Z nimi są logarytmy wewnętrzne.
Przykłady:
\(\log_3x≥\log_39\)
\(\log_3 ((x^2-3))< \log_3{(2x)}\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2((x+1))+10≤11 \lg((x+1))\)
Jak rozwiązać nierówności logarytmiczne:
Powinniśmy dążyć do sprowadzenia dowolnej nierówności logarytmicznej do postaci \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) (symbol \(˅\) oznacza dowolne z ). Ten typ pozwala pozbyć się logarytmów i ich podstaw, dokonując przejścia do nierówności wyrażeń pod logarytmami, czyli do postaci \(f(x) ˅ g(x)\).
Ale przy dokonywaniu tego przejścia istnieje jedna bardzo ważna subtelność:
\(-\) jeśli jest liczbą i jest większa od 1, znak nierówności pozostaje taki sam podczas przejścia,
\(-\) jeśli podstawa jest liczbą większą od 0, ale mniejszą od 1 (leży między zerem a jedynką), to znak nierówności powinien zmienić się na przeciwny, tj.
|
\(\log_2((8-x))<1\) Rozwiązanie: |
\(\log\)\(_(0,5)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) \(((x+ 1))\) Rozwiązanie: |
Bardzo ważne! W dowolnej nierówności przejście z postaci \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) do porównywania wyrażeń pod logarytmami można wykonać tylko wtedy, gdy:
Przykład . Rozwiąż nierówność: \(\log\)\(≤-1\)
Rozwiązanie:
|
\(\dziennik\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) |
Napiszmy ODZ. |
|
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) |
|
|
\(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) |
Otwieramy nawiasy i przynosimy . |
|
\(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) |
Mnożymy nierówność przez \(-1\), nie zapominając o odwróceniu znaku porównania. |
|
\(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) |
|
|
\(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) |
Skonstruujmy oś liczbową i zaznaczmy na niej punkty \(\frac(7)(3)\) i \(\frac(3)(2)\). Należy pamiętać, że kropka jest usuwana z mianownika, mimo że nierówność nie jest ścisła. Faktem jest, że ten punkt nie będzie rozwiązaniem, ponieważ podstawiony do nierówności doprowadzi nas do dzielenia przez zero. |
|
|
Teraz wykreślamy ODZ na tej samej osi liczbowej i w odpowiedzi zapisujemy przedział mieszczący się w ODZ. |
|
|
Zapisujemy ostateczną odpowiedź. |
Przykład . Rozwiąż nierówność: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Rozwiązanie:
|
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Napiszmy ODZ. |
|
ODZ: \(x>0\) |
Przejdźmy do rozwiązania. |
|
Rozwiązanie: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Mamy tu typową nierówność logarytmiczną kwadratową. Zróbmy to. |
|
\(t=\log_3x\) |
Rozwijamy lewą stronę nierówności do . |
|
\(D=1+8=9\) |
|
|
Teraz musimy wrócić do pierwotnej zmiennej - x. Aby to zrobić, przejdźmy do , który ma to samo rozwiązanie i dokonajmy odwrotnego podstawienia. |
|
|
\(\left[ \begin(zebrane) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2\\\log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Przekształć \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac(1)(3)\). |
|
\(\left[ \begin(zebrane) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Przejdźmy do porównywania argumentów. Podstawy logarytmów są większe niż \(1\), więc znak nierówności się nie zmienia. |
|
\(\left[ \begin(zebrane) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Połączmy rozwiązanie nierówności i ODZ na jednym rysunku. |
|
|
Zapiszmy odpowiedź. |
Rozwiązując nierówności logarytmiczne, korzystamy z właściwości monotoniczności funkcji logarytmicznej. Używamy także definicji logarytmu i podstawowych wzorów logarytmicznych.
Przyjrzyjmy się, czym są logarytmy:
Logarytm liczba dodatnia do podstawy jest wskaźnikiem potęgi, do której należy ją podnieść, aby otrzymać .
W której
Podstawowa tożsamość logarytmiczna:
Podstawowe wzory na logarytmy:
(Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów)
(Logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów)
(Wzór na logarytm mocy)
Formuła przeniesienia do nowej bazy:
Algorytm rozwiązywania nierówności logarytmicznych
Można powiedzieć, że nierówności logarytmiczne rozwiązuje się za pomocą określonego algorytmu. Musimy zapisać zakres dopuszczalnych wartości (APV) nierówności. Sprowadź nierówność do postaci Znak tutaj może być dowolny: Ważne jest, aby po lewej i prawej stronie nierówności znajdowały się logarytmy o tej samej podstawie.
A potem „odrzucamy” logarytmy! Co więcej, jeśli podstawą jest stopień , znak nierówności pozostaje taki sam. Jeśli podstawa jest taka, że znak nierówności zmienia się na przeciwny.
Oczywiście nie możemy po prostu „wyrzucać” logarytmów. Korzystamy z właściwości monotoniczności funkcji logarytmicznej. Jeżeli podstawa logarytmu jest większa niż jeden, funkcja logarytmiczna rośnie monotonicznie i wtedy większa wartość x odpowiada większej wartości wyrażenia.
Jeśli podstawa jest większa od zera i mniejsza od jedności, funkcja logarytmiczna maleje monotonicznie. Większa wartość argumentu x będzie odpowiadać mniejszej wartości
Ważna uwaga: rozwiązanie najlepiej zapisać w postaci łańcucha przejść równoważnych.
Przejdźmy do ćwiczeń. Jak zawsze zacznijmy od najprostszych nierówności.
1. Rozważmy nierówność log 3 x > log 3 5.
Ponieważ logarytmy definiuje się tylko dla liczb dodatnich, konieczne jest, aby x było dodatnie. Warunek x > 0 nazywany jest zakresem wartości dopuszczalnych (APV) tej nierówności. Tylko dla takiego x nierówność ma sens.
Cóż, to sformułowanie brzmi efektownie i jest łatwe do zapamiętania. Ale dlaczego nadal możemy to robić?
Jesteśmy ludźmi, mamy inteligencję. Nasz umysł jest tak zaprojektowany, że wszystko, co jest logiczne, zrozumiałe i ma wewnętrzną strukturę, jest zapamiętywane i stosowane znacznie lepiej niż przypadkowe i niepowiązane ze sobą fakty. Dlatego ważne jest, aby nie zapamiętywać zasad mechanicznie jak wytresowany pies od matematyki, ale działać świadomie.
Dlaczego więc nadal „upuszczamy logarytmy”?
Odpowiedź jest prosta: jeśli podstawa jest większa od jedności (jak w naszym przypadku), to funkcja logarytmiczna rośnie monotonicznie, co oznacza, że większej wartości x odpowiada większa wartość y i z nierówności log 3 x 1 > log Z 3 x 2 wynika, że x 1 > x 2. 
Należy pamiętać, że przeszliśmy do nierówności algebraicznej, a znak nierówności pozostaje ten sam.
Zatem x > 5.
Prosta jest także następująca nierówność logarytmiczna.
2. log 5 (15 + 3x) > log 5 2x
Zacznijmy od zakresu dopuszczalnych wartości. Logarytmy definiuje się tylko dla liczb dodatnich, tzw
Rozwiązując ten układ otrzymujemy: x > 0.
Przejdźmy teraz od nierówności logarytmicznej do nierówności algebraicznej - „odrzućmy” logarytmy. Ponieważ podstawa logarytmu jest większa niż jeden, znak nierówności pozostaje taki sam.
15 + 3x > 2x.
Otrzymujemy: x > −15.
Odpowiedź: x > 0.
Ale co się stanie, jeśli podstawa logarytmu będzie mniejsza niż jeden? Łatwo się domyślić, że w tym przypadku przy przejściu do nierówności algebraicznej zmieni się znak nierówności.
Podajmy przykład.
Zapiszmy ODZ. To znaczy wyrażenia, z których brane są logarytmy, muszą być dodatnie
Rozwiązując ten układ otrzymujemy: x > 4,5.
Ponieważ , funkcja logarytmiczna o podstawie maleje monotonicznie. Oznacza to, że większa wartość funkcji odpowiada mniejszej wartości argumentu: 
A jeśli wtedy
2x - 9 ≤ x.
Otrzymujemy, że x ≤ 9.
Biorąc pod uwagę, że x > 4,5, piszemy odpowiedź:
W następnym zadaniu nierówność wykładnicza zostaje zredukowana do nierówności kwadratowej. Dlatego zalecamy powtórzenie tematu „nierówności kwadratowe”.
A teraz bardziej złożone nierówności:
4. Rozwiąż nierówność
5. Rozwiąż nierówność
Jeśli następnie. Mamy szczęście! Wiemy, że podstawa logarytmu jest większa niż jedność dla wszystkich wartości x zawartych w ODZ.
Zróbmy zamiennik
Zauważ, że najpierw całkowicie rozwiązujemy nierówność w odniesieniu do nowej zmiennej t. I dopiero potem wracamy do zmiennej x. Pamiętaj o tym i nie popełniaj błędów na egzaminie!
Pamiętajmy o zasadzie: jeśli równanie lub nierówność zawiera pierwiastki, ułamki lub logarytmy, to rozwiązanie należy rozpocząć od zakresu dopuszczalnych wartości. Ponieważ podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od jedności, otrzymujemy układ warunków:
Uprośćmy ten system:
Jest to zakres dopuszczalnych wartości nierówności.
Widzimy, że zmienna jest zawarta w podstawie logarytmu. Przejdźmy do bazy stałej. Przypomnijmy Ci to
W takim przypadku wygodnie jest przejść do bazy 4.
Zróbmy zamiennik
Uprośćmy nierówność i rozwiążmy ją metodą przedziałową:
Wróćmy do zmiennej X:
Dodaliśmy warunek X> 0 (z ODZ).
7. Poniższy problem można również rozwiązać metodą przedziałową
Jak zawsze, nierówność logarytmiczną zaczynamy od zakresu akceptowalnych wartości. W tym przypadku
Warunek ten musi być spełniony i jeszcze do tego powrócimy. Przyjrzyjmy się na razie samej nierówności. Zapiszmy lewą stronę jako logarytm o podstawie 3:
Prawa strona może być również zapisana jako logarytm o podstawie 3, a następnie przejść do nierówności algebraicznej:
Widzimy, że warunek (czyli ODZ) jest teraz spełniony automatycznie. To ułatwia rozwiązanie nierówności.
Nierówność rozwiązujemy metodą przedziałową:
Odpowiedź:
Stało się? Cóż, zwiększmy poziom trudności:
8. Rozwiąż nierówność:
Nierówność jest równoważna systemowi:
9. Rozwiąż nierówność:
Wyrażenie 5 - X 2 jest kompulsywnie powtarzany w opisie problemu. Oznacza to, że możesz dokonać wymiany:
Ponieważ funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie, T> 0. Następnie
Nierówność będzie miała postać:
Już lepiej. Znajdźmy zakres dopuszczalnych wartości nierówności. Już to powiedzieliśmy T> 0. Ponadto ( T− 3) (5 9 · T − 1) > 0
Jeśli ten warunek zostanie spełniony, iloraz będzie dodatni.
A wyrażenie pod logarytmem po prawej stronie nierówności musi być dodatnie, czyli (625 T − 2) 2 .
Oznacza to, że 625 T− 2 ≠ 0, tj
Zapiszmy dokładnie ODZ
i rozwiązać powstały układ stosując metodę przedziałową.
Więc,
Cóż, połowa bitwy za nami – uporządkowaliśmy ODZ. Rozwiązujemy samą nierówność. Przedstawmy sumę logarytmów po lewej stronie jako logarytm iloczynu.
rozwiązanie nierówności w trybie online rozwiązanie prawie każda dana nierówność online. Matematyczny nierówności w internecie rozwiązać matematykę. Znajdź szybko rozwiązanie nierówności w trybie online. Strona www.site pozwala znaleźć rozwiązanie prawie dowolne algebraiczny, trygonometryczny Lub transcendentalna nierówność w Internecie. Studiując niemal każdą dziedzinę matematyki na różnych etapach, musisz podjąć decyzję nierówności w internecie. Aby uzyskać odpowiedź natychmiast, a co najważniejsze, dokładną, potrzebujesz zasobu, który Ci to umożliwi. Dzięki stronie www.site rozwiązać nierówność online zajmie to kilka minut. Główną zaletą www.site przy rozwiązywaniu zadań matematycznych nierówności w internecie- jest to szybkość i dokładność udzielonej odpowiedzi. Strona jest w stanie rozwiązać każdy nierówności algebraiczne w Internecie, nierówności trygonometryczne w Internecie, Transcendentalne nierówności w Internecie, I nierówności z nieznanymi parametrami w trybie online. Nierówności służyć jako potężny aparat matematyczny rozwiązania problemy praktyczne. Z pomocą nierówności matematyczne możliwe jest wyrażenie faktów i relacji, które na pierwszy rzut oka mogą wydawać się zagmatwane i skomplikowane. Nieznane ilości nierówności można znaleźć, formułując problem w matematyczny język w formie nierówności I decydować otrzymane zadanie w trybie online na stronie internetowej www.site. Każdy nierówność algebraiczna, nierówność trygonometryczna Lub nierówności zawierający nadzmysłowy funkcje, które możesz łatwo decydować online i uzyskaj dokładną odpowiedź. Studiując nauki przyrodnicze, nieuchronnie napotykasz taką potrzebę rozwiązania nierówności. W takim przypadku odpowiedź musi być dokładna i należy ją uzyskać natychmiast w trybie online. Dlatego dla rozwiązuj nierówności matematyczne online polecamy stronę www.site, która stanie się Twoim niezastąpionym kalkulatorem rozwiązywanie nierówności algebraicznych online, nierówności trygonometryczne w Internecie, I Transcendentalne nierówności w Internecie Lub nierówności o nieznanych parametrach. Praktyczne problemy związane ze znalezieniem rozwiązań online różnych problemów nierówności matematyczne zasób www.. Rozwiązywanie nierówności w internecie sam, warto sprawdzić otrzymaną odpowiedź za pomocą internetowe rozwiązanie nierówności na stronie internetowej www.site. Musisz poprawnie zapisać nierówność i natychmiast uzyskać rozwiązanie internetowe, po czym pozostaje tylko porównać odpowiedź z rozwiązaniem nierówności. Sprawdzenie odpowiedzi zajmie nie więcej niż minutę, wystarczy rozwiązać nierówność online i porównaj odpowiedzi. Pomoże to uniknąć błędów w decyzja i popraw odpowiedź w odpowiednim czasie rozwiązywanie nierówności w Internecie albo algebraiczny, trygonometryczny, nadzmysłowy Lub nierówność o nieznanych parametrach.
Badając funkcję logarytmiczną, rozważaliśmy głównie nierówności postaci
zapisz x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.
Rozwiąż log nierówności (x + 1) ≤ 2 (1).
Rozwiązanie.
1) Prawa strona rozważanej nierówności ma sens dla wszystkich wartości x, a lewa strona ma sens dla x + 1 > 0, tj. dla x > -1.
2) Przedział x > -1 nazywany jest dziedziną definicji nierówności (1). Funkcja logarytmiczna o podstawie 10 rośnie zatem, jeśli x + 1 > 0, nierówność (1) jest spełniona, jeśli x + 1 ≤ 100 (ponieważ 2 = log 100). Zatem nierówność (1) i system nierówności
(x > -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,
są równoważne, czyli zbiór rozwiązań nierówności (1) i układ nierówności (2) są takie same.
3) Rozwiązując system (2), znajdujemy -1< х ≤ 99.
Odpowiedź. -1< х ≤ 99.
Rozwiąż nierówność log 2 (x – 3) + log 2 (x – 2) ≤ 1 (3).
Rozwiązanie.
1) Dziedziną definicji rozważanej funkcji logarytmicznej jest zbiór dodatnich wartości argumentu, dlatego lewa strona nierówności ma sens dla x – 3 > 0 i x – 2 > 0.
Zatem dziedziną definicji tej nierówności jest przedział x > 3.
2) Zgodnie z własnościami logarytmu nierówność (3) dla x > 3 jest równoważna nierówności log 2 (x – 3)(x – 2) ≤ log 2 (4).
3) Funkcja logarytmiczna o podstawie 2 rośnie. Zatem dla x > 3 nierówność (4) jest spełniona, jeśli (x – 3)(x – 2) ≤ 2.
4) Zatem pierwotna nierówność (3) jest równoważna układowi nierówności
((x – 3)(x – 2) ≤ 2,
(x > 3.
Rozwiązując pierwszą nierówność tego układu otrzymujemy x 2 – 5x + 4 ≤ 0, skąd 1 ≤ x ≤ 4. Łącząc ten odcinek z przedziałem x > 3 otrzymujemy 3< х ≤ 4.
Odpowiedź. 3< х ≤ 4.
Rozwiąż log nierówności 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ -4. (5)
Rozwiązanie.
1) Dziedzinę definicji nierówności wyznaczamy z warunku x 2 + 2x – 8 > 0.
2) Nierówność (5) można zapisać jako: 
log 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ log 1/2 16.
3) Ponieważ funkcja logarytmiczna o podstawie ½ maleje, to dla wszystkich x z całego obszaru definicji nierówności otrzymujemy:
x 2 + 2x – 8 ≤ 16.
Zatem pierwotna równość (5) jest równoważna systemowi nierówności
(x 2 + 2x – 8 > 0, lub (x 2 + 2x – 8 > 0,
(x 2 + 2x – 8 ≤ 16, (x 2 + 2x – 24 ≤ 0.
Rozwiązując pierwszą nierówność kwadratową, otrzymujemy x< -4, х >2. Rozwiązując drugą nierówność kwadratową otrzymujemy -6 ≤ x ≤ 4. W rezultacie obie nierówności układu są spełnione jednocześnie dla -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4.
Odpowiedź. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
Rozwiązywanie nierówności online
Przed rozwiązaniem nierówności musisz dobrze zrozumieć, w jaki sposób rozwiązuje się równania.
Nie ma znaczenia, czy nierówność jest ścisła () czy nieścisła (≤, ≥), pierwszym krokiem jest rozwiązanie równania poprzez zastąpienie znaku nierówności równością (=).
Wyjaśnijmy, co to znaczy rozwiązać nierówność?
Po przestudiowaniu równań uczeń ma w głowie następujący obraz: musi znaleźć takie wartości zmiennej, aby obie strony równania przyjęły te same wartości. Innymi słowy, znajdź wszystkie punkty, w których zachodzi równość. Wszystko się zgadza!
Kiedy mówimy o nierównościach, mamy na myśli znalezienie przedziałów (odcinków), w których zachodzi nierówność. Jeśli w nierówności są dwie zmienne, to rozwiązaniem nie będą już przedziały, ale pewne obszary na płaszczyźnie. Zgadnij, jakie będzie rozwiązanie nierówności trzech zmiennych?
Jak rozwiązać nierówności?
Za uniwersalną metodę rozwiązywania nierówności uważa się metodę przedziałów (zwaną też metodą przedziałów), która polega na wyznaczeniu wszystkich przedziałów, w granicach których dana nierówność będzie spełniona.
Nie wchodząc w rodzaj nierówności, w tym przypadku nie o to chodzi, należy rozwiązać odpowiednie równanie i wyznaczyć jego pierwiastki, a następnie oznaczenie tych rozwiązań na osi liczb.
Jak poprawnie zapisać rozwiązanie nierówności?
Po ustaleniu przedziałów rozwiązań nierówności należy poprawnie zapisać samo rozwiązanie. Istnieje ważny niuans - czy granice przedziałów są uwzględnione w rozwiązaniu?
Tutaj wszystko jest proste. Jeżeli rozwiązanie równania spełnia ODZ i nierówność nie jest ścisła, to w rozwiązaniu nierówności uwzględnia się granicę przedziału. W przeciwnym razie nie.
Rozpatrując każdy przedział rozwiązaniem nierówności może być sam przedział, półprzedział (gdy jedna z jego granic spełnia nierówność) lub odcinek - przedział wraz z jego granicami.
Ważny punkt
Nie myśl, że tylko przedziały, półprzedziały i odcinki mogą rozwiązać nierówność. Nie, rozwiązanie może obejmować także pojedyncze punkty.
Na przykład nierówność |x|≤0 ma tylko jedno rozwiązanie - jest to punkt 0.
I nierówność |x|
Dlaczego potrzebujesz kalkulatora nierówności?
Kalkulator nierówności podaje poprawną ostateczną odpowiedź. W większości przypadków dostarczana jest ilustracja osi liczbowej lub płaszczyzny. Widoczne jest, czy w rozwiązaniu uwzględnione są granice przedziałów, czy też nie – punkty są wyświetlane jako zacienione lub przebite.
Dzięki kalkulatorowi nierówności online możesz sprawdzić, czy poprawnie znalazłeś pierwiastki równania, zaznaczyłeś je na osi liczbowej i sprawdziłeś spełnienie warunku nierówności na przedziałach (i granicach)?
Jeśli Twoja odpowiedź różni się od odpowiedzi kalkulatora, zdecydowanie musisz jeszcze raz sprawdzić swoje rozwiązanie i zidentyfikować błąd.