Dieses Material widmet sich einem Konzept wie dem Winkel zwischen zwei sich schneidenden geraden Linien. Im ersten Absatz erklären wir, was es ist, und zeigen es in Illustrationen. Dann werden wir analysieren, wie Sie den Sinus, den Kosinus dieses Winkels und den Winkel selbst finden können (wir werden Fälle mit einer Ebene und einem dreidimensionalen Raum getrennt betrachten), wir werden die notwendigen Formeln geben und anhand von Beispielen zeigen, wie genau sie angewendet werden in der Praxis.
Um zu verstehen, was ein Winkel ist, der am Schnittpunkt zweier Linien gebildet wird, müssen wir uns an die eigentliche Definition eines Winkels, einer Rechtwinkligkeit und eines Schnittpunkts erinnern.
Bestimmung 1
Wir nennen zwei Geraden schneidend, wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben. Dieser Punkt wird Schnittpunkt der beiden Geraden genannt.
Jede Linie wird durch den Schnittpunkt in Strahlen unterteilt. In diesem Fall bilden beide Linien 4 Winkel, von denen zwei vertikal und zwei benachbart sind. Wenn wir das Maß von einem von ihnen kennen, können wir die anderen verbleibenden bestimmen.
Nehmen wir an, wir wissen, dass einer der Winkel gleich α ist. In einem solchen Fall ist der senkrecht dazu stehende Winkel ebenfalls gleich α. Um die verbleibenden Winkel zu finden, müssen wir die Differenz 180 ° - α berechnen. Wenn α gleich 90 Grad ist, dann sind alle Winkel richtig. Linien, die sich rechtwinklig schneiden, werden senkrecht genannt (ein separater Artikel ist dem Konzept der Rechtwinkligkeit gewidmet).
Schau dir das Bild an:
Fahren wir mit der Formulierung der Hauptdefinition fort.
Bestimmung 2
Der Winkel, der von zwei sich schneidenden Linien gebildet wird, ist das Maß für den kleineren der 4 Winkel, die diese beiden Linien bilden.
Aus der Definition muss eine wichtige Schlussfolgerung gezogen werden: Die Größe des Winkels wird in diesem Fall durch eine beliebige reelle Zahl im Intervall (0 , 90 ] ausgedrückt. Wenn die Linien senkrecht sind, ist der Winkel zwischen ihnen in jedem Fall gleich 90 Grad.
Die Fähigkeit, das Maß des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Linien zu finden, ist nützlich, um viele praktische Probleme zu lösen. Das Lösungsverfahren kann aus mehreren Optionen ausgewählt werden.
Für den Anfang können wir geometrische Methoden nehmen. Wenn wir etwas über zusätzliche Winkel wissen, können wir sie mit den Eigenschaften gleicher oder ähnlicher Formen zu dem benötigten Winkel verbinden. Wenn wir beispielsweise die Seiten eines Dreiecks kennen und den Winkel zwischen den Linien berechnen müssen, auf denen sich diese Seiten befinden, eignet sich der Kosinussatz zum Lösen. Wenn wir in der Bedingung ein rechtwinkliges Dreieck haben, müssen wir für Berechnungen auch Sinus, Cosinus und Tangens des Winkels kennen.
Die Koordinatenmethode ist auch sehr praktisch, um Probleme dieser Art zu lösen. Lassen Sie uns erklären, wie Sie es richtig verwenden.
Wir haben ein rechteckiges (kartesisches) Koordinatensystem O x y mit zwei Geraden. Lassen Sie uns sie mit den Buchstaben a und b bezeichnen. Dabei können Geraden mit beliebigen Gleichungen beschrieben werden. Die ursprünglichen Linien haben einen Schnittpunkt M . Wie bestimmt man den gewünschten Winkel (nennen wir ihn mit α) zwischen diesen Linien?
Beginnen wir mit der Formulierung des Grundprinzips der Winkelfindung unter gegebenen Bedingungen.
Wir wissen, dass Konzepte wie Richtung und Normalenvektor eng mit dem Konzept einer geraden Linie verwandt sind. Wenn wir die Gleichung einer geraden Linie haben, können wir ihr die Koordinaten dieser Vektoren entnehmen. Wir können dies für zwei sich schneidende Linien gleichzeitig tun.
Der Winkel, der durch zwei sich schneidende Linien gebildet wird, kann gefunden werden mit:
- Winkel zwischen Richtungsvektoren;
- Winkel zwischen Normalenvektoren;
- der Winkel zwischen dem Normalenvektor einer Linie und dem Richtungsvektor der anderen.
Betrachten wir nun jede Methode separat.
1. Angenommen, wir haben eine Linie a mit Richtungsvektor a → = (a x , a y) und eine Linie b mit Richtungsvektor b → (b x , b y) . Lassen Sie uns nun zwei Vektoren a → und b → vom Schnittpunkt beiseite legen. Danach werden wir sehen, dass sie sich jeweils in einer eigenen Zeile befinden. Dann haben wir vier Optionen für ihre relative Position. Siehe Abbildung:
Wenn der Winkel zwischen zwei Vektoren nicht stumpf ist, dann ist es der Winkel, den wir zwischen den sich schneidenden Linien a und b benötigen. Wenn es stumpf ist, ist der gewünschte Winkel gleich dem Winkel neben dem Winkel a → , b → ^ . Somit ist α = a → , b → ^ wenn a → , b → ^ ≤ 90 ° , und α = 180 ° - a → , b → ^ wenn a → , b → ^ > 90 ° .
Aufgrund der Tatsache, dass die Kosinuswerte gleicher Winkel gleich sind, können wir die resultierenden Gleichungen wie folgt umschreiben: cos α = cos a → , b → ^ wenn a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ wenn a → , b → ^ > 90 ° .
Im zweiten Fall wurden Reduktionsformeln verwendet. Auf diese Weise,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Schreiben wir die letzte Formel in Worten:
Bestimmung 3
Der Kosinus des Winkels, der durch zwei sich schneidende Linien gebildet wird, ist gleich dem Betrag des Kosinus des Winkels zwischen seinen Richtungsvektoren.
Die allgemeine Form der Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren a → = (a x, a y) und b → = (b x, b y) sieht so aus:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Daraus können wir die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei gegebenen Geraden ableiten:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Dann kann der Winkel selbst mit der folgenden Formel gefunden werden:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Dabei sind a → = (a x , a y) und b → = (b x , b y) die Richtungsvektoren der gegebenen Geraden.
Lassen Sie uns ein Beispiel für die Lösung des Problems geben.
Beispiel 1
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind zwei Schnittlinien a und b in der Ebene gegeben. Sie können durch Parametergleichungen x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R und x 5 = y - 6 - 3 beschrieben werden. Berechnen Sie den Winkel zwischen diesen Linien.
