บ้าน » ฟิสิกส์

อสมการลอการิทึมเชิงซ้อน อสมการลอการิทึม - ความรู้ ไฮเปอร์มาร์เก็ต อสมการลอการิทึม เครื่องคิดเลขออนไลน์

โดยมีลอการิทึมอยู่ภายใน

ตัวอย่าง:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

วิธีแก้อสมการลอการิทึม:

เราควรพยายามลดอสมการลอการิทึมให้อยู่ในรูปแบบ \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (สัญลักษณ์ \(˅\) หมายถึงค่าใดๆ ของ ) ประเภทนี้ช่วยให้คุณกำจัดลอการิทึมและฐานของพวกมัน ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันของนิพจน์ภายใต้ลอการิทึม ซึ่งก็คือ เป็นรูปแบบ \(f(x) ˅ g(x)\)

แต่เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงนี้ มีรายละเอียดปลีกย่อยที่สำคัญอย่างหนึ่ง:
\(-\) ถ้าเป็นตัวเลขและมากกว่า 1 เครื่องหมายอสมการจะยังคงเหมือนเดิมระหว่างการเปลี่ยนผ่าน
\(-\) ถ้าฐานเป็นตัวเลขที่มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 (อยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง) เครื่องหมายอสมการควรเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม กล่าวคือ

ตัวอย่าง:

\(\log_2⁡((8-x))<1\)
ODZ: \(8-x>0\)
\(-x>-8\)
\(x<8\)

สารละลาย:
\(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\)
\(8-x\)\(<\) \(2\)
\(8-2\(x>6\)
คำตอบ: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ 1))\)
ODZ: \(\begin(กรณี)2x-4>0\\x+1 > 0\end(กรณี)\)
\(\begin(กรณี)2x>4\\x > -1\end(กรณี)\) \(\ลูกศรซ้าย\) \(\begin(กรณี)x>2\\x > -1\end(กรณี) \) \(\ลูกศรซ้าย\) \(x\in(2;\infty)\)

สารละลาย:
\(2x-4\)\(≤\) \(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
คำตอบ: \((2;5]\)

สำคัญมาก!ในความไม่เท่าเทียมกันใดๆ การเปลี่ยนจากรูปแบบ \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) ไปเป็นการเปรียบเทียบนิพจน์ภายใต้ลอการิทึมสามารถทำได้ก็ต่อเมื่อ:


ตัวอย่าง . แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: \(\log\)\(≤-1\)

สารละลาย:

\(\บันทึก\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)

มาเขียน ODZ กันดีกว่า

ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)

\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)

เราเปิดวงเล็บแล้วนำมา .

\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)

เราคูณอสมการด้วย \(-1\) โดยไม่ลืมกลับเครื่องหมายการเปรียบเทียบ

\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)

\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)

มาสร้างเส้นจำนวนและทำเครื่องหมายจุด \(\frac(7)(3)\) และ \(\frac(3)(2)\) บนเส้นนั้น โปรดทราบว่าจุดจะถูกลบออกจากตัวส่วน แม้ว่าอสมการจะไม่เข้มงวดก็ตาม ความจริงก็คือประเด็นนี้ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา เนื่องจากเมื่อแทนค่าอสมการแล้ว จะนำเราไปสู่การหารด้วยศูนย์


\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

ตอนนี้เราพล็อต ODZ บนแกนตัวเลขเดียวกันและเขียนลงเพื่อตอบสนองต่อช่วงเวลาที่ตกอยู่ใน ODZ


เราเขียนคำตอบสุดท้าย

คำตอบ: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

ตัวอย่าง . แก้อสมการ: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

สารละลาย:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

มาเขียน ODZ กันดีกว่า

ODZ: \(x>0\)

มาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า

วิธีแก้ไข: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

ตรงนี้เรามีอสมการกำลังสองลอการิทึมทั่วไป มาทำกัน.

\(t=\log_3⁡x\)
\(t^2-t-2>0\)

เราขยายด้านซ้ายของอสมการเป็น

\(ง=1+8=9\)
\(t_1= \frac(1+3)(2)=2\)
\(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)

ตอนนี้เราต้องกลับไปสู่ตัวแปรเดิม - x เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ไปที่ ซึ่งมีวิธีแก้ปัญหาเหมือนกัน และทำการทดแทนแบบย้อนกลับ

\(\left[ \begin(รวบรวม) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)

แปลง \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\)

\(\left[ \begin(รวบรวม) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

มาดูการเปรียบเทียบข้อโต้แย้งกันดีกว่า ฐานของลอการิทึมมีค่ามากกว่า \(1\) ดังนั้นเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกันจึงไม่เปลี่ยนแปลง

\(\left[ \begin(รวบรวม) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

ให้เรารวมวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันและ ODZ ไว้ในรูปเดียว


มาเขียนคำตอบกัน

คำตอบ: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

เมื่อแก้อสมการลอการิทึม เราใช้คุณสมบัติเอกพจน์ของฟังก์ชันลอการิทึม นอกจากนี้เรายังใช้คำจำกัดความของลอการิทึมและสูตรลอการิทึมพื้นฐาน

เรามาทบทวนกันว่าลอการิทึมคืออะไร:

ลอการิทึมจำนวนบวกที่ฐานเป็นตัวบ่งชี้ถึงกำลังที่ต้องยกขึ้นเพื่อให้ได้

โดยที่

ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน:

สูตรพื้นฐานสำหรับลอการิทึม:

(ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึม)

(ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม)

(สูตรลอการิทึมกำลัง)

สูตรการย้ายฐานใหม่:

อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการลอการิทึม

เราสามารถพูดได้ว่าอสมการลอการิทึมได้รับการแก้ไขโดยใช้อัลกอริธึมเฉพาะ เราจำเป็นต้องเขียนช่วงของค่าที่ยอมรับได้ (APV) ของความไม่เท่าเทียมกัน ลดความไม่เท่าเทียมกันลงในแบบฟอร์ม เครื่องหมายที่นี่สามารถเป็นอะไรก็ได้: สิ่งสำคัญคือทางด้านซ้ายและด้านขวาในความไม่เท่าเทียมกันจะต้องมีลอการิทึมเป็นฐานเดียวกัน

และหลังจากนั้น เราก็ "ละทิ้ง" ลอการิทึม! นอกจากนี้ หากฐานเป็นระดับ เครื่องหมายอสมการจะยังคงเหมือนเดิม หากฐานเป็นเช่นนั้นสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม

แน่นอนว่าเราไม่เพียงแค่ "ทิ้ง" ลอการิทึมเท่านั้น เราใช้คุณสมบัติ monotonicity ของฟังก์ชันลอการิทึม ถ้าฐานของลอการิทึมมากกว่าหนึ่ง ฟังก์ชันลอการิทึมจะเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน จากนั้นค่า x ที่มากขึ้นจะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของนิพจน์

ถ้าฐานมากกว่าศูนย์และน้อยกว่าหนึ่ง ฟังก์ชันลอการิทึมจะลดลงแบบโมโนโทนิก ค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์ x จะสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่า

หมายเหตุสำคัญ: วิธีที่ดีที่สุดคือเขียนวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบของลูกโซ่ของการเปลี่ยนภาพที่เทียบเท่ากัน

เรามาฝึกกันต่อ เช่นเคย มาเริ่มด้วยอสมการที่ง่ายที่สุดกันก่อน

1. พิจารณาบันทึกอสมการ 3 x > บันทึก 3 5
เนื่องจากลอการิทึมถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนบวกเท่านั้น จึงจำเป็นที่ x จะต้องเป็นบวก เงื่อนไข x > 0 เรียกว่าช่วงของค่าที่อนุญาต (APV) ของความไม่เท่าเทียมกันนี้ เฉพาะ x เท่านั้นที่อสมการนี้สมเหตุสมผล

สูตรนี้ฟังดูน่าสนใจและจดจำได้ง่าย แต่ทำไมเรายังทำเช่นนี้ได้?

เราเป็นคน เรามีสติปัญญา จิตใจของเราได้รับการออกแบบในลักษณะที่ทุกสิ่งที่เป็นตรรกะ เข้าใจได้ และมีโครงสร้างภายใน จะถูกจดจำและนำไปใช้ได้ดีกว่าข้อเท็จจริงแบบสุ่มและไม่เกี่ยวข้องกันมาก นั่นเป็นสาเหตุว่าทำไมการไม่จดจำกฎแบบกลไกเหมือนกับสุนัขคณิตที่ได้รับการฝึกฝนมาจึงเป็นเรื่องสำคัญ แต่ต้องกระทำอย่างมีสติ

แล้วทำไมเราถึงยัง “ปล่อยลอการิทึม” อยู่?

คำตอบนั้นง่ายมาก: หากฐานมีค่ามากกว่าหนึ่ง (เช่นในกรณีของเรา) ฟังก์ชันลอการิทึมจะเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน ซึ่งหมายความว่าค่า x ที่มากกว่าจะสอดคล้องกับค่า y ที่มากกว่า และจากบันทึกอสมการ 3 x 1 > log 3 x 2 ตามมาด้วย x 1 > x 2


โปรดทราบว่าเราได้ก้าวไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันทางพีชคณิตแล้ว และเครื่องหมายความไม่เท่าเทียมกันยังคงเหมือนเดิม

งั้น x > 5

อสมการลอการิทึมต่อไปนี้ก็ทำได้ง่ายเช่นกัน

2. บันทึก 5 (15 + 3x) > บันทึก 5 2x

เริ่มจากช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ลอการิทึมถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนบวกเท่านั้น ดังนั้น

เมื่อแก้ระบบนี้ เราจะได้: x > 0

ทีนี้ลองย้ายจากอสมการลอการิทึมไปเป็นพีชคณิต - "ละทิ้ง" ลอการิทึม เนื่องจากฐานของลอการิทึมมีค่ามากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการจึงยังคงเหมือนเดิม

15 + 3x > 2x

เราได้รับ: x > −15

คำตอบ: x > 0

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานของลอการิทึมน้อยกว่าหนึ่ง? เป็นเรื่องง่ายที่จะเดาว่าในกรณีนี้ เมื่อพิจารณาถึงความไม่เท่าเทียมกันทางพีชคณิต สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนไป

ลองยกตัวอย่าง

มาเขียน ODZ กัน นิพจน์ที่ใช้ลอการิทึมต้องเป็นค่าบวก กล่าวคือ

เมื่อแก้ระบบนี้ เราได้: x > 4.5

เนื่องจาก ฟังก์ชันลอการิทึมที่มีฐานจะลดลงแบบโมโนโทน ซึ่งหมายความว่าค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชันจะสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของอาร์กิวเมนต์:


และถ้าอย่างนั้น
2x - 9 ≤ x

เราได้ x ≤ 9 นั่น

เมื่อพิจารณาว่า x > 4.5 เราจึงเขียนคำตอบ:

ในปัญหาถัดไป อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลจะลดลงเหลืออสมการกำลังสอง ดังนั้นเราจึงแนะนำให้พูดหัวข้อ "อสมการกำลังสอง" ซ้ำ

ตอนนี้สำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อนมากขึ้น:

4. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

5. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

ถ้าอย่างนั้น. เราโชคดี! เรารู้ว่าฐานของลอการิทึมนั้นมากกว่าหนึ่งสำหรับค่าทั้งหมดของ x ที่รวมอยู่ใน ODZ

มาทำการเปลี่ยนกันเถอะ

โปรดทราบว่าก่อนอื่นเราจะแก้อสมการโดยสมบูรณ์ด้วยความเคารพต่อตัวแปรใหม่ t และหลังจากนั้นเราก็กลับคืนสู่ตัวแปร x จำสิ่งนี้ไว้และอย่าทำผิดพลาดในการสอบ!

ขอให้เราจำกฎนี้ไว้: หากสมการหรืออสมการมีราก เศษส่วน หรือลอการิทึม การแก้ปัญหาจะต้องเริ่มต้นจากช่วงของค่าที่ยอมรับได้ เนื่องจากฐานของลอการิทึมต้องเป็นค่าบวกและไม่เท่ากับ 1 เราจึงได้ระบบเงื่อนไข:

มาทำให้ระบบนี้ง่ายขึ้น:

นี่คือช่วงของค่าอสมการที่ยอมรับได้

เราจะเห็นว่าตัวแปรนั้นอยู่ในฐานของลอการิทึม เรามาต่อกันที่ฐานถาวรกันดีกว่า ให้เราเตือนคุณว่า

ในกรณีนี้ไปฐาน 4 ก็ได้ครับ


มาทำการเปลี่ยนกันเถอะ

มาลดความซับซ้อนของอสมการและแก้ไขโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

ลองกลับมาที่ตัวแปรกัน x:


เราได้เพิ่มเงื่อนไข x> 0 (จาก ODZ)

7. ปัญหาต่อไปนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีช่วงเวลา

และเช่นเคย เราจะเริ่มแก้ไขอสมการลอการิทึมจากช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ในกรณีนี้

ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขนี้และเราจะกลับสู่สภาพนั้น เรามาดูความไม่เท่าเทียมกันกันในตอนนี้ ลองเขียนทางด้านซ้ายเป็นลอการิทึมของฐาน 3:

ทางด้านขวามือยังสามารถเขียนเป็นลอการิทึมของฐาน 3 ได้อีกด้วย แล้วจึงค่อยเขียนต่อไปยังอสมการพีชคณิต:

เราเห็นว่าเงื่อนไข (นั่นคือ ODZ) เสร็จสมบูรณ์โดยอัตโนมัติแล้ว นี่ทำให้การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันง่ายขึ้น

เราแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

คำตอบ:

เกิดขึ้น? มาเพิ่มระดับความยากกันเถอะ:

8. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ความไม่เท่าเทียมกันเทียบเท่ากับระบบ:

9. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

นิพจน์ 5 - x 2 ถูกทำซ้ำอย่างบีบบังคับในคำชี้แจงปัญหา ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถทำการทดแทนได้:

เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังรับเฉพาะค่าบวกเท่านั้น ที> 0 จากนั้น

ความไม่เท่าเทียมกันจะอยู่ในรูปแบบ:

ดีขึ้นแล้ว. มาหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของอสมการกัน เราได้กล่าวไปแล้วว่า ที> 0 นอกจากนี้ ( ที− 3) (5 9 · ที − 1) > 0

หากตรงตามเงื่อนไขนี้ ผลหารจะเป็นค่าบวก

และนิพจน์ใต้ลอการิทึมทางด้านขวาของอสมการต้องเป็นค่าบวก นั่นคือ (625 ที − 2) 2 .

ซึ่งหมายความว่า 625 ที− 2 ≠ 0 นั่นคือ

มาเขียน ODZ กันอย่างระมัดระวัง

และแก้ระบบผลลัพธ์โดยใช้วิธีช่วงเวลา

ดังนั้น,

การต่อสู้จบลงไปแล้วครึ่งหนึ่ง - เราแยก ODZ ออกไป เราแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเอง ให้เราแสดงผลรวมของลอการิทึมทางด้านซ้ายเป็นลอการิทึมของผลิตภัณฑ์

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันอยู่ในโหมด ออนไลน์ สารละลายความไม่เท่าเทียมกันเกือบทุกประการ ออนไลน์. คณิตศาสตร์ ความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์เพื่อแก้คณิตศาสตร์ ค้นหาอย่างรวดเร็ว การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันอยู่ในโหมด ออนไลน์. เว็บไซต์ www.site ช่วยให้คุณสามารถค้นหาได้ สารละลายเกือบทุกอย่างที่ได้รับ พีชคณิต, ตรีโกณมิติหรือ ความไม่เท่าเทียมกันเหนือธรรมชาติทางออนไลน์. เมื่อเรียนคณิตศาสตร์เกือบทุกสาขาในแต่ละช่วง คุณต้องตัดสินใจ ความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์. หากต้องการได้รับคำตอบทันที และที่สำคัญที่สุดคือคำตอบที่แม่นยำ คุณต้องมีทรัพยากรที่ช่วยให้คุณดำเนินการนี้ได้ ขอบคุณเว็บไซต์ www.site แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์จะใช้เวลาไม่กี่นาที ข้อได้เปรียบหลักของ www.site เมื่อแก้โจทย์คณิต ความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์- นี่คือความเร็วและความแม่นยำของการตอบสนองที่ให้ไว้ เว็บไซต์สามารถแก้ปัญหาใดๆ อสมการพีชคณิตออนไลน์, อสมการตรีโกณมิติออนไลน์, ความไม่เท่าเทียมเหนือธรรมชาติออนไลน์, และ ความไม่เท่าเทียมกันด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักในโหมด ออนไลน์. อสมการทำหน้าที่เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์อันทรงพลัง โซลูชั่นปัญหาในทางปฏิบัติ ด้วยความช่วยเหลือ อสมการทางคณิตศาสตร์เป็นไปได้ที่จะแสดงข้อเท็จจริงและความสัมพันธ์ที่อาจดูสับสนและซับซ้อนเมื่อมองแวบแรก ปริมาณที่ไม่ทราบ ความไม่เท่าเทียมกันสามารถพบได้โดยการกำหนดปัญหาใน ทางคณิตศาสตร์ภาษาในรูปแบบ ความไม่เท่าเทียมกันและ ตัดสินใจได้รับงานในโหมด ออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. ใดๆ ความไม่เท่าเทียมกันทางพีชคณิต, อสมการตรีโกณมิติหรือ ความไม่เท่าเทียมกันซึ่งประกอบด้วย เหนือธรรมชาติคุณสมบัติที่คุณทำได้อย่างง่ายดาย ตัดสินใจออนไลน์และรับคำตอบที่แน่นอน เมื่อศึกษาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ คุณจะต้องพบกับความต้องการอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน. ในกรณีนี้คำตอบจะต้องแม่นยำและต้องได้รับทันทีในโหมด ออนไลน์. ดังนั้นเพื่อ แก้อสมการทางคณิตศาสตร์ออนไลน์เราขอแนะนำเว็บไซต์ www.site ซึ่งจะกลายเป็นเครื่องคิดเลขที่ขาดไม่ได้ของคุณ แก้อสมการพีชคณิตออนไลน์, อสมการตรีโกณมิติออนไลน์, และ ความไม่เท่าเทียมเหนือธรรมชาติออนไลน์หรือ ความไม่เท่าเทียมกันด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก สำหรับปัญหาเชิงปฏิบัติในการหาวิธีแก้ปัญหาออนไลน์ต่างๆ อสมการทางคณิตศาสตร์ทรัพยากร www.. การแก้ปัญหา ความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์ตัวคุณเองจะมีประโยชน์ในการตรวจสอบคำตอบที่ได้รับโดยใช้ การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. คุณต้องเขียนอสมการให้ถูกต้องและรับทันที โซลูชั่นออนไลน์หลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการเปรียบเทียบคำตอบกับคำตอบของคุณกับอสมการ การตรวจสอบคำตอบจะใช้เวลาไม่เกินหนึ่งนาทีก็เพียงพอแล้ว แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์และเปรียบเทียบคำตอบ ซึ่งจะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดได้ การตัดสินใจและแก้ไขคำตอบให้ตรงเวลาเมื่อ การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์ทั้ง พีชคณิต, ตรีโกณมิติ, เหนือธรรมชาติหรือ ความไม่เท่าเทียมกันด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก

เมื่อศึกษาฟังก์ชันลอการิทึม เราจะพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์มเป็นหลัก
เข้าสู่ระบบ x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.

แก้บันทึกอสมการ (x + 1) ≤ 2 (1)

สารละลาย.

1) ด้านขวาของความไม่เท่าเทียมกันที่พิจารณานั้นสมเหตุสมผลสำหรับค่าทั้งหมดของ x และด้านซ้ายเหมาะสมสำหรับ x + 1 > 0 เช่น สำหรับ x > -1

2) ช่วง x > -1 เรียกว่าโดเมนของคำจำกัดความของอสมการ (1) ฟังก์ชันลอการิทึมที่มีฐาน 10 เพิ่มขึ้น ดังนั้นหาก x + 1 > 0 ความไม่เท่าเทียมกัน (1) จะเป็นที่น่าพอใจหาก x + 1 ≤ 100 (เนื่องจาก 2 = log 100) ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกัน (1) และระบบความไม่เท่าเทียมกัน

(เอ็กซ์ > -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,

เทียบเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ชุดวิธีแก้อสมการ (1) และระบบอสมการ (2) เหมือนกัน

3) ระบบการแก้ (2) เราพบ -1< х ≤ 99.

คำตอบ. -1< х ≤ 99.

แก้บันทึกอสมการ 2 (x – 3) + บันทึก 2 (x – 2) ≤ 1 (3)

สารละลาย.

1) โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันลอการิทึมที่พิจารณาคือชุดของค่าบวกของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นด้านซ้ายของอสมการจึงสมเหตุสมผลสำหรับ x – 3 > 0 และ x – 2 > 0

ดังนั้น ขอบเขตของคำจำกัดความของอสมการนี้คือช่วง x > 3

2) ตามคุณสมบัติของลอการิทึม อสมการ (3) สำหรับ x > 3 เทียบเท่ากับบันทึกอสมการ 2 (x – 3)(x – 2) ≤ log 2 (4)

3) ฟังก์ชันลอการิทึมที่มีฐาน 2 เพิ่มขึ้น ดังนั้น สำหรับ x > 3 ความไม่เท่าเทียมกัน (4) จะเป็นที่น่าพอใจถ้า (x – 3)(x – 2) ≤ 2

4) ดังนั้น อสมการดั้งเดิม (3) จึงเทียบเท่ากับระบบอสมการ

((x – 3)(x – 2) ≤ 2,
(เอ็กซ์ > 3.

การแก้ไขอสมการแรกของระบบนี้ เราได้ x 2 – 5x + 4 ≤ 0 โดยที่ 1 ≤ x ≤ 4 เมื่อรวมส่วนนี้เข้ากับช่วง x > 3 เราจะได้ 3< х ≤ 4.

คำตอบ. 3< х ≤ 4.

แก้บันทึกอสมการ 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ -4 (5)

สารละลาย.

1) โดเมนของคำจำกัดความของอสมการหาได้จากเงื่อนไข x 2 + 2x – 8 > 0

2) อสมการ (5) สามารถเขียนได้เป็น:

บันทึก 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ บันทึก 1/2 16.

3) เนื่องจากฟังก์ชันลอการิทึมที่มีฐาน ½ กำลังลดลง ดังนั้นสำหรับ x ทั้งหมดจากขอบเขตทั้งหมดของคำจำกัดความของอสมการที่เราได้รับ:

x 2 + 2x – 8 ≤ 16

ดังนั้นความเสมอภาคดั้งเดิม (5) จึงเทียบเท่ากับระบบอสมการ

(x 2 + 2x – 8 > 0 หรือ (x 2 + 2x – 8 > 0,
(x 2 + 2x – 8 ≤ 16, (x 2 + 2x – 24 ≤ 0

การแก้อสมการกำลังสองอันแรก เราจะได้ x< -4, х >2. การแก้อสมการกำลังสองที่สอง เราได้ -6 ≤ x ≤ 4 ดังนั้น อสมการทั้งสองของระบบจึงได้รับการตอบสนองพร้อมกันสำหรับ -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4.

คำตอบ. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์

ก่อนที่จะแก้อสมการ คุณต้องมีความเข้าใจเกี่ยวกับวิธีการแก้สมการเสียก่อน

ไม่สำคัญว่าอสมการจะเข้มงวด () หรือไม่เข้มงวด (≤, ≥) ขั้นตอนแรกคือการแก้สมการโดยแทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยความเท่าเทียมกัน (=)

ให้เราอธิบายว่าการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันหมายถึงอะไร?

หลังจากศึกษาสมการแล้ว นักเรียนจะมีภาพต่อไปนี้ในหัว: เขาจำเป็นต้องค้นหาค่าของตัวแปรเพื่อให้สมการทั้งสองข้างใช้ค่าเดียวกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้ค้นหาจุดทั้งหมดที่มีความเท่าเทียมกัน ทุกอย่างถูกต้อง!

เมื่อเราพูดถึงความไม่เท่าเทียมกัน เราหมายถึงการค้นหาช่วงเวลา (ส่วน) ที่ความไม่เท่าเทียมกันมีอยู่ หากมีตัวแปรสองตัวในอสมการ ผลเฉลยจะไม่ใช่ช่วงเวลาอีกต่อไป แต่จะเป็นบางพื้นที่บนระนาบ ลองเดาด้วยตัวคุณเองว่าอะไรคือวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันในตัวแปรสามตัว?

จะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างไร?

วิธีสากลในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันถือเป็นวิธีการของช่วงเวลา (หรือที่เรียกว่าวิธีการของช่วงเวลา) ซึ่งประกอบด้วยการกำหนดช่วงเวลาทั้งหมดภายในขอบเขตที่จะตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนด

ในกรณีนี้นี่ไม่ใช่ประเด็น คุณต้องแก้สมการที่เกี่ยวข้องและหารากของมัน ตามด้วยการกำหนดวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้บนแกนจำนวน โดยไม่ต้องคำนึงถึงประเภทของอสมการ

จะเขียนวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างไร?

เมื่อคุณได้กำหนดช่วงเวลาของการแก้ปัญหาสำหรับอสมการแล้ว คุณต้องเขียนวิธีแก้ปัญหาให้ถูกต้องด้วยตัวมันเอง มีความแตกต่างที่สำคัญ - ขอบเขตของช่วงเวลารวมอยู่ในการแก้ปัญหาหรือไม่?

ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ หากการแก้สมการเป็นไปตาม ODZ และอสมการไม่เข้มงวด ขอบเขตของช่วงจะรวมอยู่ในคำตอบของอสมการด้วย มิฉะนั้นไม่มี

เมื่อพิจารณาแต่ละช่วงเวลา วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันอาจเป็นช่วงนั้นเอง หรือช่วงครึ่งเวลา (เมื่อขอบเขตใดขอบเขตหนึ่งเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน) หรือส่วน - ช่วงเวลาร่วมกับขอบเขตของมัน

จุดสำคัญ

อย่าคิดว่าเฉพาะช่วงเวลา ครึ่งช่วง และเซ็กเมนต์เท่านั้นที่จะแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันได้ ไม่ วิธีแก้ปัญหาอาจรวมถึงประเด็นต่างๆ ด้วย

ตัวอย่างเช่น อสมการ |x|≤0 มีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียว นั่นคือจุด 0

และอสมการ |x|

ทำไมคุณถึงต้องใช้เครื่องคำนวณอสมการ?

เครื่องคำนวณอสมการจะให้คำตอบสุดท้ายที่ถูกต้อง ในกรณีส่วนใหญ่ จะมีภาพประกอบของแกนตัวเลขหรือระนาบมาให้ มองเห็นได้ว่าจะรวมขอบเขตของช่วงเวลาไว้ในโซลูชันหรือไม่ - จุดต่างๆ จะแสดงเป็นแรเงาหรือแบบเจาะทะลุ

ด้วยเครื่องคำนวณอสมการออนไลน์ คุณสามารถตรวจสอบว่าคุณพบรากของสมการถูกต้องหรือไม่ ทำเครื่องหมายไว้บนแกนตัวเลข และตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขอสมการในช่วงเวลา (และขอบเขต) หรือไม่

หากคำตอบของคุณแตกต่างจากคำตอบของเครื่องคิดเลข คุณจะต้องตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของคุณอีกครั้งและระบุข้อผิดพลาดอย่างแน่นอน