이 자료는 두 개의 교차선 사이의 각도와 같은 개념에 전념합니다. 첫 번째 단락에서는 그것이 무엇인지 설명하고 그림으로 보여 드리겠습니다. 그런 다음 이 각도의 사인, 코사인 및 각도 자체를 찾을 수 있는 방법을 살펴보고(평면과 3차원 공간의 경우를 별도로 고려할 것입니다) 필요한 공식을 제공하고 예를 정확하게 보여 드리겠습니다. 실제로 어떻게 사용되는지.
두 선이 교차할 때 형성되는 각도가 무엇인지 이해하려면 각도의 정의, 직각도 및 교차점을 기억해야 합니다.
정의 1
공통점이 하나 있으면 두 선을 교차한다고 부릅니다. 이 점을 두 직선의 교점이라고 합니다.
각 직선은 교차점을 기준으로 광선으로 나뉩니다. 두 직선은 모두 4개의 각도를 형성하며 그 중 2개는 수직이고 2개는 인접합니다. 그 중 하나의 척도를 알면 나머지도 결정할 수 있습니다.
각도 중 하나가 α와 같다는 것을 알고 있다고 가정해 보겠습니다. 이 경우 수직인 각도도 α와 같습니다. 나머지 각도를 찾으려면 차이 180° - α를 계산해야 합니다. α가 90도이면 모든 각도는 직각이 됩니다. 직각으로 교차하는 선을 수직이라고 합니다(직각성의 개념에 대해서는 별도의 기사에서 다룹니다).
사진을 살펴보세요:
주요 정의를 공식화하는 것으로 넘어 갑시다.
정의 2
두 개의 교차선이 이루는 각도는 이 두 선을 이루는 4개의 각도 중 더 작은 각도의 척도입니다.
정의에서 중요한 결론을 도출해야 합니다. 이 경우 각도의 크기는 간격(0, 90]의 실수로 표현됩니다. 선이 수직인 경우 선 사이의 각도는 어떤 경우에도 다음과 같습니다. 90도와 같습니다.
두 개의 교차선 사이의 각도 측정값을 찾는 기능은 많은 실제 문제를 해결하는 데 유용합니다. 해결 방법은 여러 옵션 중에서 선택할 수 있습니다.
우선 기하학적 방법을 사용할 수 있습니다. 보각에 대해 알고 있다면 같거나 유사한 도형의 속성을 사용하여 필요한 각도와 연관시킬 수 있습니다. 예를 들어, 삼각형의 변을 알고 이 변이 위치한 선 사이의 각도를 계산해야 하는 경우 코사인 정리가 이를 해결하는 데 적합합니다. 조건에 직각 삼각형이 있는 경우 계산을 위해 각도의 사인, 코사인 및 탄젠트도 알아야 합니다.
좌표 방법은 이러한 유형의 문제를 해결하는 데에도 매우 편리합니다. 올바르게 사용하는 방법을 설명하겠습니다.
두 개의 직선이 있는 직사각형(직교) 좌표계 O x y가 있습니다. 문자 a와 b로 표시합시다. 직선은 몇 가지 방정식을 사용하여 설명할 수 있습니다. 원래 선에는 교차점 M이 있습니다. 이 직선 사이에 필요한 각도(α로 표시)를 결정하는 방법은 무엇입니까?
주어진 조건에서 각도를 찾는 기본 원리를 공식화하는 것부터 시작하겠습니다.
우리는 직선의 개념이 방향 벡터, 법선 벡터와 같은 개념과 밀접한 관련이 있다는 것을 알고 있습니다. 특정 직선의 방정식이 있으면 그 방정식에서 이러한 벡터의 좌표를 가져올 수 있습니다. 우리는 두 개의 교차하는 선에 대해 동시에 이 작업을 수행할 수 있습니다.
두 개의 교차선이 이루는 각도는 다음을 사용하여 찾을 수 있습니다.
- 방향 벡터 사이의 각도;
- 법선 벡터 사이의 각도;
- 한 선의 법선 벡터와 다른 선의 방향 벡터 사이의 각도입니다.
이제 각 방법을 개별적으로 살펴보겠습니다.
1. 방향 벡터 a → = (a x, a y)를 갖는 선 a와 방향 벡터 b → (b x, b y)를 갖는 선 b가 있다고 가정합니다. 이제 교차점에서 두 벡터 a → 및 b →를 플로팅해 보겠습니다. 그 후에 우리는 그것들이 각자의 직선 위에 위치하는 것을 보게 될 것입니다. 그런 다음 상대적 배열에 대한 네 가지 옵션이 있습니다. 그림 참조:
두 벡터 사이의 각도가 둔각이 아닌 경우 교차하는 선 a와 b 사이에 필요한 각도가 됩니다. 둔각인 경우 원하는 각도는 각도 a →, b → ^에 인접한 각도와 같습니다. 따라서 a → , b → ^ ≤ 90 °이면 α = a → , b → ^, a → , b → ^ > 90 °이면 α = 180 ° - a → , b → ^입니다.
동일한 각도의 코사인이 동일하다는 사실을 기반으로 결과 평등을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. cos α = cos a →, b → ^, a →, b → ^ ≤ 90 °인 경우; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, a →인 경우 b → ^ > 90 °.
두 번째 경우에는 축소 공식이 사용되었습니다. 따라서,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
마지막 공식을 단어로 작성해 보겠습니다.
정의 3
두 개의 교차 직선으로 형성된 각도의 코사인은 방향 벡터 사이의 각도 코사인 계수와 같습니다.
두 벡터 a → = (a x , a y)와 b → = (b x , b y) 사이의 각도 코사인 공식의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
이것으로부터 주어진 두 직선 사이의 각도의 코사인 공식을 도출할 수 있습니다.
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
그런 다음 각도 자체는 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
여기서 a → = (a x , a y) 및 b → = (b x , b y)는 주어진 선의 방향 벡터입니다.
문제 해결의 예를 들어 보겠습니다.
실시예 1
평면 위의 직교 좌표계에는 두 개의 교차선 a와 b가 주어집니다. 이는 매개변수 방정식 x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R 및 x 5 = y - 6 - 3으로 설명할 수 있습니다. 이 선들 사이의 각도를 계산하십시오.