Lösung
Wir haben eine Parametergleichung in der Bedingung, was bedeutet, dass wir für diese Gerade sofort die Koordinaten ihres Richtungsvektors aufschreiben können. Dazu müssen wir die Werte der Koeffizienten am Parameter nehmen, d.h. die Gerade x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R wird einen Richtungsvektor a → = (4 , 1) haben.
Die zweite Gerade wird durch die kanonische Gleichung x 5 = y - 6 - 3 beschrieben. Hier können wir die Koordinaten aus den Nennern entnehmen. Somit hat diese Gerade einen Richtungsvektor b → = (5 , - 3) .
Als nächstes gehen wir direkt zum Ermitteln des Winkels über. Ersetzen Sie dazu einfach die verfügbaren Koordinaten der beiden Vektoren in die obige Formel α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Wir erhalten Folgendes:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°
Antworten: Diese Linien bilden einen Winkel von 45 Grad.
Wir können ein ähnliches Problem lösen, indem wir den Winkel zwischen Normalenvektoren finden. Wenn wir eine Linie a mit einem Normalenvektor n a → = (n a x , n a y) und eine Linie b mit einem Normalenvektor n b → = (n b x , n b y) haben, dann ist der Winkel zwischen ihnen gleich dem Winkel zwischen n a → und n b → oder der Winkel, der an n a → , n b → ^ angrenzt. Diese Methode ist im Bild dargestellt:
Die Formeln zur Berechnung des Kosinus des Winkels zwischen sich schneidenden Linien und dieses Winkels selbst unter Verwendung der Koordinaten von Normalenvektoren sehen folgendermaßen aus:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 n b y 2
Dabei bezeichnen n a → und n b → die Normalenvektoren zweier gegebener Geraden.
Beispiel 2
Mit den Gleichungen 3 x + 5 y - 30 = 0 und x + 4 y - 17 = 0 werden zwei Geraden in einem rechtwinkligen Koordinatensystem angegeben. Finden Sie den Sinus, Cosinus des Winkels zwischen ihnen und die Größe dieses Winkels selbst.
Lösung
Die ursprünglichen Geraden werden durch normale Geradengleichungen der Form A x + B y + C = 0 gegeben. Bezeichne den Normalenvektor n → = (A , B) . Finden wir die Koordinaten des ersten Normalenvektors für eine Gerade und schreiben sie auf: n a → = (3 , 5) . Für die zweite Linie x + 4 y - 17 = 0 hat der Normalenvektor die Koordinaten n b → = (1 , 4) . Fügen Sie nun die erhaltenen Werte zur Formel hinzu und berechnen Sie die Summe:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Wenn wir den Kosinus eines Winkels kennen, können wir seinen Sinus mit der grundlegenden trigonometrischen Identität berechnen. Da der durch gerade Linien gebildete Winkel α nicht stumpf ist, ist sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.
In diesem Fall ist α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .
Antwort: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Analysieren wir den letzten Fall - das Finden des Winkels zwischen den Linien, wenn wir die Koordinaten des Richtungsvektors einer Linie und des Normalenvektors der anderen kennen.
Angenommen, die Linie a hat einen Richtungsvektor a → = (a x , a y) , und die Linie b hat einen Normalenvektor n b → = (n b x , n b y) . Wir müssen diese Vektoren vom Schnittpunkt verschieben und alle Optionen für ihre relative Position berücksichtigen. Siehe Bild:
Wenn der Winkel zwischen den angegebenen Vektoren nicht mehr als 90 Grad beträgt, stellt sich heraus, dass er den Winkel zwischen a und b zu einem rechten Winkel ergänzt.
a → , n b → ^ = 90 ° - α wenn a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Wenn es weniger als 90 Grad beträgt, erhalten wir Folgendes:
a → , n b → ^ > 90 ° , dann a → , n b → ^ = 90 ° + α
Unter Verwendung der Gleichheitsregel von Cosinus gleicher Winkel schreiben wir:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α für a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α bei a → , n b → ^ > 90 ° .
Auf diese Weise,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Lassen Sie uns ein Fazit formulieren.
Bestimmung 4
Um den Sinus des Winkels zwischen zwei Linien zu finden, die sich in einer Ebene schneiden, müssen Sie den Betrag des Kosinus des Winkels zwischen dem Richtungsvektor der ersten Linie und dem Normalenvektor der zweiten berechnen.
Lassen Sie uns die notwendigen Formeln aufschreiben. Den Sinus eines Winkels finden:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Die Ecke selbst finden:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Dabei ist a → der Richtungsvektor der ersten Linie und n b → der Normalenvektor der zweiten.
Beispiel 3
Zwei sich schneidende Geraden sind durch die Gleichungen x - 5 = y - 6 3 und x + 4 y - 17 = 0 gegeben. Finde den Schnittwinkel.
Lösung
Die Koordinaten des Richtungs- und Normalenvektors entnehmen wir den gegebenen Gleichungen. Es stellt sich heraus a → = (- 5 , 3) und n → b = (1 , 4) . Wir nehmen die Formel α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 und betrachten:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Beachten Sie, dass wir die Gleichungen aus dem vorherigen Problem genommen haben und genau das gleiche Ergebnis erhalten haben, aber auf andere Weise.
Antworten:α = a r c sin 7 2 34
Hier ist eine weitere Möglichkeit, den gewünschten Winkel mithilfe der Steigungskoeffizienten gegebener Linien zu finden.
Wir haben eine Linie a, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem unter Verwendung der Gleichung y = k 1 · x + b 1 definiert ist, und eine Linie b, die als y = k 2 · x + b 2 definiert ist. Das sind Geradengleichungen mit Steigung. Um den Schnittwinkel zu finden, verwenden Sie die Formel:
α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , wobei k 1 und k 2 die Steigungen der gegebenen Geraden sind. Um diese Aufzeichnung zu erhalten, wurden Formeln zur Bestimmung des Winkels durch die Koordinaten von Normalenvektoren verwendet.
Beispiel 4
Es gibt zwei gerade Linien, die sich in der Ebene schneiden, gegeben durch die Gleichungen y = - 3 5 x + 6 und y = - 1 4 x + 17 4 . Berechne den Schnittwinkel.
Lösung
Die Steigungen unserer Geraden sind gleich k 1 = – 3 5 und k 2 = – 1 4 . Fügen wir sie zur Formel α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 hinzu und berechnen:
α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34
Antworten:α = a r c cos 23 2 34
Zum Schluss dieses Absatzes sei darauf hingewiesen, dass die hier angegebenen Formeln zur Winkelbestimmung nicht auswendig gelernt werden müssen. Dazu reicht es aus, die Koordinaten der Hilfslinien und/oder Normalenvektoren der gegebenen Linien zu kennen und sie mit verschiedenen Arten von Gleichungen bestimmen zu können. Aber die Formeln zur Berechnung des Kosinus eines Winkels sind besser zu merken oder aufzuschreiben.
So berechnen Sie den Winkel zwischen sich schneidenden Linien im Raum
Die Berechnung eines solchen Winkels kann auf die Berechnung der Koordinaten der Richtungsvektoren und die Bestimmung der Größe des durch diese Vektoren gebildeten Winkels reduziert werden. Für solche Beispiele verwenden wir die gleiche Argumentation, die wir zuvor angegeben haben.
Nehmen wir an, wir haben ein rechteckiges Koordinatensystem, das sich im 3D-Raum befindet. Sie enthält zwei Geraden a und b mit dem Schnittpunkt M . Um die Koordinaten der Richtungsvektoren zu berechnen, müssen wir die Gleichungen dieser Linien kennen. Bezeichne die Richtungsvektoren a → = (a x , a y , a z) und b → = (b x , b y , b z) . Um den Kosinus des Winkels zwischen ihnen zu berechnen, verwenden wir die Formel:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Um den Winkel selbst zu finden, brauchen wir diese Formel:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Beispiel 5
Wir haben eine gerade Linie im 3D-Raum unter Verwendung der Gleichung x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 definiert. Es ist bekannt, dass sie die O z -Achse schneidet. Berechnen Sie den Schnittwinkel und den Kosinus dieses Winkels.
Lösung
Bezeichnen wir den zu berechnenden Winkel mit dem Buchstaben α. Schreiben wir die Koordinaten des Richtungsvektors für die erste Gerade auf - a → = (1 , - 3 , - 2) . Für die Anwendungsachse können wir den Koordinatenvektor k → = (0 , 0 , 1) als Richtwert nehmen. Wir haben die notwendigen Daten erhalten und können sie der gewünschten Formel hinzufügen:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Als Ergebnis erhalten wir, dass der Winkel, den wir brauchen, gleich a r c cos 1 2 = 45 ° ist.
Antworten: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
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Ecke φ allgemeine Gleichungen A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 und A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, wird nach folgender Formel berechnet:
Ecke φ zwischen zwei Geraden Kanonische Gleichungen(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 und (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2 wird nach folgender Formel berechnet:
Abstand von Punkt zu Linie
Jede Ebene im Raum kann als lineare Gleichung namens dargestellt werden allgemeine Gleichung Ebene
Sonderfälle.
o Wenn in Gleichung (8), dann geht die Ebene durch den Ursprung.
o Mit (,) ist die Ebene parallel zur Achse (Achse, Achse).
o Wenn (,) die Ebene parallel zur Ebene ist (Ebene, Ebene).
Lösung: Verwenden Sie (7)
Antwort: die allgemeine Gleichung der Ebene.
Beispiel.
Die Ebene im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz ist durch die allgemeine Ebenengleichung gegeben 
. Schreiben Sie die Koordinaten aller Normalenvektoren in dieser Ebene auf.
Wir wissen, dass die Koeffizienten der Variablen x, y und z in der allgemeinen Gleichung der Ebene die entsprechenden Koordinaten des Normalenvektors dieser Ebene sind. Also der Normalenvektor der gegebenen Ebene 
hat Koordinaten. Die Menge aller Normalenvektoren kann angegeben werden als.
Schreiben Sie die Gleichung einer Ebene, wenn sie in einem rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz im Raum durch einen Punkt geht 
, A 
ist der Normalenvektor dieser Ebene.
Wir stellen zwei Lösungen für dieses Problem vor.
Von dem Zustand, den wir haben. Wir setzen diese Daten in die allgemeine Gleichung der Ebene ein, die durch den Punkt geht:
Schreiben Sie die allgemeine Gleichung für eine Ebene, die parallel zur Koordinatenebene Oyz ist und durch den Punkt geht 
.
Eine zur Koordinatenebene Oyz parallele Ebene kann durch eine allgemeine unvollständige Gleichung der Ebene der Form gegeben werden. Seit dem Punkt 
bedingt zur Ebene gehört, dann müssen die Koordinaten dieses Punktes die Gleichung der Ebene erfüllen, d.h. Gleichheit muss wahr sein. Ab hier finden wir. Somit hat die gesuchte Gleichung die Form.
Lösung. Das Vektorprodukt ist nach Definition 10.26 orthogonal zu den Vektoren p und q. Daher ist es orthogonal zur gewünschten Ebene und der Vektor kann als sein Normalenvektor genommen werden. Finden Sie die Koordinaten des Vektors n:
also 
. Mit Formel (11.1) erhalten wir
Wenn wir die Klammern in dieser Gleichung öffnen, kommen wir zur endgültigen Antwort.
Antworten: 
.
Schreiben wir den normalen Vektor in der Form um und finden seine Länge:
Nach obigem:
Antworten: 
Parallele Ebenen haben denselben Normalenvektor. 1) Aus der Gleichung finden wir den Normalenvektor der Ebene:.
2) Wir stellen die Gleichung der Ebene gemäß dem Punkt und dem Normalenvektor zusammen: 
Antworten:
Vektorgleichung einer Ebene im Raum
Parametergleichung einer Ebene im Raum
Gleichung einer Ebene, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft
Gegeben sei ein rechteckiges kartesisches Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum. Formulieren wir folgendes Problem:
Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch einen gegebenen Punkt geht M(X 0, j 0, z 0) senkrecht zum gegebenen Vektor n = ( A, B, C} .
Lösung. Lassen P(X, j, z) ist ein beliebiger Punkt im Raum. Punkt P gehört genau dann zur Ebene, wenn der Vektor MP = {X − X 0, j − j 0, z − z 0) orthogonal zum Vektor N = {A, B, C) (Abb. 1).
Nachdem die Orthogonalitätsbedingung für diese Vektoren (n, MP) = 0 in Koordinatenform erhalten wir:
|
A(X − X 0) + B(j − j 0) + C(z − z 0) = 0 |
Gleichung einer Ebene durch drei Punkte
In Vektorform
In Koordinaten
Gegenseitige Anordnung von Ebenen im Raum
sind allgemeine Gleichungen zweier Ebenen. Dann:
1) wenn 
, dann fallen die Ebenen zusammen;
2) wenn 
, dann sind die Ebenen parallel;
3) wenn oder , dann schneiden sich die Ebenen und das Gleichungssystem
(6)
sind die Gleichungen der Schnittgerade der gegebenen Ebenen.
|
Lösung: Wir bilden die kanonischen Gleichungen der Geraden nach der Formel: Antworten: |
Wir nehmen die resultierenden Gleichungen und „stecken“ gedanklich beispielsweise das linke Stück ab: . Jetzt setzen wir dieses Stück gleich zu einer beliebigen Nummer(denken Sie daran, dass es bereits eine Null gab), zum Beispiel zu eins: . Denn dann müssen auch die anderen beiden „Stücke“ gleich eins sein. Im Wesentlichen müssen Sie das System lösen: |
Schreiben Sie parametrische Gleichungen für die folgenden Linien: 
Lösung: Die Linien sind durch kanonische Gleichungen gegeben und in der ersten Stufe sollte man einen Punkt finden, der zu der Linie und ihrem Richtungsvektor gehört.
a) Aus den Gleichungen 
Entfernen Sie den Punkt und den Richtungsvektor: . Sie können einen anderen Punkt wählen (wie das geht, ist oben beschrieben), aber es ist besser, den offensichtlichsten zu nehmen. Übrigens, um Fehler zu vermeiden, setzen Sie immer seine Koordinaten in die Gleichungen ein.
Lassen Sie uns die Parametergleichungen dieser Geraden aufstellen: 
Der Vorteil parametrischer Gleichungen besteht darin, dass es mit ihrer Hilfe sehr einfach ist, andere Punkte der Linie zu finden. Lassen Sie uns zum Beispiel einen Punkt finden, dessen Koordinaten beispielsweise dem Wert des Parameters entsprechen: 
Also: b) Betrachten Sie die kanonischen Gleichungen 
. Die Auswahl eines Punktes ist hier einfach, aber heimtückisch: (Achten Sie darauf, die Koordinaten nicht zu verwechseln!!!). Wie ziehe ich einen Führungsvektor heraus? Sie können argumentieren, wozu diese Gerade parallel ist, oder Sie können einen einfachen formalen Trick anwenden: Die Proportion ist „y“ und „z“, also schreiben wir den Richtungsvektor und setzen Null in den verbleibenden Raum: .
Wir bilden die Parametergleichungen der Geraden: 
c) Lassen Sie uns die Gleichungen in der Form umschreiben, das heißt, "Z" kann alles sein. Und wenn überhaupt, dann lassen Sie zum Beispiel . Somit gehört der Punkt zu dieser Linie. Um den Richtungsvektor zu finden, verwenden wir die folgende formale Technik: In den Anfangsgleichungen stehen "x" und "y", und im Richtungsvektor schreiben wir an diesen Stellen Nullen: . An der verbleibenden Stelle setzen wir Einheit: . Anstelle von Eins reicht eine beliebige Zahl außer Null.
Wir schreiben die Parametergleichungen der Geraden: 
Oh-oh-oh-oh-oh ... na ja, es ist blechern, als würde man den Satz vor sich hin lesen =) Dann hilft aber Entspannung, zumal ich heute passendes Zubehör gekauft habe. Fahren wir also mit dem ersten Abschnitt fort. Ich hoffe, dass ich am Ende des Artikels eine fröhliche Stimmung bewahren werde.
Gegenseitige Anordnung zweier Geraden
Der Fall, wenn der Saal im Chor mitsingt. Zwei Zeilen können:
1) Übereinstimmung;
2) parallel sein: ;
3) oder sich in einem einzigen Punkt schneiden: .
Hilfe für Dummies : Bitte denken Sie an das mathematische Zeichen der Schnittmenge , es wird sehr oft vorkommen. Der Eintrag bedeutet, dass sich die Linie mit der Linie am Punkt schneidet.
Wie bestimmt man die relative Position zweier Linien?
Beginnen wir mit dem ersten Fall:
Zwei Linien fallen genau dann zusammen, wenn ihre jeweiligen Koeffizienten proportional sind, das heißt, es gibt eine solche Zahl "Lambda", dass die Gleichheiten
Betrachten wir gerade Linien und stellen aus den entsprechenden Koeffizienten drei Gleichungen auf: . Aus jeder Gleichung folgt also, dass diese Geraden zusammenfallen.
In der Tat, wenn alle Koeffizienten der Gleichung 
multipliziere mit -1 (ändere das Vorzeichen) und reduziere alle Koeffizienten der Gleichung um 2, du erhältst dieselbe Gleichung: .
Der zweite Fall, wenn die Linien parallel sind:
Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Koeffizienten bei den Variablen proportional sind: 
, Aber.
Betrachten Sie als Beispiel zwei gerade Linien. Wir überprüfen die Proportionalität der entsprechenden Koeffizienten für die Variablen: 
Es ist jedoch klar, dass.
Und der dritte Fall, wenn sich die Linien schneiden:
Zwei Geraden schneiden sich genau dann, wenn ihre Koeffizienten der Variablen NICHT proportional sind, das heißt, es gibt KEINEN solchen Wert von "Lambda", dass die Gleichheiten erfüllt sind 
Für gerade Linien werden wir also ein System zusammenstellen: 
Aus der ersten Gleichung folgt, dass , und aus der zweiten Gleichung: , also Das System ist inkonsistent(keine Lösungen). Somit sind die Koeffizienten an den Variablen nicht proportional.
Fazit: Geraden schneiden sich
Bei praktischen Problemen kann das eben betrachtete Lösungsschema verwendet werden. Übrigens ist es dem Algorithmus zum Überprüfen von Vektoren auf Kollinearität sehr ähnlich, den wir in der Lektion betrachtet haben. Das Konzept der linearen (Nicht-) Abhängigkeit von Vektoren. Vektorbasis. Aber es gibt ein zivilisierteres Paket:
Beispiel 1
Finden Sie die relative Position der Linien heraus: 
Lösung basierend auf der Untersuchung von Richtungsvektoren von Geraden:
a) Aus den Gleichungen finden wir die Richtungsvektoren der Geraden: 
.
, also sind die Vektoren nicht kollinear und die Linien schneiden sich.
Für alle Fälle werde ich einen Stein mit Hinweisen an die Kreuzung stellen:
Der Rest springt über den Stein und folgt weiter, direkt zu Kashchei the Deathless =)
b) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden: 
Die Linien haben denselben Richtungsvektor, was bedeutet, dass sie entweder parallel oder gleich sind. Hier ist die Determinante nicht notwendig.
Offensichtlich sind die Koeffizienten der Unbekannten proportional, während .
Lassen Sie uns herausfinden, ob die Gleichheit wahr ist: 
Auf diese Weise,
c) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden: 
Lassen Sie uns die Determinante berechnen, die sich aus den Koordinaten dieser Vektoren zusammensetzt: 
, daher sind die Richtungsvektoren kollinear. Die Linien sind entweder parallel oder fallen zusammen.
Der Proportionalitätsfaktor "Lambda" ist direkt aus dem Verhältnis kollinearer Richtungsvektoren ersichtlich. Es kann jedoch auch durch die Koeffizienten der Gleichungen selbst gefunden werden: 
.
Lassen Sie uns nun herausfinden, ob die Gleichheit wahr ist. Beide freien Terme sind Null, also:
Der resultierende Wert erfüllt diese Gleichung (jede Zahl erfüllt sie im Allgemeinen).
Somit fallen die Linien zusammen.
Antworten:
Sehr bald werden Sie lernen (oder sogar schon gelernt haben), das betrachtete Problem in Sekundenschnelle buchstäblich verbal zu lösen. Insofern sehe ich keinen Grund, etwas für eine eigenständige Lösung anzubieten, es ist besser, einen weiteren wichtigen Stein in die geometrische Grundlage zu legen:
Wie zeichnet man eine Linie parallel zu einer gegebenen?
Für die Unkenntnis dieser einfachsten Aufgabe wird die Nachtigall der Räuber streng bestraft.
Beispiel 2
Die Gerade ist durch die Gleichung gegeben. Schreiben Sie eine Gleichung für eine parallele Linie, die durch den Punkt verläuft.
Lösung: Kennzeichnen Sie die unbekannte Zeile mit dem Buchstaben . Was sagt der Zustand dazu? Die Gerade geht durch den Punkt. Und wenn die Linien parallel sind, dann ist es offensichtlich, dass der Richtungsvektor der Linie "ce" auch geeignet ist, die Linie "de" zu konstruieren.
Wir entnehmen den Richtungsvektor aus der Gleichung:
Antworten:
Die Geometrie des Beispiels sieht einfach aus: 
Die analytische Verifizierung besteht aus den folgenden Schritten:
1) Wir überprüfen, ob die Linien denselben Richtungsvektor haben (wenn die Gleichung der Linie nicht richtig vereinfacht wird, dann sind die Vektoren kollinear).
2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt.
Die analytische Überprüfung ist in den meisten Fällen einfach mündlich durchzuführen. Schauen Sie sich die beiden Gleichungen an und viele von Ihnen werden schnell herausfinden, wie die Linien ohne Zeichnung parallel sind.
Beispiele für Selbstlösungen werden heute kreativ sein. Weil Sie immer noch mit Baba Yaga konkurrieren müssen, und Sie wissen, dass sie eine Liebhaberin aller möglichen Rätsel ist.
Beispiel 3
Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch einen Punkt parallel zur Geraden if verläuft
Es gibt einen rationalen und einen nicht sehr rationalen Lösungsweg. Der kürzeste Weg ist am Ende der Stunde.
Wir haben ein wenig mit parallelen Linien gearbeitet und werden später darauf zurückkommen. Der Fall der Linienüberschneidung ist von geringem Interesse, also betrachten wir ein Problem, das Ihnen aus dem Schullehrplan gut bekannt ist:
Wie finde ich den Schnittpunkt zweier Geraden?
Wenn gerade 
im Punkt schneiden, dann sind seine Koordinaten die Lösung Systeme linearer Gleichungen 
Wie finde ich den Schnittpunkt von Geraden? Löse das System.
Hier ist für Sie geometrische Bedeutung eines Systems aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten sind zwei sich schneidende (meistens) gerade Linien in einer Ebene.
Beispiel 4
Finden Sie den Schnittpunkt von Linien
Lösung: Es gibt zwei Lösungsmöglichkeiten - grafisch und analytisch.
Der grafische Weg besteht darin, einfach die angegebenen Linien zu zeichnen und den Schnittpunkt direkt aus der Zeichnung zu ermitteln: 
Hier ist unser Punkt: . Zur Überprüfung sollten Sie ihre Koordinaten in jede Gleichung einer geraden Linie einsetzen, sie sollten sowohl dort als auch dort passen. Mit anderen Worten, die Koordinaten eines Punktes sind die Lösung des Systems . Tatsächlich haben wir eine grafische Lösung in Erwägung gezogen Systeme linearer Gleichungen mit zwei Gleichungen, zwei Unbekannten.
Die grafische Methode ist natürlich nicht schlecht, aber es gibt spürbare Nachteile. Nein, der Punkt ist nicht, dass Siebtklässler so entscheiden, der Punkt ist, dass es Zeit braucht, um eine korrekte und EXAKTE Zeichnung zu erstellen. Außerdem sind einige Linien nicht so einfach zu konstruieren, und der Schnittpunkt selbst kann irgendwo im dreißigsten Reich außerhalb des Notizbuchblatts liegen.
Daher ist es zweckmäßiger, den Schnittpunkt durch das analytische Verfahren zu suchen. Lösen wir das System: 
Zur Lösung des Systems wurde die Methode der termweisen Addition von Gleichungen verwendet. Um die relevanten Fähigkeiten zu entwickeln, besuchen Sie die Lektion Wie löst man ein Gleichungssystem?
Antworten:
Die Überprüfung ist trivial – die Koordinaten des Schnittpunkts müssen jede Gleichung des Systems erfüllen.
Beispiel 5
Finden Sie den Schnittpunkt der Linien, wenn sie sich schneiden.
Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Es ist zweckmäßig, das Problem in mehrere Phasen zu unterteilen. Die Analyse des Zustands legt nahe, dass es notwendig ist:
1) Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden.
2) Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden.
3) Finden Sie die relative Position der Linien heraus.
4) Wenn sich die Linien schneiden, dann finde den Schnittpunkt.
Die Entwicklung eines Aktionsalgorithmus ist typisch für viele geometrische Probleme, und ich werde mich immer wieder darauf konzentrieren.
Vollständige Lösung und Antwort am Ende des Tutorials:
Ein Paar Schuhe ist noch nicht abgenutzt, als wir zum zweiten Abschnitt der Lektion kamen:
Senkrechte Linien. Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie.
Winkel zwischen Linien
Beginnen wir mit einer typischen und sehr wichtigen Aufgabe. Im ersten Teil haben wir gelernt, wie man eine gerade Linie parallel zur gegebenen baut, und jetzt dreht sich die Hütte auf Hühnerbeinen um 90 Grad:
Wie zeichnet man eine Linie senkrecht zu einer gegebenen?
Beispiel 6
Die Gerade ist durch die Gleichung gegeben. Schreiben Sie eine Gleichung für eine senkrechte Linie, die durch einen Punkt geht.
Lösung: Es ist durch Annahme bekannt, dass . Es wäre schön, den Richtungsvektor der Geraden zu finden. Da die Linien senkrecht sind, ist der Trick einfach:
Aus der Gleichung „entfernen“ wir den Normalenvektor: , der der Richtungsvektor der Geraden sein wird.
Wir setzen die Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor zusammen:
Antworten: 
Lassen Sie uns die geometrische Skizze entfalten:
Hmmm... Orangefarbener Himmel, orangefarbenes Meer, orangefarbenes Kamel.
Analytischer Nachweis der Lösung:
1) Extrahieren Sie die Richtungsvektoren aus den Gleichungen 
und mit hilfe Skalarprodukt von Vektoren wir schließen daraus, dass die Linien tatsächlich senkrecht stehen: .
Übrigens, Sie können normale Vektoren verwenden, es ist noch einfacher.
2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt 
.
Die Überprüfung ist wiederum leicht mündlich durchzuführen.
Beispiel 7
Finden Sie den Schnittpunkt von senkrechten Linien, wenn die Gleichung bekannt ist 
und Punkt.
Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Es gibt mehrere Aktionen in der Aufgabe, daher ist es bequem, die Lösung Punkt für Punkt anzuordnen.
Unsere spannende Reise geht weiter:
Abstand von Punkt zu Linie
Vor uns liegt ein gerader Flussstreifen und unsere Aufgabe ist es, ihn auf dem kürzesten Weg zu erreichen. Es gibt keine Hindernisse und die optimalste Route ist die Bewegung entlang der Senkrechten. Das heißt, der Abstand von einem Punkt zu einer Linie ist die Länge des senkrechten Segments.
Der Abstand in der Geometrie wird traditionell mit dem griechischen Buchstaben „ro“ bezeichnet, zum Beispiel: - der Abstand vom Punkt „em“ zur geraden Linie „de“.
Abstand von Punkt zu Linie 
wird durch die Formel ausgedrückt
Beispiel 8
Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie 
Lösung: Alles, was Sie brauchen, ist, die Zahlen sorgfältig in die Formel einzusetzen und die Berechnungen durchzuführen:
Antworten: 
Lassen Sie uns die Zeichnung ausführen: 
Der gefundene Abstand vom Punkt zur Linie ist genau die Länge des roten Segments. Wenn Sie eine Zeichnung auf kariertem Papier im Maßstab 1 Einheit anfertigen. \u003d 1 cm (2 Zellen), dann kann der Abstand mit einem gewöhnlichen Lineal gemessen werden.
Betrachten Sie eine andere Aufgabe nach derselben Zeichnung:
Die Aufgabe besteht darin, die Koordinaten des Punktes zu finden, der bezüglich der Linie symmetrisch zum Punkt liegt 
. Ich schlage vor, die Aktionen selbst durchzuführen, werde jedoch den Lösungsalgorithmus mit Zwischenergebnissen skizzieren:
1) Finden Sie eine Linie, die senkrecht zu einer Linie ist.
2) Finden Sie den Schnittpunkt der Linien: 
.
Beide Aktionen werden in dieser Lektion ausführlich besprochen.
3) Der Punkt ist der Mittelpunkt des Segments. Wir kennen die Koordinaten der Mitte und eines der Enden. Von Formeln für die Koordinaten der Segmentmitte finden .
Es ist nicht überflüssig zu überprüfen, ob der Abstand auch gleich 2,2 Einheiten ist.
Hier können bei Berechnungen Schwierigkeiten auftreten, aber im Turm hilft ein Mikrorechner sehr, mit dem Sie gewöhnliche Brüche zählen können. Habe schon oft beraten und werde es wieder weiterempfehlen.
Wie finde ich den Abstand zwischen zwei parallelen Linien?
Beispiel 9
Finden Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Linien
Dies ist ein weiteres Beispiel für eine unabhängige Lösung. Kleiner Hinweis: Es gibt unendlich viele Lösungsmöglichkeiten. Nachbesprechung am Ende der Lektion, aber versuchen Sie besser selbst zu raten, ich denke, Sie haben es geschafft, Ihren Einfallsreichtum gut zu zerstreuen.
Winkel zwischen zwei Geraden
Egal welche Ecke, dann der Pfosten: 
In der Geometrie wird der Winkel zwischen zwei Geraden als KLEINERER Winkel angenommen, woraus automatisch folgt, dass er nicht stumpf sein kann. In der Abbildung wird der durch den roten Bogen angezeigte Winkel nicht als Winkel zwischen sich schneidenden Linien betrachtet. Und sein „grüner“ Nachbar bzw gegensätzlich orientiert purpurrote Ecke.
Wenn die Linien senkrecht sind, kann jeder der 4 Winkel als Winkel zwischen ihnen genommen werden.
Wie unterscheiden sich die Winkel? Orientierung. Erstens ist die Richtung des "Scrollens" der Ecke grundlegend wichtig. Zweitens wird ein negativ orientierter Winkel mit einem Minuszeichen geschrieben, z. B. wenn .
Warum habe ich das gesagt? Es scheint, dass Sie mit dem üblichen Konzept eines Winkels auskommen können. Tatsache ist, dass in den Formeln, mit denen wir die Winkel finden, leicht ein negatives Ergebnis erhalten werden kann, und das sollte Sie nicht überraschen. Ein Winkel mit Minuszeichen ist nicht schlechter und hat eine ganz bestimmte geometrische Bedeutung. In der Zeichnung für einen negativen Winkel muss die Ausrichtung (im Uhrzeigersinn) unbedingt mit einem Pfeil angegeben werden.
Wie findet man den Winkel zwischen zwei Geraden? Es gibt zwei Arbeitsformeln:
Beispiel 10
Finden Sie den Winkel zwischen Linien
Lösung Und Methode eins
Betrachten Sie zwei gerade Linien, die durch Gleichungen in allgemeiner Form gegeben sind: 
Wenn gerade nicht senkrecht, Das orientiert Der Winkel zwischen ihnen kann mit der Formel berechnet werden: 
Achten wir genau auf den Nenner - das ist genau Skalarprodukt Richtungsvektoren von Geraden:
Wenn , dann verschwindet der Nenner der Formel, und die Vektoren sind orthogonal und die Linien senkrecht. Deshalb wurde ein Vorbehalt gegen die Nicht-Rechtwinkligkeit der Linien in der Formulierung gemacht.
Basierend auf dem Vorhergehenden wird die Lösung praktischerweise in zwei Schritten formalisiert:
1) Berechnen Sie das Skalarprodukt von Richtungsvektoren von Geraden:
Die Linien sind also nicht senkrecht.
2) Wir finden den Winkel zwischen den Linien durch die Formel:
Mit der Umkehrfunktion ist es einfach, den Winkel selbst zu finden. In diesem Fall verwenden wir die Ungeradheit des Arcustangens (siehe Abb. Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen):
Antworten: 
In der Antwort geben wir den genauen Wert sowie den ungefähren Wert (vorzugsweise sowohl in Grad als auch in Bogenmaß) an, der mit einem Taschenrechner berechnet wird.
Nun, Minus, also Minus, es ist okay. Hier ist eine geometrische Darstellung: 
Es ist nicht verwunderlich, dass sich der Winkel als negativ herausstellte, da die erste Zahl im Problemzustand eine Gerade ist und die „Verdrehung“ des Winkels genau von ihr aus begann.
Wenn Sie wirklich einen positiven Winkel erhalten möchten, müssen Sie die geraden Linien vertauschen, dh die Koeffizienten aus der zweiten Gleichung nehmen 
, und nehmen Sie die Koeffizienten aus der ersten Gleichung . Kurz gesagt, Sie müssen mit einem direkten beginnen 
.
WINKEL ZWISCHEN DEN EBENEN
Betrachten wir zwei Ebenen α 1 und α 2, die jeweils durch die Gleichungen gegeben sind:
Unter Winkel zwischen zwei Ebenen meinen wir einen der von diesen Ebenen gebildeten Diederwinkel. Es ist offensichtlich, dass der Winkel zwischen den Normalenvektoren und den Ebenen α 1 und α 2 gleich einem der angegebenen benachbarten Flächenwinkel oder ist 
. Deshalb 
. Weil 
Und 
, Das
.
Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen Ebenen X+2j-3z+4=0 und 2 X+3j+z+8=0.
Bedingung der Parallelität zweier Ebenen.
Zwei Ebenen α 1 und α 2 sind genau dann parallel, wenn ihre Normalenvektoren und parallel sind, also 
.
Zwei Ebenen sind also genau dann parallel zueinander, wenn die Koeffizienten an den entsprechenden Koordinaten proportional sind:
oder
Bedingung der Rechtwinkligkeit von Ebenen.
Es ist klar, dass zwei Ebenen genau dann senkrecht stehen, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht stehen, also oder .
Auf diese Weise, .
Beispiele.
DIREKT IM RAUM.
VEKTORGLEICHUNG DIREKT.
PARAMETRISCHE GLEICHUNGEN DIREKT
Die Lage einer Geraden im Raum wird durch die Angabe eines beliebigen ihrer Fixpunkte vollständig bestimmt M 1 und einem Vektor parallel zu dieser Linie.
Ein Vektor parallel zu einer Geraden heißt führen der Vektor dieser Linie.
Also lass das gerade l geht durch einen Punkt M 1 (X 1 , j 1 , z 1) liegt auf einer geraden Linie parallel zum Vektor .
Betrachten Sie einen beliebigen Punkt M(x,y,z) auf einer geraden Linie. Das ist aus der Abbildung ersichtlich 
.
Die Vektoren und sind kollinear, also gibt es eine solche Zahl T, was , wo ist der Multiplikator T kann je nach Position des Punktes jeden numerischen Wert annehmen M auf einer geraden Linie. Faktor T heißt Parameter. Bezeichnet die Radiusvektoren von Punkten M 1 und M bzw. durch und erhalten wir . Diese Gleichung heißt Vektor Gerade Gleichung. Es zeigt, dass jeder Parameterwert T entspricht dem Radiusvektor eines Punktes M auf einer geraden Linie liegen.
Wir schreiben diese Gleichung in Koordinatenform. Beachte das , 
und von hier
Die resultierenden Gleichungen werden aufgerufen parametrisch Gerade Gleichungen.
Beim Ändern des Parameters T Koordinaten ändern X, j Und z und Punkt M bewegt sich auf einer geraden Linie.
KANONISCHE GLEICHUNGEN DIREKT
Lassen M 1 (X 1 , j 1 , z 1) - ein Punkt, der auf einer geraden Linie liegt l, Und 
ist sein Richtungsvektor. Nehmen Sie wieder einen beliebigen Punkt auf einer geraden Linie M(x,y,z) und betrachte den Vektor .
Es ist klar, dass die Vektoren und kollinear sind, daher müssen ihre jeweiligen Koordinaten proportional sein
– kanonisch Gerade Gleichungen.
Bemerkung 1. Beachten Sie, dass die kanonischen Gleichungen der Linie aus den parametrischen Gleichungen durch Eliminieren des Parameters erhalten werden könnten T. Tatsächlich erhalten wir aus den parametrischen Gleichungen 
oder .
Beispiel. Schreibe die Geradengleichung auf 
auf parametrische Weise.
Bezeichnen 
, somit X = 2 + 3T, j = –1 + 2T, z = 1 –T.
Bemerkung 2. Die Linie sei senkrecht zu einer der Koordinatenachsen, zum Beispiel der Achse Ochse. Dann steht der Richtungsvektor der Geraden senkrecht Ochse, somit, M=0. Folglich nehmen die parametrischen Gleichungen der Geraden die Form an
Eliminieren des Parameters aus den Gleichungen T, erhalten wir die Gleichungen der Geraden in der Form
Aber auch in diesem Fall vereinbaren wir, die kanonischen Gleichungen der Geraden formal in die Form zu schreiben 
. Wenn also der Nenner eines der Brüche Null ist, bedeutet dies, dass die Linie senkrecht zur entsprechenden Koordinatenachse steht.
Ebenso die kanonischen Gleichungen 
entspricht einer geraden Linie senkrecht zu den Achsen Ochse Und Ey oder Parallelachse Unze.
Beispiele.
ALLGEMEINE GLEICHUNGEN EINE DIREKTE LINIE ALS SCHNITTLINIE ZWEI EBENEN
Durch jede gerade Linie im Raum verläuft eine unendliche Anzahl von Ebenen. Jeweils zwei von ihnen, die sich schneiden, definieren es im Raum. Daher sind die Gleichungen zweier solcher Ebenen, zusammen betrachtet, die Gleichungen dieser Geraden.
Im Allgemeinen zwei beliebige nicht parallele Ebenen, die durch die allgemeinen Gleichungen gegeben sind
bestimmen ihre Schnittlinie. Diese Gleichungen werden aufgerufen allgemeine Gleichungen gerade.
Beispiele.
Konstruieren Sie eine durch Gleichungen gegebene Gerade 
Um eine Linie zu konstruieren, genügt es, zwei ihrer Punkte zu finden. Am einfachsten ist es, die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen zu wählen. Zum Beispiel der Schnittpunkt mit der Ebene xOy erhalten wir aus den Gleichungen einer Geraden, vorausgesetzt z= 0:
Wenn wir dieses System lösen, finden wir den Punkt M 1 (1;2;0).
Ebenso vorausgesetzt j= 0 erhalten wir den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene xOz:
Von den allgemeinen Gleichungen einer Geraden kann man zu ihren kanonischen oder parametrischen Gleichungen übergehen. Dazu müssen Sie einen Punkt finden M 1 auf der Linie und dem Richtungsvektor der Linie.
Punktkoordinaten M 1 erhalten wir aus diesem Gleichungssystem, indem wir einer der Koordinaten einen beliebigen Wert geben. Um den Richtungsvektor zu finden, beachten Sie, dass dieser Vektor senkrecht zu beiden Normalenvektoren stehen muss 
Und 
. Also für den Richtungsvektor der Geraden l Sie können das Kreuzprodukt von Normalenvektoren nehmen:
.
Beispiel. Geben Sie die allgemeinen Geradengleichungen an 
zur kanonischen Form.
Finden Sie einen Punkt auf einer geraden Linie. Dazu wählen wir willkürlich eine der Koordinaten, zum Beispiel j= 0 und löse das Gleichungssystem:
Die Normalenvektoren der Ebenen, die die Linie definieren, haben Koordinaten 
Daher ist der Richtungsvektor gerade
. Somit, l: 
.
WINKEL ZWISCHEN DEN RECHTEN
Ecke zwischen geraden Linien im Raum nennen wir jeden der benachbarten Winkel, die durch zwei gerade Linien gebildet werden, die durch einen beliebigen Punkt parallel zu den Daten gezogen werden.
Gegeben seien zwei Geraden im Raum:
Offensichtlich kann der Winkel φ zwischen den Linien als der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren und genommen werden. Da erhalten wir dann gemäß der Formel für den Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren
Ich werde mich kurz fassen. Der Winkel zwischen zwei Geraden ist gleich dem Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren. Wenn Sie also die Koordinaten der Richtungsvektoren a \u003d (x 1; y 1; z 1) und b \u003d (x 2; y 2; z 2) finden, können Sie den Winkel finden. Genauer gesagt, der Kosinus des Winkels nach der Formel:
Mal sehen, wie diese Formel an bestimmten Beispielen funktioniert:
Aufgabe. Die Punkte E und F sind im Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 markiert - die Mittelpunkte der Kanten A 1 B 1 bzw. B 1 C 1. Finden Sie den Winkel zwischen den Linien AE und BF.
Da die Kante des Würfels nicht angegeben ist, setzen wir AB = 1. Wir führen ein Standardkoordinatensystem ein: Der Ursprung liegt bei Punkt A, und die x-, y-, z-Achsen sind entlang AB, AD bzw. AA 1 gerichtet . Das Einheitssegment ist gleich AB = 1. Lassen Sie uns nun die Koordinaten der Richtungsvektoren für unsere Linien finden.
Finde die Koordinaten des Vektors AE. Dazu benötigen wir die Punkte A = (0; 0; 0) und E = (0,5; 0; 1). Da der Punkt E die Mitte des Segments A 1 B 1 ist, sind seine Koordinaten gleich dem arithmetischen Mittel der Koordinaten der Enden. Beachten Sie, dass der Ursprung des Vektors AE mit dem Ursprung übereinstimmt, also AE = (0,5; 0; 1).
Kommen wir nun zum BF-Vektor. Analog analysieren wir die Punkte B = (1; 0; 0) und F = (1; 0,5; 1), weil F - die Mitte des Segments B 1 C 1 . Wir haben:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).
Damit sind die Richtungsvektoren fertig. Der Kosinus des Winkels zwischen den Linien ist der Kosinus des Winkels zwischen den Richtungsvektoren, also haben wir:
Aufgabe. In einem regulären dreiflächigen Prisma ABCA 1 B 1 C 1 , dessen Kanten alle gleich 1 sind, sind die Punkte D und E markiert - die Mittelpunkte der Kanten A 1 B 1 bzw. B 1 C 1. Finden Sie den Winkel zwischen den Linien AD und BE.
Wir führen ein Standardkoordinatensystem ein: Der Ursprung liegt im Punkt A, die x-Achse ist entlang AB gerichtet, z - entlang AA 1 . Wir richten die y-Achse so aus, dass die OXY-Ebene mit der ABC-Ebene zusammenfällt. Das Einheitssegment ist gleich AB = 1. Finden Sie die Koordinaten der Richtungsvektoren für die gewünschten Linien.
Lassen Sie uns zuerst die Koordinaten des AD-Vektors finden. Betrachten Sie die Punkte: A = (0; 0; 0) und D = (0,5; 0; 1), weil D - die Mitte des Segments A 1 B 1 . Da der Anfang des Vektors AD mit dem Ursprung zusammenfällt, erhalten wir AD = (0,5; 0; 1).
Lassen Sie uns nun die Koordinaten des Vektors BE finden. Punkt B = (1; 0; 0) ist einfach zu berechnen. Mit Punkt E - der Mitte des Segments C 1 B 1 - etwas komplizierter. Wir haben:
Es bleibt der Kosinus des Winkels zu finden:
Aufgabe. In einem regelmäßigen sechseckigen Prisma ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , dessen Kanten alle gleich 1 sind, sind die Punkte K und L markiert - die Mittelpunkte der Kanten A 1 B 1 und B 1 C 1, bzw. Finden Sie den Winkel zwischen den Linien AK und BL.
Wir führen ein Standardkoordinatensystem für ein Prisma ein: Wir platzieren den Koordinatenursprung in der Mitte der unteren Basis, richten die x-Achse entlang FC, die y-Achse durch die Mittelpunkte der Segmente AB und DE und die z-Achse senkrecht nach oben. Das Einheitssegment ist wieder gleich AB = 1. Schreiben wir die Koordinaten der für uns interessanten Punkte auf:
Die Punkte K und L sind die Mittelpunkte der Segmente A 1 B 1 bzw. B 1 C 1, sodass ihre Koordinaten durch das arithmetische Mittel gefunden werden. Wenn wir die Punkte kennen, finden wir die Koordinaten der Richtungsvektoren AK und BL:
Lassen Sie uns nun den Kosinus des Winkels finden:
Aufgabe. In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide SABCD, bei der alle Kanten gleich 1 sind, sind die Punkte E und F markiert - die Mittelpunkte der Seiten SB bzw. SC. Finden Sie den Winkel zwischen den Linien AE und BF.
Wir führen ein Standardkoordinatensystem ein: Der Ursprung liegt im Punkt A, die x- und y-Achse sind entlang AB bzw. AD gerichtet, und die z-Achse ist senkrecht nach oben gerichtet. Das Einheitssegment ist gleich AB = 1.
Die Punkte E und F sind die Mittelpunkte der Segmente SB bzw. SC, sodass ihre Koordinaten als arithmetisches Mittel der Enden gefunden werden. Wir schreiben uns die Koordinaten der Points of Interest auf:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Wenn wir die Punkte kennen, finden wir die Koordinaten der Richtungsvektoren AE und BF:
Die Koordinaten des Vektors AE stimmen mit den Koordinaten des Punktes E überein, da Punkt A der Ursprung ist. Es bleibt der Kosinus des Winkels zu finden:
