Su jais yra logaritmų viduje.
Pavyzdžiai:
\(\log_3x≥\log_39\)
\(\log_3 ((x^2-3))< \log_3{(2x)}\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2((x+1))+10≤11 \lg((x+1))\)
Kaip išspręsti logaritmines nelygybes:
Bet kokia logaritminė nelygybė turėtų būti sumažinta iki formos \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) (simbolis \(˅\) reiškia bet kurį iš ). Ši forma leidžia atsikratyti logaritmų ir jų bazių, pereinant prie logaritmų išraiškų nelygybės, tai yra į formą \(f(x) ˅ g(x)\).
Tačiau atliekant šį perėjimą, yra vienas labai svarbus subtilumas:
\(-\) jei - skaičius ir jis didesnis už 1 - nelygybės ženklas perėjimo metu išlieka toks pat,
\(-\) jei bazė yra skaičius didesnis nei 0, bet mažesnis už 1 (tarp nulio ir vieneto), tai nelygybės ženklas turi būti apverstas, t.y.
|
\(\log_2((8-x))<1\) Sprendimas: |
\(\log\)\(_(0,5)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) \(((x+ 1))\) Sprendimas: |
Labai svarbus! Esant bet kokiai nelygybei, perėjimas iš formos \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) į išraiškų palyginimą pagal logaritmus gali būti atliktas tik tada, jei:
Pavyzdys . Išspręskite nelygybę: \(\log\)\(≤-1\)
Sprendimas:
|
\(\log\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) |
Išrašykime ODZ. |
|
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) |
|
|
\(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) |
Atidarome skliaustus, duodame . |
|
\(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) |
Nelygybę padauginame iš \(-1\), nepamiršdami pakeisti palyginimo ženklo. |
|
\(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) |
|
|
\(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) |
Sukurkime skaičių eilutę ir pažymėkime joje taškus \(\frac(7)(3)\) ir \(\frac(3)(2)\). Atkreipkite dėmesį, kad taškas nuo vardiklio yra pertrauktas, nepaisant to, kad nelygybė nėra griežta. Faktas yra tas, kad šis taškas nebus sprendimas, nes pakeitus nelygybe, mes dalysime iš nulio. |
|
|
Dabar mes nubraižome ODZ toje pačioje skaitinėje ašyje ir atsakydami užrašome intervalą, kuris patenka į ODZ. |
|
|
Užsirašykite galutinį atsakymą. |
Pavyzdys . Išspręskite nelygybę: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Sprendimas:
|
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Išrašykime ODZ. |
|
ODZ: \(x>0\) |
Pereikime prie sprendimo. |
|
Sprendimas: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Prieš mus yra tipinė kvadrato-logaritminė nelygybė. Mes darome. |
|
\(t=\log_3x\) |
Išplėskite kairę nelygybės pusę į . |
|
\(D=1+8=9\) |
|
|
Dabar reikia grįžti prie pradinio kintamojo - x. Norėdami tai padaryti, pereiname prie , kuris turi tą patį sprendimą, ir atliekame atvirkštinį pakeitimą. |
|
|
\(\left[ \begin(surinkta) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Transformuoti \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac(1)(3)\). |
|
\(\left[ \begin(surinkta) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Pereikime prie argumentų palyginimo. Logaritmų pagrindai yra didesni už \(1\), todėl nelygybių ženklas nekinta. |
|
\(\left[ \begin(surinkta) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Sujungkime nelygybės sprendimą ir ODZ į vieną paveikslą. |
|
|
Užsirašykime atsakymą. |
Spręsdami logaritmines nelygybes, naudojame logaritminės funkcijos monotoniškumo savybę. Taip pat naudojame logaritmo apibrėžimą ir pagrindines logaritmines formules.
Pakartokime, kas yra logaritmai:
Logaritmas teigiamas skaičius bazėje yra galios, kurią reikia padidinti norint gauti , rodiklis.
Kuriame
Pagrindinė logaritminė tapatybė:
Pagrindinės logaritmų formulės:
(produkto logaritmas lygus logaritmų sumai)
(dalinio logaritmas yra lygus logaritmų skirtumui)
(laipsnio logaritmo formulė)
Persikėlimo į naują bazę formulė yra tokia:
Logaritminių nelygybių sprendimo algoritmas
Galima sakyti, kad logaritminės nelygybės sprendžiamos pagal tam tikrą algoritmą. Turime užrašyti nelygybės priimtinų verčių (ODV) diapazoną. Įveskite nelygybę į formą Ženklas čia gali būti bet koks: Svarbu, kad kairėje ir dešinėje nelygybės logaritmai būtų toje pačioje bazėje.
O po to logaritmus „atmetame“! Be to, jei laipsnio pagrindas yra , nelygybės ženklas išlieka toks pat. Jei bazė yra tokia, kad nelygybės ženklas yra atvirkštinis.
Žinoma, mes ne tik „išmušame“ logaritmus. Mes naudojame logaritminės funkcijos monotoniškumo savybę. Jei logaritmo bazė yra didesnė už vienetą, logaritminė funkcija monotoniškai didėja, o tada didesnė x reikšmė atitinka didesnę išraiškos reikšmę.
Jei bazė yra didesnė už nulį ir mažesnė už vienetą, logaritminė funkcija mažėja monotoniškai. Didesnė argumento x reikšmė atitiks mažesnę reikšmę
Svarbi pastaba: geriausia sprendimą rašyti kaip lygiaverčių perėjimų grandinę.
Pereikime prie praktikos. Kaip visada, pradedame nuo paprasčiausių nelygybių.
1. Apsvarstykite nelygybę log 3 x > log 3 5.
Kadangi logaritmai apibrėžiami tik teigiamiems skaičiams, x turi būti teigiamas. Sąlyga x > 0 vadinama duotosios nelygybės priimtinų verčių diapazonu (ODV). Tik tokiam x nelygybė turi prasmę.
Na, ši formuluotė skamba puikiai ir yra lengvai įsimenama. Bet kodėl mes vis dar galime tai padaryti?
Mes esame žmonės, esame protingi. Mūsų protas sutvarkytas taip, kad viskas, kas logiška, suprantama, turi vidinę struktūrą, įsimenama ir pritaikoma daug geriau nei atsitiktiniai ir nesusiję faktai. Todėl svarbu ne mechaniškai, kaip dresuotam matematikui šuniui, įsiminti taisykles, o veikti sąmoningai.
Tai kodėl mes vis dar „atmetame logaritmus“?
Atsakymas paprastas: jei bazė didesnė už vienetą (kaip mūsų atveju), logaritminė funkcija monotoniškai didėja, vadinasi, didesnė x reikšmė atitinka didesnę y reikšmę, o iš nelygybės log 3 x 1 > log 3 x 2 iš to išeina, kad x 1 > x 2. 
Atkreipkite dėmesį, kad mes perėjome prie algebrinės nelygybės, o nelygybės ženklas išsaugomas tuo pačiu metu.
Taigi x > 5.
Ši logaritminė nelygybė taip pat paprasta.
2. rąstas 5 (15 + 3x) > rąstas 5 2x
Pradėkime nuo priimtinų verčių diapazono. Logaritmai apibrėžiami tik teigiamiems skaičiams, taigi
Išspręsdami šią sistemą, gauname: x > 0.
Dabar pereikime nuo logaritminės nelygybės prie algebrinės – logaritmus „atmetame“. Kadangi logaritmo pagrindas yra didesnis už vienetą, nelygybės ženklas išsaugomas.
15 + 3x > 2x.
Gauname: x > −15.
Atsakymas: x > 0.
Bet kas atsitiks, jei logaritmo bazė yra mažesnė už vieną? Nesunku atspėti, kad šiuo atveju pereinant prie algebrinės nelygybės nelygybės ženklas pasikeis.
Paimkime pavyzdį.
Parašykime ODZ. Išraiškos, iš kurių imami logaritmai, turi būti teigiamos, t.
Išspręsdami šią sistemą, gauname: x > 4.5.
Kadangi , bazinė logaritminė funkcija mažėja monotoniškai. O tai reiškia, kad didesnė funkcijos reikšmė atitinka mažesnę argumento reikšmę: 
O jei tada
2x − 9 ≤ x.
Gauname, kad x ≤ 9.
Atsižvelgiant į tai, kad x > 4,5, rašome atsakymą:
Šioje užduotyje eksponentinė nelygybė sumažinama iki kvadratinės. Taigi rekomenduojame pakartoti temą „Kvadratinės nelygybės“.
Dabar sudėtingesnės nelygybės:
4. Išspręskite nelygybę
5. Išspręskite nelygybę
Jei tada . Mums pasisekė! Žinome, kad logaritmo bazė yra didesnė už vieną visoms x reikšmėms DPV.
Padarykime pakaitalą
Atkreipkite dėmesį, kad pirmiausia visiškai išsprendžiame nelygybę naujo kintamojo t atžvilgiu. Ir tik po to grįžtame prie kintamojo x. Prisiminkite tai ir nedarykite klaidų egzamine!
Prisiminkime taisyklę: jei lygtyje ar nelygybėje yra šaknų, trupmenų ar logaritmų, sprendimas turi prasidėti nuo priimtinų reikšmių diapazono. Kadangi logaritmo bazė turi būti teigiama, o ne lygi vienetui, gauname sąlygų sistemą:
Supaprastinkime šią sistemą:
Tai yra priimtinų nelygybės verčių diapazonas.
Matome, kad kintamasis yra logaritmo bazėje. Pereikime prie nuolatinės bazės. Prisiminkite tai
Tokiu atveju patogu eiti į 4 bazę.
Padarykime pakaitalą
Supaprastinkite nelygybę ir išspręskite ją intervalo metodu:
Grįžkite į kintamąjį x:
Pridėjome sąlygą x> 0 (iš ODZ).
7. Intervalų metodu išspręsta ir ši problema
Kaip visada, logaritminės nelygybės sprendimą pradedame nuo priimtinų reikšmių diapazono. Tokiu atveju
Ši sąlyga būtinai turi būti įvykdyta, ir mes grįšime prie jos. Pažvelkime į pačią nelygybę. Parašykime kairę pusę kaip 3 bazinį logaritmą:
Dešinę pusę taip pat galima parašyti kaip logaritmą į 3 bazę, o tada pereiti prie algebrinės nelygybės:
Matome, kad sąlyga (ty ODZ) dabar automatiškai įvykdyta. Na, tai supaprastina nelygybės sprendimą.
Nelygybę išsprendžiame intervalo metodu:
Atsakymas:
Įvyko? Na, padidinkime sudėtingumo lygį:
8. Išspręskite nelygybę:
Nelygybė yra lygiavertė sistemai:
9. Išspręskite nelygybę:
5 išraiška - x 2 yra įkyriai kartojamas problemos sąlygomis. Ir tai reiškia, kad galite pakeisti:
Kadangi eksponentinė funkcija įgauna tik teigiamas reikšmes, t> 0. Tada
Nelygybė bus tokia:
Jau geriau. Raskime leistinų nelygybės verčių diapazoną. Mes tai jau sakėme t> 0. Be to, ( t– 3) (5 9 t − 1) > 0
Jei ši sąlyga įvykdyta, koeficientas taip pat bus teigiamas.
O išraiška po logaritmu dešinėje nelygybės pusėje turi būti teigiama, tai yra (625 t − 2) 2 .
Tai reiškia, kad 625 t− 2 ≠ 0, t.y.
Atsargiai užsirašykite ODZ
ir išspręskite gautą sistemą intervalų metodu.
Taigi,
Na, pusė mūšio baigta – išsiaiškinome ODZ. Išspręskime nelygybę. Kairėje pusėje esančių logaritmų suma pavaizduota kaip sandaugos logaritmas.
nelygybės sprendimas režimu prisijungęs sprendimas beveik bet kokia duota nelygybė prisijungęs. Matematinė nelygybės internete išspręsti matematiką. Raskite greitai nelygybės sprendimas režimu prisijungęs. Svetainė www.site leidžia rasti sprendimas beveik bet kokia duota algebrinė, trigonometrinis arba transcendentinė nelygybė internete. Studijuojant beveik bet kurią matematikos dalį skirtinguose etapuose, tenka apsispręsti nelygybės internete. Norėdami gauti atsakymą iš karto, o svarbiausia – tikslų atsakymą, jums reikia šaltinio, leidžiančio tai padaryti. Ačiū www.site išspręsti nelygybę internete užtruks kelias minutes. Pagrindinis www.site privalumas sprendžiant matematinį nelygybės internete- yra pateikiamo atsakymo greitis ir tikslumas. Svetainė gali išspręsti bet kurią algebrinės nelygybės internete, trigonometrinės nelygybės internete, transcendentinė nelygybė internete, ir nelygybės su nežinomais parametrais režime prisijungęs. nelygybės tarnauja kaip galingas matematinis aparatas sprendimus praktines užduotis. Su pagalba matematinės nelygybės galima išsakyti faktus ir santykius, kurie iš pirmo žvilgsnio gali pasirodyti painūs ir sudėtingi. nežinomi kiekiai nelygybės galima rasti suformulavus problemą matematinės kalba formoje nelygybės Ir nuspręsti gautą užduotį režimu prisijungęs svetainėje www.site. Bet koks algebrinė nelygybė, trigonometrinė nelygybė arba nelygybės kuriuose yra transcendentinis funkcijos jums lengvai nuspręsti internete ir gaukite teisingą atsakymą. Studijuojant gamtos mokslus, neišvengiamai susiduriama su poreikiu nelygybių sprendimas. Tokiu atveju atsakymas turi būti tikslus ir turi būti gautas nedelsiant režimu prisijungęs. Todėl už išspręskite matematines nelygybes internete Mes rekomenduojame svetainę www.site, kuri taps nepakeičiama jūsų skaičiuokle Išspręskite algebrines nelygybes internete, trigonometrinės nelygybės internete, ir transcendentinė nelygybė internete arba nelygybės su nežinomais parametrais. Praktinėms problemoms, ieškant įvairių intravolinių sprendimų matematinės nelygybėsšaltinis www.. Spręsti nelygybės internete patiems, naudinga gautą atsakymą patikrinti naudojant nelygybių sprendimas internete svetainėje www.site. Būtina teisingai užrašyti nelygybę ir iš karto gauti internetinis sprendimas, po to lieka tik palyginti atsakymą su savo nelygybės sprendimu. Atsakymo patikrinimas užtruks ne ilgiau kaip minutę išspręsti nelygybę internete ir palyginkite atsakymus. Tai padės išvengti klaidų sprendimą ir laiku pataisykite atsakymą nelygybių sprendimas internete arba algebrinė, trigonometrinis, transcendentinis arba nelygybė su nežinomais parametrais.
Tirdami logaritminę funkciją, daugiausiai atsižvelgėme į formos nelygybes
užsirašyk x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.
Išspręskite nelygybę lg (x + 1) ≤ 2 (1).
Sprendimas.
1) Dešinė nagrinėjamos nelygybės pusė turi prasmę visoms x reikšmėms, o kairioji - x + 1 > 0, t.y. jei x > -1.
2) Intervalas x\u003e -1 vadinamas nelygybės (1) apibrėžimo sritimi. Logaritminė funkcija su baze 10 didėja, todėl esant sąlygai x + 1 > 0, nelygybė (1) tenkinama, jei x + 1 ≤ 100 (kadangi 2 = lg 100). Taigi nelygybė (1) ir nelygybių sistema
(x > -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,
yra lygiaverčiai, kitaip tariant, nelygybės (1) sprendinių aibė ir (2) nelygybių sistema yra ta pati.
3) Sprendžiant sistemą (2), randame -1< х ≤ 99.
Atsakymas. -1< х ≤ 99.
Išspręskite nelygybę log 2 (x - 3) + log 2 (x - 2) ≤ 1 (3).
Sprendimas.
1) Nagrinėjamos logaritminės funkcijos sritis yra teigiamų argumento reikšmių rinkinys, todėl kairėje nelygybės pusėje yra prasmė x - 3 > 0 ir x - 2 > 0.
Todėl šios nelygybės sritis yra intervalas x > 3.
2) Pagal logaritmo savybes nelygybė (3) х > 3 yra lygi nelygybei log 2 (х – 3)(х – 2) ≤ log 2 (4).
3) 2 bazės logaritminė funkcija didėja. Todėl, kai х > 3, nelygybė (4) tenkinama, jei (х – 3)(х – 2) ≤ 2.
4) Taigi pradinė nelygybė (3) yra lygiavertė nelygybių sistemai
((x - 3) (x - 2) ≤ 2,
(x > 3.
Išsprendę pirmąją šios sistemos nelygybę, gauname x 2 - 5x + 4 ≤ 0, iš kur 1 ≤ x ≤ 4. Sujungę šią atkarpą su intervalu x > 3, gauname 3< х ≤ 4.
Atsakymas. 3< х ≤ 4.
Išspręskite nelygybę log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ -4. (5)
Sprendimas.
1) Nelygybės apibrėžimo sritis randama iš sąlygos x 2 + 2x - 8 > 0.
2) Nelygybę (5) galima parašyti taip: 
log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ log 1/2 16.
3) Kadangi logaritminė funkcija su baze ½ mažėja, tai visiems x iš visos nelygybės srities gauname:
x 2 + 2x - 8 ≤ 16.
Taigi pradinė lygybė (5) yra lygiavertė nelygybių sistemai
(x 2 + 2x - 8 > 0 arba (x 2 + 2x - 8 > 0,
(x 2 + 2x - 8 ≤ 16, (x 2 + 2x - 24 ≤ 0.
Išsprendę pirmąją kvadratinę nelygybę, gauname x< -4, х >2. Išspręsdami antrąją kvadratinę nelygybę, gauname -6 ≤ x ≤ 4. Todėl abi sistemos nelygybės įvykdomos vienu metu ties -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4.
Atsakymas. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.
svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.
Nelygybių sprendimas internete
Prieš sprendžiant nelygybes, būtina gerai suprasti, kaip sprendžiamos lygtys.
Nesvarbu, ar nelygybė yra griežta () ar negriežta (≤, ≥), pirmiausia reikia išspręsti lygtį, pakeičiant nelygybės ženklą lygybe (=).
Paaiškinkite, ką reiškia išspręsti nelygybę?
Išstudijavus lygtis, studento galvoje atsiranda toks vaizdas: reikia rasti tokias kintamojo reikšmes, kurių abi lygties dalys turi tas pačias reikšmes. Kitaip tariant, suraskite visus taškus, kuriuose galioja lygybė. Viskas teisinga!
Kalbėdami apie nelygybes, jie reiškia intervalų (segmentų), kuriuose galioja nelygybė, radimą. Jei nelygybėje yra du kintamieji, tada sprendimas bus nebe intervalai, o kai kurios plokštumos sritys. Atspėk, koks bus trijų kintamųjų nelygybės sprendimas?
Kaip išspręsti nelygybes?
Intervalų metodas (dar žinomas kaip intervalų metodas) laikomas universaliu nelygybių sprendimo būdu, kurį sudaro visų intervalų, per kuriuos bus įvykdyta duota nelygybė, nustatymas.
Nesileidžiant į nelygybės tipą, šiuo atveju tai nėra esmė, reikia išspręsti atitinkamą lygtį ir nustatyti jos šaknis, o po to šiuos sprendinius žymėti skaitinėje ašyje.
Kaip teisingai parašyti nelygybės sprendimą?
Kai nustatote nelygybės sprendimo intervalus, turite teisingai užrašyti patį sprendimą. Yra svarbus niuansas – ar į sprendimą įtrauktos intervalų ribos?
Čia viskas paprasta. Jei lygties sprendimas tenkina ODZ ir nelygybė nėra griežta, tai intervalo riba įtraukiama į nelygybės sprendinį. Priešingu atveju, ne.
Atsižvelgiant į kiekvieną intervalą, nelygybės sprendimas gali būti pats intervalas arba pusintervalas (kai viena iš jo ribų tenkina nelygybę), arba atkarpa - intervalas kartu su jo ribomis.
Svarbus punktas
Nemanykite, kad tik intervalai, pusintervalai ir segmentai gali būti nelygybės sprendimas. Ne, į sprendimą galima įtraukti ir atskirus taškus.
Pavyzdžiui, nelygybė |x|≤0 turi tik vieną sprendinį – tašką 0.
Ir nelygybė |x|
Kam skirta nelygybės skaičiuoklė?
Nelygybės skaičiuoklė pateikia teisingą galutinį atsakymą. Šiuo atveju daugeliu atvejų pateikiama skaitinės ašies arba plokštumos iliustracija. Galite matyti, ar intervalų ribos įtrauktos į sprendimą, ar ne – taškai rodomi užpildyti arba perverti.
Internetinės nelygybės skaičiuoklės dėka galite patikrinti, ar teisingai radote lygties šaknis, pažymėjote jas skaičių eilutėje ir patikrinote nelygybės sąlygas intervaluose (ir ribose)?
Jei jūsų atsakymas skiriasi nuo skaičiuoklės atsakymo, tuomet tikrai turite dar kartą patikrinti savo sprendimą ir nustatyti padarytą klaidą.