Bei ihnen sind Logarithmen drinnen.
Beispiele:
\(\log_3x≥\log_39\)
\(\log_3 ((x^2-3))< \log_3{(2x)}\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2((x+1))+10≤11 \lg((x+1))\)
So lösen Sie logarithmische Ungleichungen:
Jede logarithmische Ungleichung sollte auf die Form \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) reduziert werden (Symbol \(˅\) bedeutet irgendeines von ). Diese Form ermöglicht es uns, Logarithmen und ihre Basen loszuwerden, indem wir zur Ungleichung von Ausdrücken unter Logarithmen übergehen, dh zur Form \(f(x) ˅ g(x)\).
Aber bei diesem Übergang gibt es eine sehr wichtige Feinheit:
\(-\) wenn - eine Zahl und größer als 1 - das Ungleichheitszeichen beim Übergang gleich bleibt,
\(-\) ist die Basis eine Zahl größer als 0, aber kleiner als 1 (zwischen null und eins), dann muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden, d.h.
|
\(\log_2((8-x))<1\) Lösung: |
\(\log\)\(_(0.5)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) \(((x+ 1))\) Lösung: |
Sehr wichtig! Bei jeder Ungleichung kann der Übergang von der Form \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) zum Vergleich von Ausdrücken unter Logarithmen nur erfolgen, wenn:
Beispiel . Lösen Sie die Ungleichung: \(\log\)\(≤-1\)
Lösung:
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\(\Protokoll\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) |
Lassen Sie uns die ODZ ausschreiben. |
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ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) |
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\(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) |
Wir öffnen die Klammern, geben . |
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\(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) |
Wir multiplizieren die Ungleichung mit \(-1\) und denken daran, das Vergleichszeichen umzukehren. |
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\(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) |
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\(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) |
Wir bauen einen Zahlenstrahl und markieren darauf die Punkte \(\frac(7)(3)\) und \(\frac(3)(2)\). Beachten Sie, dass der Punkt vom Nenner punktiert wird, obwohl die Ungleichung nicht streng ist. Tatsache ist, dass dieser Punkt keine Lösung sein wird, da er uns beim Einsetzen in eine Ungleichung zur Division durch Null führen wird. |
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Nun zeichnen wir die ODZ auf derselben numerischen Achse auf und schreiben als Antwort das Intervall auf, das in die ODZ fällt. |
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Schreiben Sie die endgültige Antwort auf. |
Beispiel . Lösen Sie die Ungleichung: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Lösung:
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\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Lassen Sie uns die ODZ ausschreiben. |
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ODZ: \(x>0\) |
Kommen wir zur Lösung. |
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Lösung: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Vor uns liegt eine typische quadratisch-logarithmische Ungleichung. Wir tun es. |
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\(t=\log_3x\) |
Erweitern Sie die linke Seite der Ungleichung zu . |
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\(D=1+8=9\) |
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Jetzt müssen Sie zur ursprünglichen Variablen - x - zurückkehren. Dazu gehen wir zu über, das dieselbe Lösung hat, und führen die umgekehrte Substitution durch. |
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\(\left[ \begin(gesammelt) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Transformiere \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac(1)(3)\). |
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\(\left[ \begin(gathered) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Kommen wir zum Vergleich von Argumenten. Die Basen von Logarithmen sind größer als \(1\), also ändert sich das Vorzeichen der Ungleichungen nicht. |
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\(\left[ \begin(gesammelt) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Kombinieren wir die Lösung der Ungleichung und die ODZ in einer Figur. |
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Schreiben wir die Antwort auf. |
Beim Lösen logarithmischer Ungleichungen verwenden wir die Monotonieeigenschaft der logarithmischen Funktion. Wir verwenden auch die Definition des Logarithmus und grundlegende logarithmische Formeln.
Fassen wir noch einmal zusammen, was Logarithmen sind:
Logarithmus Eine positive Zahl in der Basis ist ein Indikator für die Stärke, auf die Sie erhöhen müssen, um zu kommen.
Dabei
Logarithmische Grundidentität:
Grundformeln für Logarithmen:
(Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen)
(Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen)
(Formel für den Logarithmus des Grades)
Die Formel für den Umzug in eine neue Basis lautet:
Algorithmus zum Lösen logarithmischer Ungleichungen
Wir können sagen, dass logarithmische Ungleichungen nach einem bestimmten Algorithmus gelöst werden. Wir müssen den Bereich der akzeptablen Werte (ODV) der Ungleichung aufschreiben. Bringen Sie die Ungleichung in die Form Das Vorzeichen kann hier beliebig sein: Wichtig ist, dass links und rechts in der Ungleichung Logarithmen in der gleichen Basis waren.
Und danach „verwerfen“ wir die Logarithmen! Darüber hinaus bleibt das Ungleichheitszeichen gleich, wenn die Basis des Abschlusses ist. Wenn die Basis so ist, dass sich das Vorzeichen der Ungleichung umkehrt.
Natürlich „hauen“ wir Logarithmen nicht einfach „aus“. Wir verwenden die Monotonieeigenschaft der logarithmischen Funktion. Wenn die Basis des Logarithmus größer als eins ist, steigt die logarithmische Funktion monoton an, und dann entspricht ein größerer Wert von x einem größeren Wert des Ausdrucks.
Wenn die Basis größer als Null und kleiner als Eins ist, nimmt die logarithmische Funktion monoton ab. Ein größerer Wert des Arguments x entspricht einem kleineren Wert
Wichtiger Hinweis: Es ist am besten, die Lösung als Kette von äquivalenten Übergängen zu schreiben.
Fahren wir mit der Praxis fort. Wie immer beginnen wir mit den einfachsten Ungleichungen.
1. Betrachten Sie die Ungleichung log 3 x > log 3 5.
Da Logarithmen nur für positive Zahlen definiert sind, muss x positiv sein. Die Bedingung x > 0 wird als Range of Acceptable Values (ODV) der gegebenen Ungleichung bezeichnet. Nur für solche x macht die Ungleichung Sinn.
Nun, diese Formulierung klingt berühmt und ist leicht zu merken. Aber warum können wir es trotzdem tun?
Wir sind Menschen, wir sind intelligent. Unser Verstand ist so eingerichtet, dass alles, was logisch und verständlich ist und eine innere Struktur hat, viel besser erinnert und angewendet wird als zufällige und zusammenhangslose Tatsachen. Deshalb ist es wichtig, sich die Regeln nicht wie ein abgerichteter Mathematikerhund mechanisch einzuprägen, sondern bewusst zu handeln.
Warum also „verwerfen wir immer noch Logarithmen“?
Die Antwort ist einfach: Wenn die Basis größer als eins ist (wie in unserem Fall), ist die logarithmische Funktion monoton steigend, was bedeutet, dass ein größerer Wert von x einem größeren Wert von y entspricht, und aus der Ungleichung log 3 x 1 > log 3 x 2 folgt x 1 > x 2. 
Bitte beachten Sie, dass wir auf eine algebraische Ungleichung umgestellt haben und gleichzeitig das Ungleichheitszeichen erhalten bleibt.
Also x > 5.
Die folgende logarithmische Ungleichung ist ebenfalls einfach.
2. Protokoll 5 (15 + 3x) > Protokoll 5 2x
Beginnen wir mit dem Bereich der akzeptablen Werte. Logarithmen sind also nur für positive Zahlen definiert
Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir: x > 0.
Gehen wir nun von der logarithmischen Ungleichung zur algebraischen über - wir "verwerfen" die Logarithmen. Da die Basis des Logarithmus größer als eins ist, bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten.
15 + 3x > 2x.
Wir erhalten: x > −15.
Antwort: x > 0.
