Հարթության վրա ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը: Անկյուն գծերի միջև տարածության մեջ Գտեք գծերի միջև սուր անկյուն առցանց հաշվիչ

Այս նյութը նվիրված է այնպիսի հասկացությանը, ինչպիսին է երկու հատվող գծերի անկյունը: Առաջին պարբերությունում մենք կբացատրենք, թե ինչ է դա և ցույց կտանք նկարազարդումներով: Այնուհետև մենք կդիտարկենք այն ուղիները, որոնցով դուք կարող եք գտնել այս անկյան սինուսը, կոսինուսը և հենց անկյունը (մենք առանձին կքննարկենք հարթություն և եռաչափ տարածություն ունեցող դեպքեր), մենք կտանք անհրաժեշտ բանաձևերը և ճշգրիտ ցույց կտանք օրինակներով. ինչպես են դրանք կիրառվում գործնականում:

Որպեսզի հասկանանք, թե որն է երկու ուղիղների հատման ժամանակ ձևավորված անկյունը, մենք պետք է հիշենք անկյան, ուղղահայացության և հատման կետի սահմանումը:

Սահմանում 1

Երկու ուղիղները մենք անվանում ենք հատվող, եթե նրանք ունեն մեկ ընդհանուր կետ: Այս կետը կոչվում է երկու ուղիղների հատման կետ:

Յուրաքանչյուր ուղիղ գիծ հատման կետով բաժանվում է ճառագայթների: Երկու ուղիղ գծերն էլ կազմում են 4 անկյուն, որոնցից երկուսը ուղղահայաց են, իսկ երկուսը կից են։ Եթե գիտենք դրանցից մեկի չափը, ապա կարող ենք որոշել մնացածները։

Ասենք գիտենք, որ անկյուններից մեկը հավասար է α-ի: Այս դեպքում նրա նկատմամբ ուղղահայաց անկյունը նույնպես հավասար կլինի α-ի։ Մնացած անկյունները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք տարբերությունը 180 ° - α: Եթե α-ն հավասար է 90 աստիճանի, ապա բոլոր անկյունները կլինեն ուղիղ: Ուղիղ անկյան տակ հատվող ուղիղները կոչվում են ուղղահայաց (առանձին հոդված նվիրված է ուղղահայացության հասկացությանը):

Նայեք նկարին.

Անցնենք հիմնական սահմանման ձևակերպմանը.

Սահմանում 2

Երկու հատվող գծերով կազմված անկյունը այս երկու ուղիղները կազմող 4 անկյուններից փոքրի չափն է։

Սահմանումից պետք է կարևոր եզրակացություն անել. անկյան չափն այս դեպքում արտահայտվելու է ցանկացած իրական թվով (0, 90] միջակայքում։ Եթե ուղիղները ուղղահայաց են, ապա նրանց միջև եղած անկյունը ամեն դեպքում կլինի։ հավասար է 90 աստիճանի:

Երկու հատվող ուղիղների միջև անկյան չափը գտնելու ունակությունը օգտակար է բազմաթիվ գործնական խնդիրների լուծման համար։ Լուծման մեթոդը կարելի է ընտրել մի քանի տարբերակներից.

Սկսելու համար մենք կարող ենք վերցնել երկրաչափական մեթոդներ: Եթե մենք ինչ-որ բան գիտենք լրացուցիչ անկյունների մասին, ապա մենք կարող ենք դրանք կապել մեզ անհրաժեշտ անկյան հետ՝ օգտագործելով հավասար կամ նման թվերի հատկությունները: Օրինակ, եթե մենք գիտենք եռանկյան կողմերը և պետք է հաշվարկենք այն ուղիղների միջև եղած անկյունը, որոնց վրա գտնվում են այս կողմերը, ապա կոսինուսի թեորեմը հարմար է այն լուծելու համար։ Եթե մեր վիճակում ունենք ուղղանկյուն եռանկյուն, ապա հաշվարկների համար մեզ անհրաժեշտ կլինի իմանալ նաև անկյան սինուսը, կոսինուսը և շոշափողը։

Կոորդինատային մեթոդը նույնպես շատ հարմար է այս տեսակի խնդիրների լուծման համար։ Եկեք բացատրենք, թե ինչպես օգտագործել այն ճիշտ:

Ունենք ուղղանկյուն (դեկարտյան) կոորդինատային համակարգ O x y, որում տրված են երկու ուղիղ: Նշենք դրանք a և b տառերով։ Ուղիղ գծերը կարելի է նկարագրել՝ օգտագործելով որոշ հավասարումներ։ Բնօրինակ գծերն ունեն M հատման կետ: Ինչպե՞ս որոշել այս ուղիղ գծերի միջև անհրաժեշտ անկյունը (նշենք այն α):

Սկսենք տրված պայմաններում անկյուն գտնելու հիմնական սկզբունքը ձևակերպելուց։

Մենք գիտենք, որ ուղիղ գիծ հասկացությունը սերտորեն կապված է այնպիսի հասկացությունների հետ, ինչպիսիք են ուղղության վեկտորը և նորմալ վեկտորը: Եթե ունենք որոշակի ուղիղի հավասարում, ապա կարող ենք դրանից վերցնել այդ վեկտորների կոորդինատները։ Մենք կարող ենք դա անել միանգամից երկու հատվող գծերի համար:

Անկյունը, որը ենթարկվում է երկու հատվող գծերի, կարելի է գտնել՝ օգտագործելով.

ուղղության վեկտորների միջև անկյուն;
նորմալ վեկտորների միջև անկյուն;
մի գծի նորմալ վեկտորի և մյուսի ուղղության վեկտորի միջև ընկած անկյունը:

Այժմ եկեք նայենք յուրաքանչյուր մեթոդին առանձին:

1. Ենթադրենք, որ մենք ունենք a ուղիղ վեկտոր a → = (a x, a y) և b ուղիղ վեկտոր b → (b x, b y): Այժմ գծենք երկու վեկտոր a → և b → հատման կետից: Դրանից հետո մենք կտեսնենք, որ նրանք յուրաքանչյուրը կգտնվի իր ուղիղ գծի վրա: Այնուհետև մենք ունենք չորս տարբերակ դրանց հարաբերական դասավորության համար. Տես նկարազարդումը.

Եթե երկու վեկտորների միջև անկյունը բութ չէ, ապա դա կլինի մեզ անհրաժեշտ անկյունը a և b հատվող ուղիղների միջև։ Եթե այն բութ է, ապա ցանկալի անկյունը հավասար կլինի a →, b → ^ անկյան հարակից անկյունին։ Այսպիսով, α = a → , b → ^ եթե a → , b → ^ ≤ 90 ° , եւ α = 180 ° - a → , b → ^ եթե a → , b → ^ > 90 ° .

Ելնելով այն հանգամանքից, որ հավասար անկյունների կոսինուսները հավասար են, ստացված հավասարությունները կարող ենք վերաշարադրել հետևյալ կերպ՝ cos α = cos a →, b → ^, եթե a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, եթե a →, b → ^ > 90 °:

Երկրորդ դեպքում օգտագործվել են կրճատման բանաձեւեր. Այսպիսով,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Բառերով գրենք վերջին բանաձևը.

Սահմանում 3

Երկու հատվող ուղիղ գծերով ձևավորված անկյան կոսինուսը հավասար կլինի ուղղության վեկտորների միջև ընկած անկյան կոսինուսի մոդուլին։

Երկու վեկտորների միջև a → = (a x, a y) և b → = (b x, b y) անկյան կոսինուսի բանաձևի ընդհանուր ձևը հետևյալն է.

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Դրանից մենք կարող ենք ստանալ երկու տրված ուղիղ գծերի միջև անկյան կոսինուսի բանաձևը.

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Այնուհետև անկյունն ինքնին կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևով.

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Այստեղ a → = (a x , a y) և b → = (b x, b y) տրված տողերի ուղղության վեկտորներն են։

Բերենք խնդրի լուծման օրինակ.

Օրինակ 1

Հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տրված են երկու հատվող a և b ուղիղներ: Դրանք կարելի է նկարագրել x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R և x 5 = y - 6 - 3 պարամետրային հավասարումներով։ Հաշվիր այս տողերի միջև եղած անկյունը:

Լուծում

Մենք ունենք պարամետրային հավասարում մեր վիճակում, ինչը նշանակում է, որ այս տողի համար մենք կարող ենք անմիջապես գրել նրա ուղղության վեկտորի կոորդինատները։ Դա անելու համար մենք պետք է վերցնենք գործակիցների արժեքները պարամետրի համար, այսինքն. ուղիղ x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R-ը կունենա ուղղության վեկտոր a → = (4, 1):

Երկրորդ տողը նկարագրված է x 5 = y - 6 - 3 կանոնական հավասարման միջոցով: Այստեղ մենք կարող ենք կոորդինատները վերցնել հայտարարներից։ Այսպիսով, այս ուղիղը ունի ուղղության վեկտոր b → = (5 , - 3) .

Հաջորդը, մենք ուղղակիորեն անցնում ենք անկյունը գտնելու համար: Դա անելու համար պարզապես երկու վեկտորների գոյություն ունեցող կոորդինատները փոխարինեք վերը նշված α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 բանաձեւով: Մենք ստանում ենք հետևյալը.

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

ՊատասխանելԱյս ուղիղ գծերը կազմում են 45 աստիճանի անկյուն:

Մենք կարող ենք լուծել նմանատիպ խնդիր՝ գտնելով նորմալ վեկտորների միջև անկյունը։ Եթե մենք ունենք a ուղիղ n a → = (n a x, n a y) և նորմալ վեկտորով b ուղիղ n b → = (n b x, n b y), ապա նրանց միջև անկյունը հավասար կլինի n a → և անկյան միջև: n b → կամ անկյունը, որը կից կլինի n a →, n b → ^-ին: Այս մեթոդը ներկայացված է նկարում.

Հատվող գծերի և հենց այս անկյան միջև անկյան կոսինուսը հաշվարկելու բանաձևերը՝ օգտագործելով նորմալ վեկտորների կոորդինատները, հետևյալն են.

cos α = cos n a →, n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n by + n by + n by 2

Այստեղ n a → և n b → նշանակում են երկու տրված ուղիղների նորմալ վեկտորները:

Օրինակ 2

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տրված են երկու ուղիղներ՝ օգտագործելով 3 x + 5 y - 30 = 0 և x + 4 y - 17 = 0 հավասարումները: Գտեք նրանց միջև անկյան սինուսը և կոսինուսը և հենց այս անկյան մեծությունը:

Լուծում

Բնօրինակ տողերը նշվում են A x + B y + C = 0 ձևի սովորական գծային հավասարումների միջոցով: Նորմալ վեկտորը նշում ենք n → = (A, B): Գտնենք մեկ տողի առաջին նորմալ վեկտորի կոորդինատները և գրենք՝ n a → = (3, 5) . Երկրորդ տողի համար x + 4 y - 17 = 0, նորմալ վեկտորը կունենա կոորդինատներ n b → = (1, 4): Հիմա եկեք ստացված արժեքները գումարենք բանաձևին և հաշվարկենք ընդհանուրը.

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Եթե մենք գիտենք անկյան կոսինուսը, ապա մենք կարող ենք հաշվարկել նրա սինուսը՝ օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական նույնականությունը: Քանի որ α անկյունը, որը ձևավորվում է ուղիղ գծերով, բութ չէ, ապա sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34:

Այս դեպքում α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34:

Պատասխան՝ cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Եկեք վերլուծենք վերջին դեպքը՝ գտնելով ուղիղ գծերի միջև անկյունը, եթե գիտենք մի ուղիղ գծի ուղղության վեկտորի կոորդինատները և մյուսի նորմալ վեկտորը։

Ենթադրենք, որ a ուղիղը ունի ուղղության վեկտոր a → = (a x , a y) , իսկ b ուղիղը ունի նորմալ վեկտոր n b → = (n b x , n b y) ։ Մենք պետք է այս վեկտորները մի կողմ դնենք հատման կետից և դիտարկենք բոլոր տարբերակները դրանց հարաբերական դիրքերի համար: Տես նկարում.

Եթե տրված վեկտորների միջև անկյունը 90 աստիճանից ոչ ավելի է, ապա ստացվում է, որ այն կլրացնի a-ի և b-ի միջև ուղիղ անկյունը։

a → , n b → ^ = 90 ° - α եթե a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Եթե այն 90 աստիճանից պակաս է, ապա մենք ստանում ենք հետևյալը.

a → , n b → ^ > 90 ° , ապա a → , n b → ^ = 90 ° + α

Օգտագործելով հավասար անկյունների կոսինուսների հավասարության կանոնը՝ գրում ենք.

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = մեղք α a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α համար a → , n b → ^ > 90 ° .

Այսպիսով,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Եկեք եզրակացություն ձևակերպենք.

Սահմանում 4

Հարթության վրա հատվող երկու ուղիղների միջև անկյան սինուսը գտնելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել առաջին գծի ուղղության վեկտորի և երկրորդի նորմալ վեկտորի միջև անկյան կոսինուսի մոդուլը:

Գրենք անհրաժեշտ բանաձեւերը. Գտնելով անկյան սինուսը.

sin α = cos a →, n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Ինքնին անկյուն գտնելը.

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Այստեղ a → առաջին տողի ուղղության վեկտորն է, իսկ n b → երկրորդի նորմալ վեկտորը։

Օրինակ 3

Երկու հատվող ուղիղներ տրված են x - 5 = y - 6 3 և x + 4 y - 17 = 0 հավասարումներով։ Գտեք հատման անկյունը:

Լուծում

Տրված հավասարումներից վերցնում ենք ուղեցույցի և նորմալ վեկտորի կոորդինատները։ Ստացվում է a → = (- 5, 3) և n → b = (1, 4): Մենք վերցնում ենք α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 բանաձևը և հաշվարկում.

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ մենք վերցրել ենք նախորդ խնդրի հավասարումները և ստացել ենք ճիշտ նույն արդյունքը, բայց այլ կերպ:

Պատասխան.α = a r c sin 7 2 34

Ներկայացնենք ցանկալի անկյունը գտնելու ևս մեկ եղանակ՝ օգտագործելով տրված ուղիղ գծերի անկյունային գործակիցները։

Մենք ունենք a ուղիղ, որը սահմանվում է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում՝ օգտագործելով y = k 1 x + b 1 հավասարումը, և տող b, որը սահմանվում է որպես y = k 2 x + b 2: Սրանք թեքություններով գծերի հավասարումներ են։ Խաչմերուկի անկյունը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, որտեղ k 1-ը և k 2-ը տրված գծերի թեքություններն են: Այս գրառումը ստանալու համար օգտագործվել են նորմալ վեկտորների կոորդինատների միջոցով անկյունը որոշելու բանաձևեր։

Օրինակ 4

Հարթության մեջ հատվում են երկու ուղիղ՝ տրված y = - 3 5 x + 6 և y = - 1 4 x + 17 4 հավասարումներով։ Հաշվի՛ր հատման անկյան արժեքը։

Լուծում

Մեր ուղիղների անկյունային գործակիցները հավասար են k 1 = - 3 5 և k 2 = - 1 4: Եկեք դրանք գումարենք α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 բանաձևին և հաշվարկենք.

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Պատասխան.α = a r c cos 23 2 34

Այս պարբերության եզրակացություններում հարկ է նշել, որ այստեղ տրված անկյունը գտնելու բանաձևերը պետք չէ անգիր սովորել: Դրա համար բավական է իմանալ տրված գծերի ուղեցույցների և/կամ նորմալ վեկտորների կոորդինատները և կարողանալ դրանք որոշել՝ օգտագործելով տարբեր տեսակի հավասարումներ։ Բայց ավելի լավ է հիշել կամ գրել անկյան կոսինուսի հաշվարկման բանաձևերը:

Ինչպես հաշվարկել անկյունը հատվող գծերի միջև տարածության մեջ

Նման անկյան հաշվարկը կարող է կրճատվել ուղղության վեկտորների կոորդինատների հաշվարկով և այդ վեկտորների կողմից ձևավորված անկյան մեծության որոշմամբ։ Նման օրինակների համար օգտագործվում է նույն պատճառաբանությունը, որը մենք տվել ենք նախկինում։

Ենթադրենք, որ մենք ունենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, որը գտնվում է եռաչափ տարածության մեջ։ Այն պարունակում է երկու ուղիղներ a և b՝ M հատման կետով: Ուղղության վեկտորների կոորդինատները հաշվարկելու համար մենք պետք է իմանանք այս ուղիղների հավասարումները։ Նշանակենք a → = (a x, a y, a z) և b → = (b x, b y, b z) ուղղության վեկտորները: Նրանց միջև անկյան կոսինուսը հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

cos α = cos a → , b → ^ = a →, b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Անկյունն ինքնին գտնելու համար մեզ անհրաժեշտ է հետևյալ բանաձևը.

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Օրինակ 5

Մենք ունենք մի գիծ, որը սահմանված է եռաչափ տարածության մեջ՝ օգտագործելով x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 հավասարումը: Հայտնի է, որ այն հատվում է O z առանցքի հետ։ Հաշվի՛ր այդ անկյան հատման անկյունը և կոսինուսը։

Լուծում

Այն անկյունը, որը պետք է հաշվարկվի, նշենք α տառով։ Գրենք ուղղության վեկտորի կոորդինատները առաջին ուղիղ գծի համար – a → = (1, - 3, - 2) . Կիրառական առանցքի համար մենք կարող ենք որպես ուղեցույց վերցնել կոորդինատային վեկտորը k → = (0, 0, 1): Մենք ստացել ենք անհրաժեշտ տվյալները և կարող ենք դրանք ավելացնել ցանկալի բանաձևին.

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Արդյունքում մենք գտանք, որ մեզ անհրաժեշտ անկյունը հավասար կլինի a r c cos 1 2 = 45 °:

Պատասխան. cos α = 1 2, α = 45 °:

Եթե տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Անկյուն φ ընդհանուր հավասարումներ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 և A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, հաշվարկված բանաձևով.

Անկյուն φ տրված երկու տողերի միջև կանոնական հավասարումներ(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 և (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2, հաշվարկված է բանաձևով.

Հեռավորությունը կետից տող

Տիեզերքում յուրաքանչյուր հարթություն կարող է ներկայացվել որպես գծային հավասարում, որը կոչվում է ընդհանուր հավասարումԻնքնաթիռ

Հատուկ դեպքեր.

o Եթե (8) հավասարման մեջ, ապա հարթությունն անցնում է սկզբնակետով:

o Երբ (,) հարթությունը համապատասխանաբար զուգահեռ է առանցքին (առանցք, առանցք):

o Երբ (,) հարթությունը զուգահեռ է հարթությանը (հարթություն, հարթություն):

Լուծում. օգտագործել (7)

Պատասխան՝ ընդհանուր հարթության հավասարում:

Օրինակ.

Օքսիզ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթությունը տրվում է հարթության ընդհանուր հավասարմամբ . Գրե՛ք այս հարթության բոլոր նորմալ վեկտորների կոորդինատները։

Մենք գիտենք, որ հարթության ընդհանուր հավասարման x, y և z փոփոխականների գործակիցները այս հարթության նորմալ վեկտորի համապատասխան կոորդինատներն են։ Հետևաբար, տվյալ հարթության նորմալ վեկտորը ունի կոորդինատներ. Բոլոր նորմալ վեկտորների բազմությունը կարող է սահմանվել հետևյալ կերպ.

Գրի՛ր հարթության հավասարումը, եթե ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում Oxyz-ը տարածության մեջ այն անցնում է կետով. , Ա այս հարթության նորմալ վեկտորն է:

Ներկայացնում ենք այս խնդրի երկու լուծում.

Մեր ունեցած վիճակից. Մենք այս տվյալները փոխարինում ենք կետով անցնող ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարման մեջ.

Գրե՛ք Oyz կոորդինատային հարթությանը զուգահեռ և կետով անցնող հարթության ընդհանուր հավասարումը. .

Հարթությունը, որը զուգահեռ է Oyz կոորդինատային հարթությանը, կարող է տրվել ձևի ընդհանուր թերի հարթության հավասարմամբ: Քանի որ կետը ըստ պայմանի պատկանում է հարթությանը, ապա այս կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն հարթության հավասարումը, այսինքն՝ հավասարությունը պետք է լինի ճշմարիտ։ Այստեղից մենք գտնում ենք. Այսպիսով, պահանջվող հավասարումն ունի ձևը.

Լուծում. Խաչաձև արտադրյալը, ըստ 10.26 սահմանման, ուղղանկյուն է p և q վեկտորներին: Հետևաբար, այն ուղղանկյուն է դեպի ցանկալի հարթությունը, և վեկտորը կարող է ընդունվել որպես նրա նորմալ վեկտոր: Գտնենք n վեկտորի կոորդինատները.

այն է . Օգտագործելով բանաձևը (11.1) մենք ստանում ենք

Բացելով այս հավասարման փակագծերը՝ հասնում ենք վերջնական պատասխանին.

Պատասխան. .

Եկեք վերագրենք նորմալ վեկտորը ձևով և գտնենք դրա երկարությունը.

Ըստ վերը նշվածի.

Պատասխանել:

Զուգահեռ հարթություններն ունեն նույն նորմալ վեկտորը: 1) Հավասարումից մենք գտնում ենք հարթության նորմալ վեկտորը.

2) Կազմենք հարթության հավասարումը` օգտագործելով կետը և նորմալ վեկտորը.

Պատասխանել:

Ինքնաթիռի վեկտորային հավասարումը տարածության մեջ

Հարթության պարամետրային հավասարումը տարածության մեջ

Տրված վեկտորին ուղղահայաց կետով անցնող հարթության հավասարումը

Եռաչափ տարածության մեջ թող տրվի ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգ: Եկեք ձևակերպենք հետևյալ խնդիրը.

Գրի՛ր տրված կետով անցնող հարթության հավասարումը Մ(x 0, y 0, զ 0) տրված վեկտորին ուղղահայաց n = ( Ա, Բ, Գ} .

Լուծում. Թող Պ(x, y, զ) կամայական կետ է տարածության մեջ: Կետ Պպատկանում է հարթությանը, եթե և միայն եթե վեկտորը պատգամավոր = {x − x 0, y − y 0, զ − զ 0) վեկտորի նկատմամբ ուղղանկյուն n = {Ա, Բ, Գ) (նկ. 1):

Այս վեկտորների ուղղանկյունության պայմանը գրելով (n, պատգամավոր) = 0 կոորդինատային ձևով, մենք ստանում ենք.

Ա(x − x 0) + Բ(y − y 0) + Գ(զ − զ 0) = 0

Ինքնաթիռի հավասարումը երեք կետով

Վեկտորային ձևով

Կոորդինատներով

Ինքնաթիռների փոխադարձ դասավորությունը տիեզերքում

- երկու հարթությունների ընդհանուր հավասարումներ. Ապա.

1) եթե , ապա ինքնաթիռները համընկնում են;

2) եթե , ապա հարթությունները զուգահեռ են;

3) եթե կամ , ապա հարթությունները հատվում են և հավասարումների համակարգը

(6)

այս հարթությունների հատման ուղիղ գծի հավասարումներ են։

ԼուծումՄենք կազմում ենք տողի կանոնական հավասարումները՝ օգտագործելով բանաձևը.

Պատասխանել:

Մենք վերցնում ենք ստացված հավասարումները և մտավոր «կտրում», օրինակ՝ ձախ հատվածը. Հիմա այս կտորը հավասարեցնենք ցանկացած թվի(հիշեք, որ արդեն զրո կար), օրինակ՝ մեկին. Քանի որ , ուրեմն մյուս երկու «կտորները» նույնպես պետք է հավասար լինեն մեկի։ Ըստ էության, դուք պետք է լուծեք համակարգը.

Կազմե՛ք հետևյալ ուղիղների պարամետրային հավասարումները.

ԼուծումԳծերը տրվում են կանոնական հավասարումներով և առաջին փուլում պետք է գտնել գծին և նրա ուղղության վեկտորին պատկանող մի կետ:

ա) Հավասարումներից հեռացնել կետը և ուղղության վեկտորը. Դուք կարող եք ընտրել մեկ այլ կետ (ինչպես դա անել, նկարագրված է վերևում), բայց ավելի լավ է վերցնել առավել ակնհայտը: Ի դեպ, սխալներից խուսափելու համար դրա կոորդինատները միշտ փոխարինեք հավասարումների մեջ։

Եկեք այս տողի համար ստեղծենք պարամետրային հավասարումներ.

Պարամետրային հավասարումների հարմարությունն այն է, որ դրանք շատ հեշտ են դարձնում գծի վրա այլ կետեր գտնելը: Օրինակ, եկեք գտնենք մի կետ, որի կոորդինատները, ասենք, համապատասխանում են պարամետրի արժեքին.

Այսպիսով՝ բ) Դիտարկենք կանոնական հավասարումները . Այստեղ կետ ընտրելը դժվար չէ, բայց դավաճանական. (զգույշ եղեք, որ կոորդինատները չշփոթեք!!!): Ինչպե՞ս հեռացնել ուղեցույցի վեկտորը: Դուք կարող եք ենթադրել, թե ինչի հետ է այս ուղիղը զուգահեռ, կամ կարող եք օգտագործել պարզ ձևական տեխնիկա. համամասնությունը պարունակում է «Y» և «Z», այնպես որ մենք գրում ենք ուղղության վեկտորը, իսկ մնացած տարածքում զրո ենք դնում.

Կազմենք ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները.

գ) Եկեք վերագրենք հավասարումները ձևով, այսինքն՝ «զետ»-ը կարող է լինել ցանկացած բան: Եվ եթե որևէ մեկը, ապա թող, օրինակ, . Այսպիսով, կետը պատկանում է այս տողին: Ուղղության վեկտորը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք հետևյալ ձևական տեխնիկան. սկզբնական հավասարումների մեջ կան «x» և «y», իսկ ուղղության վեկտորում այս վայրերում մենք գրում ենք. զրոներ: Մնացած տարածության մեջ մենք դնում ենք միավոր: Մեկի փոխարեն ցանկացած թիվ, բացի զրոյից, կանի:

Գրենք ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները.

Oh-oh-oh-oh-oh... Դե, դա կոշտ է, կարծես նա իր համար նախադասություն էր կարդում =) Այնուամենայնիվ, հանգիստը կօգնի ավելի ուշ, հատկապես, որ այսօր ես գնել եմ համապատասխան պարագաներ: Հետևաբար, անցնենք առաջին բաժնին, հուսով եմ, որ մինչև հոդվածի ավարտը կպահպանեմ ուրախ տրամադրությունը։

Երկու ուղիղ գծերի հարաբերական դիրքը

Սա այն դեպքն է, երբ հանդիսատեսը երգում է երգչախմբով։ Երկու ուղիղ գծեր կարող են:

1) համընկնում;

2) լինել զուգահեռ.

3) կամ հատվում են մեկ կետում.

Օգնեք խաբեբաներին Խնդրում եմ հիշեք մաթեմատիկական խաչմերուկի նշանը, այն շատ հաճախ կհայտնվի: Նշումը նշանակում է, որ ուղիղը հատվում է կետի գծի հետ:

Ինչպե՞ս որոշել երկու տողերի հարաբերական դիրքը:

Սկսենք առաջին դեպքից.

Երկու տող համընկնում են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանց համապատասխան գործակիցները համաչափ են, այսինքն՝ կա այնպիսի «լամբդա» թիվ, որ հավասարությունները բավարարված են

Դիտարկենք ուղիղները և համապատասխան գործակիցներից ստեղծենք երեք հավասարումներ՝ . Յուրաքանչյուր հավասարումից հետևում է, որ, հետևաբար, այս տողերը համընկնում են:

Իսկապես, եթե հավասարման բոլոր գործակիցները բազմապատկել –1-ով (փոփոխության նշաններ), և հավասարման բոլոր գործակիցները կրճատել 2-ով, ստացվում է նույն հավասարումը.

Երկրորդ դեպքը, երբ ուղիղները զուգահեռ են.

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե փոփոխականների նրանց գործակիցները համաչափ են. , Բայց.

Որպես օրինակ, դիտարկենք երկու ուղիղ գիծ: Մենք ստուգում ենք համապատասխան գործակիցների համաչափությունը փոփոխականների համար.

Այնուամենայնիվ, միանգամայն ակնհայտ է, որ.

Եվ երրորդ դեպքը, երբ գծերը հատվում են.

Երկու ուղիղ հատվում են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե փոփոխականների նրանց գործակիցները ՉԵՆ համաչափ, այսինքն՝ «Լամբդա»-ի այնպիսի արժեք ՉԿԱ, որ հավասարությունները բավարարվեն

Այսպիսով, ուղիղ գծերի համար մենք կստեղծենք համակարգ.

Առաջին հավասարումից հետևում է, որ , իսկ երկրորդ հավասարումից՝ , ինչը նշանակում է համակարգը անհամապատասխան է(լուծումներ չկան): Այսպիսով, փոփոխականների գործակիցները համաչափ չեն։

Եզրակացություն՝ գծերը հատվում են

Գործնական խնդիրներում կարող եք օգտագործել հենց նոր քննարկված լուծման սխեման: Ի դեպ, դա շատ է հիշեցնում վեկտորների համակողմանիության ստուգման ալգորիթմը, որը մենք դիտել ենք դասարանում. Վեկտորների գծային (ան)կախվածության հասկացությունը. Վեկտորների հիմքը. Բայց կա ավելի քաղաքակիրթ փաթեթավորում.

Օրինակ 1

Պարզեք տողերի հարաբերական դիրքը.

Լուծումհիմնված ուղիղ գծերի ուղղորդող վեկտորների ուսումնասիրության վրա.

ա) Հավասարումներից գտնում ենք ուղիղների ուղղության վեկտորները. .

, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները համագիծ չեն, և ուղիղները հատվում են։

Ամեն դեպքում խաչմերուկում ցուցանակներով քար կդնեմ.

Մնացածները ցատկում են քարի վրայով և հետևում ուղիղ դեպի Կաշչեյ Անմահը =)

բ) Գտե՛ք ուղիղների ուղղության վեկտորները.

Ուղիները ունեն նույն ուղղության վեկտորը, ինչը նշանակում է, որ դրանք կամ զուգահեռ են կամ համընկնում: Այստեղ դետերմինանտը հաշվելու կարիք չկա։

Ակնհայտ է, որ անհայտների գործակիցները համաչափ են, և .

Եկեք պարզենք, թե արդյոք հավասարությունը ճշմարիտ է.

Այսպիսով,

գ) Գտե՛ք ուղիղների ուղղության վեկտորները.

Եկեք հաշվարկենք այս վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը.
, հետևաբար, ուղղության վեկտորները համակողմանի են: Գծերը կամ զուգահեռ են կամ համընկնում:

«Լամբդա» համաչափության գործակիցը հեշտ է տեսնել ուղիղ ուղղության վեկտորների հարաբերակցությունից: Այնուամենայնիվ, այն կարելի է գտնել նաև հենց հավասարումների գործակիցների միջոցով. .

Հիմա եկեք պարզենք, թե արդյոք ճիշտ է հավասարությունը։ Երկու անվճար տերմիններն էլ զրո են, ուստի.

Ստացված արժեքը բավարարում է այս հավասարումը (ցանկացած թիվ ընդհանուր առմամբ բավարարում է դրան):

Այսպիսով, տողերը համընկնում են:

Պատասխանել:

Շատ շուտով դուք կսովորեք (կամ նույնիսկ արդեն սովորել եք) վայրկյանների ընթացքում բառացիորեն քննարկված խնդիրը լուծել բառացիորեն։ Այս առումով, ես իմաստ չեմ տեսնում անկախ լուծման համար որևէ բան առաջարկելու համար, ավելի լավ է երկրաչափական հիմքում մեկ այլ կարևոր աղյուս դնել.

Ինչպե՞ս կառուցել տրվածին զուգահեռ ուղիղ:

Այս ամենապարզ առաջադրանքից անտեղյակության համար ավազակ գիշերը խստորեն պատժում է:

Օրինակ 2

Ուղիղ գիծը տրված է հավասարմամբ. Գրի՛ր կետի միջով անցնող զուգահեռ ուղիղի հավասարումը:

ԼուծումԱնհայտ տողը տառով նշանակենք։ Ի՞նչ է ասում վիճակը նրա մասին: Ուղիղ գիծն անցնում է կետով։ Իսկ եթե ուղիղները զուգահեռ են, ապա ակնհայտ է, որ ուղիղ գծի «ցե»-ի ուղղության վեկտորը նույնպես հարմար է ուղիղ «դե»-ի կառուցման համար։

Մենք հավասարումից հանում ենք ուղղության վեկտորը.

Պատասխանել:

Օրինակի երկրաչափությունը պարզ է թվում.

Վերլուծական թեստավորումը բաղկացած է հետևյալ քայլերից.

1) Ստուգում ենք, որ գծերն ունեն նույն ուղղության վեկտորը (եթե գծի հավասարումը ճիշտ չի պարզեցված, ապա վեկտորները կլինեն համագիծ):

2) Ստուգեք՝ արդյոք կետը բավարարում է ստացված հավասարմանը։

Շատ դեպքերում վերլուծական թեստավորումը կարող է հեշտությամբ իրականացվել բանավոր: Նայեք երկու հավասարումներին, և ձեզնից շատերը արագ կորոշեն գծերի զուգահեռությունը՝ առանց որևէ գծագրի:

Այսօր ինքնուրույն լուծումների օրինակները կրեատիվ կլինեն։ Քանի որ դուք դեռ ստիպված կլինեք մրցել Բաբա Յագայի հետ, և նա, գիտեք, ամեն տեսակ հանելուկների սիրահար է:

Օրինակ 3

Հավասարում գրե՛ք այն ուղիղի համար, որն անցնում է ուղիղին զուգահեռ կետով, եթե

Դրա լուծման ռացիոնալ եւ ոչ այնքան ռացիոնալ ճանապարհ կա։ Ամենակարճ ճանապարհը դասի վերջում է:

Մենք մի փոքր աշխատեցինք զուգահեռ գծերով և ավելի ուշ կանդրադառնանք դրանց: Համընկնող տողերի դեպքը քիչ հետաքրքրություն է ներկայացնում, ուստի եկեք դիտարկենք մի խնդիր, որը ձեզ շատ ծանոթ է դպրոցական ծրագրից.

Ինչպե՞ս գտնել երկու ուղիղների հատման կետը:

Եթե ուղիղ հատվում են կետում, ապա դրա կոորդինատները լուծումն են գծային հավասարումների համակարգեր

Ինչպե՞ս գտնել գծերի հատման կետը: Լուծել համակարգը.

Ահա դուք գնացեք Երկու անհայտ ունեցող երկու գծային հավասարումների համակարգի երկրաչափական նշանակությունը- սրանք երկու հատվող (առավել հաճախ) գծեր են հարթության վրա:

Օրինակ 4

Գտեք ուղիղների հատման կետը

ԼուծումԼուծման երկու եղանակ կա՝ գրաֆիկական և վերլուծական:

Գրաֆիկական մեթոդը պարզապես տրված գծերը գծելն է և անմիջապես գծագրից պարզել հատման կետը.

Ահա մեր միտքը. Ստուգելու համար դուք պետք է փոխարինեք դրա կոորդինատները գծի յուրաքանչյուր հավասարման մեջ, դրանք պետք է տեղավորվեն և՛ այնտեղ, և՛ այնտեղ: Այսինքն՝ կետի կոորդինատները համակարգի լուծում են։ Ըստ էության, մենք նայեցինք գրաֆիկական լուծմանը գծային հավասարումների համակարգերերկու հավասարումներով, երկու անհայտով:

Գրաֆիկական մեթոդը, իհարկե, վատ չէ, բայց նկատելի թերություններ կան։ Ո՛չ, բանն այն չէ, որ յոթերորդ դասարանցիներն այսպես են որոշում, բանն այն է, որ ժամանակ է պետք ճիշտ և ՃՇՇ գծանկար ստեղծելու համար։ Բացի այդ, որոշ ուղիղ գծեր կառուցելը այնքան էլ հեշտ չէ, և հատման կետն ինքնին կարող է տեղակայվել երեսուներորդ թագավորությունում նոթատետրի թերթից դուրս:

Ուստի ավելի նպատակահարմար է հատման կետը փնտրել վերլուծական մեթոդով։ Եկեք լուծենք համակարգը.

Համակարգը լուծելու համար օգտագործվել է հավասարումների տերմին առ անդամ գումարման մեթոդը։ Համապատասխան հմտություններ զարգացնելու համար դաս անցեք Ինչպե՞ս լուծել հավասարումների համակարգը:

Պատասխանել:

Ստուգումը չնչին է. հատման կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը:

Օրինակ 5

Գտե՛ք ուղիղների հատման կետը, եթե դրանք հատվում են։

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Հարմար է առաջադրանքը բաժանել մի քանի փուլերի։ Վիճակի վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ անհրաժեշտ է.
1) Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը.
2) Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը.
3) Պարզեք գծերի հարաբերական դիրքը.
4) Եթե ուղիղները հատվում են, ապա գտե՛ք հատման կետը:

Գործողությունների ալգորիթմի մշակումը բնորոշ է բազմաթիվ երկրաչափական խնդիրների համար, և ես բազմիցս կկենտրոնանամ դրա վրա:

Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում.

Մինչև դասի երկրորդ հատվածին հասնելը նույնիսկ մի զույգ կոշիկ չէր մաշվել.

Ուղղահայաց գծեր. Հեռավորությունը կետից մինչև գիծ:
Անկյուն ուղիղ գծերի միջև

Սկսենք բնորոշ և շատ կարևոր առաջադրանքից. Առաջին մասում մենք սովորեցինք, թե ինչպես կարելի է ուղիղ գիծ կառուցել այս մեկին զուգահեռ, և այժմ հավի ոտքերի վրա խրճիթը կշրջվի 90 աստիճանով.

Ինչպե՞ս կառուցել տրվածին ուղղահայաց ուղիղ:

Օրինակ 6

Ուղիղ գիծը տրված է հավասարմամբ. Գրի՛ր կետով անցնող ուղիղին ուղղահայաց հավասարում:

ԼուծումՊայմանով հայտնի է, որ. Լավ կլիներ գտնել գծի ուղղորդող վեկտորը։ Քանի որ գծերն ուղղահայաց են, հնարքը պարզ է.

Հավասարումից «հեռացնում ենք» նորմալ վեկտորը՝ , որը կլինի ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը։

Կազմենք ուղիղ գծի հավասարումը` օգտագործելով կետ և ուղղության վեկտոր.

Պատասխանել:

Եկեք ընդլայնենք երկրաչափական ուրվագիծը.

Հմմ... Նարնջագույն երկինք, նարնջագույն ծով, նարնջագույն ուղտ:

Լուծման վերլուծական ստուգում.

1) Հավասարումներից հանում ենք ուղղության վեկտորները և օգնությամբ վեկտորների սկալյար արտադրյալմենք գալիս ենք այն եզրակացության, որ ուղիղներն իսկապես ուղղահայաց են.

Ի դեպ, դուք կարող եք օգտագործել նորմալ վեկտորներ, դա նույնիսկ ավելի հեշտ է:

2) Ստուգեք՝ արդյոք կետը բավարարում է ստացված հավասարմանը .

Թեստը, կրկին, հեշտ է բանավոր կատարել:

Օրինակ 7

Գտե՛ք ուղղահայաց ուղիղների հատման կետը, եթե հավասարումը հայտնի է և ժամանակաշրջան:

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Խնդրի մեջ կան մի քանի գործողություններ, ուստի հարմար է կետ առ կետ ձևակերպել լուծումը։

Մեր հետաքրքիր ճանապարհորդությունը շարունակվում է.

Հեռավորությունը կետից տող

Մեր դիմաց գետի ուղիղ շերտն է, և մեր խնդիրն է ամենակարճ ճանապարհով հասնել դրան։ Խոչընդոտներ չկան, և ամենաօպտիմալ երթուղին կլինի ուղղահայացով շարժվելը: Այսինքն՝ կետից մինչև ուղիղ հեռավորությունը ուղղահայաց հատվածի երկարությունն է։

Երկրաչափության մեջ հեռավորությունը ավանդաբար նշվում է հունարեն «rho» տառով, օրինակ՝ «էմ» կետից մինչև «դե» ուղիղ գիծ հեռավորությունը։

Հեռավորությունը կետից տող արտահայտված բանաձևով

Օրինակ 8

Գտեք կետից մինչև ուղիղ հեռավորությունը

ԼուծումՁեզ անհրաժեշտ է միայն թվերը զգուշորեն փոխարինել բանաձևով և կատարել հաշվարկները.

Պատասխանել:

Եկեք նկարենք.

Գտնված հեռավորությունը կետից ուղիղ ուղիղ կարմիր հատվածի երկարությունն է։ Եթե վանդակավոր թղթի վրա գծեք 1 միավոր սանդղակով: = 1 սմ (2 բջիջ), ապա հեռավորությունը կարելի է չափել սովորական քանոնով։

Դիտարկենք մեկ այլ առաջադրանք՝ հիմնված նույն գծագրի վրա.

Խնդիրն այն է, որ գտնենք այն կետի կոորդինատները, որոնք համաչափ են ուղիղ գծի նկատմամբ . Ես առաջարկում եմ քայլերը կատարել ինքներդ, բայց ես կուրվագծեմ լուծման ալգորիթմը միջանկյալ արդյունքներով.

1) Գտեք ուղիղը, որն ուղղահայաց է:

2) Գտե՛ք ուղիղների հատման կետը. .

Երկու գործողություններն էլ մանրամասն քննարկվում են այս դասում:

3) կետը հատվածի միջնակետն է: Մենք գիտենք միջինի և ծայրերից մեկի կոորդինատները։ Ըստ Հատվածի միջնակետի կոորդինատների բանաձևերմենք գտնում ենք.

Լավ կլինի ստուգել, որ հեռավորությունը նույնպես 2,2 միավոր է։

Այստեղ հաշվարկներում կարող են դժվարություններ առաջանալ, սակայն միկրոհաշվիչը մեծ օգնություն է աշտարակում, որը թույլ է տալիս հաշվարկել սովորական կոտորակները: Ես ձեզ բազմիցս խորհուրդ եմ տվել և նորից խորհուրդ կտամ։

Ինչպե՞ս գտնել երկու զուգահեռ գծերի միջև հեռավորությունը:

Օրինակ 9

Գտեք երկու զուգահեռ ուղիղների միջև եղած հեռավորությունը

Սա ևս մեկ օրինակ է, որպեսզի դուք ինքներդ որոշեք: Ես ձեզ մի փոքր հուշում կտամ. կան անսահման բազմաթիվ եղանակներ դա լուծելու համար: Դասի վերջում ամփոփում, բայց ավելի լավ է փորձեք ինքներդ գուշակել, կարծում եմ ձեր հնարամտությունը լավ զարգացած էր:

Անկյուն երկու ուղիղ գծերի միջև

Ամեն անկյուն մի ջամբ է.

Երկրաչափության մեջ երկու ուղիղ գծերի միջև անկյունն ընդունվում է որպես ԱՎԵԼԻ ՓՈՔՐ անկյուն, որից ինքնաբերաբար հետևում է, որ այն չի կարող բութ լինել։ Նկարում կարմիր աղեղով նշված անկյունը չի համարվում խաչվող գծերի միջև ընկած անկյուն: Իսկ նրա «կանաչ» հարեւանը կամ հակառակ կողմնորոշված«ազնվամորու» անկյուն.

Եթե գծերը ուղղահայաց են, ապա 4 անկյուններից որևէ մեկը կարելի է ընդունել որպես նրանց միջև եղած անկյուն։

Ինչպե՞ս են տարբեր անկյունները: Կողմնորոշում. Նախ, սկզբունքորեն կարևոր է այն ուղղությունը, որով անկյունը «ոլորվում է»: Երկրորդ, բացասական կողմնորոշված անկյունը գրվում է մինուս նշանով, օրինակ, եթե .

Ինչո՞ւ ասացի քեզ սա: Թվում է, թե մենք կարող ենք յոլա գնալ անկյունի սովորական հայեցակարգով: Փաստն այն է, որ բանաձեւերը, որոնցով մենք կգտնենք անկյունները, հեշտությամբ կարող են հանգեցնել բացասական արդյունքի, եւ դա չպետք է ձեզ զարմացնի: Մինուս նշանով անկյունն ավելի վատ չէ և ունի շատ կոնկրետ երկրաչափական նշանակություն: Նկարում, բացասական անկյան համար, անպայման նշեք դրա կողմնորոշումը սլաքով (ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ):

Ինչպե՞ս գտնել անկյունը երկու ուղիղ գծերի միջև:Գործող երկու բանաձև կա.

Օրինակ 10

Գտի՛ր տողերի միջև եղած անկյունը

ԼուծումԵվ Մեթոդ առաջին

Դիտարկենք ընդհանուր ձևով հավասարումներով սահմանված երկու ուղիղ.

Եթե ուղիղ ոչ ուղղահայաց, Դա կողմնորոշվածՆրանց միջև անկյունը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

Եկեք ուշադրությամբ ուշադրություն դարձնենք հայտարարին. սա հենց այդպես է սկալյար արտադրանքՈւղիղ գծերի ուղղորդող վեկտորներ.

Եթե , ապա բանաձևի հայտարարը դառնում է զրո, և վեկտորները կլինեն ուղղանկյուն, իսկ ուղիղները՝ ուղղահայաց։ Այդ իսկ պատճառով վերապահում է արվել ձեւակերպման մեջ ուղիղ գծերի ոչ ուղղահայացության վերաբերյալ։

Ելնելով վերը նշվածից, լուծումը հարմար է ձևակերպել երկու քայլով.

1) Հաշվենք ուղիղների ուղղության վեկտորների սկալյար արտադրյալը.
, ինչը նշանակում է, որ գծերն ուղղահայաց չեն։

2) Գտեք անկյունը ուղիղ գծերի միջև՝ օգտագործելով բանաձևը.

Օգտագործելով հակադարձ գործառույթը, հեշտ է գտնել անկյունն ինքնին: Այս դեպքում մենք օգտագործում ենք արկտանգենսի տարօրինակությունը (տես. Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները):

Պատասխանել:

Ձեր պատասխանում մենք նշում ենք ճշգրիտ արժեքը, ինչպես նաև մոտավոր արժեքը (ցանկալի է և՛ աստիճաններով, և՛ ռադիաններով), որը հաշվարկվում է հաշվիչի միջոցով:

Դե, մինուս, մինուս, մեծ բան չէ: Ահա մի երկրաչափական նկարազարդում.

Զարմանալի չէ, որ անկյունը բացասական կողմնորոշման է, քանի որ խնդրի հայտարարության մեջ առաջին թիվը ուղիղ գիծ է, և անկյան «ապտուտակումը» սկսվել է հենց դրանով։

Եթե իսկապես ցանկանում եք դրական անկյուն ստանալ, ապա պետք է փոխեք գծերը, այսինքն՝ վերցնեք գործակիցները երկրորդ հավասարումից. , և վերցրեք գործակիցները առաջին հավասարումից: Մի խոսքով, դուք պետք է սկսել ուղիղ .

ԱՆԿՅՈՒՆ ԻՆՔՆԱԹԻՐՆԵՐԻ ՄԻՋԵՎ

Դիտարկենք α 1 և α 2 հարթություններ, որոնք համապատասխանաբար սահմանված են հավասարումներով.

Տակ անկյուներկու հարթությունների միջև մենք կհասկանանք այս հարթությունների կողմից ձևավորված երկփեղկ անկյուններից մեկը: Ակնհայտ է, որ նորմալ վեկտորների և α 1 և α 2 հարթությունների միջև անկյունը հավասար է նշված հարակից երկփեղկ անկյուններից մեկին կամ . Ահա թե ինչու . Որովհետեւ Եվ , Դա

Օրինակ.Որոշեք հարթությունների միջև եղած անկյունը x+2y-3զ+4=0 և 2 x+3y+զ+8=0.

Երկու հարթությունների զուգահեռության պայման.

Երկու հարթություններ α 1 և α 2 զուգահեռ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրանց նորմալ վեկտորները զուգահեռ են, և հետևաբար .

Այսպիսով, երկու հարթություններ զուգահեռ են միմյանց, եթե և միայն այն դեպքում, եթե համապատասխան կոորդինատների գործակիցները համաչափ են.

կամ

Հարթությունների ուղղահայացության պայմանը.

Հասկանալի է, որ երկու հարթություններ ուղղահայաց են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրանց նորմալ վեկտորները ուղղահայաց են, և, հետևաբար, կամ .

Այսպիսով, .

Օրինակներ.

ՈՒՂԻՂ Տիեզերքում.

ՎԵԿՏՈՐԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄ ԳԾԻ ՀԱՄԱՐ.

ՊԱՐԱՄԵՏՐԱԿԱՆ ՈՒՂԻՂ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

Գծի դիրքը տարածության մեջ ամբողջությամբ որոշվում է՝ նշելով նրա ֆիքսված կետերից որևէ մեկը Մ 1 և այս ուղղին զուգահեռ վեկտոր:

Ուղղին զուգահեռ վեկտորը կոչվում է ուղեցույցներայս գծի վեկտորը:

Այսպիսով, թող ուղիղ գիծը լանցնում է մի կետով Մ 1 (x 1 , y 1 , զ 1), ընկած է վեկտորին զուգահեռ գծի վրա:

Դիտարկենք կամայական կետ M(x,y,z)ուղիղ գծի վրա. Նկարից պարզ է դառնում, որ .

Վեկտորները և համագիծ են, ուստի կա այդպիսի թիվ տ, ինչ , որտեղ է բազմապատկիչը տկարող է վերցնել ցանկացած թվային արժեք՝ կախված կետի դիրքից Մուղիղ գծի վրա. Գործոն տկոչվում է պարամետր: Նշանակելով կետերի շառավղային վեկտորները Մ 1 և Մհամապատասխանաբար, միջոցով և , մենք ստանում ենք . Այս հավասարումը կոչվում է վեկտորուղիղ գծի հավասարում. Այն ցույց է տալիս, որ յուրաքանչյուր պարամետրի արժեքի համար տհամապատասխանում է ինչ-որ կետի շառավիղի վեկտորին Մ, ուղիղ գծի վրա պառկած։

Այս հավասարումը գրենք կոորդինատային տեսքով։ Ուշադրություն դարձրեք, որ, և այստեղից

Ստացված հավասարումները կոչվում են պարամետրայինուղիղ գծի հավասարումներ.

Պարամետրը փոխելիս տկոորդինատները փոխվում են x, yԵվ զև ժամանակաշրջան Մշարժվում է ուղիղ գծով.

ՈՒՂԻՂԻ ԿԱՆՈՆԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

Թող Մ 1 (x 1 , y 1 , զ 1) - ուղիղ գծի վրա ընկած կետ լ, Եվ նրա ուղղության վեկտորն է: Եկեք կրկին կամայական կետ վերցնենք գծի վրա M(x,y,z)և հաշվի առեք վեկտորը:

Հասկանալի է, որ վեկտորները նույնպես համագիծ են, ուստի դրանց համապատասխան կոորդինատները պետք է համաչափ լինեն, հետևաբար.

– կանոնականուղիղ գծի հավասարումներ.

Ծանոթագրություն 1.Նկատի ունեցեք, որ գծի կանոնական հավասարումները կարելի է ստանալ պարամետրայինից՝ վերացնելով պարամետրը տ. Իրոք, պարամետրային հավասարումներից մենք ստանում ենք կամ .

Օրինակ.Գրի՛ր գծի հավասարումը պարամետրային ձևով.

Նշենք , այստեղից x = 2 + 3տ, y = –1 + 2տ, զ = 1 –տ.

Ծանոթագրություն 2.Թող ուղիղ գիծը ուղղահայաց լինի կոորդինատային առանցքներից մեկին, օրինակ՝ առանցքին Եզ. Այնուհետև գծի ուղղության վեկտորը ուղղահայաց է Եզ, հետևաբար, մ=0. Հետևաբար, գծի պարամետրային հավասարումները ձև կստանան

Բացառելով պարամետրը հավասարումներից տ, մենք ստանում ենք գծի հավասարումները ձևով

Այնուամենայնիվ, այս դեպքում էլ մենք համաձայն ենք տողի կանոնական հավասարումները պաշտոնապես գրել ձևով . Այսպիսով, եթե կոտորակներից մեկի հայտարարը զրո է, դա նշանակում է, որ ուղիղ գիծը ուղղահայաց է համապատասխան կոորդինատային առանցքին:

Կանոնական հավասարումների նման համապատասխանում է առանցքներին ուղղահայաց ուղիղ գծի ԵզԵվ Օյկամ առանցքին զուգահեռ Օզ.

Օրինակներ.

ՈՒՂԻՂ ԳԾԻ ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ ՈՐՊԵՍ ԵՐԿՈՒ ՀԱՍՏԱՏՈՒԹՅԱՆ ՀԱՏՄՄԱՆ ՈՒՂԻՆԵՐ.

Տիեզերքի յուրաքանչյուր ուղիղ գծի միջով կան անթիվ ինքնաթիռներ: Դրանցից ցանկացած երկուսը, հատվելով, սահմանում են այն տարածության մեջ: Հետևաբար, ցանկացած երկու նման հարթությունների հավասարումները, միասին դիտարկված, ներկայացնում են այս ուղիղի հավասարումները:

Ընդհանուր առմամբ, ընդհանուր հավասարումներով տրված ցանկացած երկու ոչ զուգահեռ հարթություններ

որոշել դրանց հատման ուղիղ գիծը. Այս հավասարումները կոչվում են ընդհանուր հավասարումներուղիղ.

Օրինակներ.

Կառուցե՛ք հավասարումներով տրված գիծ

Ուղիղ գիծ կառուցելու համար բավական է գտնել դրա ցանկացած երկու կետ: Ամենահեշտ ճանապարհը կոորդինատային հարթությունների հետ ուղիղ գծի հատման կետերն ընտրելն է: Օրինակ՝ հարթության հետ հատման կետը xOyմենք ստանում ենք ուղիղ գծի հավասարումներից՝ ենթադրելով զ= 0:

Այս համակարգը լուծելով, մենք գտնում ենք կետը Մ 1 (1;2;0).

Նմանապես, ենթադրելով y= 0, մենք ստանում ենք գծի հատման կետը հարթության հետ xOz:

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումներից կարելի է անցնել նրա կանոնական կամ պարամետրային հավասարումներին։ Դա անելու համար հարկավոր է ինչ-որ կետ գտնել Մ 1 ուղիղ գծի վրա և ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը:

Կետերի կոորդինատները Մ 1 մենք ստանում ենք այս հավասարումների համակարգից՝ կոորդինատներից մեկին տալով կամայական արժեք: Ուղղության վեկտորը գտնելու համար նշենք, որ այս վեկտորը պետք է ուղղահայաց լինի երկու նորմալ վեկտորներին Եվ . Հետևաբար, ուղիղ գծի ուղղության վեկտորից դուրս լԴուք կարող եք վերցնել նորմալ վեկտորների վեկտորային արտադրյալը.

Օրինակ.Տրե՛ք գծի ընդհանուր հավասարումները կանոնական ձևին.

Եկեք գծի վրա ընկած կետ գտնենք: Դա անելու համար մենք կամայականորեն ընտրում ենք կոորդինատներից մեկը, օրինակ. y= 0 և լուծիր հավասարումների համակարգը.

Գիծը սահմանող հարթությունների նորմալ վեկտորներն ունեն կոորդինատներ Հետեւաբար, ուղղության վեկտորը ուղիղ կլինի

. Հետևաբար, լ: .

ԱՆԿՅՈՒՆ ՈՒՂԻՂՆԵՐԻ ՄԻՋԵՎ

ԱնկյունՏարածության ուղիղ գծերի միջև մենք կանվանենք հարակից անկյուններից որևէ մեկը, որը ձևավորվում է տվյալներին զուգահեռ կամայական կետով գծված երկու ուղիղ գծերով:

Թող երկու տող տրվի տարածության մեջ.

Ակնհայտ է, որ ուղիղ գծերի միջև φ անկյունը կարող է ընդունվել որպես նրանց ուղղության վեկտորների և . Քանի որ , ապա օգտագործելով վեկտորների միջև անկյան կոսինուսի բանաձևը մենք ստանում ենք

Ես հակիրճ կլինեմ. Երկու ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը հավասար է նրանց ուղղության վեկտորների միջև եղած անկյունին: Այսպիսով, եթե ձեզ հաջողվի գտնել ուղղության վեկտորների կոորդինատները a = (x 1; y 1; z 1) և b = (x 2; y 2; z 2), ապա կարող եք գտնել անկյունը: Ավելի ճիշտ, անկյան կոսինուսը ըստ բանաձևի.

Տեսնենք, թե ինչպես է աշխատում այս բանաձևը՝ օգտագործելով հատուկ օրինակներ.

Առաջադրանք. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 խորանարդի մեջ նշվում են E և F կետերը՝ համապատասխանաբար A 1 B 1 և B 1 C 1 եզրերի միջնակետերը: Գտեք անկյունը AE և BF ուղիղների միջև:

Քանի որ խորանարդի եզրը նշված չէ, եկեք սահմանենք AB = 1: Մենք ներկայացնում ենք ստանդարտ կոորդինատային համակարգ. սկզբնաղբյուրը գտնվում է A կետում, x, y, z առանցքներն ուղղված են համապատասխանաբար AB, AD և AA 1 երկայնքով: Միավոր հատվածը հավասար է AB = 1-ի: Այժմ եկեք գտնենք մեր տողերի ուղղության վեկտորների կոորդինատները:

Գտնենք AE վեկտորի կոորդինատները։ Դրա համար մեզ անհրաժեշտ են միավորներ A = (0; 0; 0) և E = (0.5; 0; 1): Քանի որ E կետը A 1 B 1 հատվածի միջինն է, դրա կոորդինատները հավասար են ծայրերի կոորդինատների միջին թվաբանականին: Նկատի ունեցեք, որ AE վեկտորի ծագումը համընկնում է կոորդինատների ծագման հետ, ուստի AE = (0.5; 0; 1):

Հիմա եկեք նայենք BF վեկտորին: Նմանապես, մենք վերլուծում ենք B = (1; 0; 0) և F = (1; 0.5; 1) կետերը, քանի որ. F-ը B 1 C 1 հատվածի միջինն է: Մենք ունենք:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1):

Այսպիսով, ուղղության վեկտորները պատրաստ են: Ուղիղ գծերի միջև անկյան կոսինուսը ուղղության վեկտորների միջև անկյան կոսինուսն է, ուստի մենք ունենք.

Առաջադրանք. Կանոնավոր եռանկյունաձեւ ABCA 1 B 1 C 1 պրիզմայում, որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի, նշված են D և E կետերը՝ համապատասխանաբար A 1 B 1 և B 1 C 1 եզրերի միջնակետերը: Գտեք անկյունը AD և BE տողերի միջև:

Ներկայացնենք ստանդարտ կոորդինատային համակարգ՝ սկզբնաղբյուրը գտնվում է A կետում, x առանցքն ուղղված է AB երկայնքով, z՝ AA 1-ով: Եկեք ուղղենք y առանցքը, որպեսզի OXY հարթությունը համընկնի ABC հարթության հետ: Միավոր հատվածը հավասար է AB = 1-ի: Գտնենք ուղղության վեկտորների կոորդինատները պահանջվող գծերի համար:

Նախ, եկեք գտնենք AD վեկտորի կոորդինատները: Հաշվի առեք կետերը. A = (0; 0; 0) և D = (0.5; 0; 1), քանի որ D - A 1 B 1 հատվածի կեսը: Քանի որ AD վեկտորի սկիզբը համընկնում է կոորդինատների ծագման հետ, մենք ստանում ենք AD = (0.5; 0; 1):

Հիմա եկեք գտնենք BE վեկտորի կոորդինատները։ Բ կետը = (1; 0; 0) հեշտ է հաշվարկել: E կետով - C 1 B 1 հատվածի կեսը, մի փոքր ավելի բարդ է: Մենք ունենք:

Մնում է գտնել անկյան կոսինուսը.

Առաջադրանք. Կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմայում ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի, նշված են K և L կետերը՝ համապատասխանաբար A 1 B 1 և B 1 C 1 եզրերի միջնակետերը: . Գտեք անկյունը AK և BL ուղիղների միջև:

Ներկայացնենք ստանդարտ կոորդինատային համակարգ պրիզմայի համար. կոորդինատների սկզբնաղբյուրը տեղադրում ենք ստորին հիմքի կենտրոնում, x առանցքն ուղղված է FC երկայնքով, y առանցքը ուղղվում է AB և DE հատվածների միջնակետերով, իսկ z-ը: առանցքը ուղղահայաց վերև է: Միավոր հատվածը կրկին հավասար է AB = 1-ի: Եկեք գրենք մեզ հետաքրքրող կետերի կոորդինատները.

K և L կետերը համապատասխանաբար A 1 B 1 և B 1 C 1 հատվածների միջնակետերն են, ուստի դրանց կոորդինատները հայտնաբերվում են միջին թվաբանականի միջոցով: Իմանալով կետերը՝ մենք գտնում ենք AK և BL ուղղության վեկտորների կոորդինատները.

Հիմա եկեք գտնենք անկյան կոսինուսը.

Առաջադրանք. SABCD կանոնավոր քառանկյուն բուրգում, որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի, նշված են E և F կետերը՝ համապատասխանաբար SB և SC կողմերի միջնակետերը: Գտեք անկյունը AE և BF ուղիղների միջև:

Ներկայացնենք ստանդարտ կոորդինատային համակարգ՝ սկզբնաղբյուրը գտնվում է A կետում, x և y առանցքներն ուղղված են համապատասխանաբար AB և AD երկայնքով, իսկ z առանցքը ուղղահայաց դեպի վեր։ Միավոր հատվածը հավասար է AB = 1:

E և F կետերը համապատասխանաբար SB և SC հատվածների միջնակետերն են, ուստի դրանց կոորդինատները հայտնաբերվում են որպես ծայրերի միջին թվաբանական: Գրենք մեզ հետաքրքրող կետերի կոորդինատները.
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)