มุมระหว่างเส้นตรงบนเครื่องบิน มุมระหว่างเส้นในอวกาศ ค้นหามุมแหลมระหว่างเส้น เครื่องคิดเลขออนไลน์

วัสดุนี้มีไว้สำหรับแนวคิดเช่นมุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้น ในย่อหน้าแรกเราจะอธิบายว่ามันคืออะไรและแสดงไว้ในภาพประกอบ จากนั้นเราจะดูวิธีที่คุณสามารถค้นหาไซน์, โคไซน์ของมุมนี้และมุมนั้นเอง (เราจะพิจารณากรณีที่มีระนาบและพื้นที่สามมิติแยกกัน) เราจะให้สูตรที่จำเป็นและแสดงพร้อมตัวอย่างทุกประการ วิธีการใช้ในทางปฏิบัติ

เพื่อที่จะเข้าใจว่ามุมที่เกิดขึ้นเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกันคืออะไร เราต้องจำคำจำกัดความของมุม ความตั้งฉาก และจุดตัดกัน

คำจำกัดความ 1

เราเรียกเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันหากมีจุดร่วมจุดเดียว จุดนี้เรียกว่าจุดตัดกันของเส้นสองเส้น

เส้นตรงแต่ละเส้นจะถูกหารด้วยจุดตัดกันเป็นรังสี เส้นตรงทั้งสองประกอบกันเป็นมุม 4 มุม โดย 2 มุมเป็นแนวตั้ง และอีก 2 มุมอยู่ติดกัน ถ้าเรารู้ขนาดของอันใดอันหนึ่ง เราก็จะสามารถกำหนดอันที่เหลือได้

สมมุติว่าเรารู้ว่ามุมใดมุมหนึ่งเท่ากับ α ในกรณีนี้ มุมที่อยู่ในแนวตั้งเทียบกับมุมนั้นจะเท่ากับ α เช่นกัน หากต้องการหามุมที่เหลือ เราต้องคำนวณความแตกต่าง 180 ° - α ถ้า α เท่ากับ 90 องศา มุมทั้งหมดจะเป็นมุมฉาก เส้นที่ตัดกันที่มุมฉากเรียกว่าเส้นตั้งฉาก (บทความแยกต่างหากเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องตั้งฉาก)

ลองดูที่ภาพ:

มาดูการกำหนดคำจำกัดความหลักกันดีกว่า

คำจำกัดความ 2

มุมที่เกิดจากเส้นตัดกันสองเส้นคือการวัดมุมที่เล็กกว่าของมุมทั้งสี่ที่ประกอบเป็นเส้นทั้งสองนี้

ข้อสรุปที่สำคัญจะต้องได้มาจากคำจำกัดความ: ขนาดของมุมในกรณีนี้จะแสดงด้วยจำนวนจริงใด ๆ ในช่วงเวลา (0, 90] หากเส้นตั้งฉากมุมระหว่างเส้นเหล่านั้นจะเป็นเช่นไร เท่ากับ 90 องศา

ความสามารถในการค้นหาการวัดมุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้นมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติหลายอย่าง สามารถเลือกวิธีการแก้ปัญหาได้จากหลายตัวเลือก

ขั้นแรก เราสามารถใช้วิธีการทางเรขาคณิตได้ ถ้าเรารู้บางอย่างเกี่ยวกับมุมเสริม เราก็สามารถเชื่อมโยงพวกมันกับมุมที่เราต้องการได้โดยใช้คุณสมบัติของตัวเลขที่เท่ากันหรือคล้ายกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรารู้ด้านของสามเหลี่ยมและจำเป็นต้องคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงที่ด้านเหล่านี้อยู่ ทฤษฎีบทโคไซน์ก็เหมาะกับคำตอบของเรา หากเรามีสามเหลี่ยมมุมฉากในสภาพของเรา ในการคำนวณ เราจำเป็นต้องรู้ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมด้วย

วิธีการประสานงานยังสะดวกมากสำหรับการแก้ปัญหาประเภทนี้ ให้เราอธิบายวิธีการใช้อย่างถูกต้อง

เรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (คาร์ทีเซียน) O x y โดยให้เส้นตรงสองเส้น เรามาแสดงด้วยตัวอักษร a และ b เส้นตรงสามารถอธิบายได้โดยใช้สมการบางประการ เส้นเดิมมีจุดตัด M จะกำหนดมุมที่ต้องการได้อย่างไร (แสดงว่าเป็น α) ระหว่างเส้นตรงเหล่านี้

เริ่มต้นด้วยการกำหนดหลักการพื้นฐานของการหามุมภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด

เรารู้ว่าแนวคิดของเส้นตรงมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเช่นเวกเตอร์ทิศทางและเวกเตอร์ปกติ หากเรามีสมการของเส้นตรงเส้นหนึ่ง เราก็สามารถหาพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้จากเส้นนั้นได้ เราสามารถทำได้สำหรับเส้นตัดกันสองเส้นพร้อมกัน

มุมที่ต่อด้วยเส้นตัดกันสองเส้นสามารถพบได้โดยใช้:

มุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง
มุมระหว่างเวกเตอร์ปกติ
มุมระหว่างเวกเตอร์ปกติของเส้นหนึ่งกับเวกเตอร์ทิศทางของอีกเส้นหนึ่ง

ตอนนี้เรามาดูแต่ละวิธีแยกกัน

1. สมมติว่าเรามีเส้นตรง a ที่มีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x, a y) และเส้นตรง b ที่มีเวกเตอร์ทิศทาง b → (b x, b y) ทีนี้ลองพลอตเวกเตอร์สองตัว a → และ b → จากจุดตัดกัน หลังจากนี้เราจะเห็นว่าแต่ละคนจะอยู่เป็นเส้นตรงของตัวเอง จากนั้นเรามีสี่ตัวเลือกสำหรับการจัดเรียงแบบสัมพันธ์กัน ดูภาพประกอบ:

ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวไม่เป็นมุมป้าน มันจะเท่ากับมุมที่เราต้องการระหว่างเส้นตัดกัน a และ b หากเป็นมุมป้าน มุมที่ต้องการจะเท่ากับมุมที่อยู่ติดกับมุม a →, b → ^ ดังนั้น α = a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ ≤ 90 ° และ α = 180 ° - a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ > 90 ° .

จากข้อเท็จจริงที่ว่าโคไซน์ของมุมเท่ากันเท่ากัน เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นใหม่ได้ดังนี้: cos α = cos a →, b → ^, ถ้า a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ถ้า a →, b → ^ > 90 °

ในกรณีที่สอง ใช้สูตรลดขนาด ดังนั้น,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

มาเขียนสูตรสุดท้ายด้วยคำพูด:

คำจำกัดความ 3

โคไซน์ของมุมที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันจะเท่ากับโมดูลัสของโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง

รูปแบบทั่วไปของสูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว a → = (a x , a y) และ b → = (b x , by) มีลักษณะดังนี้:

เพราะ → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + by a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

จากนั้นเราสามารถหาสูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดได้:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

จากนั้นสามารถหามุมได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

α = a rc cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

โดยที่ a → = (a x , a y) และ b → = (b x , b y) คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่กำหนด

ลองยกตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนเครื่องบิน จะมีเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน a และ b มาให้ อธิบายได้ด้วยสมการพาราเมตริก x = 1 + 4 · แลมบ์ y = 2 + แลมแลม ∈ R และ x 5 = y - 6 - 3 คำนวณมุมระหว่างเส้นเหล่านี้

สารละลาย

เรามีสมการพาราเมตริกในเงื่อนไขของเรา ซึ่งหมายความว่าสำหรับเส้นนี้เราสามารถเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางได้ทันที ในการทำเช่นนี้เราจำเป็นต้องรับค่าสัมประสิทธิ์ของพารามิเตอร์เช่น เส้นตรง x = 1 + 4 · แลม y = 2 + แลมแล ∈ R จะมีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (4, 1)

บรรทัดที่สองอธิบายโดยใช้สมการมาตรฐาน x 5 = y - 6 - 3 ตรงนี้เราสามารถหาพิกัดจากตัวส่วนได้ ดังนั้น เส้นตรงนี้จึงมีเวกเตอร์ทิศทาง b → = (5 , - 3)

ต่อไป เราจะมุ่งตรงไปที่การหามุม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เพียงแทนที่พิกัดที่มีอยู่ของเวกเตอร์สองตัวลงในสูตรข้างต้น α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a rc cos 17 17 34 = a rc cos 1 2 = 45 °

คำตอบ: เส้นตรงเหล่านี้ทำมุม 45 องศา

เราสามารถแก้ปัญหาที่คล้ายกันได้โดยการหามุมระหว่างเวกเตอร์ปกติ หากเรามีเส้นตรง a ที่มีเวกเตอร์ปกติ n a → = (n a x , n a y) และเส้น b ที่มีเวกเตอร์ปกติ n b → = (n b x , n b y) แล้วมุมระหว่างพวกมันจะเท่ากับมุมระหว่าง n a → และ n b → หรือมุมที่จะอยู่ติดกับ n a →, n b → ^ วิธีการนี้แสดงไว้ในภาพ:

สูตรในการคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตัดกับมุมนี้เองโดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ปกติมีลักษณะดังนี้:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n by n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n by n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

โดยที่ n a → และ n b → แสดงถึงเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงที่กำหนดสองเส้น

ตัวอย่างที่ 2

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เส้นตรงสองเส้นถูกกำหนดโดยใช้สมการ 3 x + 5 y - 30 = 0 และ x + 4 y - 17 = 0 ค้นหาไซน์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมันกับขนาดของมุมนี้เอง

สารละลาย

เส้นเดิมระบุโดยใช้สมการเส้นปกติในรูปแบบ A x + B y + C = 0 เราแทนเวกเตอร์ปกติเป็น n → = (A, B) ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติตัวแรกสำหรับหนึ่งบรรทัดแล้วเขียนมัน: n a → = (3, 5) . สำหรับเส้นที่สอง x + 4 y - 17 = 0 เวกเตอร์ปกติจะมีพิกัด n b → = (1, 4) ตอนนี้ให้เพิ่มค่าที่ได้รับลงในสูตรแล้วคำนวณผลรวม:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

ถ้าเรารู้โคไซน์ของมุม เราก็สามารถคำนวณไซน์ของมันได้โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน เนื่องจากมุม α ที่เกิดจากเส้นตรงไม่ป้าน ดังนั้น sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34

ในกรณีนี้ α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34

คำตอบ: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34

ให้เราวิเคราะห์กรณีสุดท้าย - ค้นหามุมระหว่างเส้นตรงถ้าเรารู้พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเส้นหนึ่งกับเวกเตอร์ปกติของอีกเส้นหนึ่ง

สมมติว่าเส้นตรง a มีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y) และเส้นตรง b มีเวกเตอร์ปกติ n b → = (n b x , n b y) เราจำเป็นต้องแยกเวกเตอร์เหล่านี้ออกจากจุดตัดกัน และพิจารณาตัวเลือกทั้งหมดสำหรับตำแหน่งสัมพันธ์กัน ดูในภาพ:

หากมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดไม่เกิน 90 องศา ปรากฎว่ามุมระหว่าง a และ b จะมาเสริมกับมุมฉาก

ก → , n ข → ^ = 90 ° - α ถ้า → , n ข → ^ ≤ 90 ° .

หากน้อยกว่า 90 องศา เราจะได้สิ่งต่อไปนี้:

ก → , n ข → ^ > 90 ° จากนั้น → , n ข → ^ = 90 ° + α

ใช้กฎความเท่าเทียมกันของโคไซน์ของมุมเท่ากัน เราเขียนว่า:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α สำหรับ a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α สำหรับ → , n b → ^ > 90 ° .

ดังนั้น,

บาป α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , ก → , n ข → ^ > 0 - เพราะ → , n ข → ^ , → , n ข → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

ให้เรากำหนดข้อสรุป

คำจำกัดความที่ 4

ในการค้นหาไซน์ของมุมระหว่างเส้นสองเส้นที่ตัดกันบนระนาบ คุณต้องคำนวณโมดูลัสของโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นแรกกับเวกเตอร์ปกติของเส้นที่สอง

มาเขียนสูตรที่จำเป็นกัน การหาไซน์ของมุม:

บาป α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

การค้นหามุมนั้นเอง:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

โดยที่ a → คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นแรก และ n b → คือเวกเตอร์ปกติของเส้นที่สอง

ตัวอย่างที่ 3

เส้นตัดกันสองเส้นกำหนดโดยสมการ x - 5 = y - 6 3 และ x + 4 y - 17 = 0 ค้นหามุมของจุดตัด

สารละลาย

เราใช้พิกัดของไกด์และเวกเตอร์ปกติจากสมการที่กำหนด ปรากฎว่า a → = (- 5, 3) และ n → b = (1, 4) เราใช้สูตร α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 และคำนวณ:

α = a rc sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a rc sin 7 2 34

โปรดทราบว่าเราได้นำสมการจากปัญหาก่อนหน้าและได้ผลลัพธ์เดียวกันทุกประการ แต่ใช้วิธีที่แตกต่างออกไป

คำตอบ:α = a rc บาป 7 2 34

ให้เรานำเสนออีกวิธีหนึ่งในการค้นหามุมที่ต้องการโดยใช้สัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงที่กำหนด

เรามีเส้น a ซึ่งกำหนดไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมโดยใช้สมการ y = k 1 x + b 1 และเส้น b กำหนดเป็น y = k 2 x + b 2 นี่คือสมการของเส้นตรงที่มีความชัน เพื่อหามุมตัดกัน เราใช้สูตร:

α = a rc cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 โดยที่ k 1 และ k 2 คือความชันของเส้นที่กำหนด เพื่อให้ได้บันทึกนี้ มีการใช้สูตรในการกำหนดมุมผ่านพิกัดของเวกเตอร์ปกติ

ตัวอย่างที่ 4

เส้นตรงสองเส้นตัดกันในระนาบ โดยสมการ y = - 3 5 x + 6 และ y = - 1 4 x + 17 4 คำนวณค่าของมุมตัดกัน

สารละลาย

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงของเราเท่ากับ k 1 = - 3 5 และ k 2 = - 1 4 ลองเพิ่มพวกมันลงในสูตร α = a rc cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 แล้วคำนวณ:

α = a rc cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a rc cos 23 20 34 24 · 17 16 = a rc cos 23 2 34

คำตอบ:α = a rc cos 23 2 34

ในบทสรุปของย่อหน้านี้ ควรสังเกตว่าสูตรการหามุมที่ระบุในที่นี้ไม่จำเป็นต้องเรียนรู้ด้วยใจจริง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะทราบพิกัดของเส้นบอกแนวและ/หรือเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนด และสามารถระบุได้โดยใช้สมการประเภทต่างๆ แต่ควรจำหรือเขียนสูตรในการคำนวณโคไซน์ของมุมจะดีกว่า

วิธีการคำนวณมุมระหว่างเส้นที่ตัดกันในอวกาศ

การคำนวณมุมดังกล่าวสามารถลดลงเป็นการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางและกำหนดขนาดของมุมที่เกิดจากเวกเตอร์เหล่านี้ สำหรับตัวอย่างดังกล่าว จะใช้เหตุผลเดียวกันกับที่เราให้ไว้ก่อนหน้านี้

สมมติว่าเรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่อยู่ในอวกาศสามมิติ ประกอบด้วยเส้นตรงสองเส้น a และ b โดยมีจุดตัด M ในการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง เราจำเป็นต้องรู้สมการของเส้นเหล่านี้ ให้เราแสดงเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y , a z) และ b → = (b x , b y , b z) . ในการคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน เราใช้สูตร:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

เพื่อหามุม เราต้องการสูตรนี้:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

ตัวอย่างที่ 5

เรามีเส้นตรงที่กำหนดในปริภูมิสามมิติโดยใช้สมการ x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 เป็นที่รู้กันว่ามันตัดกับแกน O z คำนวณมุมตัดแกนและโคไซน์ของมุมนั้น

สารละลาย

ให้เราแสดงมุมที่ต้องคำนวณด้วยตัวอักษร α ลองเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นตรงเส้นแรก – a → = (1, - 3, - 2) . สำหรับแกนประยุกต์ เราสามารถใช้เวกเตอร์พิกัด k → = (0, 0, 1) เป็นแนวทางได้ เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นแล้วและสามารถเพิ่มลงในสูตรที่ต้องการได้:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

เป็นผลให้เราพบว่ามุมที่เราต้องการจะเท่ากับ a rc cos 1 2 = 45 °

คำตอบ: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

มุม φ สมการทั่วไป A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 และ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 คำนวณโดยสูตร:

มุม φ ระหว่างสองบรรทัดที่กำหนด สมการบัญญัติ(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 และ (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2 คำนวณโดยสูตร:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด

แต่ละระนาบในอวกาศสามารถแสดงเป็นสมการเชิงเส้นที่เรียกว่า สมการทั่วไปเครื่องบิน

กรณีพิเศษ.

o หากอยู่ในสมการ (8) แสดงว่าระนาบผ่านจุดกำเนิด

o เมื่อ (,) ระนาบขนานกับแกน (แกน, แกน) ตามลำดับ

o เมื่อ (,) ระนาบขนานกับระนาบ (ระนาบ, ระนาบ)

วิธีแก้ไข: ใช้ (7)

คำตอบ: สมการระนาบทั่วไป

ตัวอย่าง.

ระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz จะได้มาจากสมการทั่วไปของระนาบ . เขียนพิกัดของเวกเตอร์ปกติทั้งหมดของระนาบนี้

เรารู้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x, y และ z ในสมการทั่วไปของระนาบคือพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ปกติของระนาบนี้ ดังนั้นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบที่กำหนด มีพิกัด. เซตของเวกเตอร์ปกติทั้งหมดสามารถกำหนดได้ดังนี้:

เขียนสมการของระนาบถ้าในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ในอวกาศที่มันผ่านจุดนั้น , ก คือเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบนี้

เรานำเสนอวิธีแก้ไขปัญหานี้สองวิธี

จากสภาพที่เรามี เราแทนที่ข้อมูลนี้เป็นสมการทั่วไปของระนาบที่ผ่านจุด:

เขียนสมการทั่วไปของระนาบขนานกับระนาบพิกัดออยซ์แล้วผ่านจุดนั้น .

ระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด Oyz สามารถกำหนดได้จากสมการระนาบทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของแบบฟอร์ม ตั้งแต่จุด เป็นของระนาบตามเงื่อนไข ดังนั้นพิกัดของจุดนี้จะต้องเป็นไปตามสมการของระนาบ กล่าวคือ ความเท่าเทียมกันจะต้องเป็นจริง จากที่นี่เราพบว่า ดังนั้นสมการที่ต้องการจึงมีรูปแบบ

สารละลาย. ผลคูณไขว้ตามคำจำกัดความ 10.26 ตั้งฉากกับเวกเตอร์ p และ q ด้วยเหตุนี้ มันจึงตั้งฉากกับระนาบที่ต้องการ และเวกเตอร์ก็สามารถใช้เป็นเวกเตอร์ปกติได้ มาหาพิกัดของเวกเตอร์ n:

นั่นคือ . เราได้รับโดยใช้สูตร (11.1)

เมื่อเปิดวงเล็บในสมการนี้ เราก็จะได้คำตอบสุดท้าย

คำตอบ: .

ลองเขียนเวกเตอร์ปกติในรูปแบบใหม่และค้นหาความยาวของมัน:

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น:

คำตอบ:

ระนาบขนานมีเวกเตอร์ตั้งฉากเหมือนกัน 1) จากสมการเราจะพบเวกเตอร์ปกติของระนาบ:

2) มาเขียนสมการของระนาบโดยใช้จุดและเวกเตอร์ปกติ:

คำตอบ:

สมการเวกเตอร์ของเครื่องบินในอวกาศ

สมการพาราเมตริกของระนาบในอวกาศ

สมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด

ให้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมถูกกำหนดไว้ในปริภูมิสามมิติ ให้เรากำหนดปัญหาต่อไปนี้:

เขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด ม(x 0, ย 0, z 0) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด น = ( ก, บี, ค} .

สารละลาย. อนุญาต ป(x, ย, z) เป็นจุดใดก็ได้ในอวกาศ จุด ปอยู่ในระนาบก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เท่านั้น ส.ส = {x − x 0, ย − ย 0, z − z 0) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ n = {ก, บี, ค) (รูปที่ 1)

ต้องเขียนเงื่อนไขสำหรับความตั้งฉากของเวกเตอร์เหล่านี้ (n, ส.ส) = 0 ในรูปแบบพิกัด เราจะได้:

ก(x − x 0) + บี(ย − ย 0) + ค(z − z 0) = 0

สมการของระนาบโดยใช้จุดสามจุด

ในรูปแบบเวกเตอร์

ในพิกัด

การจัดเรียงเครื่องบินร่วมกันในอวกาศ

– สมการทั่วไปของสองระนาบ แล้ว:

1) ถ้า แล้วเครื่องบินก็ตรงกัน

2) ถ้า แล้วระนาบจะขนานกัน

3) ถ้า หรือ จากนั้นระนาบจะตัดกันและระบบสมการ

(6)

คือสมการของเส้นตรงของจุดตัดของระนาบเหล่านี้

สารละลาย: เราเขียนสมการมาตรฐานของเส้นโดยใช้สูตร:

คำตอบ:

เราใช้สมการผลลัพธ์และ "บีบออก" ทางจิตใจเช่นชิ้นด้านซ้าย: . ทีนี้ลองเทียบชิ้นนี้กัน ไปยังหมายเลขใดก็ได้(จำไว้ว่ามีศูนย์อยู่แล้ว) เช่น หนึ่ง: เนื่องจาก ดังนั้น "ชิ้นส่วน" อีกสองชิ้นก็ควรจะเท่ากับชิ้นเดียวด้วย โดยพื้นฐานแล้ว คุณต้องแก้ไขระบบ:

เขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงต่อไปนี้:

สารละลาย: เส้นถูกกำหนดโดยสมการมาตรฐาน และในระยะแรก คุณควรหาจุดที่เป็นของเส้นและเวกเตอร์ทิศทางของมัน

ก) จากสมการ ลบจุดและเวกเตอร์ทิศทาง: . คุณสามารถเลือกจุดอื่นได้ (วิธีการดังกล่าวอธิบายไว้ข้างต้น) แต่ควรใช้จุดที่ชัดเจนที่สุด อย่างไรก็ตาม เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด ให้แทนที่พิกัดของมันลงในสมการเสมอ

มาสร้างสมการพาราเมตริกสำหรับเส้นนี้:

ความสะดวกของสมการพาราเมตริกก็คือทำให้ง่ายต่อการค้นหาจุดอื่นๆ บนเส้นตรง ตัวอย่างเช่น ลองหาจุดที่มีพิกัดซึ่งตรงกับค่าของพารามิเตอร์:

ดังนั้น: b) พิจารณาสมการทางบัญญัติ . การเลือกจุดที่นี่ไม่ใช่เรื่องยาก แต่เป็นการทรยศ: (ระวังอย่าให้พิกัดสับสน !!!) จะลบเวกเตอร์ไกด์ได้อย่างไร? คุณสามารถคาดเดาได้ว่าเส้นนี้ขนานกับอะไร หรือคุณสามารถใช้เทคนิคทางการง่ายๆ: สัดส่วนประกอบด้วย "Y" และ "Z" ดังนั้นเราจึงเขียนเวกเตอร์ทิศทาง และใส่ศูนย์ในพื้นที่ที่เหลือ:

มาเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงกัน:

c) ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ ซึ่งก็คือ "zet" จะเป็นอะไรก็ได้ และถ้ามีก็ให้ยกตัวอย่าง . ดังนั้นประเด็นจึงเป็นของเส้นนี้ ในการค้นหาเวกเตอร์ทิศทาง เราใช้เทคนิคที่เป็นทางการต่อไปนี้: ในสมการดั้งเดิมจะมี "x" และ "y" และในเวกเตอร์ทิศทางที่ตำแหน่งเหล่านี้เราเขียน ศูนย์: . ในพื้นที่ที่เหลือเราใส่ หน่วย: . แทนที่จะเป็นหนึ่ง ตัวเลขใดๆ ก็ได้ยกเว้นศูนย์จะทำได้

ลองเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรง:

โอ๊ะโอ๊ะโอ... ก็ยากนะ เหมือนอ่านประโยคให้ตัวเองฟัง =) อย่างไรก็ตาม ความผ่อนคลายจะช่วยได้ทีหลัง โดยเฉพาะวันนี้ที่ซื้ออุปกรณ์เสริมที่เหมาะสมมา เรามาต่อกันที่ส่วนแรกกันดีกว่า ฉันหวังว่าในตอนท้ายของบทความ ฉันจะคงอารมณ์ร่าเริงไว้ได้

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้น

นี่เป็นกรณีที่ผู้ฟังร้องเพลงพร้อมคอรัส เส้นตรงสองเส้นก็ได้:

1) การแข่งขัน;

2) ขนาน: ;

3) หรือตัดกันที่จุดเดียว: .

ช่วยเหลือหุ่น : โปรดจำไว้ว่าเครื่องหมายทางแยกทางคณิตศาสตร์จะปรากฎบ่อยมาก สัญกรณ์หมายความว่าเส้นตัดกับเส้นตรงจุด

จะทราบตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นสองเส้นได้อย่างไร?

เริ่มจากกรณีแรกกันก่อน:

เส้นสองเส้นตรงกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วนเท่านั้นนั่นคือมีจำนวน "แลมบ์ดา" ที่ทำให้ความเท่าเทียมกันมีความพึงพอใจ

ลองพิจารณาเส้นตรงและสร้างสมการสามสมการจากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน: . จากแต่ละสมการจึงเป็นไปตามนั้น เส้นเหล่านี้จึงตรงกัน

แท้จริงแล้วถ้าสัมประสิทธิ์ของสมการทั้งหมด คูณด้วย –1 (เปลี่ยนเครื่องหมาย) และลดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการลง 2 คุณจะได้สมการเดียวกัน:

กรณีที่สอง เมื่อเส้นขนานกัน:

เส้นสองเส้นจะขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเป็นสัดส่วน: , แต่.

เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาเส้นตรงสองเส้น เราตรวจสอบสัดส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันสำหรับตัวแปร:

อย่างไรก็ตาม มันค่อนข้างชัดเจนว่า

และกรณีที่สาม เมื่อเส้นตัดกัน:

เส้นตรงสองเส้นตัดกันหากค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่เป็นสัดส่วนนั่นคือไม่มีค่าของ "แลมบ์ดา" ที่จะพึงพอใจกับความเท่าเทียมกัน

ดังนั้น สำหรับเส้นตรง เราจะสร้างระบบ:

จากสมการแรกเป็นไปตามนั้น และจากสมการที่สอง: ซึ่งหมายถึง ระบบไม่สอดคล้องกัน(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรจึงไม่เป็นสัดส่วน

สรุป: เส้นตัดกัน

ในปัญหาเชิงปฏิบัติ คุณสามารถใช้โครงร่างการแก้ปัญหาที่เพิ่งกล่าวถึงได้ อย่างไรก็ตาม มันชวนให้นึกถึงอัลกอริธึมในการตรวจสอบเวกเตอร์ของคอลลิเนียริตีซึ่งเราดูในชั้นเรียนเป็นอย่างมาก แนวคิดของการพึ่งพาเชิงเส้น (ใน) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์. แต่มีบรรจุภัณฑ์ที่มีอารยะมากกว่า:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น:

สารละลายจากการศึกษาเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง:

ก) จากสมการเราพบเวกเตอร์ทิศทางของเส้น: .

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่อยู่ในแนวเดียวกันและมีเส้นตัดกัน

เผื่อว่าฉันจะวางก้อนหินที่มีป้ายไว้ตรงทางแยก:

ที่เหลือก็กระโดดข้ามหินแล้วเดินตามต่อไป ตรงไปที่ Kashchei the Immortal =)

b) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

เส้นตรงมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นทั้งสองขนานกันหรือบังเอิญกัน ไม่จำเป็นต้องนับดีเทอร์มีแนนต์ตรงนี้

เห็นได้ชัดว่าค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งไม่รู้นั้นเป็นสัดส่วน และ

มาดูกันว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่:

ดังนั้น,

c) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้น:

ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้:
ดังนั้น เวกเตอร์ทิศทางจึงเป็นเส้นตรง เส้นขนานหรือบังเอิญ

ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน “แลมบ์ดา” มองเห็นได้ง่ายโดยตรงจากอัตราส่วนของเวกเตอร์ทิศทางเชิงเส้น อย่างไรก็ตาม สามารถพบได้จากค่าสัมประสิทธิ์ของสมการด้วย: .

ทีนี้ลองดูว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่ เงื่อนไขฟรีทั้งสองข้อมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้น:

ค่าผลลัพธ์จะเป็นไปตามสมการนี้ (โดยทั่วไปแล้วตัวเลขใดๆ ก็เป็นไปตามนั้น)

เส้นจึงตรงกัน

คำตอบ:

ในไม่ช้าคุณจะได้เรียนรู้ (หรือได้เรียนรู้แล้ว) เพื่อแก้ไขปัญหาที่พูดคุยกันด้วยวาจาอย่างแท้จริงในเวลาไม่กี่วินาที ในเรื่องนี้ฉันไม่เห็นประเด็นใด ๆ ที่จะเสนอวิธีแก้ปัญหาแบบอิสระใด ๆ เป็นการดีกว่าที่จะวางอิฐที่สำคัญอีกก้อนในรากฐานทางเรขาคณิต:

จะสร้างเส้นขนานกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

ด้วยความไม่รู้ถึงงานที่ง่ายที่สุดนี้ Nightingale the Robber จึงลงโทษอย่างรุนแรง

ตัวอย่างที่ 2

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการของเส้นขนานที่ผ่านจุดนั้น

สารละลาย: เรามาแสดงบรรทัดที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษรกัน สภาพพูดเกี่ยวกับเธออย่างไร? เส้นตรงผ่านจุดนั้น และถ้าเส้นขนานกันก็ชัดเจนว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง “tse” ก็เหมาะสำหรับการสร้างเส้นตรง “de” เช่นกัน

เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ:

คำตอบ:

ตัวอย่างเรขาคณิตดูเรียบง่าย:

การทดสอบเชิงวิเคราะห์ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1) เราตรวจสอบว่าเส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน (หากสมการของเส้นไม่ได้ถูกทำให้ง่ายขึ้นอย่างถูกต้อง เวกเตอร์ก็จะอยู่ในแนวเดียวกัน)

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์หรือไม่

ในกรณีส่วนใหญ่ การทดสอบเชิงวิเคราะห์สามารถดำเนินการได้อย่างง่ายดายด้วยวาจา ดูสมการทั้งสองนี้ แล้วหลายๆ คนจะระบุความขนานของเส้นได้อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องวาดใดๆ

ตัวอย่างโซลูชันอิสระในปัจจุบันจะเป็นแบบสร้างสรรค์ เพราะคุณยังคงต้องแข่งขันกับบาบายากาและเธอก็รู้ว่าเธอเป็นผู้รักปริศนาทุกประเภท

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดขนานกับเส้นถ้า

มีวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลและไม่สมเหตุสมผล วิธีที่สั้นที่สุดคือตอนท้ายบทเรียน

เราทำงานเล็กน้อยกับเส้นคู่ขนานและจะกลับมาหาพวกเขาในภายหลัง กรณีของเส้นที่ตรงกันนั้นไม่ค่อยน่าสนใจ ดังนั้นลองพิจารณาปัญหาที่คุณคุ้นเคยมากจากหลักสูตรของโรงเรียน:

จะหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?

ถ้าตรง ตัดกันที่จุด แล้วพิกัดของมันคือคำตอบ ระบบสมการเชิงเส้น

จะหาจุดตัดของเส้นได้อย่างไร? แก้ระบบ.

เอาล่ะ ความหมายทางเรขาคณิตของระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว- นี่คือเส้นสองเส้นที่ตัดกัน (บ่อยที่สุด) บนเครื่องบิน

ตัวอย่างที่ 4

หาจุดตัดกันของเส้น

สารละลาย: มีสองวิธีในการแก้ปัญหา - แบบกราฟิกและการวิเคราะห์

วิธีกราฟิกคือเพียงวาดเส้นที่กำหนดและค้นหาจุดตัดโดยตรงจากภาพวาด:

นี่คือประเด็นของเรา: . ในการตรวจสอบ คุณควรแทนที่พิกัดของมันลงในแต่ละสมการของเส้นตรง ซึ่งพวกมันควรจะพอดีทั้งตรงนั้นและตรงนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดของจุดคือคำตอบของระบบ โดยพื้นฐานแล้ว เราดูที่โซลูชันแบบกราฟิก ระบบสมการเชิงเส้นด้วยสองสมการ สองสิ่งที่ไม่รู้

แน่นอนว่าวิธีการแบบกราฟิกนั้นไม่เลว แต่ก็มีข้อเสียที่เห็นได้ชัดเจน ไม่ ประเด็นไม่ใช่ว่านักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัดสินใจเช่นนี้ ประเด็นคือ ต้องใช้เวลาในการสร้างภาพวาดที่ถูกต้องและแม่นยำ นอกจากนี้ เส้นตรงบางเส้นยังสร้างได้ไม่ง่ายนัก และจุดตัดกันเองอาจอยู่ที่ไหนสักแห่งในอาณาจักรที่ 30 นอกแผ่นสมุดบันทึก

ดังนั้นจึงเป็นการสมควรมากกว่าที่จะค้นหาจุดตัดโดยใช้วิธีวิเคราะห์ มาแก้ระบบกัน:

ในการแก้ระบบได้ใช้วิธีการบวกสมการแบบเทอมต่อเทอม เพื่อพัฒนาทักษะที่เกี่ยวข้อง ให้เรียนบทเรียน จะแก้ระบบสมการได้อย่างไร?

คำตอบ:

การตรวจสอบนั้นไม่สำคัญ - พิกัดของจุดตัดจะต้องเป็นไปตามสมการแต่ละระบบ

ตัวอย่างที่ 5

หาจุดตัดกันของเส้นตรงถ้ามันตัดกัน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง สะดวกในการแบ่งงานออกเป็นหลายขั้นตอน การวิเคราะห์สภาพแสดงให้เห็นว่ามีความจำเป็น:
1) เขียนสมการของเส้นตรง
2) เขียนสมการของเส้นตรง
3) ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น
4) ถ้าเส้นตัดกัน ให้หาจุดตัดกัน

การพัฒนาอัลกอริธึมการดำเนินการเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนมาก และฉันจะเน้นไปที่เรื่องนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีก

เฉลยและคำตอบทั้งหมดในตอนท้ายของบทเรียน:

ไม่มีรองเท้าคู่ใดขาดเลยก่อนที่เราจะเข้าสู่ส่วนที่สองของบทเรียน:

เส้นตั้งฉาก. ระยะทางจากจุดถึงเส้น
มุมระหว่างเส้นตรง

เริ่มจากงานทั่วไปและสำคัญมากกันก่อน ในส่วนแรก เราได้เรียนรู้วิธีสร้างเส้นตรงขนานกับอันนี้ และตอนนี้กระท่อมบนขาไก่จะหมุน 90 องศา:

จะสร้างเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 6

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เขียนสมการตั้งฉากกับเส้นที่ผ่านจุด

สารละลาย: โดยเงื่อนไขเป็นที่รู้กันว่า คงจะดีถ้าหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เนื่องจากเส้นตั้งฉากกัน เคล็ดลับง่ายๆ ก็คือ:

จากสมการเรา "ลบ" เวกเตอร์ปกติ: ซึ่งจะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

ลองเขียนสมการของเส้นตรงโดยใช้จุดและเวกเตอร์ทิศทาง:

คำตอบ:

มาขยายร่างเรขาคณิตกัน:

อืม... ฟ้าสีส้ม ทะเลสีส้ม อูฐสีส้ม

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ของโซลูชัน:

1) เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ และด้วยความช่วยเหลือ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เรามาถึงข้อสรุปว่าเส้นตั้งฉากกันจริงๆ: .

