet går et uendelig antall plan. Hvilke som helst to av dem, kryssende, definerer det i rommet. Derfor er likningene til alle to slike plan, sett sammen, likningene til denne linjen.
Generelt, alle to ikke-parallelle plan gitt av de generelle ligningene
bestemme deres skjæringslinje. Disse ligningene kalles generelle ligninger rett.
Eksempler.
Konstruer en rett linje gitt ved ligninger 
For å konstruere en linje er det nok å finne to av punktene. Den enkleste måten er å velge skjæringspunktene til linjen med koordinatplanene. For eksempel skjæringspunktet med flyet xOy vi får fra likningene til en rett linje, forutsatt z= 0:
Når vi løser dette systemet, finner vi poenget M 1 (1;2;0).
På samme måte, forutsatt y= 0, får vi skjæringspunktet for linjen med planet xOz:
Fra de generelle ligningene til en rett linje kan man gå videre til dens kanoniske eller parametriske ligninger. For å gjøre dette må du finne et poeng M 1 på linjen og retningsvektoren til linjen.
Punktkoordinater M 1 får vi fra dette ligningssystemet, og gir en av koordinatene en vilkårlig verdi. For å finne retningsvektoren, merk at denne vektoren må være vinkelrett på begge normalvektorene 
Og 
. Derfor, for retningsvektoren til den rette linjen l du kan ta kryssproduktet av normale vektorer:
.
Eksempel. Gi de generelle ligningene for den rette linjen 
til den kanoniske formen.
Finn et punkt på en rett linje. For å gjøre dette velger vi vilkårlig en av koordinatene, for eksempel, y= 0 og løs ligningssystemet:
Normalvektorene til planene som definerer linjen har koordinater 
Derfor vil retningsvektoren være rett
. Derfor, l: 
.
VINKEL MELLOM RETTIGHETER
hjørne mellom rette linjer i rommet vil vi kalle noen av de tilstøtende vinklene dannet av to rette linjer trukket gjennom et vilkårlig punkt parallelt med dataene.
La to rette linjer gis i rommet:
Åpenbart kan vinkelen φ mellom linjene tas som vinkelen mellom retningsvektorene deres og . Siden , da i henhold til formelen for cosinus til vinkelen mellom vektorene får vi
Jeg skal være kort. Vinkelen mellom to linjer er lik vinkelen mellom retningsvektorene deres. Således, hvis du klarer å finne koordinatene til retningsvektorene a \u003d (x 1; y 1; z 1) og b \u003d (x 2; y 2; z 2), kan du finne vinkelen. Mer presist, cosinus til vinkelen i henhold til formelen:
La oss se hvordan denne formelen fungerer på spesifikke eksempler:
Oppgave. Punktene E og F er markert i kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - midtpunktene til henholdsvis kantene A 1 B 1 og B 1 C 1. Finn vinkelen mellom linjene AE og BF.
Siden kanten på kuben ikke er spesifisert, setter vi AB = 1. Vi introduserer et standard koordinatsystem: origo er i punktet A, og x-, y- og z-aksene er rettet langs henholdsvis AB, AD og AA 1 . Enhetssegmentet er lik AB = 1. La oss nå finne koordinatene til retningsvektorene for linjene våre.
Finn koordinatene til vektoren AE. For å gjøre dette trenger vi punktene A = (0; 0; 0) og E = (0,5; 0; 1). Siden punktet E er midten av segmentet A 1 B 1 , er dets koordinater lik det aritmetiske gjennomsnittet av koordinatene til endene. Merk at opprinnelsen til vektoren AE sammenfaller med opprinnelsen, så AE = (0,5; 0; 1).
La oss nå ta for oss BF-vektoren. På samme måte analyserer vi punktene B = (1; 0; 0) og F = (1; 0,5; 1), fordi F - midten av segmentet B 1 C 1 . Vi har:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).
Så retningsvektorene er klare. Cosinus til vinkelen mellom linjene er cosinus til vinkelen mellom retningsvektorene, så vi har:
Oppgave. I et vanlig trihedrisk prisme ABCA 1 B 1 C 1, hvor alle kanter er lik 1, er punktene D og E markert - midtpunktene til henholdsvis kantene A 1 B 1 og B 1 C 1. Finn vinkelen mellom linjene AD og BE.
Vi introduserer et standard koordinatsystem: origo er ved punkt A, x-aksen er rettet langs AB, z - langs AA 1 . Vi retter y-aksen slik at OXY-planet faller sammen med ABC-planet. Enhetssegmentet er lik AB = 1. Finn koordinatene til retningsvektorene for de ønskede linjene.
La oss først finne koordinatene til AD-vektoren. Tenk på punktene: A = (0; 0; 0) og D = (0,5; 0; 1), fordi D - midten av segmentet A 1 B 1 . Siden begynnelsen av vektoren AD sammenfaller med origo, får vi AD = (0,5; 0; 1).
La oss nå finne koordinatene til vektoren BE. Punkt B = (1; 0; 0) er lett å beregne. Med punkt E - midten av segmentet C 1 B 1 - litt mer komplisert. Vi har:
Det gjenstår å finne cosinus til vinkelen:
Oppgave. I et vanlig sekskantet prisme ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, hvor alle kanter er lik 1, er punktene K og L markert - midtpunktene til kantene A 1 B 1 og B 1 C 1, hhv. Finn vinkelen mellom linjene AK og BL.
Vi introduserer et standard koordinatsystem for et prisme: vi plasserer opprinnelsen til koordinatene i midten av den nedre basen, retter x-aksen langs FC, y-aksen gjennom midtpunktene til segmentene AB og DE, og z-aksen vertikalt oppover. Enhetssegmentet er igjen lik AB = 1. La oss skrive ut koordinatene til punktene som er av interesse for oss:
Punktene K og L er midtpunktene til henholdsvis segmentene A 1 B 1 og B 1 C 1, så deres koordinater er funnet gjennom det aritmetiske gjennomsnittet. Når vi kjenner punktene, finner vi koordinatene til retningsvektorene AK og BL:
La oss nå finne cosinus til vinkelen:
Oppgave. I en vanlig firkantet pyramide SABCD, hvor alle kanter er lik 1, er punktene E og F markert - midtpunktene på sidene SB og SC, henholdsvis. Finn vinkelen mellom linjene AE og BF.
Vi introduserer et standard koordinatsystem: origo er i punkt A, x- og y-aksene er rettet langs henholdsvis AB og AD, og z-aksen er rettet vertikalt oppover. Enhetssegmentet er lik AB = 1.
Punktene E og F er midtpunktene til henholdsvis segmentene SB og SC, så koordinatene deres finnes som det aritmetiske gjennomsnittet av endene. Vi skriver ned koordinatene til punktene av interesse for oss:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Når vi kjenner punktene, finner vi koordinatene til retningsvektorene AE og BF:
Koordinatene til vektoren AE faller sammen med koordinatene til punkt E, siden punkt A er origo. Det gjenstår å finne cosinus til vinkelen:
