Kąt między liniami na płaszczyźnie. Kąt między liniami w przestrzeni Znajdź kąt ostry między liniami w kalkulatorze online

Ten materiał jest poświęcony takiemu pojęciu, jak kąt między dwiema przecinającymi się liniami prostymi. W pierwszym akapicie wyjaśnimy, co to jest i pokażemy to na ilustracjach. Następnie przeanalizujemy, jak znaleźć sinus, cosinus tego kąta i sam kąt (osobno rozważymy przypadki z płaszczyzną i przestrzenią trójwymiarową), podamy niezbędne wzory i pokażemy na przykładach, jak dokładnie są one stosowane w praktyce.

Aby zrozumieć, czym jest kąt utworzony na przecięciu dwóch prostych, musimy przypomnieć sobie samą definicję kąta, prostopadłości i punktu przecięcia.

Definicja 1

Dwie proste nazywamy przecinającymi się, jeśli mają jeden wspólny punkt. Punkt ten nazywany jest punktem przecięcia dwóch prostych.

Każda linia jest podzielona przez punkt przecięcia na półproste. W tym przypadku obie linie tworzą 4 kąty, z których dwa są pionowe, a dwa sąsiadują. Jeśli znamy miarę jednego z nich, to możemy wyznaczyć pozostałe.

Powiedzmy, że wiemy, że jeden z kątów jest równy α. W takim przypadku kąt, który jest do niego pionowy, również będzie równy α. Aby znaleźć pozostałe kąty, musimy obliczyć różnicę 180 ° - α . Jeśli α jest równe 90 stopni, to wszystkie kąty będą proste. Linie przecinające się pod kątem prostym nazywane są prostopadłymi (pojęciu prostopadłości poświęcony jest osobny artykuł).

Spójrz na zdjęcie:

Przejdźmy do sformułowania definicji głównej.

Definicja 2

Kąt utworzony przez dwie przecinające się proste jest miarą mniejszego z 4 kątów tworzących te dwie proste.

Z definicji należy wyciągnąć ważny wniosek: wielkość kąta w tym przypadku będzie wyrażona dowolną liczbą rzeczywistą w przedziale (0 , 90 ). Jeśli proste są prostopadłe, to kąt między nimi będzie w każdym przypadku równy równe 90 stopni.

Umiejętność znalezienia miary kąta między dwiema przecinającymi się prostymi jest przydatna do rozwiązywania wielu praktycznych problemów. Metodę rozwiązania można wybrać spośród kilku opcji.

Na początek możemy wziąć metody geometryczne. Jeśli wiemy coś o dodatkowych kątach, możemy połączyć je z potrzebnym nam kątem, korzystając z właściwości równych lub podobnych kształtów. Na przykład, jeśli znamy boki trójkąta i musimy obliczyć kąt między liniami, na których znajdują się te boki, to twierdzenie cosinus jest odpowiednie do rozwiązania. Jeśli w warunku mamy trójkąt prostokątny, to do obliczeń będziemy również potrzebować znać sinus, cosinus i tangens kąta.

Metoda współrzędnych jest również bardzo wygodna do rozwiązywania tego typu problemów. Wyjaśnijmy, jak używać go poprawnie.

Mamy prostokątny (kartezjański) układ współrzędnych O x y z dwiema liniami prostymi. Oznaczmy je literami a i b. W tym przypadku linie proste można opisać za pomocą dowolnych równań. Oryginalne linie mają punkt przecięcia M . Jak wyznaczyć żądany kąt (oznaczmy go α) między tymi prostymi?

Zacznijmy od sformułowania podstawowej zasady znajdowania kąta w danych warunkach.

Wiemy, że takie pojęcia jak kierunek i wektor normalny są ściśle związane z pojęciem linii prostej. Jeśli mamy równanie jakiejś prostej, możemy z niej wziąć współrzędne tych wektorów. Możemy to zrobić dla dwóch przecinających się linii jednocześnie.

Kąt utworzony przez dwie przecinające się linie można znaleźć za pomocą:

kąt między wektorami kierunkowymi;
kąt między wektorami normalnymi;
kąt między wektorem normalnym jednej prostej a wektorem kierunkowym drugiej.

Teraz spójrzmy na każdą metodę osobno.

1. Załóżmy, że mamy prostą a z wektorem kierunkowym a → = (a x , a y) i prostą b z wektorem kierunkowym b → (b x , b y) . Odłóżmy teraz na bok dwa wektory a → i b → z punktu przecięcia. Następnie zobaczymy, że każdy z nich będzie znajdować się na własnej linii. Następnie mamy cztery opcje ich względnej pozycji. Zobacz ilustrację:

Jeśli kąt między dwoma wektorami nie jest rozwarty, to będzie to kąt między przecinającymi się prostymi a i b. Jeśli jest rozwarty, to żądany kąt będzie równy kątowi przylegającemu do kąta a → , b → ^ . Zatem α = a → , b → ^ jeśli a → , b → ^ ≤ 90 ° , a α = 180 ° - a → , b → ^ jeśli a → , b → ^ > 90 ° .

Opierając się na fakcie, że cosinusy równych kątów są równe, możemy przepisać otrzymane równości w następujący sposób: cos α = cos a → , b → ^ jeśli a → , b → ^ ≤ 90 ° ; sałata α = sałata 180 ° - za → , b → ^ = - sałata za → , b → ^ gdyby za → , b → ^ > 90 ° .

W drugim przypadku zastosowano wzory redukujące. Zatem,

sałata α sałata za → , b → ^ , sałata za → , b → ^ ≥ 0 - sałata za → , b → ^ , sałata za → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Zapiszmy ostatnią formułę słownie:

Definicja 3

Cosinus kąta utworzonego przez dwie przecinające się linie będzie równy modułowi cosinusa kąta między jego wektorami kierunkowymi.

Ogólna postać wzoru na cosinus kąta między dwoma wektorami a → = (a x, a y) i b → = (b x, b y) wygląda następująco:

sałata za → , b → ^ = za → , b → ^ za → b → = za x b x + za y + b y za x 2 + za y 2 b x 2 + b y 2

Z tego możemy wyprowadzić wzór na cosinus kąta między dwiema podanymi prostymi:

sałata α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Następnie sam kąt można znaleźć za pomocą następującego wzoru:

α = a r c sałata a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tutaj a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) są wektorami kierunkowymi danych linii.

Podajmy przykład rozwiązania problemu.

Przykład 1

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie dane są dwie przecinające się linie a i b. Można je opisać równaniami parametrycznymi x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R i x 5 = y - 6 - 3 . Oblicz kąt między tymi prostymi.

Rozwiązanie

W warunku mamy równanie parametryczne, co oznacza, że dla tej prostej możemy od razu zapisać współrzędne jej wektora kierunkowego. Aby to zrobić, musimy przyjąć wartości współczynników przy parametrze, tj. prosta x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R będzie miała wektor kierunkowy a → = (4 , 1) .

Druga prosta jest opisana równaniem kanonicznym x 5 = y - 6 - 3 . Tutaj możemy wziąć współrzędne z mianowników. Zatem ta prosta ma wektor kierunkowy b → = (5 , - 3) .

Następnie przechodzimy bezpośrednio do znalezienia kąta. Aby to zrobić, po prostu podstawiamy dostępne współrzędne dwóch wektorów do powyższego wzoru α = a r c cos a x b x + ay + b y a x 2 + ay 2 b x 2 + b y 2 . Otrzymujemy:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Odpowiedź: Linie te tworzą kąt 45 stopni.

Podobny problem możemy rozwiązać, znajdując kąt między wektorami normalnymi. Jeżeli mamy prostą a z wektorem normalnym n a → = (n a x , n a y) i prostą b z wektorem normalnym n b → = (n b x , n b y) , to kąt między nimi będzie równy kątowi między n a → a n b → lub kąt, który będzie przylegał do n a → , n b → ^ . Ta metoda jest pokazana na rysunku:

Wzory do obliczania cosinusa kąta między przecinającymi się liniami i samego tego kąta za pomocą współrzędnych wektorów normalnych wyglądają następująco:

sałata α = sałata n za → , n b → ^ = n za x n b x + n za y + n b y n za x 2 + n za y 2 n b x 2 + n b y 2

Tutaj n a → i n b → oznaczają wektory normalne dwóch danych prostych.

Przykład 2

Dwie proste są podane w prostokątnym układzie współrzędnych za pomocą równań 3 x + 5 y - 30 = 0 i x + 4 y - 17 = 0 . Znajdź sinus, cosinus kąta między nimi i wielkość samego kąta.

Rozwiązanie

Pierwotne linie proste są podane za pomocą równań normalnych linii prostych w postaci A x + B y + C = 0 . Oznaczmy wektor normalny n → = (A , B) . Znajdźmy współrzędne pierwszego wektora normalnego dla jednej prostej i zapiszmy je: n a → = (3 , 5) . Dla drugiej linii x + 4 y - 17 = 0 wektor normalny będzie miał współrzędne n b → = (1 , 4) . Teraz dodaj otrzymane wartości do wzoru i oblicz sumę:

sałata α = sałata n za → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Jeśli znamy cosinus kąta, możemy obliczyć jego sinus, korzystając z podstawowej tożsamości trygonometrycznej. Ponieważ kąt α utworzony przez linie proste nie jest rozwarty, to grzech α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

W tym przypadku α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Odpowiedź: sałata α = 23 2 34 , grzech α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Przeanalizujmy ostatni przypadek - znalezienie kąta między prostymi, jeśli znamy współrzędne wektora kierunkowego jednej prostej i wektora normalnego drugiej.

Załóżmy, że prosta a ma wektor kierunkowy a → = (a x , a y) , a prosta b ma wektor normalny n b → = (n b x , n b y) . Musimy odłożyć te wektory od punktu przecięcia i rozważyć wszystkie opcje ich względnego położenia. Widzieć zdjęcie:

Jeśli kąt między podanymi wektorami jest nie większy niż 90 stopni, to okaże się, że dopełni kąt między a i b do kąta prostego.

za → , n b → ^ = 90 ° - α jeśli za → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Jeśli jest mniejszy niż 90 stopni, otrzymujemy:

za → , n b → ^ > 90° , wtedy za → , n b → ^ = 90° + α

Korzystając z zasady równości cosinusów równych kątów, piszemy:

sałata za → , n b → ^ = sałata (90 ° - α) = grzech α dla za → , n b → ^ ≤ 90 ° .

sałata za → , n b → ^ = sałata 90 ° + α = - grzech α przy za → , n b → ^ > 90 ° .

Zatem,

grzech α = sałata za → , n b → ^ , za → , n b → ^ ≤ 90 ° - sałata za → , n b → ^ , za → , n b → ^ > 90 ° ⇔ grzech α = sałata za → , n b → ^ , za → , n b → ^ > 0 - sałata za → , n b → ^ , za → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Sformułujmy wniosek.

Definicja 4

Aby znaleźć sinus kąta między dwiema liniami przecinającymi się w płaszczyźnie, musisz obliczyć moduł cosinusa kąta między wektorem kierunkowym pierwszej prostej a wektorem normalnym drugiej.

Zapiszmy niezbędne formuły. Znalezienie sinusa kąta:

grzech α = sałata za → , n b → ^ = za x n b x + a y n b y za x 2 + za y 2 n b x 2 + n b y 2

Znalezienie samego rogu:

α = a r c grzech = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Tutaj a → jest wektorem kierunkowym pierwszej linii, a n b → jest wektorem normalnym drugiej.

Przykład 3

Dwie przecinające się proste są dane równaniami x - 5 = y - 6 3 i x + 4 y - 17 = 0 . Znajdź kąt przecięcia.

Rozwiązanie

Z podanych równań bierzemy współrzędne wektora kierunkowego i wektora normalnego. Okazuje się, że a → = (- 5 , 3) i n → b = (1 , 4) . Przyjmujemy wzór α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 i rozważamy:

α = a r c grzech = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c grzech 7 2 34

Zauważ, że wzięliśmy równania z poprzedniego zadania i otrzymaliśmy dokładnie ten sam wynik, ale w inny sposób.

Odpowiedź:α = a r c grzech 7 2 34

Oto inny sposób na znalezienie pożądanego kąta przy użyciu współczynników nachylenia danych linii.

Mamy prostą a , która jest zdefiniowana w prostokątnym układzie współrzędnych za pomocą równania y = k 1 · x + b 1 , oraz prostą b , zdefiniowaną jako y = k 2 · x + b 2 . Są to równania prostych o nachyleniu. Aby znaleźć kąt przecięcia, użyj wzoru:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , gdzie k 1 i k 2 są współczynnikami kierunkowymi danych linii. Aby uzyskać ten zapis, zastosowano wzory na określenie kąta poprzez współrzędne wektorów normalnych.

Przykład 4

Na płaszczyźnie przecinają się dwie proste, dane równaniami y = - 3 5 x + 6 i y = - 1 4 x + 17 4 . Oblicz kąt przecięcia.

Rozwiązanie

Nachylenia naszych prostych są równe k 1 = - 3 5 i k 2 = - 1 4 . Dodajmy je do wzoru α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 i obliczmy:

α = a r c sałata - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c sałata 23 20 34 24 17 16 = a r c sałata 23 2 34

Odpowiedź:α = a r do sałata 23 2 34

We wnioskach tego akapitu należy zauważyć, że podanych tutaj wzorów na znalezienie kąta nie trzeba uczyć się na pamięć. W tym celu wystarczy znać współrzędne prowadnic i/lub wektorów normalnych danych prostych i umieć je wyznaczyć za pomocą różnego rodzaju równań. Ale wzory do obliczania cosinusa kąta lepiej zapamiętać lub zapisać.

Jak obliczyć kąt między przecinającymi się liniami w przestrzeni

Obliczenie takiego kąta można sprowadzić do obliczenia współrzędnych wektorów kierunkowych i określenia wielkości kąta utworzonego przez te wektory. W przypadku takich przykładów używamy tego samego rozumowania, które podaliśmy wcześniej.

Załóżmy, że mamy prostokątny układ współrzędnych umieszczony w przestrzeni 3D. Zawiera dwie linie a i b z punktem przecięcia M . Aby obliczyć współrzędne wektorów kierunkowych, musimy znać równania tych prostych. Oznaczmy wektory kierunkowe a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Aby obliczyć cosinus kąta między nimi, używamy wzoru:

sałata α = sałata za → , b → ^ = za → , b → za → b → = za x b x + a y b y + a z b z za x 2 + za y 2 + za z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Aby znaleźć sam kąt, potrzebujemy tego wzoru:

α = a r c sałata a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Przykład 5

Mamy prostą zdefiniowaną w przestrzeni 3D za pomocą równania x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Wiadomo, że przecina się z osią O z. Oblicz kąt przecięcia i cosinus tego kąta.

Rozwiązanie

Oznaczmy kąt do obliczenia literą α. Zapiszmy współrzędne wektora kierunkowego dla pierwszej prostej - a → = (1 , - 3 , - 2) . Dla zastosowanej osi możemy przyjąć wektor współrzędnych k → = (0 , 0 , 1) jako wskazówkę. Otrzymaliśmy niezbędne dane i możemy dodać je do żądanej formuły:

sałata α = sałata za → , k → ^ = za → , k → za → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

W rezultacie otrzymaliśmy, że kąt, którego potrzebujemy, będzie równy a r c cos 1 2 = 45 °.

Odpowiedź: sałata α = 1 2 , α = 45 ° .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Narożnik φ równania ogólne A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, oblicza się według wzoru:

Narożnik φ między dwiema liniami prostymi równania kanoniczne(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 i (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, oblicza się według wzoru:

Odległość od punktu do linii

Każdą płaszczyznę w przestrzeni można przedstawić jako równanie liniowe tzw równanie ogólne samolot

Przypadki specjalne.

o Jeśli w równaniu (8), to płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych.

o Z (,) płaszczyzna jest odpowiednio równoległa do osi (osi, osi).

o Gdy (,) płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny(płaszczyzna, płaszczyzna).

Rozwiązanie: użyj (7)

Odpowiedź: ogólne równanie płaszczyzny.

Przykład.

Płaszczyzna w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz jest dana ogólnym równaniem płaszczyzny . Zapisz współrzędne wszystkich wektorów normalnych w tej płaszczyźnie.

Wiemy, że współczynniki zmiennych x, y i z w ogólnym równaniu płaszczyzny są odpowiednimi współrzędnymi wektora normalnego tej płaszczyzny. Zatem wektor normalny danej płaszczyzny ma współrzędne. Zbiór wszystkich wektorów normalnych można zapisać jako.

Napisz równanie płaszczyzny, jeśli w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz w przestrzeni przechodzi ona przez punkt , A jest wektorem normalnym tej płaszczyzny.

Przedstawiamy dwa rozwiązania tego problemu.

Od stanu jaki mamy . Podstawiamy te dane do ogólnego równania płaszczyzny przechodzącej przez punkt:

Napisz ogólne równanie dla płaszczyzny równoległej do płaszczyzny współrzędnych Oyz i przechodzącej przez ten punkt .

Płaszczyzna równoległa do płaszczyzny współrzędnych Oyz może być dana ogólnym niezupełnym równaniem płaszczyzny postaci . Od punktu należy z warunku do płaszczyzny, to współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie płaszczyzny, to znaczy równość musi być prawdziwa. Stąd znajdujemy. Zatem pożądane równanie ma postać.

Rozwiązanie. Iloczyn wektorowy, z definicji 10,26, jest prostopadły do wektorów p i q. Dlatego jest prostopadły do pożądanej płaszczyzny, a wektor można przyjąć jako jego wektor normalny. Znajdź współrzędne wektora n:

to jest . Korzystając ze wzoru (11.1), otrzymujemy

Otwierając nawiasy w tym równaniu, dochodzimy do ostatecznej odpowiedzi.

Odpowiedź: .

Przepiszmy wektor normalny w postaci i znajdźmy jego długość:

Zgodnie z powyższym:

Odpowiedź:

Płaszczyzny równoległe mają ten sam wektor normalny. 1) Z równania znajdujemy wektor normalny płaszczyzny:.

2) Układamy równanie płaszczyzny zgodnie z punktem i wektorem normalnym:

Odpowiedź:

Równanie wektorowe płaszczyzny w przestrzeni

Równanie parametryczne płaszczyzny w przestrzeni

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt prostopadłej do danego wektora

Niech prostokątny kartezjański układ współrzędnych będzie dany w przestrzeni trójwymiarowej. Sformułujmy następujący problem:

Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt M(X 0, y 0, z 0) prostopadle do danego wektora n = ( A, B, C} .

Rozwiązanie. Pozwalać P(X, y, z) jest dowolnym punktem w przestrzeni. Kropka P należy do płaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy wektor poseł = {X − X 0, y − y 0, z − z 0) prostopadły do wektora N = {A, B, C) (Rys. 1).

Po zapisaniu warunku ortogonalności dla tych wektorów (n, poseł) = 0 w postaci współrzędnych, otrzymujemy:

A(X − X 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0

Równanie płaszczyzny przez trzy punkty

W formie wektorowej

we współrzędnych

Wzajemne ustawienie płaszczyzn w przestrzeni

są ogólnymi równaniami dwóch płaszczyzn. Następnie:

1) jeśli , to płaszczyzny pokrywają się;

2) jeśli , to płaszczyzny są równoległe;

3) jeśli lub , to płaszczyzny się przecinają i układ równań

(6)

są równaniami linii przecięcia danych płaszczyzn.

Rozwiązanie: Równania kanoniczne prostej układamy według wzoru:

Odpowiedź:

Bierzemy wynikowe równania i mentalnie „odpinamy”, na przykład lewy kawałek: . Teraz zrównamy ten kawałek na dowolny numer(pamiętaj, że było już zero), np. do jedynki: . Skoro , to pozostałe dwa „kawałki” również muszą być równe jeden. Zasadniczo musisz rozwiązać system:

Napisz równania parametryczne dla następujących wierszy:

Rozwiązanie: Proste są dane równaniami kanonicznymi iw pierwszym etapie należy znaleźć jakiś punkt należący do prostej i jej wektora kierunkowego.

a) Z równań usuń punkt i wektor kierunku: . Możesz wybrać inny punkt (jak to zrobić opisano powyżej), ale lepiej jest wybrać najbardziej oczywisty. Nawiasem mówiąc, aby uniknąć błędów, zawsze zastępuj jego współrzędne w równaniach.

Ułóżmy parametryczne równania tej prostej:

Wygoda równań parametrycznych polega na tym, że za ich pomocą bardzo łatwo jest znaleźć inne punkty linii. Na przykład znajdźmy punkt, którego współrzędne, powiedzmy, odpowiadają wartości parametru :

Zatem: b) Rozważmy równania kanoniczne . Wybór punktu tutaj jest prosty, ale podstępny: (uważaj, aby nie pomylić współrzędnych!!!). Jak wyciągnąć wektor prowadzący? Możesz spierać się, do czego ta prosta jest równoległa, lub możesz użyć prostej formalnej sztuczki: proporcja to „y” i „z”, więc zapisujemy wektor kierunkowy , aw pozostałej przestrzeni stawiamy zero: .

Układamy parametryczne równania prostej:

c) Przepiszmy równania w postaci , czyli „Z” może być dowolne. A jeśli już, to niech np. Zatem punkt należy do tej prostej. Aby znaleźć wektor kierunkowy, używamy następującej techniki formalnej: w początkowych równaniach są „x” i „y”, aw wektorze kierunkowym w tych miejscach piszemy zera: . W pozostałe miejsce kładziemy jednostka: . Zamiast jednego wystarczy dowolna liczba, z wyjątkiem zera.

Piszemy równania parametryczne linii prostej:

Oh-oh-oh-oh-oh… no to blado, jakbyś sobie czytała zdanie =) Jednak wtedy relaks pomoże, tym bardziej, że kupiłam dzisiaj odpowiednie akcesoria. Dlatego przejdźmy do pierwszej części, mam nadzieję, że do końca artykułu zachowam pogodny nastrój.

Wzajemny układ dwóch linii prostych

Przypadek, gdy sala śpiewa w refrenie. Dwie linie mogą:

1) dopasowanie;

2) być równoległe: ;

3) lub przecinają się w jednym punkcie: .

Pomoc dla debili : proszę pamiętać o matematycznym znaku skrzyżowania, będzie się on pojawiał bardzo często. Wpis oznacza, że prosta przecina się z prostą w punkcie.

Jak określić względną pozycję dwóch linii?

Zacznijmy od pierwszego przypadku:

Dwie linie pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich odpowiednie współczynniki są proporcjonalne, czyli istnieje taka liczba „lambda”, że równości

Rozważmy proste i ułóżmy trzy równania z odpowiadających im współczynników: . Z każdego równania wynika zatem, że linie te pokrywają się.

Rzeczywiście, jeśli wszystkie współczynniki równania pomnóż przez -1 (zmień znaki) i zmniejsz wszystkie współczynniki równania przez 2, otrzymasz to samo równanie: .

Drugi przypadek, gdy proste są równoległe:

Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki przy zmiennych są proporcjonalne: , Ale.

Jako przykład rozważmy dwie linie proste. Sprawdzamy proporcjonalność odpowiednich współczynników dla zmiennych:

Jednak jasne jest, że .

I trzeci przypadek, gdy linie się przecinają:

Dwie linie przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych NIE są proporcjonalne, czyli NIE istnieje taka wartość "lambda" aby równości były spełnione

Tak więc dla prostych ułożymy układ:

Z pierwszego równania wynika, że , a z drugiego równania: , stąd system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem współczynniki przy zmiennych nie są proporcjonalne.

Wniosek: linie przecinają się

W praktycznych problemach można zastosować właśnie rozważany schemat rozwiązania. Nawiasem mówiąc, jest bardzo podobny do algorytmu sprawdzania współliniowości wektorów, który rozważaliśmy na lekcji. Pojęcie liniowej (nie)zależności wektorów. Podstawa wektorowa. Ale jest bardziej cywilizowany pakiet:

Przykład 1

Znajdź względne położenie linii:

Rozwiązanie na podstawie badania wektorów kierujących liniami prostymi:

a) Z równań znajdujemy wektory kierunkowe linii: .

, więc wektory nie są współliniowe i proste się przecinają.

Na wszelki wypadek postawię kamień ze wskazówkami na skrzyżowaniu:

Reszta przeskakuje przez kamień i idzie dalej, prosto do Kashchei Nieśmiertelnego =)

b) Znajdź wektory kierunkowe prostych:

Proste mają ten sam wektor kierunku, co oznacza, że są albo równoległe, albo takie same. Tutaj wyznacznik nie jest konieczny.

Oczywiście współczynniki niewiadomych są proporcjonalne, natomiast .

Sprawdźmy, czy równość jest prawdziwa:

Zatem,

c) Znajdź wektory kierunkowe prostych:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów:
, zatem wektory kierunkowe są współliniowe. Linie są równoległe lub pokrywają się.

Współczynnik proporcjonalności „lambda” można łatwo zobaczyć bezpośrednio ze stosunku współliniowych wektorów kierunkowych. Jednak można to również znaleźć za pomocą współczynników samych równań: .

Sprawdźmy teraz, czy równość jest prawdziwa. Oba wolne terminy są zerowe, więc:

Otrzymana wartość spełnia to równanie (zwykle spełnia je dowolna liczba).

W ten sposób linie się pokrywają.

Odpowiedź:

Bardzo szybko nauczysz się (lub już się nauczyłeś) rozwiązywać rozważany problem ustnie dosłownie w ciągu kilku sekund. Pod tym względem nie widzę powodu, aby oferować coś za samodzielne rozwiązanie, lepiej dołożyć jeszcze jedną ważną cegiełkę w geometrycznym fundamencie:

Jak narysować linię równoległą do danej?

Za nieznajomość tego najprostszego zadania Słowik Rozbójnik surowo karze.

Przykład 2

Linię prostą określa równanie . Napisz równanie prostej równoległej przechodzącej przez ten punkt.

Rozwiązanie: Oznacz nieznaną linię literą . Co mówi o tym warunek? Linia przechodzi przez punkt. A jeśli proste są równoległe, to oczywiste jest, że wektor kierunkowy prostej „ce” nadaje się również do zbudowania prostej „de”.

Wyciągamy wektor kierunkowy z równania:

Odpowiedź:

Geometria przykładu wygląda prosto:

Weryfikacja analityczna składa się z następujących kroków:

1) Sprawdzamy, czy proste mają ten sam wektor kierunkowy (jeśli równanie prostej nie zostanie odpowiednio uproszczone, to wektory będą współliniowe).

2) Sprawdź, czy punkt spełnia wynikowe równanie.

Weryfikacja analityczna w większości przypadków jest łatwa do przeprowadzenia werbalnie. Przyjrzyj się dwóm równaniom, a wielu z was szybko odkryje, w jaki sposób linie są równoległe bez żadnego rysowania.

Przykłady samodzielnego rozwiązania dzisiaj będą kreatywne. Bo ciągle trzeba rywalizować z Babą Jagą, a ona, wiadomo, jest miłośniczką wszelkiego rodzaju zagadek.

Przykład 3

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do prostej if

Istnieje racjonalny i niezbyt racjonalny sposób rozwiązania. Najkrótsza droga znajduje się na końcu lekcji.

Popracowaliśmy trochę nad liniami równoległymi i wrócimy do nich później. Przypadek zbiegających się linii jest mało interesujący, więc rozważmy problem, który jest ci dobrze znany ze szkolnego programu nauczania:

Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch prostych?

Jeśli prosto przecinają się w punkcie , to jego współrzędne są rozwiązaniem układy równań liniowych

Jak znaleźć punkt przecięcia prostych? Rozwiąż system.

Twoje zdrowie znaczenie geometryczne układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi to dwie przecinające się (najczęściej) linie proste na płaszczyźnie.

Przykład 4

Znajdź punkt przecięcia prostych

Rozwiązanie: Istnieją dwa sposoby rozwiązania - graficzny i analityczny.

Graficzny sposób polega po prostu na narysowaniu podanych linii i znalezieniu punktu przecięcia bezpośrednio z rysunku:

Oto nasz punkt: . Aby to sprawdzić, należy podstawić jego współrzędne do każdego równania prostej, powinny one pasować zarówno tam, jak i tam. Innymi słowy, współrzędne punktu są rozwiązaniem układu. W rzeczywistości rozważaliśmy graficzny sposób rozwiązania układy równań liniowych z dwoma równaniami, dwiema niewiadomymi.

Metoda graficzna oczywiście nie jest zła, ale zauważalne są wady. Nie, nie chodzi o to, że siódmoklasiści decydują w ten sposób, chodzi o to, że zrobienie poprawnego i DOKŁADNEGO rysunku zajmie trochę czasu. Ponadto niektóre linie nie są tak łatwe do skonstruowania, a sam punkt przecięcia może znajdować się gdzieś w trzydziestym królestwie poza arkuszem zeszytu.

Dlatego bardziej celowe jest poszukiwanie punktu przecięcia metodą analityczną. Rozwiążmy układ:

Do rozwiązania układu wykorzystano metodę dodawania równań wyrazami. Aby rozwinąć odpowiednie umiejętności, odwiedź lekcję Jak rozwiązać układ równań?

Odpowiedź:

Weryfikacja jest banalna - współrzędne punktu przecięcia muszą spełniać każde równanie układu.

Przykład 5

Znajdź punkt przecięcia prostych, jeśli się przecinają.

To jest przykład zrób to sam. Zadanie można wygodnie podzielić na kilka etapów. Analiza warunku sugeruje, że konieczne jest:
1) Napisz równanie prostej.
2) Napisz równanie prostej.
3) Znajdź względne położenie linii.
4) Jeśli linie się przecinają, znajdź punkt przecięcia.

Opracowanie algorytmu działania jest typowe dla wielu problemów geometrycznych i będę się na tym wielokrotnie koncentrował.

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu samouczka:

Para butów nie została jeszcze zużyta, ponieważ przeszliśmy do drugiej części lekcji:

Prostopadłe linie. Odległość od punktu do linii.
Kąt między liniami

Zacznijmy od typowego i bardzo ważnego zadania. W pierwszej części nauczyliśmy się budować prostą równoległą do podanej, a teraz chatka na kurzych nóżkach obróci się o 90 stopni:

Jak narysować linię prostopadłą do danej?

Przykład 6

Linię prostą określa równanie . Napisz równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt.

Rozwiązanie: Wiadomo z założenia, że . Byłoby miło znaleźć wektor kierunkowy linii prostej. Ponieważ linie są prostopadłe, sztuczka jest prosta:

Z równania „usuwamy” wektor normalny: , który będzie wektorem kierunkowym prostej.

Tworzymy równanie prostej przez punkt i wektor kierunkowy:

Odpowiedź:

Rozłóżmy szkic geometryczny:

Hmmm... Pomarańczowe niebo, pomarańczowe morze, pomarańczowy wielbłąd.

Analityczna weryfikacja rozwiązania:

1) Wyodrębnij wektory kierunkowe z równań i z pomocą iloczyn skalarny wektorów wnioskujemy, że proste są rzeczywiście prostopadłe: .

Nawiasem mówiąc, możesz użyć normalnych wektorów, jest to jeszcze łatwiejsze.

2) Sprawdź, czy punkt spełnia wynikowe równanie .

Weryfikacja jest łatwa do przeprowadzenia ustnie.

Przykład 7

Znajdź punkt przecięcia prostych prostopadłych, jeśli równanie jest znane i kropka.

To jest przykład zrób to sam. W zadaniu jest kilka działań, więc wygodnie jest ułożyć rozwiązanie punkt po punkcie.

Nasza ekscytująca podróż trwa:

Odległość od punktu do linii

Przed nami prosty pas rzeki i naszym zadaniem jest dotarcie do niego jak najkrótszą drogą. Nie ma żadnych przeszkód, a najbardziej optymalną trasą będzie poruszanie się po prostopadłości. Oznacza to, że odległość od punktu do linii jest długością odcinka prostopadłego.

Odległość w geometrii jest tradycyjnie oznaczana grecką literą „ro”, na przykład: - odległość od punktu „em” do linii prostej „de”.

Odległość od punktu do linii wyraża się wzorem

Przykład 8

Znajdź odległość od punktu do prostej

Rozwiązanie: wszystko, czego potrzebujesz, to ostrożnie podstawić liczby do wzoru i wykonać obliczenia:

Odpowiedź:

Wykonajmy rysunek:

Odległość znaleziona od punktu do linii jest dokładnie równa długości czerwonego odcinka. Jeśli wykonasz rysunek na papierze w kratkę w skali 1 jednostki. \u003d 1 cm (2 komórki), wtedy odległość można zmierzyć zwykłą linijką.

Rozważ inne zadanie według tego samego rysunku:

Zadanie polega na znalezieniu współrzędnych punktu , który jest symetryczny do punktu względem prostej . Proponuję wykonać działania we własnym zakresie, jednak nakreślę algorytm rozwiązania z wynikami pośrednimi:

1) Znajdź prostą prostopadłą do prostej.

2) Znajdź punkt przecięcia linii: .

Obie akcje są szczegółowo omówione w tej lekcji.

3) Punkt jest środkiem odcinka. Znamy współrzędne środka i jednego z końców. Przez wzory na współrzędne środka odcinka znajdować .

Sprawdzenie, czy odległość jest również równa 2,2 jednostki, nie będzie zbędne.

Tutaj mogą pojawić się trudności w obliczeniach, ale w wieży bardzo pomaga mikrokalkulator, który pozwala liczyć ułamki zwykłe. Doradzałem wiele razy i będę polecał ponownie.

Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi liniami?

Przykład 9

Znajdź odległość między dwiema równoległymi liniami

To kolejny przykład niezależnego rozwiązania. Mała podpowiedź: istnieje nieskończenie wiele sposobów rozwiązania. Odprawa na koniec lekcji, ale lepiej spróbuj sam zgadnąć, myślę, że udało ci się dobrze rozproszyć swoją pomysłowość.

Kąt między dwiema liniami

Niezależnie od rogu, to oścież:

W geometrii kąt między dwiema liniami prostymi jest traktowany jako KĄT MNIEJSZY, z czego automatycznie wynika, że nie może być rozwarty. Na rysunku kąt wskazany czerwonym łukiem nie jest uważany za kąt między przecinającymi się liniami. A jego „zielony” sąsiad lub zorientowane przeciwnie karmazynowy kącik.

Jeśli linie są prostopadłe, to dowolny z 4 kątów można przyjąć jako kąt między nimi.

Czym różnią się kąty? Orientacja. Po pierwsze, kierunek „przewijania” rogu ma fundamentalne znaczenie. Po drugie, kąt skierowany ujemnie jest zapisywany ze znakiem minus, na przykład, jeśli .

Dlaczego to powiedziałem? Wydaje się, że można sobie poradzić ze zwykłą koncepcją kąta. Faktem jest, że we wzorach, za pomocą których znajdziemy kąty, łatwo można uzyskać wynik ujemny i nie powinno to nikogo dziwić. Kąt ze znakiem minus nie jest gorszy i ma bardzo specyficzne znaczenie geometryczne. Na rysunku dla kąta ujemnego konieczne jest wskazanie jego orientacji (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) za pomocą strzałki.

Jak znaleźć kąt między dwiema liniami? Istnieją dwie formuły robocze:

Przykład 10

Znajdź kąt między liniami

Rozwiązanie I Metoda pierwsza

Rozważmy dwie proste określone równaniami w postaci ogólnej:

Jeśli prosto nie prostopadłe, To zorientowany kąt między nimi można obliczyć ze wzoru:

Zwróćmy szczególną uwagę na mianownik - to jest dokładnie to iloczyn skalarny wektory kierunkowe prostych:

Jeśli , to mianownik wzoru znika, a wektory będą ortogonalne, a proste będą prostopadłe. Dlatego zgłoszono zastrzeżenie co do nieprostopadłości linii w sformułowaniu.

W oparciu o powyższe rozwiązanie można wygodnie sformalizować w dwóch krokach:

1) Oblicz iloczyn skalarny wektorów kierujących liniami prostymi:
więc proste nie są prostopadłe.

2) Kąt między liniami znajdujemy według wzoru:

Korzystając z funkcji odwrotnej, łatwo jest znaleźć sam kąt. W tym przypadku używamy nieparzystości łuku tangensa (patrz ryc. Wykresy i własności funkcji elementarnych):

Odpowiedź:

W odpowiedzi podajemy dokładną wartość, a także wartość przybliżoną (najlepiej zarówno w stopniach, jak i radianach), obliczoną za pomocą kalkulatora.

Cóż, minus, więc minus, jest w porządku. Oto ilustracja geometryczna:

Nic dziwnego, że kąt okazał się mieć orientację ujemną, ponieważ w stanie problemu pierwsza liczba jest linią prostą i właśnie od niej zaczęło się „skręcanie” kąta.

Jeśli naprawdę chcesz uzyskać kąt dodatni, musisz zamienić proste, czyli wziąć współczynniki z drugiego równania i weź współczynniki z pierwszego równania . Krótko mówiąc, musisz zacząć od directa .

KĄT MIĘDZY PŁASZCZYZNAMI

Rozważmy dwie płaszczyzny α 1 i α 2 określone odpowiednio równaniami:

Pod kąt między dwiema płaszczyznami mamy na myśli jeden z kątów dwuściennych utworzonych przez te płaszczyzny. Jest oczywiste, że kąt między wektorami normalnymi a płaszczyznami α 1 i α 2 jest równy jednemu ze wskazanych sąsiednich kątów dwuściennych lub . Dlatego . Ponieważ I , To

Przykład. Wyznacz kąt między płaszczyznami X+2y-3z+4=0 i 2 X+3y+z+8=0.

Warunek równoległości dwóch płaszczyzn.

Dwie płaszczyzny α 1 i α 2 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne i są równoległe, a zatem .

Tak więc dwie płaszczyzny są do siebie równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki na odpowiednich współrzędnych są proporcjonalne:

Lub

Warunek prostopadłości płaszczyzn.

Jest oczywiste, że dwie płaszczyzny są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne są prostopadłe, a zatem lub .

Zatem, .

Przykłady.

BEZPOŚREDNIO W PRZESTRZENI.

RÓWNANIE WEKTOROWE BEZPOŚREDNIE.

RÓWNANIA PARAMETRYCZNE BEZPOŚREDNIE

Położenie linii prostej w przestrzeni jest całkowicie określone przez określenie dowolnego z jej stałych punktów M 1 i wektor równoległy do tej prostej.

Nazywa się wektor równoległy do prostej prowadzenie wektor tej linii.

Więc pozwól prosto l przechodzi przez punkt M 1 (X 1 , y 1 , z 1) leży na linii prostej równoległej do wektora .

Rozważ dowolny punkt M(x, y, z) na linii prostej. Z rysunku widać, że .

Wektory i są współliniowe, więc istnieje taka liczba T, co , gdzie jest mnożnik T może przyjąć dowolną wartość liczbową w zależności od położenia punktu M na linii prostej. Czynnik T nazywa się parametrem. Oznaczanie wektorów promieni punktów M 1 i M odpowiednio przez i , Otrzymujemy . To równanie nazywa się wektor równanie linii prostej. Pokazuje, że każda wartość parametru T odpowiada wektorowi promienia pewnego punktu M leżąc na linii prostej.

Zapisujemy to równanie w postaci współrzędnych. Zauważ, że , i stąd

Otrzymane równania są nazywane parametryczne równania linii prostych.

Podczas zmiany parametru T zmieniają się współrzędne X, y I z i kropka M porusza się po linii prostej.

BEZPOŚREDNIE RÓWNANIA KANONICZNE

Pozwalać M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - punkt leżący na linii prostej l, I jest jego wektorem kierunku. Ponownie weź dowolny punkt na linii prostej M(x, y, z) i rozważ wektor .

Oczywiste jest, że wektory i są współliniowe, więc ich odpowiednie współrzędne muszą być proporcjonalne, stąd

– kanoniczny równania linii prostych.

Uwaga 1. Należy zauważyć, że równania kanoniczne linii można uzyskać z równań parametrycznych, eliminując parametr T. Rzeczywiście, z równań parametrycznych otrzymujemy Lub .

Przykład. Napisz równanie prostej w sposób parametryczny.

Oznaczać , stąd X = 2 + 3T, y = –1 + 2T, z = 1 –T.

Uwaga 2. Niech linia będzie prostopadła do jednej z osi współrzędnych, na przykład osi Wół. Wtedy wektor kierunkowy linii jest prostopadły Wół, stąd, M=0. W konsekwencji równania parametryczne linii prostej przyjmują postać

Wyeliminowanie parametru z równań T, otrzymujemy równania prostej w postaci

Jednak iw tym przypadku zgadzamy się formalnie zapisać kanoniczne równania prostej w postaci . Tak więc, jeśli mianownik jednej z frakcji wynosi zero, oznacza to, że linia jest prostopadła do odpowiedniej osi współrzędnych.

Podobnie równania kanoniczne odpowiada prostej prostopadłej do osi Wół I Ojej lub oś równoległa Oz.

Przykłady.

RÓWNANIA OGÓLNE LINIA PROSTA JAKO LINIA PRZECIĘCIA DWÓCH PŁASZCZYZN

Przez każdą linię prostą w przestrzeni przechodzi nieskończona liczba płaszczyzn. Dowolne dwa z nich, przecinające się, określają go w przestrzeni. Dlatego równania dowolnych dwóch takich płaszczyzn, rozpatrywane łącznie, są równaniami tej prostej.

Ogólnie rzecz biorąc, dowolne dwie nierównoległe płaszczyzny dane ogólnymi równaniami

wyznaczyć linię ich przecięcia. Równania te nazywają się równania ogólne prosty.

Przykłady.

Skonstruuj linię prostą daną równaniami

Aby zbudować linię, wystarczy znaleźć dwa dowolne jej punkty. Najprościej jest wybrać punkty przecięcia prostej z płaszczyznami współrzędnych. Na przykład punkt przecięcia z płaszczyzną xOj otrzymujemy z równań prostej, zakładając z= 0:

Rozwiązując ten system, znajdujemy punkt M 1 (1;2;0).

Podobnie zakładając y= 0, otrzymujemy punkt przecięcia prostej z płaszczyzną xOz:

Z ogólnych równań prostej można przejść do jej równań kanonicznych lub parametrycznych. Aby to zrobić, musisz znaleźć jakiś punkt M 1 na linii i wektor kierunku linii.

Współrzędne punktu M 1 otrzymujemy z tego układu równań, nadając jednej ze współrzędnych dowolną wartość. Aby znaleźć wektor kierunku, zauważ, że ten wektor musi być prostopadły do obu wektorów normalnych I . Dlatego dla wektora kierunku prostej l możesz wziąć iloczyn krzyżowy wektorów normalnych:

Przykład. Podaj ogólne równania prostej do postaci kanonicznej.

Znajdź punkt na linii prostej. W tym celu wybieramy dowolnie jedną ze współrzędnych, np. y= 0 i rozwiąż układ równań:

Wektory normalne płaszczyzn definiujących linię mają współrzędne Dlatego wektor kierunku będzie prosty

. Stąd, l: .

KĄT MIĘDZY PRAWAMI

narożnik między liniami prostymi w przestrzeni nazwiemy dowolny z sąsiednich kątów utworzonych przez dwie linie proste poprowadzone przez dowolny punkt równoległy do danych.

Niech dane będą dwie linie proste w przestrzeni:

Oczywiście kąt φ między prostymi można przyjąć jako kąt między ich wektorami kierunkowymi a . Skoro , to zgodnie ze wzorem na cosinus kąta między wektorami otrzymujemy

będę krótko. Kąt między dwiema prostymi jest równy kątowi między ich wektorami kierunkowymi. Tak więc, jeśli uda ci się znaleźć współrzędne wektorów kierunkowych a \u003d (x 1; y 1; z 1) i b \u003d (x 2; y 2; z 2), możesz znaleźć kąt. Dokładniej cosinus kąta zgodnie ze wzorem:

Zobaczmy, jak ta formuła działa na konkretnych przykładach:

Zadanie. Punkty E i F są zaznaczone w sześcianie ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - odpowiednio punkty środkowe krawędzi A 1 B 1 i B 1 C 1. Znajdź kąt między liniami AE i BF.

Ponieważ krawędź sześcianu nie jest określona, przyjmujemy AB = 1. Wprowadzamy standardowy układ współrzędnych: początek znajduje się w punkcie A, a osie x, y, z są skierowane odpowiednio wzdłuż AB, AD i AA 1 . Segment jednostkowy jest równy AB = 1. Teraz znajdźmy współrzędne wektorów kierunkowych dla naszych prostych.

Znajdź współrzędne wektora AE. Aby to zrobić, potrzebujemy punktów A = (0; 0; 0) i E = (0,5; 0; 1). Ponieważ punkt E jest środkiem odcinka A 1 B 1 , jego współrzędne są równe średniej arytmetycznej współrzędnych końców. Zauważ, że początek wektora AE pokrywa się z początkiem, więc AE = (0,5; 0; 1).

Zajmijmy się teraz wektorem BF. Podobnie analizujemy punkty B = (1; 0; 0) i F = (1; 0,5; 1), ponieważ F - środek segmentu B 1 C 1 . Mamy:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Tak więc wektory kierunkowe są gotowe. Cosinus kąta między prostymi jest cosinusem kąta między wektorami kierunkowymi, więc mamy:

Zadanie. W regularnym trójściennym pryzmacie ABCA 1 B 1 C 1 , którego wszystkie krawędzie są równe 1, zaznaczono punkty D i E - odpowiednio punkty środkowe krawędzi A 1 B 1 i B 1 C 1. Znajdź kąt między liniami AD i BE.

Wprowadzamy standardowy układ współrzędnych: początek układu współrzędnych znajduje się w punkcie A, oś x jest skierowana wzdłuż AB, z - wzdłuż AA 1 . Kierujemy oś y tak, aby płaszczyzna OXY pokrywała się z płaszczyzną ABC. Segment jednostkowy jest równy AB = 1. Znajdź współrzędne wektorów kierunkowych dla żądanych linii.

Najpierw znajdźmy współrzędne wektora AD. Rozważ punkty: A = (0; 0; 0) i D = (0,5; 0; 1), ponieważ D - środek segmentu A 1 B 1 . Ponieważ początek wektora AD pokrywa się z początkiem, otrzymujemy AD = (0,5; 0; 1).

Teraz znajdźmy współrzędne wektora BE. Punkt B = (1; 0; 0) jest łatwy do obliczenia. Z punktem E - środkiem odcinka C 1 B 1 - trochę trudniej. Mamy:

Pozostaje znaleźć cosinus kąta:

Zadanie. W regularnym sześciokątnym pryzmacie ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , którego wszystkie krawędzie są równe 1, punkty K i L są zaznaczone - punkty środkowe krawędzi A 1 B 1 i B 1 C 1, odpowiednio. Znajdź kąt między liniami AK i BL.

Wprowadzamy standardowy układ współrzędnych graniastosłupa: początek współrzędnych umieszczamy w środku dolnej podstawy, oś x kierujemy wzdłuż FC, oś y przez środki odcinków AB i DE, a oś z pionowo do góry. Segment jednostkowy jest znowu równy AB = 1. Zapiszmy współrzędne interesujących nas punktów:

Punkty K i L są odpowiednio środkami odcinków A 1 B 1 i B 1 C 1, więc ich współrzędne wyznacza się za pomocą średniej arytmetycznej. Znając punkty, znajdujemy współrzędne wektorów kierunkowych AK i BL:

Teraz znajdźmy cosinus kąta:

Zadanie. W regularnej czworokątnej piramidzie SABCD, której wszystkie krawędzie są równe 1, zaznaczono punkty E i F - odpowiednio punkty środkowe boków SB i SC. Znajdź kąt między liniami AE i BF.

Wprowadzamy standardowy układ współrzędnych: początek układu współrzędnych znajduje się w punkcie A, osie x i y są skierowane odpowiednio wzdłuż AB i AD, a oś z jest skierowana pionowo do góry. Segment jednostkowy jest równy AB = 1.

Punkty E i F są odpowiednio środkami odcinków SB i SC, więc ich współrzędne są średnią arytmetyczną końców. Zapisujemy współrzędne interesujących nas miejsc:
ZA = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)