작업 #1
논리는 간단합니다. 이제 삼각 함수의 인수가 더 복잡해졌음에도 불구하고 이전에 했던 것처럼 할 것입니다!
다음 형식의 방정식을 풀면:
그러면 다음과 같은 답변을 작성합니다.
또는 (때문에)
그러나 이제 우리는 다음 표현을 연주하고 있습니다.
그런 다음 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
당신과 함께하는 우리의 목표는 당신이 "불순물"없이 단순히 왼쪽에 서도록 만드는 것입니다!
그들을 제거하자!
먼저 다음에서 분모를 제거합니다. 이렇게 하려면 평등에 다음을 곱합니다.
이제 두 부분을 그것으로 나누어 제거합니다.
이제 8개를 제거해 보겠습니다.
결과 식은 2개의 일련의 솔루션으로 작성할 수 있습니다(판별자를 더하거나 빼는 이차 방정식과 유사).
가장 큰 음의 근을 찾아야 합니다! 정리가 필요하다는 것이 분명합니다.
먼저 첫 번째 시리즈를 살펴보겠습니다.
우리가 취하면 결과적으로 양수를 얻게 될 것이 분명하지만 우리는 그것에 관심이 없습니다.
따라서 음수로 받아들여야 합니다. 하자.
루트가 이미 있을 때:
그리고 우리는 가장 큰 음수를 찾아야 합니다!! 따라서 여기서 부정적인 방향으로 가는 것은 더 이상 의미가 없습니다. 그리고 이 급수에 대한 가장 큰 음의 근은 같을 것입니다.
이제 두 번째 시리즈를 고려하십시오.
그리고 다시 우리는 대체합니다: , 다음:
관심이 없다!
그렇다면 더 이상 늘리는 것은 의미가 없습니다! 줄이자! 그럼:
맞다!
하자. 그 다음에
그런 다음 - 가장 큰 음의 루트!
답변:
작업 #2
다시, 복잡한 코사인 인수에 관계없이 해결합니다.
이제 왼쪽에서 다시 표현합니다.
양변에 곱하기
양쪽을 나눕니다.
남은 것은 부호를 마이너스에서 플러스로 변경하여 오른쪽으로 이동하는 것입니다.
우리는 다시 2개의 뿌리 시리즈를 얻습니다. 하나는 with이고 다른 하나는 with입니다.
가장 큰 음의 근을 찾아야 합니다. 첫 번째 시리즈를 고려하십시오.
우리가 첫 번째 음의 근을 얻을 것이라는 것은 분명합니다. 그것은 같을 것이고 시리즈 1에서 가장 큰 음의 근이 될 것입니다.
두 번째 시리즈의 경우
첫 번째 음의 루트도 에서 얻어지며 와 같습니다. 이후, then은 방정식의 가장 큰 음의 근입니다.
답변: .
작업 #3
접선의 복잡한 인수에 관계없이 결정합니다.
복잡하지 않은 것 같죠?
이전과 마찬가지로 왼쪽에 다음과 같이 표현합니다.
글쎄요, 좋습니다. 일반적으로 한 계열의 뿌리만 있습니다! 다시, 가장 큰 음수를 찾으십시오.
우리가 넣으면 밝혀지는 것이 분명합니다. 그리고 이 근은 같습니다.
답변:
이제 다음 문제를 스스로 해결해 보십시오.
독립적인 솔루션을 위한 숙제 또는 3가지 작업.
- Re-shi-te 방정식.
- Re-shi-te 방정식.
from-ve-te on-pi-shi-te에서 가장 작은 in-lo-zhi-tel-ny 루트. - Re-shi-te 방정식.
from-ve-te on-pi-shi-te에서 가장 작은 in-lo-zhi-tel-ny 루트.
준비가 된? 우리는 확인합니다. 전체 솔루션 알고리즘에 대해 자세히 설명하지는 않겠습니다. 위에서 이미 충분한 관심을 기울인 것 같습니다.
글쎄요, 괜찮으세요? 오, 그 불쾌한 부비동, 그들에게는 항상 약간의 문제가 있습니다!
이제 가장 간단한 삼각 방정식을 풀 수 있습니다!
솔루션과 답변을 확인하십시오.
작업 #1
표현하다
다음을 넣으면 가장 작은 양의 근이 얻어집니다.
답변:
작업 #2
가장 작은 양의 루트는에서 얻을 수 있습니다.
그는 평등할 것이다.
답변: .
작업 #3
우리가 얻을 때, 우리가 가질 때.
답변: .
이 지식은 시험에서 직면하게 될 많은 문제를 해결하는 데 도움이 될 것입니다.
등급 "5"를 신청하는 경우 기사 읽기를 진행하면 됩니다. 중간 수준,보다 복잡한 삼각 방정식을 푸는 데 전념할 것입니다(작업 C1).
평균 수준
이 기사에서 나는 설명할 것이다 보다 복잡한 유형의 삼각 방정식 솔루션뿌리를 선택하는 방법. 여기서는 다음 주제에 중점을 둘 것입니다.
- 엔트리 레벨을 위한 삼각 방정식(위 참조).
더 복잡한 삼각 방정식은 복잡성이 증가하는 문제의 기초입니다. 일반적인 형태로 방정식 자체를 풀고 주어진 간격에 속하는 이 방정식의 근을 찾아야 합니다.
삼각 방정식의 솔루션은 두 가지 하위 작업으로 축소됩니다.
- 방정식 솔루션
- 루트 선택
두 번째가 항상 필요한 것은 아니지만 여전히 대부분의 예에서는 선택이 필요합니다. 그리고 그것이 필요하지 않다면 오히려 공감할 수 있습니다. 이것은 방정식 자체가 상당히 복잡하다는 것을 의미합니다.
C1 작업 분석에 대한 나의 경험에 따르면 일반적으로 다음 범주로 나뉩니다.
복잡성이 증가한 4가지 작업 범주(이전 C1)
- 인수분해로 축소되는 방정식.
- 형식으로 축소되는 방정식.
- 변수의 변화에 의해 해결되는 방정식.
- 불합리성 또는 분모로 인해 근의 추가 선택이 필요한 방정식.
간단히 말해서 : 당신이 얻을 경우 방정식의 처음 세 가지 유형 중 하나그런 다음 운이 좋다고 생각하십시오. 그들에게는 원칙적으로 특정 간격에 속하는 뿌리를 선택하는 것이 추가로 필요합니다.
유형 4의 방정식을 발견하면 운이 좋지 않습니다. 더 길고 신중하게 수정해야하지만 추가 근 선택이 필요하지 않은 경우가 많습니다. 그럼에도 불구하고 나는 다음 기사에서 이러한 유형의 방정식을 분석하고 처음 세 가지 유형의 방정식을 푸는 데 이 기사를 바칠 것입니다.
인수분해로 축소하는 방정식
이러한 유형의 방정식을 풀기 위해 기억해야 할 가장 중요한 사항은
실습에서 알 수 있듯이 일반적으로 이러한 지식이면 충분합니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
예제 1. 곱셈의 공식과 두 배각의 사인을 이용하여 인수분해하는 식
- 레시테 방정식
- 이 방정식의 모든 근을 찾으십시오.
여기에서 약속한 대로 주조 공식이 작동합니다.
그러면 내 방정식은 다음과 같습니다.
그러면 내 방정식은 다음 형식을 취합니다.
근시안적인 학생은 다음과 같이 말할 수 있습니다. 이제 두 부분을 모두 줄이고 가장 간단한 방정식을 얻고 인생을 즐기겠습니다! 그리고 그는 쓰라린 착각을 할 것입니다!
| 기억하십시오: 미지수를 포함하는 함수에 대해 삼각 방정식의 두 부분을 절대 줄이지 마십시오! 이렇게 하면 루트를 잃게 됩니다! |
그래서 뭐 할까? 예, 모든 것이 간단합니다. 모든 것을 한 방향으로 전송하고 공통 요소를 제거하십시오.
글쎄, 우리는 그것을 고려했다, 만세! 이제 우리는 다음을 결정합니다.
첫 번째 방정식에는 근이 있습니다.
그리고 두 번째:
이것으로 문제의 첫 번째 부분이 완료됩니다. 이제 루트를 선택해야 합니다.
갭은 이렇습니다.
또는 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.
글쎄, 뿌리를 보자 :
먼저 첫 번째 시리즈로 작업해 봅시다(간단히 말하면 더 쉽습니다!).
우리의 간격이 완전히 음수이기 때문에 음수가 아닌 것을 취할 필요가 없으며 여전히 음수가 아닌 뿌리를 줄 것입니다.
그럼 가져 갑시다-조금 너무 많아서 맞지 않습니다.
그럼-다시 치지 않았습니다.
한 번 더 시도 - 그럼 - 거기, 쳐! 첫 번째 루트 발견!
나는 다시 쏜다 : 그럼-다시 쳐라!
글쎄, 한 번 더 : -이것은 이미 비행입니다.
따라서 첫 번째 시리즈에서 2개의 근이 다음 간격에 속합니다.
우리는 두 번째 시리즈로 작업하고 있습니다(우리는 규칙에 따라 권력에):
언더슈트!
또 빠졌어!
또 적자!
알았어요!
비행!
따라서 다음 루트는 내 범위에 속합니다.
우리는 이 알고리즘을 사용하여 다른 모든 예제를 풀 것입니다. 같이 예제를 하나 더 연습해 봅시다.
예제 2. 축소 공식을 사용하여 인수분해로 축소하는 방정식
- 방정식 풀기
해결책:
다시 악명 높은 캐스트 공식:
다시 말하지만 자르려고 하지 마세요!
첫 번째 방정식에는 근이 있습니다.
그리고 두 번째:
이제 다시 뿌리를 찾습니다.
두 번째 시리즈부터 시작하겠습니다. 이전 예에서 이미 모든 것을 알고 있습니다! 간격에 속하는 뿌리가 다음과 같은지 확인하십시오.
이제 첫 번째 시리즈이며 더 간단합니다.
경우 - 적합
만약 - 또한 좋다
만약 - 이미 비행.
그러면 뿌리는 다음과 같습니다.
독립적 인 일. 3 방정식.
글쎄, 당신은 기술을 이해합니까? 삼각 방정식을 푸는 것이 더 이상 어렵지 않습니까? 그런 다음 다음 문제를 직접 빠르게 해결하면 다른 예를 해결할 수 있습니다.
- 방정식 풀기
간격에 연결된 이 방정식의 모든 근을 찾으십시오. - 레시테 방정식
컷에 연결된 방정식의 근을 나타냅니다. - 레시테 방정식
위의 le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku에서이 방정식의 모든 근을 찾으십시오.
방정식 1
그리고 다시 주조 공식:
루트의 첫 번째 시리즈:
뿌리의 두 번째 시리즈:
간격 선택을 시작합니다.
답변: , .
방정식 2 독립 작업을 확인합니다.
인수로의 꽤 까다로운 그룹화(이중 각도의 사인에 대한 공식을 사용하겠습니다):
그때 또는
이것은 일반적인 솔루션입니다. 이제 뿌리를 뽑아야 합니다. 문제는 코사인이 1/4인 각도의 정확한 값을 말할 수 없다는 것입니다. 따라서 아크코사인을 제거할 수 없습니다. 정말 성가신 일입니다!
내가 할 수 있는 일은 그때부터 알아내는 것입니다.
테이블을 만들어 봅시다: 간격:
음, 고통스러운 검색을 통해 우리 방정식이 표시된 간격에 하나의 근을 갖는다는 실망스러운 결론에 도달했습니다. \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
방정식 3. 독립 작업의 검증.
무서운 방정식. 그러나 이중 각도의 사인에 대한 공식을 적용하면 매우 간단하게 해결됩니다.
2로 줄이겠습니다.
첫 번째 항을 두 번째 항으로, 세 번째 항을 네 번째 항으로 그룹화하고 공통 인수를 꺼냅니다.
첫 번째 방정식에는 근이 없다는 것이 분명합니다. 이제 두 번째 방정식을 고려하십시오.
일반적으로 나는 그런 방정식을 조금 후에 풀려고했지만 그것이 나왔기 때문에 할 일이 없었기 때문에 우리는 결정해야했습니다 ...
다음 형식의 방정식:
이 방정식은 양변을 다음과 같이 나누어 해결합니다.
따라서 우리의 방정식에는 단일 계열의 근이 있습니다.
간격에 속하는 항목을 찾아야 합니다.
이전과 마찬가지로 테이블을 다시 빌드해 보겠습니다.
답변: .
다음 형식으로 축소되는 방정식:
글쎄, 이제 방정식의 두 번째 부분으로 넘어갈 시간입니다. 특히 새로운 유형의 삼각 방정식의 솔루션이 무엇으로 구성되어 있는지 이미 모호하게 설명했기 때문입니다. 그러나 형식의 방정식을 반복하는 것은 불필요하지 않습니다.
두 부분을 코사인으로 나누어 해결합니다.
- 레시테 방정식
컷오프에 연결된 방정식의 근을 나타냅니다. - 레시테 방정식
at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku 방정식의 근을 나타냅니다.
예 1
첫 번째는 매우 간단합니다. 오른쪽으로 이동하여 이중각 코사인 공식을 적용합니다.
아하! 유형 방정식: . 나는 두 부분으로 나눕니다.
루트 제거를 수행합니다.
갭:
답변:
예 2
모든 것이 매우 사소합니다. 오른쪽의 괄호를 열어 보겠습니다.
기본 삼각법 항등식:
이중 각도의 사인:
마지막으로 우리는 다음을 얻습니다.
뿌리 스크리닝: 갭.
답변: .
글쎄, 기술이 마음에 드십니까? 너무 복잡하지 않습니까? 내가하지 희망. 우리는 즉시 예약을 할 수 있습니다. 순수한 형태로 접선에 대한 방정식으로 즉시 축소되는 방정식은 매우 드뭅니다. 일반적으로 이 전이(코사인으로 나누기)는 더 큰 문제의 일부일 뿐입니다. 연습할 수 있는 예는 다음과 같습니다.
- 레시테 방정식
- 이 방정식의 모든 근을 찾으십시오. at-above-le-zha-schie from-cut.
점검 해보자:
방정식은 즉시 풀립니다. 두 부분을 다음과 같이 나누면 충분합니다.
루트 선별:
답변: .
어쨌든 우리는 방금 논의한 종류의 방정식을 아직 접하지 못했습니다. 그러나 마무리하기에는 아직 너무 이릅니다. 아직 분석하지 않은 방정식의 "계층"이 하나 더 있습니다. 그래서:
변수의 변화에 의한 삼각방정식의 해
여기에서는 모든 것이 투명합니다. 방정식을 면밀히 살펴보고 가능한 한 단순화하고 교체하고 해결하고 역으로 교체합니다! 즉, 모든 것이 매우 쉽습니다. 실제로 살펴보겠습니다.
예.
- 방정식을 풀다: .
- 이 방정식의 모든 근을 찾으십시오. at-above-le-zha-schie from-cut.
글쎄, 여기서 교체 자체가 우리 손에 들어갑니다!
그러면 방정식은 다음과 같이 됩니다.
첫 번째 방정식에는 근이 있습니다.
그리고 두 번째는 다음과 같습니다.
이제 간격에 속하는 근을 찾으십시오.
답변: .
약간 더 복잡한 예를 함께 살펴보겠습니다.
- 레시테 방정식
- 주어진 방정식 at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku의 근을 나타냅니다.
여기서 교체는 즉시 보이지 않으며 또한 명확하지 않습니다. 먼저 생각해보자: 우리가 무엇을 할 수 있을까?
예를 들어 우리는 상상할 수 있습니다.
그리고 동시에
그러면 내 방정식은 다음과 같이 됩니다.
이제 주목하세요. 집중하세요.
방정식의 양변을 다음과 같이 나눕니다.
갑자기 당신과 나는 이차 방정식을 얻었습니다! 대체를 하면 다음을 얻습니다.
방정식의 근은 다음과 같습니다.
불쾌한 뿌리의 두 번째 시리즈이지만 할 일이 없습니다! 간격에서 근을 선택합니다.
우리는 또한 고려해야합니다
그 이후로
답변:
통합하려면 문제를 직접 해결하기 전에 다음과 같은 또 다른 연습이 있습니다.
- 레시테 방정식
- 위의 le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku에서이 방정식의 모든 근을 찾으십시오.
눈을 뜨고 있어야 합니다. 분모가 0이 될 수 있습니다! 따라서 특히 뿌리에주의를 기울여야합니다!
먼저 적절한 대체를 할 수 있도록 방정식을 변환해야 합니다. 사인과 코사인의 관점에서 탄젠트를 다시 쓰는 것보다 지금 당장 더 좋은 것을 생각할 수 없습니다.
이제 기본 삼각법 항등식에 따라 코사인에서 사인으로 갈 것입니다.
마지막으로 모든 것을 공통 분모로 가져올 것입니다.
이제 방정식으로 이동할 수 있습니다.
그러나 at (즉, at).
이제 모든 것이 교체할 준비가 되었습니다.
그런 다음
그러나 만약 그렇다면 동시에!
누가 이것으로 고통 받습니까? 문제는 탄젠트에 있으며 코사인이 0일 때 정의되지 않습니다(0으로 나누기 발생).
따라서 방정식의 근은 다음과 같습니다.
이제 간격에서 근을 걸러냅니다.
| - 맞다 | |
| - 찾다 |
따라서 우리 방정식은 구간에 단일 루트를 가지며 동일합니다.
알다시피: 분모의 모양(접선뿐만 아니라 뿌리에 특정 어려움이 있습니다! 여기에서 더 주의해야 합니다!).
글쎄, 당신과 나는 삼각 방정식 분석을 거의 마쳤습니다. 우리 스스로 두 가지 문제를 해결하기 위해 남은 것이 거의 없습니다. 여기 있습니다.
- 방정식 풀기
이 방정식의 모든 근을 찾으십시오. at-above-le-zha-schie from-cut. - 레시테 방정식
컷에 연결된 이 방정식의 근을 나타냅니다.
결정했다? 그다지 어렵지 않습니까? 점검 해보자:
- 우리는 감소 공식에 따라 작업합니다.
다음 방정식으로 대체합니다.
교체하는 것이 더 편리하도록 모든 것을 코사인으로 다시 작성해 보겠습니다.
이제 쉽게 대체할 수 있습니다.
방정식에 해가 없기 때문에 가 외근인 것이 분명합니다. 그 다음에:
우리는 간격에서 필요한 뿌리를 찾고 있습니다
답변: .
여기 교체가 즉시 표시됩니다.그런 다음
- 맞다! - 맞다! - 맞다! - 맞다! - 많은! - 그것도 많이! 답변:
자, 이제 모든 것! 그러나 삼각 방정식의 해는 거기서 끝나지 않고 가장 어려운 경우를 남겼습니다. 방정식에 비합리성 또는 다양한 종류의 "복잡한 분모"가 있는 경우입니다. 이러한 작업을 해결하는 방법은 고급 수준의 기사에서 고려할 것입니다.
고급 레벨
이전 두 기사에서 고려한 삼각 방정식 외에도 훨씬 더 신중한 분석이 필요한 다른 종류의 방정식을 고려합니다. 이러한 삼각법 예에는 비합리성 또는 분모가 포함되어 있어 분석이 더 어려워집니다.. 그러나 시험지의 파트 C에서 이러한 방정식을 접할 수 있습니다. 그러나 은색 안감이 있습니다. 이러한 방정식의 경우 원칙적으로 어떤 뿌리가 주어진 간격에 속하는지에 대한 질문은 더 이상 제기되지 않습니다. 덤불 주위를 이기지 말고 삼각법 예를 들어 봅시다.
예 1
방정식을 풀고 세그먼트에 속하는 근을 찾으십시오.
해결책:
0이 되어서는 안되는 분모가 있습니다! 그러면 이 방정식을 푸는 것은 시스템을 푸는 것과 같습니다.
각 방정식을 풀어봅시다:
이제 두 번째:
이제 시리즈를 살펴보겠습니다.
이 경우 분모가 0으로 설정되어 있기 때문에 옵션이 우리에게 적합하지 않다는 것이 분명합니다 (두 번째 방정식의 근에 대한 공식 참조)
그렇다면 모든 것이 정상이고 분모가 0이 아닙니다! 그러면 방정식의 근은 다음과 같습니다. , .
이제 간격에 속하는 근을 선택합니다.
| - 부적합 | - 맞다 | |
| - 맞다 | - 맞다 | |
| 열거 | 열거 |
그러면 뿌리는 다음과 같습니다.
분모 형태의 작은 간섭의 출현조차도 방정식의 해에 상당한 영향을 미쳤습니다. 우리는 분모를 무효화하는 일련의 근을 버렸습니다. 비합리적인 삼각함수의 예를 접하게 되면 상황이 훨씬 더 복잡해질 수 있습니다.
예 2
방정식을 풉니다.
해결책:
음, 적어도 뿌리를 선택할 필요는 없습니다. 좋습니다! 비합리성에 관계없이 방정식을 먼저 풀자.
그게 다야? 아니, 아아, 그것은 너무 쉬울 것입니다! 음수가 아닌 숫자만 루트 아래에 있을 수 있음을 기억해야 합니다. 그 다음에:
이 불평등에 대한 해결책:
이제 첫 번째 방정식의 근의 일부가 부등식이 유지되지 않는 위치에 부주의하게 빠지지 않았는지 알아내는 것이 남아 있습니다.
이를 위해 다음 표를 다시 사용할 수 있습니다.
| : , 하지만 | 아니요! | |
| 예! | ||
| 예! |
따라서 뿌리 중 하나가 나에게 "떨어졌습니다"! 넣으면 나옵니다. 그러면 답은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
답변:
보시다시피 뿌리는 더 세심한 주의가 필요합니다! 복잡하게 해봅시다. 이제 루트 아래에 삼각 함수가 있습니다.
예 3
이전과 마찬가지로 먼저 각각 개별적으로 해결한 다음 수행한 작업에 대해 생각합니다.
이제 두 번째 방정식:
이제 가장 어려운 것은 첫 번째 방정식의 근을 대체하면 산술 근 아래에서 음수 값을 얻는 지 확인하는 것입니다.
숫자는 라디안으로 이해해야 합니다. 라디안은 도에 관한 것이기 때문에 라디안은 도에 관한 것입니다. 2쿼터의 코너입니다. 2분기의 코사인 부호는 무엇입니까? 마이너스. 사인은 어떻습니까? 을 더한. 그렇다면 표현은 어떻습니까?
0보다 작습니다!
따라서 -는 방정식의 근이 아닙니다.
이제 돌아서세요.
이 숫자를 0과 비교해 봅시다.
코탄젠트는 1/4씩 감소하는 함수입니다(인수가 작을수록 코탄젠트가 커짐). 라디안은 약도입니다. 동시에
그때부터, 그래서
,
답변: .
더 어려울 수 있습니까? 제발! 근이 여전히 삼각 함수이고 방정식의 두 번째 부분이 다시 삼각 함수이면 더 어려울 것입니다.
삼각법 예제가 많을수록 더 좋습니다. 자세히 살펴보세요.
예 4
제한된 코사인으로 인해 루트가 적합하지 않습니다.
이제 두 번째:
동시에 루트의 정의에 따라:
단위원, 즉 사인이 0보다 작은 분기를 기억해야 합니다. 이 분기는 무엇입니까? 세 번째와 네 번째. 그런 다음 3사분면 또는 4사분면에 있는 첫 번째 방정식의 해에 관심을 가질 것입니다.
첫 번째 시리즈는 3/4 분기의 교차점에 있는 뿌리를 제공합니다. 두 번째 시리즈는 그것과 정반대이며 첫 번째와 두 번째 분기의 경계에 뿌리를 내립니다. 따라서 이 시리즈는 우리에게 적합하지 않습니다.
답변: ,
그리고 다시 "어려운 비합리성"이 있는 삼각법 예. 다시 루트 아래에 삼각 함수가 있을 뿐만 아니라 이제 분모에도 있습니다!
실시예 5
글쎄요, 할 일이 없습니다. 우리는 이전처럼 행동합니다.
이제 우리는 분모로 작업합니다.
저는 삼각 부등식을 풀고 싶지 않기 때문에 까다롭게 처리할 것입니다. 일련의 근을 부등식으로 대체하겠습니다.
가 짝수이면 다음과 같습니다.
그러면 시야의 모든 각도가 4분의 1에 있기 때문입니다. 그리고 다시 신성한 질문: 4/4분기 사인의 부호는 무엇입니까? 부정적인. 그러면 불평등
홀수인 경우:
각도는 몇 분기입니까? 2쿼터의 코너입니다. 그런 다음 모든 코너는 다시 2 쿼터의 코너입니다. 사인은 양수입니다. 필요한 것! 따라서 시리즈는 다음과 같습니다.
맞다!
같은 방식으로 두 번째 일련의 근을 처리합니다.
우리의 불평등으로 대체:
짝수이면
1쿼터 코너킥. 사인이 양수이므로 시리즈가 적합합니다. 이제 홀수인 경우:
너무 맞아!
자, 이제 답을 적어보겠습니다!
답변:
글쎄, 이것은 아마도 가장 힘든 경우였습니다. 이제 독립 솔루션에 대한 작업을 제공합니다.
훈련
- 세그먼트에 속하는 방정식의 모든 근을 풀고 찾으십시오.
솔루션:
첫 번째 방정식:
또는
루트 ODZ:두 번째 방정식:
간격에 속하는 근 선택
답변:
또는
또는
하지만
고려하다: . 짝수이면
- 맞지 않는다!
만약 - 홀수, : - 맞다!
그래서 우리 방정식은 다음과 같은 일련의 근을 가집니다:
또는
간격에서 뿌리 선택:
| - 부적합 | - 맞다 | |
| - 맞다 | - 많은 | |
| - 맞다 | 많은 |
답변: , .
또는
이후 접선이 정의되지 않은 경우. 이 일련의 뿌리를 즉시 폐기하십시오!
두 번째 부분:
동시에 ODZ는 다음을 요구합니다.
첫 번째 방정식에서 찾은 근을 확인합니다.
서명하는 경우:
탄젠트가 양수인 1/4 분기 각도입니다. 적합하지 않습니다!
서명하는 경우:
4쿼터 코너. 접선은 음수입니다. 맞다. 답을 적어보세요:
답변: , .
이 기사에서 복잡한 삼각법 예를 함께 분석했지만 방정식을 직접 풀 수 있어야 합니다.
요약 및 기본 공식
삼각 방정식은 미지수가 엄격하게 삼각 함수의 부호 아래에 있는 방정식입니다.
삼각 방정식을 푸는 방법에는 두 가지가 있습니다.
첫 번째 방법은 수식을 사용하는 것입니다.
두 번째 방법은 삼각법 원을 이용하는 것입니다.
각도를 측정하고 사인, 코사인 등을 찾을 수 있습니다.
종종 복잡성이 증가하는 작업에는 다음이 있습니다. 모듈러스를 포함하는 삼각 방정식. 그들 중 대부분은 대부분의 학생들에게 친숙하지 않은 솔루션에 대한 휴리스틱 접근 방식이 필요합니다.
아래 작업은 모듈을 포함하는 삼각 방정식을 풀기 위한 가장 일반적인 방법을 소개하기 위한 것입니다.
문제 1. 방정식 1 + 2sin x · |cos x| = 0.
해결책.
모듈을 확장해 보겠습니다.
1) cos x ≥ 0이면 원래 방정식은 1 + 2sin x cos x = 0의 형식을 취합니다.
우리는 이중 각도의 사인에 대한 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.
1 + sin2x = 0; sin2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. cos x ≥ 0이므로 x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) 만약 cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – sin2x = 0; sin2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n ∈ Z;
x = π/4 + πn, n € Z. cos x이므로< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) 방정식의 가장 큰 음의 근: -π / 4; 방정식의 가장 작은 양의 근: 5π/4.
원하는 차이: 5π/4 - (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
답: 270°.
문제 2. 방정식 |tg x| + 1/cos x = tg x.
해결책.
모듈을 확장해 보겠습니다.
1) tg x ≥ 0이면,
tg x + 1/cos x = tg x;
결과 방정식에는 근이 없습니다.
2) tgx인 경우< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x - 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 및 cos x ≠ 0.
그림 1과 조건 tg x 사용< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) 방정식 5π/6의 가장 작은 양의 근. 이 값을 도로 변환:
5π/6 = 5180°/6 = 530° = 150°.
답: 150°.
작업 3. 방정식 sin |2x|의 서로 다른 근의 수를 찾습니다. = 구간 [-π/2에서 cos 2x; π/2].
해결책.
방정식을 sin|2x| – cos 2x = 0이고 함수 y = sin |2x| – cos 2x. 함수가 짝수이므로 x ≥ 0인 경우 0을 찾습니다.
사인 2x – 코사인 2x = 0; 방정식의 양쪽을 cos 2x ≠ 0으로 나누면 다음을 얻습니다.
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n ∈ Z;
x = π/8 + πn/2, n ∈ Z.
함수의 패리티를 사용하면 원래 방정식의 근이 다음 형식의 숫자임을 알 수 있습니다.
± (π/8 + πn/2), 여기서 n ∈ Z.
간격 [-π/2; π/2] 숫자는 -π/8에 속합니다. π/8.
따라서 방정식의 두 근은 주어진 간격에 속합니다.
답변: 2.
이 방정식은 모듈을 확장하여 풀 수도 있습니다.
작업 4. 구간 [-π; 2π].
해결책.
1) 2cos x – 1 > 0인 경우를 고려하십시오. cos x > 1/2이면 방정식은 다음과 같습니다.
죄 x - 죄 2 x \u003d 죄 2 x;
죄 x - 2죄 2 x \u003d 0;
sinx(1 - 2sinx) = 0;
sinx = 0 또는 1 - 2sinx = 0;
sin x = 0 또는 sin x = 1/2.
그림 2와 조건 cos x > 1/2를 사용하여 방정식의 근을 찾습니다.
x = π/6 + 2πn 또는 x = 2πn, n € Z.
2) 2cos x – 1인 경우를 고려< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
죄 x + 죄 2 x = 죄 2 x;
x = 2πn, n ∈ Z.
그림 2와 조건 cos x 사용< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
두 가지 경우를 결합하면 다음을 얻습니다.
x = π/6 + 2πn 또는 x = πn.
3) 간격 [-π; 2π]는 근에 속합니다: π/6; -π; 0; π; 2π.
따라서 방정식의 5근은 주어진 간격에 속합니다.
답변: 5.
작업 5. 방정식 (x - 0.7) 2 |sin x| + sin x = 0 구간 [-π; 2π].
해결책.
1) sin x ≥ 0이면 원래 방정식은 (x - 0.7) 2 sin x + sin x = 0의 형식을 취합니다. 괄호에서 공통 인수 sin x를 취한 후 다음을 얻습니다.
죄 x((x - 0.7) 2 + 1) = 0; 모든 실수 x에 대해 (x - 0.7) 2 + 1 > 0이므로 sinx = 0, 즉 x = πn, n ∈ Z.
2) 죄 x인 경우< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
죄 x((x - 0.7) 2 - 1) = 0;
sinx \u003d 0 또는 (x - 0.7) 2 + 1 \u003d 0. sin x 이후< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x-0.7 \u003d 1 또는 x-0.7 \u003d -1, 이는 x \u003d 1.7 또는 x \u003d -0.3을 의미합니다.
조건 sinx를 고려하여< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0은 숫자 -0.3만이 원래 방정식의 근임을 의미합니다.
3) 간격 [-π; 2π] 숫자에 속합니다: -π; 0; π; 2π; -0.3.
따라서 방정식은 주어진 구간에서 5개의 근을 가집니다.
답변: 5.
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