Aber was passiert, wenn die Basis des Logarithmus kleiner als eins ist? Es ist leicht zu erraten, dass sich in diesem Fall beim Übergang zu einer algebraischen Ungleichung das Ungleichheitszeichen ändert.
Nehmen wir ein Beispiel.
Lassen Sie uns die ODZ schreiben. Die Ausdrücke, von denen Logarithmen genommen werden, müssen positiv sein, d. h.
Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir: x > 4,5.
Seit , die logarithmische Basisfunktion nimmt monoton ab. Und das bedeutet, dass ein größerer Wert der Funktion einem kleineren Wert des Arguments entspricht: 
Und wenn, dann
2x − 9 ≤ x.
Wir erhalten, dass x ≤ 9.
Da x > 4,5 ist, schreiben wir die Antwort:
Im folgenden Problem wird die exponentielle Ungleichung auf eine quadratische reduziert. Wir empfehlen daher, das Thema „quadratische Ungleichungen“ zu wiederholen.
Nun komplexere Ungleichungen:
4. Lösen Sie die Ungleichung
5. Lösen Sie die Ungleichung
Wenn, dann . Wir hatten Glück! Wir wissen, dass die Basis des Logarithmus für alle x-Werte im DPV größer als eins ist.
Machen wir einen Ersatz
Beachten Sie, dass wir die Ungleichung zuerst vollständig in Bezug auf die neue Variable t lösen. Und erst danach kehren wir zur Variablen x zurück. Denken Sie daran und machen Sie keine Fehler in der Prüfung!
Erinnern wir uns an die Regel: Wenn die Gleichung oder Ungleichung Wurzeln, Brüche oder Logarithmen enthält, muss die Lösung im Bereich akzeptabler Werte beginnen. Da die Basis des Logarithmus positiv und ungleich eins sein muss, erhalten wir ein Bedingungssystem:
Vereinfachen wir dieses System:
Dies ist der Bereich akzeptabler Werte für Ungleichheit.
Wir sehen, dass die Variable in der Basis des Logarithmus enthalten ist. Kommen wir zur permanenten Basis. Erinnere dich daran
In diesem Fall ist es bequem, zu Basis 4 zu gehen.
Machen wir einen Ersatz
Vereinfache die Ungleichung und löse sie mit der Intervallmethode:
Zurück zur Variable X:
Wir haben eine Bedingung hinzugefügt X> 0 (von ODZ).
7. Das folgende Problem wird ebenfalls mit der Intervallmethode gelöst
Wie immer beginnen wir mit der Lösung der logarithmischen Ungleichung aus dem Bereich akzeptabler Werte. In diesem Fall
Diese Bedingung muss unbedingt erfüllt sein, und wir werden darauf zurückkommen. Werfen wir einen Blick auf die Ungleichheit selbst. Schreiben wir die linke Seite als Logarithmus zur Basis 3:
Die rechte Seite kann man auch als Logarithmus zur Basis 3 schreiben und dann zur algebraischen Ungleichung gehen:
Wir sehen, dass die Bedingung (also die ODZ) nun automatisch erfüllt ist. Nun, das vereinfacht die Lösung der Ungleichung.
Wir lösen die Ungleichung mit der Intervallmethode:
Antworten:
Passiert? Nun, erhöhen wir den Schwierigkeitsgrad:
8. Lösen Sie die Ungleichung:
Die Ungleichung entspricht dem System:
9. Lösen Sie die Ungleichung:
Ausdruck 5 - X 2 wird im Zustand des Problems obsessiv wiederholt. Und das bedeutet, dass Sie einen Ersatz vornehmen können:
Da die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt, T> 0. Dann
Die Ungleichung nimmt die Form an:
Schon besser. Lassen Sie uns den Bereich der zulässigen Werte der Ungleichung finden. Das haben wir bereits gesagt T> 0. Außerdem ( T− 3) (5 9 T − 1) > 0
Ist diese Bedingung erfüllt, so ist auch der Quotient positiv.
Und der Ausdruck unter dem Logarithmus auf der rechten Seite der Ungleichung muss positiv sein, also (625 T − 2) 2 .
Das heißt 625 T− 2 ≠ 0, also
Schreiben Sie die ODZ sorgfältig auf
und lösen Sie das resultierende System mit der Intervallmethode.
So,
Nun, die halbe Miete ist geschafft – wir haben die ODZ herausgefunden. Lösen wir die Ungleichung. Die Summe der Logarithmen auf der linken Seite wird als Logarithmus des Produkts dargestellt.
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Beim Studium der logarithmischen Funktion haben wir hauptsächlich Ungleichungen der Form betrachtet
protokolliere ein x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.
Lösen Sie die Ungleichung lg (x + 1) ≤ 2 (1).
Lösung.
1) Die rechte Seite der betrachteten Ungleichung ist für alle Werte von x sinnvoll und die linke Seite - für x + 1 > 0, d.h. für x > -1.
2) Das Intervall x\u003e -1 wird als Definitionsbereich der Ungleichung (1) bezeichnet. Die logarithmische Funktion zur Basis 10 ist steigend, daher ist unter der Bedingung x + 1 > 0 die Ungleichung (1) erfüllt, wenn x + 1 ≤ 100 (da 2 = lg 100). Also Ungleichung (1) und das System der Ungleichungen
(x > -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,
sind äquivalent, mit anderen Worten, die Menge der Lösungen der Ungleichung (1) und das System der Ungleichungen (2) sind gleich.
3) Lösungssystem (2), finden wir -1< х ≤ 99.
Antworten. -1< х ≤ 99.
Lösen Sie die Ungleichung log 2 (x - 3) + log 2 (x - 2) ≤ 1 (3).
Lösung.
1) Der Definitionsbereich der betrachteten logarithmischen Funktion ist die Menge der positiven Werte des Arguments, daher ist die linke Seite der Ungleichung sinnvoll für x - 3 > 0 und x - 2 > 0.
Daher ist der Definitionsbereich dieser Ungleichung das Intervall x > 3.
2) Nach den Eigenschaften des Logarithmus ist die Ungleichung (3) für х > 3 äquivalent zur Ungleichung log 2 (х – 3)(х – 2) ≤ log 2 (4).
3) Die logarithmische Funktion zur Basis 2 steigt. Daher ist für х > 3 die Ungleichung (4) erfüllt, wenn (х – 3)(х – 2) ≤ 2.
4) Damit ist die ursprüngliche Ungleichung (3) äquivalent zum System der Ungleichungen
((x - 3)(x - 2) ≤ 2,
(x > 3.
Lösen wir die erste Ungleichung dieses Systems, erhalten wir x 2 - 5x + 4 ≤ 0, also 1 ≤ x ≤ 4. Kombinieren wir dieses Segment mit dem Intervall x > 3, erhalten wir 3< х ≤ 4.
Antworten. 3< х ≤ 4.
Lösen Sie die Ungleichung log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ -4. (5)
Lösung.
1) Der Definitionsbereich der Ungleichung ergibt sich aus der Bedingung x 2 + 2x - 8 > 0.
2) Ungleichung (5) kann geschrieben werden als: 
log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ log 1/2 16.
3) Da die logarithmische Funktion zur Basis ½ fallend ist, erhalten wir für alle x aus dem gesamten Definitionsbereich der Ungleichung:
x 2 + 2x - 8 ≤ 16.
Somit ist die ursprüngliche Gleichheit (5) äquivalent zum System der Ungleichungen
(x 2 + 2x - 8 > 0, oder (x 2 + 2x - 8 > 0,
(x 2 + 2x - 8 ≤ 16, (x 2 + 2x - 24 ≤ 0.
Lösen wir die erste quadratische Ungleichung, erhalten wir x< -4, х >2. Lösen wir die zweite quadratische Ungleichung, erhalten wir -6 ≤ x ≤ 4. Daher sind bei -6 ≤ x beide Ungleichungen des Systems gleichzeitig erfüllt< -4 и при 2 < х ≤ 4.
Antworten. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.
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Ungleichheiten online lösen
Vor dem Lösen von Ungleichungen ist es notwendig, gut zu verstehen, wie Gleichungen gelöst werden.
Es spielt keine Rolle, ob die Ungleichung streng () oder nicht streng (≤, ≥) ist, der erste Schritt besteht darin, die Gleichung zu lösen, indem das Ungleichheitszeichen durch Gleichheit (=) ersetzt wird.
Erklären Sie, was es bedeutet, eine Ungleichung zu lösen?
Nach dem Studium der Gleichungen hat der Schüler folgendes Bild im Kopf: Sie müssen solche Werte der Variablen finden, für die beide Teile der Gleichung die gleichen Werte annehmen. Mit anderen Worten, finden Sie alle Punkte, an denen die Gleichheit gilt. Alles ist richtig!
Wenn über Ungleichungen gesprochen wird, meinen sie, die Intervalle (Segmente) zu finden, für die die Ungleichung gilt. Wenn es zwei Variablen in der Ungleichung gibt, dann ist die Lösung nicht mehr Intervalle, sondern einige Bereiche auf der Ebene. Raten Sie, was die Lösung der Ungleichung in drei Variablen sein wird?
Wie löst man Ungleichungen?
Die Methode der Intervalle (auch bekannt als Methode der Intervalle) wird als universelle Methode zur Lösung von Ungleichungen angesehen, die darin besteht, alle Intervalle zu bestimmen, innerhalb derer die gegebene Ungleichung erfüllt wird.
Ohne auf die Art der Ungleichung einzugehen, ist es in diesem Fall nicht das Wesentliche, es ist erforderlich, die entsprechende Gleichung zu lösen und ihre Wurzeln zu bestimmen, gefolgt von der Bezeichnung dieser Lösungen auf der numerischen Achse.
Wie schreibt man die Lösung einer Ungleichung richtig?
Wenn Sie die Intervalle zum Lösen der Ungleichung bestimmt haben, müssen Sie die Lösung selbst korrekt aufschreiben. Es gibt eine wichtige Nuance - sind die Grenzen der Intervalle in der Lösung enthalten?
Hier ist alles einfach. Wenn die Lösung der Gleichung die ODZ erfüllt und die Ungleichung nicht streng ist, wird die Grenze des Intervalls in die Lösung der Ungleichung einbezogen. Ansonsten nein.
Betrachtet man jedes Intervall, kann die Lösung der Ungleichung das Intervall selbst oder ein halbes Intervall (wenn eine seiner Grenzen die Ungleichung erfüllt) oder ein Segment sein – ein Intervall zusammen mit seinen Grenzen.
Wichtiger Punkt
Denken Sie nicht, dass nur Intervalle, Halbintervalle und Segmente die Lösung für eine Ungleichung sein können. Nein, es können auch einzelne Punkte in die Lösung aufgenommen werden.
Beispielsweise hat die Ungleichung |x|≤0 nur eine Lösung - Punkt 0.
Und die Ungleichung |x|
Wozu dient der Ungleichheitsrechner?
Der Ungleichheitsrechner gibt die richtige endgültige Antwort. Dabei wird in den meisten Fällen eine Darstellung einer numerischen Achse oder Ebene angegeben. Sie können sehen, ob die Grenzen der Intervalle in der Lösung enthalten sind oder nicht – die Punkte werden gefüllt oder durchbrochen dargestellt.
Dank des Online-Ungleichungsrechners können Sie überprüfen, ob Sie die Wurzeln der Gleichung richtig gefunden, auf dem Zahlenstrahl markiert und die Ungleichungsbedingungen an den Intervallen (und Grenzen) überprüft haben?
Wenn Ihre Antwort von der Antwort des Taschenrechners abweicht, müssen Sie Ihre Lösung unbedingt noch einmal überprüfen und den gemachten Fehler identifizieren.