Acest material este dedicat unui astfel de concept precum unghiul dintre două linii drepte care se intersectează. În primul paragraf, vom explica ce este și o vom arăta în ilustrații. Apoi vom analiza cum puteți găsi sinusul, cosinusul acestui unghi și unghiul în sine (vom lua în considerare separat cazurile cu un plan și spațiu tridimensional), vom da formulele necesare și vom arăta cu exemple cum sunt aplicate exact. in practica.
Pentru a înțelege ce este un unghi format la intersecția a două drepte, trebuie să ne amintim însăși definiția unghiului, a perpendicularității și a unui punct de intersecție.
Definiția 1
Numim două drepte care se intersectează dacă au un punct comun. Acest punct se numește punctul de intersecție a celor două drepte.
Fiecare linie este împărțită de punctul de intersecție în raze. În acest caz, ambele linii formează 4 unghiuri, dintre care două sunt verticale și două sunt adiacente. Dacă cunoaștem măsura unuia dintre ele, atunci le putem determina pe celelalte rămase.
Să presupunem că știm că unul dintre unghiuri este egal cu α. Într-un astfel de caz, unghiul care este vertical față de acesta va fi, de asemenea, egal cu α. Pentru a găsi unghiurile rămase, trebuie să calculăm diferența 180 ° - α . Dacă α este egal cu 90 de grade, atunci toate unghiurile vor fi drepte. Liniile care se intersectează în unghi drept sunt numite perpendiculare (un articol separat este dedicat conceptului de perpendicularitate).
Aruncă o privire la poză:
Să trecem la formularea definiției principale.
Definiția 2
Unghiul format din două drepte care se intersectează este măsura celui mai mic dintre cele 4 unghiuri care formează aceste două drepte.
Din definiție trebuie trasă o concluzie importantă: mărimea unghiului în acest caz va fi exprimată prin orice număr real din intervalul (0 , 90 ] . Dacă dreptele sunt perpendiculare, atunci unghiul dintre ele va fi în orice caz egal cu 90 de grade.
Capacitatea de a găsi măsura unghiului dintre două drepte care se intersectează este utilă pentru rezolvarea multor probleme practice. Metoda de rezolvare poate fi selectată din mai multe opțiuni.
Pentru început, putem lua metode geometrice. Dacă știm ceva despre unghiuri suplimentare, atunci le putem conecta la unghiul de care avem nevoie folosind proprietățile formelor egale sau similare. De exemplu, dacă cunoaștem laturile unui triunghi și trebuie să calculăm unghiul dintre liniile pe care sunt situate aceste laturi, atunci teorema cosinusului este potrivită pentru rezolvare. Dacă avem un triunghi dreptunghic în condiție, atunci pentru calcule va trebui să cunoaștem și sinusul, cosinusul și tangenta unghiului.
Metoda coordonatelor este, de asemenea, foarte convenabilă pentru rezolvarea problemelor de acest tip. Să explicăm cum să-l folosim corect.
Avem un sistem de coordonate dreptunghiular (cartezian) O x y cu două drepte. Să le notăm cu literele a și b. În acest caz, liniile drepte pot fi descrise folosind orice ecuație. Liniile originale au un punct de intersecție M . Cum se determină unghiul dorit (să-l notăm α) între aceste linii?
Să începem cu formularea principiului de bază al găsirii unui unghi în condiții date.
Știm că concepte precum direcția și vectorul normal sunt strâns legate de conceptul de linie dreaptă. Dacă avem ecuația unei linii drepte, putem lua din ea coordonatele acestor vectori. Putem face acest lucru pentru două linii care se intersectează simultan.
Unghiul format din două drepte care se intersectează poate fi găsit folosind:
- unghiul dintre vectorii de direcție;
- unghiul dintre vectorii normali;
- unghiul dintre vectorul normal al unei linii și vectorul direcție al celeilalte.
Acum să ne uităm la fiecare metodă separat.
1. Să presupunem că avem o dreaptă a cu vector de direcție a → = (a x , a y) și o dreaptă b cu vector de direcție b → (b x , b y) . Acum să lăsăm deoparte doi vectori a → și b → din punctul de intersecție. După aceea, vom vedea că fiecare va fi amplasat pe propria linie. Apoi avem patru opțiuni pentru poziția lor relativă. Vezi ilustrația:
Dacă unghiul dintre doi vectori nu este obtuz, atunci va fi unghiul de care avem nevoie între liniile care se intersectează a și b. Dacă este obtuz, atunci unghiul dorit va fi egal cu unghiul adiacent unghiului a → , b → ^ . Astfel, α = a → , b → ^ dacă a → , b → ^ ≤ 90 ° , și α = 180 ° - a → , b → ^ dacă a → , b → ^ > 90 ° .
Pe baza faptului că cosinusurile unghiurilor egale sunt egale, putem rescrie egalitățile rezultate astfel: cos α = cos a → , b → ^ dacă a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ dacă a → , b → ^ > 90 ° .
În al doilea caz s-au folosit formule de reducere. Prin urmare,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Să scriem ultima formulă în cuvinte:
Definiția 3
Cosinusul unghiului format din două drepte care se intersectează va fi egal cu modulul cosinusului unghiului dintre vectorii săi de direcție.
Forma generală a formulei pentru cosinusul unghiului dintre doi vectori a → = (a x, a y) și b → = (b x, b y) arată astfel:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Din aceasta putem deriva formula pentru cosinusul unghiului dintre două drepte date:
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Apoi unghiul în sine poate fi găsit folosind următoarea formulă:
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Aici a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) sunt vectorii de direcție ai dreptelor date.
Să dăm un exemplu de rezolvare a problemei.
Exemplul 1
Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, pe plan sunt date două drepte care se intersectează a și b. Ele pot fi descrise prin ecuații parametrice x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R și x 5 = y - 6 - 3 . Calculați unghiul dintre aceste drepte.
Soluţie
Avem o ecuație parametrică în condiție, ceea ce înseamnă că pentru această linie dreaptă putem nota imediat coordonatele vectorului său de direcție. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm valorile coeficienților la parametru, adică. dreapta x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R va avea un vector de direcție a → = (4 , 1) .
A doua linie dreaptă este descrisă folosind ecuația canonică x 5 = y - 6 - 3 . Aici putem lua coordonatele de la numitori. Astfel, această dreaptă are un vector de direcție b → = (5 , - 3) .
În continuare, trecem direct la găsirea unghiului. Pentru a face acest lucru, pur și simplu înlocuiți coordonatele disponibile ale celor doi vectori în formula de mai sus α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Obținem următoarele:
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°
Răspuns: Aceste linii formează un unghi de 45 de grade.
Putem rezolva o problemă similară găsind unghiul dintre vectorii normali. Dacă avem o dreaptă a cu un vector normal n a → = (n a x , n a y) și o dreaptă b cu un vector normal n b → = (n b x , n b y) , atunci unghiul dintre ele va fi egal cu unghiul dintre n a → și n b → sau unghiul care va fi adiacent lui n a → , n b → ^ . Această metodă este prezentată în imagine:
Formulele pentru calcularea cosinusului unghiului dintre liniile care se intersectează și acest unghi în sine folosind coordonatele vectorilor normali arată astfel:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n de y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n by y 2
Aici n a → și n b → denotă vectorii normali ai două drepte date.
Exemplul 2
Două drepte sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiular folosind ecuațiile 3 x + 5 y - 30 = 0 și x + 4 y - 17 = 0 . Găsiți sinusul, cosinusul unghiului dintre ele și mărimea acelui unghi în sine.
Soluţie
Dreaptele inițiale sunt date folosind ecuații drepte normale de forma A x + B y + C = 0 . Se notează vectorul normal n → = (A , B) . Să găsim coordonatele primului vector normal pentru o dreaptă și să le scriem: n a → = (3 , 5) . Pentru a doua linie x + 4 y - 17 = 0 vectorul normal va avea coordonatele n b → = (1 , 4) . Acum adăugați valorile obținute la formulă și calculați totalul:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Dacă cunoaștem cosinusul unui unghi, atunci putem calcula sinusul acestuia folosind identitatea trigonometrică de bază. Deoarece unghiul α format din linii drepte nu este obtuz, atunci sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.
În acest caz, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .
Răspuns: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Să analizăm ultimul caz - găsirea unghiului dintre drepte, dacă știm coordonatele vectorului de direcție al unei linii și vectorului normal al celeilalte.
Să presupunem că linia a are un vector de direcție a → = (a x , a y) , iar linia b are un vector normal n b → = (n b x , n b y) . Trebuie să amânăm acești vectori din punctul de intersecție și să luăm în considerare toate opțiunile pentru poziția lor relativă. Vezi poza:
Dacă unghiul dintre vectorii dați nu este mai mare de 90 de grade, se dovedește că va completa unghiul dintre a și b la un unghi drept.
a → , n b → ^ = 90 ° - α dacă a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Dacă este mai mică de 90 de grade, atunci obținem următoarele:
a → , n b → ^ > 90 ° , apoi a → , n b → ^ = 90 ° + α
Folosind regula egalității cosinusurilor de unghiuri egale, scriem:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pentru a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α la a → , n b → ^ > 90 ° .
Prin urmare,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Să formulăm o concluzie.
Definiția 4
Pentru a găsi sinusul unghiului dintre două drepte care se intersectează într-un plan, trebuie să calculați modulul cosinusului unghiului dintre vectorul de direcție al primei linii și vectorul normal al celei de-a doua.
Să notăm formulele necesare. Aflarea sinusului unui unghi:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Găsirea colțului în sine:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Aici a → este vectorul de direcție al primei linii, iar n b → este vectorul normal al celei de-a doua.
Exemplul 3
Două drepte care se intersectează sunt date de ecuațiile x - 5 = y - 6 3 și x + 4 y - 17 = 0 . Aflați unghiul de intersecție.
Soluţie
Luăm coordonatele vectorului de direcție și normal din ecuațiile date. Rezultă a → = (- 5 , 3) și n → b = (1 , 4) . Luăm formula α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n by y 2 și luăm în considerare:
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Rețineți că am luat ecuațiile din problema anterioară și am obținut exact același rezultat, dar într-un mod diferit.
Răspuns:α = a r c sin 7 2 34
Iată o altă modalitate de a găsi unghiul dorit folosind coeficienții de pantă ai liniilor date.
Avem o linie a , care este definită într-un sistem de coordonate dreptunghiular folosind ecuația y = k 1 · x + b 1 , și o linie b , definită ca y = k 2 · x + b 2 . Acestea sunt ecuații ale dreptelor cu pantă. Pentru a găsi unghiul de intersecție, utilizați formula:
α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , unde k 1 și k 2 sunt pantele dreptelor date. Pentru a obține această înregistrare s-au folosit formule pentru determinarea unghiului prin coordonatele vectorilor normali.
Exemplul 4
Există două drepte care se intersectează în plan, date de ecuațiile y = - 3 5 x + 6 și y = - 1 4 x + 17 4 . Calculați unghiul de intersecție.
Soluţie
Pantele dreptelor noastre sunt egale cu k 1 = - 3 5 și k 2 = - 1 4 . Să le adăugăm la formula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 și să calculăm:
α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34
Răspuns:α = a r c cos 23 2 34
În concluziile acestui paragraf, trebuie menționat că formulele pentru găsirea unghiului prezentate aici nu trebuie învățate pe de rost. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți coordonatele ghidajelor și/sau ale vectorilor normali ai liniilor date și să le puteți determina folosind diferite tipuri de ecuații. Dar formulele pentru calcularea cosinusului unui unghi sunt mai bine de reținut sau de notat.
Cum se calculează unghiul dintre liniile care se intersectează în spațiu
Calculul unui astfel de unghi poate fi redus la calculul coordonatelor vectorilor de direcție și la determinarea mărimii unghiului format de acești vectori. Pentru astfel de exemple, folosim același raționament pe care l-am dat înainte.
Să presupunem că avem un sistem de coordonate dreptunghiular situat în spațiul 3D. Conține două drepte a și b cu punctul de intersecție M . Pentru a calcula coordonatele vectorilor de direcție, trebuie să cunoaștem ecuațiile acestor drepte. Se notează vectorii de direcție a → = (a x , a y , a z) și b → = (b x , b y , b z) . Pentru a calcula cosinusul unghiului dintre ele, folosim formula:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Pentru a găsi unghiul în sine, avem nevoie de această formulă:
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Exemplul 5
Avem o linie dreaptă definită în spațiul 3D folosind ecuația x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Se știe că se intersectează cu axa O z. Calculați unghiul de intersecție și cosinusul acelui unghi.
Soluţie
Să notăm unghiul care trebuie calculat cu litera α. Să notăm coordonatele vectorului direcție pentru prima dreaptă - a → = (1 , - 3 , - 2) . Pentru axa aplicată, putem lua ca ghid vectorul de coordonate k → = (0 , 0 , 1). Am primit datele necesare și le putem adăuga la formula dorită:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Ca rezultat, am obținut că unghiul de care avem nevoie va fi egal cu a r c cos 1 2 = 45 °.
Răspuns: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Colţ φ ecuații generale A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, se calculează prin formula:
Colţ φ între două linii drepte ecuații canonice(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 și (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, se calculează prin formula:
Distanța de la punct la linie
Fiecare plan din spațiu poate fi reprezentat ca o ecuație liniară numită ecuație generală avion
Cazuri speciale.
o Dacă în ecuația (8), atunci planul trece prin origine.
o Cu (,) planul este paralel cu axa(axa, respectiv axa).
o Când (,) planul este paralel cu planul (plan, plan).
Soluție: folosiți (7)
Răspuns: ecuația generală a planului.
Exemplu.
Planul din sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz este dat de ecuația generală a planului 
. Notați coordonatele tuturor vectorilor normali din acest plan.
Știm că coeficienții variabilelor x, y și z din ecuația generală a planului sunt coordonatele corespunzătoare ale vectorului normal al acelui plan. Prin urmare, vectorul normal al planului dat 
are coordonate. Mulțimea tuturor vectorilor normali poate fi dată ca.
Scrieți ecuația unui plan dacă într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu trece printr-un punct 
, A 
este vectorul normal al acestui plan.
Vă prezentăm două soluții la această problemă.
Din starea pe care o avem. Inlocuim aceste date in ecuatia generala a planului care trece prin punctul:
Scrieți ecuația generală pentru un plan paralel cu planul de coordonate Oyz și care trece prin punct 
.
Un plan care este paralel cu planul de coordonate Oyz poate fi dat de o ecuație generală incompletă a planului de forma . De la punctul 
aparține planului prin condiție, atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuația planului, adică egalitatea trebuie să fie adevărată. De aici găsim. Astfel, ecuația dorită are forma.
Soluţie. Produsul vectorial, prin definiția 10.26, este ortogonal cu vectorii p și q. Prin urmare, este ortogonal cu planul dorit și vectorul poate fi luat ca vector normal. Aflați coordonatele vectorului n:
acesta este 
. Folosind formula (11.1), obținem
Deschizând parantezele din această ecuație, ajungem la răspunsul final.
Răspuns: 
.
Să rescriem vectorul normal în forma și să îi găsim lungimea:
Conform celor de mai sus:
Răspuns: 
Planurile paralele au același vector normal. 1) Din ecuație găsim vectorul normal al planului:.
2) Compunem ecuația planului în funcție de punct și vectorul normal: 
Răspuns:
Ecuația vectorială a unui plan în spațiu
Ecuația parametrică a unui plan în spațiu
Ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat
Fie dat un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiul tridimensional. Să formulăm următoarea problemă:
Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct dat M(X 0, y 0, z 0) perpendicular pe vectorul dat n = ( A, B, C} .
Soluţie. Lăsa P(X, y, z) este un punct arbitrar în spațiu. Punct P aparține planului dacă și numai dacă vectorul MP = {X − X 0, y − y 0, z − z 0) ortogonală cu vectorul n = {A, B, C) (Fig. 1).
După ce am scris condiția de ortogonalitate pentru acești vectori (n, MP) = 0 sub formă de coordonate, obținem:
|
A(X − X 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0 |
Ecuația unui plan cu trei puncte
În formă vectorială
În coordonate
Dispunerea reciprocă a avioanelor în spațiu
sunt ecuații generale a două plane. Apoi:
1) dacă 
, atunci avioanele coincid;
2) dacă 
, atunci planurile sunt paralele;
3) dacă sau , atunci planele se intersectează și sistemul de ecuații
(6)
sunt ecuațiile dreptei de intersecție a planurilor date.
|
Soluţie: Compunem ecuațiile canonice ale dreptei cu formula: Răspuns: |
Luăm ecuațiile rezultate și „fixăm” mental, de exemplu, piesa din stânga: . Acum echivalăm această piesă la orice număr(amintiți-vă că era deja un zero), de exemplu, la unu: . Din moment ce , atunci și celelalte două „piese” trebuie să fie egale cu una. În esență, trebuie să rezolvați sistemul: |
Scrieți ecuații parametrice pentru următoarele linii: 
Soluţie: Dreptele sunt date prin ecuații canonice și la prima etapă ar trebui să găsim un punct aparținând dreptei și vectorului său de direcție.
a) Din ecuații 
se elimina punctul si vectorul directie: . Puteți alege un alt punct (cum să faceți acest lucru este descris mai sus), dar este mai bine să luați cel mai evident. Apropo, pentru a evita greșelile, înlocuiți întotdeauna coordonatele sale în ecuații.
Să compunem ecuațiile parametrice ale acestei drepte: 
Comoditatea ecuațiilor parametrice este că, cu ajutorul lor, este foarte ușor să găsiți alte puncte ale dreptei. De exemplu, să găsim un punct ale cărui coordonate, să zicem, corespund valorii parametrului: 
Astfel: b) Se consideră ecuaţiile canonice 
. Alegerea unui punct aici este simplă, dar insidioasă: (ai grijă să nu amesteci coordonatele!!!). Cum să scoți un vector de ghidare? Puteți argumenta cu ce este paralelă această linie dreaptă sau puteți folosi un truc formal simplu: proporția este „y” și „z”, așa că scriem vectorul de direcție și punem zero în spațiul rămas: .
Compunem ecuațiile parametrice ale dreptei: 
c) Să rescriem ecuațiile sub forma , adică „Z” poate fi orice. Și dacă există, atunci să fie, de exemplu, . Astfel, punctul aparține acestei linii. Pentru a găsi vectorul direcție, folosim următoarea tehnică formală: în ecuațiile inițiale sunt „x” și „y”, iar în vectorul direcție în aceste locuri scriem zerouri: . În locul rămas punem unitate: . În loc de unul, orice număr, cu excepția zero, va fi potrivit.
Scriem ecuațiile parametrice ale dreptei: 
Oh-oh-oh-oh-oh ... ei bine, e minuscul, de parcă ți-ai citi propoziția pentru tine =) Cu toate acestea, atunci relaxarea va ajuta, mai ales că mi-am cumpărat azi accesorii potrivite. Prin urmare, să trecem la prima secțiune, sper că până la sfârșitul articolului voi păstra o dispoziție veselă.
Dispunerea reciprocă a două linii drepte
Cazul când sala cântă în cor. Două linii pot:
1) potrivire;
2) fi paralel: ;
3) sau se intersectează într-un singur punct: .
Ajutor pentru manechini : vă rugăm să rețineți semnul matematic al intersecției, acesta va apărea foarte des. Intrarea înseamnă că linia se intersectează cu linia în punct.
Cum se determină poziția relativă a două linii?
Să începem cu primul caz:
Două drepte coincid dacă și numai dacă coeficienții lor respectivi sunt proporționali, adică există un astfel de număr „lambda” încât egalitățile
Să considerăm drepte și să compunem trei ecuații din coeficienții corespunzători: . Din fiecare ecuație rezultă că, prin urmare, aceste drepte coincid.
Într-adevăr, dacă toți coeficienții ecuației 
înmulțiți cu -1 (schimbați semnele) și reduceți toți coeficienții ecuației cu 2, obțineți aceeași ecuație: .
Al doilea caz când liniile sunt paralele:
Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor la variabile sunt proporționali: 
, Dar.
Ca exemplu, luați în considerare două linii drepte. Verificăm proporționalitatea coeficienților corespunzători pentru variabilele: 
Cu toate acestea, este clar că.
Și al treilea caz, când liniile se intersectează:
Două drepte se intersectează dacă și numai dacă coeficienții lor ai variabilelor NU sunt proporționali, adică NU există o asemenea valoare a „lambda” încât egalitățile să fie îndeplinite 
Deci, pentru linii drepte vom compune un sistem: 
Din prima ecuație rezultă că , iar din a doua ecuație: , prin urmare, sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coeficienții la variabile nu sunt proporționali.
Concluzie: liniile se intersectează
În problemele practice, se poate folosi schema de soluție tocmai considerată. Apropo, este foarte asemănător cu algoritmul de verificare a coliniarității vectorilor, pe care l-am luat în considerare în lecție. Conceptul de (non)dependență liniară a vectorilor. Baza vectorială. Dar există un pachet mai civilizat:
Exemplul 1
Aflați poziția relativă a liniilor: 
Soluţie pe baza studiului vectorilor de direcție ai liniilor drepte:
a) Din ecuații găsim vectorii de direcție ai dreptelor: 
.
, deci vectorii nu sunt coliniari și liniile se intersectează.
Pentru orice eventualitate, voi pune o piatră cu indicatori la răscruce:
Restul sar peste piatra si merg mai departe, direct catre Kashchei cel fara de moarte =)
b) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor: 
Liniile au același vector de direcție, ceea ce înseamnă că sunt fie paralele, fie aceleași. Aici determinantul nu este necesar.
Evident, coeficienții necunoscutelor sunt proporționale, în timp ce .
Să aflăm dacă egalitatea este adevărată: 
Prin urmare,
c) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor: 
Să calculăm determinantul, compus din coordonatele acestor vectori: 
, prin urmare, vectorii de direcție sunt coliniari. Liniile sunt fie paralele, fie coincid.
Factorul de proporționalitate „lambda” este ușor de văzut direct din raportul vectorilor de direcție coliniară. Cu toate acestea, poate fi găsit și prin coeficienții ecuațiilor înșiși: 
.
Acum să aflăm dacă egalitatea este adevărată. Ambii termeni liberi sunt zero, deci:
Valoarea rezultată satisface această ecuație (orice număr o satisface în general).
Astfel, liniile coincid.
Răspuns:
Foarte curând vei învăța (sau chiar ai învățat deja) să rezolvi problema luată în considerare verbal, literal, în câteva secunde. În acest sens, nu văd niciun motiv să ofer ceva pentru o soluție independentă, este mai bine să puneți o cărămidă importantă în fundația geometrică:
Cum se desenează o linie paralelă cu una dată?
Pentru ignorarea acestei sarcini simple, Privighetoarea Tâlharul pedepsește aspru.
Exemplul 2
Linia dreaptă este dată de ecuația . Scrieți o ecuație pentru o dreaptă paralelă care trece prin punct.
Soluţie: Notează linia necunoscută cu litera . Ce spune condiția despre ea? Linia trece prin punct. Și dacă liniile sunt paralele, atunci este evident că vectorul de direcție al dreptei „ce” este potrivit și pentru construirea dreptei „de”.
Scoatem vectorul direcție din ecuație:
Răspuns:
Geometria exemplului pare simplă: 
Verificarea analitică constă în următorii pași:
1) Verificăm ca liniile să aibă același vector de direcție (dacă ecuația dreptei nu este simplificată corespunzător, atunci vectorii vor fi coliniari).
2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată.
Verificarea analitică în majoritatea cazurilor este ușor de efectuat verbal. Priviți cele două ecuații și mulți dintre voi vă vor da seama rapid cum liniile sunt paralele fără nici un desen.
Exemplele de auto-rezolvare astăzi vor fi creative. Pentru că mai trebuie să concurezi cu Baba Yaga, iar ea, știi, este o iubitoare de tot felul de ghicitori.
Exemplul 3
Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct paralel cu dreapta dacă
Există o modalitate rațională și nu foarte rațională de a rezolva. Cea mai scurtă cale este la sfârșitul lecției.
Am lucrat puțin cu linii paralele și vom reveni la ele mai târziu. Cazul liniilor coincidente este de puțin interes, așa că să luăm în considerare o problemă care vă este bine cunoscută din programa școlară:
Cum se află punctul de intersecție a două drepte?
Dacă drept 
se intersectează în punctul , atunci coordonatele sale sunt soluția sisteme de ecuații liniare 
Cum să găsiți punctul de intersecție al liniilor? Rezolvați sistemul.
În sănătatea ta semnificația geometrică a unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute sunt două drepte care se intersectează (cel mai adesea) pe un plan.
Exemplul 4
Aflați punctul de intersecție al dreptelor
Soluţie: Există două moduri de rezolvare - grafic și analitic.
Calea grafică este să trageți pur și simplu liniile date și să aflați punctul de intersecție direct din desen: 
Iată punctul nostru de vedere: . Pentru a verifica, ar trebui să înlocuiți coordonatele sale în fiecare ecuație a unei linii drepte, acestea ar trebui să se potrivească atât acolo, cât și acolo. Cu alte cuvinte, coordonatele unui punct sunt soluția sistemului. De fapt, am considerat o modalitate grafică de a rezolva sisteme de ecuații liniare cu două ecuații, două necunoscute.
Metoda grafică, desigur, nu este rea, dar există dezavantaje vizibile. Nu, ideea nu este că elevii de clasa a VII-a decid astfel, ideea este că va dura timp să faci un desen corect și EXACT. În plus, unele linii nu sunt atât de ușor de construit, iar punctul de intersecție în sine poate fi undeva în al treizecilea regat în afara foii caietului.
Prin urmare, este mai oportun să căutați punctul de intersecție prin metoda analitică. Să rezolvăm sistemul: 
Pentru rezolvarea sistemului s-a folosit metoda adunării în termeni a ecuațiilor. Pentru a dezvolta abilitățile relevante, vizitați lecția Cum se rezolvă un sistem de ecuații?
Răspuns:
Verificarea este banala - coordonatele punctului de intersectie trebuie sa satisfaca fiecare ecuatie a sistemului.
Exemplul 5
Aflați punctul de intersecție al dreptelor dacă acestea se intersectează.
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Sarcina poate fi împărțită convenabil în mai multe etape. Analiza stării sugerează că este necesar:
1) Scrieți ecuația unei drepte.
2) Scrieți ecuația unei drepte.
3) Aflați poziția relativă a liniilor.
4) Dacă liniile se intersectează, atunci găsiți punctul de intersecție.
Dezvoltarea unui algoritm de acțiune este tipică pentru multe probleme geometrice și mă voi concentra în mod repetat asupra acestui lucru.
Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului:
O pereche de pantofi nu a fost încă uzată, deoarece am ajuns la a doua secțiune a lecției:
Linii perpendiculare. Distanța de la un punct la o linie.
Unghiul dintre linii
Să începem cu o sarcină tipică și foarte importantă. În prima parte, am învățat cum să construim o linie dreaptă paralelă cu cea dată, iar acum coliba pe pulpele de pui se va întoarce la 90 de grade:
Cum se desenează o linie perpendiculară pe una dată?
Exemplul 6
Linia dreaptă este dată de ecuația . Scrieți o ecuație pentru o dreaptă perpendiculară care trece printr-un punct.
Soluţie: Se ştie prin presupunere că . Ar fi bine să găsim vectorul direcție al dreptei. Deoarece liniile sunt perpendiculare, trucul este simplu:
Din ecuație „eliminăm” vectorul normal: , care va fi vectorul de direcție al dreptei.
Compunem ecuația unei drepte printr-un punct și un vector de direcție:
Răspuns: 
Să desfășurăm schița geometrică:
Hmmm... Cer portocaliu, mare portocaliu, cămilă portocalie.
Verificarea analitică a soluției:
1) Extrageți vectorii de direcție din ecuații 
si cu ajutorul produs scalar al vectorilor concluzionăm că dreptele sunt într-adevăr perpendiculare: .
Apropo, puteți folosi vectori normali, este și mai ușor.
2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată 
.
Verificarea, din nou, este ușor de efectuat verbal.
Exemplul 7
Aflați punctul de intersecție al dreptelor perpendiculare, dacă ecuația este cunoscută 
și punct.
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Există mai multe acțiuni în sarcină, deci este convenabil să aranjați soluția punct cu punct.
Călătoria noastră interesantă continuă:
Distanța de la punct la linie
În fața noastră este o fâșie dreaptă a râului și sarcina noastră este să ajungem la el în cel mai scurt drum. Nu există obstacole, iar traseul cel mai optim va fi deplasarea de-a lungul perpendicularei. Adică, distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului perpendicular.
Distanța în geometrie se notează în mod tradițional cu litera greacă „ro”, de exemplu: - distanța de la punctul „em” la linia dreaptă „de”.
Distanța de la punct la linie 
este exprimat prin formula
Exemplul 8
Aflați distanța de la un punct la o linie 
Soluţie: tot ce aveți nevoie este să înlocuiți cu atenție numerele în formulă și să faceți calculele:
Răspuns: 
Să executăm desenul: 
Distanța găsită de la punct la linie este exact lungimea segmentului roșu. Dacă faci un desen pe hârtie în carouri la scară de 1 unitate. \u003d 1 cm (2 celule), apoi distanța poate fi măsurată cu o riglă obișnuită.
Luați în considerare o altă sarcină conform aceluiași desen:
Sarcina este de a găsi coordonatele punctului , care este simetric față de punctul în raport cu dreapta 
. Vă propun să efectuați acțiunile pe cont propriu, totuși, voi schița algoritmul de soluție cu rezultate intermediare:
1) Găsiți o dreaptă care este perpendiculară pe o dreaptă.
2) Aflați punctul de intersecție al dreptelor: 
.
Ambele acțiuni sunt discutate în detaliu în această lecție.
3) Punctul este punctul de mijloc al segmentului. Cunoaștem coordonatele mijlocului și unuia dintre capete. De formule pentru coordonatele mijlocului segmentului găsi .
Nu va fi de prisos să verificați dacă distanța este și ea egală cu 2,2 unități.
Aici pot apărea dificultăți în calcule, dar în turn un microcalculator ajută foarte mult, permițându-vă să numărați fracțiile obișnuite. Am sfătuit de multe ori și o să recomand din nou.
Cum se află distanța dintre două linii paralele?
Exemplul 9
Aflați distanța dintre două drepte paralele
Acesta este un alt exemplu pentru o soluție independentă. Un mic indiciu: există nenumărate moduri de a rezolva. Debriefing la sfârșitul lecției, dar mai bine încercați să ghiciți singuri, cred că ați reușit să vă împrăștiați bine ingeniozitatea.
Unghiul dintre două linii
Oricare ar fi colțul, apoi cantul: 
În geometrie, unghiul dintre două drepte este luat ca unghi MAI MIC, din care rezultă automat că nu poate fi obtuz. În figură, unghiul indicat de arcul roșu nu este considerat a fi unghiul dintre liniile care se intersectează. Și vecinul său „verde” sau orientat opus colțul purpuriu.
Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci oricare dintre cele 4 unghiuri poate fi luat ca unghi între ele.
Cum diferă unghiurile? Orientare. În primul rând, direcția de „defilare” colțului este esențial importantă. În al doilea rând, un unghi orientat negativ este scris cu semnul minus, de exemplu, dacă .
De ce am spus asta? Se pare că te poți descurca cu conceptul obișnuit de unghi. Cert este că în formulele prin care vom găsi unghiurile se poate obține cu ușurință un rezultat negativ, iar acest lucru nu ar trebui să vă ia prin surprindere. Un unghi cu semnul minus nu este mai rău și are o semnificație geometrică foarte specifică. În desenul pentru un unghi negativ, este imperativ să indicați orientarea acestuia (în sensul acelor de ceasornic) cu o săgeată.
Cum să găsiți unghiul dintre două linii? Există două formule de lucru:
Exemplul 10
Găsiți unghiul dintre linii
SoluţieȘi Metoda unu
Luați în considerare două drepte date de ecuații în formă generală: 
Dacă drept nu perpendicular, Acea orientat unghiul dintre ele poate fi calculat folosind formula: 
Să acordăm o atenție deosebită numitorului - exact asta produs scalar vectori de direcție ai liniilor drepte:
Dacă , atunci numitorul formulei dispare, iar vectorii vor fi ortogonali, iar liniile vor fi perpendiculare. De aceea s-a făcut o rezervă cu privire la neperpendicularitatea liniilor în formulare.
Pe baza celor de mai sus, soluția este formalizată convenabil în doi pași:
1) Calculați produsul scalar al vectorilor de direcție ai liniilor drepte:
deci liniile nu sunt perpendiculare.
2) Găsim unghiul dintre drepte prin formula:
Folosind funcția inversă, este ușor să găsiți unghiul în sine. În acest caz, folosim ciudățenia arc-tangentei (vezi Fig. Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare):
Răspuns: 
În răspuns, indicăm valoarea exactă, precum și valoarea aproximativă (de preferință atât în grade, cât și în radiani), calculată cu ajutorul unui calculator.
Ei bine, minus, deci minus, e în regulă. Iată o ilustrație geometrică: 
Nu este surprinzător că unghiul s-a dovedit a fi de orientare negativă, deoarece, în starea problemei, primul număr este o linie dreaptă și „răsucirea” unghiului a început tocmai de la aceasta.
Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați liniile drepte, adică să luați coeficienții din a doua ecuație 
, și luați coeficienții din prima ecuație . Pe scurt, trebuie să începeți cu un direct 
.
unghiul dintre planuri
Să considerăm două plane α 1 și α 2 date, respectiv, de ecuațiile:
Sub colţîntre două plane înţelegem unul dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane. Este evident că unghiul dintre vectorii normali și planurile α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau 
. De aceea 
. Deoarece 
Și 
, Acea
.
Exemplu. Determinați unghiul dintre plane X+2y-3z+4=0 și 2 X+3y+z+8=0.
Condiția de paralelism a două plane.
Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali și sunt paraleli și, prin urmare 
.
Deci, două plane sunt paralele unul cu celălalt dacă și numai dacă coeficienții la coordonatele corespunzătoare sunt proporționali:
sau
Condiția de perpendicularitate a planurilor.
Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .
Prin urmare, .
Exemple.
DIRECT ÎN SPAȚIU.
ECUAȚIA VECTORALĂ DIRECT.
ECUATII PARAMETRICE DIRECT
Poziția unei linii drepte în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.
Un vector paralel cu o dreaptă se numește îndrumare vectorul acestei linii.
Așa că lasă dreapta l trece printr-un punct M 1 (X 1 , y 1 , z 1) situat pe o dreaptă paralelă cu vectorul .
Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură se poate observa că 
.
Vectorii și sunt coliniari, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate lua orice valoare numerică în funcție de poziția punctului M pe o linie dreaptă. Factor t se numește parametru. Indicarea vectorilor de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuație în linie dreaptă. Arată că fiecare parametru este valoarea t corespunde vectorului raza unui punct M culcat pe o linie dreaptă.
Scriem această ecuație sub formă de coordonate. Observa asta , 
si de aici
Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuații în linie dreaptă.
La modificarea parametrului t se schimbă coordonatele X, yȘi zși punct M se deplasează în linie dreaptă.
ECUATII CANONICE DIRECT
Lăsa M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punct situat pe o linie dreaptă l, Și 
este vectorul său de direcție. Din nou, luați un punct arbitrar pe o linie dreaptă M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .
Este clar că vectorii și sunt coliniari, deci coordonatele lor respective trebuie să fie proporționale, prin urmare
– canonic ecuații în linie dreaptă.
Observație 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din ecuațiile parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem 
sau .
Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte 
într-un mod parametric.
Denota 
, prin urmare X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Observația 2. Fie linia perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu, axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei iau forma
Eliminarea parametrului din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma
Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem formal ecuațiile canonice ale dreptei în formă 
. Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, atunci aceasta înseamnă că linia este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.
În mod similar, ecuațiile canonice 
corespunde unei drepte perpendiculare pe axele BouȘi Oi sau axa paralela Oz.
Exemple.
ECUAȚII GENERALE O LINIE DIRECTĂ CA O LINIE DE INTERCEPȚIE A DOUA PLANURI
Prin fiecare linie dreaptă din spațiu trece un număr infinit de plane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. Prin urmare, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, sunt ecuațiile acestei drepte.
În general, oricare două plane neparalele date de ecuațiile generale
determinați linia lor de intersecție. Aceste ecuații se numesc ecuații generale Drept.
Exemple.
Construiți o dreaptă dată de ecuații 
Pentru a construi o dreaptă, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să alegeți punctele de intersecție ale dreptei cu planurile de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile unei drepte, presupunând z= 0:
Rezolvând acest sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).
În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:
Din ecuațiile generale ale unei linii drepte, se poate trece la ecuațiile ei canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe linie și vectorul de direcție al dreptei.
Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali 
Și 
. Prin urmare, pentru vectorul direcție al dreptei l puteți lua produsul încrucișat al vectorilor normali:
.
Exemplu. Dați ecuațiile generale ale dreptei 
la forma canonică.
Găsiți un punct pe o dreaptă. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:
Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate 
Prin urmare, vectorul direcție va fi drept
. Prin urmare, l: 
.
unghiul dintre drepturi
colţîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.
Să fie date două drepte în spațiu:
Evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , atunci conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem
voi fi scurt. Unghiul dintre două linii este egal cu unghiul dintre vectorii lor de direcție. Astfel, dacă reușiți să găsiți coordonatele vectorilor de direcție a \u003d (x 1; y 1; z 1) și b \u003d (x 2; y 2; z 2), puteți găsi unghiul. Mai precis, cosinusul unghiului conform formulei:
Să vedem cum funcționează această formulă pe exemple specifice:
Sarcină. Punctele E și F sunt marcate în cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și respectiv B 1 C 1. Aflați unghiul dintre liniile AE și BF.
Deoarece muchia cubului nu este specificată, setăm AB = 1. Introducem un sistem de coordonate standard: originea este în punctul A, iar axele x, y, z sunt direcționate de-a lungul AB, AD și, respectiv, AA 1 . Segmentul unitar este egal cu AB = 1. Acum să găsim coordonatele vectorilor de direcție pentru liniile noastre.
Aflați coordonatele vectorului AE. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de punctele A = (0; 0; 0) și E = (0,5; 0; 1). Deoarece punctul E este mijlocul segmentului A 1 B 1 , coordonatele acestuia sunt egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor. Rețineți că originea vectorului AE coincide cu originea, deci AE = (0,5; 0; 1).
Acum să ne ocupăm de vectorul BF. În mod similar, analizăm punctele B = (1; 0; 0) și F = (1; 0,5; 1), deoarece F - mijlocul segmentului B 1 C 1 . Avem:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).
Deci, vectorii de direcție sunt gata. Cosinusul unghiului dintre drepte este cosinusul unghiului dintre vectorii de direcție, deci avem:
Sarcină. Într-o prismă triedră regulată ABCA 1 B 1 C 1 , ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, punctele D și E sunt marcate - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și, respectiv, B 1 C 1. Aflați unghiul dintre dreptele AD și BE.
Introducem un sistem de coordonate standard: originea este în punctul A, axa x este îndreptată de-a lungul AB, z - de-a lungul AA 1 . Îndreptăm axa y astfel încât planul OXY să coincidă cu planul ABC. Segmentul unitar este egal cu AB = 1. Aflați coordonatele vectorilor de direcție pentru liniile dorite.
Mai întâi, să găsim coordonatele vectorului AD. Luați în considerare punctele: A = (0; 0; 0) și D = (0,5; 0; 1), deoarece D - mijlocul segmentului A 1 B 1 . Deoarece începutul vectorului AD coincide cu originea, obținem AD = (0,5; 0; 1).
Acum să găsim coordonatele vectorului BE. Punctul B = (1; 0; 0) este ușor de calculat. Cu punctul E - mijlocul segmentului C 1 B 1 - puțin mai dificil. Avem:
Rămâne de găsit cosinusul unghiului:
Sarcină. Într-o prismă hexagonală regulată ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, punctele K și L sunt marcate - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și B 1 C 1, respectiv. Aflați unghiul dintre liniile AK și BL.
Introducem un sistem de coordonate standard pentru o prismă: plasăm originea coordonatelor în centrul bazei inferioare, direcționăm axa x de-a lungul FC, axa y prin punctele medii ale segmentelor AB și DE și axa z. vertical în sus. Segmentul unitar este din nou egal cu AB = 1. Să scriem coordonatele punctelor de interes pentru noi:
Punctele K și L sunt punctele mijlocii ale segmentelor A 1 B 1 și respectiv B 1 C 1, deci coordonatele lor se găsesc prin media aritmetică. Cunoscând punctele, găsim coordonatele vectorilor de direcție AK și BL:
Acum să găsim cosinusul unghiului:
Sarcină. Într-o piramidă pătrangulară obișnuită SABCD, ale căror margini sunt egale cu 1, sunt marcate punctele E și F - punctele de mijloc ale laturilor SB și, respectiv, SC. Aflați unghiul dintre liniile AE și BF.
Introducem un sistem de coordonate standard: originea este în punctul A, axele x și y sunt direcționate de-a lungul AB și, respectiv, AD, iar axa z este îndreptată vertical în sus. Segmentul unitar este egal cu AB = 1.
Punctele E și F sunt punctele mijlocii ale segmentelor SB și SC, deci coordonatele lor se găsesc ca medie aritmetică a capetelor. Notăm coordonatele punctelor de interes pentru noi:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Cunoscând punctele, găsim coordonatele vectorilor de direcție AE și BF:
Coordonatele vectorului AE coincid cu coordonatele punctului E, deoarece punctul A este originea coordonatelor. Rămâne de găsit cosinusul unghiului:
