Aufgabe 1
Die Logik ist einfach: Wir machen es wie bisher, obwohl trigonometrische Funktionen jetzt ein komplexeres Argument haben!
Wenn wir eine Gleichung der Form lösen würden:
Dann würden wir folgende Antwort schreiben:
Oder (weil)
Aber jetzt spielen wir den folgenden Ausdruck:
Dann kannst du schreiben:
Unser Ziel bei Ihnen ist es, dass Sie einfach links stehen, ohne jegliche „Verunreinigungen“!
Werden wir sie los!
Entfernen Sie zuerst den Nenner bei: Multiplizieren Sie dazu unsere Gleichheit mit:
Jetzt werden wir los, indem wir beide Teile durch dividieren:
Jetzt lasst uns die Acht loswerden:
Der resultierende Ausdruck kann als 2 Reihen von Lösungen geschrieben werden (in Analogie zu einer quadratischen Gleichung, bei der wir die Diskriminante entweder addieren oder subtrahieren)
Wir müssen die größte negative Wurzel finden! Es ist klar, dass es notwendig ist, zu sortieren.
Schauen wir uns zuerst die erste Serie an:
Es ist klar, dass wir, wenn wir nehmen, als Ergebnis positive Zahlen erhalten, aber wir sind nicht daran interessiert.
Es muss also negativ aufgenommen werden. Lassen.
Wenn die Wurzel schon sein wird:
Und wir müssen das größte Negativ finden!! Hier in die negative Richtung zu gehen macht also keinen Sinn mehr. Und die größte negative Wurzel für diese Reihe wird gleich sein.
Betrachten Sie nun die zweite Reihe:
Und wieder ersetzen wir: , dann:
Nicht interessiert!
Dann macht eine Erhöhung keinen Sinn mehr! Reduzieren wir! Lassen Sie dann:
Passt!
Lassen. Dann
Dann - die größte negative Wurzel!
Antworten:
Aufgabe Nr. 2
Auch hier lösen wir unabhängig vom komplexen Kosinusargument:
Jetzt drücken wir wieder links aus:
Multiplizieren Sie beide Seiten mit
Teilen Sie beide Seiten
Alles, was übrig bleibt, ist, es nach rechts zu verschieben und sein Vorzeichen von Minus auf Plus zu ändern.
Wir erhalten wieder 2 Reihen von Wurzeln, eine mit und die andere mit.
Wir müssen die größte negative Wurzel finden. Betrachten Sie die erste Serie:
Es ist klar, dass wir die erste negative Wurzel bei erhalten werden, sie wird gleich sein und die größte negative Wurzel in Reihe 1 sein.
Für die zweite Serie
Die erste negative Wurzel wird auch bei erhalten und ist gleich. Denn dann ist die größte negative Wurzel der Gleichung.
Antworten: .
Aufgabe Nr. 3
Wir entscheiden, ungeachtet des komplexen Arguments der Tangente.
Das scheint nichts Kompliziertes zu sein, oder?
Wie zuvor drücken wir auf der linken Seite aus:
Na, das ist ja toll, es gibt im Allgemeinen nur eine Reihe von Wurzeln! Finden Sie wieder das größte Negativ.
Es ist klar, dass es sich herausstellt, wenn wir setzen . Und diese Wurzel ist gleich.
Antworten:
Versuchen Sie nun, die folgenden Aufgaben selbst zu lösen.
Hausaufgaben oder 3 Aufgaben zur selbstständigen Lösung.
- Re-shi-te-Gleichung.
- Re-shi-te-Gleichung.
In from-ve-te on-pi-shi-te die kleinste in-lo-zhi-tel-ny-Wurzel. - Re-shi-te-Gleichung.
In from-ve-te on-pi-shi-te die kleinste in-lo-zhi-tel-ny-Wurzel.
Bereit? Wir überprüfen. Ich werde den gesamten Lösungsalgorithmus nicht im Detail beschreiben, es scheint mir, dass ihm oben bereits genug Aufmerksamkeit geschenkt wurde.
Na, ist alles in Ordnung? Oh, diese fiesen Nebenhöhlen, es gibt immer Probleme mit ihnen!
Nun, jetzt können Sie die einfachsten trigonometrischen Gleichungen lösen!
Sehen Sie sich die Lösungen und Antworten an:
Aufgabe 1
Äußern
Die kleinste positive Wurzel erhält man, wenn man seit dann setzt
Antworten:
Aufgabe Nr. 2
Die kleinste positive Wurzel wird bei erhalten.
Er wird gleich sein.
Antworten: .
Aufgabe Nr. 3
Wenn wir bekommen, wenn wir haben.
Antworten: .
Dieses Wissen wird Ihnen helfen, viele der Probleme zu lösen, mit denen Sie in der Prüfung konfrontiert werden.
Wenn Sie eine Bewertung von "5" beantragen, müssen Sie nur mit dem Lesen des Artikels fortfahren Mittelstufe, die sich der Lösung komplexerer trigonometrischer Gleichungen widmen wird (Aufgabe C1).
DURCHSCHNITTSNIVEAU
In diesem Artikel werde ich beschreiben Lösung trigonometrischer Gleichungen komplexerer Art und wie man ihre Wurzeln auswählt. Dabei konzentriere ich mich auf folgende Themen:
- Trigonometrische Gleichungen für den Einstieg (siehe oben).
Komplexere trigonometrische Gleichungen sind die Grundlage von Problemen mit erhöhter Komplexität. Sie erfordern sowohl das Lösen der Gleichung selbst in allgemeiner Form als auch das Finden der Wurzeln dieser Gleichung, die zu einem bestimmten Intervall gehören.
Die Lösung trigonometrischer Gleichungen reduziert sich auf zwei Teilaufgaben:
- Gleichungslösung
- Root-Auswahl
Es sollte beachtet werden, dass die zweite nicht immer erforderlich ist, aber dennoch in den meisten Beispielen erforderlich ist, um eine Auswahl zu treffen. Und wenn es nicht erforderlich ist, können Sie eher nachfühlen - dies bedeutet, dass die Gleichung an sich ziemlich kompliziert ist.
Meine Erfahrung mit der Analyse von C1-Aufgaben zeigt, dass diese üblicherweise in die folgenden Kategorien eingeteilt werden.
Vier Kategorien von Aufgaben mit erhöhter Komplexität (früher C1)
- Gleichungen, die auf Faktorisierung reduziert werden.
- Gleichungen, die sich auf die Form reduzieren.
- Durch Änderung der Variablen gelöste Gleichungen.
- Gleichungen, die aufgrund von Irrationalität oder Nenner eine zusätzliche Auswahl von Wurzeln erfordern.
Einfach gesagt: Wenn Sie bekommen eine der ersten drei Arten von Gleichungen dann schätze dich glücklich. Für sie ist es in der Regel zusätzlich erforderlich, die zu einem bestimmten Intervall gehörenden Wurzeln auszuwählen.
Wenn Sie auf eine Gleichung vom Typ 4 stoßen, haben Sie weniger Glück: Sie müssen länger und sorgfältiger daran basteln, aber häufig ist keine zusätzliche Auswahl von Wurzeln erforderlich. Trotzdem werde ich diese Art von Gleichungen im nächsten Artikel analysieren und diesen der Lösung von Gleichungen der ersten drei Typen widmen.
Gleichungen, die auf Factoring reduziert werden
Das Wichtigste, woran Sie denken müssen, um Gleichungen dieser Art zu lösen, ist
Wie die Praxis zeigt, reicht dieses Wissen in der Regel aus. Schauen wir uns einige Beispiele an:
Beispiel 1. Eine Gleichung, die unter Verwendung der Reduktionsformeln und des Sinus eines Doppelwinkels auf Faktorisierung reduziert wird
- Re-shi-te-Gleichung
- Find-di-these alle Wurzeln dieser Gleichung
Hier funktionieren, wie versprochen, die Gießformeln:
Dann sieht meine Gleichung so aus:
Dann nimmt meine Gleichung folgende Form an:
Ein kurzsichtiger Student könnte sagen: und jetzt reduziere ich beide Teile um, bekomme die einfachste Gleichung und genieße das Leben! Und er wird sich bitter irren!
| ACHTUNG: Reduzieren Sie niemals beide Teile einer trigonometrischen Gleichung für eine Funktion, die das Unbekannte enthält! AUF DIESE WEISE VERLIEREN SIE WURZEL! |
Was also tun? Ja, alles ist einfach, übertragen Sie alles in eine Richtung und nehmen Sie den gemeinsamen Faktor heraus:
Nun, wir haben es ausgeklammert, hurra! Jetzt entscheiden wir:
Die erste Gleichung hat Wurzeln:
Und der zweite:
Damit ist der erste Teil des Problems abgeschlossen. Jetzt müssen wir die Wurzeln auswählen:
Die Lücke ist so:
Oder man kann es auch so schreiben:
Nun, nehmen wir die Wurzeln:
Lassen Sie uns zunächst mit der ersten Serie arbeiten (und es ist, gelinde gesagt, einfacher!)
Da unser Intervall vollständig negativ ist, besteht keine Notwendigkeit, nicht negative zu nehmen, sie ergeben immer noch nicht negative Wurzeln.
Nehmen wir es also - ein bisschen zu viel, es passt nicht.
Lassen Sie dann - wieder nicht getroffen.
Noch ein Versuch - dann - da, zuschlagen! Erste Wurzel gefunden!
Ich schieße noch einmal: dann - nochmal schlagen!
Nun, noch einmal: - das ist schon ein Flug.
Aus der ersten Reihe gehören also 2 Wurzeln zum Intervall: .
Wir arbeiten mit der zweiten Serie (wir bauen zu einer Potenz gemäß der Regel):
Unterschreiten!
Wieder vermisst!
Wieder Mangel!
Habe es!
Flug!
Somit gehören zu meiner Spanne folgende Wurzeln:
Wir werden diesen Algorithmus verwenden, um alle anderen Beispiele zu lösen. Lassen Sie uns gemeinsam ein weiteres Beispiel üben.
Beispiel 2. Eine Gleichung, die mithilfe von Reduktionsformeln auf Faktorisierung reduziert wird
- Löse die Gleichung
Lösung:
Wieder die berüchtigten Besetzungsformeln:
Nochmals, versuchen Sie nicht zu schneiden!
Die erste Gleichung hat Wurzeln:
Und der zweite:
Nun wieder die Suche nach Wurzeln.
Ich beginne mit der zweiten Serie, ich weiß schon alles darüber aus dem vorherigen Beispiel! Schauen Sie und vergewissern Sie sich, dass die zur Lücke gehörenden Wurzeln wie folgt sind:
Jetzt die erste Serie und es ist einfacher:
Wenn - geeignet
Wenn - auch gut
Wenn - schon Flug.
Dann werden die Wurzeln sein:
Selbstständige Arbeit. 3 Gleichungen.
Na, verstehst du die Technik? Das Lösen trigonometrischer Gleichungen scheint nicht mehr so schwierig zu sein? Dann lösen Sie schnell die folgenden Probleme selbst, und dann werden Sie und ich andere Beispiele lösen:
- Löse die Gleichung
Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die mit der Lücke verbunden sind. - Re-shi-te-Gleichung
Geben Sie die Wurzeln der Gleichung an, die an den Schnitt angehängt sind - Re-shi-te-Gleichung
Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, bei-über-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
Gleichung 1
Und nochmal die Gießformel:
Erste Reihe von Wurzeln:
Zweite Reihe von Wurzeln:
Wir beginnen mit der Auswahl für das Intervall
Antworten: , .
Gleichung 2 Selbstständiges Arbeiten prüfen.
Ziemlich knifflige Gruppierung in Faktoren (ich verwende die Formel für den Sinus eines Doppelwinkels):
dann oder
Dies ist eine allgemeine Lösung. Jetzt müssen wir die Wurzeln nehmen. Das Problem ist, dass wir den genauen Wert eines Winkels, dessen Kosinus gleich einem Viertel ist, nicht bestimmen können. Daher kann ich den Arkuskosinus nicht einfach loswerden - so ein Ärgernis!
Was ich tun kann, ist, das seitdem herauszufinden.
Lassen Sie uns eine Tabelle erstellen: Intervall:
Nun, durch schmerzhaftes Suchen kamen wir zu dem enttäuschenden Ergebnis, dass unsere Gleichung eine Wurzel auf dem angegebenen Intervall hat: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
Gleichung 3. Nachweis der selbstständigen Arbeit.
Eine erschreckende Gleichung. Es wird jedoch ganz einfach gelöst, indem man die Formel für den Sinus eines Doppelwinkels anwendet:
Reduzieren wir es um 2:
Wir gruppieren den ersten Term mit dem zweiten und den dritten mit dem vierten und nehmen die gemeinsamen Faktoren heraus:
Es ist klar, dass die erste Gleichung keine Wurzeln hat, und betrachten Sie nun die zweite:
Im Allgemeinen wollte ich mich etwas später mit der Lösung solcher Gleichungen befassen, aber da sich herausstellte, dass es nichts zu tun gab, mussten wir uns entscheiden ...
Gleichungen der Form:
Diese Gleichung wird gelöst, indem beide Seiten geteilt werden durch:
Somit hat unsere Gleichung eine einzige Reihe von Wurzeln:
Sie müssen diejenigen finden, die zum Intervall gehören: .
Lassen Sie uns die Tabelle erneut erstellen, wie ich es zuvor getan habe:
Antworten: .
Gleichungen, die sich auf die Form reduzieren:
Nun, jetzt ist es an der Zeit, zum zweiten Teil der Gleichungen überzugehen, zumal ich bereits herausplatzte, woraus die Lösung der neuartigen trigonometrischen Gleichungen besteht. Aber es wird nicht überflüssig sein, die Gleichung der Form zu wiederholen
Es wird gelöst, indem beide Teile durch den Kosinus geteilt werden:
- Re-shi-te-Gleichung
Geben Sie die Wurzeln der Gleichung an, die an den Cut-off angehängt sind. - Re-shi-te-Gleichung
Geben Sie die Wurzeln der Gleichung an, at-oben-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
Beispiel 1
Das erste ist ganz einfach. Gehen Sie nach rechts und wenden Sie die Doppelwinkelkosinusformel an:
Aha! Gleichung eingeben: . Ich teile beide Teile in
Wir führen die Wurzelentfernung durch:
Lücke:
Antworten:
Beispiel 2
Alles ist auch ganz trivial: Öffnen wir die Klammern rechts:
Grundlegende trigonometrische Identität:
Sinus eines Doppelwinkels:
Schließlich erhalten wir:
Screening der Wurzeln: Lücke.
Antworten: .
Na, wie gefällt euch die Technik, ist sie nicht zu kompliziert? Ich hoffe nicht. Wir können sofort eine Reservierung machen: In ihrer reinen Form sind Gleichungen, die sich sofort auf eine Gleichung für die Tangente reduzieren, ziemlich selten. Typischerweise ist dieser Übergang (Teilen durch Kosinus) nur ein Teil eines größeren Problems. Hier ist ein Beispiel zum Üben:
- Re-shi-te-Gleichung
- Finde-di-jene alle Wurzeln dieser Gleichung, bei-oben-le-zha-schie von-Schnitt.
Lass uns das Prüfen:
Die Gleichung ist sofort gelöst, es genügt, beide Teile zu dividieren durch:
Wurzelsiebung:
Antworten: .
Auf die eine oder andere Weise müssen wir noch auf Gleichungen der Art stoßen, die wir gerade besprochen haben. Allerdings ist es für uns noch zu früh zum Abschluss: Es gibt noch eine weitere "Ebene" von Gleichungen, die wir noch nicht analysiert haben. So:
Lösung trigonometrischer Gleichungen durch Variablenänderung
Hier ist alles transparent: Wir schauen uns die Gleichung genau an, wir vereinfachen sie so weit wie möglich, wir ersetzen, wir lösen, wir machen eine inverse Ersetzung! In Worten, alles ist sehr einfach. Sehen wir es uns in Aktion an:
Beispiel.
- Löse die Gleichung: .
- Finde-di-jene alle Wurzeln dieser Gleichung, bei-oben-le-zha-schie von-Schnitt.
Nun, hier liegt der Ersatz selbst in unseren Händen!
Dann wird unsere Gleichung zu dieser:
Die erste Gleichung hat Wurzeln:
Und das zweite ist so:
Lassen Sie uns nun die Wurzeln finden, die zum Intervall gehören
Antworten: .
Schauen wir uns gemeinsam ein etwas komplexeres Beispiel an:
- Re-shi-te-Gleichung
- Geben Sie die Wurzeln der gegebenen Gleichung an, at-oben-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
Hier ist der Ersatz nicht sofort sichtbar, außerdem ist er nicht sehr offensichtlich. Denken wir zuerst: Was können wir tun?
Wir können uns zum Beispiel vorstellen
Und gleichzeitig
Dann wird meine Gleichung:
Und jetzt Achtung, Fokus:
Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung teilen in:
Plötzlich haben Sie und ich eine quadratische Gleichung für! Nehmen wir eine Substitution vor, dann erhalten wir:
Die Gleichung hat folgende Wurzeln:
Eine unangenehme zweite Reihe von Wurzeln, aber da ist nichts zu machen! Wir treffen eine Auswahl von Wurzeln im Intervall.
Auch das müssen wir berücksichtigen
Seit und dann
Antworten:
Zur Festigung, bevor Sie die Aufgaben selbst lösen, hier noch eine Übung für Sie:
- Re-shi-te-Gleichung
- Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, bei-über-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
Hier heißt es Augen aufhalten: Wir haben Nenner, die Null sein können! Achten Sie daher besonders auf die Wurzeln!
Zuerst muss ich die Gleichung transformieren, damit ich eine geeignete Substitution vornehmen kann. Mir fällt gerade nichts Besseres ein, als den Tangens in Sinus und Cosinus umzuschreiben:
Jetzt werde ich gemäß der grundlegenden trigonometrischen Identität von Cosinus zu Sinus gehen:
Und zum Schluss bringe ich alles auf einen gemeinsamen Nenner:
Jetzt kann ich auf die Gleichung gehen:
Aber bei (d.h. bei).
Jetzt ist alles bereit für den Austausch:
Dann entweder
Beachten Sie jedoch, dass wenn, dann gleichzeitig!
Wer leidet darunter? Das Problem ist die Tangente, sie ist nicht definiert, wenn der Kosinus Null ist (es kommt zu einer Division durch Null).
Die Wurzeln der Gleichung lauten also:
Jetzt filtern wir die Wurzeln im Intervall aus:
| - passt | |
| - suchen |
Somit hat unsere Gleichung eine einzige Wurzel auf dem Intervall, und sie ist gleich.
Sie sehen: das Auftreten des Nenners (ebenso wie der Tangente, führt zu gewissen Schwierigkeiten mit den Wurzeln! Hier ist etwas mehr Vorsicht geboten!).
Nun, Sie und ich haben die Analyse trigonometrischer Gleichungen fast abgeschlossen, es bleibt nur noch sehr wenig übrig - um zwei Probleme alleine zu lösen. Hier sind sie.
- Löse die Gleichung
Finde-di-jene alle Wurzeln dieser Gleichung, bei-oben-le-zha-schie von-Schnitt. - Re-shi-te-Gleichung
Geben Sie die Wurzeln dieser Gleichung an, die mit dem Schnitt verbunden sind.
Entschieden? Nicht sehr schwierig? Lass uns das Prüfen:
- Wir arbeiten nach den Reduktionsformeln:
Wir setzen in die Gleichung ein:
Lassen Sie uns alles in Kosinus umschreiben, damit es bequemer ist, den Ersatz vorzunehmen:
Jetzt ist es einfach, die Ersetzung vorzunehmen:
Es ist klar, dass es sich um eine Fremdwurzel handelt, da die Gleichung keine Lösungen hat. Dann:
Wir suchen nach den Wurzeln, die wir im Intervall brauchen
Antworten: .
Hier ist der Ersatz sofort sichtbar:Dann entweder
- passt! - passt! - passt! - passt! - viel! - auch viel! Antworten:
So, jetzt alles! Aber die Lösung trigonometrischer Gleichungen endet nicht dort, wir haben die schwierigsten Fälle hinter uns gelassen: wenn es Irrationalität oder verschiedene Arten von „komplexen Nennern“ in den Gleichungen gibt. Wie man solche Aufgaben löst, werden wir in einem Artikel für Fortgeschrittene betrachten.
FORTGESCHRITTENES LEVEL
Zusätzlich zu den trigonometrischen Gleichungen, die in den beiden vorherigen Artikeln betrachtet wurden, betrachten wir eine weitere Klasse von Gleichungen, die eine noch sorgfältigere Analyse erfordern. Diese trigonometrischen Beispiele enthalten entweder eine Irrationalität oder einen Nenner, was ihre Analyse erschwert.. Sie können diesen Gleichungen jedoch durchaus in Teil C der Prüfungsarbeit begegnen. Es gibt jedoch einen Lichtblick: Bei solchen Gleichungen stellt sich in der Regel nicht mehr die Frage, welche ihrer Wurzeln zu einem bestimmten Intervall gehören. Reden wir nicht um den heißen Brei herum, sondern nur trigonometrische Beispiele.
Beispiel 1
Lösen Sie die Gleichung und finden Sie die Wurzeln, die zu dem Segment gehören.
Lösung:
Wir haben einen Nenner, der nicht gleich Null sein sollte! Dann ist das Lösen dieser Gleichung dasselbe wie das Lösen des Systems
Lösen wir jede der Gleichungen:
Und jetzt das zweite:
Schauen wir uns nun die Serie an:
Es ist klar, dass die Option nicht zu uns passt, da in diesem Fall der Nenner auf Null gesetzt wird (siehe die Formel für die Wurzeln der zweiten Gleichung).
Wenn - dann ist alles in Ordnung, und der Nenner ist nicht gleich Null! Dann sind die Wurzeln der Gleichung: , .
Nun wählen wir die zum Intervall gehörenden Wurzeln aus.
| - ungeeignet | - passt | |
| - passt | - passt | |
| Aufzählung | Aufzählung |
Dann sind die Wurzeln:
Sie sehen, selbst das Auftreten einer kleinen Störung in Form eines Nenners hat die Lösung der Gleichung erheblich beeinflusst: Wir haben eine Reihe von Wurzeln verworfen, die den Nenner aufheben. Die Dinge können noch komplizierter werden, wenn Sie auf trigonometrische Beispiele stoßen, die irrational sind.
Beispiel 2
Löse die Gleichung:
Lösung:
Nun, zumindest müssen Sie die Wurzeln nicht auswählen, und das ist gut so! Lösen wir zuerst die Gleichung, unabhängig von der Irrationalität:
Und was ist das alles? Nein, das wäre leider zu einfach! Es muss daran erinnert werden, dass nur nicht negative Zahlen unter der Wurzel stehen können. Dann:
Lösung dieser Ungleichung:
Nun bleibt noch herauszufinden, ob nicht versehentlich ein Teil der Wurzeln der ersten Gleichung an eine Stelle gefallen ist, an der die Ungleichung nicht gilt.
Dazu können Sie wieder die Tabelle verwenden:
| : , Aber | Nein! | |
| Ja! | ||
| Ja! |
Somit ist mir eine der Wurzeln „ausgefallen“! Es stellt sich heraus, wenn Sie setzen. Dann kann die Antwort wie folgt geschrieben werden:
Antworten:
Sie sehen, die Wurzel erfordert noch mehr Aufmerksamkeit! Machen wir es noch komplizierter: Ich habe jetzt eine trigonometrische Funktion unter der Wurzel.
Beispiel 3
Wie zuvor: Zuerst werden wir jede einzeln lösen und dann darüber nachdenken, was wir getan haben.
Nun die zweite Gleichung:
Am schwierigsten ist es nun herauszufinden, ob unter der arithmetischen Wurzel negative Werte erhalten werden, wenn wir dort die Wurzeln aus der ersten Gleichung einsetzen:
Die Zahl ist als Bogenmaß zu verstehen. Da ein Bogenmaß ungefähr Grad ist, sind Bogenmaße ungefähr Grad. Dies ist die Ecke des zweiten Viertels. Welches Vorzeichen hat der Kosinus des zweiten Viertels? Minus. Was ist mit Sinus? Plus. Also was ist mit dem Ausdruck:
Es ist weniger als null!
Also - ist nicht die Wurzel der Gleichung.
Jetzt drehen.
Vergleichen wir diese Zahl mit Null.
Der Kotangens ist eine Funktion, die in 1 Viertel abnimmt (je kleiner das Argument, desto größer der Kotangens). Radianten sind ungefähr Grad. Gleichzeitig
seitdem, damals und daher
,
Antworten: .
Darf es noch schwieriger sein? Bitte! Schwieriger wird es, wenn die Wurzel noch eine trigonometrische Funktion ist und der zweite Teil der Gleichung wieder eine trigonometrische Funktion ist.
Je mehr trigonometrische Beispiele, desto besser, schauen Sie weiter:
Beispiel 4
Die Wurzel ist aufgrund des begrenzten Kosinus nicht geeignet
Jetzt das zweite:
Gleichzeitig gilt per Definition der Wurzel:
Wir müssen uns an den Einheitskreis erinnern: nämlich jene Viertel, in denen der Sinus kleiner als Null ist. Was sind das für Viertel? Dritter und vierter. Dann interessieren uns diejenigen Lösungen der ersten Gleichung, die im dritten oder vierten Quadranten liegen.
Die erste Reihe gibt Wurzeln an, die am Schnittpunkt des dritten und vierten Viertels liegen. Die zweite Reihe ist ihr diametral entgegengesetzt und erzeugt Wurzeln, die an der Grenze des ersten und zweiten Viertels liegen. Daher passt diese Serie nicht zu uns.
Antworten: ,
Und wieder trigonometrische Beispiele mit "schwieriger Irrationalität". Wir haben nicht nur wieder eine trigonometrische Funktion unter der Wurzel, sondern jetzt auch im Nenner!
Beispiel 5
Nun, es gibt nichts zu tun - wir handeln wie bisher.
Jetzt arbeiten wir mit dem Nenner:
Ich will die trigonometrische Ungleichung nicht lösen und mache es deshalb knifflig: Ich ziehe und setze meine Reihe von Wurzeln in die Ungleichung ein:
Wenn gerade ist, dann haben wir:
denn dann liegen alle Blickwinkel im vierten Viertel. Und wieder die heilige Frage: Was ist das Zeichen des Sinus im vierten Viertel? Negativ. Dann die Ungleichheit
Wenn ungerade, dann:
In welchem Viertel liegt der Winkel? Dies ist die Ecke des zweiten Viertels. Dann sind alle Eckbälle wieder die Eckbälle des zweiten Viertels. Der Sinus ist positiv. Genau das, was Sie brauchen! Die Reihe lautet also:
Passt!
Mit der zweiten Reihe von Wurzeln gehen wir in gleicher Weise um:
Setzen Sie in unsere Ungleichung ein:
Wenn es gerade ist, dann
Ecken des ersten Viertels. Der Sinus ist dort positiv, also ist die Reihe geeignet. Wenn nun ungerade ist, dann:
passt auch!
Nun, jetzt schreiben wir die Antwort auf!
Antworten:
Nun, das war vielleicht der aufwendigste Fall. Nun biete ich Ihnen Aufgaben zur eigenständigen Lösung an.
Ausbildung
- Lösen und finden Sie alle Wurzeln der Gleichung, die zu dem Segment gehören.
Lösungen:
Erste Gleichung:
oder
Root-ODZ:Zweite Gleichung:
Auswahl von Wurzeln, die zum Intervall gehören
Antworten:
Oder
oder
Aber
Halten: . Wenn es gerade ist, dann
- ungeeignet!
Wenn - ungerade, : - passt!
Unsere Gleichung hat also die folgende Reihe von Wurzeln:
oder
Auswahl der Wurzeln im Intervall:
| - ungeeignet | - passt | |
| - passt | - viel | |
| - passt | viel |
Antworten: , .
Oder
Seit wann ist die Tangente nicht definiert. Werfen Sie diese Wurzelreihe sofort weg!
Zweiter Teil:
Gleichzeitig fordert ODZ dies
Wir überprüfen die in der ersten Gleichung gefundenen Wurzeln:
Wenn Zeichen:
Winkel des ersten Viertels, bei denen die Tangente positiv ist. Ungeeignet!
Wenn Zeichen:
Eckball im vierten Viertel. Dort ist der Tangens negativ. Passt. Schreiben Sie die Antwort auf:
Antworten: , .
Wir haben in diesem Artikel komplexe trigonometrische Beispiele zusammengebrochen, aber Sie sollten in der Lage sein, die Gleichungen selbst zu lösen.
ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL
Eine trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte streng unter dem Vorzeichen der trigonometrischen Funktion steht.
Es gibt zwei Möglichkeiten, trigonometrische Gleichungen zu lösen:
Der erste Weg ist die Verwendung von Formeln.
Der zweite Weg führt durch einen trigonometrischen Kreis.
Ermöglicht Ihnen, Winkel zu messen, deren Sinus, Cosinus und mehr zu finden.
Bei Aufgaben mit erhöhter Komplexität sind dies häufig der Fall trigonometrische Gleichungen mit Modul. Die meisten von ihnen erfordern einen heuristischen Lösungsansatz, der den meisten Studierenden überhaupt nicht geläufig ist.
Die folgenden Aufgaben sollen Sie in die typischsten Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen einführen, die ein Modul enthalten.
Aufgabe 1. Finde die Differenz (in Grad) zwischen der kleinsten positiven und größten negativen Wurzel der Gleichung 1 + 2sin x · |cos x| = 0.
Lösung.
Erweitern wir das Modul:
1) Wenn cos x ≥ 0, dann nimmt die ursprüngliche Gleichung die Form 1 + 2sin x cos x = 0 an.
Wir verwenden die Formel für den Sinus eines Doppelwinkels, wir erhalten:
1 + sin2x = 0; sin2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Da cos x ≥ 0 ist, ist x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Wenn cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – sin2x = 0; sin2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n ∈ Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Da cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Die größte negative Wurzel der Gleichung: -π / 4; kleinste positive Wurzel der Gleichung: 5π/4.
Gewünschte Differenz: 5π/4 - (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Antwort: 270°.
Aufgabe 2. Finde (in Grad) die kleinste positive Wurzel der Gleichung |tg x| + 1/cos x = tg x.
Lösung.
Erweitern wir das Modul:
1) Wenn tg x ≥ 0, dann
tg x + 1/cos x = tg x;
Es gibt keine Wurzeln in der resultierenden Gleichung.
2) Wenn tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x - 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 und cos x ≠ 0.
Unter Verwendung von Abbildung 1 und der Bedingung tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Die kleinste positive Wurzel der Gleichung 5π/6. Wandeln Sie diesen Wert in Grad um:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Antwort: 150°.
Aufgabe 3. Finde die Anzahl der verschiedenen Wurzeln der Gleichung sin |2x| = cos 2x auf dem Intervall [-π/2; π/2].
Lösung.
Schreiben wir die Gleichung als sin|2x| – cos 2x = 0 und betrachte die Funktion y = sin |2x| – kostet 2x. Da die Funktion gerade ist, finden wir ihre Nullstellen für x ≥ 0.
sin 2x – cos 2x = 0; teilen wir beide Seiten der Gleichung durch cos 2x ≠ 0, erhalten wir:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n ∈ Z;
x = π/8 + πn/2, n ∈ Z.
Unter Verwendung der Parität der Funktion erhalten wir, dass die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung Zahlen der Form sind
± (π/8 + πn/2), wobei n ∈ Z.
Das Intervall [-π/2; π/2] Zahlen gehören: -π/8; π/8.
Die beiden Wurzeln der Gleichung gehören also zu dem gegebenen Intervall.
Antwort: 2.
Auch diese Gleichung könnte durch Erweiterung des Moduls gelöst werden.
Aufgabe 4. Finden Sie die Anzahl der Wurzeln der Gleichung sin x - (|2cos x - 1|) / (2cos x - 1) sin 2 x = sin 2 x auf dem Intervall [-π; 2π].
Lösung.
1) Betrachten Sie den Fall, wenn 2cos x – 1 > 0, d. h. cos x > 1/2, dann lautet die Gleichung:
Sünde x - Sünde 2 x \u003d Sünde 2 x;
Sünde x - 2 Sünde 2 x \u003d 0;
sinx(1 - 2sinx) = 0;
sinx = 0 oder 1 - 2sinx = 0;
Sünde x = 0 oder Sünde x = 1/2.
Unter Verwendung von Abbildung 2 und der Bedingung cos x > 1/2 finden wir die Wurzeln der Gleichung:
x = π/6 + 2πn oder x = 2πn, n ∈ Z.
2) Betrachten Sie den Fall, wenn 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
Sünde x + Sünde 2 x = Sünde 2 x;
x = 2πn, n ∈ Z.
Unter Verwendung von Abbildung 2 und der Bedingung cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Kombiniert man die beiden Fälle, erhält man:
x = π/6 + 2πn oder x = πn.
3) Das Intervall [-π; 2π] gehören zu den Wurzeln: π/6; -π; 0; π; 2π.
Somit gehören fünf Wurzeln der Gleichung zu dem gegebenen Intervall.
Antwort: 5.
Aufgabe 5. Finden Sie die Anzahl der Wurzeln der Gleichung (x - 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 auf dem Intervall [-π; 2π].
Lösung.
1) Wenn sin x ≥ 0, dann hat die ursprüngliche Gleichung die Form (x - 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Nachdem wir den gemeinsamen Teiler sin x aus Klammern genommen haben, erhalten wir:
Sünde x((x - 0,7) 2 + 1) = 0; da (x - 0,7) 2 + 1 > 0 für alle reellen x, dann ist sinx = 0, d.h. x = πn, n ∈ Z.
2) Wenn Sünde x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x - 0,7) 2 - 1) = 0;
sinx \u003d 0 oder (x - 0,7) 2 + 1 \u003d 0. Da sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x - 0,7 \u003d 1 oder x - 0,7 \u003d -1, was x \u003d 1,7 oder x \u003d -0,3 bedeutet.
Unter Berücksichtigung der Bedingung sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0 bedeutet, dass nur die Zahl -0,3 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung ist.
3) Das Intervall [-π; 2π] gehören zu den Zahlen: -π; 0; π; 2π; -0,3.
Somit hat die Gleichung fünf Wurzeln in einem gegebenen Intervall.
Antwort: 5.
Sie können sich mit Hilfe verschiedener Bildungsressourcen, die im Netzwerk verfügbar sind, auf Unterricht oder Prüfungen vorbereiten. Derzeit jeder 
Eine Person muss einfach neue Informationstechnologien verwenden, weil ihre korrekte und vor allem angemessene Anwendung die Motivation zum Studium des Fachs erhöht, das Interesse erhöht und hilft, sich das notwendige Material besser anzueignen. Aber vergessen Sie nicht, dass der Computer das Denken nicht lehrt, die erhaltenen Informationen müssen verarbeitet, verstanden und gespeichert werden. Daher können Sie Hilfe von unseren Online-Tutoren suchen, die Ihnen bei der Lösung der Probleme helfen, die Sie interessieren.
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