복잡한 대수 부등식. 대수 부등식 - 지식 하이퍼마켓 대수 부등식 온라인 계산기

그들과 함께 대수 안에 있습니다.

예:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

대수 부등식을 해결하는 방법:

모든 대수 부등식은 \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) 형식으로 줄여야 합니다(기호 \(˅\)는 다음 중 하나를 의미함). 이 형식을 사용하면 로그 아래의 부등식, 즉 \(f(x) ˅ g(x)\) 형식으로 전달하여 로그와 그 밑을 제거할 수 있습니다.

그러나 이러한 전환을 할 때 한 가지 매우 중요한 미묘함이 있습니다.
\(-\) if - 숫자이고 1보다 큰 경우 - 부등식 기호는 전환 중에 동일하게 유지됩니다.
\(-\) 밑이 0보다 크고 1보다 작은 숫자(0과 1 사이)이면 부등호를 반대로 해야 합니다.

예:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(엑스<8\) 해결책: \(\로그\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) 답변: \((6;8)\)

\(\로그\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\로그\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ 1))\) ODZ: \(\시작(케이스)2x-4>0\\x+1 > 0\끝(케이스)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\왼쪽 화살표\) \(x\in(2;\infty)\) 해결책: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) 답변: \((2;5]\)

매우 중요!모든 부등식에서 \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) 형식에서 대수 아래 식 비교로의 전환은 다음과 같은 경우에만 수행할 수 있습니다.

예 . 부등식을 풉니다: \(\log\)\(≤-1\)

해결책:

\(\통나무\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	ODZ를 작성해 봅시다.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	괄호를 열고 .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	우리는 부등식에 \(-1\)을 곱합니다. 비교 부호를 뒤집는 것을 기억하세요.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	수직선을 만들고 그 위에 \(\frac(7)(3)\) 및 \(\frac(3)(2)\) 점을 표시해 봅시다. 부등식이 엄격하지 않다는 사실에도 불구하고 분모의 점에 구멍이 뚫려 있습니다. 사실 이 점은 해결책이 될 수 없습니다. 부등식으로 대체할 때 0으로 나누기 때문입니다.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	이제 동일한 숫자 축에 ODZ를 플로팅하고 응답으로 ODZ에 해당하는 간격을 기록합니다.
	최종 답변을 작성하십시오.

답변: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

예 . 부등식을 풉니다: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

해결책:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	ODZ를 작성해 봅시다.
ODZ: \(x>0\)	결정을 내리자.
솔루션: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	우리 앞에는 전형적인 제곱 대수 부등식이 있습니다. 우리는하다.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	부등식의 왼쪽을 로 확장합니다.
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	이제 원래 변수인 x로 돌아가야 합니다. 이를 위해 동일한 솔루션을 가진 에 전달하고 역대입을 수행합니다.
\(\left[ \begin(모은) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	\(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\)을 변환합니다.
\(\left[ \begin(모음) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	인수 비교로 넘어 갑시다. 로그의 밑은 \(1\)보다 크므로 부등식의 부호는 변경되지 않습니다.
\(\left[ \begin(모음) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	부등식과 ODZ의 솔루션을 하나의 그림으로 결합해 봅시다.
	답을 적어봅시다.

답변: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

대수 부등식을 풀 때 대수 함수의 단조성 속성을 사용합니다. 우리는 또한 로그 및 기본 로그 공식의 정의를 사용합니다.

로그가 무엇인지 요약해 보겠습니다.

로그베이스의 양수는 를 얻기 위해 올려야 하는 파워의 지표입니다.

여기서

기본 대수 항등식:

대수에 대한 기본 공식:

(곱의 로그는 로그의 합과 같습니다)

(몫의 로그는 로그의 차이와 같습니다)

(도의 로그 공식)

새로운 기지로 이동하는 공식은 다음과 같습니다.

대수 부등식을 해결하기 위한 알고리즘

로그 부등식은 특정 알고리즘에 따라 해결된다고 말할 수 있습니다. 부등식의 수용 가능한 값(ODV)의 범위를 적어야 합니다. 부등식을 다음 형식으로 가져옵니다. 여기서 부호는 무엇이든 될 수 있습니다. 부등식의 왼쪽과 오른쪽이 같은 밑에서 로그라는 것이 중요합니다.

그런 다음 로그를 "삭제"합니다! 또한, 차수의 밑이 이면 부등호는 그대로 유지됩니다. 밑이 부등식의 부호가 반전되는 경우.

물론 우리는 단순히 로그를 "녹아웃"하지 않습니다. 우리는 대수 함수의 단조성 속성을 사용합니다. 로그의 밑이 1보다 크면 로그 함수는 단조 증가하고 x의 값이 클수록 식의 값이 커집니다.

밑이 0보다 크고 1보다 작으면 대수 함수가 단조롭게 감소합니다. 인수 x의 더 큰 값은 더 작은 값에 해당합니다.

중요 사항: 솔루션을 등가 전환 체인으로 작성하는 것이 가장 좋습니다.

연습을 계속합시다. 언제나 그렇듯이 우리는 가장 단순한 불평등부터 시작합니다.

1. 부등식 log 3 x > log 3 5를 고려하십시오.
로그는 양수에 대해서만 정의되므로 x는 양수여야 합니다. 조건 x > 0을 주어진 부등식의 허용 가능한 값 범위(ODV)라고 합니다. 그러한 x에 대해서만 불평등이 의미가 있습니다.

음, 이 문구는 유명하게 들리고 기억하기 쉽습니다. 그런데 왜 우리는 여전히 그것을 할 수 있습니까?

우리는 인간이고 지능적입니다. 우리의 마음은 논리적이고 이해할 수 있으며 내부 구조를 가진 모든 것이 무작위적이고 관련없는 사실보다 훨씬 더 잘 기억되고 적용되도록 배열되어 있습니다. 그렇기 때문에 훈련된 수학자 개처럼 기계적으로 규칙을 암기하는 것이 아니라 의식적으로 행동하는 것이 중요합니다.

그렇다면 왜 우리는 여전히 "로그를 폐기"합니까?

답은 간단합니다. 밑이 1보다 크면(우리의 경우처럼) 대수 함수는 단조롭게 증가합니다. 즉, x 값이 클수록 y 값이 클수록 부등식 로그 3 x 1 > log 3 x 2는 x 1 > x 2를 따릅니다.


대수적 부등식으로 전환함과 동시에 부등식 기호도 보존됨을 알려드립니다.

따라서 x > 5입니다.

다음 로그 부등식도 간단합니다.

2. 로그 5(15 + 3x) > 로그 5 2x

허용 가능한 값의 범위부터 시작하겠습니다. 로그는 양수에 대해서만 정의되므로

이 시스템을 풀면 x > 0이 됩니다.

이제 대수 부등식에서 대수 부등식으로 넘어가겠습니다. 우리는 대수를 "삭제"합니다. 로그의 밑이 1보다 크므로 부등호가 보존됩니다.

15 + 3배 > 2배.

x > −15를 얻습니다.

답: x > 0.

그러나 로그의 밑이 1보다 작으면 어떻게 될까요? 이 경우 대수 부등식으로 넘어갈 때 부등식 부호가 바뀔 것이라고 추측하기 쉽습니다.

예를 들어 보겠습니다.

ODZ를 작성해 봅시다. 로그를 취한 표현식은 양수여야 합니다. 즉,

이 시스템을 풀면 x > 4.5가 됩니다.

이후 기본 대수 함수는 단조롭게 감소합니다. 그리고 이것은 함수의 더 큰 값이 인수의 더 작은 값에 해당함을 의미합니다.


그리고 만약 그렇다면
2x − 9 ≤ x.

우리는 x ≤ 9를 얻습니다.

x > 4.5인 경우 다음과 같이 답을 작성합니다.

다음 문제에서 지수 부등식은 2차 부등식으로 축소됩니다. 따라서 "제곱 부등식"이라는 주제를 반복하는 것이 좋습니다.

이제 더 복잡한 불평등:

4. 불평등 해결

5. 불평등 해결

그렇다면 . 우리는 운이 좋았다! 우리는 로그의 밑이 DPV의 모든 x 값에 대해 1보다 크다는 것을 알고 있습니다.

교체를 해보자

먼저 새 변수 t에 대한 부등식을 완전히 해결합니다. 그 후에야 변수 x로 돌아갑니다. 이것을 기억하고 시험에서 실수하지 마십시오!

규칙을 기억합시다: 방정식이나 부등식에 근, 분수 또는 로그가 있는 경우 솔루션은 허용 가능한 값 범위에서 시작해야 합니다. 로그의 밑은 양수여야 하고 1과 같지 않아야 하므로 조건 시스템을 얻습니다.

이 시스템을 단순화해 보겠습니다.

이것은 불평등에 대해 허용되는 값의 범위입니다.

변수가 로그의 밑수에 포함되어 있음을 알 수 있습니다. 영구 기지로 이동합시다. 기억해

이 경우 4진수로 이동하는 것이 편리합니다.

교체를 해보자

부등식을 단순화하고 간격 방법을 사용하여 해결합니다.

변수로 돌아가기 엑스:

조건을 추가했습니다 엑스> 0(ODZ에서).

7. 다음 문제도 간격 방법을 사용하여 해결됩니다.

항상 그렇듯이 허용 가능한 값의 범위에서 대수 부등식의 솔루션을 시작합니다. 이 경우

이 조건은 반드시 충족되어야 하며 우리는 그 조건으로 돌아갈 것입니다. 불평등 자체를 살펴보자. 좌변을 밑이 3인 로그로 작성해 봅시다:

우변은 또한 밑이 3인 로그로 쓰여질 수 있으며, 대수적 부등식으로 갈 수 있습니다:

이제 조건(즉, ODZ)이 자동으로 충족되는 것을 볼 수 있습니다. 음, 이것은 부등식의 해결책을 단순화합니다.

간격 방법으로 불평등을 해결합니다.

답변:

일어난? 글쎄, 난이도를 높이자 :

8. 부등식 해결:

부등식은 다음 시스템과 동일합니다.

9. 부등식을 해결합니다.

식 5 - 엑스 2는 문제의 조건에서 강박적으로 반복된다. 이는 다음과 같이 교체할 수 있음을 의미합니다.

지수함수는 양의 값만 취하기 때문에 티> 0. 그러면

불평등은 다음과 같은 형식을 취합니다.

이미 더 좋습니다. 불평등의 허용 가능한 값의 범위를 찾으십시오. 우리는 이미 말했다 티> 0. 또한, ( 티− 3) (5 9 티 − 1) > 0

이 조건이 충족되면 몫도 양수가 됩니다.

그리고 부등식의 우변에 있는 로그 아래의 표현은 양수여야 합니다. 즉, (625 티 − 2) 2 .

즉 625 티− 2 ≠ 0, 즉

조심스럽게 ODZ를 기록하십시오.

간격 방법을 사용하여 결과 시스템을 풉니다.

그래서,

글쎄, 전투의 절반이 완료되었습니다. 우리는 ODZ를 알아 냈습니다. 부등식을 해결해 봅시다. 왼쪽 로그의 합은 곱의 로그로 표시됩니다.

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로그 함수를 연구할 때, 우리는 주로 형태의 부등식을 고려했습니다.
x를 기록하다< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.

부등식 lg (x + 1) ≤ 2 (1)을 풉니다.

해결책.

1) 고려중인 부등식의 오른쪽은 x의 모든 값에 대해 의미가 있고 왼쪽은 x + 1> 0에 대해 의미가 있습니다. x > -1인 경우.

2) 간격 x\u003e -1을 부등식 정의 영역 (1)이라고합니다. 밑이 10인 대수 함수는 증가하므로 x + 1 > 0 조건에서 x + 1 ≤ 100이면 부등식(1)이 충족됩니다(2 = lg 100이므로). 따라서 불평등 (1)과 불평등 시스템

(x > -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,

즉, 불평등에 대한 솔루션 집합(1)과 불평등 시스템(2)은 동일합니다.

3) 풀이 시스템 (2), 우리는 -1을 찾습니다< х ≤ 99.

답변. -1< х ≤ 99.

부등식 log 2(x - 3) + log 2(x - 2) ≤ 1(3)을 풉니다.

해결책.

1) 고려되는 대수 함수의 영역은 인수의 양수 값 집합이므로 부등식의 왼쪽은 x - 3 > 0 및 x - 2 > 0에 대해 의미가 있습니다.

따라서 이 부등식의 영역은 구간 x > 3입니다.

2) 로그의 속성에 따라 х > 3에 대한 부등식 (3)은 부등식 log 2 (х – 3)(х – 2) ≤ log 2 (4)와 같습니다.

3) 밑이 2인 대수 함수가 증가합니다. 따라서 х > 3인 경우 (х – 3)(х – 2) ≤ 2이면 부등식 (4)가 충족됩니다.

4) 따라서 원래 부등식 (3)은 부등식 시스템과 동일합니다.

((x - 3)(x - 2) ≤ 2,
(x > 3.

이 시스템의 첫 번째 부등식을 풀면 x 2 - 5x + 4 ≤ 0을 얻습니다. 여기서 1 ≤ x ≤ 4입니다. 이 세그먼트를 구간 x > 3과 결합하면 3을 얻습니다.< х ≤ 4.

답변. 삼< х ≤ 4.

부등식 로그 1/2(x 2 + 2x - 8) ≥ -4를 풉니다. (5)

해결책.

1) 불평등의 정의 영역은 조건 x 2 + 2x - 8 > 0에서 찾을 수 있습니다.

2) 부등식 (5)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ log 1/2 16.

3) 밑이 ½인 대수 함수가 감소하므로 전체 부등식 영역의 모든 x에 대해 다음을 얻습니다.

x 2 + 2x - 8 ≤ 16.

따라서 원래 평등 (5)은 불평등 시스템과 동일합니다.

(x 2 + 2x - 8 > 0, 또는 (x 2 + 2x - 8 > 0,
(x 2 + 2x - 8 ≤ 16, (x 2 + 2x - 24 ≤ 0.

첫 번째 2차 부등식을 풀면 x를 얻습니다.< -4, х >2. 두 번째 2차 부등식을 풀면 -6 ≤ x ≤ 4가 됩니다. 따라서 시스템의 두 부등식은 -6 ≤ x에서 동시에 충족됩니다.< -4 и при 2 < х ≤ 4.

답변. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.

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온라인 불평등 해결

부등식을 풀기 전에 방정식을 푸는 방법을 잘 이해할 필요가 있습니다.

부등식이 엄격()이든 비엄격(≤, ≥)이든 상관없이 첫 번째 단계는 부등식 기호를 등식(=)으로 대체하여 방정식을 푸는 것입니다.

불평등을 해결한다는 것이 무엇을 의미하는지 설명하시오.

방정식을 공부한 후 학생은 머릿속에 다음 그림을 갖게 됩니다. 방정식의 두 부분이 동일한 값을 갖는 변수 값을 찾아야 합니다. 즉, 평등이 유지되는 모든 점을 찾으십시오. 모든 것이 정확합니다!

불평등에 대해 이야기할 때 불평등이 유지되는 간격(세그먼트)을 찾는 것을 의미합니다. 부등식에 두 개의 변수가 있는 경우 솔루션은 더 이상 간격이 아니라 평면의 일부 영역이 됩니다. 세 가지 변수에서 부등식의 해법은 무엇일지 맞춰보세요.

불평등을 해결하는 방법?

간격 방법(일명 간격 방법)은 불평등을 해결하는 보편적인 방법으로 간주되며, 주어진 불평등이 충족될 모든 간격을 결정하는 것으로 구성됩니다.

부등식의 유형에 들어가지 않고 이 경우 본질이 아니며 해당 방정식을 풀고 그 근을 결정한 다음 이러한 솔루션을 수치 축에 지정해야 합니다.

부등식에 대한 솔루션을 작성하는 올바른 방법은 무엇입니까?

부등식을 풀기 위한 간격을 결정했으면 해 자체를 올바르게 작성해야 합니다. 중요한 뉘앙스가 있습니다. 간격의 경계가 솔루션에 포함되어 있습니까?

여기에서는 모든 것이 간단합니다. 방정식의 해가 ODZ를 충족하고 부등식이 엄격하지 않은 경우 구간의 경계가 부등식 해에 포함됩니다. 그렇지 않으면, 아닙니다.

각 구간을 고려할 때 부등식에 대한 솔루션은 구간 자체 또는 반구간(경계 중 하나가 부등식을 충족하는 경우) 또는 세그먼트(경계와 함께 구간)가 될 수 있습니다.

중요 포인트

간격, 반간격 및 세그먼트만이 불평등에 대한 해결책이 될 수 있다고 생각하지 마십시오. 아니요, 개별 포인트도 솔루션에 포함될 수 있습니다.

예를 들어 부등식 |x|≤0의 해는 점 0뿐입니다.

그리고 부등식 |x|

불평등 계산기는 무엇입니까?

부등식 계산기는 정확한 최종 답을 제공합니다. 이 경우 대부분의 경우 수치 축 또는 평면의 그림이 제공됩니다. 간격의 경계가 솔루션에 포함되는지 여부를 확인할 수 있습니다. 점은 채워지거나 관통되어 표시됩니다.

온라인 부등식 계산기 덕분에 방정식의 근을 올바르게 찾았는지 수직선에 표시하고 구간(및 경계)에서 부등식 조건을 확인했는지 확인할 수 있습니다.

귀하의 답변이 계산기의 답변과 다른 경우 솔루션을 다시 확인하고 실수를 식별해야 합니다.