Cu ei sunt logaritmi în interior.
Exemple:
\(\log_3x≥\log_39\)
\(\log_3 ((x^2-3))< \log_3{(2x)}\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2((x+1))+10≤11 \lg((x+1))\)
Cum se rezolvă inegalitățile logaritmice:
Orice inegalitate logaritmică ar trebui redusă la forma \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) (simbolul \(˅\) înseamnă oricare dintre ). Această formă ne permite să scăpăm de logaritmi și bazele lor trecând la inegalitatea expresiilor sub logaritmi, adică la forma \(f(x) ˅ g(x)\).
Dar atunci când faceți această tranziție, există o subtilitate foarte importantă:
\(-\) dacă - un număr și este mai mare decât 1 - semnul inegalității rămâne același în timpul tranziției,
\(-\) dacă baza este un număr mai mare decât 0 dar mai mic decât 1 (între zero și unu), atunci semnul inegalității trebuie inversat, i.e.
|
\(\log_2((8-x))<1\) Soluţie: |
\(\log\)\(_(0,5)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) \(((x+ 1))\) Soluţie: |
Foarte important!În orice inegalitate, trecerea de la forma \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) la compararea expresiilor sub logaritmi se poate face numai dacă:
Exemplu . Rezolvați inegalitatea: \(\log\)\(≤-1\)
Soluţie:
|
\(\Buturuga\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) |
Să scriem ODZ. |
|
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) |
|
|
\(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) |
Deschidem parantezele, dăm . |
|
\(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) |
Înmulțim inegalitatea cu \(-1\), amintindu-ne să inversăm semnul de comparație. |
|
\(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) |
|
|
\(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) |
Să construim o dreaptă numerică și să marchem punctele \(\frac(7)(3)\) și \(\frac(3)(2)\) pe ea. Rețineți că punctul de la numitor este perforat, în ciuda faptului că inegalitatea nu este strictă. Cert este că acest punct nu va fi o soluție, deoarece la înlocuirea într-o inegalitate, ne va conduce la împărțirea la zero. |
|
|
Acum trasăm ODZ pe aceeași axă numerică și notăm ca răspuns intervalul care se încadrează în ODZ. |
|
|
Notează răspunsul final. |
Exemplu . Rezolvați inegalitatea: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Soluţie:
|
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Să scriem ODZ. |
|
ODZ: \(x>0\) |
Să trecem la decizie. |
|
Soluție: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
În fața noastră este o inegalitate tipică pătrat-logaritmică. Noi facem. |
|
\(t=\log_3x\) |
Extindeți partea stângă a inegalității în . |
|
\(D=1+8=9\) |
|
|
Acum trebuie să reveniți la variabila inițială - x. Pentru a face acest lucru, trecem la , care are aceeași soluție și facem înlocuirea inversă. |
|
|
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Transformă \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac(1)(3)\). |
|
\(\left[ \begin(gathered) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Să trecem la compararea argumentelor. Bazele logaritmilor sunt mai mari decât \(1\), deci semnul inegalităților nu se modifică. |
|
\(\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Să combinăm soluția inegalității și a ODZ într-o singură figură. |
|
|
Să scriem răspunsul. |
Rezolvând inegalitățile logaritmice, folosim proprietatea de monotonitate a funcției logaritmice. De asemenea, folosim definiția logaritmului și formulele logaritmice de bază.
Să recapitulăm ce sunt logaritmii:
Logaritm un număr pozitiv în bază este un indicator al puterii la care trebuie să ridicați pentru a obține .
în care
Identitatea logaritmică de bază:
Formule de bază pentru logaritmi:
(Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor)
(Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor)
(Formula pentru logaritmul gradului)
Formula pentru trecerea la o nouă bază este:
Algoritm pentru rezolvarea inegalităților logaritmice
Putem spune că inegalitățile logaritmice sunt rezolvate după un anumit algoritm. Trebuie să notăm intervalul de valori acceptabile (ODV) ale inegalității. Aduceți inegalitatea la forma Semnul de aici poate fi oricare: Este important ca stânga și dreapta din inegalitate să fie logaritmi în aceeași bază.
Și după aceea „aruncăm” logaritmii! Mai mult, dacă baza gradului este , semnul inegalității rămâne același. Dacă baza este astfel încât semnul inegalității este inversat.
Desigur, nu doar „eliminăm” logaritmi. Folosim proprietatea de monotonitate a funcției logaritmice. Dacă baza logaritmului este mai mare decât unu, funcția logaritmică este în creștere monotonă, iar atunci o valoare mai mare a lui x corespunde unei valori mai mari a expresiei.
Dacă baza este mai mare decât zero și mai mică de unu, funcția logaritmică scade monoton. O valoare mai mare a argumentului x va corespunde unei valori mai mici
Notă importantă: cel mai bine este să scrieți soluția ca un lanț de tranziții echivalente.
Să trecem la practică. Ca întotdeauna, începem cu cele mai simple inegalități.
1. Se consideră inegalitatea log 3 x > log 3 5.
Deoarece logaritmii sunt definiți numai pentru numere pozitive, x trebuie să fie pozitiv. Condiția x > 0 se numește intervalul de valori acceptabile (ODV) al inegalității date. Numai pentru un astfel de x are sens inegalitatea.
Ei bine, această formulare sună faimoasă și este ușor de reținut. Dar de ce mai putem face asta?
Suntem oameni, suntem inteligenți. Mintea noastră este aranjată în așa fel încât tot ceea ce este logic, de înțeles, având o structură internă să fie reținut și aplicat mult mai bine decât faptele întâmplătoare și fără legătură. De aceea este important să nu memorezi regulile mecanic, ca un câine matematician dresat, ci să acționezi conștient.
Deci, de ce încă „renunțăm la logaritmi”?
Răspunsul este simplu: dacă baza este mai mare decât unu (ca și în cazul nostru), funcția logaritmică crește monoton, ceea ce înseamnă că unei valori mai mari a lui x îi corespunde o valoare mai mare a lui y, iar din inegalitatea log 3 x 1 > log 3 x 2 rezultă că x 1 > x 2. 
Vă rugăm să rețineți că am trecut la o inegalitate algebrică, iar semnul inegalității este păstrat în același timp.
Deci x > 5.
Următoarea inegalitate logaritmică este, de asemenea, simplă.
2. log 5 (15 + 3x) > log 5 2x
Să începem cu intervalul de valori acceptabile. Logaritmii sunt definiți numai pentru numere pozitive, deci
Rezolvând acest sistem, obținem: x > 0.
Acum să trecem de la inegalitatea logaritmică la cea algebrică - „aruncăm” logaritmii. Deoarece baza logaritmului este mai mare decât unu, semnul inegalității este păstrat.
15 + 3x > 2x.
Se obține: x > −15.
Răspuns: x > 0.
Dar ce se întâmplă dacă baza logaritmului este mai mică de unu? Este ușor de ghicit că în acest caz, la trecerea la o inegalitate algebrică, semnul inegalității se va schimba.
Să luăm un exemplu.
Să scriem ODZ. Expresiile din care sunt luate logaritmii trebuie să fie pozitive, adică
Rezolvând acest sistem, obținem: x > 4,5.
Deoarece , funcția logaritmică de bază scade monoton. Și asta înseamnă că o valoare mai mare a funcției corespunde unei valori mai mici a argumentului: 
Și dacă, atunci
2x − 9 ≤ x.
Obținem că x ≤ 9.
Având în vedere că x > 4,5, scriem răspunsul:
În următoarea problemă, inegalitatea exponențială este redusă la una pătratică. Așa că vă recomandăm să repetați subiectul „inegalități pătrate”.
Acum inegalități mai complexe:
4. Rezolvați inegalitatea
5. Rezolvați inegalitatea
Daca atunci . Am fost norocosi! Știm că baza logaritmului este mai mare decât unu pentru toate valorile x din DPV.
Să facem un înlocuitor
Rețineți că mai întâi rezolvăm complet inegalitatea față de noua variabilă t. Și numai după aceea revenim la variabila x. Ține minte acest lucru și nu face greșeli la examen!
Să ne amintim de regula: dacă există rădăcini, fracții sau logaritmi în ecuație sau inegalitate, soluția trebuie să plece de la intervalul de valori acceptabile. Deoarece baza logaritmului trebuie să fie pozitivă și nu egală cu unu, obținem un sistem de condiții:
Să simplificăm acest sistem:
Acesta este intervalul de valori acceptabile pentru inegalitate.
Vedem că variabila este conținută în baza logaritmului. Să trecem la baza permanentă. Amintește-ți asta
În acest caz, este convenabil să mergeți la baza 4.
Să facem un înlocuitor
Simplificați inegalitatea și rezolvați-o folosind metoda intervalului:
Înapoi la variabilă X:
Am adăugat o condiție X> 0 (din ODZ).
7. Următoarea problemă este de asemenea rezolvată folosind metoda intervalului
Ca întotdeauna, începem soluția inegalității logaritmice din intervalul de valori acceptabile. În acest caz
Această condiție trebuie neapărat îndeplinită și vom reveni asupra ei. Să aruncăm o privire asupra inegalității în sine. Să scriem partea stângă ca logaritm de bază 3:
Partea dreaptă poate fi, de asemenea, scrisă ca logaritm la baza 3 și apoi treceți la inegalitatea algebrică:
Vedem că condiția (adică ODZ) este acum îndeplinită automat. Ei bine, acest lucru simplifică soluția inegalității.
Rezolvăm inegalitatea prin metoda intervalului:
Răspuns:
S-a întâmplat? Ei bine, să creștem nivelul de dificultate:
8. Rezolvați inegalitatea:
Inegalitatea este echivalentă cu sistemul:
9. Rezolvați inegalitatea:
Expresia 5 - X 2 se repetă obsesiv în starea problemei. Și asta înseamnă că puteți face o înlocuire:
Deoarece funcția exponențială ia doar valori pozitive, t> 0. Apoi
Inegalitatea va lua forma:
Deja mai bine. Să găsim intervalul de valori admisibile ale inegalității. Am spus deja asta t> 0. În plus, ( t− 3) (5 9 t − 1) > 0
Dacă această condiție este îndeplinită, atunci și coeficientul va fi pozitiv.
Și expresia de sub logaritmul din partea dreaptă a inegalității trebuie să fie pozitivă, adică (625 t − 2) 2 .
Aceasta înseamnă că 625 t− 2 ≠ 0, adică.
Notați cu atenție ODZ
și rezolvați sistemul rezultat folosind metoda intervalului.
Asa de,
Ei bine, jumătate din bătălie este gata - ne-am dat seama de ODZ. Să rezolvăm inegalitatea. Suma logaritmilor din partea stângă este reprezentată ca logaritm al produsului.
solutie inegalitatiiîn mod pe net soluţie aproape orice inegalitate dată pe net. Matematic inegalități online pentru a rezolva matematica. Găsiți repede solutie inegalitatiiîn mod pe net. Site-ul www.site vă permite să găsiți soluţie aproape orice dat algebric, trigonometric sau inegalitate transcendentă online. Când studiezi aproape orice secțiune de matematică în diferite etape, trebuie să te decizi inegalități online. Pentru a obține un răspuns imediat și, cel mai important, un răspuns precis, aveți nevoie de o resursă care vă permite să faceți acest lucru. Multumesc www.site rezolva inegalitatea online va dura câteva minute. Principalul avantaj al www.site-ului atunci când rezolvăm matematică inegalități online- este viteza și acuratețea răspunsului emis. Site-ul este capabil să rezolve orice inegalități algebrice online, inegalități trigonometrice online, inegalități transcendentale online, și inegalităților cu parametri necunoscuți în modul pe net. inegalităților servesc ca un puternic aparat matematic solutii sarcini practice. Cu ajutor inegalități matematice este posibil să se exprime fapte și relații care pot părea la prima vedere confuze și complexe. cantități necunoscute inegalităților poate fi găsit prin formularea problemei în matematic limba în formă inegalitățilorȘi decide sarcina primită în modul pe net pe site-ul www.site. Orice inegalitatea algebrică, inegalitatea trigonometrică sau inegalităților conținând transcendental te prezintă cu ușurință decide online și obțineți răspunsul corect. Studiind științele naturii, se întâlnește inevitabil nevoia rezolvarea inegalităților. În acest caz, răspunsul trebuie să fie corect și trebuie primit imediat în modul pe net. Prin urmare, pentru Rezolvarea inegalităților matematice online vă recomandăm site-ul www.site, care va deveni calculatorul dumneavoastră indispensabil pentru rezolvarea inegalităților algebrice online, inegalități trigonometrice online, și inegalități transcendentale online sau inegalităților cu parametri necunoscuți. Pentru probleme practice de găsire a soluţiilor intravol de diverse inegalități matematice resursa www.. Rezolvarea inegalități online singur, este util să verificați răspunsul primit folosind soluție online a inegalităților pe site-ul www.site. Este necesar să notați corect inegalitatea și să obțineți instantaneu soluție online, după care rămâne doar să comparăm răspunsul cu soluția ta la inegalitate. Verificarea răspunsului nu va dura mai mult de un minut, suficient rezolva inegalitatea onlineși comparați răspunsurile. Acest lucru vă va ajuta să evitați greșelile în decizie si corecteaza raspunsul la timp rezolvarea inegalităților online fie algebric, trigonometric, transcendent sau inegalitate cu parametri necunoscuți.
Când am studiat funcția logaritmică, am luat în considerare în principal inegalitățile formei
log un x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.
Rezolvați inegalitatea lg (x + 1) ≤ 2 (1).
Soluţie.
1) Partea dreaptă a inegalității luate în considerare are sens pentru toate valorile lui x, iar partea stângă - pentru x + 1 > 0, adică. pentru x > -1.
2) Intervalul x\u003e -1 se numește domeniul de definire al inegalității (1). Funcția logaritmică cu baza 10 este în creștere, prin urmare, în condiția x + 1 > 0, inegalitatea (1) este satisfăcută dacă x + 1 ≤ 100 (deoarece 2 = lg 100). Astfel, inegalitatea (1) și sistemul de inegalități
(x > -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,
sunt echivalente, cu alte cuvinte, mulțimea soluțiilor inegalității (1) și sistemul de inegalități (2) sunt aceleași.
3) Rezolvând sistemul (2), găsim -1< х ≤ 99.
Răspuns. -1< х ≤ 99.
Rezolvați inegalitatea log 2 (x - 3) + log 2 (x - 2) ≤ 1 (3).
Soluţie.
1) Domeniul funcției logaritmice considerate este mulțimea valorilor pozitive ale argumentului, prin urmare partea stângă a inegalității are sens pentru x - 3 > 0 și x - 2 > 0.
Prin urmare, domeniul acestei inegalități este intervalul x > 3.
2) După proprietățile logaritmului, inegalitatea (3) pentru х > 3 este echivalentă cu inegalitatea log 2 (х – 3)(х – 2) ≤ log 2 (4).
3) Funcția logaritmică de bază 2 este în creștere. Prin urmare, pentru х > 3, inegalitatea (4) este satisfăcută dacă (х – 3)(х – 2) ≤ 2.
4) Astfel, inegalitatea originală (3) este echivalentă cu sistemul de inegalități
((x - 3)(x - 2) ≤ 2,
(x > 3.
Rezolvând prima inegalitate a acestui sistem, obținem x 2 - 5x + 4 ≤ 0, de unde 1 ≤ x ≤ 4. Combinând acest segment cu intervalul x > 3, obținem 3< х ≤ 4.
Răspuns. 3< х ≤ 4.
Rezolvați inegalitatea log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ -4. (5)
Soluţie.
1) Domeniul de definire al inegalității se găsește din condiția x 2 + 2x - 8 > 0.
2) Inegalitatea (5) poate fi scrisă ca: 
log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ log 1/2 16.
3) Deoarece funcția logaritmică cu baza ½ este în scădere, atunci pentru tot x din întregul domeniu al inegalității obținem:
x 2 + 2x - 8 ≤ 16.
Astfel, egalitatea inițială (5) este echivalentă cu sistemul de inegalități
(x 2 + 2x - 8 > 0 sau (x 2 + 2x - 8 > 0,
(x 2 + 2x - 8 ≤ 16, (x 2 + 2x - 24 ≤ 0.
Rezolvând prima inegalitate pătratică, obținem x< -4, х >2. Rezolvând a doua inegalitate pătratică, obținem -6 ≤ x ≤ 4. Prin urmare, ambele inegalități ale sistemului sunt îndeplinite simultan la -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4.
Răspuns. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.
site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
Rezolvarea inegalităților online
Înainte de a rezolva inegalitățile, este necesar să înțelegem bine cum se rezolvă ecuațiile.
Nu contează dacă inegalitatea este strictă () sau nestrictă (≤, ≥), primul pas este rezolvarea ecuației prin înlocuirea semnului inegalității cu egalitatea (=).
Explicați ce înseamnă rezolvarea unei inegalități?
După ce a studiat ecuațiile, elevul are următoarea imagine în cap: trebuie să găsiți astfel de valori ale variabilei pentru care ambele părți ale ecuației iau aceleași valori. Cu alte cuvinte, găsiți toate punctele în care este valabilă egalitatea. Totul este corect!
Când vorbim despre inegalități, ele înseamnă găsirea intervalelor (segmentelor) pe care se menține inegalitatea. Dacă există două variabile în inegalitate, atunci soluția nu va mai fi intervale, ci niște zone din plan. Ghici care va fi soluția inegalității în trei variabile?
Cum se rezolvă inegalitățile?
Metoda intervalelor (aka metoda intervalelor) este considerată a fi o modalitate universală de rezolvare a inegalităților, care constă în determinarea tuturor intervalelor în care se va îndeplini inegalitatea dată.
Fără a intra în tipul de inegalitate, în acest caz nu este esența, este necesară rezolvarea ecuației corespunzătoare și determinarea rădăcinilor acesteia, urmată de desemnarea acestor soluții pe axa numerică.
Care este modalitatea corectă de a scrie soluția unei inegalități?
Când ați determinat intervalele pentru rezolvarea inegalității, trebuie să scrieți corect soluția în sine. Există o nuanță importantă - limitele intervalelor sunt incluse în soluție?
Totul este simplu aici. Dacă soluția ecuației satisface ODZ și inegalitatea nu este strictă, atunci granița intervalului este inclusă în soluția inegalității. Altfel, nu.
Luând în considerare fiecare interval, soluția inegalității poate fi intervalul în sine, sau un semi-interval (când una dintre limitele sale satisface inegalitatea), sau un segment - un interval împreună cu limitele sale.
Punct important
Să nu credeți că numai intervalele, semiintervalele și segmentele pot fi soluția unei inegalități. Nu, punctele individuale pot fi incluse și în soluție.
De exemplu, inegalitatea |x|≤0 are o singură soluție - punctul 0.
Și inegalitatea |x|
Pentru ce este calculatorul de inegalități?
Calculatorul de inegalități oferă răspunsul final corect. În acest caz, în cele mai multe cazuri, este dată o ilustrare a unei axe numerice sau a unui plan. Puteți vedea dacă limitele intervalelor sunt incluse sau nu în soluție - punctele sunt afișate umplute sau străpunse.
Datorită calculatorului de inegalități online, puteți verifica dacă ați găsit corect rădăcinile ecuației, le-ați marcat pe linia numerică și ați verificat condițiile de inegalitate pe intervale (și limite)?
Dacă răspunsul dvs. diferă de răspunsul calculatorului, atunci trebuie neapărat să vă verificați soluția și să identificați greșeala făcută.