해결책
우리 조건에는 파라메트릭 방정식이 있는데, 이는 이 선에 대해 방향 벡터의 좌표를 즉시 기록할 수 있음을 의미합니다. 이를 위해서는 매개변수에 대한 계수 값을 가져와야 합니다. 즉, 직선 x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R은 방향 벡터 a → = (4, 1)을 갖습니다.
두 번째 줄은 표준 방정식 x 5 = y - 6 - 3을 사용하여 설명됩니다. 여기서 우리는 분모로부터 좌표를 얻을 수 있습니다. 따라서 이 선은 방향 벡터 b → = (5 , - 3) 을 갖습니다.
다음으로 각도 찾기로 직접 이동합니다. 이렇게 하려면 두 벡터의 기존 좌표를 위 공식 α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 에 대입하면 됩니다. 우리는 다음을 얻습니다:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
답변: 이 직선은 45도 각도를 이룹니다.
법선 벡터 사이의 각도를 찾아 비슷한 문제를 해결할 수 있습니다. 법선 벡터 n a → = (n a x , n a y)를 갖는 선 a와 법선 벡터 n b → = (n b x , n b y)를 갖는 선 b가 있는 경우, 그 사이의 각도는 n a →와 사이의 각도와 같습니다. n b → 또는 n a →, n b → ^에 인접할 각도. 이 방법은 그림에 나와 있습니다.
법선 벡터의 좌표를 사용하여 교차하는 선 사이의 각도와 이 각도 자체의 코사인을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2
여기서 n a → 및 n b →는 주어진 두 선의 법선 벡터를 나타냅니다.
실시예 2
직각 좌표계에서는 방정식 3 x + 5 y - 30 = 0 및 x + 4 y - 17 = 0을 사용하여 두 개의 직선이 제공됩니다. 그들 사이의 각도의 사인과 코사인과 이 각도 자체의 크기를 구합니다.
해결책
원래 선은 A x + B y + C = 0 형식의 정규선 방정식을 사용하여 지정됩니다. 법선 벡터를 n → = (A, B)로 나타냅니다. 한 줄에 대한 첫 번째 법선 벡터의 좌표를 찾아 다음과 같이 작성해 보겠습니다. n a → = (3, 5) . 두 번째 라인 x + 4 y - 17 = 0의 경우 법선 벡터의 좌표는 n b → = (1, 4)입니다. 이제 얻은 값을 공식에 추가하고 합계를 계산해 보겠습니다.
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
각도의 코사인을 알면 기본 삼각 항등식을 사용하여 사인을 계산할 수 있습니다. 직선이 이루는 각도 α는 둔각이 아니므로 sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34입니다.
이 경우 α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34입니다.
답: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
한 직선의 방향 벡터와 다른 직선의 법선 벡터의 좌표를 알고 있다면 직선 사이의 각도를 찾는 마지막 사례를 분석해 보겠습니다.
직선 a에는 방향 벡터 a → = (a x , a y) 가 있고 직선 b에는 법선 벡터 n b → = (n b x , n b y) 가 있다고 가정합니다. 이러한 벡터를 교차점에서 따로 설정하고 상대적 위치에 대한 모든 옵션을 고려해야 합니다. 그림을 참조하세요:
주어진 벡터 사이의 각도가 90도를 넘지 않으면 a와 b 사이의 각도를 직각으로 보완하는 것으로 나타났습니다.
a → , n b → ^ = 90 ° - a → 인 경우 α, n b → ^ ≤ 90 ° .
90도 미만이면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
a → , n b → ^ > 90 ° , 그런 다음 a → , n b → ^ = 90 ° + α
동일한 각도의 코사인 평등 규칙을 사용하여 다음과 같이 씁니다.
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α → a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - a → , n b → ^ > 90 °의 경우 sin α .
따라서,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
결론을 공식화합시다.
정의 4
평면에서 교차하는 두 선 사이의 각도의 사인을 찾으려면 첫 번째 선의 방향 벡터와 두 번째 선의 법선 벡터 사이의 각도의 코사인 계수를 계산해야 합니다.
필요한 수식을 적어 봅시다. 각도의 사인 구하기:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
각도 자체 찾기:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
여기서 a →는 첫 번째 선의 방향 벡터이고, n b →는 두 번째 선의 법선 벡터입니다.
실시예 3
두 개의 교차 선은 방정식 x - 5 = y - 6 3 및 x + 4 y - 17 = 0으로 제공됩니다. 교차 각도를 찾아보세요.
해결책
주어진 방정식에서 가이드와 법선 벡터의 좌표를 가져옵니다. a → = (-5, 3) 및 n → b = (1, 4)로 나타납니다. α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 공식을 사용하여 계산합니다.
α = 아크사인 = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = 아크사인 7 2 34
이전 문제에서 방정식을 가져와 정확히 동일한 결과를 얻었지만 방식은 다릅니다.
답변:α = arcsin7234
주어진 직선의 각도계수를 이용하여 원하는 각도를 찾는 또 다른 방법을 제시해보자.
방정식 y = k 1 x + b 1을 사용하여 직교 좌표계로 정의된 선 a와 y = k 2 x + b 2로 정의된 선 b가 있습니다. 이것은 기울기가 있는 선의 방정식입니다. 교차 각도를 찾으려면 다음 공식을 사용합니다.
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, 여기서 k 1 과 k 2 는 주어진 선의 기울기입니다. 이 기록을 얻기 위해 법선 벡터의 좌표를 통해 각도를 결정하는 공식이 사용되었습니다.
실시예 4
방정식 y = - 3 5 x + 6 및 y = - 1 4 x + 17 4로 주어진 평면에서 교차하는 두 개의 선이 있습니다. 교차 각도의 값을 계산합니다.
해결책
우리 선의 각도 계수는 k 1 = - 3 5 및 k 2 = - 1 4와 같습니다. 이를 공식 α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1에 추가하고 계산해 보겠습니다.
α = 아크코사인 - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = 아크코사인 23 20 34 24 · 17 16 = 아크코사인 23 2 34
답변:α = a r c cos 23 2 34
이 단락의 결론에서는 여기에 제공된 각도를 찾는 공식을 암기할 필요가 없다는 점에 유의해야 합니다. 이를 위해서는 주어진 선의 안내선 및/또는 법선 벡터의 좌표를 알고 다양한 유형의 방정식을 사용하여 이를 결정할 수 있으면 충분합니다. 그러나 각도의 코사인을 계산하는 공식을 기억하거나 적어 두는 것이 좋습니다.
공간에서 교차하는 선 사이의 각도를 계산하는 방법
이러한 각도의 계산은 방향 벡터의 좌표를 계산하고 이러한 벡터에 의해 형성된 각도의 크기를 결정하는 것으로 축소될 수 있습니다. 이러한 예의 경우 이전에 제시한 것과 동일한 추론이 사용됩니다.
3차원 공간에 위치한 직각 좌표계가 있다고 가정해 보겠습니다. 여기에는 교차점 M이 있는 두 개의 직선 a와 b가 포함되어 있습니다. 방향 벡터의 좌표를 계산하려면 이 선의 방정식을 알아야 합니다. 방향 벡터 a → = (a x , a y , a z) 및 b → = (b x , b y , b z) 를 나타냅니다. 그들 사이의 각도의 코사인을 계산하기 위해 다음 공식을 사용합니다.
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
각도 자체를 찾으려면 다음 공식이 필요합니다.
α = a r c cos a x b x + a y by y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
실시예 5
방정식 x 1 = y - 3 = z + 3 - 2를 사용하여 3차원 공간에 정의된 선이 있습니다. Oz축과 교차하는 것으로 알려져 있습니다. 절편각과 해당 각도의 코사인을 계산합니다.
해결책
계산해야 할 각도를 문자 α로 표시해 보겠습니다. 첫 번째 직선(a → = (1, - 3, - 2))에 대한 방향 벡터의 좌표를 적어 보겠습니다. 해당 축의 경우 좌표 벡터 k → = (0, 0, 1)을 기준으로 사용할 수 있습니다. 필요한 데이터를 받았으며 이를 원하는 공식에 추가할 수 있습니다.
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
결과적으로 우리는 필요한 각도가 a r c cos 1 2 = 45 °와 같다는 것을 발견했습니다.
답변: cos α = 1 2 , α = 45° .
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모서리 φ 일반 방정식 A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 및 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, 다음 공식으로 계산됩니다.
모서리 φ 주어진 두 줄 사이 표준 방정식(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 및 (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2, 다음 공식으로 계산됩니다.
점에서 선까지의 거리
공간의 각 평면은 다음과 같은 선형 방정식으로 표현될 수 있습니다. 일반 방정식비행기
특수한 상황들.
o 방정식 (8)의 경우 평면은 원점을 통과합니다.
o (,) 평면이 축(축, 축)과 각각 평행할 때.
o (,) 평면이 평면(평면, 평면)과 평행할 때.
해결책: 사용 (7)
답: 일반 평면 방정식.
예.
직교 좌표계 Oxyz의 평면은 평면의 일반 방정식으로 제공됩니다. 
. 이 평면의 모든 법선 벡터의 좌표를 적어보세요.
우리는 평면의 일반 방정식에서 변수 x, y 및 z의 계수가 이 평면의 법선 벡터의 해당 좌표라는 것을 알고 있습니다. 따라서 주어진 평면의 법선 벡터는 
좌표가 있습니다. 모든 법선 벡터의 집합은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
직각 좌표계에서 공간의 Oxyz가 점을 통과하는 경우 평면의 방정식을 작성하십시오. 
, ㅏ 
는 이 평면의 법선 벡터입니다.
우리는 이 문제에 대한 두 가지 해결책을 제시합니다.
우리가 가지고 있는 상태로부터. 이 데이터를 점을 통과하는 평면의 일반 방정식으로 대체합니다.
좌표 평면 Oyz에 평행하고 점을 통과하는 평면의 일반 방정식을 작성하십시오. 
.
좌표 평면 Oyz에 평행한 평면은 다음 형식의 일반적인 불완전 평면 방정식으로 주어질 수 있습니다. 시점부터 
조건에 따라 평면에 속하면 이 점의 좌표는 평면의 방정식을 충족해야 합니다. 즉, 동일성이 참이어야 합니다. 여기에서 우리는 찾습니다. 따라서 필요한 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
해결책. 외적(정의 10.26)은 벡터 p와 q에 직교합니다. 결과적으로 이는 원하는 평면에 직교하며 벡터는 법선 벡터로 간주될 수 있습니다. 벡터 n의 좌표를 찾아봅시다:
그건 
. 공식 (11.1)을 사용하여 우리는 다음을 얻습니다.
이 방정식의 괄호를 열면 최종 답에 도달합니다.
답변: 
.
형식의 법선 벡터를 다시 작성하고 길이를 찾아보겠습니다.
위에 따르면 :
답변: 
평행한 평면은 동일한 법선 벡터를 갖습니다. 1) 방정식에서 평면의 법선 벡터를 찾습니다.
2) 점과 법선 벡터를 사용하여 평면의 방정식을 구성해 보겠습니다. 
답변:
우주에서 평면의 벡터 방정식
공간 내 평면의 매개변수 방정식
주어진 벡터에 수직인 주어진 점을 통과하는 평면의 방정식
3차원 공간에 직교 직교 좌표계를 제시해 보겠습니다. 다음 문제를 공식화해 보겠습니다.
주어진 점을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성하세요 중(엑스 0, 와이 0, 지 0) 주어진 벡터에 수직 n = ( ㅏ, 비, 씨} .
해결책. 허락하다 피(엑스, 와이, 지)는 공간의 임의의 지점입니다. 점 피벡터가 다음과 같은 경우에만 평면에 속합니다. 국회의원 = {엑스 − 엑스 0, 와이 − 와이 0, 지 − 지 0) 벡터에 직교 N = {ㅏ, 비, 씨) (그림 1).
이들 벡터의 직교성에 대한 조건을 작성한 후(n, 국회의원) = 0 좌표 형식에서는 다음을 얻습니다.
|
ㅏ(엑스 − 엑스 0) + 비(와이 − 와이 0) + 씨(지 − 지 0) = 0 |
세 점을 사용한 평면의 방정식
벡터 형태
좌표에서
우주에서 비행기의 상호 배열
– 두 평면의 일반 방정식. 그 다음에:
1) 만일 
, 그러면 평면이 일치합니다.
2) 만일 
이면 평면이 평행합니다.
3) 또는 이면 평면이 교차하고 방정식 시스템이
(6)
는 이들 평면의 교차선의 방정식입니다.
|
해결책: 우리는 공식을 사용하여 선의 표준 방정식을 구성합니다. 답변: |
우리는 결과 방정식을 취하고 예를 들어 왼쪽 부분과 같이 정신적으로 "핀치 오프"합니다. 이제 이 부분을 동일시해보자 어떤 번호로든(이미 0이 있다는 것을 기억하십시오) 예를 들어 1로: . 이므로 나머지 두 "조각"도 1과 같아야 합니다. 기본적으로 시스템을 해결해야 합니다. |
다음 직선의 매개변수 방정식을 구성합니다. 
해결책: 선은 표준 방정식으로 제공되며 첫 번째 단계에서는 선과 방향 벡터에 속하는 점을 찾아야 합니다.
a) 방정식으로부터 
점과 방향 벡터를 제거합니다. 다른 점을 선택할 수도 있지만(방법은 위에 설명되어 있음) 가장 확실한 점을 선택하는 것이 좋습니다. 그건 그렇고, 실수를 피하기 위해 항상 좌표를 방정식으로 대체하십시오.
이 선에 대한 매개변수 방정식을 만들어 보겠습니다. 
파라메트릭 방정식의 편리함은 선의 다른 점을 매우 쉽게 찾을 수 있다는 것입니다. 예를 들어 좌표가 매개변수 값에 해당하는 점을 찾아보겠습니다. 
따라서: b) 표준 방정식을 고려하십시오. 
. 여기서 지점을 선택하는 것은 어렵지 않지만 위험합니다. (좌표를 혼동하지 않도록 주의하세요!!!) 가이드 벡터를 제거하는 방법은 무엇입니까? 이 선이 평행한 것에 대해 추측하거나 간단한 형식적 기법을 사용할 수 있습니다. 비율에 "Y"와 "Z"가 포함되어 있으므로 방향 벡터를 기록하고 나머지 공간에 0을 넣습니다.
직선의 매개변수 방정식을 작성해 보겠습니다. 
c) 방정식을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. 즉, "zet"는 무엇이든 될 수 있습니다. 그리고 만약 있다면, 예를 들어 . 따라서 점은 이 선에 속합니다. 방향 벡터를 찾기 위해 다음 형식 기술을 사용합니다. 원래 방정식에는 "x"와 "y"가 있고 이 위치의 방향 벡터에는 다음과 같이 씁니다. 0: . 남은 공간에 우리는 단위: . 1 대신 0을 제외한 모든 숫자가 가능합니다.
직선의 매개변수 방정식을 적어 보겠습니다. 
오오오오오... 글쎄요, 혼자 문장을 읽는 것처럼 힘들어요 =) 하지만 휴식은 나중에 도움이 될 것입니다. 특히 오늘은 적절한 액세서리를 구입했기 때문에 더욱 그렇습니다. 그러므로 첫 번째 섹션으로 넘어가서 기사가 끝날 때까지 밝은 분위기를 유지하기를 바랍니다.
두 직선의 상대적인 위치
청중이 합창으로 따라 부를 때의 경우이다. 직선 2개 가능:
1) 일치;
2) 평행하다: ;
3) 또는 단일 지점에서 교차: .
인형을 위한 도움말 : 수학적 교차 기호를 기억하세요. 매우 자주 나타납니다. 표기법은 선이 점 에서 선과 교차한다는 것을 의미합니다.
두 선의 상대적 위치를 결정하는 방법은 무엇입니까?
첫 번째 사례부터 시작해 보겠습니다.
해당 계수가 비례하는 경우에만 두 선이 일치합니다.즉, 등식이 충족되는 숫자 "람다"가 있습니다.
직선을 고려하고 해당 계수로부터 세 가지 방정식을 만들어 보겠습니다. 따라서 각 방정식에서 이러한 선이 일치합니다.
실제로 방정식의 모든 계수가 
–1(부호 변경)을 곱하고 방정식의 모든 계수를 2로 줄이면 동일한 방정식을 얻습니다.
두 번째 경우는 선이 평행한 경우입니다.
변수의 계수가 비례하는 경우에만 두 선이 평행합니다. 
, 하지만.
예를 들어 두 개의 직선을 생각해 보세요. 변수에 대한 해당 계수의 비례성을 확인합니다. 
그러나 그것은 매우 분명합니다.
세 번째 경우는 선이 교차하는 경우입니다.
변수의 계수가 비례하지 않는 경우에만 두 선이 교차합니다.즉, 등식이 충족되는 "람다" 값이 없습니다. 
따라서 직선의 경우 시스템을 만듭니다. 
첫 번째 방정식에서는 , 두 번째 방정식에서는 다음과 같습니다. 시스템이 일관성이 없다(솔루션 없음). 따라서 변수의 계수는 비례하지 않습니다.
결론: 선이 교차한다
실제 문제에서는 방금 논의한 해결 방법을 사용할 수 있습니다. 그건 그렇고, 이것은 우리가 수업 시간에 살펴본 벡터의 공선성을 확인하는 알고리즘을 매우 연상시킵니다. 벡터의 선형(비)의존성의 개념. 벡터의 기초. 그러나 좀 더 문명화된 포장이 있습니다.
실시예 1
선의 상대적 위치를 알아보세요. 
해결책직선의 벡터 방향에 대한 연구를 기반으로:
a) 방정식에서 선의 방향 벡터를 찾습니다. 
.
, 이는 벡터가 동일 선상에 있지 않고 선이 교차함을 의미합니다.
혹시라도 교차로에 표지판이 있는 돌을 놓겠습니다.
나머지는 돌을 뛰어 넘어 불멸의 카쉬 체이를 향해 곧장 따라갑니다 =)
b) 선의 방향 벡터를 찾습니다. 
선은 방향 벡터가 동일합니다. 이는 평행하거나 일치함을 의미합니다. 여기서는 행렬식을 계산할 필요가 없습니다.
미지수의 계수가 비례한다는 것은 명백합니다.
평등이 사실인지 알아 보겠습니다. 
따라서,
c) 선의 방향 벡터를 찾습니다. 
이 벡터의 좌표로 구성된 행렬식을 계산해 보겠습니다. 
따라서 방향 벡터는 동일선상에 있습니다. 선은 평행하거나 일치합니다.
