Der zum Satz inverse Satz ist weniger beweisbar. Satz von Ceva und Menelaos. Warum ist das alles notwendig?

Klasse: 9

Lernziele:

1. das Wissen und die Fähigkeiten der Studierenden verallgemeinern, erweitern und systematisieren; zu lehren, wie man Wissen zur Lösung komplexer Probleme nutzt;
2. die Entwicklung von Fähigkeiten zur selbstständigen Anwendung von Wissen bei der Lösung von Problemen fördern;
3. Entwickeln Sie das logische Denken und die mathematische Sprache der Schüler sowie die Fähigkeit zum Analysieren, Vergleichen und Verallgemeinern.
4. erziehen Sie die Schüler zu Selbstvertrauen und Fleiß; Teamfähigkeit.

Lernziele:

• Lehrreich: Wiederholen Sie die Sätze von Menelaos und Ceva. Wenden Sie sie zur Problemlösung an.
• Entwicklung: zu lehren, eine Hypothese aufzustellen und die eigene Meinung geschickt mit Beweisen zu verteidigen; testen Sie die Fähigkeit, ihr Wissen zu verallgemeinern und zu systematisieren.
• Lehrreich: das Interesse am Thema steigern und sich auf die Lösung komplexerer Probleme vorbereiten.

Unterrichtsart: Lektion der Verallgemeinerung und Systematisierung von Wissen.

Ausrüstung: Karten für die gemeinsame Arbeit in einer Unterrichtsstunde zu einem bestimmten Thema, Einzelkarten für selbstständiges Arbeiten, ein Computer, ein Multimedia-Projektor, eine Leinwand.

Während des Unterrichts

Ich inszeniere. Organisatorischer Moment (1 Min.)

Der Lehrer erklärt das Thema und den Zweck der Lektion.

II. Stufe. Aktualisierung grundlegender Kenntnisse und Fähigkeiten (10 Min.)

Lehrer: In der Lektion erinnern wir uns an die Sätze von Menelaos und Ceva, um erfolgreich mit der Lösung von Problemen fortzufahren. Werfen wir mit Ihnen einen Blick auf den Bildschirm. Für welchen Satz ist dieses Bild gedacht? (Satz von Menelaos). Versuchen Sie, den Satz klar darzulegen.

Bild 1

Punkt A 1 liege auf der Seite BC des Dreiecks ABC, Punkt C 1 liege auf der Seite AB, Punkt B 1 liege auf der Verlängerung der Seite AC über Punkt C hinaus. Die Punkte A 1 , B 1 und C 1 liegen auf derselben Geraden, wenn und nur wenn Gleichheit herrscht

Lehrer: Schauen wir uns gemeinsam das nächste Bild an. Formulieren Sie einen Satz für diese Figur.

Figur 2

Die Linie AD schneidet zwei Seiten und die Verlängerung der dritten Seite des Dreiecks BMC.

Nach dem Satz von Menelaos

Die Linie MB schneidet zwei Seiten und die Verlängerung der dritten Seite des Dreiecks ADC.

Nach dem Satz von Menelaos

Lehrer: Welchem ​​Satz entspricht das Bild? (Cevas Theorem). Formulieren Sie einen Satz.

Figur 3

Lassen Sie im Dreieck ABC Punkt A 1 auf der Seite BC liegen, Punkt B 1 liegt auf der Seite AC, Punkt C 1 liegt auf der Seite AB. Die Segmente AA 1 , BB 1 und CC 1 schneiden sich genau dann in einem Punkt, wenn Gleichheit herrscht

III. Stufe. Probleme lösen. (22 Min.)

Die Klasse wird in 3 Teams aufgeteilt, jedes erhält eine Karte mit zwei unterschiedlichen Aufgaben. Es wird Zeit zum Lösen gegeben, dann wird der Bildschirm angezeigt<Рисунки 4-9>. Anhand der vorgefertigten Zeichnungen zu den Aufgaben erläutern die Vertreter der Teams der Reihe nach ihre Lösung. Auf jede Erklärung folgt eine Diskussion, Antworten auf Fragen und eine Überprüfung der Richtigkeit der Lösung am Bildschirm. Alle Teammitglieder beteiligen sich an der Diskussion. Je aktiver das Team ist, desto höher wird es in der Zusammenfassung bewertet.

Karte 1.

1. Im Dreieck ABC wird auf der Seite BC Punkt N so genommen, dass NC = 3BN; Auf der Verlängerung der Seite AC wird Punkt M als Punkt A genommen, sodass MA = AC. Die Linie MN schneidet die Seite AB am Punkt F. Finden Sie das Verhältnis

2. Beweisen Sie, dass sich die Mediane eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.

Lösung 1

Figur 4

Gemäß der Bedingung des Problems ist MA = AC, NC = 3BN. Sei MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Die Linie MN schneidet zwei Seiten des Dreiecks ABC und die Verlängerung der dritten.

Nach dem Satz von Menelaos

Antworten:

Beweis 2

Abbildung 5

Seien AM 1 , BM 2 , CM 3 die Mediane des Dreiecks ABC. Um zu beweisen, dass sich diese Segmente in einem Punkt schneiden, genügt es, dies zu zeigen

Dann schneiden sich nach dem (inversen) Ceva-Theorem die Segmente AM 1 , BM 2 und CM 3 in einem Punkt.

Wir haben:

Damit ist bewiesen, dass sich die Mediane eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.

Karte 2.

1. Punkt N wird auf der Seite PQ des Dreiecks PQR genommen, und Punkt L wird auf der Seite PR genommen, und NQ = LR. Der Schnittpunkt der Strecken QL und NR teilt QL im Verhältnis m:n, gezählt vom Punkt Q. Finden

2. Beweisen Sie, dass sich die Winkelhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.

Lösung 1

Abbildung 6

Unter der Annahme NQ = LR sei NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Die Linie NR schneidet zwei Seiten des Dreiecks PQL und die Verlängerung der dritten.

Nach dem Satz von Menelaos

Antworten:

Beweis 2

Abbildung 7

Lassen Sie uns das zeigen

Dann schneiden sich AL 1 , BL 2 , CL 3 nach dem (inversen) Ceva-Theorem in einem Punkt. Entsprechend der Eigenschaft der Winkelhalbierenden eines Dreiecks

Durch Multiplikation der erhaltenen Gleichungen Term für Term erhalten wir:

Für die Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist die Ceva-Gleichheit erfüllt, daher schneiden sie sich in einem Punkt.

Karte 3.

1. Im Dreieck ABC ist AD der Median, Punkt O ist der Mittelpunkt des Medians. Die Linie BO schneidet die Seite AC im Punkt K. In welchem ​​Verhältnis teilt Punkt K AC, gerechnet von Punkt A aus?

2. Beweisen Sie, dass sich die Segmente, die die Eckpunkte des Dreiecks mit den Kontaktpunkten gegenüberliegender Seiten verbinden, in einem Punkt schneiden, wenn ein Kreis in ein Dreieck eingeschrieben ist.

Lösung 1

Abbildung 8

Sei BD = DC = a, AO = OD = m. Die Linie VC schneidet zwei Seiten und die Verlängerung der dritten Seite des Dreiecks ADC.

Nach dem Satz von Menelaos

Antworten:

Beweis 2

Abbildung 9

Seien A 1 , B 1 und C 1 die Tangentenpunkte des eingeschriebenen Kreises des Dreiecks ABC. Um zu beweisen, dass sich die Segmente AA 1 , BB 1 und CC 1 in einem Punkt schneiden, genügt es zu zeigen, dass die Gleichheit von Ceva gilt:

Unter Verwendung der Eigenschaft von Tangenten, die von einem Punkt an einen Kreis gezogen werden, führen wir die Notation ein: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Es gilt die Gleichheit von Ceva, was bedeutet, dass sich die Winkelhalbierenden des Dreiecks in einem Punkt schneiden.

IV-Stufe. Problemlösung (selbstständiges Arbeiten) (8 Min.)

Lehrer: Die Arbeit der Teams ist beendet und jetzt beginnen wir mit der eigenständigen Arbeit an einzelnen Karten für 2 Optionen.

Materialien für den Unterricht zum selbstständigen Arbeiten der Studierenden

Variante 1. In einem Dreieck ABC, dessen Fläche 6 beträgt, wird auf der Seite AB ein Punkt K genommen, der diese Seite im Verhältnis AK:BK = 2:3 teilt, und auf der Seite AC - Punkt L, der AC in teilt das Verhältnis AL:LC = 5:3. Der Schnittpunkt Q der Geraden СК und BL liegt im Abstand von der Geraden AB. Finden Sie die Länge der Seite AB. (Antwort: 4.)

Option 2. Punkt K wird auf Seite AC im Dreieck ABC genommen. AK = 1, KS = 3. Punkt L wird auf Seite AB genommen. AL:LВ = 2:3, Q ist der Schnittpunkt der Linien BK und CL. Finden Sie die Länge der Höhe des Dreiecks ABC, abgesenkt vom Scheitelpunkt B. (Antwort: 1.5.)

Die Arbeit wird dem Lehrer zur Überprüfung vorgelegt.

V-Stufe. Zusammenfassung der Lektion (2 Min.)

Fehler werden analysiert, Originalantworten und Kommentare notiert. Die Arbeitsergebnisse jedes Teams werden zusammengefasst und benotet.

VI-Stufe. Hausaufgaben (1 Min.)

Die Hausaufgaben bestehen aus den Aufgaben Nr. 11, 12 S. 289-290, Nr. 10 S. 301.

Schlusswort des Lehrers (1 Minute).

Heute haben Sie sich gegenseitig die mathematische Rede von der Seite angehört und Ihre Fähigkeiten eingeschätzt. In Zukunft werden wir solche Diskussionen nutzen, um das Thema besser zu verstehen. Die Argumente in der Lektion waren Freundschaft mit Fakten und Theorie mit Praxis. Danke euch allen.

Literatur:

1. Tkachuk V.V. Mathematik für einen Bewerber. – M.: MTsNMO, 2005.

EIN V. Schewkin

FMS Nr. 2007

Theoreme von Ceva und Menelaos zum Einheitlichen Staatsexamen

Ein ausführlicher Artikel „Rund um die Sätze von Ceva und Menelaos“ ist auf unserer Website in der Rubrik ARTIKEL veröffentlicht. Es richtet sich an Mathematiklehrer und Gymnasiasten, die motiviert sind, über gute Mathematikkenntnisse zu verfügen. Sie können dorthin zurückkehren, wenn Sie das Problem genauer verstehen möchten. In diesem Hinweis geben wir kurze Informationen aus dem genannten Artikel und analysieren die Lösungen für Probleme aus der Sammlung zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2016.

Satz von Ceva

Gegeben sei ein Dreieck ABC und auf seinen Seiten AB, Chr Und Wechselstrom Punkte sind markiert C 1 , A 1 Und B 1 bzw. (Abb. 1).

a) Wenn die Segmente AA 1 , BB 1 und CC Ich schneide mich also in einem Punkt

b) Wenn Gleichheit (1) wahr ist, dann die Segmente AA 1 , BB 1 und CC 1 kreuzen sich in einem Punkt.

Abbildung 1 zeigt den Fall, wenn die Segmente AA 1 , BB 1 und CC 1 schneiden sich in einem Punkt innerhalb des Dreiecks. Dies ist der sogenannte Innenpunktfall. Der Satz von Ceva gilt auch im Fall eines externen Punktes, wenn einer der Punkte A 1 , B 1 oder MIT 1 gehört zur Seite des Dreiecks und die anderen beiden gehören zu den Verlängerungen der Seiten des Dreiecks. In diesem Fall der Schnittpunkt der Segmente AA 1 , BB 1 und CC 1 liegt außerhalb des Dreiecks (Abb. 2).

Wie kann man sich Chevas Gleichung merken?

Achten wir auf die Methode zum Auswendiglernen der Gleichheit (1). Die Eckpunkte des Dreiecks in jeder Beziehung und die Beziehungen selbst werden in die Richtung geschrieben, in der die Eckpunkte des Dreiecks umgangen werden ABC, ausgehend vom Punkt A. vom Punkt A geh auf den Punkt B, wir treffen einen Punkt MIT 1, schreibe den Bruch auf
. Weiter vom Punkt entfernt IN geh auf den Punkt MIT, wir treffen einen Punkt A 1, schreibe den Bruch auf
. Zum Schluss vom Punkt MIT geh auf den Punkt A, wir treffen einen Punkt IN 1, schreibe den Bruch auf
. Bei einem externen Punkt bleibt die Reihenfolge der Brüche erhalten, obwohl die beiden „Teilungspunkte“ des Segments außerhalb ihrer Segmente liegen. In solchen Fällen sagen wir, dass der Punkt das Segment äußerlich teilt.

Beachten Sie, dass jedes Liniensegment aufgerufen wird, das den Scheitelpunkt eines Dreiecks mit einem beliebigen Punkt auf der Linie verbindet, die die gegenüberliegende Seite des Dreiecks enthält Ceviana.

Betrachten wir verschiedene Möglichkeiten, die Behauptung a) des Satzes von Ceva für den Fall eines inneren Punktes zu beweisen. Um den Satz von Ceva zu beweisen, muss man Aussage a) mit einer der unten vorgeschlagenen Methoden beweisen und auch Aussage b) beweisen. Der Beweis der Behauptung b) erfolgt nach der ersten Beweismethode der Behauptung a). Die Beweise des Satzes von Ceva für den Fall eines externen Punktes werden auf ähnliche Weise durchgeführt.

Beweis der Behauptung a) des Satzes von Ceva unter Verwendung des Satzes über Proportionalsegmente

Lassen Sie drei Cevians AA 1 , BB 1 und CC 1 kreuzen sich in einem Punkt Z innerhalb des Dreiecks ABC.

Die Idee des Beweises besteht darin, die Verhältnisse der Segmente aus Gleichung (1) durch die Verhältnisse der Segmente zu ersetzen, die auf derselben Geraden liegen.

Durch den Punkt IN Zeichne eine Linie parallel zu Ceviana SS 1 . Gerade AA 1 schneidet die konstruierte Linie im Punkt M, und die Linie, die durch den Punkt geht C und parallel AA 1 , - an der Stelle T. durch Punkte A Und MIT Zeichnen Sie gerade Linien parallel zu Cevians BB 1 . Sie werden die Grenze überschreiten VM an Punkten N Und R bzw. (Abb. 3).

P Über den Satz über proportionale Segmente haben wir:

,
Und
.

Dann die Gleichheiten

.

In Parallelogrammen ZCTM Und ZCRB Segmente TM, СZ Und BR gleich wie gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms. Somit,
und die Gleichheit ist wahr

.

Zum Beweis der Behauptung b) verwenden wir die folgende Behauptung. Reis. 3

Lemma 1. Wenn die Punkte MIT 1 und MIT 2 Teilen Sie den Schnitt AB Betrachtet man das innere (oder äußere) Bild in gleicher Hinsicht, vom gleichen Punkt aus gezählt, dann fallen diese Punkte zusammen.

Beweisen wir das Lemma für den Fall, dass die Punkte vorliegen MIT 1 und MIT 2 Teilen Sie den Schnitt AB intern im gleichen Sinne:
.

Nachweisen. Aus Gleichheit
gefolgt von Gleichheiten
Und
. Die letzte davon wird nur unter der Bedingung erfüllt, dass MIT 1 B Und MIT 2 B sind gleich, d.h. vorausgesetzt, dass die Punkte MIT 1 und MIT 2 Spiel.

Beweis des Lemmas für den Fall, dass die Punkte MIT 1 und MIT 2 Teilen Sie den Schnitt ABäußerlich in ähnlicher Weise durchgeführt.

Beweis der Behauptung b) des Satzes von Ceva

Nun sei Gleichheit (1) wahr. Beweisen wir, dass die Segmente AA 1 , BB 1 und CC 1 kreuzen sich in einem Punkt.

Lass die Cevians AA 1 und BB 1 kreuzen sich in einem Punkt Z, zeichne ein Segment durch diesen Punkt CC 2 (MIT 2 liegt auf dem Segment AB). Dann erhalten wir aufgrund der Behauptung a) die richtige Gleichheit

. (2)

UND Wenn wir die Gleichungen (1) und (2) vergleichen, kommen wir zu dem Schluss
, also Punkte MIT 1 und MIT 2 Teilen Sie den Schnitt AB im gleichen Verhältnis, vom gleichen Punkt aus gezählt. Lemma 1 impliziert, dass die Punkte MIT 1 und MIT 2 Spiel. Dies bedeutet, dass die Segmente AA 1 , BB 1 und CC 1 kreuzen sich in einem Punkt, der bewiesen werden sollte.

Es kann bewiesen werden, dass das Verfahren zum Schreiben von Gleichheit (1) nicht davon abhängt, an welchem ​​Punkt und in welcher Richtung die Eckpunkte des Dreiecks umgangen werden.

Übung 1. Finden Sie die Länge des Segments AN in Abbildung 4, die die Längen anderer Segmente zeigt.

Antworten. 8.

Aufgabe 2. Cevianer BIN, BN, CK schneiden sich in einem Punkt innerhalb des Dreiecks ABC. Finden Sie eine Haltung
, Wenn
,
. Reis. 4

Antworten.
.

P Wir präsentieren den Beweis des Cevas-Theorems aus dem Artikel. Die Idee des Beweises besteht darin, die Verhältnisse der Segmente aus Gleichheit (1) durch die Verhältnisse der Segmente zu ersetzen, die auf parallelen Geraden liegen.

Lass gerade AA 1 , BB 1 , CC 1 kreuzen sich in einem Punkt Ö innerhalb des Dreiecks ABC(Abb. 5). Durch die Spitze MIT Dreieck ABC Zeichne eine Linie parallel AB und ihre Schnittpunkte mit den Geraden AA 1 , BB 1 bezeichnen jeweils A 2 , B 2 .

Aus der Ähnlichkeit zweier Dreieckspaare CB 2 B 1 Und ABB 1 , BAA 1 Und CA 2 A 1, Abb. 5

wir haben die Gleichheiten

,
. (3)

Aus der Ähnlichkeit von Dreiecken Chr 1 Ö Und B 2 CO, AMIT 1 Ö Und A 2 CO wir haben die Gleichheiten
, woraus folgt

. (4)

P Durch Multiplikation der Gleichheiten (3) und (4) erhalten wir die Gleichheit (1).

Behauptung a) des Satzes von Ceva ist bewiesen.

Betrachten Sie die Beweise der Behauptung a) des Satzes von Ceva mit Hilfe von Flächen für einen inneren Punkt. Es steht im Buch von A.G. Myakishev und basiert auf den Aussagen, die wir in Form von Aufgaben formulieren werden 3 Und 4 .

Aufgabe 3. Das Verhältnis der Flächen zweier Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt und auf derselben Linie liegenden Basen ist gleich dem Verhältnis der Längen dieser Basen. Beweisen Sie diese Aussage.

Aufgabe 4. Beweisen Sie, dass wenn
, Das
Und
. Reis. 6

Lassen Sie die Segmente AA 1 , BB 1 und CC 1 kreuzen sich in einem Punkt Z(Abb. 6).

,
. (5)

UND aus Gleichungen (5) und der zweiten Aufgabenstellung 4 folgt dem
oder
. Ebenso verstehen wir das
Und
. Wenn wir die letzten drei Gleichungen multiplizieren, erhalten wir:

,

d.h. die Gleichheit (1) ist wahr, was bewiesen werden sollte.

Behauptung a) des Satzes von Ceva ist bewiesen.

Aufgabe 15. Lassen Sie die Cevians sich an einem Punkt innerhalb des Dreiecks schneiden und teilen Sie es in 6 Dreiecke, deren Flächen gleich sind S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 , S 6 (Abb. 7). Beweise das . Reis. 7

Aufgabe 6. Finden Sie den Bereich S Dreieck CNZ(Die Flächen anderer Dreiecke sind in Abbildung 8 dargestellt).

Antworten. 15.

Aufgabe 7. Finden Sie den Bereich S Dreieck CNO wenn die Fläche des Dreiecks ANEIN ist 10 und
,
(Abb. 9).

Antworten. 30.

Aufgabe 8. Finden Sie den Bereich S Dreieck CNO wenn die Fläche des Dreiecks AChr ist gleich 88 und ,
(Abb. 9).

R Lösung. Da bezeichnen wir
,
. Als , dann bezeichnen wir
,
. Aus dem Satz von Ceva folgt das
, und dann
. Wenn
, Das
(Abb. 10). Wir haben drei Unbekannte ( X, j Und S), also zu finden S Stellen wir drei Gleichungen auf.

Als
, Das
= 88. Seitdem
, Das
, Wo
. Als
, Das
.

So,
, Wo
. Reis. 10

Aufgabe 9. Im Dreieck ABC Punkte K Und L gehören jeweils den Parteien AB Und BC.
,
. P AL Und CK. Fläche eines Dreiecks PBC gleich 1. Finden Sie die Fläche des Dreiecks ABC.

Antworten. 1,75.

T Satz von Menelaos

Gegeben sei ein Dreieck ABC und auf seinen Seiten Wechselstrom Und CB Punkte sind markiert B 1 und A 1 jeweils und auf der Fortsetzung der Seite AB markierter Punkt C 1 (Abb. 11).

a) Wenn die Punkte A 1 , B 1 und MIT Ich liege also auf derselben Linie

. (6)

b) Wenn Gleichheit (7) wahr ist, dann sind die Punkte A 1 , B 1 und MIT 1 liegen auf der gleichen Linie. Reis. elf

Wie erinnert man sich an die Gleichheit von Menelaos?

Die Technik zum Auswendiglernen von Gleichheit (6) ist dieselbe wie für Gleichheit (1). Die Eckpunkte des Dreiecks in jeder Beziehung und die Beziehungen selbst werden in die Richtung geschrieben, in der die Eckpunkte des Dreiecks umgangen werden ABC- von Scheitelpunkt zu Scheitelpunkt, durch Teilungspunkte (intern oder extern).

Aufgabe 10. Beweisen Sie, dass beim Schreiben von Gleichung (6) von jedem Scheitelpunkt des Dreiecks in jede Richtung das gleiche Ergebnis erzielt wird.

Um den Satz von Menelaos zu beweisen, muss man Aussage a) mit einer der unten vorgeschlagenen Methoden beweisen und auch Aussage b) beweisen. Der Beweis der Behauptung b) erfolgt nach der ersten Beweismethode der Behauptung a).

Beweis der Behauptung a) unter Verwendung des Satzes über Proportionalsegmente

ICHWeg. a) Die Idee des Beweises besteht darin, die Verhältnisse der Längen der Segmente in Gleichheit (6) durch die Verhältnisse der Längen der Segmente zu ersetzen, die auf einer Geraden liegen.

Lassen Sie die Punkte A 1 , B 1 und MIT 1 liegen auf der gleichen Linie. Durch den Punkt C Lass uns eine gerade Linie zeichnen l, parallel zur Linie A 1 B 1 schneidet es die Linie AB am Punkt M(Abb. 12).

R
Ist. 12

Nach dem Satz der proportionalen Segmente gilt:
Und
.

Dann die Gleichheiten
.

Beweis der Behauptung b) des Satzes von Menelaos

Lassen Sie nun die Gleichung (6) wahr sein, wir werden die Punkte beweisen A 1 , B 1 und MIT 1 liegen auf der gleichen Linie. Lass gerade AB Und A 1 B 1 kreuzen sich in einem Punkt MIT 2 (Abb. 13).

Da die Punkte A 1 B 1 und MIT 2 auf derselben Geraden liegen, dann nach Aussage a) des Menelaos-Theorems

. (7)

Aus einem Vergleich der Gleichungen (6) und (7) haben wir
, woraus folgt, dass die Gleichheiten

,
,
.

Die letzte Gleichheit ist nur unter der Bedingung wahr
, d.h. wenn die Punkte MIT 1 und MIT 2 Spiel.

Behauptung b) des Menelaos-Theorems ist bewiesen. Reis. 13

Beweis der Behauptung a) anhand der Ähnlichkeit von Dreiecken

Die Idee des Beweises besteht darin, die Verhältnisse der Längen der Segmente aus Gleichung (6) durch die Verhältnisse der Längen der Segmente zu ersetzen, die auf parallelen Geraden liegen.

Lassen Sie die Punkte A 1 , B 1 und MIT 1 liegen auf der gleichen Linie. Aus Punkten A, B Und C Zeichne Senkrechte AA 0 , BB 0 und SS 0 zu dieser Geraden (Abb. 14).

R
Ist. 14

Aus der Ähnlichkeit von drei Dreieckspaaren AA 0 B 1 Und CC 0 B 1 , CC 0 A 1 Und BB 0 A 1 , C 1 B 0 B Und C 1 A 0 A(in zwei Ecken) haben wir die richtigen Gleichheiten

,
,
,

Wenn wir sie multiplizieren, erhalten wir:

.

Behauptung a) des Menelaos-Theorems ist bewiesen.

Beweis der Behauptung a) anhand von Flächen

Die Idee des Beweises besteht darin, das Verhältnis der Längen der Segmente aus Gleichung (7) durch das Verhältnis der Flächen von Dreiecken zu ersetzen.

Lassen Sie die Punkte A 1 , B 1 und MIT 1 liegen auf der gleichen Linie. Verbinde die Punkte C Und C 1 . Bezeichnen Sie die Flächen von Dreiecken S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 (Abb. 15).

Dann die Gleichheiten

,
,
. (8)

Wenn wir die Gleichungen (8) multiplizieren, erhalten wir:

Behauptung a) des Menelaos-Theorems ist bewiesen.

R
Ist. 15

So wie der Satz von Ceva gültig bleibt, wenn der Schnittpunkt von Cevian außerhalb des Dreiecks liegt, bleibt der Satz von Menelaos gültig, wenn die Sekante nur die Verlängerungen der Seiten des Dreiecks schneidet. In diesem Fall können wir vom Schnittpunkt der Seiten des Dreiecks an externen Punkten sprechen.

Beweis der Behauptung a) für den Fall externer Punkte

P Die Mündung der Sekante schneidet die Seiten des Dreiecks ABC an äußeren Punkten, d. h. schneidet die Verlängerungen der Seiten AB,Chr Und Wechselstrom an Punkten C 1 , A 1 und B 1, und diese Punkte liegen auf derselben Geraden (Abb. 16).

Nach dem Satz der proportionalen Segmente gilt:

Und .

Dann die Gleichheiten

Behauptung a) des Menelaos-Theorems ist bewiesen. Reis. 16

Beachten Sie, dass der obige Beweis mit dem Beweis des Satzes von Menelaos für den Fall übereinstimmt, dass die Sekante zwei Seiten des Dreiecks an inneren Punkten und eine am äußeren schneidet.

Der Beweis der Behauptung b) des Menelaos-Theorems für den Fall externer Punkte ähnelt dem oben gegebenen Beweis.

W Hölle11. Im Dreieck ABC Punkte A 1 , IN 1 liegen jeweils an den Seiten Sonne Und AMIT. P- Schnittpunkt der Segmente AA 1 Und BB 1 .
,
. Finden Sie eine Haltung
.

Lösung. Bezeichnen
,
,
,
(Abb. 17). Nach dem Satz von Menelaos für ein Dreieck ChrIN 1 und Sekante PA 1 Schreiben Sie die richtige Gleichheit:

,

woraus folgt das

. Reis. 17

Antworten. .

W Hölle12 (Moskauer Staatsuniversität, Fernvorbereitungskurse). Im Dreieck ABC, dessen Fläche 6 beträgt, auf der Seite AB Punkt genommen ZU, Aufteilung dieser Seite in Bezug auf
, und auf der Seite Wechselstrom- Punkt L, teilen Wechselstrom gegenüber
. Punkt P Linienkreuzungen SC Und INL aus der Leitung entfernt AB im Abstand von 1,5. Finden Sie die Länge der Seite AB.

Lösung. Aus Punkten R Und MIT Lassen wir die Senkrechten fallen PR Und CM direkt AB. Bezeichnen
,
,
,
(Abb. 18). Nach dem Satz von Menelaos für ein Dreieck AKC und Sekante PL Schreiben Sie die richtige Gleichung:
, woher wir das haben
,
. Reis. 18

Aus der Ähnlichkeit von Dreiecken ZUMC Und ZURP(an zwei Ecken) Wir verstehen das
, woraus folgt
.

Nun kennen Sie die Länge der zur Seite gezeichneten Höhe AB Dreieck Abs, und die Fläche dieses Dreiecks, wir berechnen die Länge der Seite:
.

Antworten. 4.

W Hölle13. Drei Kreise mit Mittelpunkten A,IN,MIT, deren Radien zusammenhängen als
, berühren sich äußerlich an den Punkten X, Y, Z wie in Abbildung 19 dargestellt. Segmente AXT Und VON sich in einem Punkt schneiden Ö. In welchem ​​Verhältnis, vom Punkt aus gezählt B, Liniensegment cz teilt das Segment VON?

Lösung. Bezeichnen
,
,
(Abb. 19). Als
, dann nach Behauptung b) des Satzes von Ceva die Segmente AX, VON Und MITZ sich in einem Punkt schneiden Ö. Dann das Segment cz teilt das Segment VON gegenüber
. Lassen Sie uns diese Beziehung finden. Reis. 19

Nach dem Satz von Menelaos für ein Dreieck BCY und Sekante OCHSE wir haben:
, woraus folgt
.

Antworten. .

Aufgabe 14 (USE-2016).

Punkte IN 1 und MIT Wechselstrom Und AB Dreieck ABC, darüber hinaus AB 1:B 1 MIT =
= Wechselstrom 1:MIT 1 B. Direkte BB 1 Und SS 1 sich in einem Punkt schneiden UM.

A ) Beweisen Sie, dass die Linie JSC halbieren Sie die Seite Sonne.

AB 1 OK 1 zur Fläche eines Dreiecks ABC wenn das bekannt ist AB 1:B 1 MIT = 1:4.

Lösung. a) Lassen Sie die Zeile AO kreuzt Seite Chr am Punkt A 1 (Abb. 20). Nach dem Satz von Ceva gilt:

. (9)

Als AB 1:B 1 MIT = Wechselstrom 1:MIT 1 B, dann folgt aus Gleichheit (9) das
, also CA 1 = A 1 B, was bewiesen werden sollte. Reis. 20

b) Sei die Fläche des Dreiecks AB 1 Ö ist gleich S. Als AB 1:B 1 MIT CB 1 Ö gleich 4 S und die Fläche des Dreiecks AOC gleich 5 S. Dann die Fläche des Dreiecks AOB ist auch gleich 5 S, da die Dreiecke AOB Und AOC eine gemeinsame Basis haben AO und ihre Eckpunkte B Und C gleich weit von der Linie entfernt AO. Und die Fläche des Dreiecks AOC 1 gleich S, als Wechselstrom 1:MIT 1 B = 1:4. Dann die Fläche des Dreiecks ABB 1 entspricht 6 S. Als AB 1:B 1 MIT= 1:4, dann die Fläche des Dreiecks CB 1 Ö entspricht 24 S und die Fläche des Dreiecks ABC gleich 30 S. Lassen Sie uns nun das Flächenverhältnis des Vierecks ermitteln AB 1 OK 1 (2S) zur Fläche des Dreiecks ABC (30S), ist es gleich 1:15.

Antworten. 1:15.

Aufgabe 15 (USE-2016).

Punkte IN 1 und MIT 1 liegen jeweils auf den Seiten Wechselstrom Und AB Dreieck ABC, darüber hinaus AB 1:B 1 MIT =
= Wechselstrom 1:MIT 1 B. Direkte BB 1 Und SS 1 sich in einem Punkt schneiden UM.

a) Beweisen Sie, dass die Gerade JSC halbieren Sie die Seite Sonne.

b) Finden Sie das Flächenverhältnis des Vierecks AB 1 OK 1 zur Fläche eines Dreiecks ABC wenn das bekannt ist AB 1:B 1 MIT = 1:3.

Antworten. 1:10.

W Aufgabe 16 (USE-2016). Auf dem Segment BD Punkt genommen MIT. Halbierende BL ABC mit Sockel Sonne Blöd mit Sockel BD.

a) Beweisen Sie, dass das Dreieck DCL gleichschenklig.

b) Es ist bekannt, dass cos
ABC DL, also Dreieck BD Punkt genommen MIT. Halbierende BL gleichschenkligen Dreiecks ABC mit Sockel Sonne ist eine Seitenseite eines gleichschenkligen Dreiecks Blöd mit Sockel BD.

a) Beweisen Sie, dass das Dreieck DCL gleichschenklig.

b) Es ist bekannt, dass cos ABC= . In welcher Weise ist das Direkte DL teilt die Seite AB?

Antworten. 4:21.

Literatur

1. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Wundervolle Dreieckspunkte und -linien. M.: Mathematik, 2006, Nr. 17.

2. Myakishev A.G. Dreiecksgeometrieelemente. (Reihe „Bibliothek „Mathematische Bildung““). M.: MTsNMO, 2002. - 32 S.

3. Geometrie. Zusätzliche Kapitel zum Lehrbuch der 8. Klasse: Lehrbuch für Schüler von Schulen und Klassen mit vertieftem Studium / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev und andere – M.: Vita-Press, 2005. – 208 S.

4. Erdniev P., Mantsaev N. Cheva- und Menelaos-Theoreme. M.: Kvant, 1990, Nr. 3, S. 56–59.

5. Sharygin I.F. Sätze von Ceva und Menelaos. Moskau: Kvant, 1976, Nr. 11, S. 22–30.

6. Vavilov V.V. Mediane und Mittellinien eines Dreiecks. M.: Mathematik, 2006, Nr. 1.

7. Efremov Dm. Neue Dreiecksgeometrie. Odessa, 1902. - 334 S.

8. Mathematik. 50 Varianten typischer Testaufgaben / I.V. Yashchenko, M.A. Volkevich, I.R. Wyssozki und andere; Hrsg. I.V. Jaschtschenko. - M.: Verlag „Prüfung“, 2016. – 247 S.

THEOREME VON CHEVA UND MENELAU

Satz von Ceva

Die meisten bemerkenswerten Punkte eines Dreiecks können mit dem folgenden Verfahren ermittelt werden. Es gebe eine Regel, nach der wir einen bestimmten Punkt A wählen können 1 , auf der Seite BC (oder ihrer Verlängerung) des Dreiecks ABC (wählen Sie beispielsweise den Mittelpunkt dieser Seite). Dann konstruieren wir ähnliche Punkte B 1, C 1 auf den anderen beiden Seiten des Dreiecks (in unserem Beispiel gibt es zwei weitere Mittelpunkte der Seiten). Wenn die Auswahlregel erfolgreich ist, dann direkte AA 1, BB 1, CC 1 sich in einem Punkt Z schneiden (die Wahl der Seitenmittelpunkte in diesem Sinne ist natürlich erfolgreich, da sich die Mediane des Dreiecks in einem Punkt schneiden).

Ich hätte gerne eine allgemeine Methode, mit der wir anhand der Position von Punkten auf den Seiten eines Dreiecks bestimmen können, ob sich die entsprechenden Linientripel in einem Punkt schneiden oder nicht.

Die universelle Bedingung, die dieses Problem „schloss“, wurde 1678 von einem italienischen Ingenieur gefundenGiovanni Ceva .

Definition. Segmente, die die Eckpunkte eines Dreiecks mit Punkten auf gegenüberliegenden Seiten (oder deren Verlängerungen) verbinden, werden Cevians genannt, wenn sie sich in einem Punkt schneiden.

Für den Standort des Cevians gibt es zwei Möglichkeiten. In einer Version der Punkt

Die Schnittpunkte liegen intern und die Enden der Cevians liegen auf den Seiten des Dreiecks. In der zweiten Version liegt der Schnittpunkt außen, das Ende eines Cevians liegt auf der Seite und die Enden der beiden anderen Cevians liegen auf den Verlängerungen der Seiten (siehe Zeichnungen).

Satz 3. (Cevas direkter Satz) In einem beliebigen Dreieck ABC werden auf den Seiten BC, CA, AB oder deren Verlängerungen jeweils die Punkte A genommen 1 , IN 1 , MIT 1 , so dass direkte AA 1 , BB 1 , SS 1 sich dann an einem gemeinsamen Punkt schneiden

.

Nachweisen: Da es mehrere Originalbeweise des Satzes von Ceva gibt, betrachten wir einen Beweis, der auf einer doppelten Anwendung des Satzes von Menelaos basiert. Schreiben wir die Beziehung des Menelaos-Theorems erstmals für das Dreieck aufABB 1 und Sekante CC 1 (Wir bezeichnen den Schnittpunkt von CevianZ):

,

und das zweite Mal für das DreieckB 1 Chr und Sekante AA 1 :

.

Wenn wir diese beiden Beziehungen multiplizieren und die notwendigen Reduktionen vornehmen, erhalten wir die in der Aussage des Theorems enthaltene Beziehung.

Satz 4. (Inverses Ceva-Theorem) . Wenn für diejenigen, die auf den Seiten des Dreiecks ausgewählt wurden ABC oder deren Erweiterungen von Punkten A 1 , IN 1 Und C 1 Cevas Bedingung ist erfüllt:

,

dann gerade AA 1 , BB 1 Und CC 1 sich in einem Punkt schneiden .

Der Beweis dieses Theorems erfolgt durch Widerspruch, ebenso wie der Beweis des Menelaos-Theorems.

Betrachten wir Beispiele für die Anwendung des direkten und inversen Satzes von Ceva.

Beispiel 3 Beweisen Sie, dass sich die Mediane eines Dreiecks in einem Punkt schneiden.

Lösung. Betrachten Sie die Beziehung

für die Eckpunkte eines Dreiecks und die Mittelpunkte seiner Seiten. Offensichtlich gibt es in jedem Bruch im Zähler und im Nenner gleiche Segmente, daher sind alle diese Brüche gleich eins. Daher ist die Ceva-Beziehung erfüllt, daher schneiden sich die Mediane nach dem Umkehrsatz in einem Punkt.

Satz (Cevas Satz) . Lassen Sie die Punkte auf den Seiten liegen und Dreieck bzw. Lassen Sie die Segmente Und sich in einem Punkt schneiden. Dann

(Gehen Sie im Uhrzeigersinn um das Dreieck herum).

Nachweisen. Bezeichnen Sie mit der Schnittpunkt der Segmente Und . Punkte fallen lassen Und Senkrechte zu einer Liniebevor es sich punktuell mit ihm schneidet Und bzw. (siehe Abbildung).

Weil Dreiecke Und haben eine gemeinsame Seite, dann werden ihre Flächen als die auf dieser Seite gezeichneten Höhen in Beziehung gesetzt, d. h. Und :

Die letzte Gleichheit gilt seit rechtwinkligen Dreiecken Und ähnlich im spitzen Winkel.

Ebenso erhalten wir

Und

Lassen Sie uns diese drei Gleichungen multiplizieren:

Q.E.D.

Über Mediane:

1. Platzieren Sie Masseneinheiten an den Eckpunkten des Dreiecks ABC.
2. Der Massenschwerpunkt der Punkte A und B liegt in der Mitte von AB. Der Schwerpunkt des gesamten Systems muss in der Mitte der Seite AB liegen, da der Schwerpunkt des Dreiecks ABC der Schwerpunkt des Schwerpunkts der Punkte A und B sowie des Punktes C ist.
(es wurde verwirrend)
3. Ebenso muss das CM auf der Mittellinie zu den Seiten AC und BC liegen
4. Da der CM der einzige Punkt ist, müssen sich alle drei Mediane dort schneiden.

Daraus folgt übrigens sofort, dass sie durch den Schnittpunkt im Verhältnis 2:1 geteilt werden. Da die Masse des Massenschwerpunkts der Punkte A und B 2 und die Masse des Punktes C 1 beträgt, teilt der gemeinsame Massenschwerpunkt gemäß dem Proportionssatz den Median im Verhältnis 2/1.

Vielen Dank, es wird auf zugängliche Weise präsentiert. Ich denke, es wäre nicht überflüssig, einen Beweis mit Methoden der Massengeometrie zu erbringen, zum Beispiel:
Die Linien AA1 und CC1 schneiden sich im Punkt O; AC1: C1B = p und BA1: A1C = q. Wir müssen beweisen, dass die Gerade BB1 ​​genau dann durch den Punkt O verläuft, wenn CB1: B1A = 1: pq.
Platzieren wir die Massen 1, p bzw. pq an den Punkten A, B und C. Dann ist Punkt C1 der Massenschwerpunkt der Punkte A und B, und Punkt A1 ist der Massenschwerpunkt der Punkte B und C. Daher ist der Massenschwerpunkt der Punkte A, B und C mit gegebenen Massen der Punkt O des Schnittpunkt der Linien CC1 und AA1. Andererseits liegt Punkt O auf dem Segment, das Punkt B mit dem Massenschwerpunkt der Punkte A und C verbindet. Wenn B1 der Massenschwerpunkt der Punkte A und C mit den Massen 1 und pq ist, dann gilt AB1: B1C = pq: 1. Es bleibt zu beachten, dass es auf dem Segment AC einen einzigen Punkt gibt, der es in diesem Verhältnis AB1:B1C teilt.

2. Satz von Ceva

Ein Liniensegment, das einen Scheitelpunkt eines Dreiecks mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet, heißtCeviana . Also, wenn in einem DreieckABC X , Y und Z - Punkte an den SeitenChr , CA , AB bzw. dann die SegmenteAXT , VON , cz sind Chevianer. Der Begriff stammt vom italienischen Mathematiker Giovanni Ceva, der 1678 den folgenden sehr nützlichen Satz veröffentlichte:

Satz 1.21. Wenn drei Cevianer AX, BY, CZ (einer von jedem Scheitelpunkt) des Dreiecks ABC konkurrieren, dann

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Reis. 3.

Wenn wir sagen, dass drei Linien (oder Segmente)wettbewerbsfähig , dann meinen wir, dass sie alle durch einen Punkt gehen, den wir mit bezeichnenP . Um den Satz von Ceva zu beweisen, erinnern Sie sich daran, dass die Flächen von Dreiecken mit gleicher Höhe proportional zu den Grundflächen der Dreiecke sind. Bezugnehmend auf Abbildung 3 haben wir:

|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX-SPBXSAXC-SPXC= SABPSCAP.

Ebenfalls,

|CY||YA|= SBCPSABP, |AZ||ZB|= SCAPSBCP.

Wenn wir sie nun multiplizieren, erhalten wir

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .

Auch die Umkehrung dieses Satzes gilt:

Satz 1.22. Wenn drei Cevianer AX, BY, CZ die Beziehung erfüllen

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 ,

dann sind sie konkurrenzfähig .

Um dies zu zeigen, nehmen wir an, dass sich die ersten beiden Cevians an diesem Punkt schneidenP , wie zuvor, und die dritte Ceviana, die durch den Punkt gehtP , WilleCZ′ . Dann gilt nach Satz 1.21:

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ′||Z'B|=1 .

Aber durch Annahme

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Somit,

|AZ||ZB|= |AZ′||Z'B| ,

PunktZ' stimmt mit dem Punkt übereinZ , und wir haben bewiesen, dass die SegmenteAXT , VON Undcz wettbewerbsfähig (, S. 54 und , S. 48, 317).

Mathematik - 10. Klasse Mendel Viktor Wassiljewitsch, Dekan der Fakultät für Naturwissenschaften, Mathematik und Informationstechnologie, FESGU DIE THEOREME VON CHEVA UND MENELAY Ein besonderer Platz in der Planimetrie wird zwei bemerkenswerten Theoremen eingeräumt: dem Satz von Ceva und dem Satz von Menelaos. Diese Theoreme sind nicht im Grundlehrplan eines weiterführenden Geometriekurses enthalten, ihr Studium (und ihre Anwendung) wird jedoch jedem empfohlen, der sich etwas mehr für Mathematik interessiert, als dies im Rahmen des Schullehrplans möglich ist. Warum sind diese Theoreme interessant? Zunächst stellen wir fest, dass bei der Lösung geometrischer Probleme zwei Ansätze produktiv kombiniert werden: - einer basiert auf der Definition einer Grundstruktur (zum Beispiel: ein Dreieck – ein Kreis; ein Dreieck – eine Sekantenlinie; ein Dreieck – drei verlaufende Linien). durch seine Eckpunkte und sich in einem Punkt schneiden; ein Viereck mit zwei parallelen Seiten usw.), und die zweite ist die Methode der Referenzprobleme (einfache geometrische Probleme, auf die der Prozess der Lösung eines komplexen Problems reduziert wird). Daher gehören die Sätze von Menelaos und Ceva zu den gebräuchlichsten Konstruktionen: Der erste betrachtet ein Dreieck, dessen Seiten oder Verlängerungen von einer Linie (Sekante) gekreuzt werden, der zweite handelt von einem Dreieck und drei durchgehenden Linien seine Eckpunkte schneiden sich in einem Punkt. Satz von Menelaos Dieser Satz der beobachteten (zusammen mit den inversen) Beziehungen zeigt Segmente, Regelmäßigkeit, die die Eckpunkte eines bestimmten Dreiecks und die Schnittpunkte der Sekante mit den Seiten (Verlängerungen der Seiten) des Dreiecks verbinden. Die Zeichnungen zeigen zwei mögliche Fälle der Lage des Dreiecks und der Sekante. Im ersten Fall schneidet die Sekante zwei Seiten des Dreiecks und die Fortsetzung der dritten, im zweiten Fall die Fortsetzung aller drei Seiten des Dreiecks. Satz 1. (Menelaos) Wenn ABC von einer Geraden geschnitten wird, die nicht parallel zur Seite AB ist und ihre beiden Seiten AC bzw. BC in den Punkten B1 und A1 schneidet, und die Gerade AB im Punkt C1, dann AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Satz 2. (Umgekehrt zum Satz von Menelaos) Die Punkte A1, B1, C1 im Dreieck ABC gehören jeweils zu den Geraden BC, AC, AB, dann gilt AB1 CA1 BC1   1 B1C A1B C1 A , dann liegen die Punkte A1, B1, C1 auf einer Geraden. Der Beweis des ersten Satzes kann wie folgt durchgeführt werden: Die Senkrechten aller Eckpunkte des Dreiecks werden auf die Sekantenlinie abgesenkt. Das Ergebnis sind drei Paare ähnlicher rechtwinkliger Dreiecke. Die Verhältnisse der in der Formulierung des Satzes vorkommenden Strecken werden durch die ihnen in ihrer Ähnlichkeit entsprechenden Verhältnisse der Senkrechten ersetzt. Es stellt sich heraus, dass jedes Segment - eine Senkrechte in Brüchen - zweimal vorhanden ist: einmal in einem Bruch im Zähler, das zweite Mal in einem anderen Bruch im Nenner. Somit ist das Produkt aller dieser Verhältnisse gleich eins. Der Umkehrsatz wird mit der Methode „durch Widerspruch“ bewiesen. Es wird angenommen, dass unter den Bedingungen von Satz 2 die Punkte A1, B1, C1 nicht auf einer Geraden liegen. Dann schneidet die Linie A1B1 die Seite AB am Punkt C2, der sich vom Punkt C1 unterscheidet. In diesem Fall gilt aufgrund von Satz 1 für die Punkte A1, B1, C2 die gleiche Beziehung wie für die Punkte A1, B1, C1. Daraus folgt, dass die Punkte C1 und C2 das Segment AB zu gleichen Teilen teilen. Dann stimmen diese Punkte überein – wir haben einen Widerspruch. Betrachten Sie Beispiele für die Anwendung des Menelaos-Theorems. Beispiel 1. Beweisen Sie, dass die Mediane eines Dreiecks am Schnittpunkt vom Scheitelpunkt aus im Verhältnis 2:1 teilbar sind. Lösung. Schreiben wir das im Satz von Menelaos erhaltene Verhältnis für das Dreieck ABMb und die Gerade McM(C) auf: AM c BM M bC    1. M c B MM b CA Der erste Bruch in diesem Produkt ist offensichtlich gleich 1 und das dritte zweite Verhältnis ist gleich 1 . Daher 2 2:1, was bewiesen werden sollte. Beispiel 2. Die Sekante schneidet die Verlängerung der Seite AC des Dreiecks ABC am Punkt B1, sodass Punkt C der Mittelpunkt des Segments AB1 ist. Seite AB wird durch diese Sekante halbiert. Finden Sie das Verhältnis, in dem es die Seite BC teilt? Lösung. Schreiben wir für das Dreieck und die Sekante das Produkt dreier Verhältnisse aus dem Satz von Menelaos auf: AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass das erste Verhältnis gleich eins ist, und die dritte 1 , 2, also ist das zweite Verhältnis gleich 2, d. h. die Sekante teilt die Seite BC im Verhältnis 2:1. Das folgende Beispiel für die Anwendung des Satzes von Menelaos wird uns begegnen, wenn wir den Beweis des Satzes von Ceva betrachten. Satz von Ceva Die meisten bemerkenswerten Punkte eines Dreiecks können mit dem folgenden Verfahren ermittelt werden. Es soll eine Regel geben, nach der wir einen bestimmten Punkt A1 auf der Seite BC (oder ihrer Verlängerung) des Dreiecks ABC wählen können (zum Beispiel wählen wir den Mittelpunkt dieser Seite). Dann konstruieren wir ähnliche Punkte B1, C1 auf den anderen beiden Seiten des Dreiecks (in unserem Beispiel gibt es zwei weitere Mittelpunkte der Seiten). Wenn die Auswahlregel erfolgreich ist, dann schneiden sich die Linien AA1, BB1, CC1 in einem Punkt Z (die Wahl der Mittelpunkte der Seiten ist in diesem Sinne natürlich erfolgreich, da sich die Mediane des Dreiecks in einem Punkt schneiden). . Ich hätte gerne eine allgemeine Methode, mit der wir anhand der Position von Punkten auf den Seiten eines Dreiecks bestimmen können, ob sich die entsprechenden Linientripel in einem Punkt schneiden oder nicht. Die universelle Bedingung, die dieses Problem „schloss“, wurde 1678 vom italienischen Ingenieur Giovanni Ceva gefunden. Definition. Segmente, die die Eckpunkte eines Dreiecks mit Punkten auf gegenüberliegenden Seiten (oder deren Verlängerungen) verbinden, werden Cevians genannt, wenn sie sich in einem Punkt schneiden. Für den Standort des Cevians gibt es zwei Möglichkeiten. In einer Ausführungsform liegt der Schnittpunkt innen und die Enden der Cevians liegen auf den Seiten des Dreiecks. In der zweiten Version liegt der Schnittpunkt außen, das Ende eines Cevians liegt auf der Seite und die Enden der beiden anderen Cevians liegen auf den Verlängerungen der Seiten (siehe Zeichnungen). Satz 3. (Direkter Satz von Ceva) In einem beliebigen Dreieck ABC werden auf den Seiten BC, CA, AB oder deren Verlängerungen die Punkte A1, B1, C1 so genommen, dass sich die Geraden AA1, BB1, CC1 in einem gemeinsamen Punkt schneiden , dann BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 . Beweis: Es sind mehrere Originalbeweise des Satzes von Ceva bekannt. Wir betrachten einen Beweis, der auf einer doppelten Anwendung des Satzes von Menelaos basiert. Schreiben wir die Beziehung des Menelaos-Theorems zum ersten Mal für das Dreieck ABB1 und die Sekante CC1 (wir bezeichnen den Cevian-Schnittpunkt mit Z): AC1 BZ B1C    1, C1B ZB1 CA und das zweite Mal für das Dreieck B1BC und die Sekante AA1: B1Z BA1 ​​\u200b\u200bCA    1. ZB A1C AB1 Wenn wir diese beiden Beziehungen multiplizieren und die notwendigen Reduktionen vornehmen, erhalten wir die in der Aussage des Satzes enthaltene Beziehung. Satz 4. (Inverses Ceva-Theorem). Wenn für die auf den Seiten des Dreiecks ABC oder deren Verlängerungen gewählten Punkte A1, B1 und C1 die Ceva-Bedingung erfüllt ist: BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 , dann schneiden sich die Linien AA1, BB1 und CC1 in einem Punkt . Der Beweis dieses Theorems erfolgt durch Widerspruch, ebenso wie der Beweis des Menelaos-Theorems. Betrachten wir Beispiele für die Anwendung des direkten und inversen Satzes von Ceva. Beispiel 3. Beweisen Sie, dass sich die Mediane eines Dreiecks in einem Punkt schneiden. Lösung. Betrachten Sie die Beziehung AC1 BA1 CB1   C1B A1C B1 A für die Eckpunkte eines Dreiecks und die Mittelpunkte seiner Seiten. Offensichtlich gibt es in jedem Bruch im Zähler und im Nenner gleiche Segmente, daher sind alle diese Brüche gleich eins. Daher ist die Ceva-Beziehung erfüllt, daher schneiden sich die Mediane nach dem Umkehrsatz in einem Punkt. Aufgaben zur eigenständigen Lösung Bei den hier vorgeschlagenen Aufgaben handelt es sich um Kontrollarbeiten Nr. 1 für Schüler der 9. Klasse. Lösen Sie diese Aufgaben und notieren Sie die Lösungen in einem separaten Notizbuch (aus Physik und Informatik). Geben Sie auf dem Deckblatt die folgenden Informationen zu Ihrer Person an: 1. Nachname, Vorname, Klasse, Klassenprofil (zum Beispiel: Vasily Pupkin, Klasse 9, Mathematik) 2. Postleitzahl, Wohnadresse, E-Mail (falls vorhanden), Telefonnummer (privat oder mobil) 3. Daten zur Schule (zum Beispiel: MBOU Nr. 1 S. Bikin) 4. Name, Vorname des Mathematiklehrers (zum Beispiel: Mathematiklehrer Petrova M.I.) Es wird empfohlen, mindestens vier Aufgaben zu lösen. M 9.1.1. Kann die Sekantenlinie aus dem Satz von Menelaos die Seiten eines Dreiecks (oder ihre Verlängerungen) in Längensegmente schneiden: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10 Wenn solche Optionen möglich sind, nennen Sie Beispiele. Die Segmente können in einer anderen Reihenfolge angeordnet sein. M 9.1.2. Können die inneren Cevians eines Dreiecks seine Seiten in Segmente unterteilen: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10 Wenn solche Optionen möglich sind, nennen Sie Beispiele. Die Segmente können in einer anderen Reihenfolge angeordnet sein. Hinweis: Vergessen Sie beim Ausdenken von Beispielen nicht, zu prüfen, ob das Dreieck nicht gleich ist. M 9.1.3. Beweisen Sie mithilfe des inversen Ceva-Theorems, dass: a) sich die Winkelhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt schneiden; b) Die Segmente, die die Eckpunkte des Dreiecks mit Punkten auf gegenüberliegenden Seiten verbinden, in denen diese Seiten den eingeschriebenen Kreis berühren, schneiden sich in einem Punkt. Anweisungen: a) Denken Sie daran, in welcher Hinsicht die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite teilt; b) Verwenden Sie die Eigenschaft, dass die Strecken zweier Tangenten, die von einem Punkt an einen Kreis gezogen werden, gleich sind. M 9.1.4. Vervollständigen Sie den im ersten Teil des Artikels begonnenen Beweis des Satzes von Menelaos. M 9.1.5. Beweisen Sie mithilfe des Umkehrsatzes von Ceva, dass sich die Höhen eines Dreiecks in einem Punkt schneiden. M 9.1.6. Beweisen Sie den Satz von Simpson: Von einem beliebigen Punkt M, der auf dem um das Dreieck ABC umschriebenen Kreis liegt, werden Senkrechte zu den Seiten oder Verlängerungen der Seiten des Dreiecks abgelegt. Beweisen Sie, dass die Basen dieser Senkrechten auf derselben Geraden liegen. Hinweis: Verwenden Sie den Umkehrsatz von Menelaos. Versuchen Sie, die Längen der in der Beziehung verwendeten Segmente durch die Längen der vom Punkt M ausgehenden Senkrechten auszudrücken. Es ist auch nützlich, sich an die Eigenschaften der Winkel eines eingeschriebenen Vierecks zu erinnern.