տուն » Ֆիզիկա

Բարդ լոգարիթմական անհավասարություններ. Լոգարիթմական անհավասարություններ - Գիտելիքի հիպերմարկետ Լոգարիթմական անհավասարությունների առցանց հաշվիչ

Նրանց հետ գտնվում են լոգարիթմների ներսում:

Օրինակներ.

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Ինչպես լուծել լոգարիթմական անհավասարությունները.

Ցանկացած լոգարիթմական անհավասարություն պետք է կրճատվի մինչև \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (նշանանիշը \(˅\) նշանակում է որևէ մեկը): Այս ձևը թույլ է տալիս ազատվել լոգարիթմներից և դրանց հիմքերից՝ անցնելով լոգարիթմների տակ գտնվող արտահայտությունների անհավասարությանը, այսինքն՝ \(f(x) ˅ g(x)\ ձևին):

Բայց այս անցումը կատարելիս կա մի շատ կարևոր նրբություն.
\(-\) եթե - մի թիվ և այն մեծ է 1-ից, անհավասարության նշանը մնում է նույնը անցման ժամանակ,
\(-\) եթե հիմքը 0-ից մեծ, բայց 1-ից փոքր թիվ է (զրոյի և մեկի միջև), ապա անհավասարության նշանը պետք է հակադարձվի, այսինքն.

Օրինակներ.

\(\log_2⁡((8-x))<1\)
ՕՁ՝ \(8-x>0\)
\(-x>-8\)
\ (x<8\)

Լուծում:
\(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\)
\(8-x\)\(<\) \(2\)
\(8-2\(x>6\)
Պատասխան՝ \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ 1))\)
ODZ՝ \(\սկիզբ(դեպքեր)2x-4>0\\x+1 > 0\վերջ (դեպքեր)\)
\(\սկիզբ(դեպքեր)2x>4\\x > -1\վերջ (դեպքեր)\) \(\Ձախ աջ սլաքը\) \(\սկիզբ(դեպքեր)x>2\\x > -1\վերջ (դեպքեր) \) \(\Ձախ աջ սլաք\) \(x\in(2;\infty)\)

Լուծում:
\(2x-4\)\(≤\)\(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
Պատասխան՝ \((2;5]\)

Շատ կարեւոր!Ցանկացած անհավասարության դեպքում անցումը \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) ձևից դեպի լոգարիթմներով արտահայտությունների համեմատումը կարող է կատարվել միայն այն դեպքում, եթե.


Օրինակ . Լուծե՛ք անհավասարությունը՝ \(\log\)\(≤-1\)

Լուծում:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)

Եկեք դուրս գրենք ODZ-ը:

ODZ՝ \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)

\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)

Փակագծերը բացում ենք, տալիս .

\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)

Մենք անհավասարությունը բազմապատկում ենք \(-1\-ով)՝ հիշելով հակադարձել համեմատության նշանը:

\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)

\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)

Կառուցենք թվային տող և դրա վրա նշենք \(\frac(7)(3)\) և \(\frac(3)(2)\) կետերը։ Նկատի ունեցեք, որ հայտարարից կետը ծակված է, չնայած այն հանգամանքին, որ անհավասարությունը խիստ չէ: Փաստն այն է, որ այս կետը լուծում չի լինի, քանի որ անհավասարության մեջ փոխարինելը մեզ կտանի զրոյի բաժանման։


\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Այժմ մենք գծում ենք ODZ-ը նույն թվային առանցքի վրա և ի պատասխան գրում ենք այն միջակայքը, որը ընկնում է ODZ-ի մեջ:


Գրի՛ր վերջնական պատասխանը։

Պատասխան. \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Օրինակ . Լուծե՛ք անհավասարությունը՝ \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Լուծում:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Եկեք դուրս գրենք ODZ-ը:

ՕՁ՝ \(x>0\)

Գանք որոշմանը.

Լուծում. \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Մեր առջև տիպիկ քառակուսի-լոգարիթմական անհավասարություն է: Մենք անում ենք.

\(t=\log_3⁡x\)
\(t^2-t-2>0\)

Անհավասարության ձախ կողմն ընդարձակի՛ր .

\(D=1+8=9\)
\(t_1= \frac(1+3)(2)=2\)
\(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)

Այժմ դուք պետք է վերադառնաք սկզբնական փոփոխականին` x: Դա անելու համար մենք անցնում ենք , որն ունի նույն լուծումը և կատարում ենք հակառակ փոխարինումը։

\(\ձախ[ \սկիզբ (հավաքված) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)

Փոխակերպել \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\):

\(\ձախ[ \սկիզբ (հավաքված) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

Անցնենք փաստարկների համեմատությանը։ Լոգարիթմների հիմքերը մեծ են \(1\-ից), ուստի անհավասարությունների նշանը չի փոխվում։

\(\ձախ[ \սկիզբ (հավաքված) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

Միավորենք անհավասարության և ODZ-ի լուծումը մեկ պատկերում։


Գրի առնենք պատասխանը.

Պատասխան. \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

Լուծելով լոգարիթմական անհավասարություններ՝ օգտագործում ենք լոգարիթմական ֆունկցիայի միապաղաղության հատկությունը։ Մենք նաև օգտագործում ենք լոգարիթմի սահմանումը և հիմնական լոգարիթմական բանաձևերը:

Եկեք ամփոփենք, թե որոնք են լոգարիթմները.

ԼոգարիթմՀիմքում դրական թիվն այն հզորության ցուցանիշն է, որը դուք պետք է բարձրացնեք ստանալու համար:

Որտեղ

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը.

Լոգարիթմների հիմնական բանաձևերը.

(Արտադրյալի լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմների գումարին)

(Քաղորդի լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմների տարբերությանը)

(աստիճանի լոգարիթմի բանաձև)

Նոր բազա տեղափոխվելու բանաձևը հետևյալն է.

Լոգարիթմական անհավասարությունների լուծման ալգորիթմ

Կարելի է ասել, որ լոգարիթմական անհավասարությունները լուծվում են որոշակի ալգորիթմի համաձայն։ Մենք պետք է գրենք անհավասարության ընդունելի արժեքների միջակայքը (ODV): Անհավասարությունը բերեք ձևի Նշանն այստեղ կարող է լինել ցանկացած. Կարևոր է, որ անհավասարության մեջ ձախ և աջ լոգարիթմներ լինեն նույն հիմքում:

Եվ դրանից հետո մենք «հրաժարվում» ենք լոգարիթմներից: Ավելին, եթե աստիճանի հիմքը , անհավասարության նշանը մնում է նույնը։ Եթե ​​հիմքն այնպիսին է, որ անհավասարության նշանը հակադարձված է:

Իհարկե, մենք միայն լոգարիթմները չենք «նոկաուտի ենթարկում»: Մենք օգտագործում ենք լոգարիթմական ֆունկցիայի միապաղաղության հատկությունը։ Եթե ​​լոգարիթմի հիմքը մեկից մեծ է, ապա լոգարիթմական ֆունկցիան միապաղաղ մեծանում է, և ապա x-ի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է արտահայտության ավելի մեծ արժեքին։

Եթե ​​հիմքը զրոյից մեծ է և մեկից փոքր, ապա լոգարիթմական ֆունկցիան միապաղաղ նվազում է։ x փաստարկի ավելի մեծ արժեքը կհամապատասխանի ավելի փոքր արժեքի

Կարևոր նշում. լավագույնն է լուծումը գրել որպես համարժեք անցումների շղթա:

Անցնենք պրակտիկային։ Ինչպես միշտ, մենք սկսում ենք ամենապարզ անհավասարություններից:

1. Դիտարկենք անհավասարության մատյան 3 x > log 3 5:
Քանի որ լոգարիթմները սահմանվում են միայն դրական թվերի համար, x-ը պետք է լինի դրական: x > 0 պայմանը կոչվում է տվյալ անհավասարության ընդունելի արժեքների միջակայք (ODV): Միայն այդպիսի x-ի համար անհավասարությունն իմաստ ունի։

Դե, այս ձևակերպումը հնչում է հայտնի և հեշտ է հիշել: Բայց ինչու՞ մենք դեռ կարող ենք դա անել:

Մենք մարդ ենք, մենք խելացի ենք։ Մեր միտքը դասավորված է այնպես, որ այն ամենը, ինչ տրամաբանական է, հասկանալի է, ներքին կառուցվածք ունեցողը հիշվում և կիրառվում է շատ ավելի լավ, քան պատահական ու անկապ փաստերը։ Այդ իսկ պատճառով կարևոր է ոչ թե մեխանիկորեն անգիր անել կանոնները, ինչպես վարժեցված մաթեմատիկոս շունը, այլ գործել գիտակցաբար։

Ուրեմն ինչու՞ ենք մենք դեռ «չեղարկում լոգարիթմները»:

Պատասխանը պարզ է. եթե հիմքը մեկից մեծ է (ինչպես մեր դեպքում), ապա լոգարիթմական ֆունկցիան միապաղաղ աճում է, ինչը նշանակում է, որ x-ի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է y-ի ավելի մեծ արժեքին, իսկ անհավասարության գրանցամատյանը՝ 3 x 1: > log 3 x 2 հետևում է, որ x 1 > x 2:


Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ մենք անցել ենք հանրահաշվական անհավասարության, և անհավասարության նշանը միաժամանակ պահպանվում է։

Այսպիսով, x > 5:

Հետևյալ լոգարիթմական անհավասարությունը նույնպես պարզ է.

2. log 5 (15 + 3x) > log 5 2x

Սկսենք ընդունելի արժեքների միջակայքից: Լոգարիթմները սահմանվում են միայն դրական թվերի համար, ուստի

Լուծելով այս համակարգը՝ ստանում ենք x > 0:

Հիմա լոգարիթմական անհավասարությունից անցնենք հանրահաշվականին. լոգարիթմները «դուրս ենք գցում»։ Քանի որ լոգարիթմի հիմքը մեկից մեծ է, անհավասարության նշանը պահպանվում է։

15 + 3x > 2x.

Ստանում ենք՝ x > −15:

Պատասխան՝ x > 0:

Բայց ի՞նչ կլինի, եթե լոգարիթմի հիմքը մեկից փոքր է: Հեշտ է կռահել, որ այս դեպքում հանրահաշվական անհավասարության անցնելիս անհավասարության նշանը կփոխվի։

Օրինակ բերենք.

Եկեք գրենք ՕՁ. Արտահայտությունները, որոնցից վերցված են լոգարիթմները, պետք է լինեն դրական, այսինքն.

Լուծելով այս համակարգը՝ ստանում ենք՝ x > 4.5.

Քանի որ , բազային լոգարիթմական ֆունկցիան միապաղաղ նվազում է։ Եվ սա նշանակում է, որ ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է արգումենտի ավելի փոքր արժեքին.


Եվ եթե, ապա
2x − 9 ≤ x.

Մենք ստանում ենք, որ x ≤ 9:

Հաշվի առնելով, որ x > 4.5, պատասխանը գրում ենք.

Հետևյալ խնդրի դեպքում էքսպոնենցիալ անհավասարությունը կրճատվում է մինչև քառակուսի: Այսպիսով, խորհուրդ ենք տալիս կրկնել «քառակուսի անհավասարություններ» թեման:

Այժմ ավելի բարդ անհավասարություններ.

4. Լուծի՛ր անհավասարությունը

5. Լուծի՛ր անհավասարությունը

Եթե, ապա . Մեր բախտը բերեց! Մենք գիտենք, որ լոգարիթմի հիմքը մեկից մեծ է DPV-ի բոլոր x արժեքների համար:

Եկեք փոխարինում անենք

Նկատի ունեցեք, որ մենք նախ ամբողջությամբ լուծում ենք անհավասարությունը նոր t փոփոխականի նկատմամբ։ Եվ միայն դրանից հետո վերադառնում ենք x փոփոխականին։ Հիշեք սա և մի սխալվեք քննության ժամանակ:

Հիշենք կանոնը՝ եթե հավասարման կամ անհավասարության մեջ կան արմատներ, կոտորակներ կամ լոգարիթմներ, ապա լուծումը պետք է սկսվի ընդունելի արժեքների միջակայքից։ Քանի որ լոգարիթմի հիմքը պետք է լինի դրական և ոչ հավասար մեկին, մենք ստանում ենք պայմանների համակարգ.

Եկեք պարզեցնենք այս համակարգը.

Սա անհավասարության համար ընդունելի արժեքների միջակայքն է:

Մենք տեսնում ենք, որ փոփոխականը պարունակվում է լոգարիթմի հիմքում։ Անցնենք մշտական ​​բազային։ Հիշեք դա

Այս դեպքում հարմար է գնալ 4-րդ բազա:


Եկեք փոխարինում անենք

Պարզեցրեք անհավասարությունը և լուծեք այն միջակայքի մեթոդով.

Վերադարձ դեպի փոփոխական x:


Մենք պայման ենք ավելացրել x> 0 (ODZ-ից):

7. Ինտերվալ մեթոդով լուծվում է նաեւ հետեւյալ խնդիրը

Ինչպես միշտ, լոգարիթմական անհավասարության լուծումը սկսում ենք ընդունելի արժեքների միջակայքից։ Այս դեպքում

Այս պայմանը պետք է անպայման կատարվի, և մենք կանդրադառնանք դրան։ Եկեք նայենք հենց անհավասարությանը: Եկեք գրենք ձախ կողմը որպես հիմք 3 լոգարիթմ.

Աջ կողմը կարելի է գրել նաև որպես լոգարիթմ 3-ի հիմքում, այնուհետև անցնել հանրահաշվական անհավասարությանը.

Մենք տեսնում ենք, որ պայմանը (այսինքն՝ ODZ-ն) այժմ ինքնաբերաբար կատարվում է։ Դե, սա պարզեցնում է անհավասարության լուծումը։

Անհավասարությունը լուծում ենք միջակայքային մեթոդով.

Պատասխան.

Տեղի է ունեցել? Դե, եկեք բարձրացնենք դժվարության մակարդակը.

8. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Անհավասարությունը համարժեք է համակարգին.

9. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

Արտահայտություն 5 - x 2-ը մոլուցքով կրկնվում է խնդրի վիճակում. Եվ սա նշանակում է, որ դուք կարող եք փոխարինել.

Քանի որ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան ընդունում է միայն դրական արժեքներ, տ> 0. Հետո

Անհավասարությունը կունենա հետևյալ ձևը.

Արդեն ավելի լավ։ Եկեք գտնենք անհավասարության թույլատրելի արժեքների միջակայքը: Մենք դա արդեն ասել ենք տ> 0. Բացի այդ, ( տ− 3) (5 9 տ − 1) > 0

Եթե ​​այս պայմանը բավարարվի, ապա գործակիցը նույնպես դրական կլինի։

Իսկ անհավասարության աջ կողմի լոգարիթմի տակ արտահայտությունը պետք է լինի դրական, այսինքն՝ (625 թ. տ − 2) 2 .

Սա նշանակում է, որ 625 թ տ− 2 ≠ 0, այսինքն.

Զգուշորեն գրեք ODZ-ը

և լուծել ստացված համակարգը՝ օգտագործելով ինտերվալ մեթոդը:

Այսպիսով,

Դե, գործի կեսն ավարտված է, մենք պարզեցինք ODZ-ը: Եկեք լուծենք անհավասարությունը. Ձախ կողմի լոգարիթմների գումարը ներկայացված է որպես արտադրյալի լոգարիթմ:

անհավասարության լուծումռեժիմում առցանց լուծումգրեթե ցանկացած տրված անհավասարություն առցանց. Մաթեմատիկական անհավասարություններ առցանցլուծել մաթ. Գտեք արագ անհավասարության լուծումռեժիմում առցանց. www.site կայքը թույլ է տալիս գտնել լուծումգրեթե ցանկացած տրված հանրահաշվական, եռանկյունաչափականկամ տրանսցենդենտ անհավասարություն առցանց. Տարբեր փուլերում մաթեմատիկայի գրեթե ցանկացած բաժին ուսումնասիրելիս պետք է որոշել անհավասարություններ առցանց. Անմիջապես պատասխան ստանալու և ամենակարևորը ճշգրիտ պատասխան ստանալու համար ձեզ անհրաժեշտ է ռեսուրս, որը թույլ է տալիս դա անել: Շնորհակալություն www.site լուծել անհավասարությունը առցանցկպահանջվի մի քանի րոպե: www.site-ի հիմնական առավելությունը մաթեմատիկական լուծելիս անհավասարություններ առցանց- տրված պատասխանի արագությունն ու ճշգրտությունն է: Կայքն ի վիճակի է լուծել ցանկացած Հանրահաշվական անհավասարություններ առցանց, եռանկյունաչափական անհավասարություններ առցանց, տրանսցենդենտալ անհավասարություններ առցանց, և անհավասարություններռեժիմում անհայտ պարամետրերով առցանց. անհավասարություններծառայել որպես հզոր մաթեմատիկական ապարատ լուծումներգործնական առաջադրանքներ. Օգնությամբ մաթեմատիկական անհավասարություններկարելի է արտահայտել փաստեր և հարաբերություններ, որոնք առաջին հայացքից կարող են շփոթեցնող և բարդ թվալ։ անհայտ քանակություններ անհավասարություններկարելի է գտնել խնդիրը ձևակերպելով մաթեմատիկականլեզուն ձևով անհավասարություններԵվ որոշելստացված առաջադրանքը ռեժիմում առցանց www.site կայքում։ Ցանկացած հանրահաշվական անհավասարություն, եռանկյունաչափական անհավասարությունկամ անհավասարություններՊարունակող տրանսցենդենտալհնարավորություն է տալիս հեշտությամբ որոշելառցանց և ստացեք ճիշտ պատասխանը: Ուսումնասիրելով բնական գիտությունները՝ մարդ անխուսափելիորեն բախվում է անհրաժեշտության հետ անհավասարությունների լուծում. Այս դեպքում պատասխանը պետք է լինի ճշգրիտ և այն պետք է անմիջապես ստացվի ռեժիմում առցանց. Հետևաբար, համար լուծել մաթեմատիկական անհավասարությունները առցանցմենք առաջարկում ենք www.site կայքը, որը կդառնա ձեր անփոխարինելի հաշվիչը լուծել հանրահաշվական անհավասարությունները առցանց, եռանկյունաչափական անհավասարություններ առցանց, և տրանսցենդենտալ անհավասարություններ առցանցկամ անհավասարություններանհայտ պարամետրերով: Տարբեր ներգոլային լուծումներ գտնելու գործնական խնդիրների համար մաթեմատիկական անհավասարություններռեսուրս www.. Լուծում անհավասարություններ առցանցինքներդ, օգտակար է ստուգել ստացված պատասխանը՝ օգտագործելով անհավասարությունների առցանց լուծում www.site կայքում։ Անհրաժեշտ է ճիշտ գրել անհավասարությունը և ակնթարթորեն ստանալ առցանց լուծում, որից հետո մնում է միայն պատասխանը համեմատել անհավասարության ձեր լուծման հետ։ Պատասխանը ստուգելը կտևի ոչ ավելի, քան մեկ րոպե, բավական է լուծել անհավասարությունը առցանցև համեմատեք պատասխանները: Սա կօգնի ձեզ խուսափել սխալներից որոշումըև ժամանակին ուղղեք պատասխանը առցանց անհավասարությունների լուծումկամ հանրահաշվական, եռանկյունաչափական, տրանսցենդենտալկամ անհավասարությունանհայտ պարամետրերով:

Լոգարիթմական ֆունկցիան ուսումնասիրելիս հիմնականում դիտարկել ենք ձևի անհավասարությունները
մուտքագրել x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.

Լուծե՛ք lg (x + 1) ≤ 2 (1) անհավասարությունը։

Լուծում.

1) Քննարկվող անհավասարության աջ կողմը իմաստ ունի x-ի բոլոր արժեքների համար, իսկ ձախ կողմը՝ x + 1 > 0-ի համար, այսինքն. x> -1-ի համար:

2) x\u003e -1 միջակայքը կոչվում է անհավասարության սահմանման տիրույթ (1): 10 հիմքով լոգարիթմական ֆունկցիան աճում է, հետևաբար, x + 1 > 0 պայմանով անհավասարությունը (1) բավարարվում է, եթե x + 1 ≤ 100 (քանի որ 2 = lg 100): Այսպիսով, անհավասարությունը (1) և անհավասարությունների համակարգը

(x > -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,

համարժեք են, այլ կերպ ասած՝ (1) անհավասարության լուծումների բազմությունը և (2) անհավասարությունների համակարգը նույնն են։

3) Լուծելով համակարգը (2), գտնում ենք -1< х ≤ 99.

Պատասխանել. -1< х ≤ 99.

Լուծե՛ք անհավասարության մատյան 2 (x - 3) + log 2 (x - 2) ≤ 1 (3):

Լուծում.

1) Դիտարկվող լոգարիթմական ֆունկցիայի տիրույթը փաստարկի դրական արժեքների բազմությունն է, հետևաբար անհավասարության ձախ կողմը իմաստ ունի x - 3 > 0 և x - 2 > 0 համար:

Հետևաբար, այս անհավասարության տիրույթը x > 3 միջակայքն է:

2) Ըստ լոգարիթմի հատկությունների անհավասարությունը (3) х > 3-ի համար համարժեք է անհավասարության log 2 (х – 3)(х – 2) ≤ log 2 (4):

3) 2-րդ հիմքի լոգարիթմական ֆունկցիան մեծանում է: Հետևաբար, х > 3-ի համար (4) անհավասարությունը բավարարվում է, եթե (х – 3)(х – 2) ≤ 2։

4) Այսպիսով, սկզբնական անհավասարությունը (3) համարժեք է անհավասարությունների համակարգին

((x - 3)(x - 2) ≤ 2,
(x > 3.

Լուծելով այս համակարգի առաջին անհավասարությունը՝ ստանում ենք x 2 - 5x + 4 ≤ 0, որտեղից 1 ≤ x ≤ 4: Այս հատվածը x > 3 միջակայքի հետ համադրելով՝ ստանում ենք 3:< х ≤ 4.

Պատասխանել. 3< х ≤ 4.

Լուծե՛ք անհավասարության մատյան 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ -4: (5)

Լուծում.

1) Անհավասարության սահմանման տիրույթը գտնում ենք x 2 + 2x - 8 > 0 պայմանից։

2) Անհավասարությունը (5) կարելի է գրել այսպես.

log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ log 1/2 16.

3) Քանի որ ½ հիմքով լոգարիթմական ֆունկցիան նվազում է, ապա անհավասարության ողջ տիրույթից x բոլորի համար մենք ստանում ենք.

x 2 + 2x - 8 ≤ 16.

Այսպիսով, սկզբնական հավասարությունը (5) համարժեք է անհավասարությունների համակարգին

(x 2 + 2x - 8 > 0, կամ (x 2 + 2x - 8 > 0,
(x 2 + 2x - 8 ≤ 16, (x 2 + 2x - 24 ≤ 0.

Լուծելով առաջին քառակուսային անհավասարությունը՝ ստանում ենք x< -4, х >2. Լուծելով երկրորդ քառակուսային անհավասարությունը՝ ստանում ենք -6 ≤ x ≤ 4: Հետևաբար, համակարգի երկու անհավասարություններն էլ կատարվում են միաժամանակ -6 ≤ x-ում։< -4 и при 2 < х ≤ 4.

Պատասխանել. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Անհավասարությունների լուծում առցանց

Անհավասարությունները լուծելուց առաջ պետք է լավ հասկանալ, թե ինչպես են լուծվում հավասարումները։

Կարևոր չէ՝ անհավասարությունը խիստ () է, թե ոչ խիստ (≤, ≥), առաջին քայլը հավասարումը լուծելն է՝ անհավասարության նշանը փոխարինելով հավասարությամբ (=):

Բացատրեք, թե ինչ է նշանակում լուծել անհավասարությունը:

Հավասարումները ուսումնասիրելուց հետո ուսանողը գլխում ունի հետևյալ պատկերը. անհրաժեշտ է գտնել փոփոխականի այնպիսի արժեքներ, որոնց համար հավասարման երկու մասերը վերցնում են նույն արժեքները: Այլ կերպ ասած, գտեք բոլոր կետերը, որտեղ պահպանվում է հավասարությունը: Ամեն ինչ ճիշտ է!

Անհավասարությունների մասին խոսելիս նկատի ունեն գտնել այն միջակայքերը (հատվածները), որոնց վրա պահպանվում է անհավասարությունը։ Եթե ​​անհավասարության մեջ կա երկու փոփոխական, ապա լուծումն այլևս կլինի ոչ թե միջակայքերը, այլ հարթության վրա գտնվող որոշ տարածքներ: Գուշակիր, թե որն է լինելու երեք փոփոխականների անհավասարության լուծումը:

Ինչպե՞ս լուծել անհավասարությունները:

Անհավասարությունների լուծման համընդհանուր միջոց է համարվում ինտերվալների մեթոդը (նաև միջակայքերի մեթոդը), որը բաղկացած է բոլոր այն միջակայքերի որոշումից, որոնց ընթացքում կկատարվի տվյալ անհավասարությունը։

Չխորանալով անհավասարության տեսակի մեջ, այս դեպքում դա չէ էությունը, պահանջվում է լուծել համապատասխան հավասարումը և որոշել դրա արմատները, որին հաջորդում է թվային առանցքի վրա նշված լուծումների նշանակումը:

Ո՞րն է անհավասարության լուծումը գրելու ճիշտ ձևը:

Երբ որոշել եք անհավասարությունը լուծելու միջակայքերը, պետք է ճիշտ դուրս գրել լուծումը: Մի կարևոր նրբերանգ կա՝ ընդմիջումների սահմանները ներառվա՞ծ են լուծման մեջ։

Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. Եթե ​​հավասարման լուծումը բավարարում է ODZ-ին, իսկ անհավասարությունը խիստ չէ, ապա անհավասարության լուծման մեջ ներառվում է միջակայքի սահմանը։ Հակառակ դեպքում՝ ոչ։

Հաշվի առնելով յուրաքանչյուր ինտերվալ՝ անհավասարության լուծումը կարող է լինել բուն ինտերվալը կամ կիսատ միջակայքը (երբ նրա սահմաններից մեկը բավարարում է անհավասարությունը), կամ հատված՝ միջակայքը իր սահմանների հետ միասին։

Կարևոր կետ

Մի կարծեք, որ անհավասարության լուծում կարող են լինել միայն ինտերվալները, կիսատ միջակայքերը և հատվածները: Ոչ, լուծման մեջ կարող են ներառվել նաև անհատական ​​միավորներ։

Օրինակ, |x|≤0 անհավասարությունն ունի միայն մեկ լուծում՝ կետ 0:

Իսկ անհավասարությունը |x|

Ինչի համար է անհավասարության հաշվիչը:

Անհավասարության հաշվիչը տալիս է ճիշտ վերջնական պատասխանը: Այս դեպքում, շատ դեպքերում, տրվում է թվային առանցքի կամ հարթության նկարազարդում: Դուք կարող եք տեսնել, թե արդյոք ինտերվալների սահմանները ներառված են լուծման մեջ, թե ոչ. կետերը ցուցադրվում են լցված կամ ծակված:

Անհավասարության առցանց հաշվիչի շնորհիվ դուք կարող եք ստուգել՝ արդյոք ճիշտ եք գտել հավասարման արմատները, նշել դրանք թվային տողի վրա և ստուգե՞լ եք անհավասարության պայմանները միջակայքերի (և սահմանների) վրա:

Եթե ​​ձեր պատասխանը տարբերվում է հաշվիչի պատասխանից, ապա դուք անպայման պետք է կրկնակի ստուգեք ձեր լուծումը և բացահայտեք թույլ տրված սխալը։