Komplekse logaritmiske ulikheter. Logaritmiske ulikheter - Kunnskapshypermarked Logaritmiske ulikheter online kalkulator

Med dem er innelogaritmer.

Eksempler:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Hvordan løse logaritmiske ulikheter:

Eventuell logaritmisk ulikhet bør reduseres til formen \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (symbol \(˅\) betyr hvilken som helst av ). Denne formen lar oss bli kvitt logaritmer og deres baser ved å gå over til ulikheten i uttrykk under logaritmer, det vil si til formen \(f(x) ˅ g(x)\).

Men når du gjør denne overgangen, er det en veldig viktig subtilitet:
\(-\) hvis - et tall og det er større enn 1 - ulikhetstegnet forblir det samme under overgangen,
\(-\) hvis grunntallet er et tall større enn 0, men mindre enn 1 (mellom null og én), så må ulikhetstegnet reverseres, dvs.

Eksempler:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\) Løsning: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Svar: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ 1))\) ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\venstrepil\) \(x\in(2;\infty)\) Løsning: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Svar: \((2;5]\)

Veldig viktig! I enhver ulikhet kan overgangen fra formen \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) til å sammenligne uttrykk under logaritmer bare gjøres hvis:

Eksempel . Løs ulikheten: \(\log\)\(≤-1\)

Løsning:

\(\Logg\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	La oss skrive ut ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Vi åpner parentesene, gir .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Vi multipliserer ulikheten med \(-1\), og husker å snu sammenligningstegnet.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2))))\)\(≤\) \(0\)	La oss bygge en talllinje og markere punktene \(\frac(7)(3)\) og \(\frac(3)(2)\) på den. Merk at punktet fra nevneren er punktert, til tross for at ulikheten ikke er streng. Faktum er at dette punktet ikke vil være en løsning, siden når vi erstatter i en ulikhet, vil det føre oss til deling med null.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Nå plotter vi ODZ på samme numeriske akse og skriver ned som svar intervallet som faller inn i ODZ.
	Skriv ned det endelige svaret.

Svar: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Eksempel . Løs ulikheten: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Løsning:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	La oss skrive ut ODZ.
ODZ: \(x>0\)	La oss komme til løsningen.
Løsning: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Foran oss er en typisk kvadrat-logaritmisk ulikhet. Vi gjør.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Utvid venstre side av ulikheten til .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Nå må du gå tilbake til den opprinnelige variabelen - x. For å gjøre dette går vi til , som har samme løsning, og gjør omvendt erstatning.
\(\venstre[ \begin(samlet) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transform \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\venstre[ \begin(samlet) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	La oss gå videre til å sammenligne argumenter. Basene til logaritmene er større enn \(1\), så tegnet på ulikhetene endres ikke.
\(\venstre[ \begin(samlet) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	La oss kombinere løsningen av ulikheten og ODZ i en figur.
	La oss skrive ned svaret.

Svar: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

Ved å løse logaritmiske ulikheter bruker vi monotonisitetsegenskapen til den logaritmiske funksjonen. Vi bruker også definisjonen av logaritmen og grunnleggende logaritmiske formler.

La oss oppsummere hva logaritmer er:

Logaritme et positivt tall i basen er en indikator på styrken du må høyne til for å få .

Hvori

Grunnleggende logaritmisk identitet:

Grunnleggende formler for logaritmer:

(Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene)

(Logaritmen til kvotienten er lik differansen til logaritmene)

(Formel for logaritmen til graden)

Formelen for å flytte til en ny base er:

Algoritme for å løse logaritmiske ulikheter

Vi kan si at logaritmiske ulikheter løses i henhold til en viss algoritme. Vi må skrive ned rekkevidden av akseptable verdier (ODV) av ulikheten. Bring ulikheten til formen Tegnet her kan være hvilket som helst: Det er viktig at venstre og høyre i ulikheten var logaritmer i samme grunntall.

Og etter det "kasserer" vi logaritmene! Dessuten, hvis grunnlaget for graden er , forblir ulikhetstegnet det samme. Hvis basen er slik at tegnet på ulikheten er reversert.

Selvfølgelig «slår vi ikke bare ut» logaritmer. Vi bruker monotonisitetsegenskapen til den logaritmiske funksjonen. Hvis basen til logaritmen er større enn én, øker den logaritmiske funksjonen monotont, og da tilsvarer en større verdi av x en større verdi av uttrykket.

Hvis grunntallet er større enn null og mindre enn én, avtar den logaritmiske funksjonen monotont. En større verdi av argumentet x vil tilsvare en mindre verdi

Viktig merknad: det er best å skrive løsningen som en kjede av ekvivalente overganger.

La oss gå videre til praksis. Som alltid starter vi med de enkleste ulikhetene.

1. Tenk på ulikhetsloggen 3 x > log 3 5.
Siden logaritmer kun er definert for positive tall, må x være positiv. Betingelsen x > 0 kalles området for akseptable verdier (ODV) for den gitte ulikheten. Bare for en slik x gir ulikheten mening.

Vel, denne formuleringen høres berømt ut og er lett å huske. Men hvorfor kan vi fortsatt gjøre det?

Vi er mennesker, vi er intelligente. Vårt sinn er ordnet på en slik måte at alt som er logisk, forståelig, med en indre struktur huskes og brukes mye bedre enn tilfeldige og ikke-relaterte fakta. Derfor er det viktig å ikke huske reglene mekanisk, som en trent matematikerhund, men å handle bevisst.

Så hvorfor «kasserer vi fortsatt logaritmer»?

Svaret er enkelt: hvis grunntallet er større enn én (som i vårt tilfelle), er den logaritmiske funksjonen monotont økende, noe som betyr at en større verdi av x tilsvarer en større verdi av y, og fra ulikheten log 3 x 1 > logg 3 x 2 følger det at x 1 > x 2.


Vær oppmerksom på at vi har gått over til en algebraisk ulikhet, og ulikhetstegnet er bevart samtidig.

Så x > 5.

Følgende logaritmiske ulikhet er også enkel.

2. stokk 5 (15 + 3x) > stokk 5 2x

La oss starte med utvalget av akseptable verdier. Logaritmer er kun definert for positive tall, altså

Ved å løse dette systemet får vi: x > 0.

La oss nå gå videre fra den logaritmiske ulikheten til den algebraiske - vi "kasserer" logaritmene. Siden basen til logaritmen er større enn én, er ulikhetstegnet bevart.

15 + 3x > 2x.

Vi får: x > −15.

Svar: x > 0.

Men hva skjer hvis basen til logaritmen er mindre enn én? Det er lett å gjette at i dette tilfellet, når man går over til en algebraisk ulikhet, vil ulikhetstegnet endres.

La oss ta et eksempel.

La oss skrive ODZ. Uttrykkene som logaritmer hentes fra må være positive, dvs.

Ved å løse dette systemet får vi: x > 4,5.

Siden reduseres den logaritmiske grunnfunksjonen monotont. Og dette betyr at en større verdi av funksjonen tilsvarer en mindre verdi av argumentet:


Og hvis, da
2x − 9 ≤ x.

Vi får at x ≤ 9.

Gitt at x > 4,5, skriver vi svaret:

I den følgende oppgaven er den eksponentielle ulikheten redusert til en kvadratisk. Så vi anbefaler å gjenta emnet "kvadratiske ulikheter".

Nå mer komplekse ulikheter:

4. Løs ulikheten

5. Løs ulikheten

Hvis da . Vi var heldige! Vi vet at basen til logaritmen er større enn én for alle x-verdier i DPV.

La oss gjøre en erstatning

Merk at vi først løser ulikheten fullstendig med hensyn til den nye variabelen t. Og først etter det går vi tilbake til variabelen x. Husk dette og ikke gjør feil på eksamen!

La oss huske regelen: hvis det er røtter, brøker eller logaritmer i likningen eller ulikheten, må løsningen starte fra området med akseptable verdier. Siden basen til logaritmen må være positiv og ikke lik én, får vi et system av betingelser:

La oss forenkle dette systemet:

Dette er rekkevidden av akseptable verdier for ulikhet.

Vi ser at variabelen er inneholdt i basen av logaritmen. La oss gå videre til den permanente basen. Husk det

I dette tilfellet er det praktisk å gå til base 4.

La oss gjøre en erstatning

Forenkle ulikheten og løs den ved å bruke intervallmetoden:

Tilbake til variabelen x:

Vi har lagt til en betingelse x> 0 (fra ODZ).

7. Følgende problem løses også ved hjelp av intervallmetoden

Som alltid starter vi løsningen av den logaritmiske ulikheten fra området med akseptable verdier. I dette tilfellet

Denne betingelsen må nødvendigvis være oppfylt, og vi kommer tilbake til den. La oss ta en titt på selve ulikheten. La oss skrive venstre side som en base 3-logaritme:

Høyresiden kan også skrives som en logaritme til base 3, og gå deretter til den algebraiske ulikheten:

Vi ser at betingelsen (det vil si ODZ) nå er automatisk oppfylt. Vel, dette forenkler løsningen av ulikheten.

Vi løser ulikheten ved hjelp av intervallmetoden:

Svar:

Skjedd? Vel, la oss øke vanskelighetsgraden:

8. Løs ulikheten:

Ulikheten er ekvivalent med systemet:

9. Løs ulikheten:

Uttrykk 5 - x 2 gjentas obsessivt i tilstanden til problemet. Og dette betyr at du kan gjøre en erstatning:

Siden eksponentialfunksjonen bare tar positive verdier, t> 0. Deretter

Ulikheten vil ta formen:

Allerede bedre. La oss finne rekkevidden av tillatte verdier for ulikheten. Det har vi allerede sagt t> 0. I tillegg, ( t− 3) (5 9 t − 1) > 0

Dersom denne betingelsen er oppfylt, vil også kvotienten være positiv.

Og uttrykket under logaritmen på høyre side av ulikheten må være positivt, det vil si (625 t − 2) 2 .

Dette betyr at 625 t− 2 ≠ 0, dvs.

Skriv nøye ned ODZ

og løse det resulterende systemet ved å bruke intervallmetoden.

Så,

Vel, halve kampen er unnagjort - vi fant ut ODZ. La oss løse ulikheten. Summen av logaritmene på venstre side er representert som logaritmen til produktet.

ulikhetsløsning i modus på nett løsning nesten enhver gitt ulikhet på nett. Matematisk ulikheter på nettetå løse matematikk. Finn raskt ulikhetsløsning i modus på nett. Nettstedet www.site lar deg finne løsning nesten hvilken som helst gitt algebraisk, trigonometrisk eller transcendent ulikhet på nett. Når man studerer nesten hvilken som helst del av matematikken på forskjellige stadier, må man bestemme seg ulikheter på nettet. For å få svar umiddelbart, og viktigst av alt et nøyaktig svar, trenger du en ressurs som lar deg gjøre dette. Takket være www.site løse ulikhet på nett vil ta noen minutter. Den største fordelen med www.site når du løser matematiske ulikheter på nettet- er hastigheten og nøyaktigheten til den utstedte responsen. Siden er i stand til å løse alle algebraiske ulikheter på nettet, trigonometriske ulikheter på nettet, transcendentale ulikheter på nettet, og ulikheter med ukjente parametere i modusen på nett. ulikheter tjene som et kraftig matematisk apparat løsninger praktiske oppgaver. Med hjelp matematiske ulikheter det er mulig å uttrykke fakta og relasjoner som ved første øyekast kan virke forvirrende og komplekse. ukjente mengder ulikheter kan finnes ved å formulere oppgaven i matematisk språk i formen ulikheter Og Bestemme seg for den mottatte oppgaven i modusen på nett på nettsiden www.site. Noen algebraisk ulikhet, trigonometrisk ulikhet eller ulikheter inneholder transcendental funksjoner du enkelt Bestemme seg for online og få det riktige svaret. Når man studerer naturvitenskap, møter man uunngåelig behovet løsning av ulikheter. I dette tilfellet må svaret være nøyaktig og det må mottas umiddelbart i modusen på nett. Derfor, for løse matematiske ulikheter på nett vi anbefaler nettstedet www.site, som vil bli din uunnværlige kalkulator for løse algebraiske ulikheter på nettet, trigonometriske ulikheter på nettet, og transcendentale ulikheter på nettet eller ulikheter med ukjente parametere. For praktiske problemer med å finne intravol løsninger av ulike matematiske ulikheter ressurs www.. Løsning ulikheter på nettet selv, er det nyttig å sjekke det mottatte svaret ved hjelp av online løsning av ulikheter på nettsiden www.site. Det er nødvendig å skrive ned ulikheten riktig og umiddelbart få nettløsning, hvoretter det gjenstår bare å sammenligne svaret med din løsning på ulikheten. Det tar ikke mer enn ett minutt å sjekke svaret løse ulikhet på nett og sammenligne svarene. Dette vil hjelpe deg å unngå feil i beslutning og korriger svaret i tide løse ulikheter på nett enten algebraisk, trigonometrisk, transcendent eller ulikhet med ukjente parametere.

Når vi studerte den logaritmiske funksjonen, vurderte vi hovedsakelig ulikheter i formen
logg en x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.

Løs ulikheten lg (x + 1) ≤ 2 (1).

Løsning.

1) Høyre side av ulikheten under vurdering gir mening for alle verdier av x, og venstre side - for x + 1 > 0, dvs. for x > -1.

2) Intervallet x\u003e -1 kalles definisjonsdomenet for ulikhet (1). Den logaritmiske funksjonen med grunntallet 10 øker, derfor, under betingelsen x + 1 > 0, er ulikhet (1) oppfylt hvis x + 1 ≤ 100 (siden 2 = lg 100). Altså ulikhet (1) og systemet med ulikheter

(x > -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,

er ekvivalente, med andre ord er settet med løsninger på ulikhet (1) og systemet med ulikheter (2) det samme.

3) Løsningssystem (2), vi finner -1< х ≤ 99.

Svar. -1< х ≤ 99.

Løs ulikheten log 2 (x - 3) + log 2 (x - 2) ≤ 1 (3).

Løsning.

1) Domenet til den betraktede logaritmiske funksjonen er settet med positive verdier av argumentet, derfor gir venstre side av ulikheten mening for x - 3 > 0 og x - 2 > 0.

Derfor er domenet til denne ulikheten intervallet x > 3.

2) I henhold til egenskapene til logaritmen er ulikhet (3) for х > 3 ekvivalent med ulikheten log 2 (х – 3)(х – 2) ≤ log 2 (4).

3) Base 2 logaritmiske funksjonen øker. Derfor, for х > 3, er ulikhet (4) tilfredsstilt hvis (х – 3)(х – 2) ≤ 2.

4) Dermed er den opprinnelige ulikheten (3) ekvivalent med systemet med ulikheter

((x - 3)(x - 2) ≤ 2,
(x > 3.

Ved å løse den første ulikheten i dette systemet får vi x 2 - 5x + 4 ≤ 0, hvorav 1 ≤ x ≤ 4. Ved å kombinere dette segmentet med intervallet x > 3 får vi 3< х ≤ 4.

Svar. 3< х ≤ 4.

Løs ulikhetsloggen 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ -4. (5)

Løsning.

1) Definisjonsdomenet for ulikhet er funnet fra betingelsen x 2 + 2x - 8 > 0.

2) Ulikhet (5) kan skrives som:

log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ log 1/2 16.

3) Siden den logaritmiske funksjonen med grunntallet ½ er avtagende, får vi for alle x fra hele domenet til ulikheten:

x 2 + 2x - 8 ≤ 16.

Dermed er den opprinnelige likheten (5) ekvivalent med systemet med ulikheter

(x 2 + 2x - 8 > 0, eller (x 2 + 2x - 8 > 0,
(x 2 + 2x - 8 ≤ 16, (x 2 + 2x - 24 ≤ 0.

Løser vi den første kvadratiske ulikheten, får vi x< -4, х >2. Ved å løse den andre kvadratiske ulikheten får vi -6 ≤ x ≤ 4. Derfor oppfylles begge ulikhetene i systemet samtidig ved -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4.

Svar. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

Løse ulikheter på nett

Før man løser ulikheter, er det nødvendig å forstå godt hvordan ligninger løses.

Det spiller ingen rolle om ulikheten er streng () eller ikke-streng (≤, ≥), det første trinnet er å løse ligningen ved å erstatte ulikhetstegnet med likhet (=).

Forklar hva det vil si å løse en ulikhet?

Etter å ha studert ligningene, har studenten følgende bilde i hodet: du må finne slike verdier av variabelen som begge deler av ligningen tar de samme verdiene for. Finn med andre ord alle punkter der likheten holder. Alt er riktig!

Når man snakker om ulikheter, mener de å finne intervallene (segmentene) som ulikheten holder på. Hvis det er to variabler i ulikheten, vil løsningen ikke lenger være intervaller, men noen områder på planet. Gjett hva som blir løsningen på ulikheten i tre variabler?

Hvordan løse ulikheter?

Metoden for intervaller (aka metoden for intervaller) anses å være en universell måte å løse ulikheter på, som består i å bestemme alle intervallene som den gitte ulikheten vil bli oppfylt innenfor.

Uten å gå inn på typen ulikhet, i dette tilfellet er det ikke essensen, det er nødvendig å løse den tilsvarende ligningen og bestemme dens røtter, etterfulgt av betegnelsen av disse løsningene på den numeriske aksen.

Hva er den riktige måten å skrive løsningen på en ulikhet på?

Når du har bestemt intervallene for å løse ulikheten, må du skrive ut selve løsningen riktig. Det er en viktig nyanse - er grensene for intervallene inkludert i løsningen?

Alt er enkelt her. Hvis løsningen av ligningen tilfredsstiller ODZ og ulikheten ikke er streng, er grensen til intervallet inkludert i løsningen av ulikheten. Ellers nei.

Med tanke på hvert intervall kan løsningen på ulikheten være selve intervallet, eller et halvt intervall (når en av grensene tilfredsstiller ulikheten), eller et segment - et intervall sammen med grensene.

Viktig poeng

Ikke tro at kun intervaller, halvintervaller og segmenter kan være løsningen på en ulikhet. Nei, enkeltpoeng kan også inkluderes i løsningen.

For eksempel har ulikheten |x|≤0 bare én løsning - punkt 0.

Og ulikheten |x|

Hva er ulikhetskalkulatoren til?

Ulikhetskalkulatoren gir riktig sluttsvar. I dette tilfellet er det i de fleste tilfeller gitt en illustrasjon av en numerisk akse eller et plan. Du kan se om grensene til intervallene er inkludert i løsningen eller ikke - punktene vises fylt eller gjennomhullet.

Takket være den nettbaserte ulikhetskalkulatoren kan du sjekke om du har funnet røttene til ligningen riktig, markert dem på tallinjen og sjekket ulikhetsforholdene på intervallene (og grensene)?

Hvis svaret ditt avviker fra svaret fra kalkulatoren, må du definitivt dobbeltsjekke løsningen og identifisere feilen som er gjort.