Ši medžiaga skirta tokiai sąvokai kaip kampas tarp dviejų susikertančių tiesių. Pirmoje pastraipoje paaiškinsime, kas tai yra, ir parodysime tai iliustracijomis. Tada išanalizuosime, kaip galima rasti šio kampo sinusą, kosinusą ir patį kampą (atskirai nagrinėsime atvejus su plokštuma ir trimate erdve), pateiksime reikiamas formules ir pavyzdžiais parodysime, kaip tiksliai jos taikomos. praktikoje.
Norint suprasti, kas yra kampas, suformuotas dviejų tiesių sankirtoje, turime prisiminti patį kampo, statmenumo ir susikirtimo taško apibrėžimą.
1 apibrėžimas
Dvi tieses vadiname susikertančiomis, jei jos turi vieną bendrą tašką. Šis taškas vadinamas dviejų tiesių susikirtimo tašku.
Kiekviena linija pagal susikirtimo tašką yra padalinta į spindulius. Šiuo atveju abi linijos sudaro 4 kampus, iš kurių du yra vertikalūs ir du yra gretimi. Jei žinome vieno iš jų matą, galime nustatyti kitus likusius.
Tarkime, žinome, kad vienas iš kampų lygus α. Tokiu atveju jam vertikalus kampas taip pat bus lygus α. Norėdami rasti likusius kampus, turime apskaičiuoti skirtumą 180 ° - α . Jei α yra lygus 90 laipsnių, tada visi kampai bus teisingi. Tiesės, susikertančios stačiu kampu, vadinamos statmenomis (statmens sąvokai skirtas atskiras straipsnis).
Pažvelkite į paveikslėlį:
Pereikime prie pagrindinio apibrėžimo formulavimo.
2 apibrėžimas
Kampas, sudarytas iš dviejų susikertančių linijų, yra mažesnio iš 4 kampų, sudarančių šias dvi linijas, matas.
Iš apibrėžimo reikia padaryti svarbią išvadą: kampo dydis šiuo atveju bus išreikštas bet kokiu realiu skaičiumi intervale (0 , 90 ] . Jei tiesės yra statmenos, tai kampas tarp jų bet kokiu atveju bus lygus 90 laipsnių.
Gebėjimas rasti kampo tarp dviejų susikertančių tiesių matą yra naudingas sprendžiant daugelį praktinių problemų. Sprendimo būdą galima pasirinkti iš kelių variantų.
Pradedantiesiems galime imtis geometrinių metodų. Jei ką nors žinome apie papildomus kampus, galime juos sujungti su mums reikalingu kampu, naudodami lygių ar panašių formų savybes. Pavyzdžiui, jei žinome trikampio kraštines ir reikia apskaičiuoti kampą tarp tiesių, ant kurių yra šios kraštinės, tada kosinuso teorema tinka spręsti. Jei sąlygoje turime statųjį trikampį, tada skaičiavimams taip pat turėsime žinoti kampo sinusą, kosinusą ir liestinę.
Koordinačių metodas taip pat labai patogus sprendžiant tokio tipo problemas. Paaiškinkime, kaip teisingai jį naudoti.
Turime stačiakampę (stačiakampę) koordinačių sistemą O x y su dviem tiesėmis. Pažymėkime juos raidėmis a ir b. Šiuo atveju tieses galima apibūdinti naudojant bet kokias lygtis. Pradinės linijos turi susikirtimo tašką M . Kaip nustatyti norimą kampą (žymime α) tarp šių linijų?
Pradėkime nuo pagrindinio kampo nustatymo tam tikromis sąlygomis principo formulavimo.
Žinome, kad tokios sąvokos kaip nukreipimas ir normalusis vektorius yra glaudžiai susijusios su tiesės sąvoka. Jei turime kokios nors tiesės lygtį, iš jos galime paimti šių vektorių koordinates. Tai galime padaryti dviem susikertančioms linijoms vienu metu.
Kampą, kurį sudaro dvi susikertančios linijos, galima rasti naudojant:
- kampas tarp krypties vektorių;
- kampas tarp normaliųjų vektorių;
- kampas tarp vienos tiesės normaliojo vektoriaus ir kitos krypties vektoriaus.
Dabar pažvelkime į kiekvieną metodą atskirai.
1. Tarkime, kad turime tiesę a su krypties vektoriumi a → = (a x , a y) ir tiesę b su krypties vektoriumi b → (b x , b y) . Dabar atidėkime du vektorius a → ir b → nuo susikirtimo taško. Po to pamatysime, kad kiekvienas jų bus savo linijoje. Tada turime keturis jų santykinės padėties variantus. Žiūrėkite iliustraciją:
Jei kampas tarp dviejų vektorių nėra bukas, tai bus kampas, kurio mums reikia tarp susikertančių tiesių a ir b. Jei jis bukas, tai norimas kampas bus lygus kampui, esančiam greta kampo a → , b → ^ . Taigi, α = a → , b → ^, jei a → , b → ^ ≤ 90 ° , o α = 180 ° - a → , b → ^, jei a → , b → ^ > 90 ° .
Remdamiesi tuo, kad lygių kampų kosinusai yra lygūs, gautas lygybes galime perrašyti taip: cos α = cos a → , b → ^ jei a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ jei a → , b → ^ > 90° .
Antruoju atveju buvo naudojamos redukcijos formulės. Taigi,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Paskutinę formulę parašykime žodžiais:
3 apibrėžimas
Dviejų susikertančių tiesių suformuoto kampo kosinusas bus lygus kampo tarp jo krypties vektorių kosinuso moduliui.
Bendra kampo tarp dviejų vektorių a → = (a x, a y) ir b → = (b x, b y) kosinuso formulės forma atrodo taip:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Iš jo galime gauti kampo tarp dviejų nurodytų tiesių kosinuso formulę:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Tada patį kampą galima rasti naudojant šią formulę:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Čia a → = (a x , a y) ir b → = (b x , b y) yra duotųjų tiesių krypties vektoriai.
Pateiksime problemos sprendimo pavyzdį.
1 pavyzdys
Stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje pateiktos dvi susikertančios tiesės a ir b. Jas galima apibūdinti parametrinėmis lygtimis x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ir x 5 = y - 6 - 3 . Apskaičiuokite kampą tarp šių linijų.
Sprendimas
Sąlygoje turime parametrinę lygtį, o tai reiškia, kad šiai tiesei galime iš karto užrašyti jos krypties vektoriaus koordinates. Norėdami tai padaryti, turime paimti parametro koeficientų reikšmes, t.y. tiesė x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R turės krypties vektorių a → = (4 , 1) .
Antroji tiesė aprašoma naudojant kanoninę lygtį x 5 = y - 6 - 3 . Čia galime paimti koordinates iš vardiklių. Taigi ši tiesė turi krypties vektorių b → = (5 , - 3) .
Toliau mes pereiname tiesiai prie kampo nustatymo. Norėdami tai padaryti, tiesiog pakeiskite turimas dviejų vektorių koordinates aukščiau pateikta formule α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Gauname šiuos dalykus:
α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°
Atsakymas: Šios linijos sudaro 45 laipsnių kampą.
Panašią problemą galime išspręsti radę kampą tarp normaliųjų vektorių. Jei turime tiesę a su normaliuoju vektoriumi n a → = (n a x , n a y) ir tiesę b su normaliuoju vektoriumi n b → = (n b x , n b y) , tai kampas tarp jų bus lygus kampui tarp n a → ir n b → arba kampas, kuris bus greta n a → , n b → ^ . Šis metodas parodytas paveikslėlyje:
Kampo tarp susikertančių tiesių ir paties šio kampo kosinuso apskaičiavimo formulės naudojant normalių vektorių koordinates atrodo taip:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 n b y 2
Čia n a → ir n b → žymi dviejų duotųjų tiesių normaliuosius vektorius.
2 pavyzdys
Dvi tiesės pateiktos stačiakampėje koordinačių sistemoje, naudojant lygtis 3 x + 5 y - 30 = 0 ir x + 4 y - 17 = 0 . Raskite tarp jų esančio kampo sinusą, kosinusą ir paties to kampo dydį.
Sprendimas
Pradinės tiesės pateiktos naudojant normaliąsias A x + B y + C = 0 formos tiesių lygtis. Pažymime normalųjį vektorių n → = (A , B) . Raskime vienos tiesės pirmojo normaliojo vektoriaus koordinates ir jas užrašykime: n a → = (3 , 5) . Antroje eilutėje x + 4 y - 17 = 0 normalusis vektorius turės koordinates n b → = (1 , 4) . Dabar gautas vertes pridėkite prie formulės ir apskaičiuokite bendrą sumą:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Jei žinome kampo kosinusą, galime apskaičiuoti jo sinusą naudodami pagrindinę trigonometrinę tapatybę. Kadangi tiesių linijų sudarytas kampas α nėra bukas, tada sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.
Šiuo atveju α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .
Atsakymas: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Išanalizuokime paskutinį atvejį – kampo tarp tiesių radimą, jei žinome vienos tiesės nukreipiančiojo vektoriaus ir kitos normaliojo vektoriaus koordinates.
Tarkime, kad tiesė a turi krypties vektorių a → = (a x , a y) , o tiesė b turi normalųjį vektorių n b → = (n b x , n b y) . Turime atidėti šiuos vektorius nuo susikirtimo taško ir apsvarstyti visas jų santykinės padėties galimybes. Žiūrėti paveikslėlį:
Jei kampas tarp nurodytų vektorių yra ne didesnis kaip 90 laipsnių, paaiškėja, kad jis papildys kampą tarp a ir b stačiu kampu.
a → , n b → ^ = 90 ° - α , jei a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Jei jis yra mažesnis nei 90 laipsnių, gauname:
a → , n b → ^ > 90 ° , tada a → , n b → ^ = 90 ° + α
Naudodamiesi lygių kampų kosinusų lygybės taisykle, rašome:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α, kai a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α esant a → , n b → ^ > 90 ° .
Taigi,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Suformuluosime išvadą.
4 apibrėžimas
Norėdami rasti kampo tarp dviejų tiesių, susikertančių plokštumoje, sinusą, turite apskaičiuoti kampo tarp pirmosios tiesės krypties vektoriaus ir antrosios normaliojo vektoriaus kosinuso modulį.
Užsirašykime reikiamas formules. Kampo sinuso radimas:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Pačio kampo radimas:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Čia a → yra pirmosios eilutės krypties vektorius, o n b → yra antrosios eilutės normalusis vektorius.
3 pavyzdys
Dvi susikertančios tiesės pateiktos lygtimis x - 5 = y - 6 3 ir x + 4 y - 17 = 0 . Raskite susikirtimo kampą.
Sprendimas
Iš pateiktų lygčių paimame krypties ir normaliojo vektoriaus koordinates. Pasirodo, a → = (- 5, 3) ir n → b = (1, 4). Imame formulę α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 ir apsvarstykite:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Atkreipkite dėmesį, kad lygtis paėmėme iš ankstesnės užduoties ir gavome lygiai tą patį rezultatą, bet skirtingu būdu.
Atsakymas:α = a r c sin 7 2 34
Čia yra dar vienas būdas rasti norimą kampą naudojant nurodytų linijų nuolydžio koeficientus.
Turime tiesę a , kuri apibrėžiama stačiakampėje koordinačių sistemoje naudojant lygtį y = k 1 · x + b 1 , ir tiesę b , apibrėžtą kaip y = k 2 · x + b 2 . Tai tiesių su nuolydžiu lygtys. Norėdami rasti susikirtimo kampą, naudokite formulę:
α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , kur k 1 ir k 2 yra pateiktų tiesių nuolydžiai. Šiam įrašui gauti buvo naudojamos kampo nustatymo per normaliųjų vektorių koordinates formulės.
4 pavyzdys
Plokštumoje susikerta dvi tiesės, pateiktos lygtimis y = - 3 5 x + 6 ir y = - 1 4 x + 17 4 . Apskaičiuokite susikirtimo kampą.
Sprendimas
Mūsų linijų nuolydžiai lygūs k 1 = - 3 5 ir k 2 = - 1 4 . Sudėkime juos į formulę α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ir apskaičiuokime:
α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34
Atsakymas:α = a r c cos 23 2 34
Šios pastraipos išvadose reikia pažymėti, kad čia pateiktų kampo nustatymo formulių nereikia mokytis mintinai. Tam pakanka žinoti nurodytų tiesių kreiptuvų ir/ar normaliųjų vektorių koordinates ir mokėti jas nustatyti naudojant įvairių tipų lygtis. Tačiau kampo kosinuso apskaičiavimo formules geriau atsiminti arba užsirašyti.
Kaip apskaičiuoti kampą tarp susikertančių tiesių erdvėje
Tokio kampo apskaičiavimą galima redukuoti iki krypties vektorių koordinačių skaičiavimo ir šių vektorių suformuoto kampo dydžio nustatymo. Tokiems pavyzdžiams mes naudojame tuos pačius samprotavimus, kuriuos pateikėme anksčiau.
Tarkime, kad turime stačiakampę koordinačių sistemą, esančią 3D erdvėje. Jame yra dvi tiesės a ir b su susikirtimo tašku M . Norėdami apskaičiuoti krypties vektorių koordinates, turime žinoti šių linijų lygtis. Pažymėkite krypties vektorius a → = (a x , a y , a z) ir b → = (b x , b y , b z) . Norėdami apskaičiuoti kampo tarp jų kosinusą, naudojame formulę:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Norėdami rasti patį kampą, mums reikia šios formulės:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
5 pavyzdys
Turime tiesę, apibrėžtą 3D erdvėje naudojant lygtį x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Yra žinoma, kad jis susikerta su O z ašimi. Apskaičiuokite susikirtimo kampą ir to kampo kosinusą.
Sprendimas
Apskaičiuojamą kampą pažymėkime raide α. Užrašykime pirmosios tiesės krypties vektoriaus koordinates - a → = (1 , - 3 , - 2) . Taikomajai ašiai kaip orientyrą galime paimti koordinačių vektorių k → = (0 , 0 , 1). Gavome reikiamus duomenis ir galime pridėti prie norimos formulės:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Dėl to gavome, kad kampas, kurio mums reikia, bus lygus a r c cos 1 2 = 45 °.
Atsakymas: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Kampas φ bendrosios lygtys A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ir A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, apskaičiuojamas pagal formulę:
Kampas φ tarp dviejų tiesių linijų kanonines lygtis(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 ir (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, apskaičiuojamas pagal formulę:
Atstumas nuo taško iki linijos
Kiekviena erdvės plokštuma gali būti pavaizduota kaip tiesinė lygtis, vadinama bendroji lygtis lėktuvas
Ypatingi atvejai.
o Jei (8) lygtyje, tai plokštuma eina per pradžią.
o Su (,) plokštuma lygiagreti atitinkamai ašiai (ašiai, ašiai).
o Kai (,) plokštuma lygiagreti plokštumai (plokštuma, plokštuma).
Sprendimas: naudokite (7)
Atsakymas: bendroji plokštumos lygtis.
Pavyzdys.
Plokštuma stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz pateikiama bendra plokštumos lygtimi 
. Užrašykite visų normaliųjų vektorių koordinates šioje plokštumoje.
Žinome, kad bendrosios plokštumos lygties kintamųjų x, y ir z koeficientai yra atitinkamos tos plokštumos normaliojo vektoriaus koordinatės. Todėl duotosios plokštumos normalusis vektorius 
turi koordinates. Visų normaliųjų vektorių aibė gali būti pateikta kaip.
Parašykite plokštumos lygtį, jei stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz erdvėje ji eina per tašką 
, A 
yra normalusis šios plokštumos vektorius.
Pateikiame du šios problemos sprendimus.
Iš mūsų būklės. Šiuos duomenis pakeičiame į bendrą plokštumos, einančios per tašką, lygtį:
Parašykite plokštumos, lygiagrečios koordinačių plokštumai Oyz ir einančios per tašką, bendrąją lygtį 
.
Plokštuma, lygiagreti koordinačių plokštumai Oyz, gali būti pateikta bendra nepilna formos plokštumos lygtimi. Nuo taško 
priklauso plokštumai pagal sąlygą, tada šio taško koordinatės turi tenkinti plokštumos lygtį, tai yra, lygybė turi būti teisinga. Iš čia randame. Taigi norima lygtis turi formą.
Sprendimas. Vektoriaus sandauga pagal apibrėžimą 10.26 yra statmena vektoriams p ir q. Todėl jis yra statmenas norimai plokštumai ir vektorius gali būti laikomas normaliu vektoriumi. Raskite vektoriaus n koordinates:
tai yra 
. Naudodami (11.1) formulę gauname
Atidarę šios lygties skliaustus, gauname galutinį atsakymą.
Atsakymas: 
.
Perrašykime normalųjį vektorių į formą ir raskime jo ilgį:
Pagal tai, kas išdėstyta aukščiau:
Atsakymas: 
Lygiagrečios plokštumos turi tą patį normalųjį vektorių. 1) Iš lygties randame normalųjį plokštumos vektorių:.
2) Sudarome plokštumos lygtį pagal tašką ir normalųjį vektorių: 
Atsakymas:
Plokštumos erdvėje vektorinė lygtis
Parametrinė plokštumos erdvėje lygtis
Plokštumos, einančios per tam tikrą tašką, statmeną tam tikram vektoriui, lygtis
Tegu yra stačiakampė Dekarto koordinačių sistema trimatėje erdvėje. Suformuluokime tokią problemą:
Parašykite lygtį plokštumai, kertančiai per nurodytą tašką M(x 0, y 0, z 0) statmenai duotam vektoriui n = ( A, B, C} .
Sprendimas. Leisti P(x, y, z) yra savavališkas erdvės taškas. Taškas P priklauso plokštumai tada ir tik tada, kai vektorius MP = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) stačiakampis vektoriui n = {A, B, C) (1 pav.).
Parašius šių vektorių ortogonalumo sąlygą (n, MP) = 0 koordinačių pavidalu, gauname:
|
A(x − x 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0 |
Plokštumos lygtis trimis taškais
Vektorine forma
Koordinatėse
Abipusis plokštumų išdėstymas erdvėje
yra bendrosios dviejų plokštumų lygtys. Tada:
1) jei 
, tada plokštumos sutampa;
2) jei 
, tada plokštumos lygiagrečios;
3) jei arba , tai plokštumos susikerta ir lygčių sistema
(6)
yra duotųjų plokštumų susikirtimo linijos lygtys.
|
Sprendimas: Kanonines tiesės lygtis sudarome pagal formulę: Atsakymas: |
Paimame gautas lygtis ir mintyse „smeigiame“, pavyzdžiui, kairiąją dalį: . Dabar mes prilygstame šiam kūriniui į bet kurį skaičių(atminkite, kad jau buvo nulis), pavyzdžiui, į vieną: . Kadangi , tada kiti du "gabalai" taip pat turi būti lygūs vienam. Iš esmės jums reikia išspręsti sistemą: |
Parašykite parametrines lygtis šioms eilutėms: 
Sprendimas: Tiesės pateikiamos kanoninėmis lygtimis ir pirmajame etape reikia rasti tam tikrą tiesei priklausantį tašką ir jos krypties vektorių.
a) Iš lygčių 
pašalinkite tašką ir krypties vektorių: . Galite pasirinkti kitą tašką (kaip tai padaryti, aprašyta aukščiau), tačiau geriau pasirinkti patį akivaizdžiausią. Beje, norėdami išvengti klaidų, visada pakeiskite jo koordinates į lygtis.
Sudarykime šios tiesės parametrines lygtis: 
Parametrinių lygčių patogumas yra tas, kad jų pagalba labai lengva rasti kitus tiesės taškus. Pavyzdžiui, suraskime tašką, kurio koordinatės, tarkime, atitinka parametro reikšmę: 
Taigi: b) Apsvarstykite kanonines lygtis 
. Taško pasirinkimas čia paprastas, bet klastingas: (būkite atsargūs, kad nesupainiotumėte koordinačių!!!). Kaip ištraukti kreipiamąjį vektorių? Galite ginčytis, kam ši tiesė yra lygiagreti, arba galite naudoti paprastą formalų triuką: proporcija yra „y“ ir „z“, todėl rašome krypties vektorių , o likusioje vietoje dedame nulį: .
Sudarome tiesės parametrines lygtis: 
c) Perrašykime lygtis į formą , tai yra, "Z" gali būti bet koks. Ir jei yra, tai tegul, pavyzdžiui, . Taigi taškas priklauso šiai linijai. Norėdami rasti krypties vektorių, naudojame tokią formalią techniką: pradinėse lygtyse yra „x“ ir „y“, o krypties vektorių šiose vietose rašome nuliai: . Likusioje vietoje dedame vienetas: . Vietoj vieno tiks bet koks skaičius, išskyrus nulį.
Rašome tiesės parametrines lygtis: 
Oi-oi-oi... na, skarda, lyg sakinį sau perskaitei =) Tačiau tada padės atsipalaidavimas, juolab kad šiandien nusipirkau tinkamus aksesuarus. Todėl pereikime prie pirmosios dalies, tikiuosi, iki straipsnio pabaigos išlaikysiu linksmą nuotaiką.
Abipusis dviejų tiesių linijų išdėstymas
Atvejis, kai salė dainuoja kartu choru. Dvi eilutės gali:
1) rungtynės;
2) būti lygiagrečiai: ;
3) arba susikerta viename taške: .
Pagalba manekenams : atsiminkite matematinį sankryžos ženklą , jis pasitaikys labai dažnai. Įrašas reiškia, kad tiesė kertasi su taško linija.
Kaip nustatyti santykinę dviejų linijų padėtį?
Pradėkime nuo pirmojo atvejo:
Dvi tiesės sutampa tada ir tik tada, kai jų atitinkami koeficientai yra proporcingi, tai yra, yra toks skaičius "lambda", kad lygybės
Panagrinėkime tieses ir iš atitinkamų koeficientų sudarykime tris lygtis: . Iš kiekvienos lygties išplaukia, kad šios linijos sutampa.
Iš tiesų, jei visi lygties koeficientai 
padauginus iš -1 (keisti ženklus), o visus lygties koeficientus sumažinus 2, gausite tą pačią lygtį: .
Antrasis atvejis, kai linijos lygiagrečios:
Dvi tiesės yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų koeficientai kintamiesiems yra proporcingi: 
, Bet.
Kaip pavyzdį apsvarstykite dvi tiesias linijas. Mes patikriname atitinkamų kintamųjų koeficientų proporcingumą: 
Tačiau aišku, kad.
Ir trečias atvejis, kai linijos susikerta:
Dvi tiesės susikerta tada ir tik tada, kai jų kintamųjų koeficientai NĖRA proporcingi, tai yra, NĖRA tokios „lambda“ reikšmės, kad būtų įvykdytos lygybės 
Taigi tiesioms linijoms sudarysime sistemą: 
Iš pirmosios lygties matyti, kad , o iš antrosios lygties: , taigi, sistema nenuosekli(sprendimų nėra). Taigi koeficientai ties kintamaisiais nėra proporcingi.
Išvada: linijos susikerta
Praktiniuose uždaviniuose galima naudoti ką tik svarstytą sprendimo schemą. Beje, jis labai panašus į vektorių kolineariškumo tikrinimo algoritmą, kurį nagrinėjome pamokoje. Vektorių tiesinės (ne) priklausomybės samprata. Vektorinis pagrindas. Tačiau yra labiau civilizuotas paketas:
1 pavyzdys
Sužinokite santykinę linijų padėtį: 
Sprendimas remiantis tiesių linijų nukreipimo vektorių tyrimu:
a) Iš lygčių randame tiesių krypties vektorius: 
.
, todėl vektoriai nėra kolinearūs, o linijos susikerta.
Tik tuo atveju, aš pastatysiu akmenį su rodyklėmis sankryžoje:
Likusieji šokinėja per akmenį ir eina tiesiai į Kaščejų Nemirtingą =)
b) Raskite tiesių krypties vektorius: 
Linijos turi tą patį krypties vektorių, o tai reiškia, kad jos yra lygiagrečios arba vienodos. Čia determinantas nėra būtinas.
Akivaizdu, kad nežinomųjų koeficientai yra proporcingi, o .
Išsiaiškinkime, ar lygybė yra teisinga: 
Taigi,
c) Raskite tiesių krypties vektorius: 
Apskaičiuokime determinantą, sudarytą iš šių vektorių koordinačių: 
, todėl krypties vektoriai yra kolineariniai. Linijos yra lygiagrečios arba sutampa.
Proporcingumo koeficientą „lambda“ lengva pamatyti tiesiogiai iš kolinearinių krypties vektorių santykio. Tačiau jį taip pat galima rasti pagal pačių lygčių koeficientus: 
.
Dabar išsiaiškinkime, ar lygybė yra teisinga. Abi nemokamos sąlygos yra nulinės, todėl:
Gauta reikšmė tenkina šią lygtį (paprastai ją tenkina bet koks skaičius).
Taigi, linijos sutampa.
Atsakymas:
Labai greitai išmoksite (ar net jau išmokote) išspręsti svarstomą problemą žodžiu pažodžiui per kelias sekundes. Šiuo atžvilgiu nematau jokios priežasties pasiūlyti ką nors savarankiškam sprendimui, geriau į geometrinį pamatą pakloti dar vieną svarbią plytą:
Kaip nubrėžti liniją, lygiagrečią nurodytai?
Už šios paprasčiausios užduoties nežinojimą Lakštingala Plėšikas griežtai nubaudžia.
2 pavyzdys
Tiesi linija nurodoma lygtimi . Parašykite lygiagrečios tiesės, einančios per tašką, lygtį.
Sprendimas: Pažymėkite nežinomą eilutę raide . Ką apie tai sako sąlyga? Linija eina per tašką. O jei tiesės lygiagrečios, tai akivaizdu, kad tiesės „ce“ nukreipiamasis vektorius tinka ir tiesei „de“ statyti.
Iš lygties išimame krypties vektorių:
Atsakymas:
Pavyzdžio geometrija atrodo paprasta: 
Analitinis patikrinimas susideda iš šių žingsnių:
1) Patikriname, ar tiesės turi vienodą krypties vektorių (jei tiesės lygtis nėra tinkamai supaprastinta, vektoriai bus kolineariniai).
2) Patikrinkite, ar taškas tenkina gautą lygtį.
Daugeliu atvejų analitinį patikrinimą lengva atlikti žodžiu. Pažvelkite į dvi lygtis ir daugelis iš jūsų greitai supras, kiek lygiagrečios yra linijos, be jokio piešinio.
Šiandienos savarankiško sprendimo pavyzdžiai bus kūrybingi. Nes vis tiek tenka konkuruoti su Baba Yaga, o ji, žinai, yra visokių mįslių mėgėja.
3 pavyzdys
Parašykite tiesės, einančios per tašką, lygiagrečią tiesei, lygtį
Yra racionalus ir nelabai racionalus sprendimo būdas. Trumpiausias kelias yra pamokos pabaigoje.
Šiek tiek padirbėjome su lygiagrečiomis linijomis ir prie jų grįšime vėliau. Sutampančių linijų atvejis mažai domina, todėl panagrinėkime problemą, kuri jums gerai žinoma iš mokyklos programos:
Kaip rasti dviejų linijų susikirtimo tašką?
Jei tiesiai 
susikerta taške , tada jo koordinatės yra sprendimas tiesinių lygčių sistemos 
Kaip rasti linijų susikirtimo tašką? Išspręskite sistemą.
Čia tau dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos geometrinė reikšmė yra dvi susikertančios (dažniausiai) tiesės plokštumoje.
4 pavyzdys
Raskite tiesių susikirtimo tašką
Sprendimas: Yra du sprendimo būdai – grafinis ir analitinis.
Grafinis būdas yra tiesiog nubrėžti nurodytas linijas ir sužinoti susikirtimo tašką tiesiai iš brėžinio: 
Štai mūsų mintis: . Norėdami patikrinti, turėtumėte pakeisti jos koordinates į kiekvieną tiesės lygtį, jos turėtų tilpti ir ten, ir ten. Kitaip tariant, taško koordinatės yra sistemos sprendimas. Tiesą sakant, mes svarstėme grafinį sprendimo būdą tiesinių lygčių sistemos su dviem lygtimis, dviem nežinomaisiais.
Grafinis metodas, žinoma, nėra blogas, tačiau yra pastebimų trūkumų. Ne, esmė ne ta, kad septintokai taip nusprendžia, esmė ta, kad taisyklingam ir TIKSLIAM piešiniui padaryti prireiks laiko. Be to, kai kurias linijas nėra taip paprasta sukonstruoti, o pats susikirtimo taškas gali būti kažkur trisdešimtoje karalystėje už sąsiuvinio lapo.
Todėl sankirtos taško tikslingiau ieškoti analitiniu metodu. Išspręskime sistemą: 
Sistemai išspręsti buvo naudojamas terminų lygčių sudėjimo metodas. Norėdami lavinti atitinkamus įgūdžius, apsilankykite pamokoje Kaip išspręsti lygčių sistemą?
Atsakymas:
Patikrinimas yra trivialus – susikirtimo taško koordinatės turi tenkinti kiekvieną sistemos lygtį.
5 pavyzdys
Raskite tiesių susikirtimo tašką, jei jos susikerta.
Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Užduotį patogiai galima suskirstyti į kelis etapus. Būklės analizė rodo, kad būtina:
1) Parašykite tiesės lygtį.
2) Parašykite tiesės lygtį.
3) Išsiaiškinkite santykinę linijų padėtį.
4) Jei linijos susikerta, raskite susikirtimo tašką.
Veiksmų algoritmo kūrimas būdingas daugeliui geometrinių uždavinių, ir aš ne kartą sutelksiu dėmesį į tai.
Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje:
Batų pora dar nenudėvėta, nes patekome į antrą pamokos dalį:
Statmenos linijos. Atstumas nuo taško iki linijos.
Kampas tarp eilučių
Pradėkime nuo tipiškos ir labai svarbios užduoties. Pirmoje dalyje išmokome nutiesti tiesią liniją, lygiagrečią nurodytai, o dabar namelis ant vištos kojų pasisuks 90 laipsnių:
Kaip nubrėžti liniją, statmeną duotai linijai?
6 pavyzdys
Tiesi linija nurodoma lygtimi . Parašykite statmenos tiesės, einančios per tašką, lygtį.
Sprendimas: Darant prielaidą, kad . Būtų malonu rasti tiesės krypties vektorių. Kadangi linijos yra statmenos, gudrybė paprasta:
Iš lygties „pašaliname“ normalųjį vektorių: , kuris bus tiesės krypties vektorius.
Sudarome tiesės lygtį iš taško ir krypties vektoriaus:
Atsakymas: 
Išskleiskite geometrinį eskizą:
Hmm... Oranžinis dangus, oranžinė jūra, oranžinis kupranugaris.
Analitinis tirpalo patikrinimas:
1) Iš lygčių išskirkite krypties vektorius 
ir su pagalba vektorių taškinė sandauga darome išvadą, kad tiesės iš tiesų yra statmenos: .
Beje, galite naudoti įprastus vektorius, tai dar lengviau.
2) Patikrinkite, ar taškas tenkina gautą lygtį 
.
Vėlgi, patvirtinimą lengva atlikti žodžiu.
7 pavyzdys
Raskite statmenų tiesių susikirtimo tašką, jei lygtis žinoma 
ir taškas.
Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Užduotyje yra keli veiksmai, todėl patogu sprendinį išdėstyti taškas po taško.
Mūsų įdomi kelionė tęsiasi:
Atstumas nuo taško iki linijos
Prieš mus yra tiesi upės juosta ir mūsų užduotis yra ją pasiekti trumpiausiu keliu. Kliūčių nėra, o optimaliausias maršrutas bus judėjimas statmenai. Tai reiškia, kad atstumas nuo taško iki linijos yra statmenos atkarpos ilgis.
Atstumas geometrijoje tradiciškai žymimas graikiška raide „ro“, pavyzdžiui: - atstumas nuo taško „em“ iki tiesės „de“.
Atstumas nuo taško iki linijos 
išreiškiamas formule
8 pavyzdys
Raskite atstumą nuo taško iki linijos 
Sprendimas: viskas, ko jums reikia, yra atsargiai pakeisti skaičius į formulę ir atlikti skaičiavimus:
Atsakymas: 
Atlikime piešinį: 
Rastas atstumas nuo taško iki linijos yra lygiai raudonos atkarpos ilgis. Jei piešiate ant languoto popieriaus 1 vieneto masteliu. \u003d 1 cm (2 langeliai), tada atstumą galima išmatuoti įprasta liniuote.
Apsvarstykite kitą užduotį pagal tą patį brėžinį:
Užduotis yra rasti taško koordinates, kuris yra simetriškas taškui tiesės atžvilgiu 
. Siūlau veiksmus atlikti savarankiškai, tačiau pateiksiu sprendimo algoritmą su tarpiniais rezultatais:
1) Raskite tiesę, kuri yra statmena tiesei.
2) Raskite linijų susikirtimo tašką: 
.
Abu veiksmai išsamiai aptariami šioje pamokoje.
3) Taškas yra atkarpos vidurio taškas. Žinome vidurio ir vieno galo koordinates. Autorius atkarpos vidurio koordinačių formulės rasti.
Nebus nereikalinga patikrinti, ar atstumas taip pat lygus 2,2 vieneto.
Skaičiuojant čia gali kilti sunkumų, tačiau bokšte labai padeda mikroskaičiuotuvas, leidžiantis skaičiuoti paprastas trupmenas. Daug kartų patariau ir rekomenduosiu dar ne kartą.
Kaip rasti atstumą tarp dviejų lygiagrečių linijų?
9 pavyzdys
Raskite atstumą tarp dviejų lygiagrečių tiesių
Tai dar vienas nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Maža užuomina: sprendimo būdų yra be galo daug. Aprašymas pamokos pabaigoje, bet geriau pabandykite atspėti patys, manau, kad jums pavyko gerai išsklaidyti savo išradingumą.
Kampas tarp dviejų linijų
Kad ir koks kampas, tada stakta: 
Geometrijoje kampas tarp dviejų tiesių laikomas MAŽESNIU kampu, iš kurio automatiškai išplaukia, kad jis negali būti bukas. Paveiksle raudonu lanku nurodytas kampas nėra laikomas kampu tarp susikertančių linijų. Ir jos „žaliasis“ kaimynas arba priešingos krypties tamsiai raudonas kampas.
Jei linijos yra statmenos, bet kuris iš 4 kampų gali būti laikomas kampu tarp jų.
Kuo skiriasi kampai? Orientacija. Pirma, iš esmės svarbi kampo „slinkimo“ kryptis. Antra, neigiamai orientuotas kampas rašomas minuso ženklu, pavyzdžiui, jei .
Kodėl aš tai pasakiau? Atrodo, kad galite apsieiti su įprasta kampo koncepcija. Faktas yra tas, kad formulėse, pagal kurias rasime kampus, galima lengvai gauti neigiamą rezultatą, ir tai neturėtų jūsų nustebinti. Kampas su minuso ženklu nėra blogesnis ir turi labai specifinę geometrinę reikšmę. Neigiamojo kampo brėžinyje būtina rodykle nurodyti jo orientaciją (pagal laikrodžio rodyklę).
Kaip rasti kampą tarp dviejų linijų? Yra dvi darbo formulės:
10 pavyzdys
Raskite kampą tarp eilučių
Sprendimas Ir Pirmasis metodas
Apsvarstykite dvi tiesias linijas, pateiktas lygtimis bendra forma: 
Jei tiesiai ne statmenai, Tai orientuotas kampą tarp jų galima apskaičiuoti pagal formulę: 
Atidžiai atkreipkime dėmesį į vardiklį – būtent taip skaliarinis produktas Tiesių linijų krypties vektoriai:
Jei , tada formulės vardiklis išnyksta, o vektoriai bus stačiakampiai, o linijos - statmenos. Štai kodėl buvo padaryta išlyga dėl formuluotės linijų nestatumo.
Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, sprendimas yra patogiai įforminamas dviem etapais:
1) Apskaičiuokite tiesių nukreipimo vektorių skaliarinę sandaugą:
todėl linijos nėra statmenos.
2) Kampą tarp linijų randame pagal formulę:
Naudojant atvirkštinę funkciją, lengva rasti patį kampą. Šiuo atveju naudojame lanko liestinės nelygumą (žr. Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės):
Atsakymas: 
Atsakyme nurodome tikslią vertę, taip pat apytikslę reikšmę (geriausia ir laipsniais, ir radianais), apskaičiuotą naudojant skaičiuotuvą.
Na, minusas, taigi minusas, viskas gerai. Čia yra geometrinė iliustracija: 
Nenuostabu, kad kampas pasirodė neigiamos orientacijos, nes problemos sąlygoje pirmasis skaičius yra tiesi linija ir kampo „sukimas“ prasidėjo būtent nuo jos.
Jei tikrai norite gauti teigiamą kampą, turite sukeisti tiesias linijas, tai yra, paimti koeficientus iš antrosios lygties 
, ir paimkite koeficientus iš pirmosios lygties . Trumpai tariant, reikia pradėti nuo tiesioginio 
.
KAMPAS TARP PLOKTUMU
Panagrinėkime dvi plokštumas α 1 ir α 2, atitinkamai gautas pagal lygtis:
Pagal kampu tarp dviejų plokštumų turime omenyje vieną iš šių plokštumų suformuotų dvikampių kampų. Akivaizdu, kad kampas tarp normaliųjų vektorių ir plokštumų α 1 ir α 2 yra lygus vienam iš nurodytų gretimų dvikampių arba 
. Štai kodėl 
. Nes 
Ir 
, Tai
.
Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp plokštumų x+2y-3z+4 = 0 ir 2 x+3y+z+8=0.
Dviejų plokštumų lygiagretumo sąlyga.
Dvi plokštumos α 1 ir α 2 yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų normalieji vektoriai ir yra lygiagrečios, taigi 
.
Taigi, dvi plokštumos yra lygiagrečios viena kitai tada ir tik tada, kai koeficientai atitinkamose koordinatėse yra proporcingi:
arba
Plokštumų statmenumo sąlyga.
Akivaizdu, kad dvi plokštumos yra statmenos tada ir tik tada, kai jų normalūs vektoriai yra statmeni, todėl arba .
Taigi,.
Pavyzdžiai.
TIESIOGIAI ERDVĖJE.
VEKTORINĖ LYGTIS TIESIOGIAI.
PARAMETRINĖS LYGTYBĖS TIESIOGINĖS
Tiesios linijos padėtis erdvėje visiškai nustatoma nurodant bet kurį iš jos fiksuotų taškų M 1 ir vektorius, lygiagretus šiai tiesei.
Vadinamas vektorius, lygiagretus tiesei vadovaujantisšios linijos vektorius.
Taigi leiskite tiesiai l eina per tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1) gulėti ant tiesės, lygiagrečios vektoriui .
Apsvarstykite savavališką tašką M(x,y,z) tiesioje linijoje. Iš paveikslo matyti, kad 
.
Vektoriai ir yra kolineariniai, todėl yra toks skaičius t, kas , kur yra daugiklis t gali įgauti bet kokią skaitinę reikšmę, priklausomai nuo taško padėties M tiesioje linijoje. veiksnys t vadinamas parametru. Žymintys taškų spindulio vektorius M 1 ir M atitinkamai per ir , gauname . Ši lygtis vadinama vektorius tiesios linijos lygtis. Tai rodo, kad kiekvieno parametro reikšmė t atitinka kurio nors taško spindulio vektorių M guli ant tiesios linijos.
Šią lygtį užrašome koordinačių forma. Pastebėti, kad , 
ir iš čia
Gautos lygtys vadinamos parametrinis tiesiosios lygtys.
Keičiant parametrą t keičiasi koordinatės x, y Ir z ir taškas M juda tiesia linija.
KANONINĖS LYGTYBĖS TIESIOGIAI
Leisti M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - taškas, esantis tiesioje linijoje l, Ir 
yra jo krypties vektorius. Vėlgi, paimkite savavališką tašką tiesioje linijoje M(x,y,z) ir apsvarstykite vektorių .
Akivaizdu, kad vektoriai ir yra kolinearūs, todėl jų atitinkamos koordinatės turi būti proporcingos
– kanoninis tiesiosios lygtys.
1 pastaba. Atkreipkite dėmesį, kad kanonines linijos lygtis galima gauti iš parametrinių lygčių pašalinus parametrą t. Iš tikrųjų iš parametrinių lygčių gauname 
arba .
Pavyzdys. Parašykite tiesės lygtį 
parametriniu būdu.
Pažymėti 
, vadinasi x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
2 pastaba. Tegul linija yra statmena vienai iš koordinačių ašių, pavyzdžiui, ašiai Jautis. Tada tiesės krypties vektorius yra statmenas Jautis, vadinasi, m=0. Vadinasi, tiesios linijos parametrinės lygtys įgauna formą
Parametro pašalinimas iš lygčių t, gauname formos tiesės lygtis
Tačiau ir šiuo atveju sutinkame formaliai rašyti kanonines tiesės lygtis formoje 
. Taigi, jei vienos iš trupmenų vardiklis yra lygus nuliui, tai reiškia, kad linija yra statmena atitinkamai koordinačių ašiai.
Panašiai ir kanoninės lygtys 
atitinka ašims statmeną tiesę Jautis Ir Oy arba lygiagreti ašis Ozas.
Pavyzdžiai.
BENDROSIOS LYGTYBĖS TIESIOGINĖ LINIJA KAIP Dviejų PLOKTUČIŲ SUVEŽIMO LINIJA
Per kiekvieną tiesę erdvėje eina begalinis skaičius plokštumų. Bet kurios dvi iš jų, susikertančios, apibrėžia ją erdvėje. Todėl bet kurių dviejų tokių plokštumų lygtys, nagrinėtos kartu, yra šios linijos lygtys.
Apskritai, bet kurios dvi nelygiagrečios plokštumos, pateiktos pagal bendrąsias lygtis
nustatyti jų susikirtimo liniją. Šios lygtys vadinamos bendrosios lygtys tiesiai.
Pavyzdžiai.
Sukurkite tiesę, nurodytą lygtimis 
Norint sukurti tiesę, pakanka rasti bet kuriuos du jos taškus. Lengviausias būdas yra pasirinkti tiesės susikirtimo taškus su koordinačių plokštumomis. Pavyzdžiui, susikirtimo su plokštuma taškas xOy gauname iš tiesės lygčių, darydami prielaidą z= 0:
Išspręsdami šią sistemą, randame esmę M 1 (1;2;0).
Panašiai, darant prielaidą y= 0, gauname tiesės susikirtimo su plokštuma tašką xOz:
Iš bendrųjų tiesės lygčių galima pereiti prie jos kanoninių arba parametrinių lygčių. Norėdami tai padaryti, turite rasti tam tikrą tašką M 1 ant linijos ir linijos krypties vektorius.
Taško koordinatės M 1 gauname iš šios lygčių sistemos, suteikdami vienai iš koordinačių savavališką reikšmę. Norėdami rasti krypties vektorių, atkreipkite dėmesį, kad šis vektorius turi būti statmenas abiem normaliesiems vektoriams 
Ir 
. Todėl tiesės krypties vektoriui l galite paimti normaliųjų vektorių kryžminę sandaugą:
.
Pavyzdys. Pateikite bendrąsias tiesės lygtis 
į kanoninę formą.
Raskite tašką tiesioje linijoje. Norėdami tai padaryti, savavališkai pasirenkame vieną iš koordinačių, pavyzdžiui, y= 0 ir išspręskite lygčių sistemą:
Tiesę apibrėžiančių plokštumų normalieji vektoriai turi koordinates 
Todėl krypties vektorius bus tiesus
. Vadinasi, l: 
.
KAMPAS TARP TEISIŲ
kampas tarp tiesių erdvėje vadinsime bet kurį iš gretimų kampų, sudarytų iš dviejų tiesių, nubrėžtų per savavališką tašką, lygiagrečią duomenims.
Tegu erdvėje nurodytos dvi tiesės:
Akivaizdu, kad kampas φ tarp linijų gali būti laikomas kampu tarp jų krypties vektorių ir . Kadangi , tada pagal kampo tarp vektorių kosinuso formulę gauname
papasakosiu trumpai. Kampas tarp dviejų tiesių yra lygus kampui tarp jų krypties vektorių. Taigi, jei pavyksta rasti krypties vektorių a \u003d (x 1; y 1; z 1) ir b \u003d (x 2; y 2; z 2) koordinates, galite rasti kampą. Tiksliau, kampo kosinusas pagal formulę:
Pažiūrėkime, kaip ši formulė veikia konkrečiuose pavyzdžiuose:
Užduotis. Taškai E ir F pažymėti kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - atitinkamai kraštinių A 1 B 1 ir B 1 C 1 vidurio taškai. Raskite kampą tarp tiesių AE ir BF.
Kadangi kubo kraštas nenurodytas, nustatome AB = 1. Įvedame standartinę koordinačių sistemą: pradžia yra taške A, o x, y, z ašys nukreiptos atitinkamai išilgai AB, AD ir AA 1 . Vieneto atkarpa lygi AB = 1. Dabar suraskime mūsų tiesių krypties vektorių koordinates.
Raskite vektoriaus AE koordinates. Norėdami tai padaryti, mums reikia taškų A = (0; 0; 0) ir E = (0,5; 0; 1). Kadangi taškas E yra atkarpos A 1 B 1 vidurys, tai jo koordinatės lygios galų koordinačių aritmetiniam vidurkiui. Atkreipkite dėmesį, kad vektoriaus AE pradžia sutampa su pradžia, todėl AE = (0,5; 0; 1).
Dabar panagrinėkime BF vektorių. Panašiai analizuojame taškus B = (1; 0; 0) ir F = (1; 0,5; 1), nes F - atkarpos B 1 C 1 vidurys. Mes turime:
BF = (1–1; 0,5–0; 1–0) = (0; 0,5; 1).
Taigi, krypties vektoriai yra paruošti. Kampo tarp linijų kosinusas yra kampo tarp krypties vektorių kosinusas, todėl turime:
Užduotis. Taisyklingoje trikampėje prizmėje ABCA 1 B 1 C 1, kurios visos briaunos lygios 1, pažymėti taškai D ir E - atitinkamai briaunų A 1 B 1 ir B 1 C 1 vidurio taškai. Raskite kampą tarp tiesių AD ir BE.
Įvedame standartinę koordinačių sistemą: pradžia yra taške A, x ašis nukreipta išilgai AB, z - išilgai AA 1 . Y ašį nukreipiame taip, kad OXY plokštuma sutaptų su ABC plokštuma. Vieneto atkarpa lygi AB = 1. Raskite norimų tiesių krypties vektorių koordinates.
Pirmiausia suraskime AD vektoriaus koordinates. Apsvarstykite taškus: A = (0; 0; 0) ir D = (0,5; 0; 1), nes D - atkarpos vidurys A 1 B 1 . Kadangi vektoriaus AD pradžia sutampa su pradžia, gauname AD = (0,5; 0; 1).
Dabar suraskime vektoriaus BE koordinates. Tašką B = (1; 0; 0) lengva apskaičiuoti. Su tašku E - atkarpos viduriu C 1 B 1 - šiek tiek sunkiau. Mes turime:
Belieka rasti kampo kosinusą:
Užduotis. Taisyklingoje šešiakampėje prizmėje ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , kurios visos briaunos lygios 1, pažymėti taškai K ir L - kraštinių A 1 B 1 ir B 1 C 1 vidurio taškai, atitinkamai. Raskite kampą tarp tiesių AK ir BL.
Pristatome standartinę prizmės koordinačių sistemą: koordinačių pradžią dedame į apatinio pagrindo centrą, x ašį nukreipiame išilgai FC, y ašį – per atkarpų AB ir DE vidurio taškus, o – z ašį. vertikaliai aukštyn. Vieneto atkarpa vėl lygi AB = 1. Išrašykime mus dominančių taškų koordinates:
Taškai K ir L yra atitinkamai atkarpų A 1 B 1 ir B 1 C 1 vidurio taškai, todėl jų koordinatės randamos per aritmetinį vidurkį. Žinodami taškus, randame krypties vektorių AK ir BL koordinates:
Dabar suraskime kampo kosinusą:
Užduotis. Taisyklingoje keturkampėje piramidėje SABCD, kurios visos briaunos lygios 1, pažymėti taškai E ir F – atitinkamai kraštinių SB ir SC vidurio taškai. Raskite kampą tarp tiesių AE ir BF.
Pristatome standartinę koordinačių sistemą: pradžia yra taške A, x ir y ašys nukreiptos atitinkamai išilgai AB ir AD, o ašis z nukreipta vertikaliai aukštyn. Vieneto segmentas yra lygus AB = 1.
Taškai E ir F yra atitinkamai atkarpų SB ir SC vidurio taškai, todėl jų koordinatės randamos kaip galų aritmetinis vidurkis. Užsirašome mus dominančių taškų koordinates:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Žinodami taškus, randame krypties vektorių AE ir BF koordinates:
Vektoriaus AE koordinatės sutampa su taško E koordinatėmis, nes taškas A yra pradžia. Belieka rasti kampo kosinusą:
