정리는 증명 정리의 반대입니다. 체바와 메넬라오스의 정리. 이 모든 것이 왜 필요한가요?

수업: 9

수업 목표:

학생들의 지식과 기술을 일반화, 확장 및 체계화합니다. 복잡한 문제를 해결할 때 지식을 사용하는 방법을 가르칩니다.
문제 해결 시 지식을 독립적으로 적용할 수 있는 기술 개발을 촉진합니다.
학생들의 논리적 사고와 수학적 말하기, 분석, 비교 및 일반화 능력을 개발합니다.
학생들에게 자신감과 노력을 심어줍니다. 팀으로 일하는 능력.

수업 목표:

교육적인: Menelaus와 Cheva의 정리를 반복하십시오. 문제를 해결할 때 적용해보세요.
발달:가설을 제시하고 증거를 통해 자신의 의견을 능숙하게 방어하는 방법을 배우십시오. 지식을 일반화하고 체계화하는 능력을 테스트하십시오.
교육적인:주제에 대한 관심을 높이고 더 복잡한 문제 해결을 준비합니다.

수업 유형:지식의 일반화와 체계화 수업.

장비:이 주제에 대한 수업의 공동 작업용 카드, 독립 작업용 개별 카드, 컴퓨터, 멀티미디어 프로젝터, 스크린.

수업 중에는

1단계. 조직적인 순간(1분)

교사는 수업의 주제와 목적을 발표합니다.

2단계. 기본 지식 및 기술 업데이트(10분)

선생님:수업 중에 문제 해결을 성공적으로 진행하기 위해 Menelaus와 Cheva의 정리를 기억할 것입니다. 표시되는 화면을 살펴보겠습니다. 이 그림은 어떤 정리에 대해 제공됩니까? (메넬라오스의 정리). 정리를 명확하게 공식화하십시오.

그림 1

점 A 1 은 삼각형 ABC의 변 BC 위에 있고, 점 C 1 은 변 AB 위에 있고, 점 B 1 은 점 C 너머 변 AC의 연속 위에 있다고 가정합니다. 점 A 1 , B 1 및 C 1 은 다음과 같은 경우에만 동일한 직선 위에 있습니다. 평등이 유지된다면

선생님:다음 그림을 함께 볼까요? 이 그림에 대한 정리를 서술하십시오.

그림 2

선 AD는 IUD 삼각형의 두 변과 세 번째 변의 연장선과 교차합니다.

메넬라오스의 정리에 따르면

직선 MB는 두 변과 삼각형 ADC의 세 번째 변의 연장선과 교차합니다.

메넬라오스의 정리에 따르면

선생님:그림은 어떤 정리에 해당합니까? (Ceva의 정리). 정리를 기술하십시오.

그림 3

삼각형 ABC의 점 A 1이 변 BC에 있고, 점 B 1이 변 AC에 있고, 점 C 1이 변 AB에 있다고 가정합니다. 세그먼트 AA 1, BB 1 및 CC 1은 동일성이 유지되는 경우에만 한 지점에서 교차합니다.

3단계. 문제 해결. (22분)

수업은 3개의 팀으로 나뉘며, 각 팀은 서로 다른 두 가지 임무가 포함된 카드를 받습니다. 결정할 시간이 주어지면 다음이 화면에 나타납니다.<Рисунки 4-9>. 완성된 작업 도면을 바탕으로 팀 대표자들이 차례대로 솔루션을 설명합니다. 각 설명 뒤에는 토론, 질문에 답하고 화면에서 답의 정확성을 확인하는 과정이 이어집니다. 모든 팀원이 토론에 참여합니다. 팀의 활동성이 높을수록 결과를 요약할 때 더 높은 평가를 받습니다.

카드 1.

1. 삼각형 ABC에서 점 N은 BC 변에 위치하므로 NC = 3BN입니다. 변 AC의 연속에서 점 M은 점 A로 간주되어 MA = AC가 됩니다. 선 MN은 점 F에서 변 AB와 교차합니다. 비율을 구합니다.

2. 삼각형의 중앙값이 한 점에서 교차함을 증명하십시오.

솔루션 1

그림 4

문제의 조건에 따르면 MA = AC, NC = 3BN이다. MA = AC =b, BN = k, NC = 3k라고 가정합니다. MN선은 삼각형 ABC의 두 변과 연속된 세 번째 변과 교차합니다.

메넬라오스의 정리에 따르면

답변:

증거 2

그림 5

AM 1, BM 2, CM 3을 삼각형 ABC의 중앙값으로 설정합니다. 이 세그먼트가 한 지점에서 교차한다는 것을 증명하려면 다음을 보여주는 것으로 충분합니다.

그런 다음 Ceva의 (역) 정리에 따라 세그먼트 AM 1, BM 2 및 CM 3이 한 지점에서 교차합니다.

우리는:

따라서 삼각형의 중앙값은 한 지점에서 교차한다는 것이 입증되었습니다.

카드 2.

1. 점 N은 삼각형 PQR의 PQ 측에 있고 점 L은 PR 측에 있으며 NQ = LR입니다. 세그먼트 QL과 NR의 교차점은 점 Q에서 계산하여 QL을 m:n 비율로 나눕니다.

2. 삼각형의 이등분선은 한 점에서 교차함을 증명하십시오.

솔루션 1

그림 6

조건에 따라 NQ = LR, NA = LR =a, QF = km, LF = kn이라고 가정합니다. 선 NR은 삼각형 PQL의 두 변과 세 번째 변의 연속을 교차합니다.

메넬라오스의 정리에 따르면

답변:

증거 2

그림 7

그걸 보여주자

그러면 Ceva의 (역) 정리에 의해 AL 1, BL 2, CL 3이 한 지점에서 교차합니다. 삼각형 이등분선의 특성으로

얻은 평등 항에 항을 곱하면 다음을 얻습니다.

삼각형의 이등분선의 경우 Cheva의 평등이 충족되므로 한 지점에서 교차합니다.

카드 3.

1. 삼각형 ABC에서 AD는 중앙값이고, 점 O는 중앙값의 중앙입니다. 직선 BO는 점 K에서 변 AC와 교차합니다. 점 A를 기준으로 점 K는 AC를 어떤 비율로 나누나요?

2. 원이 삼각형에 내접하면 삼각형의 꼭지점과 반대쪽의 접촉점을 연결하는 세그먼트가 한 지점에서 교차한다는 것을 증명하십시오.

솔루션 1

그림 8

BD = DC = a, AO = OD = m이라고 둡니다. 직선 BK는 두 변과 삼각형 ADC의 세 번째 변의 연장선과 교차합니다.

메넬라오스의 정리에 따르면

답변:

증거 2

그림 9

A 1, B 1 및 C 1을 삼각형 ABC의 내접원의 접선점으로 설정합니다. 세그먼트 AA 1, BB 1 및 CC 1이 한 지점에서 교차한다는 것을 증명하려면 Cheva의 평등이 유지된다는 것을 보여주는 것으로 충분합니다.

한 점에서 원에 그려진 접선의 특성을 사용하여 다음 표기법을 도입합니다. C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Cheva의 평등이 충족됩니다. 이는 삼각형의 이등분선이 한 지점에서 교차한다는 것을 의미합니다.

4단계. 문제 해결(독립 작업)(8분)

교사: 팀의 작업이 완료되었습니다. 이제 2가지 옵션에 대한 개별 카드에 대한 독립적인 작업을 시작하겠습니다.

학생들의 독립적인 작업을 위한 수업 자료

옵션 1.면적이 6인 삼각형 ABC에서 변 AB에는 이 변을 AK:BK = 2:3의 비율로 나누는 점 K가 있고 변 AC에는 AC를 나누는 점 L이 있습니다. AL:LC = 5:3 비율로. 직선 СК와 BL의 교차점 Q는 직선 AB에서 거리 로 제거됩니다. 변 AB의 길이를 구하세요. (답: 4.)

옵션 2.삼각형 ABC의 변 AC에 점 K를 찍습니다. AK = 1, KS = 3. 변 AB에 점 L을 찍습니다. AL:LB = 2:3, Q는 직선 BK와 CL의 교차점입니다. 꼭지점 B에서 떨어진 삼각형 ABC의 고도의 길이를 구하십시오. (답: 1.5.)

작업은 확인을 위해 교사에게 제출됩니다.

V 스테이지. 강의 요약(2분)

발생한 오류를 분석하고 원래 답변과 의견을 기록합니다. 각 팀의 작업 결과를 종합하여 성적을 부여합니다.

6단계. 숙제(1분)

숙제는 11번, 12번 문제 pp. 289-290, 10번 문제 p. 301로 구성되어 있습니다.

선생님의 마지막 말씀(1분)

오늘 여러분은 외부에서 서로의 수학적 연설을 듣고 자신의 능력을 평가했습니다. 앞으로는 이러한 논의를 통해 주제에 대한 이해를 높일 것입니다. 수업의 논쟁은 사실과 친구였으며 이론은 실천이었습니다. 다들 감사 해요.

문학:

Tkachuk V.V. 지원자를 위한 수학. – M.: MTsNMO, 2005.

A.V. 셰브킨

FMS 번호 2007

통합 국가 시험에서 체바와 메넬라오스의 정리

"Ceva와 Menelaus의 정리에 관한"자세한 기사가 당사 웹 사이트의 ARTICLES 섹션에 게시되었습니다. 수학에 능숙해지고자 하는 동기가 부여된 수학 교사와 고등학생을 대상으로 합니다. 문제를 더 자세히 이해하고 싶다면 다시 돌아올 수 있습니다. 이 노트에서는 언급된 기사의 간략한 정보를 제공하고 2016년 통합 상태 시험 준비를 위한 컬렉션의 문제에 대한 솔루션을 분석합니다.

세바의 정리

삼각형을 주어보자 알파벳그리고 그 옆에는 AB, 기원전그리고 A.C.표시된 포인트 씨 1 , ㅏ 1 그리고 비 1 따라서 (그림 1).

a) 세그먼트의 경우 AA 1 , BB 1과 CC 1은 한 지점에서 교차한 다음

b) 동등(1)이 참이면 세그먼트는 AA 1 , BB 1과 CC 1은 한 지점에서 교차합니다.

그림 1은 세그먼트가 AA 1 , BB 1과 CC 1은 삼각형 내부의 한 지점에서 교차합니다. 일명 인테리어 포인트 케이스 입니다. Ceva의 정리는 외부 점의 경우에도 유효합니다. ㅏ 1 , 비 1 또는 와 함께 1은 삼각형의 변에 속하고, 나머지 두 개는 삼각형의 변의 연장선에 속합니다. 이 경우 세그먼트의 교차점은 AA 1 , BB 1과 CC 1은 삼각형 외부에 있습니다(그림 2).

Cheva의 평등을 기억하는 방법은 무엇입니까?

평등을 기억하는 기술에 주목합시다 (1). 각 관계에 있는 삼각형의 꼭지점과 관계 자체는 삼각형의 꼭지점을 횡단하는 방향으로 쓰여집니다. 알파벳, 점에서 시작 ㅏ. 출발지점 ㅏ요점으로 가자 비, 우리는 요점을 충족 와 함께 1, 분수를 쓰세요
. 그 지점에서 더 멀리 안에요점으로 가자 와 함께, 우리는 요점을 충족 ㅏ 1, 분수를 쓰세요
. 마지막으로, 그 점에서 와 함께요점으로 가자 ㅏ, 우리는 요점을 충족 안에 1, 분수를 쓰세요
. 외부 점의 경우, 세그먼트의 두 "나누기 지점"이 해당 세그먼트 외부에 있더라도 분수 작성 순서는 유지됩니다. 이런 경우에는 점이 외부적으로 세그먼트를 나눈다고 합니다.

삼각형의 꼭지점과 삼각형의 반대편을 포함하는 선상의 임의의 점을 연결하는 모든 선분을 호출합니다. 세비아나.

내부점의 경우 Ceva의 정리 a)를 증명하는 몇 가지 방법을 고려해 보겠습니다. Ceva의 정리를 증명하려면 아래 제안된 방법 중 하나로 명제 a)를 증명하고, 명제 b)도 증명해야 합니다. 진술 b)의 증명은 진술 a)를 증명하는 첫 번째 방법 이후에 제공됩니다. 외부 점의 경우에 대한 Ceva의 정리 증명도 유사하게 수행됩니다.

a) 비례분절 정리를 이용한 Ceva 정리의 증명

세비앙을 3개 보자 ㅏㅏ 1 , 비비 1과 씨씨 1은 한 지점에서 교차합니다. 지삼각형 안에 알파벳.

증명의 개념은 동등성(1)의 세그먼트 관계를 동일한 선에 있는 세그먼트의 관계로 대체하는 것입니다.

포인트를 통해 안에세비안과 평행한 직선을 그리자 봄 여름 시즌 1 . 똑바로 AA 1은 점에서 구성된 선과 교차합니다. 중, 그리고 그 점을 지나는 직선은 씨그리고 병렬 AA 1 , - 지점에서 티. 점을 통해 ㅏ그리고 와 함께세비안과 평행한 직선을 그리자 BB 1 . 그들은 선을 넘을 것이다 VM포인트에서 N그리고 아르 자형따라서 (그림 3).

피 우리가 가지고 있는 비례분절의 정리에 대해:

,
그리고
.

그렇다면 평등은 참이다

평행사변형에서 ZСTM그리고 ZCRB세그먼트 TM, СZ그리고 BR평행사변형의 반대쪽 변과 같습니다. 따라서,
그리고 평등은 사실이야

진술 b)를 증명하기 위해 다음 진술을 사용합니다. 쌀. 삼

Lemma 1.포인트라면 와 함께 1과 와 함께 2 세그먼트를 나눈다 AB내부적으로 (또는 외부적으로) 동일한 관계에서 동일한 지점에서 계산하면 이러한 지점이 일치합니다.

점이 다음과 같은 경우의 보조정리를 증명해 보겠습니다. 와 함께 1과 와 함께 2 세그먼트를 나눈다 AB내부적으로는 동일한 관계에 있습니다.
.

증거.평등에서
평등이 따르다
그리고
. 마지막은 다음 조건에서만 만족됩니다. 와 함께 1 비그리고 와 함께 2 비즉, 포인트가 다음과 같다면 동일합니다. 와 함께 1과 와 함께 2 경기.

포인트가 있는 경우의 보조정리 증명 와 함께 1과 와 함께 2 세그먼트를 나눈다 AB외부에서도 유사하게 수행됩니다.

b) Ceva 정리의 증명

이제 평등(1)이 참이 되도록 합시다. 세그먼트임을 증명해 보겠습니다. AA 1 , BB 1과 CC 1은 한 지점에서 교차합니다.

체비안을 보자 AA 1과 BB 1은 한 지점에서 교차합니다. 지, 이 점을 통과하는 세그먼트를 그립니다. CC 2 (와 함께 2개는 해당 세그먼트에 있습니다. AB). 그런 다음 진술 a)에 기초하여 올바른 평등을 얻습니다.

. (2)

그리고 평등 (1)과 (2)의 비교로부터 우리는 다음과 같은 결론을 내립니다.
, 즉 포인트 와 함께 1과 와 함께 2 세그먼트를 나눈다 AB같은 관계에서, 같은 점에서 세어보면. Lemma 1에서 요점은 다음과 같습니다. 와 함께 1과 와 함께 2 경기. 이는 세그먼트가 AA 1 , BB 1과 CC 1은 한 지점에서 교차하는데, 이것이 증명되어야 하는 것입니다.

평등(1)을 작성하는 절차는 삼각형의 정점이 어느 지점에서 어느 방향으로 횡단되는지에 의존하지 않는다는 것이 증명될 수 있습니다.

연습 1.세그먼트의 길이 찾기 ㅏN그림 4에서는 다른 세그먼트의 길이를 보여줍니다.

답변. 8.

작업 2.체비안 오전., BN, CK삼각형 내부의 한 지점에서 교차 알파벳. 태도를 찾아라
, 만약에
,
. 쌀. 4

답변.
.

피 우리는 기사에서 Ceva의 정리에 대한 증거를 제시합니다. 증명의 아이디어는 평등 (1)의 선분 관계를 평행선에 놓인 선분의 관계로 바꾸는 것입니다.

똑바로 보자 ㅏㅏ 1 , 비비 1 , 씨씨 1은 한 지점에서 교차합니다. 영형삼각형 안에 알파벳(그림 5). 상단을 통해 와 함께삼각형 알파벳평행한 직선을 그리자 AB, 그리고 선과의 교차점 ㅏㅏ 1 , 비비 1 우리는 그에 따라 표시합니다 ㅏ 2 , 비 2 .

두 쌍의 삼각형의 유사성으로부터 C.B. 2 비 1 그리고 씨줄 1 , 매매 1 그리고 C.A. 2 ㅏ 1, 그림. 5

우리는 평등하다

,
. (3)

삼각형의 유사성에서 기원전 1 영형그리고 비 2 콜로라도, ㅏ와 함께 1 영형그리고 ㅏ 2 콜로라도우리는 평등하다
, 그로부터

. (4)

피 평등 (3)과 (4)를 곱하면 평등 (1)을 얻습니다.

a) Ceva의 정리가 증명되었습니다.

내부 점에 대한 영역을 사용하는 Ceva 정리의 진술 a)의 증명을 고려해 보겠습니다. A.G. 의 책에 나와 있습니다. Myakishev는 작업 형태로 공식화한 진술에 의존합니다. 3 그리고 4 .

작업 3.공통 꼭지점과 밑변이 같은 선상에 있는 두 삼각형의 넓이의 비는 이 밑변의 길이의 비와 같습니다. 이 진술을 증명하십시오.

작업 4.증명해 보세요.
, 저것
그리고
. 쌀. 6

세그먼트를 보자 AA 1 , BB 1과 CC 1은 한 지점에서 교차합니다. 지(그림 6)

,
. (5)

그리고 평등 (5) 및 작업의 두 번째 설명에서 4 그 뒤를 따른다
또는
. 마찬가지로 우리는 다음을 얻습니다.
그리고
. 마지막 세 등식을 곱하면 다음을 얻습니다.

즉, 평등(1)이 참이고, 이것이 증명되어야 하는 것입니다.

a) Ceva의 정리가 증명되었습니다.

작업 15.세비앙이 삼각형 내부의 한 지점에서 교차하고 면적이 동일한 6개의 삼각형으로 나눕니다. 에스 1 , 에스 2 , 에스 3 , 에스 4 , 에스 5 , 에스 6 (그림 7). 그것을 증명하십시오. 쌀. 7

작업 6.지역을 찾아보세요 에스삼각형 CNZ(다른 삼각형의 영역은 그림 8에 나와 있습니다.)

답변. 15.

작업 7.지역을 찾아보세요 에스삼각형 CNO, 삼각형의 면적이 ㅏ아니요 10과 같고
,
(그림 9).

답변. 30.

작업 8.지역을 찾아보세요 에스삼각형 CNO, 삼각형의 면적이 ㅏ기원전 88과 같고,
(그림 9).

아르 자형 결정.이후 , 우리는
,
. 왜냐하면 , 그러면 우리는
,
. Ceva의 정리에 따르면 다음과 같습니다.
, 그런 다음
. 만약에
, 저것
(그림 10). 알 수 없는 수량 3개가 있습니다( 엑스, 와이 그리고 에스) 그래서 찾으려면 에스세 가지 방정식을 만들어 봅시다.

왜냐하면
, 저것
= 88. 이후
, 저것
, 어디
. 왜냐하면
, 저것
.

그래서,
, 어디
. 쌀. 10

작업 9. 삼각형에서 알파벳포인트들 케이그리고 엘각각 당사자에 속한다 AB 그리고 비씨.
,
. 피 알그리고 CK. 삼각형의 면적 PBC 1과 같습니다. 삼각형의 면적을 찾으십시오. 알파벳.

답변. 1,75.

티 메넬라오스의 정리

삼각형을 주어보자 알파벳그리고 그 옆에는 A.C.그리고 CB표시된 포인트 비 1과 ㅏ 1 그에 따라 계속되는 측면에서 AB표시된 지점 씨 1 (그림 11).

가) 포인트가 있는 경우 ㅏ 1 , 비 1과 와 함께 1 같은 직선 위에 누워서

. (6)

b) 등식(7)이 참이면 점수는 다음과 같습니다. ㅏ 1 , 비 1과 와 함께 1. 같은 직선 위에 눕는다. 쌀. 열하나

메넬라오스의 평등을 어떻게 기억하나요?

평등을 기억하는 기술(6)은 평등(1)과 동일합니다. 각 관계에 있는 삼각형의 꼭지점과 관계 자체는 삼각형의 꼭지점을 횡단하는 방향으로 쓰여집니다. 알파벳- 꼭지점에서 꼭지점으로, 분할점(내부 또는 외부)을 통과합니다.

작업 10.모든 방향에서 삼각형의 모든 꼭지점에서 평등(6)을 쓰면 동일한 결과가 생성됨을 증명하십시오.

메넬라오스의 정리를 증명하려면 아래 제안된 방법 중 하나로 명제 a)를 증명하고, 명제 b)도 증명해야 합니다. 진술 b)의 증명은 진술 a)를 증명하는 첫 번째 방법 이후에 제공됩니다.

a) 비례분절정리를 사용한 진술의 증명

나방법. a) 증명의 개념은 동일한 선분의 길이 비율(6)을 같은 선에 있는 선분의 길이 비율로 대체하는 것입니다.

포인트를 주자 ㅏ 1 , 비 1과 와 함께 1. 같은 직선 위에 눕는다. 포인트를 통해 씨직접 해보자 엘, 선과 평행 ㅏ 1 비 1, 선과 교차한다 AB그 시점에 중(그림 12).

아르 자형
이다. 12

비례 세그먼트의 정리에 따르면 다음이 있습니다.
그리고
.

그렇다면 평등은 참이다
.

b) 메넬라오스의 정리에 대한 증명

이제 평등 (6)이 참이라고 가정하고 요점을 증명해 보겠습니다. ㅏ 1 , 비 1과 와 함께 1. 같은 직선 위에 눕는다. 똑바로 보자 AB그리고 ㅏ 1 비 1은 한 지점에서 교차합니다. 와 함께 2 (그림 13).

포인트부터 ㅏ 1 비 1과 와 함께 2는 같은 직선 위에 놓여 있고, 다음 진술 a) 메넬라오스의 정리에 따르면

. (7)

평등 (6)과 (7)의 비교로부터 우리는
, 그로부터 평등이 참이라는 결론이 나옵니다

,
,
.

마지막 동등성은 다음 경우에만 참입니다.
, 즉 포인트가 와 함께 1과 와 함께 2 경기.

메넬라오스의 정리 b)의 진술이 입증되었습니다. 쌀. 13

진술 a) 삼각형의 유사성을 사용한 증명

증명의 개념은 평등(6)의 세그먼트 길이 비율을 평행선에 있는 세그먼트 길이의 비율로 대체하는 것입니다.

포인트를 주자 ㅏ 1 , 비 1과 와 함께 1. 같은 직선 위에 눕는다. 포인트에서 ㅏ, 비그리고 씨수직선을 그리자 AA 0 , 비비 0과 봄 여름 시즌 0을 이 직선으로 설정합니다(그림 14).

아르 자형
이다. 14

세 쌍의 삼각형의 유사성으로부터 A.A. 0 비 1 그리고 CC 0 비 1 , CC 0 ㅏ 1 그리고 BB 0 ㅏ 1 , 씨 1 비 0 비그리고 씨 1 ㅏ 0 ㅏ(두 각도에서) 우리는 올바른 평등을 가지고 있습니다

,
,
,

이를 곱하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

메넬라오스의 정리 a)가 증명되었다.

진술 증명 a) 지역 사용

증명의 아이디어는 세그먼트 길이의 비율 (7)을 삼각형 영역의 비율로 대체하는 것입니다.

포인트를 주자 ㅏ 1 , 비 1과 와 함께 1. 같은 직선 위에 눕는다. 점들을 연결해보자 씨그리고 씨 1 . 삼각형의 넓이를 나타내자 에스 1 , 에스 2 , 에스 3 , 에스 4 , 에스 5 (그림 15).

그렇다면 평등은 참이다

,
,
. (8)

등식(8)을 곱하면 다음을 얻습니다.

메넬라오스의 정리 a)가 증명되었다.

아르 자형
이다. 15

Cevians의 교차점이 삼각형 외부에 있으면 Ceva의 정리가 유효한 것처럼, 시컨트가 삼각형 변의 연장선과만 교차하면 Menelaus의 정리도 유효합니다. 이 경우 외부 점에서 삼각형 변의 교차점에 대해 이야기할 수 있습니다.

진술 증명 a) 외부 점의 경우

피 시컨트는 삼각형의 변과 교차합니다 알파벳외부 지점에서, 즉 측면의 확장과 교차합니다. AB,기원전그리고 A.C.포인트에서 씨 1 , ㅏ 1과 비 1과 같으며, 이 점들은 동일한 직선 위에 있습니다(그림 16).

비례 세그먼트의 정리에 따르면 다음이 있습니다.

그리고 .

그렇다면 평등은 참이다

메넬라오스의 정리 a)가 증명되었다. 쌀. 16

위의 증명은 시컨트가 삼각형의 두 변의 내부 점과 외부 점에서 교차하는 경우에 대한 메넬라오스의 정리 증명과 일치합니다.

외부 점의 경우에 대한 메넬라오스의 정리 b)의 진술 증명은 위에 주어진 증명과 유사합니다.

지 과제11. 삼각형에서 알파벳포인트들 ㅏ 1 , 안에 1개씩 옆으로 누움 해그리고 ㅏ와 함께. 피- 세그먼트의 교차점 AA 1 그리고 BB 1 .
,
. 태도를 찾아라
.

해결책.나타내자
,
,
,
(그림 17). 메넬라오스의 삼각형 정리에 따르면 기원전안에 1과 시컨트 아빠 1 우리는 올바른 평등을 씁니다.

어디서부터 그런 말을 듣게 됩니까?

. 쌀. 17

답변. .

지 과제12 (MSU, 통신 준비 과정). 삼각형에서 알파벳, 옆면이 6인 면적 AB요점을 알았어 에게, 이 쪽을 관련해서 공유하다
, 그리고 그 옆에는 교류- 점 엘, 나누기 교류관계 속에서
. 점 피 선 교차점 SK그리고 안에엘 직선에서 멀리 AB 1.5 거리에서. 변의 길이를 구하세요 AB.

해결책.포인트에서 아르 자형그리고 와 함께수직선을 떨어뜨리자 홍보그리고 센티미터곧장 AB. 나타내자
,
,
,
(그림 18). 메넬라오스의 삼각형 정리에 따르면 A.K.C.그리고 시컨트 P.L.올바른 평등을 적어 보겠습니다.
, 어디서 얻었나요?
,
. 쌀. 18

삼각형의 유사성에서 에게MC그리고 에게R.P.(두 각도에서) 우리는 그것을 얻습니다
, 그로부터
.

이제 옆으로 그려진 높이의 길이를 알면 AB삼각형 알파벳, 그리고 이 삼각형의 면적을 사용하여 변의 길이를 계산합니다.
.

답변. 4.

지 과제13. 중심이 있는 원 3개 ㅏ,안에,와 함께, 그 반경은 다음과 관련이 있습니다.
, 지점에서 외부적으로 서로 접촉 엑스, 와이, 지그림 19와 같습니다. 세그먼트 도끼그리고 에 의해한 지점에서 교차 영형. 어떤 점에서 그 점부터 계산하면 비, 선분 체코세그먼트를 나눈다 에 의해?

해결책.나타내자
,
,
(그림 19). 왜냐하면
, 그러면 Ceva 정리의 b) 진술에 따라 세그먼트가 ㅏ엑스, 에 의해그리고 와 함께지한 지점에서 교차 - 지점 영형. 그런 다음 세그먼트 체코세그먼트를 나눈다 에 의해관계 속에서
. 이 관계를 찾아보자. 쌀. 19

메넬라오스의 삼각형 정리에 따르면 B.C.Y.그리고 시컨트 황소우리는:
, 그로부터
.

답변. .

작업 14(통합 주 시험 2016).

포인트들 안에 1과 와 함께 교류그리고 AB삼각형 알파벳, 그리고 AB 1:비 1 와 함께 =
= 교류 1:와 함께 1 비. 직접 BB 1 그리고 봄 여름 시즌 1 한 지점에서 교차 에 대한.

ㅏ ) 다음 라인을 증명하세요. JSC측면을 이등분합니다 해.

AB 1 OC 1을 삼각형의 면적으로 알파벳, 만약 그것이 알려져 있다면 AB 1:비 1 와 함께 = 1:4.

해결책. a) 직선이 되게 하라 A.O. 옆을 가로지른다 기원전 그 시점에 ㅏ 1 (그림 20). Ceva의 정리에 따르면 다음과 같습니다.

. (9)

왜냐하면 AB 1:비 1 와 함께 = 교류 1:와 함께 1 비, 평등 (9)로부터 다음과 같습니다
, 그건 C.A. 1 = ㅏ 1 비, 이는 입증이 필요한 것이었습니다. 쌀. 20

b) 삼각형의 면적을 AB 1 영형 동일 에스. 왜냐하면 AB 1:비 1 와 함께 C.B. 1 영형 4와 같음 에스, 그리고 삼각형의 면적 AOC 5와 같음 에스. 그러면 삼각형의 넓이는 AOB 역시 5와 같다 에스, 삼각형 이후 AOB 그리고 AOC공통점이 있다 A.O., 및 해당 정점 비그리고 씨선에서 등거리 A.O.. 게다가 삼각형의 넓이는 AOC 1은 같다 에스, 왜냐하면 교류 1:와 함께 1 비 = 1:4. 그러면 삼각형의 넓이는 씨줄 1은 6과 같습니다 에스. 왜냐하면 AB 1:비 1 와 함께= 1:4, 그러면 삼각형의 면적 C.B. 1 영형 24와 같음 에스, 그리고 삼각형의 면적 알파벳 30과 같음 에스. 이제 사각형의 넓이의 비율을 구해보자 AB 1 OC 1 (2에스) 삼각형의 면적 알파벳 (30에스), 1:15와 같습니다.

답변. 1:15.

작업 15(통합 주 시험 2016).

포인트들 안에 1과 와 함께 1개씩 옆으로 누움 교류그리고 AB삼각형 알파벳, 그리고 AB 1:비 1 와 함께 =
= 교류 1:와 함께 1 비. 직접 BB 1 그리고 봄 여름 시즌 1 한 지점에서 교차 에 대한.

a) 다음 라인을 증명하십시오. JSC측면을 이등분합니다 해.

b) 사각형의 면적의 비율을 구합니다. AB 1 OC 1을 삼각형의 면적으로 알파벳, 만약 그것이 알려져 있다면 AB 1:비 1 와 함께 = 1:3.

답변. 1:10.

지 과제 16 (USE-2016).세그먼트에서 BD요점을 알았어 와 함께. 이등분 B.L. 알파벳베이스 포함 해 빌딩베이스 포함 BD.

a) 삼각형이 성립함을 증명하라 DCL이등변.

b) 다음과 같이 알려져 있다.
알파벳 DL, 즉 삼각형 BD요점을 알았어 와 함께. 이등분 B.L.이등변 삼각형 알파벳베이스 포함 해이등변삼각형의 옆면이다 빌딩베이스 포함 BD.

a) 삼각형이 성립함을 증명하라 DCL이등변.

b) 다음과 같이 알려져 있다. 알파벳= . 어떤 점에서 직선인가 D.L. 면을 나눈다 AB?

답변. 4:21.

문학

1. Smirnova I.M., Smirnov V.A. 삼각형의 멋진 점과 선. M .: 수학, 2006, No. 17.

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8. 수학. 일반적인 테스트 작업의 50가지 변형 / I.V. 야쉬첸코, M.A. 볼케비치, I.R. Vysotsky 및 기타; 편집자 I.V. 야쉬첸코. - M .: 출판사 "시험", 2016. - 247 p.

체바와 메넬라오스의 이론

세바의 정리

대부분의 주목할만한 삼각형 점은 다음 절차를 통해 얻을 수 있습니다. 특정 지점 A를 선택할 수 있는 규칙이 있다고 가정해 보겠습니다. 1 , 삼각형 ABC의 BC 변(또는 그 연장선)에 있습니다(예를 들어 이 변의 중간점을 선택합니다). 그런 다음 비슷한 점 B를 구성하겠습니다. 1, C 1 삼각형의 다른 두 변에 있습니다(이 예에서는 변의 중간점이 두 개 더 있습니다). 선택 규칙이 성공하면 바로 AA가 됩니다. 1, BB 1, CC 1 Z 지점에서 교차합니다(물론 삼각형의 중앙값이 한 지점에서 교차하기 때문에 이러한 의미에서 측면의 중간점을 선택하는 것은 성공적입니다).

나는 삼각형 변의 점 위치로부터 해당 삼중 선이 한 점에서 교차하는지 여부를 결정할 수 있는 몇 가지 일반적인 방법을 갖고 싶습니다.

이 문제를 "해결"하는 보편적 조건은 1678년 이탈리아 엔지니어에 의해 발견되었습니다.조반니 체바 .

정의. 삼각형의 꼭지점과 반대편의 점(또는 그 연장선)을 연결하는 선분은 한 점에서 교차하는 경우 세비안이라고 합니다.

세비안의 가능한 위치는 두 가지입니다. 한 버전에서는 요점이

교차점은 내부에 있고 세비앙의 끝은 삼각형의 측면에 있습니다. 두 번째 옵션에서는 교차점이 외부에 있고, 한 세비앙의 끝은 측면에 있고, 다른 두 세비앙의 끝은 측면의 연장선에 있습니다(그림 참조).

정리 3. (Ceva의 직접 정리) 임의의 삼각형 ABC에서 점 A는 변 BC, CA, AB 또는 그 연장선에 각각 찍혀 있습니다. 1 , 안에 1 , 와 함께 1 , 직선 AA 1 , BB 1 , 봄 여름 시즌 1 어떤 공통점에서 교차한 다음

증거: Ceva의 정리에 대한 몇 가지 원래의 증명이 알려져 있지만, 우리는 Menelaus의 정리를 이중 적용한 증명을 고려할 것입니다. 처음으로 삼각형에 대한 메넬라오스의 정리의 관계를 적어보자씨줄 1과 시컨트 CC 1 (우리는 세비앙의 교차점을 나타냅니다.지):

그리고 두 번째로 삼각형비 1 기원전그리고 시컨트 A.A. 1 :

이 두 비율을 곱하고 필요한 감소를 수행하여 정리 설명에 포함된 비율을 얻습니다.

정리 4. (Ceva의 역정리) . 삼각형의 측면에서 선택한 경우 알파벳 또는 포인트 확장 ㅏ 1 , 안에 1 그리고 씨 1 Cheva의 조건은 만족됩니다.

그럼 똑바로 A.A. 1 , BB 1 그리고 CC 1 한 지점에서 교차 .

이 정리의 증명은 메넬라오스의 정리와 마찬가지로 모순에 의해 증명됩니다.

Ceva의 직접 정리와 역 정리를 적용한 예를 살펴보겠습니다.

예시 3. 삼각형의 중앙값이 한 점에서 교차함을 증명하십시오.

해결책. 관계를 고려하라

삼각형의 꼭지점과 변의 중간점에 대해. 분명히, 각 분수에서 분자와 분모는 동일한 세그먼트를 가지므로 이 분수는 모두 1과 같습니다. 결과적으로 Cheva의 관계가 충족되므로 역정리에 의해 중앙값이 한 지점에서 교차합니다.

정리(Ceva의 정리) . 포인트를 주자 옆으로 누워그리고 삼각형 각기. 세그먼트를 보자그리고 한 지점에서 교차합니다. 그 다음에

(삼각형을 시계 방향으로 돌립니다).

증거.다음으로 나타내자 세그먼트의 교차점그리고 . 점은 생략하자그리고 선에 수직점에서 교차하기 전에그리고 그에 따라(그림 참조).

왜냐면 삼각형이니까그리고 공통점이 있다, 그 면적은 이쪽에 그려지는 높이와 관련됩니다.그리고 :

마지막 평등은 직각삼각형이므로 참입니다.그리고 예각에서는 비슷하다.

마찬가지로 우리는

그리고

이 세 가지 평등을 곱해 봅시다:

Q.E.D.

중앙값 정보:

1. 삼각형 ABC의 꼭지점에 단위질량을 배치합니다.
2. 점 A와 B의 질량 중심은 AB의 중앙에 있습니다. 전체 시스템의 질량 중심은 변 AB의 중앙값에 있어야 합니다. 왜냐하면 삼각형 ABC의 질량 중심은 점 A와 B, 점 C의 질량 중심의 질량 중심이기 때문입니다.
(혼란스러워졌어)
3. 마찬가지로 - CM은 AC와 BC 측면의 중앙값에 있어야 합니다.
4. CM은 단일 점이므로 이 세 중앙값은 모두 이 점에서 교차해야 합니다.

그건 그렇고, 교차점에 따라 2:1의 비율로 나누어집니다. 점 A와 B의 질량 중심의 질량은 2이고 점 C의 질량은 1이므로, 비례 정리에 따라 공통 질량 중심은 중앙값을 2/1의 비율로 나눕니다. .

매우 감사합니다. 접근 가능한 방식으로 제시되었습니다. 예를 들어 질량 기하학 방법을 사용하여 증거를 제시하는 것도 나쁘지 않을 것이라고 생각합니다.
선 AA1과 CC1은 점 O에서 교차합니다. AC1: C1B = p 및 BA1: A1C = q. CB1: B1A = 1: pq인 경우에만 선 BB1이 점 O를 통과한다는 것을 증명해야 합니다.
각각 A, B, C 지점에 질량 1, p, pq를 배치해 보겠습니다. 그러면 점 C1은 점 A와 B의 질량 중심이고 점 A1은 점 B와 C의 질량 중심입니다. 따라서 점 A, B, C의 질량 중심은 이들 질량의 교차점 O입니다. CC1 및 AA1 라인. 반면, 점 O는 점 B와 점 A 및 C의 질량 중심을 연결하는 선분에 있습니다. B1이 질량 1과 pq를 갖는 점 A와 C의 질량 중심이면 AB1: B1C = pq: 1. 세그먼트 AC에는 주어진 비율 AB1:B1C로 나누는 단일 점이 있다는 점에 유의해야 합니다.

2. 세바의 정리

삼각형의 꼭지점과 반대쪽 한 점을 연결한 선분을 삼각형이라고 합니다.세비아나 . 따라서 삼각형 안에 있으면알파벳 엑스 , 와이 그리고 Z - 옆으로 누워있는 포인트기원전 , C.A. , AB 그에 따라 세그먼트도끼 , 에 의해 , 체코 체비안이에요. 이 용어는 1678년에 다음과 같은 매우 유용한 정리를 발표한 이탈리아 수학자 Giovanni Ceva에서 유래되었습니다.

정리 1.21. 삼각형 ABC의 세 개의 세비앙 AX, BY, CZ(각 꼭지점에서 하나씩)가 경쟁적이라면,

|BX||XC|· |CY||예|· |AZ||ZB|=1 .

쌀. 삼.

세 개의 선(또는 세그먼트)이라고 하면경쟁력 있는 , 그러면 우리는 그것들이 모두 한 지점을 통과한다는 것을 의미합니다.피 . Ceva의 정리를 증명하려면 높이가 같은 삼각형의 면적은 삼각형의 밑변에 비례한다는 점을 기억하세요. 그림 3을 참조하면 다음과 같습니다.

|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX−SPBXSAXC-SPXC= SABP스캡.

비슷하게,

|CY||예|= SBCPSABP, |AZ||ZB|= 스캡SBCP.

이제 우리가 그것들을 곱하면 우리는 다음을 얻습니다.

|BX||XC|· |CY||예|· |AZ||ZB|= SABP스캡· SBCPSABP· 스캡SBCP=1 .

이 정리의 반대도 참입니다.

정리 1.22. 세 개의 세비앙 AX, BY, CZ가 관계를 만족한다면

|BX||XC|· |CY||예|· |AZ||ZB|=1 ,

그렇다면 그들은 경쟁력이 있다 .

이를 보여주기 위해 처음 두 개의 세비온이 해당 지점에서 교차한다고 가정합니다.피 , 이전과 마찬가지로 지점을 통과하는 세 번째 세비안피 , 할 것이다CZ' . 그러면 정리 1.21에 의해,

|BX||XC|· |CY||예|· |AZ′||Z'B|=1 .

그러나 가정에 따르면

|BX||XC|· |CY||예|· |AZ||ZB|=1 .

따라서,

|AZ||ZB|= |AZ′||Z'B| ,

점지' 그 점과 일치한다지 , 그리고 우리는 세그먼트가도끼 , 에 의해 그리고체코 경쟁적입니다(p. 54 및 pp. 48, 317).

수학 - 10학년 Mendel Viktor Vasilievich, 극동 주립 대학교 자연 과학, 수학과 정보 기술 학부 학장 CHEVA의 정리 및 MENELAY의 정리 면적 측정에서 특별한 위치는 Ceva의 정리와 Menelaus의 정리라는 두 가지 놀라운 정리에 주어집니다. 이러한 정리는 고등학교 기하학의 기본 커리큘럼에는 포함되어 있지 않지만, 학교 커리큘럼의 틀 내에서 가능한 것보다 조금 더 수학에 관심이 있는 모든 사람에게 해당 정리를 연구(및 적용)하는 것이 좋습니다. 이 정리가 왜 흥미로운가요? 첫째, 기하학적 문제를 해결할 때 두 가지 접근 방식이 생산적으로 결합된다는 점에 유의합니다. - 하나는 기본 구조의 정의를 기반으로 합니다(예: 삼각형 - 원, 삼각형 - 할선, 삼각형 - 세 개의 직선 정점을 통과하고 한 지점에서 교차하는 것, 두 개의 평행한 변이 있는 사변형 등) - 두 번째는 문제 지원 방법입니다(복잡한 문제를 해결하는 프로세스가 축소되는 간단한 기하학적 문제). 따라서 Menelaus와 Cheva의 정리는 가장 자주 접하는 구성 중 하나입니다. 첫 번째는 삼각형, 변 또는 변의 확장이 일부 선(할선)과 교차하는 것을 고려하고 두 번째는 삼각형과 세 개의 선이 지나가는 것을 다룹니다. 정점을 통해 한 지점에서 교차합니다. 메넬라오스의 정리 이 정리는 삼각형의 꼭지점과 할선의 교차점과 삼각형의 변(변의 확장)을 연결하는 패턴인 세그먼트의 관찰 가능한(역과 함께) 관계를 보여줍니다. 그림은 삼각형과 할선의 위치에 대한 두 가지 가능한 경우를 보여줍니다. 첫 번째 경우, 할선은 삼각형의 두 변과 세 번째 변의 연장선과 교차하고, 두 번째 경우에는 삼각형의 세 변 모두의 연속입니다. 정리 1. (메넬라우스) ABC가 변 AB와 평행하지 않고 두 변 AC와 BC와 각각 점 B1과 A1에서 교차하고 직선 AB가 점 C1에서 교차한 다음 AB1 CA1과 교차한다고 가정합니다. BC1    1. B1C A1B C1 A 정리 2. (메넬라오스의 정리와 반대) 삼각형 ABC의 점 A1, B1, C1이 각각 직선 BC, AC, AB에 속한다고 가정하고, AB1 CA1 BC1   1 B1C A1B C1 A이면 점 A1, B1, C1이 하나의 직선 위에 있습니다. 첫 번째 정리의 증명은 다음과 같이 수행될 수 있습니다. 삼각형의 모든 꼭지점의 수직선이 할선으로 낮아집니다. 결과는 세 쌍의 유사한 직각삼각형입니다. 정리의 공식화에 나타나는 선분의 관계는 유사성에서 해당 선분의 관계로 대체됩니다. 분수의 각 수직 세그먼트는 분자의 한 분수에 한 번, 분모의 다른 분수에 두 번 존재하는 것으로 나타났습니다. 따라서 이러한 모든 비율의 곱은 1과 같습니다. 역정리는 모순으로 증명될 수 있다. 정리 2의 조건이 충족되면 점 A1, B1, C1이 동일한 직선 위에 있지 않다고 가정합니다. 그런 다음 직선 A1B1은 점 C1과 다른 점 C2에서 변 AB와 교차합니다. 이 경우 정리 1에 따라 점 A1, B1, C2에 대해 점 A1, B1, C1과 동일한 관계가 유지됩니다. 이에 따라 점 C1과 C2는 세그먼트 AB를 동일한 비율로 나눌 것입니다. 그러면 이러한 점이 일치합니다. 모순이 발생합니다. 메넬라오스의 정리가 적용된 예를 살펴보겠습니다. 예제 1. 삼각형의 교차점에서 중앙값은 꼭지점에서 시작하여 2:1의 비율로 나누어진다는 것을 증명하십시오. 해결책. 정리에서 얻은 관계를 적어보겠습니다. 삼각형 ABMb와 직선 McM(C)에 대한 Menelaus: AM c BM M bC    1. M c B MM b CA 이 곱의 첫 번째 분수는 분명히 같습니다. 1로, 세 번째 두 번째 비율은 1과 같습니다. 그러므로 2 2:1이 증명되어야 합니다. 예 2. 시컨트는 점 B1에서 삼각형 ABC의 변 AC의 연장선과 교차하므로 점 C는 선분 AB1의 중간점이 됩니다. 이 할선은 변 AB를 반으로 나눕니다. BC 변을 어떤 비율로 나누는지 찾아보세요. 해결책. 삼각형과 시컨트의 경우 메넬라오스의 정리에서 세 가지 비율의 곱을 작성해 보겠습니다. AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A 문제의 조건에서 첫 번째 비율은 1과 같고 세 번째는 1, 2이므로 두 번째 비율은 2입니다. 즉, 시컨트는 변 BC를 2:1의 비율로 나눕니다. 체바 정리의 증명을 고려할 때 메넬라오스의 정리를 적용한 다음 예를 살펴보겠습니다. Ceva의 정리 삼각형의 주목할만한 점의 대부분은 다음 절차를 사용하여 얻을 수 있습니다. 삼각형 ABC의 변 BC(또는 그 연속)에서 특정 점 A1을 선택할 수 있는 몇 가지 규칙이 있다고 가정해 보겠습니다(예: 이 변의 중간점 선택). 그런 다음 삼각형의 다른 두 변에 유사한 점 B1, C1을 구성합니다(이 예에서는 변의 중간점이 두 개 더 있음). 선택 규칙이 성공하면 선 AA1, BB1, CC1이 특정 지점 Z에서 교차합니다(물론 삼각형의 중앙값이 한 지점에서 교차하므로 이러한 의미에서 변의 중간점 선택은 성공합니다). ). 나는 삼각형 변의 점 위치로부터 해당 삼중 선이 한 점에서 교차하는지 여부를 결정할 수 있는 몇 가지 일반적인 방법을 갖고 싶습니다. 이 문제를 "해결"하는 보편적 조건은 1678년 이탈리아 엔지니어 Giovanni Ceva가 발견했습니다. 정의. 삼각형의 꼭지점과 반대편의 점(또는 그 연장선)을 연결하는 선분은 한 점에서 교차하는 경우 세비안이라고 합니다. 세비안의 가능한 위치는 두 가지입니다. 한 가지 변형에서는 교차점이 내부에 있고 세비앙의 끝이 삼각형의 측면에 있습니다. 두 번째 옵션에서는 교차점이 외부에 있고, 한 세비앙의 끝은 측면에 있고, 다른 두 세비앙의 끝은 측면의 연장선에 있습니다(그림 참조). 정리 3. (체바의 직접 정리) 임의의 삼각형 ABC에서 변 BC, CA, AB 또는 그 연장선에 선 AA1, BB1, CC1이 어떤 공통 지점에서 교차하도록 점 A1, B1, C1이 각각 취해집니다. BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 . 증명: 세바의 정리에 대한 몇 가지 독창적인 증명이 있습니다. 우리는 메넬라오스의 정리를 이중으로 적용한 증명을 고려해 보겠습니다. 처음으로 삼각형 ABB1과 시컨트 CC1에 대한 메넬라우스 정리의 관계를 작성해 보겠습니다(Cevians의 교차점을 Z로 나타냄). AC1 BZ B1C    1, C1B ZB1 CA 및 두 번째 삼각형 B1BC 및 시컨트 AA1: B1Z BA1 CA    1. ZB A1C AB1 이 두 비율을 곱하고 필요한 감소를 수행하여 정리 설명에 포함된 비율을 얻습니다. 정리 4. (Ceva의 역정리). 삼각형 ABC 또는 그 연장선의 측면에서 선택된 점 A1, B1 및 C1에 대해 Cheva의 조건이 충족되면 BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1이면 선 AA1, BB1 및 CC1이 한 점에서 교차합니다. 이 정리의 증명은 메넬라오스의 정리와 마찬가지로 모순에 의해 증명됩니다. Ceva의 직접 정리와 역 정리를 적용한 예를 살펴보겠습니다. 예 3. 삼각형의 중앙값이 한 지점에서 교차한다는 것을 증명하십시오. 해결책. 삼각형의 꼭지점과 변의 중간점에 대해 AC1 BA1 CB1   C1B A1C B1 A 관계를 고려하십시오. 분명히, 각 분수에서 분자와 분모는 동일한 세그먼트를 가지므로 이 분수는 모두 1과 같습니다. 결과적으로 Cheva의 관계가 충족되므로 역정리에 의해 중앙값이 한 지점에서 교차합니다. 독립적인 해결을 위한 문제 여기서 제안된 문제는 9학년 학생들을 위한 테스트 작업 1번입니다. 이러한 문제를 해결하고 별도의 노트북(물리학 및 컴퓨터 과학)에 솔루션을 적어 두십시오. 표지에는 귀하에 대한 다음 정보를 표시하십시오: 1. 성, 이름, 학급, 학급 프로필(예: Vasily Pupkin, 9학년, 수학) 2. 우편번호, 거주지 주소, 이메일(있는 경우), 전화( 집 또는 모바일) ) 3. 학교에 대한 정보(예: Bikin 마을 MBOU No. 1) 4. 수학 교사의 성, 이름(예: 수학 교사 Petrova M.I.) 최소 4개의 문제를 해결하는 것이 좋습니다. 남 9.1.1. 메넬라오스의 정리에 나오는 할선은 삼각형(또는 그 연장선)의 변을 다음과 같은 길이의 세그먼트로자를 수 있습니까? a) 3, 3, 5, 7, 10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10, 그러한 선택이 가능하다면 예를 들어주십시오. 세그먼트는 다른 순서로 진행될 수 있습니다. 남 9.1.2. 삼각형의 내부 세비안은 변을 세그먼트로 나눌 수 있습니까? a) 3, 3, 5, 7,10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10, 그러한 선택이 가능하다면 예를 들어주십시오. 세그먼트는 다른 순서로 진행될 수 있습니다. 힌트: 예를 들어볼 때 삼각형이 동일하지 않은지 확인하는 것을 잊지 마세요. 남 9.1.3. Ceva의 역정리를 사용하여 다음을 증명하십시오. a) 삼각형의 이등분선은 한 점에서 교차합니다. b) 삼각형의 꼭지점과 반대쪽의 점을 연결하는 세그먼트(이 변이 내접원에 닿는 부분)는 한 점에서 교차합니다. 사용법: a) 이등분선이 반대쪽 변을 어떤 비율로 나누는지 기억하세요. b) 한 점에서 특정 원까지 그린 두 접선의 세그먼트가 동일하다는 속성을 사용합니다. 남 9.1.4. 기사의 첫 번째 부분에서 시작된 메넬라오스의 정리 증명을 완성하세요. 남 9.1.5. Ceva의 역정리를 사용하여 삼각형의 고도가 한 지점에서 교차함을 증명하십시오. 남 9.1.6. 심슨의 정리를 증명하십시오: 삼각형 ABC 주위에 외접하는 원 위에 취한 임의의 점 M으로부터 수직선이 삼각형의 변 또는 변의 연장선에 놓이고 이 수직선의 밑변이 동일한 직선 위에 있음을 증명하십시오. 힌트: 메넬라오스의 정리의 역을 이용하세요. 관계에 사용된 선분의 길이를 점 M에서 그린 수직선의 길이로 표현해 보세요. 내접 사변형의 각도 속성을 기억하는 것도 유용합니다.