ระดับ: 9
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
- สรุปขยายและจัดระบบความรู้และทักษะของนักเรียน สอนการใช้ความรู้ในการแก้ปัญหาที่ซับซ้อน
- ส่งเสริมการพัฒนาทักษะการใช้ความรู้อย่างอิสระในการแก้ปัญหา
- พัฒนาความคิดเชิงตรรกะและคำพูดทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน ความสามารถในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ และสรุป
- ให้ความรู้แก่นักเรียนในเรื่องความมั่นใจในตนเอง ความขยันหมั่นเพียร ความสามารถในการทำงานเป็นทีม
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
- เกี่ยวกับการศึกษา:ทำซ้ำทฤษฎีบทของ Menelaus และ Ceva; นำไปใช้ในการแก้ปัญหา
- กำลังพัฒนา:สอนให้ตั้งสมมติฐานและปกป้องความคิดเห็นของตนด้วยหลักฐานอย่างชำนาญ ทดสอบความสามารถในการสรุปและจัดระบบความรู้ของพวกเขา
- เกี่ยวกับการศึกษา:เพิ่มความสนใจในเรื่องและเตรียมพร้อมสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น
ประเภทบทเรียน:บทเรียนของความรู้ทั่วไปและการจัดระบบความรู้
อุปกรณ์:การ์ดสำหรับการทำงานร่วมกันในบทเรียนในหัวข้อที่กำหนด, การ์ดส่วนบุคคลสำหรับงานอิสระ, คอมพิวเตอร์, โปรเจ็กเตอร์มัลติมีเดีย, หน้าจอ
ระหว่างเรียน
ฉันเวที ช่วงเวลาขององค์กร (1 นาที)
ครูอธิบายหัวข้อและจุดประสงค์ของบทเรียน
ขั้นตอนที่สอง การทำให้ความรู้และทักษะพื้นฐานเป็นจริง (10 นาที)
ครู:ในบทเรียนเราระลึกถึงทฤษฎีบทของ Menelaus และ Ceva เพื่อที่จะประสบความสำเร็จในการแก้ปัญหา มาดูที่หน้าจอกับคุณ ภาพนี้ใช้ทฤษฎีบทอะไร (ทฤษฎีบทของ Menelaus) พยายามระบุทฤษฎีบทให้ชัดเจน
รูปภาพที่ 1
ให้จุด A 1 อยู่บนด้าน BC ของสามเหลี่ยม ABC จุด C 1 อยู่บนด้าน AB จุด B 1 อยู่บนส่วนต่อขยายของด้าน AC เลยจุด C จุด A 1 , B 1 และ C 1 อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ถ้า และเฉพาะในกรณีที่เท่าเทียมกัน 
ครู:เรามาดูภาพต่อไปด้วยกัน กำหนดทฤษฎีบทสำหรับตัวเลขนี้
รูปที่ 2
เส้น AD ตัดกันสองด้านและส่วนต่อของด้านที่สามของสามเหลี่ยม BMC
ตามทฤษฎีบทของ Menelaus 
เส้น MB ตัดกันสองด้านและส่วนต่อของด้านที่สามของสามเหลี่ยม ADC
ตามทฤษฎีบทของ Menelaus 
ครู:รูปภาพสอดคล้องกับทฤษฎีบทใด (ทฤษฎีบทของเซวา). กำหนดทฤษฎีบท
รูปที่ 3
ให้ในรูปสามเหลี่ยม ABC จุด A 1 อยู่ด้าน BC จุด B 1 อยู่ด้าน AC จุด C 1 อยู่ด้าน AB ส่วน AA 1 , BB 1 และ CC 1 ตัดกันที่จุดหนึ่งก็ต่อเมื่อความเท่าเทียมกัน 
ขั้นตอนที่สาม การแก้ปัญหา. (22 นาที)
ชั้นเรียนแบ่งออกเป็น 3 ทีม แต่ละทีมจะได้รับการ์ดที่มีงานต่างกัน 2 งาน ให้เวลาแก้ปัญหา จากนั้นหน้าจอจะปรากฏขึ้น<Рисунки 4-9>. ตามภาพวาดสำเร็จรูปสำหรับงานตัวแทนของทีมจะอธิบายวิธีแก้ปัญหาของพวกเขาตามลำดับ คำอธิบายแต่ละข้อจะตามด้วยการสนทนา การตอบคำถาม และการตรวจสอบความถูกต้องของวิธีแก้ปัญหาบนหน้าจอ สมาชิกในทีมทุกคนมีส่วนร่วมในการอภิปราย ยิ่งทีมมีความกระตือรือร้นมากเท่าไหร่ การประเมินก็จะยิ่งสูงขึ้นเมื่อสรุปผล
บัตร 1
1. ในรูปสามเหลี่ยม ABC ที่ด้านข้าง BC จุด N เพื่อให้ NC = 3BN; บนส่วนขยายของด้าน AC ให้นำจุด M เป็นจุด A เพื่อให้ MA = AC เส้น MN ตัดกับด้าน AB ที่จุด F จงหาอัตราส่วน
2. พิสูจน์ว่าค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง
วิธีแก้ปัญหา 1
รูปที่ 4
โดยเงื่อนไขของปัญหา MA = AC, NC = 3BN. ให้ MA = AC =b, BN = k, NC = 3k เส้น MN ตัดกันสองด้านของสามเหลี่ยม ABC และส่วนขยายของสามเหลี่ยมด้านที่สาม
ตามทฤษฎีบทของ Menelaus 
คำตอบ:
หลักฐาน 2
รูปที่ 5
ให้ AM 1 , BM 2 , CM 3 เป็นค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม ABC เพื่อพิสูจน์ว่าส่วนเหล่านี้ตัดกัน ณ จุดหนึ่ง ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็นว่า 
จากนั้นตามทฤษฎีบท Ceva (ผกผัน) ส่วน AM 1 , BM 2 และ CM 3 ตัดกันที่จุดหนึ่ง
เรามี: 
ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่าค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง
บัตร 2
1. จุด N อยู่ที่ด้าน PQ ของสามเหลี่ยม PQR และจุด L อยู่ที่ด้าน PR และ NQ = LR จุดตัดกันของส่วน QL และ NR แบ่ง QL ในอัตราส่วน m:n โดยนับจากจุด Q จงหา
2. พิสูจน์ว่าเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง
วิธีแก้ปัญหา 1
รูปที่ 6
โดยสมมติฐาน NQ = LR ให้ NA = LR =a, QF = km, LF = kn เส้น NR ตัดกันสองด้านของรูปสามเหลี่ยม PQL และส่วนต่อของด้านที่สาม
ตามทฤษฎีบทของ Menelaus 
คำตอบ:
หลักฐาน 2
รูปที่ 7
ให้เราแสดงให้เห็นว่า 
จากนั้นโดยทฤษฎีบท Ceva (ผกผัน) AL 1 , BL 2 , CL 3 ตัดกันที่จุดหนึ่ง ตามคุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม
เราได้รับคูณความเท่าเทียมกันที่ได้รับเป็นระยะ 
สำหรับเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม ความเท่าเทียมกันของ Ceva เป็นที่พอใจ ดังนั้นจึงตัดกันที่จุดหนึ่ง
บัตร 3
1. ในรูปสามเหลี่ยม ABC AD คือค่ามัธยฐาน จุด O คือจุดกึ่งกลางของค่ามัธยฐาน เส้น BO ตัดด้าน AC ที่จุด K จุด K หาร AC ในอัตราส่วนเท่าใด นับจากจุด A
2. พิสูจน์ว่าถ้าวงกลมถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมกับจุดสัมผัสของด้านตรงข้ามตัดกันที่จุดหนึ่ง
วิธีแก้ปัญหา 1
รูปที่ 8
ให้ BD = DC = a, AO = OD = m เส้น VC ตัดกับสองด้านและส่วนต่อของด้านที่สามของสามเหลี่ยม ADC
ตามทฤษฎีบทของ Menelaus 
คำตอบ:
หลักฐาน 2
รูปที่ 9
ให้ A 1 , B 1 และ C 1 เป็นจุดสัมผัสของวงกลมที่จารึกไว้ของสามเหลี่ยม ABC เพื่อพิสูจน์ว่าส่วน AA 1 , BB 1 และ CC 1 ตัดกัน ณ จุดหนึ่ง ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงว่าความเท่าเทียมกันของ Ceva มีอยู่: 
การใช้คุณสมบัติของเส้นสัมผัสที่ลากไปยังวงกลมจากจุดหนึ่ง เราแนะนำสัญกรณ์: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z
ความเท่าเทียมกันของ Ceva ซึ่งหมายความว่าเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง
ขั้นตอนที่สี่ การแก้ปัญหา (งานอิสระ) (8 นาที)
ครู: งานของทีมจบลงแล้วและตอนนี้เราจะเริ่มงานอิสระในการ์ดแต่ละใบสำหรับ 2 ตัวเลือก
เนื้อหาสำหรับบทเรียนสำหรับงานอิสระของนักเรียน
ตัวเลือกที่ 1.ในรูปสามเหลี่ยม ABC พื้นที่คือ 6 ที่ด้าน AB มีจุด K หารด้านนี้ในอัตราส่วน AK:BK = 2:3 และด้าน AC - จุด L หาร AC ใน อัตราส่วน AL:LC = 5:3 จุด Q ของจุดตัดของเส้น СК และ BL จะถูกลบออกจากเส้น AB ที่ระยะห่าง หาความยาวของด้าน AB (คำตอบ: 4.)
ตัวเลือก 2จุด K อยู่ที่ด้าน AC ในรูปสามเหลี่ยม ABC AK = 1, KS = 3 จุด L อยู่ที่ด้าน AB AL:LВ = 2:3, Q คือจุดตัดของเส้น BK และ CL ค้นหาความยาวของความสูงของสามเหลี่ยม ABC ซึ่งอยู่ต่ำกว่าจุดยอด B (คำตอบ: 1.5.)
ส่งงานให้อาจารย์ตรวจ
วี สเตจ. สรุปบทเรียน (2 นาที)
มีการวิเคราะห์ข้อผิดพลาด คำตอบดั้งเดิมและความคิดเห็นจะถูกบันทึกไว้ มีการสรุปผลงานของแต่ละทีมและให้คะแนน
เวที VI. การบ้าน (1 นาที)
การบ้านประกอบด้วยงานหมายเลข 11, 12 หน้า 289-290, เลขที่ 10 หน้า 301
คำพูดสุดท้ายของครู (1 นาที)
วันนี้คุณได้ยินคำพูดทางคณิตศาสตร์ของกันและกันจากด้านข้างและประเมินความสามารถของคุณ ในอนาคต เราจะใช้การสนทนาดังกล่าวเพื่อทำความเข้าใจหัวข้อนี้ให้ดียิ่งขึ้น ข้อโต้แย้งในบทเรียนเป็นเพื่อนกับข้อเท็จจริง และทฤษฎีกับการปฏิบัติ ขอบคุณทุกคน.
วรรณกรรม:
- ทีคาชุก วี.วี. คณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัคร – อ.: MTsNMO, 2548.
เอ.วี. เชฟคิน
FMS ฉบับที่ 2007
ทฤษฎีบทของ Ceva และ Menelaus ในการตรวจสอบสถานะรวม
บทความโดยละเอียด "เกี่ยวกับทฤษฎีบทของ Ceva และ Menelaus" เผยแพร่บนเว็บไซต์ของเราในส่วนบทความ มันส่งถึงครูคณิตศาสตร์และนักเรียนมัธยมปลายที่มีแรงจูงใจที่จะมีความรู้ที่ดีของคณิตศาสตร์ คุณสามารถย้อนกลับไปได้หากต้องการทำความเข้าใจปัญหาโดยละเอียด ในบันทึกนี้ เราจะให้ข้อมูลโดยย่อจากบทความที่กล่าวถึง และวิเคราะห์แนวทางแก้ไขปัญหาจากการรวบรวมเพื่อเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State-2016
ทฤษฎีบทของเซวา
ให้สามเหลี่ยมได้รับ เอบีซีและด้านข้าง เอบี, พ.ศและ เครื่องปรับอากาศมีการทำเครื่องหมายจุด ค 1 , ก 1 และ ข 1 ตามลำดับ (รูปที่ 1)
ก) ถ้าส่วน เอ.เอ 1 , BB 1 และ ซีซี 1 ตัดกันที่จุดหนึ่งแล้ว
b) ถ้าความเท่าเทียมกัน (1) เป็นจริง แสดงว่าเป็นเซ็กเมนต์ เอ.เอ 1 , BB 1 และ ซีซี 1 ตัดกันที่จุดหนึ่ง
รูปที่ 1 แสดงกรณีเมื่อเซ็กเมนต์ เอ.เอ 1 , BB 1 และ ซีซี 1 ตัดกันที่จุดหนึ่งภายในสามเหลี่ยม นี่คือสิ่งที่เรียกว่ากรณีจุดภายใน ทฤษฎีบทของ Ceva ยังใช้ในกรณีของจุดภายนอก เมื่อจุดใดจุดหนึ่ง ก 1 , ข 1 หรือ กับ 1 เป็นของด้านข้างของสามเหลี่ยม และอีก 2 อันเป็นของส่วนต่อขยายของด้านข้างของสามเหลี่ยม ในกรณีนี้คือจุดตัดของส่วน เอ.เอ 1 , BB 1 และ ซีซี 1 อยู่นอกสามเหลี่ยม (รูปที่ 2)
|
|
|
จะจำสมการของ Cheva ได้อย่างไร?
ให้เราใส่ใจกับวิธีการจดจำความเท่าเทียมกัน (1) จุดยอดของสามเหลี่ยมในแต่ละความสัมพันธ์และความสัมพันธ์นั้นเขียนในทิศทางของการข้ามจุดยอดของสามเหลี่ยม เอบีซี, เริ่มจากจุด ก. จากจุด กไปที่จุด ขเราพบจุด กับ 1 เขียนเศษส่วน 
. เพิ่มเติมจากจุด ในไปที่จุด กับเราพบจุด ก 1 เขียนเศษส่วน 
. ในที่สุดจากจุด กับไปที่จุด กเราพบจุด ใน 1 เขียนเศษส่วน 
. ในกรณีของจุดภายนอก ลำดับการเขียนเศษส่วนจะยังคงอยู่ แม้ว่า "จุดหาร" สองจุดของส่วนจะอยู่นอกส่วน ในกรณีเช่นนี้ เรากล่าวว่าจุดแบ่งส่วนภายนอก
โปรดทราบว่าส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดใดๆ บนเส้นที่มีด้านตรงข้ามของสามเหลี่ยมเรียกว่า ซีเวียน่า.
ให้เราพิจารณาหลายวิธีในการพิสูจน์การยืนยัน a) ของทฤษฎีบทของ Ceva ในกรณีของจุดภายใน ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Ceva เราต้องพิสูจน์ข้อความ a) ด้วยวิธีการใดๆ ที่เสนอด้านล่าง และพิสูจน์ข้อความ b) ด้วย การพิสูจน์การยืนยัน b) จะได้รับหลังจากวิธีแรกในการพิสูจน์การยืนยัน a) การพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Ceva สำหรับกรณีของจุดภายนอกนั้นดำเนินการในลักษณะเดียวกัน
หลักฐานการยืนยัน a) ของทฤษฎีบทของ Ceva โดยใช้ทฤษฎีบทในส่วนที่เป็นสัดส่วน
ให้ซีเวียนสามคน กก 1 , ขข 1 และ คค 1 จุดตัดกัน Zภายในสามเหลี่ยม เอบีซี.
แนวคิดของการพิสูจน์คือการแทนที่อัตราส่วนของส่วนจากความเท่าเทียมกัน (1) ด้วยอัตราส่วนของส่วนที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
ผ่านจุด ในลากเส้นขนานกับเซเวียนา สส 1 . ตรง เอ.เอ 1 ตัดกับเส้นที่สร้างขึ้นที่จุด ม, และเส้นที่ผ่านจุด คและขนานกัน เอ.เอ 1 , - ที่จุด ต. ผ่านจุด กและ กับลากเส้นตรงขนานกับซีเวียน BB 1 . พวกเขาจะข้ามเส้น วี.เอ็มที่จุด เอ็นและ รตามลำดับ (รูปที่ 3)
พี 
เกี่ยวกับทฤษฎีบทในส่วนสัดส่วนที่เรามี:
,
และ 
.
แล้วความเท่าเทียมกัน
.
ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน ZCTMและ ZCRBเซ็กเมนต์ ที.เอ็ม, เซียและ บีอาร์เท่ากับด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เพราะฉะนั้น, 
และความเท่าเทียมกันเป็นจริง
.
ในการพิสูจน์การยืนยัน b) เราใช้การยืนยันต่อไปนี้ ข้าว. 3
บทแทรก 1.ถ้าคะแนน กับ 1 และ กับ 2 แบ่งการตัด เอบีภาพภายใน (หรือภายนอก) ในแง่เดียวกัน นับจากจุดเดียวกัน แล้วจุดเหล่านี้มาบรรจบกัน
ให้เราพิสูจน์บทแทรกสำหรับกรณีที่จุด กับ 1 และ กับ 2 แบ่งการตัด เอบีภายในในแง่เดียวกัน: 
.
การพิสูจน์.จากความเท่าเทียมกัน 
ตามด้วยความเท่าเทียมกัน 
และ 
. สุดท้ายของพวกเขาเป็นจริงภายใต้เงื่อนไขที่ว่า กับ 1 ขและ กับ 2 ขมีค่าเท่ากัน นั่นคือ โดยมีเงื่อนไขว่าคะแนน กับ 1 และ กับ 2 นัด
บทพิสูจน์บทแทรกสำหรับกรณีเมื่อจุด กับ 1 และ กับ 2 แบ่งการตัด เอบีดำเนินการภายนอกในลักษณะเดียวกัน
หลักฐานการยืนยัน b) ของทฤษฎีบทของ Ceva
ให้ความเท่าเทียมกัน (1) เป็นจริง ให้เราพิสูจน์ว่าส่วนต่างๆ เอ.เอ 1 , BB 1 และ ซีซี 1 ตัดกันที่จุดหนึ่ง
ปล่อยให้ชาวซีเวียน เอ.เอ 1 และ BB 1 จุดตัดกัน Zวาดส่วนผ่านจุดนี้ ซีซี 2 (กับ 2 อยู่ในส่วน เอบี). จากนั้นตามการยืนยัน a) เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง
.
(2)
และ 
การเปรียบเทียบความเท่าเทียมกัน (1) และ (2) เราสรุปได้ว่า 
เช่น คะแนน กับ 1 และ กับ 2 แบ่งการตัด เอบีในอัตราส่วนที่เท่ากันโดยนับจากจุดเดียวกัน บทแทรก 1 บอกเป็นนัยว่าประเด็น กับ 1 และ กับ 2 นัด ซึ่งหมายความว่าส่วนต่างๆ เอ.เอ 1 , BB 1 และ ซีซี 1 ตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งต้องพิสูจน์
สามารถพิสูจน์ได้ว่าขั้นตอนการเขียนความเท่าเทียมกัน (1) ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจุดและทิศทางของจุดยอดของสามเหลี่ยมที่ถูกข้าม
แบบฝึกหัด 1.ค้นหาความยาวของส่วน กเอ็นในรูปที่ 4 ซึ่งแสดงความยาวของส่วนอื่นๆ
คำตอบ. 8.
ภารกิจที่ 2ซีเวียน เช้า,
บี.เอ็น, ซี.เคตัดกันที่จุดหนึ่งภายในรูปสามเหลี่ยม เอบีซี. ค้นหาทัศนคติ 
, ถ้า 
,
. ข้าว. 4
คำตอบ.
.
พี 
เรานำเสนอการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Ceva จากบทความ แนวคิดของการพิสูจน์คือการแทนที่อัตราส่วนของส่วนจากความเท่าเทียมกัน (1) ด้วยอัตราส่วนของส่วนที่อยู่บนเส้นขนาน
ให้ตรง กก 1 , ขข 1 , คค 1 จุดตัดกัน อภายในสามเหลี่ยม เอบีซี(รูปที่ 5) ผ่านด้านบน กับสามเหลี่ยม เอบีซีลากเส้นขนานกัน เอบีและจุดตัดกับเส้น กก 1 , ขข 1 หมายถึงตามลำดับ ก 2 , ข 2 .
จากความคล้ายของสามเหลี่ยมสองคู่ ซี.บี 2 ข 1 และ เอบีบี 1 , อ.บ.ต 1 และ แคลิฟอร์เนีย 2 ก 1, มะเดื่อ 5
เรามีความเท่าเทียมกัน
,
.
(3)
จากความเหมือนของสามเหลี่ยม พ.ศ 1 อและ ข 2 บจก, กกับ 1 อและ ก 2 บจกเรามีความเท่าเทียมกัน 
ซึ่งเป็นไปตามนั้น
.
(4)
พี 
การคูณความเท่าเทียมกัน (3) และ (4) เราได้รับความเท่าเทียมกัน (1)
การยืนยัน a) ของทฤษฎีบทของ Ceva ได้รับการพิสูจน์แล้ว
พิจารณาหลักฐานการยืนยัน a) ของทฤษฎีบทของ Ceva ด้วยความช่วยเหลือของพื้นที่สำหรับจุดภายใน ระบุไว้ในหนังสือโดย A.G. Myakishev และขึ้นอยู่กับข้อความที่เราจะกำหนดในรูปแบบของการมอบหมาย 3 และ 4 .
ภารกิจที่ 3อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีจุดยอดร่วมกันและฐานอยู่บนเส้นตรงเดียวกันจะเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของฐานเหล่านี้ พิสูจน์คำพูดนี้
ภารกิจที่ 4พิสูจน์ว่าถ้า 
, ที่ 
และ 
. ข้าว. 6
ปล่อยให้ส่วนต่างๆ เอ.เอ 1 , BB 1 และ ซีซี 1 จุดตัดกัน Z(รูปที่ 6) จากนั้น
,
.
(5)
และ 
จากความเท่าเทียมกัน (5) และคำสั่งที่สองของงาน 4
ตามนั้น 
หรือ 
. ในทำนองเดียวกันเราได้รับสิ่งนั้น 
และ 
. คูณความเท่าเทียมกันสามตัวสุดท้าย เราได้รับ:
,
กล่าวคือ ความเสมอภาค (1) เป็นจริง ซึ่งจะต้องได้รับการพิสูจน์
การยืนยัน a) ของทฤษฎีบทของ Ceva ได้รับการพิสูจน์แล้ว
ภารกิจที่ 15.ให้ซีเวียนตัดกันที่จุดหนึ่งภายในรูปสามเหลี่ยมแล้วแบ่งออกเป็น 6 รูปสามเหลี่ยมซึ่งมีพื้นที่เท่ากับ ส 1 , ส 2 , ส 3 , ส 4 , ส 5 , ส 6 (รูปที่ 7) พิสูจน์ว่า. ข้าว. 7
ภารกิจที่ 6ค้นหาพื้นที่ สสามเหลี่ยม นิวซีแลนด์(พื้นที่ของสามเหลี่ยมอื่นแสดงในรูปที่ 8)
คำตอบ. 15.
ภารกิจที่ 7ค้นหาพื้นที่ สสามเหลี่ยม ซีเอ็นโอถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยม กเลขที่คือ 10 และ 
,
(รูปที่ 9)
คำตอบ. 30.
ภารกิจที่ 8ค้นหาพื้นที่ สสามเหลี่ยม ซีเอ็นโอถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยม กพ.ศเท่ากับ 88 และ ,
(รูปที่ 9)
|
|
|
ร 
สารละลาย.ตั้งแต่ เราแสดงว่า 
,
. เพราะ
จากนั้นเราแสดงว่า 
,
. จากทฤษฎีบทของ Ceva จะได้ว่า 
แล้ว 
. ถ้า 
, ที่ 
(รูปที่ 10) เรามีสามสิ่งที่ไม่รู้จัก ( x, ย
และ ส) เพื่อที่จะหา สมาสร้างสามสมการกันเถอะ
เพราะ 
, ที่ 
= 88 ตั้งแต่ 
, ที่ 
, ที่ไหน 
. เพราะ 
, ที่ 
.
ดังนั้น, 
, ที่ไหน 
. ข้าว. 10
ภารกิจที่ 9.
ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีคะแนน เคและ แอลตกเป็นของคู่สัญญาตามลำดับ เอบี
และ ขค.
,
.
พี อัลและ ซี.เค. พื้นที่ของสามเหลี่ยม พีบีซีเท่ากับ 1 หาพื้นที่ของสามเหลี่ยม เอบีซี.
คำตอบ. 1,75.
ต 
ทฤษฎีบทของ Menelaus
ให้สามเหลี่ยมได้รับ เอบีซีและด้านข้าง เครื่องปรับอากาศและ ซี.บีมีการทำเครื่องหมายจุด ข 1 และ ก 1 ตามลำดับและในด้านต่อเนื่อง เอบีจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ ค 1 (รูปที่ 11)
ก) ถ้าจุด ก 1 , ข 1 และ กับ 1 นอนในบรรทัดเดียวกันแล้ว
.
(6)
b) ถ้าความเท่าเทียมกัน (7) เป็นจริง แต้ม ก 1 , ข 1 และ กับ 1 อยู่ในแนวเดียวกัน ข้าว. สิบเอ็ด
จะจำความเท่าเทียมกันของ Menelaus ได้อย่างไร?
เทคนิคในการจดจำความเท่าเทียมกัน (6) เหมือนกับความเท่าเทียมกัน (1) จุดยอดของสามเหลี่ยมในแต่ละความสัมพันธ์และความสัมพันธ์นั้นเขียนในทิศทางของการข้ามจุดยอดของสามเหลี่ยม เอบีซี- จากจุดสุดยอดไปยังจุดสุดยอดผ่านจุดแบ่ง (ภายในหรือภายนอก)
ภารกิจที่ 10.พิสูจน์ว่าเมื่อเขียนความเท่ากัน (6) จากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมในทิศทางใดก็ตาม จะได้ผลลัพธ์เดียวกัน
ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Menelaus เราต้องพิสูจน์ข้อความ a) ด้วยวิธีการใดๆ ที่เสนอด้านล่าง และพิสูจน์ข้อความ b) ด้วย การพิสูจน์การยืนยัน b) จะได้รับหลังจากวิธีแรกในการพิสูจน์การยืนยัน a)
หลักฐานการยืนยัน ก) การใช้ทฤษฎีบทในส่วนที่เป็นสัดส่วน
ฉันทาง.ก) แนวคิดของการพิสูจน์คือการแทนที่อัตราส่วนของความยาวของส่วนด้วยความเท่าเทียมกัน (6) ด้วยอัตราส่วนของความยาวของส่วนที่อยู่บนเส้นตรงหนึ่งเส้น
ปล่อยให้คะแนน ก 1 , ข 1 และ กับ 1 อยู่ในแนวเดียวกัน ผ่านจุด คมาวาดเส้นตรงกัน ลขนานกับเส้น ก 1 ข 1 มันตัดเส้น เอบีที่จุด ม(รูปที่ 12)
ร 
เป็น. 12
ตามทฤษฎีบทส่วนสัดส่วน เรามี: 
และ 
.
แล้วความเท่าเทียมกัน 
.
หลักฐานการยืนยัน b) ทฤษฎีบทของ Menelaus
ตอนนี้ให้ความเท่าเทียมกัน (6) เป็นจริง เราจะพิสูจน์ว่าประเด็น ก 1 , ข 1 และ กับ 1 อยู่ในแนวเดียวกัน ให้ตรง เอบีและ ก 1 ข 1 จุดตัดกัน กับ 2 (รูปที่ 13)
ตั้งแต่จุด ก 1 ข 1 และ กับ 2 อยู่ในบรรทัดเดียวกัน จากนั้นตามข้อความ a) ของทฤษฎีบท Menelaus
. (7)
จากการเปรียบเทียบความเท่าเทียมกัน (6) และ (7) เราได้ 
ดังนั้นจึงเป็นไปตามที่เท่าเทียมกัน
,
,
.
ความเท่าเทียมกันสุดท้ายเป็นจริงภายใต้เงื่อนไขเท่านั้น 
เช่น ถ้าคะแนน กับ 1 และ กับ 2 นัด
การยืนยัน b) ของทฤษฎีบทของ Menelaus ได้รับการพิสูจน์แล้ว ข้าว. 13
หลักฐานการยืนยัน a) โดยใช้ความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม
แนวคิดของการพิสูจน์คือการแทนที่อัตราส่วนของความยาวของส่วนจากความเท่าเทียมกัน (6) ด้วยอัตราส่วนของความยาวของส่วนที่วางอยู่บนเส้นขนาน
ปล่อยให้คะแนน ก 1 , ข 1 และ กับ 1 อยู่ในแนวเดียวกัน จากคะแนน ก, ขและ ควาดเส้นตั้งฉาก เอ.เอ 0 , ขข 0 และ สส 0 ถึงเส้นตรงนี้ (รูปที่ 14)
ร 
เป็น. 14
จากความคล้ายของสามเหลี่ยมสามคู่ เอ.เอ 0 ข 1 และ ซีซี 0 ข 1 , ซีซี 0 ก 1 และ BB 0 ก 1 , ค 1 ข 0 ขและ ค 1 ก 0 ก(ในสองมุม) เรามีความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง
,
,
,
ทวีคูณเราได้รับ:
.
การยืนยัน a) ของทฤษฎีบทของ Menelaus ได้รับการพิสูจน์แล้ว
หลักฐานการยืนยัน ก) การใช้พื้นที่
แนวคิดของการพิสูจน์คือการแทนที่อัตราส่วนของความยาวของส่วนจากความเท่าเทียมกัน (7) ด้วยอัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
ปล่อยให้คะแนน ก 1 , ข 1 และ กับ 1 อยู่ในแนวเดียวกัน เชื่อมต่อจุด คและ ค 1 . แสดงพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ส 1 , ส 2 , ส 3 , ส 4 , ส 5 (รูปที่ 15)
แล้วความเท่าเทียมกัน
,
,
. (8)
การคูณความเท่าเทียมกัน (8) เราได้รับ:
การยืนยัน a) ของทฤษฎีบทของ Menelaus ได้รับการพิสูจน์แล้ว
ร 
เป็น. 15
เช่นเดียวกับที่ทฤษฎีบทของ Ceva ยังคงใช้ได้หากจุดตัด Cevian อยู่นอกรูปสามเหลี่ยม ทฤษฎีบทของ Menelaus จะยังคงใช้ได้หากส่วนตัดตัดกันเฉพาะส่วนต่อขยายของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ในกรณีนี้ เราสามารถพูดถึงจุดตัดของด้านข้างของสามเหลี่ยมที่จุดภายนอกได้
หลักฐานการยืนยัน a) สำหรับกรณีของจุดภายนอก
พี 
ปากของซีแคนต์ตัดกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม เอบีซีที่จุดภายนอกเช่น ตัดส่วนต่อขยายของด้านข้าง เอบี,พ.ศและ เครื่องปรับอากาศที่จุด ค 1 , ก 1 และ ข 1 ตามลำดับ และจุดเหล่านี้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (รูปที่ 16)
ตามทฤษฎีบทส่วนสัดส่วน เรามี:
และ .
แล้วความเท่าเทียมกัน
การยืนยัน a) ของทฤษฎีบทของ Menelaus ได้รับการพิสูจน์แล้ว ข้าว. 16
โปรดทราบว่าการพิสูจน์ข้างต้นสอดคล้องกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทเมเนลอสสำหรับกรณีที่เส้นแบ่งตัดกันสองด้านของสามเหลี่ยมที่จุดภายในและอีกด้านที่จุดภายนอก
การพิสูจน์การยืนยันข) ของทฤษฎีบทเมเนลอส์สำหรับกรณีของจุดภายนอกนั้นคล้ายคลึงกับการพิสูจน์ที่ให้ไว้ข้างต้น
ว 
นรก11.
ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีคะแนน ก 1 , ใน 1 นอนตามลำดับที่ด้านข้าง ดวงอาทิตย์และ กกับ.
พี- จุดตัดกันของเซ็กเมนต์ เอ.เอ 1
และ BB 1 .
,
. ค้นหาทัศนคติ 
.
สารละลาย.แสดงว่า 
,
,
,
(รูปที่ 17) โดยทฤษฎีบทของ Menelaus สำหรับรูปสามเหลี่ยม พ.ศใน 1 และซีแคนต์ ป 1 เขียนความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง:
,
จึงเป็นไปตามนั้น
. ข้าว. 17
คำตอบ.
.
ว 
นรก12
(มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโกหลักสูตรเตรียมความพร้อมทางไปรษณีย์)
ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซี,
ซึ่งมีพื้นที่ 6 ด้าน เอบีจุดที่ถ่าย ถึง,
แบ่งด้านนี้สัมพันธ์กับ 
และด้านข้าง เครื่องปรับอากาศ- จุด แอล,
การแบ่ง เครื่องปรับอากาศมีความสัมพันธ์ 
. จุด พี
ทางแยกของเส้น วทและ ในแอล
ลบออกจากบรรทัด เอบีที่ระยะห่าง 1.5. หาความยาวของด้าน เอบี
สารละลาย.จากคะแนน รและ กับวางฉากตั้งฉากกัน ประชาสัมพันธ์และ ซมโดยตรง เอบี. แสดงว่า 
,
,
,
(รูปที่ 18) โดยทฤษฎีบทของ Menelaus สำหรับรูปสามเหลี่ยม เอเคซีและแยก พีแอลเขียนสมการที่ถูกต้อง: 
ที่เราได้รับนั้น 
,
. ข้าว. 18
จากความเหมือนของสามเหลี่ยม ถึงอสมและ ถึงร.ป.ภ(สองมุม) เราเข้าใจแล้ว 
ซึ่งก็เป็นไปตามนั้น 
.
ตอนนี้รู้ความยาวของความสูงที่ลากไปด้านข้าง เอบีสามเหลี่ยม เอบีเอสและพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้ เราคำนวณความยาวของด้าน: 
.
คำตอบ. 4.
ว 
นรก13.
วงกลมสามวงที่มีจุดศูนย์กลาง ก,ใน,กับ,
ซึ่งรัศมีที่เกี่ยวข้องเป็น 
สัมผัสกันภายนอกที่จุดต่างๆ เอ็กซ์, วาย, Zดังแสดงในรูปที่ 19. ส่วนงาน ขวานและ โดยตัดกันที่จุด อ.
ในอัตราส่วนเท่าใด นับจากจุด ข, ส่วนของเส้นตรง รัสเซียแบ่งส่วน โดย?
สารละลาย.แสดงว่า 
,
,
(รูปที่ 19) เพราะ 
จากนั้นโดยการยืนยัน b) ของทฤษฎีบทของ Ceva ส่วน กเอ็กซ์, โดยและ กับZตัดกันที่จุดหนึ่ง อ. จากนั้นเซกเมนต์ รัสเซียแบ่งส่วน โดยมีความสัมพันธ์ 
. มาหาความสัมพันธ์นี้กันเถอะ ข้าว. 19
โดยทฤษฎีบทของ Menelaus สำหรับรูปสามเหลี่ยม พ.ศและแยก วัวเรามี: 
ซึ่งก็เป็นไปตามนั้น 
.
คำตอบ.
.
งาน 14 (USE-2016)
คะแนน ใน 1 และ กับ เครื่องปรับอากาศและ เอบีสามเหลี่ยม เอบีซี, นอกจากนี้ เอบี 1:ข 1 กับ
=
= เครื่องปรับอากาศ 1:กับ 1 ข. โดยตรง BB 1
และ สส 1
ตัดกันที่จุด เกี่ยวกับ.
ก 
) พิสูจน์ได้ว่าเส้น จสแบ่งครึ่งด้านข้าง ดวงอาทิตย์.
เอบี 1 อค 1 ถึงพื้นที่ของสามเหลี่ยม เอบีซีหากเป็นที่ทราบกันดีว่า เอบี 1:ข 1 กับ = 1:4.
สารละลาย.ก) ให้สาย อบจ ข้ามด้านข้าง พ.ศ ที่จุด ก 1 (รูปที่ 20) จากทฤษฎีบทของ Ceva เราได้:
.
(9)
เพราะ เอบี 1:ข 1 กับ
= เครื่องปรับอากาศ 1:กับ 1 ขแล้วมันตามมาจากความเสมอภาค (9) ว่า 
, นั่นคือ แคลิฟอร์เนีย 1 = ก 1 ขซึ่งจะต้องได้รับการพิสูจน์ ข้าว. 20
b) ให้พื้นที่ของสามเหลี่ยม เอบี 1 อ เท่ากับ ส. เพราะ เอบี 1:ข 1 กับ ซี.บี 1 อ เท่ากับ 4 ส, และพื้นที่ของสามเหลี่ยม อคส เท่ากับ 5 ส. แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยม อบก ก็เท่ากับ 5 เช่นกัน สตั้งแต่รูปสามเหลี่ยม อบก และ อคสมีพื้นฐานร่วมกัน อบจและจุดยอดของพวกเขา ขและ คระยะเท่ากันจากเส้น อบจ. และพื้นที่ของสามเหลี่ยม อคส 1 เท่ากับ ส, เพราะ เครื่องปรับอากาศ 1:กับ 1 ข = 1:4. แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยม เอบีบี 1 เท่ากับ 6 ส. เพราะ เอบี 1:ข 1 กับ= 1:4 แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยม ซี.บี 1 อ เท่ากับ 24 ส, และพื้นที่ของสามเหลี่ยม เอบีซี เท่ากับ 30 ส. ทีนี้มาหาอัตราส่วนของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมกัน เอบี 1 อค 1 (2ส) ไปยังพื้นที่ของสามเหลี่ยม เอบีซี (30ส) เท่ากับ 1:15
คำตอบ. 1:15.
งาน 15 (USE-2016)
คะแนน ใน 1 และ กับ 1 นอนตะแคงตามลำดับ เครื่องปรับอากาศและ เอบีสามเหลี่ยม เอบีซี, นอกจากนี้ เอบี 1:ข 1 กับ
=
= เครื่องปรับอากาศ 1:กับ 1 ข. โดยตรง BB 1
และ สส 1
ตัดกันที่จุด เกี่ยวกับ.
ก) พิสูจน์ว่าเส้น จสแบ่งครึ่งด้านข้าง ดวงอาทิตย์.
b) ค้นหาอัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม เอบี 1 อค 1 ถึงพื้นที่ของสามเหลี่ยม เอบีซีหากเป็นที่ทราบกันดีว่า เอบี 1:ข 1 กับ = 1:3.
คำตอบ. 1:10.
ว 
ภารกิจที่ 16 (USE-2016).ในส่วนของ พจุดที่ถ่าย กับ. เส้นแบ่งครึ่ง บีแอล เอบีซีพร้อมฐาน ดวงอาทิตย์ บีแอลดีพร้อมฐาน พ.
ก) พิสูจน์สามเหลี่ยมนั้น ดีซีแอลหน้าจั่ว.
b) เป็นที่ทราบกันดีว่า cos 
เอบีซี DL เช่น สามเหลี่ยม BDจุดที่ถ่าย กับ. เส้นแบ่งครึ่ง บีแอลสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เอบีซีพร้อมฐาน ดวงอาทิตย์เป็นด้านด้านข้างของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว บีแอลดีพร้อมฐาน พ.
ก) พิสูจน์สามเหลี่ยมนั้น ดีซีแอลหน้าจั่ว.
b) เป็นที่ทราบกันดีว่า cos เอบีซี= . ทางตรงเป็นอย่างไร ดล แบ่งข้าง เอบี?
คำตอบ. 4:21.
วรรณกรรม
1. Smirnova I.M. , Smirnov V.A. จุดและเส้นสามเหลี่ยมที่ยอดเยี่ยม ม.: คณิตศาสตร์, 2549, ครั้งที่ 17.
2. Myakishev A.G. องค์ประกอบเรขาคณิตสามเหลี่ยม (ชุด "ห้องสมุด" คณิตศาสตร์ศึกษา""). ม.: MTsNMO, 2545. - 32 น.
3. เรขาคณิต บทเพิ่มเติมสำหรับหนังสือเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนของโรงเรียนและชั้นเรียนที่มีการศึกษาเชิงลึก / ล. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev และคนอื่น ๆ - M.: Vita-Press, 2548. - 208 p.
4. Erdniev P. , Mantsaev N. Cheva และทฤษฎีบท Menelaus M.: Kvant, 1990, No. 3, หน้า 56–59.
5. Sharygin I.F. ทฤษฎีบทของ Ceva และ Menelaus มอสโก: Kvant, 1976, No. 11, หน้า 22–30
6. วาวิลอฟ วี.วี. ค่ามัธยฐานและเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม ม.: คณิตศาสตร์, 2549, ครั้งที่ 1.
7. Efremov Dm. เรขาคณิตสามเหลี่ยมใหม่ โอเดสซา 2445 - 334 น.
8. คณิตศาสตร์. งานทดสอบทั่วไป 50 แบบ / IV ยาชเชนโก, M.A. โวลเควิช, ไอ.อาร์. Vysotsky และอื่น ๆ ; เอ็ด IV ยาชเชนโก้. - ม.: สำนักพิมพ์ "สอบ", 2559. - 247 น.
ทฤษฎีบทของเชวาและเมเนเลา
ทฤษฎีบทของเซวา
สามารถรับจุดที่น่าทึ่งส่วนใหญ่ของสามเหลี่ยมได้โดยใช้ขั้นตอนต่อไปนี้ ให้มีกฎบางอย่างตามที่เราสามารถเลือกจุดใดจุดหนึ่งได้ 1 ที่ด้าน BC (หรือส่วนขยาย) ของสามเหลี่ยม ABC (เช่น เลือกจุดกึ่งกลางของด้านนี้) จากนั้นเราสร้างจุดที่คล้ายกัน B 1 , ซี 1 บนอีกสองด้านของสามเหลี่ยม (ในตัวอย่างของเรา มีจุดกึ่งกลางของด้านอีกสองจุด) หากกฎการเลือกสำเร็จ ให้สั่ง AA 1 , บีบี 1 , ซีซี 1 ตัดกันที่บางจุด Z (แน่นอนว่าการเลือกจุดกึ่งกลางของด้านในแง่นี้ถือว่าประสบความสำเร็จ เนื่องจากค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง)
ฉันต้องการมีวิธีการทั่วไปที่ช่วยให้เราสามารถกำหนดจากตำแหน่งของจุดที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมว่าเส้นสามเส้นที่สอดคล้องกันตัดกันที่จุดหนึ่งหรือไม่
เงื่อนไขสากลที่ "ปิด" ปัญหานี้พบในปี ค.ศ. 1678 โดยวิศวกรชาวอิตาลีจิโอวานนี่ เซวา .
คำนิยาม. ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมที่มีจุดอยู่ด้านตรงข้ามกัน (หรือส่วนต่อขยาย) เรียกว่าซีเวียน (cevian) หากตัดกันที่จุดหนึ่ง
มีสองตัวเลือกสำหรับตำแหน่งของซีเวียน ในเวอร์ชันเดียวประเด็น
ทางแยกอยู่ภายในและปลายซีเวียนอยู่ที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ในเวอร์ชันที่สอง จุดตัดจะอยู่ภายนอก ส่วนปลายของซีเวียนหนึ่งอยู่ด้านข้าง และปลายของซีเวียนอีกสองอันอยู่ที่ส่วนต่อขยายของด้านข้าง (ดูภาพวาด)
ทฤษฎีบท 3 (ทฤษฎีบทโดยตรงของ Ceva) ในรูปสามเหลี่ยม ABC ตามอำเภอใจที่ด้าน BC, CA, AB หรือส่วนขยาย จุด A จะถูกนำมาตามลำดับ 1 , ใน 1 , กับ 1 เช่นนั้นโดยตรงเอเอ 1 , บีบี 1 , สสส 1 ตัดกันที่จุดร่วมบางจุดแล้ว
.
การพิสูจน์: เนื่องจากมีข้อพิสูจน์ดั้งเดิมหลายข้อเกี่ยวกับทฤษฎีบทของ Ceva เราจะพิจารณาข้อพิสูจน์โดยพิจารณาจากการใช้ทฤษฎีบท Menelaus สองครั้ง ให้เราเขียนความสัมพันธ์ของทฤษฎีบทของ Menelaus เป็นครั้งแรกสำหรับรูปสามเหลี่ยมเอบีบี 1 และซีแคนต์ ซีซี 1 (เราระบุจุดตัดของซีเวียนZ):
,
และครั้งที่สองสำหรับรูปสามเหลี่ยมข 1 พ.ศและแยก เอ.เอ 1 :
.
การคูณความสัมพันธ์ทั้งสองนี้เข้าด้วยกัน การลดลงที่จำเป็น เราจะได้ความสัมพันธ์ที่มีอยู่ในคำแถลงของทฤษฎีบท
ทฤษฎีบทที่ 4 (ทฤษฎีบทผกผัน Ceva) . ถ้าสำหรับผู้ที่เลือกด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม เอบีซี หรือส่วนขยายของคะแนน ก 1 , ใน 1 และ ค 1 เงื่อนไขของ Ceva เป็นที่น่าพอใจ:
,
จากนั้นตรง เอ.เอ 1 , BB 1 และ ซีซี 1 ตัดกันที่จุดหนึ่ง .
การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ดำเนินการโดยความขัดแย้ง เช่นเดียวกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเมเนลอส
ให้เราพิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทโดยตรงและผกผันของ Ceva
ตัวอย่างที่ 3 พิสูจน์ว่าค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง.
สารละลาย. พิจารณาความสัมพันธ์
สำหรับจุดยอดของสามเหลี่ยมและจุดกึ่งกลางของด้าน เห็นได้ชัดว่า ในแต่ละเศษส่วนในตัวเศษและตัวส่วนมีส่วนเท่ากัน ดังนั้นเศษส่วนเหล่านี้ทั้งหมดจึงเท่ากับหนึ่ง ดังนั้นความสัมพันธ์ของ Ceva จึงเป็นไปตามทฤษฎีบทผกผัน ค่ามัธยฐานตัดกันที่จุดหนึ่ง
ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทของ Ceva) . ปล่อยให้คะแนน นอนตะแคงและสามเหลี่ยม ตามลำดับ ปล่อยให้ส่วนต่างๆและ ตัดกันที่จุดหนึ่ง แล้ว
(ไปรอบ ๆ สามเหลี่ยมตามเข็มนาฬิกา).
การพิสูจน์.แสดงโดย จุดตัดของส่วนต่างๆและ . หล่นจากจุดและ ตั้งฉากกับเส้นก่อนจะตัดกันเป็นจุดๆและ ตามลำดับ (ดูรูป)
เพราะสามเหลี่ยมและ มีด้านร่วมกันจากนั้นพื้นที่ของพวกมันจะสัมพันธ์กันเป็นความสูงที่ลากมาทางด้านนี้ นั่นคือและ :
ความเท่าเทียมกันสุดท้ายเป็นจริงเนื่องจากสามเหลี่ยมมุมฉากและ คล้ายกันในมุมแหลม
ในทำนองเดียวกันเราได้รับ
และ 
ลองคูณความเท่าเทียมกันทั้งสามนี้:
คิวอีดี
เกี่ยวกับค่ามัธยฐาน:
1. วางหน่วยมวลที่จุดยอดของสามเหลี่ยม ABC
2. จุดศูนย์กลางมวลของจุด A และ B อยู่ตรงกลางของ AB จุดศูนย์กลางมวลของระบบทั้งหมดต้องอยู่ที่ค่ามัธยฐานถึงด้าน AB เนื่องจากจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยม ABC เป็นจุดศูนย์กลางมวลของจุดศูนย์กลางมวลของจุด A และ B และจุด C
(มันทำให้สับสน)
3. ในทำนองเดียวกัน - CM จะต้องอยู่บนค่ามัธยฐานด้านข้าง AC และ BC
4. เนื่องจาก CM เป็นจุดเดียว ดังนั้นค่ามัธยฐานทั้งสามนี้จึงต้องตัดกัน
ยังไงก็ตามทันทีที่พวกเขาถูกหารด้วยทางแยกในอัตราส่วน 2: 1 เนื่องจากมวลของจุดศูนย์กลางมวลของจุด A และ B คือ 2 และมวลของจุด C คือ 1 ดังนั้น ศูนย์กลางมวลร่วมตามทฤษฎีบทสัดส่วนจะแบ่งค่ามัธยฐานในอัตราส่วน 2/1
ขอบคุณมาก นำเสนอในลักษณะที่เข้าถึงได้ ฉันคิดว่าคงไม่ฟุ่มเฟือยที่จะพิสูจน์โดยใช้วิธีการทางเรขาคณิตเชิงมวล ตัวอย่างเช่น:
เส้น AA1 และ CC1 ตัดกันที่จุด O; AC1: C1B = p และ BA1: A1C = q เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่าเส้น BB1 ผ่านจุด O ก็ต่อเมื่อ CB1: B1A = 1: pq
ให้เราวางมวล 1, p และ pq ตามลำดับ ที่จุด A, B และ C จากนั้น จุด C1 คือจุดศูนย์กลางมวลของจุด A และ B และจุด A1 คือจุดศูนย์กลางมวลของจุด B และ C ดังนั้น จุดศูนย์กลางมวลของจุด A, B และ C ที่มีมวลที่กำหนดคือจุด O ของ จุดตัดของเส้น CC1 และ AA1 ในทางกลับกัน จุด O อยู่บนส่วนที่เชื่อมต่อจุด B โดยมีจุดศูนย์กลางมวลของจุด A และ C ถ้า B1 เป็นจุดศูนย์กลางมวลของจุด A และ C ที่มีมวล 1 และ pq ดังนั้น AB1: B1C = pq: 1. ยังคงต้องสังเกตว่าในส่วน AC มีจุดเดียวที่แบ่งในอัตราส่วนนี้ AB1: B1C
2. ทฤษฎีบทของเซวา
ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมโดยมีจุดบางจุดที่อยู่ด้านตรงข้ามเรียกว่าซีเวียน่า . ดังนั้น ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยมเอบีซี เอ็กซ์ , วาย และ Z - จุดด้านข้างพ.ศ , แคลิฟอร์เนีย , เอบี ตามลำดับจากนั้นจึงแยกส่วนขวาน , โดย , รัสเซีย เป็น Chevians คำนี้มาจากนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Giovanni Ceva ซึ่งในปี 1678 ได้ตีพิมพ์ทฤษฎีบทที่มีประโยชน์มากดังต่อไปนี้:
ทฤษฎีบท 1.21. ถ้าสามซีเวียน AX, BY, CZ (หนึ่งจากแต่ละจุดยอด) ของสามเหลี่ยม ABC แข่งขันกันได้ ดังนั้น
|BX||XC|· |CY||ย่า|· |AZ||ZB|=1 .
| ข้าว. 3. |
เมื่อเราพูดว่าสามบรรทัด (หรือส่วน)การแข่งขัน จากนั้นเราหมายความว่าพวกเขาทั้งหมดผ่านจุดหนึ่งซึ่งเราหมายถึงพี . ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Ceva ให้ระลึกว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีความสูงเท่ากันจะเป็นสัดส่วนกับฐานของสามเหลี่ยม อ้างอิงจากรูปที่ 3 เรามี:
|BX||XC|= SABXSAXC= เอสพีบีเอ็กซ์เอสพีเอ็กซ์ซี= SABX-เอสพีบีเอ็กซ์SAXC-เอสพีเอ็กซ์ซี= ศอ.บตสแคป.
เช่นเดียวกัน,
|CY||ย่า|= ศอ.บตศอ.บต, |AZ||ZB|= สแคปศอ.บต.
ทีนี้ ถ้าเราคูณพวกมัน เราจะได้
|BX||XC|· |CY||ย่า|· |AZ||ZB|= ศอ.บตสแคป· ศอ.บตศอ.บต· สแคปศอ.บต=1 .
การผกผันของทฤษฎีบทนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน:
ทฤษฎีบท 1.22. ถ้าซีเวียนสามตัว AX, BY, CZ เป็นไปตามความสัมพันธ์
|BX||XC|· |CY||ย่า|· |AZ||ZB|=1 ,
จากนั้นพวกเขาก็แข่งขันกัน .
เพื่อแสดงสิ่งนี้ สมมติว่า cevians สองอันแรกตัดกันที่จุดนั้นพี เหมือนเดิม และซีเวียนาตัวที่สามผ่านจุดนั้นพี , จะCZ' . จากนั้น โดยทฤษฎีบท 1.21
|BX||XC|· |CY||ย่า|· |AZ'||Z'B|=1 .
แต่โดยสมมติ
|BX||XC|· |CY||ย่า|· |AZ||ZB|=1 .
เพราะฉะนั้น,
|AZ||ZB|= |AZ'||Z'B| ,
จุดซี' ตรงกับประเด็นZ และเราได้พิสูจน์แล้วว่าส่วนต่างๆขวาน , โดย และรัสเซีย การแข่งขัน (, หน้า 54 และ, หน้า 48, 317)
คณิตศาสตร์ - เกรด 10 Mendel Viktor Vasilievich คณบดีคณะวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ คณิตศาสตร์และเทคโนโลยีสารสนเทศ ทฤษฎีบทของ FESGU CHEVA และ MENELAY ทฤษฎีบทที่โดดเด่นสองประการคือ ทฤษฎีบทของ Ceva และทฤษฎีบทของ Menelaus ทฤษฎีบทเหล่านี้ไม่รวมอยู่ในหลักสูตรพื้นฐานของหลักสูตรเรขาคณิตระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย แต่ขอแนะนำให้ศึกษา (และนำไปใช้) สำหรับทุกคนที่สนใจคณิตศาสตร์มากกว่าที่เป็นไปได้ภายใต้กรอบหลักสูตรของโรงเรียน ทำไมทฤษฎีบทเหล่านี้ถึงน่าสนใจ? ประการแรก เราทราบว่าเมื่อแก้ปัญหาทางเรขาคณิต แนวทางสองแนวทางจะรวมกันอย่างมีประสิทธิผล: - วิธีหนึ่งขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของโครงสร้างพื้นฐาน (เช่น สามเหลี่ยม - วงกลม; สามเหลี่ยม - เส้นตัด; สามเหลี่ยม - เส้นสามเส้นผ่าน ผ่านจุดยอดและตัดกันที่จุดหนึ่ง รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันสองด้าน ฯลฯ) และวิธีที่สองคือวิธีการอ้างอิงปัญหา (ปัญหาทางเรขาคณิตอย่างง่าย ซึ่งลดขั้นตอนการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนลง) ดังนั้นทฤษฎีบทของ Menelaus และ Ceva จึงเป็นโครงสร้างที่พบได้บ่อยที่สุด: อันแรกพิจารณารูปสามเหลี่ยม, ด้านหรือส่วนขยายของด้านข้างซึ่งถูกข้ามด้วยเส้นบางเส้น (secant), อันที่สองเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและเส้นสามเส้นผ่าน จุดยอดของมันตัดกันที่จุดหนึ่ง ทฤษฎีบทของ Menelaus ทฤษฎีบทของความสัมพันธ์ที่สังเกตได้ (ร่วมกับส่วนผกผัน) นี้แสดงส่วน ความสม่ำเสมอ การเชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมและจุดตัดของส่วนตัดกับด้าน (ส่วนขยายของด้านข้าง) ของรูปสามเหลี่ยม ภาพวาดแสดงสองกรณีที่เป็นไปได้ของตำแหน่งของสามเหลี่ยมและส่วนตัด ในกรณีแรก เส้นตัดจะตัดสองด้านของรูปสามเหลี่ยมและความต่อเนื่องของด้านที่สาม ในส่วนที่สอง - ความต่อเนื่องของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ทฤษฎีบท 1. (เมเนลอส) ให้ ABC ตัดด้วยเส้นที่ไม่ขนานกับด้าน AB และตัดสองด้านของ AC และ BC ตามลำดับ ที่จุด B1 และ A1 และเส้น AB ที่จุด C1 แล้ว AB1 CA1 BC1 1. ทฤษฎีบท B1C A1B C1 A 2. (ตรงกันข้ามกับทฤษฎีบทของเมเนลอส) ให้จุด A1, B1, C1 ในรูปสามเหลี่ยม ABC อยู่ในเส้น BC, AC, AB ตามลำดับ แล้ว ถ้า AB1 CA1 BC1 1 B1C A1B C1 A แล้วจุด A1, B1, C1 จะอยู่บนเส้นตรงหนึ่งเส้น การพิสูจน์ทฤษฎีบทแรกสามารถทำได้ดังนี้: เส้นตั้งฉากจากจุดยอดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมจะลดระดับลงมาที่เส้นตัด ผลลัพธ์คือสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกันสามคู่ อัตราส่วนของส่วนที่ปรากฏในการกำหนดทฤษฎีบทจะถูกแทนที่ด้วยอัตราส่วนของเส้นตั้งฉากที่สอดคล้องกันในความคล้ายคลึงกัน ปรากฎว่าแต่ละส่วน - ตั้งฉากในเศษส่วนจะมีอยู่สองครั้ง: หนึ่งครั้งในเศษส่วนหนึ่งในตัวเศษ ครั้งที่สอง ในเศษส่วนอื่น ในตัวส่วน ดังนั้นผลคูณของอัตราส่วนทั้งหมดนี้จะเท่ากับหนึ่ง ทฤษฎีบทตรงกันข้ามได้รับการพิสูจน์โดยวิธี "โดยความขัดแย้ง" สันนิษฐานว่าภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบท 2 จุด A1, B1, C1 ไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว จากนั้นเส้น A1B1 จะตัดกับด้าน AB ที่จุด C2 ซึ่งแตกต่างจากจุด C1 ในกรณีนี้ โดยอาศัยทฤษฎีบทที่ 1 ความสัมพันธ์เดียวกันจะคงไว้สำหรับจุด A1, B1, C2 เช่นเดียวกับจุด A1, B1, C1 จากนี้เป็นไปตามที่จุด C1 และ C2 จะแบ่งส่วน AB ในสัดส่วนที่เท่ากัน จากนั้นประเด็นเหล่านี้ก็ตรงกัน - เรามีความขัดแย้ง พิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบท Menelaus ตัวอย่างที่ 1 พิสูจน์ว่าค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมที่จุดตัดนั้นหารด้วยอัตราส่วน 2:1 โดยนับจากจุดยอด สารละลาย. ให้เราเขียนอัตราส่วนที่ได้รับในทฤษฎีบท Menelaus สำหรับสามเหลี่ยม ABMb และเส้น McM(C): AM c BM M bC 1 M c B MM b CA เศษส่วนแรกในผลคูณนี้จะเท่ากับ 1 และอัตราส่วนวินาทีที่สามเท่ากับ 1 ดังนั้น 2 2:1 ซึ่งจะต้องได้รับการพิสูจน์ ตัวอย่างที่ 2 เส้นแบ่งตัดกับส่วนขยายของด้าน AC ของสามเหลี่ยม ABC ที่จุด B1 ดังนั้นจุด C จึงเป็นจุดกึ่งกลางของส่วน AB1 ด้าน AB ถูกแบ่งโดยส่วนนี้ หาอัตราส่วนที่แบ่งด้าน BC? สารละลาย. ให้เราเขียนสามเหลี่ยมและตัดผลคูณของอัตราส่วนสามส่วนจากทฤษฎีบทเมเนลอส: AB1 CA1 BC1 1 B1C A1B C1 A จากเงื่อนไขของโจทย์ที่ว่าอัตราส่วนแรกเท่ากับหนึ่ง และ ที่สาม 1 , 2 ดังนั้น อัตราส่วนที่สองจะเท่ากับ 2 นั่นคือ นั่นคือ ซีแคนต์แบ่งด้าน BC ในอัตราส่วน 2:1 เราจะพบกับตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเมเนลอสต่อไปนี้เมื่อเราพิจารณาการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเซวา ทฤษฎีบทของเซวา จุดที่น่าทึ่งส่วนใหญ่ของสามเหลี่ยมสามารถหาได้จากขั้นตอนต่อไปนี้ ให้มีกฎบางอย่างที่เราสามารถเลือกจุด A1 ที่ด้าน BC (หรือส่วนขยายของมัน) ของสามเหลี่ยม ABC (ตัวอย่างเช่น เราเลือกจุดกึ่งกลางของด้านนี้) จากนั้นเราสร้างจุดที่คล้ายกัน B1, C1 บนอีกสองด้านของสามเหลี่ยม (ในตัวอย่างของเรา มีจุดกึ่งกลางของด้านอีกสองจุด) หากกฎการเลือกสำเร็จ เส้น AA1, BB1, CC1 จะตัดกันที่บางจุด Z (แน่นอนว่าการเลือกจุดกึ่งกลางของด้านข้างนั้นประสบความสำเร็จในแง่นี้ เนื่องจากค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง) . ฉันต้องการมีวิธีการทั่วไปที่ช่วยให้เราสามารถกำหนดจากตำแหน่งของจุดที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมว่าเส้นสามเส้นที่สอดคล้องกันตัดกันที่จุดหนึ่งหรือไม่ เงื่อนไขสากลที่ "ปิด" ปัญหานี้พบในปี ค.ศ. 1678 โดยวิศวกรชาวอิตาลี Giovanni Ceva คำนิยาม. ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมที่มีจุดอยู่ด้านตรงข้ามกัน (หรือส่วนต่อขยาย) เรียกว่าซีเวียน (cevian) หากตัดกันที่จุดหนึ่ง มีสองตัวเลือกสำหรับตำแหน่งของซีเวียน ในรูปลักษณ์หนึ่ง จุดตัดกันอยู่ภายใน และปลายซีเวียนอยู่ที่ด้านข้างของสามเหลี่ยม ในเวอร์ชันที่สอง จุดตัดจะอยู่ภายนอก ส่วนปลายของซีเวียนหนึ่งอยู่ด้านข้าง และปลายของซีเวียนอีกสองอันอยู่ที่ส่วนต่อขยายของด้านข้าง (ดูภาพวาด) ทฤษฎีบท 3. (ทฤษฎีบทโดยตรงของ Ceva) ในรูปสามเหลี่ยม ABC ตามอำเภอใจที่ด้านข้าง BC, CA, AB หรือส่วนขยาย จุด A1, B1, C1 จะถูกนำมาตามลำดับ เพื่อให้เส้น AA1, BB1, CC1 ตัดกันที่จุดร่วมบางจุด แล้ว BA1 CB1 AC1 1 CA1 AB1 BC1 ข้อพิสูจน์: พิสูจน์ทฤษฎีบทของ Ceva ดั้งเดิมหลายข้อเป็นที่ทราบกันดี เราจะพิจารณาข้อพิสูจน์โดยพิจารณาจากการใช้ทฤษฎีบท Menelaus สองครั้ง ให้เราเขียนความสัมพันธ์ของทฤษฎีบทเมเนลอสเป็นครั้งแรกสำหรับสามเหลี่ยม ABB1 และซีแคนต์ CC1 (เราระบุจุดตัดซีเวียนด้วย Z): AC1 BZ B1C 1, C1B ZB1 CA และครั้งที่สองสำหรับสามเหลี่ยม B1BC และซีแคนต์ AA1: B1Z BA1 CA 1. ZB A1C AB1 การคูณความสัมพันธ์ทั้งสองนี้และทำการลดลงที่จำเป็น เราจะได้ความสัมพันธ์ที่อยู่ในประโยคคำสั่งของทฤษฎีบท ทฤษฎีบทที่ 4. (ทฤษฎีบทผกผัน Ceva). หากเลือกจุด A1, B1 และ C1 ที่ด้านข้างของสามเหลี่ยม ABC หรือส่วนต่อของสามเหลี่ยมนั้น เป็นไปตามเงื่อนไข Ceva: BA1 CB1 AC1 1 CA1 AB1 BC1 แล้วเส้น AA1, BB1 และ CC1 ตัดกันที่จุดหนึ่ง . การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ดำเนินการโดยความขัดแย้ง เช่นเดียวกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเมเนลอส ให้เราพิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทโดยตรงและผกผันของ Ceva ตัวอย่างที่ 3 พิสูจน์ว่าค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง สารละลาย. พิจารณาความสัมพันธ์ AC1 BA1 CB1 C1B A1C B1 A สำหรับจุดยอดของสามเหลี่ยมและจุดกึ่งกลางของด้าน เห็นได้ชัดว่า ในแต่ละเศษส่วนในตัวเศษและตัวส่วนมีส่วนเท่ากัน ดังนั้นเศษส่วนเหล่านี้ทั้งหมดจึงเท่ากับหนึ่ง ดังนั้นความสัมพันธ์ของ Ceva จึงเป็นไปตามทฤษฎีบทผกผัน ค่ามัธยฐานตัดกันที่จุดหนึ่ง งานสำหรับการแก้ปัญหาอิสระ งานที่นำเสนอนี้เป็นงานควบคุมหมายเลข 1 สำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 แก้ไขปัญหาเหล่านี้เขียนวิธีแก้ปัญหาลงในสมุดบันทึกแยกต่างหาก (จากฟิสิกส์และวิทยาการคอมพิวเตอร์) ระบุข้อมูลต่อไปนี้เกี่ยวกับตัวคุณบนหน้าปก: 1. นามสกุล, ชื่อจริง, ชั้นเรียน, โปรไฟล์ชั้นเรียน (เช่น Vasily Pupkin, เกรด 9, คณิตศาสตร์) 2. รหัสไปรษณีย์, ที่อยู่, อีเมล (ถ้ามี) เบอร์โทรศัพท์ (บ้าน หรือ มือถือ ) 3. ข้อมูลเกี่ยวกับโรงเรียน (เช่น MBOU No. 1 p. Bikin) 4. นามสกุล ชื่อของอาจารย์สอนคณิตศาสตร์ (เช่น: อาจารย์สอนคณิตศาสตร์ Petrova M.I.) ขอแนะนำให้แก้ปัญหาอย่างน้อยสี่ข้อ ม.9.1.1. เส้นตัดจากทฤษฎีบทของ Menelaus สามารถตัดด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ค) 3, 5, 6, 7, 7, 10 ถ้าเป็นไปได้ ให้ยกตัวอย่าง กลุ่มสามารถไปในลำดับที่แตกต่างกัน ม.9.1.2. ซีเวียนภายในของสามเหลี่ยมสามารถแบ่งด้านออกเป็นส่วนๆ ได้หรือไม่: ก) 3, 3, 5, 7,10, 14; ค) 3, 5, 6, 7, 7, 10 ถ้าเป็นไปได้ ให้ยกตัวอย่าง กลุ่มสามารถไปในลำดับที่แตกต่างกัน คำแนะนำ: เมื่อคิดตัวอย่าง อย่าลืมตรวจสอบว่ารูปสามเหลี่ยมไม่เท่ากันหรือไม่ ม.9.1.3. ใช้ทฤษฎีบทผกผันของ Ceva พิสูจน์ว่า: ก) เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง; b) ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมกับจุดที่อยู่ด้านตรงข้าม ซึ่งด้านเหล่านี้สัมผัสกับวงกลมที่จารึกไว้ ตัดกันที่จุดหนึ่ง คำแนะนำ: ก) จำไว้ว่าเส้นแบ่งครึ่งแบ่งด้านตรงข้ามในแง่ใด b) ใช้คุณสมบัติที่ส่วนของเส้นสัมผัสสองเส้นที่ดึงจากจุดหนึ่งไปยังวงกลมมีค่าเท่ากัน ม.9.1.4. พิสูจน์ทฤษฎีบทของ Menelaus ที่เริ่มต้นในส่วนแรกของบทความให้สมบูรณ์ ม.9.1.5. พิสูจน์ว่าความสูงของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งโดยใช้ทฤษฎีบทผกผันของ Ceva ม.9.1.6. พิสูจน์ทฤษฎีบทของซิมป์สัน: จากจุด M ที่กำหนดโดยพลการบนวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC, ตั้งฉากกับด้านข้างหรือขยายด้านข้างของสามเหลี่ยม, พิสูจน์ว่าฐานของเส้นตั้งฉากเหล่านี้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน คำแนะนำ: ใช้ทฤษฎีบทผกผันของ Menelaus พยายามแสดงความยาวของส่วนที่ใช้ในความสัมพันธ์ในรูปของความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุด M นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ในการระลึกถึงคุณสมบัติของมุมของรูปสี่เหลี่ยมที่เขียนไว้