비례 계수 "람다"는 동일선상 방향 벡터의 비율에서 직접 확인하기 쉽습니다. 그러나 방정식 자체의 계수를 통해서도 찾을 수 있습니다. 
.
이제 평등이 사실인지 알아 보겠습니다. 두 자유 조건 모두 0이므로 다음과 같습니다.
결과 값은 이 방정식을 만족합니다(일반적으로 임의의 숫자가 이를 만족함).
따라서 선이 일치합니다.
답변:
곧 당신은 구두로 논의된 문제를 문자 그대로 몇 초 만에 해결하는 방법을 배우게 될 것입니다(또는 이미 배웠습니다). 이와 관련하여 독립적인 솔루션을 제공하는 데 아무런 의미가 없으며 기하학적 기초에 또 다른 중요한 벽돌을 놓는 것이 좋습니다.
주어진 선과 평행한 선을 만드는 방법은 무엇입니까?
이 간단한 작업에 대한 무지로 인해 강도 나이팅게일은 가혹하게 처벌됩니다.
실시예 2
직선은 방정식으로 제공됩니다. 점을 통과하는 평행선의 방정식을 작성하십시오.
해결책: 알 수 없는 행을 문자로 표시합시다. 그 상태는 그녀에 대해 무엇을 말해주나요? 직선이 점을 통과합니다. 그리고 선들이 평행하다면 직선 "tse"의 방향 벡터가 직선 "de"를 구성하는 데에도 적합하다는 것이 분명합니다.
방정식에서 방향 벡터를 취합니다.
답변:
예제 기하학은 단순해 보입니다. 
분석 테스트는 다음 단계로 구성됩니다.
1) 선의 방향 벡터가 동일한지 확인합니다(선의 방정식이 적절하게 단순화되지 않으면 벡터가 동일선상에 위치하게 됩니다).
2) 해당 점이 결과 방정식을 만족하는지 확인합니다.
대부분의 경우 분석 테스트는 구두로 쉽게 수행할 수 있습니다. 두 방정식을 보면 많은 사람들이 그림을 그리지 않고도 선의 평행성을 빠르게 결정할 수 있습니다.
오늘날 독립적인 솔루션의 예는 창의적일 것입니다. 당신은 여전히 Baba Yaga와 경쟁해야하고 그녀는 모든 종류의 수수께끼를 좋아하기 때문입니다.
실시예 3
다음과 같은 경우 직선과 평행한 점을 통과하는 직선의 방정식을 작성하세요.
합리적이고 합리적이지 않은 해결 방법이 있습니다. 가장 짧은 길은 수업이 끝날 때입니다.
우리는 평행선에 대해 약간 작업했으며 나중에 다시 설명하겠습니다. 일치하는 선의 경우에는 별 관심이 없으므로 학교 커리큘럼에서 매우 친숙한 문제를 고려해 보겠습니다.
두 선의 교차점을 찾는 방법은 무엇입니까?
직선이라면 
점에서 교차하면 그 좌표가 해가 됩니다. 선형 방정식 시스템 
선의 교차점을 찾는 방법은 무엇입니까? 시스템을 해결합니다.
여기요 두 개의 미지수를 갖는 두 개의 선형 방정식 시스템의 기하학적 의미- 이것은 평면에서 교차하는 두 개의 (가장 자주) 선입니다.
실시예 4
선의 교차점 찾기
해결책: 해결 방법에는 그래픽과 분석의 두 가지 방법이 있습니다.
그래픽 방법은 단순히 주어진 선을 그리고 도면에서 직접 교차점을 찾는 것입니다. 
우리의 요점은 다음과 같습니다. 확인하려면 해당 좌표를 선의 각 방정식으로 대체해야 하며 거기 저기 모두 맞아야 합니다. 즉, 점의 좌표는 시스템에 대한 해입니다. 기본적으로 우리는 그래픽 솔루션을 살펴보았습니다. 선형 방정식 시스템두 개의 방정식과 두 개의 미지수가 있습니다.
물론 그래픽 방식은 나쁘지 않지만 눈에 띄는 단점이 있습니다. 아니요, 요점은 7학년 학생들이 이런 식으로 결정한다는 것이 아니라 정확하고 정확한 그림을 만드는 데 시간이 걸린다는 것입니다. 또한 일부 직선은 구성하기가 그리 쉽지 않으며, 교차점 자체가 노트 시트 외부의 제30왕국 어딘가에 위치할 수도 있습니다.
따라서 분석적 방법을 사용하여 교차점을 검색하는 것이 더 편리합니다. 시스템을 해결해 봅시다: 
시스템을 해결하기 위해 방정식을 항별로 추가하는 방법이 사용되었습니다. 관련 기술을 개발하려면 수업을 들어보세요. 방정식 시스템을 해결하는 방법은 무엇입니까?
답변:
검사는 간단합니다. 교차점의 좌표는 시스템의 각 방정식을 충족해야 합니다.
실시예 5
선이 교차하는 경우 선의 교차점을 찾으십시오.
이것은 스스로 해결하는 예입니다. 작업을 여러 단계로 나누는 것이 편리합니다. 상태를 분석하면 다음이 필요하다는 것을 알 수 있습니다.
1) 직선의 방정식을 적어보세요.
2) 직선의 방정식을 적어보세요.
3) 선의 상대적인 위치를 알아보세요.
4) 선이 교차하는 경우 교차점을 찾습니다.
동작 알고리즘의 개발은 많은 기하학적 문제에서 일반적이며 이에 대해 반복적으로 집중하겠습니다.
전체 솔루션 및 답변은 강의 마지막 부분에 나와 있습니다.
우리가 수업의 두 번째 부분에 도달할 때까지 신발 한 켤레도 닳지 않았습니다.
수직선. 점에서 선까지의 거리.
직선 사이의 각도
일반적이고 매우 중요한 작업부터 시작하겠습니다. 첫 번째 부분에서 우리는 이 직선과 평행한 직선을 만드는 방법을 배웠으며 이제 닭다리 오두막이 90도 회전합니다.
주어진 선에 수직인 선을 만드는 방법은 무엇입니까?
실시예 6
직선은 방정식으로 제공됩니다. 점을 지나는 선에 수직인 방정식을 쓰세요.
해결책: 조건에 따르면 . 선의 방향 벡터를 찾는 것이 좋을 것입니다. 선이 수직이므로 요령은 간단합니다.
방정식에서 법선 벡터를 "제거"합니다. 이는 직선의 방향 벡터가 됩니다.
점과 방향 벡터를 사용하여 직선의 방정식을 작성해 보겠습니다.
답변: 
기하학적 스케치를 확장해 보겠습니다.
흠... 주황색 하늘, 주황색 바다, 주황색 낙타.
솔루션의 분석적 검증:
1) 방정식에서 방향 벡터를 꺼냅니다. 
그리고 도움으로 벡터의 스칼라 곱우리는 선이 실제로 수직이라는 결론에 도달합니다.
그건 그렇고, 법선 벡터를 사용할 수 있으며 훨씬 더 쉽습니다.
2) 해당 점이 결과 방정식을 만족하는지 확인합니다. 
.
테스트는 구두로 수행하기 쉽습니다.
실시예 7
방정식이 알려진 경우 수직선의 교차점 찾기 
그리고 기간.
이것은 스스로 해결하는 예입니다. 문제에는 여러 가지 조치가 있으므로 솔루션을 하나씩 공식화하는 것이 편리합니다.
우리의 흥미로운 여정은 계속됩니다:
점에서 선까지의 거리
우리 앞에는 강이 직선으로 뻗어 있고 우리의 임무는 최단 경로로 그곳에 도달하는 것입니다. 장애물이 없으며 가장 최적의 경로는 수직을 따라 이동하는 것입니다. 즉, 점에서 선까지의 거리가 수직 선분의 길이입니다.
기하학에서의 거리는 전통적으로 그리스 문자 “rho”로 표시됩니다. 예를 들어 – 점 “em”에서 직선 “de”까지의 거리입니다.
점에서 선까지의 거리 
공식으로 표현
실시예 8
점에서 선까지의 거리 구하기 
해결책: 여러분이 해야 할 일은 조심스럽게 숫자를 공식에 대입하고 계산을 수행하는 것입니다.
답변: 
그림을 그려보자: 
점에서 선까지의 거리는 정확히 빨간색 선분의 길이입니다. 1단위 단위로 체크무늬 종이에 그림을 그리는 경우. = 1cm(2셀)이면 일반 눈금자로 거리를 측정할 수 있습니다.
동일한 도면을 기반으로 다른 작업을 고려해 보겠습니다.
과제는 직선을 기준으로 점과 대칭인 점의 좌표를 찾는 것입니다. 
. 단계를 직접 수행하는 것이 좋지만 중간 결과를 통해 솔루션 알고리즘을 개략적으로 설명하겠습니다.
1) 직선과 수직인 직선을 찾아라.
2) 선의 교차점을 찾으십시오. 
.
이 단원에서는 두 가지 작업에 대해 자세히 설명합니다.
3) 지점은 세그먼트의 중간 지점입니다. 우리는 중앙과 끝 중 하나의 좌표를 알고 있습니다. 에 의해 세그먼트의 중간점 좌표에 대한 공식우리는 찾는다 .
거리도 2.2단위인지 확인해보시면 좋을 것 같습니다.
여기에서는 계산이 어려울 수 있지만 마이크로 계산기는 탑에서 큰 도움이 되어 일반 분수를 계산할 수 있습니다. 제가 여러번 조언해드렸고, 또 추천해드리겠습니다.
두 평행선 사이의 거리를 구하는 방법은 무엇입니까?
실시예 9
두 평행선 사이의 거리 찾기
이것은 스스로 결정할 수 있는 또 다른 예입니다. 작은 힌트를 드리겠습니다. 이 문제를 해결하는 방법은 무한히 많습니다. 수업이 끝나면보고를하지만 스스로 추측하는 것이 더 낫습니다. 독창성이 잘 발달했다고 생각합니다.
두 직선 사이의 각도
모든 구석이 잼입니다. 
기하학에서 두 직선 사이의 각도는 더 작은 각도로 간주되며, 이로부터 자동으로 둔각이 될 수 없습니다. 그림에서 빨간색 원호로 표시된 각도는 교차하는 선 사이의 각도로 간주되지 않습니다. 그리고 그의 "친환경" 이웃 또는 반대 방향"라즈베리" 코너.
선이 수직인 경우 네 각도 중 하나를 두 각도 사이의 각도로 사용할 수 있습니다.
각도가 어떻게 다른가요? 정위. 첫째, 각도가 "스크롤"되는 방향이 근본적으로 중요합니다. 둘째, 음수 방향의 각도는 빼기 기호로 작성됩니다(예: if ).
내가 왜 이것을 말했습니까? 각도라는 일반적인 개념으로 해결할 수 있을 것 같습니다. 사실 우리가 각도를 찾는 공식은 쉽게 부정적인 결과를 초래할 수 있으며 이는 놀랄 일이 아닙니다. 빼기 기호가 있는 각도는 더 나쁘지 않으며 매우 특정한 기하학적 의미를 갖습니다. 도면에서 음각의 경우 화살표(시계 방향)로 방향을 표시해야 합니다.
두 직선 사이의 각도를 찾는 방법은 무엇입니까?두 가지 작업 공식이 있습니다:
실시예 10
선 사이의 각도 찾기
해결책그리고 방법 1
일반적인 형태의 방정식으로 정의된 두 개의 직선을 고려해 보겠습니다. 
직선이라면 수직이 아닌, 저것 지향그들 사이의 각도는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. 
분모에 세심한 주의를 기울이자. 이것이 바로 스칼라 곱직선 벡터 방향 지정:
이면 공식의 분모는 0이 되고 벡터는 직교하고 선은 수직이 됩니다. 이것이 공식화에서 직선의 비수직성에 대한 유보가 이루어진 이유입니다.
위의 내용을 바탕으로 다음 두 단계로 솔루션을 공식화하는 것이 편리합니다.
1) 선의 방향 벡터의 스칼라 곱을 계산해 보겠습니다.
, 이는 선이 수직이 아님을 의미합니다.
2) 다음 공식을 사용하여 직선 사이의 각도를 구합니다.
역함수를 이용하면 각도 자체를 쉽게 구할 수 있습니다. 이 경우 아크탄젠트의 홀수를 사용합니다(참조. 기본 함수의 그래프 및 속성):
답변: 
귀하의 답변에는 계산기를 사용하여 계산된 정확한 값과 대략적인 값(도 및 라디안이 바람직함)이 표시됩니다.