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถใช้เวกเตอร์ปกติได้ ง่ายกว่านี้อีก

2) ตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นไปตามสมการผลลัพธ์หรือไม่ .

การทดสอบนี้ทำได้ง่ายด้วยวาจา

ตัวอย่างที่ 7

หาจุดตัดของเส้นตั้งฉากถ้าทราบสมการ และช่วงเวลา

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง มีหลายการกระทำในปัญหา ดังนั้นจึงสะดวกในการกำหนดวิธีแก้ปัญหาแบบจุดต่อจุด

การเดินทางที่น่าตื่นเต้นของเราดำเนินต่อไป:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด

ตรงหน้าเราเป็นแม่น้ำสายตรง หน้าที่ของเราคือไปให้ถึงแม่น้ำด้วยเส้นทางที่สั้นที่สุด ไม่มีสิ่งกีดขวางและเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดคือการเคลื่อนที่ไปในแนวตั้งฉาก นั่นคือระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของส่วนตั้งฉาก

ระยะทางในเรขาคณิตมักเขียนแทนด้วยตัวอักษรกรีก "rho" ตัวอย่างเช่น: - ระยะทางจากจุด "em" ถึงเส้นตรง "de"

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัด แสดงโดยสูตร

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

สารละลาย: สิ่งที่คุณต้องทำคือแทนที่ตัวเลขลงในสูตรอย่างระมัดระวังแล้วดำเนินการคำนวณ:

คำตอบ:

มาวาดรูปกันเถอะ:

ระยะทางที่พบจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงคือความยาวของส่วนสีแดงพอดี หากคุณวาดภาพบนกระดาษตาหมากรุกในระดับ 1 หน่วย = 1 ซม. (2 เซลล์) จากนั้นสามารถวัดระยะทางด้วยไม้บรรทัดธรรมดา

ลองพิจารณางานอื่นโดยใช้รูปวาดเดียวกัน:

ภารกิจคือการหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับเส้นตรง . ฉันแนะนำให้ทำตามขั้นตอนด้วยตัวเอง แต่ฉันจะร่างอัลกอริทึมการแก้ปัญหาด้วยผลลัพธ์ขั้นกลาง:

1) ค้นหาเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง

2) ค้นหาจุดตัดของเส้น: .

การกระทำทั้งสองจะกล่าวถึงโดยละเอียดในบทเรียนนี้

3) จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วน เรารู้พิกัดของตรงกลางและปลายด้านหนึ่ง โดย สูตรสำหรับพิกัดจุดกึ่งกลางของส่วนเราพบ

เป็นความคิดที่ดีที่จะตรวจสอบว่าระยะทางเป็น 2.2 หน่วยด้วย

ความยากลำบากอาจเกิดขึ้นในการคำนวณที่นี่ แต่เครื่องคิดเลขขนาดเล็กเป็นตัวช่วยที่ดีเยี่ยมในหอคอย ทำให้คุณสามารถคำนวณเศษส่วนธรรมดาได้ ฉันเคยแนะนำคุณหลายครั้งแล้วและจะแนะนำคุณอีกครั้ง

จะหาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้นได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้น

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งให้คุณตัดสินใจด้วยตัวเอง ฉันจะให้คำแนะนำเล็กน้อยแก่คุณ: มีหลายวิธีในการแก้ปัญหานี้อย่างไม่สิ้นสุด การซักถามในตอนท้ายของบทเรียน แต่ควรลองเดาด้วยตัวเองดีกว่า ฉันคิดว่าความฉลาดของคุณได้รับการพัฒนาอย่างดี

มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น

ทุกมุมเป็นวงกบ:

ในเรขาคณิต มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะถือเป็นมุมที่เล็กกว่า ซึ่งจะตามมาโดยอัตโนมัติเพื่อไม่ให้มุมป้าน ในรูป มุมที่ระบุโดยส่วนโค้งสีแดงไม่ถือเป็นมุมระหว่างเส้นตัดกัน และเพื่อนบ้าน "สีเขียว" ของเขาหรือ มุ่งเน้นในทางตรงกันข้ามมุม "ราสเบอร์รี่"

ถ้าเส้นตั้งฉาก มุมทั้ง 4 มุมก็สามารถใช้เป็นมุมระหว่างมุมเหล่านั้นได้

มุมต่างกันอย่างไร? ปฐมนิเทศ. ประการแรก ทิศทางของการ "เลื่อน" มุมนั้นมีความสำคัญขั้นพื้นฐาน ประการที่สอง มุมที่เป็นลบจะถูกเขียนด้วยเครื่องหมายลบ เช่น ถ้า

ทำไมฉันถึงบอกคุณเรื่องนี้? ดูเหมือนว่าเราจะผ่านแนวคิดเรื่องมุมตามปกติได้ ความจริงก็คือสูตรที่ใช้หามุมสามารถให้ผลลัพธ์เชิงลบได้ง่าย และสิ่งนี้ไม่ควรทำให้คุณประหลาดใจ มุมที่มีเครื่องหมายลบก็ไม่ได้แย่ไปกว่านั้น และมีความหมายทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจงมาก ในภาพวาด สำหรับมุมลบ ต้องแน่ใจว่าได้ระบุทิศทางด้วยลูกศร (ตามเข็มนาฬิกา)

จะหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?มีสองสูตรการทำงาน:

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหามุมระหว่างเส้น

สารละลายและ วิธีที่หนึ่ง

ลองพิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป:

ถ้าตรง ไม่ตั้งฉาก, ที่ มุ่งเน้นมุมระหว่างมุมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

ให้เราใส่ใจกับตัวส่วนอย่างใกล้ชิด - ตรงนี้เอง ผลิตภัณฑ์สเกลาร์กำกับเวกเตอร์ของเส้นตรง:

ถ้า แล้วตัวหารของสูตรจะกลายเป็นศูนย์ และเวกเตอร์จะตั้งฉากและเส้นจะตั้งฉาก นั่นคือสาเหตุว่าทำไมจึงมีข้อสงวนเกี่ยวกับความไม่ตั้งฉากของเส้นตรงในสูตร

จากที่กล่าวมาข้างต้น จะสะดวกในการจัดทำโซลูชันอย่างเป็นทางการในสองขั้นตอน:

1) ลองคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:
ซึ่งหมายความว่าเส้นไม่ตั้งฉาก

2) ค้นหามุมระหว่างเส้นตรงโดยใช้สูตร:

การใช้ฟังก์ชันผกผันทำให้ง่ายต่อการค้นหามุม ในกรณีนี้ เราใช้ความคี่ของอาร์กแทนเจนต์ (ดู กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น):

คำตอบ:

ในคำตอบของคุณ เราจะระบุค่าที่แน่นอนตลอดจนค่าโดยประมาณ (ควรเป็นทั้งองศาและเรเดียน) ซึ่งคำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข

ลบ ลบ ไม่ใช่เรื่องใหญ่อะไร นี่คือภาพประกอบทางเรขาคณิต:

ไม่น่าแปลกใจที่มุมกลายเป็นทิศทางเชิงลบเพราะในคำชี้แจงปัญหาตัวเลขแรกเป็นเส้นตรงและการ "คลายเกลียว" ของมุมเริ่มต้นด้วยอย่างแม่นยำ

หากคุณต้องการได้มุมบวกจริงๆ คุณต้องสลับเส้น นั่นคือ นำสัมประสิทธิ์จากสมการที่สอง และหาสัมประสิทธิ์จากสมการแรก ในระยะสั้นคุณต้องเริ่มต้นด้วยโดยตรง .

มุมระหว่างระนาบ

พิจารณาระนาบสองระนาบ α 1 และ α 2 ซึ่งกำหนดตามลำดับโดยสมการ:

ภายใต้ มุมระหว่างระนาบสองระนาบ เราจะเข้าใจมุมไดฮีดรัลอันใดอันหนึ่งที่เกิดจากระนาบเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ปกติและระนาบ α 1 และ α 2 เท่ากับหนึ่งในมุมไดฮีดรัลที่อยู่ติดกันที่ระบุ หรือ . นั่นเป็นเหตุผล . เพราะ และ , ที่

ตัวอย่าง.กำหนดมุมระหว่างระนาบ x+2ย-3z+4=0 และ 2 x+3ย+z+8=0.

เงื่อนไขความขนานของระนาบทั้งสอง

ระนาบสองอัน α 1 และ α 2 จะขนานกันก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันขนานกัน ดังนั้น .

ดังนั้น ระนาบสองระนาบจะขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของพิกัดที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วน:

หรือ

สภาพตั้งฉากของระนาบ

เห็นได้ชัดว่าระนาบสองระนาบตั้งฉากก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันตั้งฉากกัน และด้วยเหตุนี้ หรือ

ดังนั้น, .

ตัวอย่าง.

ตรงไปในอวกาศ

สมการเวกเตอร์สำหรับเส้น

สมการทางตรงพาราเมตริก

ตำแหน่งของเส้นในช่องว่างถูกกำหนดโดยการระบุจุดคงที่ใดๆ ม 1 และเวกเตอร์ขนานกับเส้นนี้

เรียกว่าเวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรง คำแนะนำเวกเตอร์ของเส้นนี้

เลยปล่อยให้เป็นเส้นตรง ลผ่านจุดหนึ่ง ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) นอนอยู่บนเส้นขนานกับเวกเตอร์ .

พิจารณาจุดใดก็ได้ ม(x,y,z)บนเส้นตรง จากรูปก็ชัดเจนว่า .

เวกเตอร์และเป็นเส้นตรง ดังนั้นจึงมีตัวเลขดังกล่าว ที, อะไร , ตัวคูณอยู่ที่ไหน ทีสามารถรับค่าตัวเลขใดๆ ก็ได้ ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด มบนเส้นตรง ปัจจัย ทีเรียกว่าพารามิเตอร์ มีการกำหนดเวกเตอร์รัศมีของจุด ม 1 และ มตามลำดับ ผ่าน และ เราได้รับ สมการนี้เรียกว่า เวกเตอร์สมการของเส้นตรง มันแสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละค่าพารามิเตอร์ ทีสอดคล้องกับเวกเตอร์รัศมีของจุดใดจุดหนึ่ง มนอนเป็นเส้นตรง

ลองเขียนสมการนี้ในรูปแบบพิกัดกัน สังเกตว่า และจากที่นี่

สมการผลลัพธ์จะถูกเรียกว่า พารามิเตอร์สมการของเส้นตรง

เมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์ ทีพิกัดเปลี่ยนไป x, ยและ zและช่วงเวลา มเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

สมการมาตรฐานของทางตรง

อนุญาต ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) – จุดที่วางอยู่บนเส้นตรง ล, และ คือเวกเตอร์ทิศทางของมัน ให้เราพิจารณาประเด็นตามอำเภอใจอีกครั้ง ม(x,y,z)และพิจารณาเวกเตอร์

เป็นที่แน่ชัดว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันของพวกมันจะต้องเป็นสัดส่วน ดังนั้น

– ตามบัญญัติสมการของเส้นตรง

หมายเหตุ 1.โปรดทราบว่าสมการมาตรฐานของเส้นตรงสามารถได้รับจากสมการพาราเมตริกโดยการกำจัดพารามิเตอร์ ที. อันที่จริงจากสมการพาราเมตริกที่เราได้รับ หรือ .

ตัวอย่าง.เขียนสมการของเส้นตรง ในรูปแบบพาราเมตริก

มาแสดงกันเถอะ , จากที่นี่ x = 2 + 3ที, ย = –1 + 2ที, z = 1 –ที.

โน้ต 2.ปล่อยให้เส้นตรงตั้งฉากกับแกนพิกัดแกนใดแกนหนึ่ง เช่น แกน วัว. จากนั้นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงจะตั้งฉาก วัว, เพราะฉะนั้น, ม=0. ดังนั้น สมการพาราเมตริกของเส้นตรงจะอยู่ในรูปแบบ

การแยกพารามิเตอร์ออกจากสมการ ทีเราได้สมการของเส้นตรงในรูปแบบ

อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ด้วย เราตกลงที่จะเขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรงในรูปแบบอย่างเป็นทางการ . ดังนั้น หากตัวส่วนของเศษส่วนตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ แสดงว่าเส้นตรงตั้งฉากกับแกนพิกัดที่สอดคล้องกัน

คล้ายกับสมการบัญญัติ สอดคล้องกับเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน วัวและ เฮ้ยหรือขนานกับแกน ออนซ์.

ตัวอย่าง.

สมการทั่วไปของเส้นตรงเท่ากับเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ

ในทุกเส้นตรงในอวกาศมีระนาบจำนวนนับไม่ถ้วน สองอันใดอันหนึ่งตัดกัน ให้นิยามมันในอวกาศ ดังนั้น สมการของระนาบสองระนาบใดๆ เมื่อพิจารณารวมกัน จะแสดงสมการของเส้นนี้

โดยทั่วไปแล้ว ระนาบที่ไม่ขนานกันสองระนาบใดๆ ที่กำหนดโดยสมการทั่วไป

กำหนดเส้นตรงของจุดตัดของพวกเขา สมการเหล่านี้เรียกว่า สมการทั่วไปตรง.

ตัวอย่าง.

สร้างเส้นที่กำหนดโดยสมการ

ในการสร้างเส้นตรง ก็เพียงพอที่จะหาจุดสองจุดใดก็ได้ วิธีที่ง่ายที่สุดคือการเลือกจุดตัดของเส้นตรงกับระนาบพิกัด เช่น จุดตัดกับระนาบ xOyเราได้รับจากสมการของเส้นตรง โดยสมมติว่า z= 0:

เมื่อแก้ไขระบบนี้แล้วเราจะพบประเด็น ม 1 (1;2;0).

ในทำนองเดียวกันสมมติว่า ย= 0 เราได้จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ xออซ:

จากสมการทั่วไปของเส้นตรง เราสามารถไปยังสมการมาตรฐานหรือสมการพาราเมตริกได้ ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องค้นหาจุดใดจุดหนึ่ง ม 1 บนเส้นตรงและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

พิกัดจุด ม 1 ที่เราได้รับจากระบบสมการนี้ โดยให้ค่าพิกัดใดค่าหนึ่งตามอำเภอใจ ในการค้นหาเวกเตอร์ทิศทาง โปรดทราบว่าเวกเตอร์นี้จะต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติทั้งสองตัว และ . ดังนั้นเกินเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง ลคุณสามารถหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ปกติได้:

ตัวอย่าง.ให้สมการทั่วไปของเส้นตรง สู่รูปแบบบัญญัติ

ลองหาจุดนอนอยู่บนเส้นกัน ในการทำเช่นนี้ เราเลือกพิกัดใดพิกัดหนึ่งตามอำเภอใจ เช่น ย= 0 และแก้ระบบสมการ:

เวกเตอร์ปกติของระนาบที่กำหนดเส้นตรงมีพิกัด ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางจะเป็นเส้นตรง

. เพราะฉะนั้น, ล: .

มุมระหว่างเส้นตรง

มุมระหว่างเส้นตรงในอวกาศ เราจะเรียกมุมที่อยู่ติดกันใดๆ ที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านจุดใดก็ได้ที่ขนานกับข้อมูล

ให้มีสองบรรทัดในช่องว่าง:

แน่นอนว่ามุม φ ระหว่างเส้นตรงสามารถใช้เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางกับ ตั้งแต่ จากนั้นใช้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่เราได้รับ

ฉันจะพูดสั้นๆ มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นเท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ดังนั้นหากคุณจัดการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง a = (x 1 ; y 1 ; z 1) และ b = (x 2 ; y 2 ; z 2) คุณก็จะสามารถหามุมได้ แม่นยำยิ่งขึ้นโคไซน์ของมุมตามสูตร:

มาดูกันว่าสูตรนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. ในลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 มีการทำเครื่องหมายจุด E และ F - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ ค้นหามุมระหว่างเส้น AE และ BF

เนื่องจากไม่ได้ระบุขอบของลูกบาศก์ ให้เราตั้งค่า AB = 1 เราแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A แกน x, y, z ถูกกำหนดทิศทางไปตาม AB, AD และ AA 1 ตามลำดับ ส่วนของหน่วยเท่ากับ AB = 1 ทีนี้ ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงของเรากัน

ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ AE กัน สำหรับสิ่งนี้เราต้องการคะแนน A = (0; 0; 0) และ E = (0.5; 0; 1) เนื่องจากจุด E อยู่ตรงกลางของส่วน A 1 B 1 พิกัดของมันจึงเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดสิ้นสุด โปรดทราบว่าจุดกำเนิดของเวกเตอร์ AE เกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิดของพิกัด ดังนั้น AE = (0.5; 0; 1)

ทีนี้ ลองดูเวกเตอร์ BF กัน ในทำนองเดียวกัน เราวิเคราะห์จุด B = (1; 0; 0) และ F = (1; 0.5; 1) เพราะ F อยู่ตรงกลางของส่วน B 1 C 1 เรามี:
BF = (1 − 1; 0.5 − 0; 1 − 0) = (0; 0.5; 1)

ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางพร้อมแล้ว โคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตรงคือโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ดังนั้นเราจึงได้:

งาน. ในปริซึมสามเหลี่ยมปกติ ABCA 1 B 1 C 1 ขอบทั้งหมดซึ่งเท่ากับ 1 มีเครื่องหมายจุด D และ E - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ ค้นหามุมระหว่างเส้น AD และ BE

ขอแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A, แกน x มุ่งไปตาม AB, z - ตามแนว AA 1 ลองกำหนดทิศทางแกน y เพื่อให้ระนาบ OXY ตรงกับระนาบ ABC ส่วนของหน่วยเท่ากับ AB = 1 ให้เราค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่ต้องการ

ก่อนอื่น เรามาค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ AD กันก่อน พิจารณาประเด็น: A = (0; 0; 0) และ D = (0.5; 0; 1) เพราะ D - ตรงกลางของส่วน A 1 B 1 เนื่องจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ AD เกิดขึ้นพร้อมกับที่มาของพิกัด เราจึงได้ AD = (0.5; 0; 1)

ทีนี้ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ BE กัน จุด B = (1; 0; 0) คำนวณได้ง่าย ด้วยจุด E - ตรงกลางของส่วน C 1 B 1 - มันซับซ้อนกว่าเล็กน้อย เรามี:

ยังคงต้องหาโคไซน์ของมุม:

งาน. ในปริซึมหกเหลี่ยมปกติ ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ขอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 มีเครื่องหมายจุด K และ L - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ . ค้นหามุมระหว่างเส้น AK และ BL

ให้เราแนะนำระบบพิกัดมาตรฐานสำหรับปริซึม: เราวางจุดกำเนิดของพิกัดไว้ที่กึ่งกลางของฐานด้านล่าง แกน x ถูกกำหนดทิศทางตาม FC แกน y กำหนดทิศทางผ่านจุดกึ่งกลางของส่วน AB และ DE และ z แกนถูกชี้ขึ้นในแนวตั้งขึ้น ส่วนของหน่วยจะเท่ากับ AB = 1 อีกครั้ง ลองเขียนพิกัดของจุดสนใจให้เราทราบ:

จุด K และ L เป็นจุดกึ่งกลางของกลุ่ม A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ ดังนั้นพิกัดของจุดเหล่านี้จะพบได้จากค่าเฉลี่ยเลขคณิต เมื่อทราบจุดต่างๆ เราจะพบพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง AK และ BL:

ทีนี้ลองหาโคไซน์ของมุม:

งาน. ในพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ SABCD ขอบทั้งหมดเท่ากับ 1 มีเครื่องหมายจุด E และ F - จุดกึ่งกลางของด้าน SB และ SC ตามลำดับ ค้นหามุมระหว่างเส้น AE และ BF

ขอแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A แกน x และ y หันไปตาม AB และ AD ตามลำดับ และแกน z หันไปในแนวตั้งขึ้นด้านบน ส่วนหน่วยเท่ากับ AB = 1

จุด E และ F เป็นจุดกึ่งกลางของกลุ่ม SB และ SC ตามลำดับ ดังนั้นพิกัดของจุดเหล่านี้จึงถือเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจุดสิ้นสุด มาเขียนพิกัดของจุดสนใจให้เราทราบ:
ก = (0; 0; 0); ข = (1; 0; 0)