글쎄, 마이너스, 마이너스, 별거 아니야. 다음은 기하학적 그림입니다. 
문제 설명에서 첫 번째 숫자는 직선이고 각도의 "나사 풀기"가 정확하게 시작되었기 때문에 각도가 음의 방향으로 판명된 것은 놀라운 일이 아닙니다.
정말로 양의 각도를 얻으려면 선을 바꿔야 합니다. 즉, 두 번째 방정식에서 계수를 가져와야 합니다. 
, 첫 번째 방정식에서 계수를 가져옵니다. 간단히 말해서, 직접 시작해야 합니다. 
.
평면 사이의 각도
다음 방정식으로 각각 정의된 두 평면 α 1 및 α 2를 고려합니다.
아래에 각도두 평면 사이에서 우리는 이들 평면에 의해 형성된 2면각 중 하나를 이해할 것입니다. 법선 벡터와 평면 α 1 및 α 2 사이의 각도는 표시된 인접한 2면체 각도 중 하나와 동일하거나 
. 그렇기 때문에 
. 왜냐하면 
그리고 
, 저것
.
예.평면 사이의 각도 결정 엑스+2와이-3지+4=0과 2 엑스+3와이+지+8=0.
두 평면의 평행성에 대한 조건.
두 평면 α 1 과 α 2 는 법선 벡터가 평행한 경우에만 평행하며 따라서 
.
따라서 해당 좌표의 계수가 비례하는 경우에만 두 평면이 서로 평행합니다.
또는
평면의 직각도 조건.
법선 벡터가 수직인 경우에만 두 평면이 수직이라는 것이 분명합니다.
따라서, .
예.
우주에서 곧장.
선에 대한 벡터 방정식.
매개변수 직접 방정식
공간에서 선의 위치는 고정된 점을 지정하여 완전히 결정됩니다. 중 1과 이 선에 평행한 벡터입니다.
직선에 평행한 벡터를 벡터라고 합니다. 가이드이 선의 벡터입니다.
그래서 직선을 보자 엘한 지점을 통과한다 중 1 (엑스 1 , 와이 1 , 지 1) 벡터와 평행한 선 위에 놓여 있다.
임의의 점을 고려하십시오. 남(x,y,z)직선으로. 그림에서 알 수 있듯이 
.
벡터와 은 동일선상에 있으므로 그러한 숫자가 있습니다. 티, 뭐야, 승수는 어디에 있어? 티점의 위치에 따라 임의의 숫자 값을 사용할 수 있습니다. 중직선으로. 요인 티매개변수라고 합니다. 점의 반경 벡터를 지정하면 중 1과 중각각 및 를 통해 우리는 를 얻습니다. 이 방정식은 벡터직선의 방정식. 각 매개변수 값에 대해 다음을 보여줍니다. 티어떤 점의 반경 벡터에 해당 중, 직선으로 누워 있습니다.
이 방정식을 좌표 형식으로 작성해 보겠습니다. 그것을주의해라 , 
그리고 여기서부터
결과 방정식은 다음과 같습니다. 파라메트릭직선의 방정식.
매개변수를 변경할 때 티좌표 변경 엑스, 와이그리고 지및 기간 중직선으로 움직입니다.
직접의 정식 방정식
허락하다 중 1 (엑스 1 , 와이 1 , 지 1) – 직선 위에 놓인 점 엘, 그리고 
방향 벡터입니다. 다시 선상의 임의의 점을 선택해 보겠습니다. 남(x,y,z)그리고 벡터를 고려해보세요.
벡터도 동일선상에 있으므로 해당 좌표는 비례해야 합니다.
– 표준적인직선의 방정식.
참고 1.매개변수를 제거하여 매개변수 방정식에서 선의 표준 방정식을 얻을 수 있습니다. 티. 실제로, 우리가 얻은 매개변수 방정식으로부터 
또는 .
예.직선의 방정식을 적어보세요 
파라메트릭 형태로.
나타내자 
, 여기에서 엑스 = 2 + 3티, 와이 = –1 + 2티, 지 = 1 –티.
노트 2.직선이 좌표축 중 하나(예: 축)에 수직이 되도록 합니다. 황소. 그러면 선의 방향 벡터는 수직입니다. 황소, 따라서, 중=0. 결과적으로 선의 매개변수 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
방정식에서 매개변수 제외 티, 우리는 다음과 같은 형태로 선의 방정식을 얻습니다.
그러나 이 경우에도 우리는 공식적으로 해당 선의 표준 방정식을 다음 형식으로 작성하는 데 동의합니다. 
. 따라서 분수 중 하나의 분모가 0이면 직선이 해당 좌표축에 수직임을 의미합니다.
표준 방정식과 유사 
축에 수직인 직선에 해당합니다. 황소그리고 아야또는 축에 평행 온스.
예.
두 평면의 교차점인 직선의 일반 방정식
우주의 모든 직선에는 수많은 평면이 있습니다. 교차하는 두 개는 공간에서 그것을 정의합니다. 결과적으로, 함께 고려된 임의의 두 평면의 방정식은 이 선의 방정식을 나타냅니다.
일반적으로 일반 방정식에 의해 주어진 두 개의 비평행 평면
교차점의 직선을 결정하십시오. 이러한 방정식은 다음과 같습니다. 일반 방정식똑바로.
예.
방정식으로 주어진 선을 구성하십시오 
직선을 구성하려면 두 개의 점을 찾는 것으로 충분합니다. 가장 쉬운 방법은 직선과 좌표 평면의 교차점을 선택하는 것입니다. 예를 들어 평면과의 교차점 xOy우리는 직선의 방정식으로부터 얻습니다. 지= 0:
이 시스템을 해결한 후 요점을 찾았습니다. 중 1 (1;2;0).
마찬가지로, 와이= 0, 선과 평면의 교차점을 얻습니다. xOz:
직선의 일반 방정식에서 표준 또는 매개변수 방정식으로 이동할 수 있습니다. 그러기 위해서는 어떤 점을 찾아야 합니다. 중 1은 직선이고 직선의 방향 벡터입니다.
점좌표 중 1 우리는 이 방정식 시스템으로부터 좌표 중 하나에 임의의 값을 제공하여 얻습니다. 방향 벡터를 찾으려면 이 벡터가 두 법선 벡터에 수직이어야 합니다. 
그리고 
. 그러므로 직선의 방향벡터를 넘어서 엘법선 벡터의 벡터 곱을 취할 수 있습니다.
.
예.직선의 일반방정식을 제시하라 
정식 형식으로.
직선 위에 있는 점을 찾아봅시다. 이를 위해 좌표 중 하나를 임의로 선택합니다. 예를 들어 다음과 같습니다. 와이= 0이고 연립방정식을 푼다:
선을 정의하는 평면의 법선 벡터에는 좌표가 있습니다. 
따라서 방향 벡터는 직선이 됩니다.
. 따라서, 엘: 
.
직선 사이의 각도
각도공간의 직선 사이에서 데이터에 평행한 임의의 점을 통해 그려진 두 개의 직선으로 형성된 인접 각도를 호출합니다.
공간에 두 줄을 입력해 보겠습니다.
분명히 직선 사이의 각도 ψ는 방향 벡터와 사이의 각도로 간주될 수 있습니다. 이후 벡터 사이의 각도의 코사인 공식을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
간단히 말씀드리겠습니다. 두 직선 사이의 각도는 방향 벡터 사이의 각도와 같습니다. 따라서 방향 벡터 a = (x 1 ; y 1 ; z 1) 및 b = (x 2 ; y 2 ; z 2)의 좌표를 찾으면 각도를 찾을 수 있습니다. 보다 정확하게는 다음 공식에 따른 각도의 코사인입니다.
구체적인 예를 사용하여 이 공식이 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.
일. 큐브 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1에는 점 E와 F가 표시됩니다(각각 A 1 B 1 및 B 1 C 1 가장자리의 중간점). 선 AE와 BF 사이의 각도를 구하세요.
큐브의 가장자리가 지정되지 않았으므로 AB = 1로 설정하겠습니다. 표준 좌표계를 도입합니다. 원점은 A 지점에 있고 x, y, z 축은 각각 AB, AD 및 AA 1을 따라 향합니다. 단위 세그먼트는 AB = 1과 같습니다. 이제 선의 방향 벡터 좌표를 찾아보겠습니다.
벡터 AE의 좌표를 찾아봅시다. 이를 위해서는 A = (0; 0; 0) 및 E = (0.5; 0; 1) 점이 필요합니다. 점 E는 세그먼트 A 1 B 1의 중간이므로 해당 좌표는 끝 좌표의 산술 평균과 같습니다. 벡터 AE의 원점은 좌표의 원점과 일치하므로 AE = (0.5; 0; 1)입니다.
이제 BF 벡터를 살펴보겠습니다. 마찬가지로 점 B = (1; 0; 0)과 F = (1; 0.5; 1)을 분석합니다. F는 세그먼트 B 1 C 1의 중간입니다. 우리는:
BF = (1 − 1; 0.5 − 0; 1 − 0) = (0; 0.5; 1).
이제 방향 벡터가 준비되었습니다. 직선 사이의 각도의 코사인은 방향 벡터 사이의 각도의 코사인이므로 다음과 같습니다.
일. 모든 모서리가 1인 정삼각형 프리즘 ABCA 1 B 1 C 1에서는 점 D와 E가 표시됩니다(각각 모서리 A 1 B 1 및 B 1 C 1의 중간점). 선 AD와 BE 사이의 각도를 찾으세요.
표준 좌표계를 소개하겠습니다. 원점은 A 지점에 있고 x 축은 AB를 따라, z는 AA 1을 따라 향합니다. OXY 평면이 ABC 평면과 일치하도록 y축 방향을 지정하겠습니다. 단위 세그먼트는 AB = 1과 같습니다. 필요한 선에 대한 방향 벡터의 좌표를 찾아 보겠습니다.
먼저 벡터 AD의 좌표를 찾아보겠습니다. A = (0; 0; 0) 및 D = (0.5; 0; 1) 점을 고려하십시오. D - 세그먼트 A 1 B 1의 중간. 벡터 AD의 시작은 좌표의 원점과 일치하므로 AD = (0.5; 0; 1)을 얻습니다.
이제 벡터 BE의 좌표를 찾아보겠습니다. 점 B = (1; 0; 0)은 계산하기 쉽습니다. E 지점(세그먼트 C 1 B 1의 중간)을 사용하면 조금 더 복잡해집니다. 우리는:
각도의 코사인을 찾는 것이 남아 있습니다.
일. 정육각형 프리즘 ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 에서 모든 모서리는 1과 같고 점 K와 L이 표시됩니다. 모서리 A 1 B 1 및 B 1 C 1의 중간점입니다. . 선 AK와 BL 사이의 각도를 구합니다.
프리즘의 표준 좌표계를 소개하겠습니다. 좌표의 원점을 아래쪽 밑면의 중심에 놓고 x축은 FC를 따라 향하고 y축은 세그먼트 AB와 DE의 중간점을 통과하며 z축은 축은 수직으로 위쪽을 향합니다. 단위 세그먼트는 다시 AB = 1과 같습니다. 관심 지점의 좌표를 적어 보겠습니다.
점 K와 L은 각각 선분 A 1 B 1과 B 1 C 1의 중간점이므로 해당 좌표는 산술 평균을 통해 구됩니다. 점을 알면 방향 벡터 AK와 BL의 좌표를 찾습니다.
이제 각도의 코사인을 찾아 보겠습니다.
일. 모든 모서리가 1인 정사각형 피라미드 SABCD에서는 점 E와 F가 표시됩니다(각각 SB와 SC의 중간점). 선 AE와 BF 사이의 각도를 구하세요.
표준 좌표계를 소개하겠습니다. 원점은 A점에 있고, x축과 y축은 각각 AB와 AD를 향하고, z축은 수직 위쪽을 향합니다. 단위 세그먼트는 AB = 1과 같습니다.
점 E와 F는 각각 선분 SB와 SC의 중간점이므로 해당 좌표는 끝점의 산술 평균으로 구됩니다. 관심 지점의 좌표를 적어 보겠습니다.
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
점을 알면 방향 벡터 AE와 BF의 좌표를 찾습니다.
벡터 AE의 좌표는 점 A가 원점이므로 점 E의 좌표와 일치합니다. 각도의 코사인을 찾는 것이 남아 있습니다.
