Cos pi x 0 รูตลบที่ใหญ่ที่สุด

งาน #1

ตรรกะนั้นง่าย: เราจะทำเหมือนเมื่อก่อนแม้ว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติจะมีอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อนมากขึ้น!

ถ้าเราจะแก้สมการของแบบฟอร์ม:

จากนั้นเราจะเขียนคำตอบต่อไปนี้:

หรือ (เพราะ)

แต่ตอนนี้เรากำลังเล่นนิพจน์ต่อไปนี้:

จากนั้นคุณสามารถเขียน:

เป้าหมายของเราคือทำให้ยืนชิดซ้ายง่ายๆ โดยไม่มี "สิ่งเจือปน"!

มากำจัดพวกมันกันเถอะ!

ขั้นแรก ให้ลบตัวส่วนที่: โดยคูณความเสมอภาคของเราด้วย:

ตอนนี้เรากำจัดโดยหารทั้งสองส่วนด้วย:

ตอนนี้มากำจัดแปด:

นิพจน์ผลลัพธ์สามารถเขียนเป็นชุดคำตอบ 2 ชุด (โดยการเปรียบเทียบกับสมการกำลังสอง โดยที่เราเพิ่มหรือลบการจำแนก)

เราต้องหารากเชิงลบที่ใหญ่ที่สุด! เป็นที่ชัดเจนว่าจำเป็นต้องสังคายนา

มาดูซีรีส์แรกกันก่อน:

เป็นที่ชัดเจนว่าถ้าเรารับผลที่ได้คือจำนวนบวก แต่เราไม่สนใจพวกเขา

เลยต้องเอามาติดลบ. ปล่อยให้เป็น

เมื่อรูทจะเป็นแล้ว:

และเราต้องเจอผลลบครั้งใหญ่ที่สุด!! ดังนั้นการไปในทิศทางลบที่นี่จึงไม่สมเหตุสมผลอีกต่อไป และรูทเชิงลบที่ใหญ่ที่สุดสำหรับซีรีส์นี้จะมีค่าเท่ากัน

พิจารณาชุดที่สอง:

และอีกครั้งเราแทนที่: , แล้ว:

ไม่สนใจ!

ถ้าอย่างนั้นก็ไม่สมเหตุสมผลที่จะเพิ่มขึ้นอีกต่อไป! ลดกันเถอะ! ให้แล้ว:

พอดี!

ปล่อยให้เป็น แล้ว

จากนั้น - รูทเชิงลบที่ใหญ่ที่สุด!

คำตอบ:

งาน #2

อีกครั้ง เราแก้ปัญหาโดยไม่คำนึงถึงอาร์กิวเมนต์โคไซน์ที่ซับซ้อน:

ตอนนี้เราแสดงอีกครั้งทางซ้าย:

คูณทั้งสองข้างด้วย

แบ่งทั้งสองฝ่าย

ที่เหลือก็แค่เลื่อนไปทางขวา เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก

เราได้รับรูต 2 ชุดอีกครั้ง ชุดหนึ่งมีและอีกชุดหนึ่งมี

เราต้องหารากเชิงลบที่ใหญ่ที่สุด พิจารณาชุดแรก:

เป็นที่ชัดเจนว่าเราจะได้รูทลบแรกที่ มันจะเท่ากัน และจะเป็นรูทลบที่ใหญ่ที่สุดในชุดที่ 1

สำหรับชุดที่สอง

รากเชิงลบแรกจะได้รับที่และจะเท่ากับ ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมาจึงเป็นรากที่เป็นค่าลบที่ใหญ่ที่สุดของสมการ

คำตอบ: .

งาน #3

เราตัดสินใจโดยไม่คำนึงถึงข้อโต้แย้งที่ซับซ้อนของแทนเจนต์

ที่ดูเหมือนจะไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม?

ก่อนหน้านี้เราแสดงทางด้านซ้าย:

เยี่ยมมาก โดยทั่วไปจะมีรูตเพียงชุดเดียว! ค้นหาค่าลบที่ใหญ่ที่สุดอีกครั้ง

เป็นที่ชัดเจนว่าถ้าเราใส่ . และรูทนี้มีค่าเท่ากัน

คำตอบ:

ตอนนี้ลองแก้ปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวคุณเอง

การบ้านหรือ 3 งานสำหรับการแก้ปัญหาอิสระ

1. สมการอีกครั้ง
   
2. สมการอีกครั้ง
   ใน from-ve-te on-pi-shi-te ราก in-lo-zhi-tel-ny ที่เล็กที่สุด
3. สมการอีกครั้ง
   ใน from-ve-te on-pi-shi-te ราก in-lo-zhi-tel-ny ที่เล็กที่สุด

พร้อม? เราตรวจสอบ ฉันจะไม่อธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับอัลกอริทึมโซลูชันทั้งหมด สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าฉันได้ให้ความสนใจเพียงพอแล้วข้างต้น

ดีทุกอย่างใช่มั้ย โอ้ ไซนัสที่น่ารังเกียจเหล่านั้น มีปัญหากับพวกมันเสมอ!

ตอนนี้คุณสามารถแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดได้แล้ว!

ตรวจสอบคำตอบและคำตอบ:

งาน #1

ด่วน

จะได้รากบวกที่เล็กที่สุดถ้าเราใส่ ตั้งแต่นั้นมา

คำตอบ:

งาน #2

จะได้รับรากบวกที่เล็กที่สุดที่

เขาจะเท่าเทียมกัน

คำตอบ: .

งาน #3

เมื่อเราได้รับ เมื่อเรามี

คำตอบ: .

ความรู้นี้จะช่วยคุณแก้ปัญหามากมายที่คุณจะต้องเผชิญในการสอบ

หากคุณสมัครรับคะแนน "5" คุณเพียงแค่ต้องอ่านบทความต่อ ระดับกลาง,ซึ่งจะทุ่มเทให้กับการแก้สมการตรีโกณมิติที่ซับซ้อนมากขึ้น (งาน C1)

ระดับเฉลี่ย

ในบทความนี้ฉันจะอธิบาย คำตอบของสมการตรีโกณมิติประเภทที่ซับซ้อนมากขึ้นและวิธีการเลือกต้นตอ ที่นี่ฉันจะเน้นหัวข้อต่อไปนี้:

1. สมการตรีโกณมิติสำหรับระดับเริ่มต้น (ดูด้านบน)

สมการตรีโกณมิติที่ซับซ้อนมากขึ้นเป็นพื้นฐานของปัญหาที่มีความซับซ้อนเพิ่มขึ้น พวกเขาต้องการทั้งการแก้สมการในรูปแบบทั่วไปและการค้นหารากของสมการนี้ที่อยู่ในช่วงเวลาที่กำหนด

การแก้สมการตรีโกณมิติลดลงเหลือสองงานย่อย:

1. วิธีแก้ปัญหาสมการ
2. การเลือกรูท

ควรสังเกตว่าไม่จำเป็นเสมอไป แต่ในตัวอย่างส่วนใหญ่จำเป็นต้องทำการเลือก และถ้าไม่จำเป็นคุณก็สามารถเห็นอกเห็นใจได้ - หมายความว่าสมการนั้นค่อนข้างซับซ้อนในตัวเอง

ประสบการณ์ของฉันเกี่ยวกับการวิเคราะห์งาน C1 แสดงให้เห็นว่าโดยปกติแล้วจะแบ่งออกเป็นประเภทต่อไปนี้

งานสี่ประเภทที่มีความซับซ้อนเพิ่มขึ้น (เดิมคือ C1)

1. สมการที่ลดการแยกตัวประกอบ
2. สมการที่ลดรูป
3. แก้สมการโดยการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร
4. สมการที่ต้องเลือกรากเพิ่มเติมเนื่องจากความไม่ลงตัวหรือตัวส่วน

พูดง่ายๆ: ถ้าคุณได้รับ หนึ่งในสามประเภทแรกของสมการแล้วคิดว่าตัวเองโชคดี ตามกฎแล้วจำเป็นต้องเลือกรูตที่เป็นของช่วงเวลาหนึ่งเพิ่มเติม

หากคุณเจอสมการประเภท 4 แสดงว่าคุณโชคดีน้อยกว่า: คุณต้องแก้ไขให้นานขึ้นและระมัดระวังมากขึ้น แต่บ่อยครั้งไม่จำเป็นต้องเลือกรากเพิ่มเติม อย่างไรก็ตาม ฉันจะวิเคราะห์สมการประเภทนี้ในบทความถัดไป และฉันจะอุทิศสมการนี้ให้กับการแก้สมการของสามประเภทแรก

สมการรีดิวซ์เป็นการแยกตัวประกอบ

สิ่งที่สำคัญที่สุดที่คุณต้องจำเพื่อแก้สมการประเภทนี้คือ

ตามกฎแล้วความรู้นี้ก็เพียงพอแล้ว ลองดูตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 1 สมการที่ลดการแยกตัวประกอบโดยใช้สูตรการลดลงและไซน์ของมุมคู่

• สมการอีกครั้ง
• ค้นหารากทั้งหมดของสมการนี้

ตามที่ฉันสัญญาไว้ สูตรการหล่อทำงาน:

จากนั้นสมการของฉันจะมีลักษณะดังนี้:

จากนั้นสมการของฉันจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

นักเรียนสายตาสั้นอาจพูดว่า: และตอนนี้ฉันจะลดทั้งสองส่วนลง หาสมการที่ง่ายที่สุดแล้วใช้ชีวิตให้สนุก! และเขาจะเข้าใจผิดอย่างขมขื่น!

ข้อควรจำ: อย่าลดทั้งสองส่วนของสมการตรีโกณมิติสำหรับฟังก์ชันที่มีสิ่งที่ไม่รู้จัก! ด้วยวิธีนี้ คุณจะสูญเสียรูท!

แล้วจะทำอย่างไร? ใช่ ทุกอย่างง่าย ถ่ายโอนทุกอย่างไปในทิศทางเดียวและนำปัจจัยทั่วไปออก:

เราแยกตัวประกอบออกมาแล้ว ไชโย! ตอนนี้เราตัดสินใจ:

สมการแรกมีราก:

และประการที่สอง:

เป็นการจบปัญหาในส่วนแรก ตอนนี้เราต้องเลือกราก:

ช่องว่างเป็นดังนี้:

หรือจะเขียนแบบนี้ก็ได้

เรามาหยั่งรากกันเถอะ:

ขั้นแรก มาทำงานกับซีรีส์แรกกันก่อน (และพูดง่ายกว่า!)

เนื่องจากช่วงเวลาของเราเป็นค่าลบทั้งหมด จึงไม่จำเป็นต้องใช้ค่าที่ไม่ใช่ค่าลบ พวกเขาจะยังคงให้ค่ารากที่ไม่เป็นค่าลบ

เอาล่ะ - มากเกินไปมันไม่พอดี

ให้แล้ว - ไม่ตีอีกครั้ง

ลองอีกครั้ง - จากนั้น - ตี! พบรูทแรก!

ฉันยิงอีกครั้ง: แล้ว - ตีอีกครั้ง!

อีกครั้ง: - นี่เป็นเที่ยวบินแล้ว

ดังนั้นจากซีรีส์แรก 2 รูทเป็นของช่วงเวลา:

เรากำลังทำงานกับซีรีส์ที่สอง (เรากำลังสร้าง ให้มีอำนาจตามกฎ):

อันเดอร์ชู้ต!

พลาดอีกแล้ว!

ขาดอีก!

เข้าใจแล้ว!

เที่ยวบิน!

ดังนั้นรากต่อไปนี้จึงเป็นช่วงของฉัน:

เราจะใช้อัลกอริทึมนี้เพื่อแก้ปัญหาตัวอย่างอื่นๆ ทั้งหมด มาฝึกอีกหนึ่งตัวอย่างด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 2 สมการที่ลดการแยกตัวประกอบโดยใช้สูตรการลดลง

• แก้สมการ

สารละลาย:

สูตรการหล่อที่โด่งดังอีกครั้ง:

อีกครั้งอย่าพยายามตัด!

สมการแรกมีราก:

และประการที่สอง:

ตอนนี้ค้นหารากอีกครั้ง

ฉันจะเริ่มด้วยซีรีส์ที่สอง ฉันรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับเรื่องนี้แล้วจากตัวอย่างที่แล้ว! ดูและตรวจสอบให้แน่ใจว่ารากที่เป็นของช่องว่างมีดังนี้:

ตอนนี้ชุดแรกและง่ายกว่า:

ถ้า - เหมาะสม

ถ้า - ยังดี

ถ้า - เที่ยวบินแล้ว

จากนั้นรากจะเป็น:

งานอิสระ. 3 สมการ

คุณเข้าใจเทคนิคหรือไม่? การแก้สมการตรีโกณมิติดูเหมือนจะไม่ยากอีกต่อไป? จากนั้นแก้ปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวคุณเองอย่างรวดเร็ว จากนั้นคุณและฉันจะแก้ปัญหาตัวอย่างอื่นๆ:

1. แก้สมการ
   ค้นหารากทั้งหมดของสมการนี้ที่ติดอยู่กับช่องว่าง
2. สมการอีกครั้ง
   ระบุรากของสมการซึ่งแนบมากับการตัด
3. สมการอีกครั้ง
   จงหารากเหง้าทั้งหมดของสมการนี้

สมการที่ 1

และสูตรการหล่ออีกครั้ง:

รากชุดแรก:

ชุดรากที่สอง:

เราเริ่มการเลือกสำหรับช่วงเวลา

คำตอบ: , .

สมการ 2 ตรวจสอบการทำงานอิสระ

การจัดกลุ่มเป็นปัจจัยที่ค่อนข้างยุ่งยาก (ฉันจะใช้สูตรสำหรับไซน์ของมุมคู่):

แล้วหรือ

นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไป ตอนนี้เราต้องหยั่งราก ปัญหาคือเราไม่สามารถบอกค่าที่แน่นอนของมุมที่โคไซน์เท่ากับหนึ่งในสี่ได้ ดังนั้นฉันไม่สามารถกำจัดอาร์คโคไซน์ได้ - น่ารำคาญมาก!

สิ่งที่ฉันทำได้คือคิดให้ออกว่าตั้งแต่นั้นมา

มาทำตารางกัน:interval:

จากการค้นหาที่เจ็บปวด เราได้ข้อสรุปที่น่าผิดหวังว่าสมการของเรามีหนึ่งรูทในช่วงเวลาที่ระบุ: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

สมการ 3 การตรวจสอบงานอิสระ

สมการที่น่ากลัว อย่างไรก็ตาม มันแก้ไขได้ง่ายๆ โดยใช้สูตรสำหรับไซน์ของมุมคู่:

มาลดมันลง 2:

เราจัดกลุ่มเทอมแรกกับเทอมที่สองและเทอมที่สามกับเทอมที่สี่ และแยกปัจจัยทั่วไปออก:

เป็นที่ชัดเจนว่าสมการแรกไม่มีราก และตอนนี้ให้พิจารณาสมการที่สอง:

โดยทั่วไปแล้วฉันจะอยู่กับการแก้สมการดังกล่าวในภายหลัง แต่เนื่องจากมันปรากฏขึ้นจึงไม่มีอะไรต้องทำเราจึงต้องตัดสินใจ ...

สมการของแบบฟอร์ม:

สมการนี้แก้ได้โดยการหารทั้งสองข้างด้วย:

ดังนั้นสมการของเราจึงมีรากชุดเดียว:

คุณต้องค้นหาสิ่งเหล่านี้ที่เป็นของช่วงเวลา: .

มาสร้างตารางกันอีกครั้งเหมือนที่เคยทำมา:

คำตอบ: .

สมการที่ลดรูปแบบ:

ตอนนี้ได้เวลาไปยังส่วนที่สองของสมการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อฉันได้โพล่งออกไปแล้วว่าคำตอบของสมการตรีโกณมิติประเภทใหม่ประกอบด้วยอะไรบ้าง แต่จะไม่ฟุ่มเฟือยที่จะทำซ้ำสมการของแบบฟอร์ม

แก้ไขได้โดยการหารทั้งสองส่วนด้วยโคไซน์:

1. สมการอีกครั้ง
   ระบุรากของสมการที่แนบมากับจุดตัด
2. สมการอีกครั้ง
   ระบุรากของสมการ ที่เหนือ le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku

ตัวอย่างที่ 1

อันแรกค่อนข้างง่าย เลื่อนไปทางขวาและใช้สูตรโคไซน์มุมคู่:

อะฮ่า! พิมพ์สมการ: . ฉันแบ่งทั้งสองส่วนออกเป็น

เราทำการกำจัดราก:

ช่องว่าง:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2

ทุกอย่างค่อนข้างไม่สำคัญ: เปิดวงเล็บด้านขวา:

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

ไซน์ของมุมคู่:

ในที่สุดเราก็ได้รับ:

การคัดกรองราก: ช่องว่าง

คำตอบ: .

คุณชอบเทคนิคอย่างไรไม่ซับซ้อนเกินไป? ฉันหวังว่าจะไม่ เราสามารถจองได้ทันที: ในรูปแบบบริสุทธิ์สมการที่ลดลงเป็นสมการแทนเจนต์ในทันทีนั้นค่อนข้างหายาก โดยปกติแล้ว การเปลี่ยนแปลงนี้ (หารด้วยโคไซน์) เป็นเพียงส่วนหนึ่งของปัญหาที่ใหญ่กว่า นี่คือตัวอย่างสำหรับคุณในการปฏิบัติ:

• สมการอีกครั้ง
• ค้นหารากเหง้าทั้งหมดของสมการนี้ ที่-เหนือ-le-zha-schie จาก-ตัด

ตรวจสอบ:

สมการจะแก้ไขได้ทันที หารทั้งสองส่วนด้วย:

การลอดราก:

คำตอบ: .

ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เรายังไม่พบสมการประเภทที่เราเพิ่งพูดถึง อย่างไรก็ตาม ยังเร็วเกินไปที่เราจะสรุป: ยังมี "ชั้น" ของสมการอีกหนึ่งชั้นที่เรายังไม่ได้วิเคราะห์ ดังนั้น:

การแก้สมการตรีโกณมิติโดยการเปลี่ยนตัวแปร

ทุกอย่างโปร่งใสที่นี่: เราดูสมการอย่างละเอียด เราทำให้สมการง่ายขึ้นมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เราทำการแทนที่ เราแก้ปัญหา เราทำการแทนที่แบบผกผัน! ในคำพูดทุกอย่างง่ายมาก มาดูการทำงานกันเลย:

ตัวอย่าง.

• แก้สมการ: .
• ค้นหารากเหง้าทั้งหมดของสมการนี้ ที่-เหนือ-le-zha-schie จาก-ตัด

นี่คือการแทนที่ตัวเองแนะนำตัวเองในมือของเรา!

จากนั้นสมการของเราจะกลายเป็น:

สมการแรกมีราก:

และอันที่สองเป็นดังนี้:

ทีนี้มาหารากที่เป็นของช่วงเวลากัน

คำตอบ: .

ลองดูตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อยด้วยกัน:

• สมการอีกครั้ง
• ระบุรากของสมการที่กำหนด ที่-เหนือ-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku

ที่นี่มองไม่เห็นการแทนที่ในทันทีนอกจากนี้ยังไม่ชัดเจนนัก ลองคิดดูก่อน: เราจะทำอะไรได้บ้าง?

ตัวอย่างเช่นเราสามารถจินตนาการได้

และในเวลาเดียวกัน

จากนั้นสมการของฉันจะกลายเป็น:

และตอนนี้ความสนใจ โฟกัส:

แบ่งทั้งสองข้างของสมการออกเป็น:

ทันใดนั้น คุณและฉันก็ได้สมการกำลังสองสำหรับ! มาทำการแทนที่กัน แล้วเราจะได้:

สมการมีรากดังต่อไปนี้:

รากชุดที่สองที่ไม่พึงประสงค์ แต่ไม่มีอะไรจะทำ! เราเลือกรูทในช่วงเวลา

เราต้องคำนึงด้วยว่า

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

คำตอบ:

ในการรวม ก่อนที่คุณจะแก้ปัญหาด้วยตัวเอง ต่อไปนี้เป็นแบบฝึกหัดอื่นสำหรับคุณ:

• สมการอีกครั้ง
• จงหารากเหง้าทั้งหมดของสมการนี้

ที่นี่คุณต้องเปิดตา: เรามีตัวส่วนที่เป็นศูนย์ได้! ดังนั้นคุณต้องใส่ใจเป็นพิเศษกับราก!

ก่อนอื่น ฉันต้องแปลงสมการเพื่อให้สามารถแทนที่ได้อย่างเหมาะสม ฉันไม่สามารถคิดอะไรที่ดีไปกว่าการเขียนแทนเจนต์ในรูปของไซน์และโคไซน์:

ตอนนี้ฉันจะเปลี่ยนจากโคไซน์เป็นไซน์ตามเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

และสุดท้าย ฉันจะนำทุกอย่างมาเป็นตัวส่วนร่วม:

ตอนนี้ฉันสามารถไปที่สมการ:

แต่ที่ (เช่นที่)

ตอนนี้ทุกอย่างพร้อมสำหรับการเปลี่ยนแล้ว:

แล้วอย่างใดอย่างหนึ่ง

อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าถ้าในเวลาเดียวกัน!

ใครทนทุกข์ทรมานจากสิ่งนี้? ปัญหาอยู่ที่แทนเจนต์ มันไม่ได้ถูกกำหนดเมื่อโคไซน์เป็นศูนย์ (การหารด้วยศูนย์เกิดขึ้น)

ดังนั้นรากของสมการคือ:

ตอนนี้เราคัดกรองรากในช่วงเวลา:

	- พอดี
	- ค้นหา

ดังนั้น สมการของเราจึงมีรูทเดียวในช่วง และมีค่าเท่ากัน

คุณเห็น: การปรากฏตัวของตัวส่วน (เช่นเดียวกับแทนเจนต์ทำให้เกิดปัญหาบางอย่างกับราก! คุณต้องระวังให้มากขึ้นที่นี่!)

คุณและฉันเกือบจะเสร็จสิ้นการวิเคราะห์สมการตรีโกณมิติแล้ว เหลือน้อยมาก - เพื่อแก้ปัญหาสองข้อด้วยตัวเราเอง พวกเขาอยู่ที่นี่

1. แก้สมการ
   ค้นหารากเหง้าทั้งหมดของสมการนี้ ที่-เหนือ-le-zha-schie จาก-ตัด
2. สมการอีกครั้ง
   ระบุรากของสมการนี้ซึ่งแนบมากับการตัด

ตัดสินใจแล้ว? ไม่ยากมาก? ตรวจสอบ:

1. เราทำงานตามสูตรการลด:

   เราแทนที่ในสมการ:

   ลองเขียนทุกอย่างใหม่ในรูปของโคไซน์ เพื่อให้สะดวกกว่าในการแทนที่:

   ตอนนี้มันง่ายที่จะเปลี่ยน:

   เป็นที่ชัดเจนว่าเป็นรากภายนอกเนื่องจากสมการไม่มีคำตอบ แล้ว:

   เรากำลังมองหารากที่เราต้องการในช่วงเวลา

   คำตอบ: .

2. 
   ที่นี่จะเห็นการแทนที่ทันที:

   แล้วอย่างใดอย่างหนึ่ง

   	- พอดี!	- พอดี!
   	- พอดี!	- พอดี!
   	- มาก!	- เยอะด้วย!

   คำตอบ:

ตอนนี้ทุกอย่าง! แต่การแก้สมการตรีโกณมิติไม่ได้จบเพียงแค่นั้น เราทิ้งกรณีที่ยากที่สุดไว้ นั่นคือ เมื่อมีอตรรกยะหรือ "ตัวส่วนเชิงซ้อน" ชนิดต่างๆ ในสมการ เราจะพิจารณาวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวในบทความสำหรับระดับสูง

ระดับสูง

นอกจากสมการตรีโกณมิติที่พิจารณาในสองบทความก่อนหน้านี้แล้ว เราพิจารณาสมการอีกประเภทหนึ่งที่ต้องใช้การวิเคราะห์อย่างรอบคอบมากยิ่งขึ้น ตัวอย่างตรีโกณมิติเหล่านี้มีทั้งความไม่ลงตัวหรือตัวส่วน ซึ่งทำให้การวิเคราะห์ยากขึ้น. อย่างไรก็ตาม คุณอาจพบสมการเหล่านี้ในส่วน C ของข้อสอบ อย่างไรก็ตามมีซับในสีเงิน: สำหรับสมการดังกล่าว ตามกฎแล้ว คำถามที่รากของมันอยู่ในช่วงเวลาที่กำหนดจะไม่ถูกยกขึ้นอีกต่อไป อย่าเอาชนะพุ่มไม้ แต่เป็นเพียงตัวอย่างตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการและค้นหารากที่เป็นของส่วน

สารละลาย:

เรามีตัวส่วนที่ไม่ควรเท่ากับศูนย์! จากนั้นการแก้สมการนี้ก็เหมือนกับการแก้ระบบ

มาแก้สมการกัน:

และตอนนี้ที่สอง:

ตอนนี้มาดูซีรีส์:

เป็นที่ชัดเจนว่าตัวเลือกไม่เหมาะกับเรา เนื่องจากในกรณีนี้ ตัวส่วนจะถูกตั้งค่าเป็นศูนย์ (ดูสูตรสำหรับรากของสมการที่สอง)

ถ้า - ทุกอย่างเป็นไปตามลำดับและตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์! จากนั้นรากของสมการคือ: , .

ตอนนี้เราเลือกรากที่เป็นของช่วงเวลา

	- ไม่เหมาะสม	- พอดี
	- พอดี	- พอดี
	การแจงนับ	การแจงนับ

จากนั้นรากคือ:

คุณคงเห็นแล้วว่า แม้แต่การแทรกสอดเล็กๆ สิ่งต่างๆ อาจซับซ้อนยิ่งขึ้นหากคุณเจอตัวอย่างตรีโกณมิติที่มีความไม่ลงตัว

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ:

สารละลาย:

อย่างน้อยคุณก็ไม่จำเป็นต้องเลือกราก และนั่นก็ดี! เรามาแก้สมการกันก่อน โดยไม่คำนึงถึงความไม่ลงตัว:

และนั่นคือทั้งหมด? ไม่ อนิจจา มันจะง่ายเกินไป! ต้องจำไว้ว่าเฉพาะตัวเลขที่ไม่เป็นลบเท่านั้นที่สามารถยืนอยู่ใต้รูทได้ แล้ว:

วิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันนี้:

ตอนนี้ยังคงต้องค้นหาว่าส่วนหนึ่งของรากของสมการแรกไม่ได้ตกอยู่ในจุดที่ความไม่เท่าเทียมกันเกิดขึ้นโดยไม่ได้ตั้งใจหรือไม่

ในการทำเช่นนี้คุณสามารถใช้ตารางได้อีกครั้ง:

	: , แต่	เลขที่!
		ใช่!
		ใช่!

ดังนั้นหนึ่งในราก "หลุดออกมา" สำหรับฉัน! ปรากฎว่าถ้าคุณใส่ . แล้วเขียนตอบได้ดังนี้

คำตอบ:

คุณเห็นไหมว่ารากต้องการการดูแลอย่างใกล้ชิด! มาซับซ้อนกันเถอะ ตอนนี้ฉันมีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ใต้ราก

ตัวอย่างที่ 3

เหมือนเดิม: ก่อนอื่นเราจะแก้ปัญหาแยกกันจากนั้นเราจะคิดถึงสิ่งที่เราทำ

ตอนนี้สมการที่สอง:

ตอนนี้สิ่งที่ยากที่สุดคือการค้นหาว่าได้ค่าลบภายใต้รากเลขคณิตหรือไม่หากเราแทนที่รากจากสมการแรกที่นั่น:

จำนวนต้องเข้าใจเป็นเรเดียน เนื่องจากเรเดียนมีค่าประมาณองศา ดังนั้น เรเดียนจึงมีค่าประมาณองศา นี่คือมุมของไตรมาสที่สอง สัญญาณของโคไซน์ของไตรมาสที่สองคืออะไร? ลบ. แล้วไซน์ล่ะ? บวก แล้วการแสดงออกล่ะ:

น้อยกว่าศูนย์!

ดังนั้น - ไม่ใช่รากของสมการ

ตอนนี้เลี้ยว

ลองเปรียบเทียบตัวเลขนี้กับศูนย์

โคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันที่ลดลงใน 1 ไตรมาส (อาร์กิวเมนต์ยิ่งน้อย โคแทนเจนต์ก็ยิ่งมากขึ้น) เรเดียนมีค่าประมาณองศา ในเวลาเดียวกัน

ตั้งแต่นั้นมาและด้วยเหตุนี้
,

คำตอบ: .

มันอาจจะยากกว่านี้อีกไหม? โปรด! มันจะยากขึ้นถ้ารากยังคงเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ และส่วนที่สองของสมการเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติอีกครั้ง

ยิ่งมีตัวอย่างตรีโกณมิติมากเท่าไรก็ยิ่งดีเท่านั้น ดูเพิ่มเติม:

ตัวอย่างที่ 4

รากไม่เหมาะสม เนื่องจากโคไซน์จำกัด

ตอนนี้คนที่สอง:

ในเวลาเดียวกันตามคำจำกัดความของรูท:

เราต้องจำวงกลมหน่วย: คือไตรมาสที่ไซน์น้อยกว่าศูนย์ ไตรมาสเหล่านี้คืออะไร? สามและสี่ จากนั้นเราจะสนใจคำตอบของสมการแรกที่อยู่ในจตุภาคที่สามหรือสี่

ชุดแรกให้รากอยู่ที่จุดตัดของไตรมาสที่สามและสี่ ชุดที่สองนั้นตรงกันข้ามกับมันและก่อให้เกิดรากที่วางอยู่บนขอบของไตรมาสที่หนึ่งและสอง ดังนั้นชุดนี้ไม่เหมาะกับเรา

คำตอบ: ,

และอีกครั้ง ตัวอย่างตรีโกณมิติที่มี "ความลงตัวยาก". ไม่เพียงแต่เราจะมีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ใต้รากเท่านั้น แต่ตอนนี้มันยังอยู่ในตัวส่วนด้วย!

ตัวอย่างที่ 5

ไม่มีอะไรต้องทำ - เราทำตัวเหมือนเดิม

ตอนนี้เราทำงานกับตัวส่วน:

ฉันไม่ต้องการแก้อสมการตรีโกณมิติ ดังนั้นฉันจะทำแบบยุ่งยาก: ฉันจะใช้และแทนที่ชุดรากของฉันลงในอสมการ:

หากเป็นเลขคู่ เราก็มี:

ตั้งแต่นั้นมามุมมองทั้งหมดอยู่ในไตรมาสที่สี่ และคำถามศักดิ์สิทธิ์อีกครั้ง: อะไรคือสัญญาณของไซน์ในไตรมาสที่สี่? เชิงลบ. แล้วความไม่เท่าเทียมกัน

หากเป็นเลขคี่ ให้:

มุมอยู่ในไตรมาสใด นี่คือมุมของไตรมาสที่สอง จากนั้นมุมทั้งหมดจะเป็นมุมของไตรมาสที่สองอีกครั้ง ไซน์เป็นบวก สิ่งที่คุณต้องการ! ดังนั้นซีรีส์คือ:

พอดี!

เราจัดการกับรากชุดที่สองในลักษณะเดียวกัน:

แทนที่ความไม่เท่าเทียมกันของเรา:

หากเป็นเลขคู่

มุมของไตรมาสแรก ไซน์เป็นบวกดังนั้นซีรีส์จึงเหมาะสม ตอนนี้ถ้ามันแปลกแล้ว:

เหมาะด้วย!

ตอนนี้เราเขียนคำตอบแล้ว!

คำตอบ:

นี่อาจเป็นกรณีที่ลำบากที่สุด ตอนนี้ฉันเสนองานให้คุณสำหรับโซลูชันอิสระ

การฝึกอบรม

1. แก้และค้นหารากของสมการที่เป็นของส่วน

โซลูชั่น:

1. 
   สมการแรก:
   หรือ
   รูท ODZ:

   สมการที่สอง:

   การเลือกรูทที่เป็นของช่วงเวลา

   คำตอบ:

หรือ
หรือ
แต่

พิจารณา: . หากเป็นเลขคู่
- ไม่พอดี!
ถ้า - แปลก : - พอดี!
ดังนั้นสมการของเราจึงมีชุดของรากดังต่อไปนี้:
หรือ
การเลือกรูทในช่วงเวลา:

	- ไม่เหมาะสม	- พอดี
	- พอดี	- มาก
	- พอดี	มาก

คำตอบ: , .

หรือ
ตั้งแต่นั้นมาเมื่อไม่ได้กำหนดเส้นสัมผัส ทิ้งรากชุดนี้ทันที!

ส่วนที่สอง:

ในขณะเดียวกัน ODZ ก็ต้องการสิ่งนั้น

เราตรวจสอบรากที่พบในสมการแรก:

ถ้าเครื่องหมาย:

มุมของไตรมาสแรกซึ่งแทนเจนต์เป็นบวก ไม่เหมาะสม!
ถ้าเครื่องหมาย:

มุมไตรมาสที่สี่ แทนเจนต์เป็นลบ พอดี เขียนคำตอบ:

คำตอบ: , .

เราได้แจกแจงตัวอย่างตรีโกณมิติที่ซับซ้อนร่วมกันในบทความนี้ แต่คุณควรจะแก้สมการได้ด้วยตัวเอง

สรุปและสูตรพื้นฐาน

สมการตรีโกณมิติคือสมการที่สิ่งที่ไม่รู้อยู่ภายใต้สัญลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างเคร่งครัด

มีสองวิธีในการแก้สมการตรีโกณมิติ:

วิธีแรกคือการใช้สูตร

วิธีที่สองคือผ่านวงกลมตรีโกณมิติ

ช่วยให้คุณวัดมุม หาค่าไซน์ โคไซน์ และอื่นๆ

บ่อยครั้งในงานที่มีความซับซ้อนเพิ่มขึ้น สมการตรีโกณมิติที่มีโมดูลัส. ส่วนใหญ่ต้องการวิธีการแก้ปัญหาแบบฮิวริสติก ซึ่งนักเรียนส่วนใหญ่ไม่คุ้นเคยเลย

งานด้านล่างมีวัตถุประสงค์เพื่อแนะนำวิธีการทั่วไปในการแก้สมการตรีโกณมิติที่มีโมดูล

ปัญหา 1. ค้นหาความแตกต่าง (เป็นองศา) ระหว่างรากที่เป็นค่าบวกที่เล็กที่สุดและรากที่เป็นลบที่ใหญ่ที่สุดของสมการ 1 + 2sin x · |cos x| = 0

สารละลาย.

มาขยายโมดูลกัน:

1) ถ้า cos x ≥ 0 สมการเดิมจะอยู่ในรูปแบบ 1 + 2sin x cos x = 0

เราใช้สูตรสำหรับไซน์ของสองมุม เราได้รับ:

1 + sin2x = 0; sin2x = -1;

2x = -π/2 + 2πn, n € Z;

x = -π/4 + πn, n € Z เนื่องจาก cos x ≥ 0 ดังนั้น x = -π/4 + 2πk, k € Z

2) ถ้า cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:

1 – sin2x = 0; sin2x = 1;

2x = π/2 + 2πn, n ∈ Z;

x = π/4 + πn, n € Z เนื่องจาก cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.

3) รากลบที่ใหญ่ที่สุดของสมการ: -π / 4; รากบวกที่เล็กที่สุดของสมการ: 5π/4

ความแตกต่างที่ต้องการ: 5π/4 - (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°

คำตอบ: 270°.

ปัญหาที่ 2 หา (หน่วยเป็นองศา) รากบวกที่เล็กที่สุดของสมการ |tg x| + 1/cos x = tg x

สารละลาย.

มาขยายโมดูลกัน:

1) ถ้า tg x ≥ 0 แล้ว

tg x + 1/cos x = tg x;

ไม่มีรากในสมการผลลัพธ์

2) ถ้า tg x< 0, тогда

Tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x – 2tg x = 0;

1/cos x - 2บาป x / cos x = 0;

(1 – 2บาป x) / cos x = 0;

1 – 2sin x = 0 และ cos x ≠ 0

โดยใช้รูปที่ 1 และเงื่อนไข tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.

3) รากบวกที่เล็กที่สุดของสมการ 5π/6 แปลงค่านี้เป็นองศา:

5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°

คำตอบ: 150°.

ภารกิจที่ 3. ค้นหาจำนวนของรากต่างๆ ของสมการ sin |2x| = cos 2x ในช่วง [-π/2; π/2].

สารละลาย.

ลองเขียนสมการเป็น sin|2x| – cos 2x = 0 และพิจารณาฟังก์ชัน y = sin |2x| – คอส 2x เนื่องจากฟังก์ชันเป็นเลขคู่ เราจึงพบค่าศูนย์สำหรับ x ≥ 0

บาป 2x – cos 2x = 0; เราหารทั้งสองข้างของสมการด้วย cos 2x ≠ 0 เราได้:

tg 2x – 1 = 0;

2x = π/4 + πn, n ∈ Z;

x = π/8 + πn/2, n ∈ Z

เมื่อใช้พาริตีของฟังก์ชัน เราได้รากของสมการดั้งเดิมคือตัวเลขของรูปแบบ

± (π/8 + πn/2) โดยที่ n ∈ Z

ช่วงเวลา [-π/2; π/2] เป็นของตัวเลข: -π/8; π/8.

ดังนั้น รากทั้งสองของสมการจึงอยู่ในช่วงเวลาที่กำหนด

คำตอบ: 2.

สมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยการขยายโมดูล

งาน 4. ค้นหาจำนวนรากของสมการ sin x - (|2cos x - 1|) / (2cos x - 1) sin 2 x = sin 2 x ในช่วง [-π; 2π].

สารละลาย.

1) พิจารณากรณีที่ 2cos x – 1 > 0 เช่น cos x > 1/2 สมการเป็น:

บาป x - บาป 2 x \u003d บาป 2 x;

บาป x - 2บาป 2 x \u003d 0;

บาปx(1 - 2บาป) = 0;

sinx = 0 หรือ 1 - 2sinx = 0;

บาป x = 0 หรือ บาป x = 1/2

ใช้รูปที่ 2 และเงื่อนไข cos x > 1/2 เราจะหารากของสมการ:

x = π/6 + 2πn หรือ x = 2πn, n € Z

2) พิจารณากรณีที่ 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:

บาป x + บาป 2 x = บาป 2 x;

x = 2πn, n ∈ Z

โดยใช้รูปที่ 2 และเงื่อนไข cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.

เมื่อรวมสองกรณีเข้าด้วยกัน เราจะได้รับ:

x = π/6 + 2πn หรือ x = πn

3) ช่วงเวลา [-π; 2π] อยู่ในรากศัพท์: π/6; -π; 0; พาย; 2π.

ดังนั้น ห้ารากของสมการเป็นของช่วงเวลาที่กำหนด

คำตอบ: 5.

งาน 5. ค้นหาจำนวนรากของสมการ (x - 0.7) 2 |sin x| + sin x = 0 ในช่วง [-π; 2π].

สารละลาย.

1) ถ้า sin x ≥ 0 สมการเดิมจะอยู่ในรูปแบบ (x - 0.7) 2 sin x + sin x = 0 หลังจากนำตัวประกอบร่วม sin x ออกจากวงเล็บแล้ว เราจะได้:

บาป x((x - 0.7) 2 + 1) = 0; เนื่องจาก (x - 0.7) 2 + 1 > 0 สำหรับ x จริงทั้งหมด ดังนั้น sinx = 0 เช่น x = πn, n ∈ Z

2) ถ้าบาป x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;

บาป x((x - 0.7) 2 - 1) = 0;

บาปx \u003d 0 หรือ (x - 0.7) 2 + 1 \u003d 0 เนื่องจากบาป x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:

x - 0.7 \u003d 1 หรือ x - 0.7 \u003d -1 ซึ่งหมายถึง x \u003d 1.7 หรือ x \u003d -0.3

โดยคำนึงถึงเงื่อนไขบาปx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0 หมายถึงเฉพาะตัวเลข -0.3 ที่เป็นรากของสมการดั้งเดิม

3) ช่วงเวลา [-π; 2π] เป็นของตัวเลข: -π; 0; พาย; 2π; -0.3

ดังนั้น สมการจึงมีห้ารากในช่วงเวลาที่กำหนด

คำตอบ: 5.

คุณสามารถเตรียมตัวสำหรับบทเรียนหรือการสอบด้วยความช่วยเหลือจากแหล่งข้อมูลทางการศึกษาต่างๆ ที่มีอยู่ในเครือข่าย ปัจจุบันใครๆ บุคคลเพียงต้องการใช้เทคโนโลยีสารสนเทศใหม่ ๆ เพราะการใช้งานที่ถูกต้องและที่สำคัญที่สุดคือการใช้งานที่เหมาะสมจะเพิ่มแรงจูงใจในการศึกษาเรื่อง เพิ่มความสนใจ และช่วยในการดูดซึมเนื้อหาที่จำเป็นได้ดีขึ้น แต่อย่าลืมว่าคอมพิวเตอร์ไม่ได้สอนให้คิดข้อมูลที่ได้รับจะต้องประมวลผลเข้าใจและจดจำ ดังนั้น คุณสามารถขอความช่วยเหลือจากผู้สอนออนไลน์ของเรา ซึ่งจะช่วยคุณจัดการกับวิธีแก้ปัญหาที่คุณสนใจ

คุณมีคำถามใดๆ? ไม่ทราบวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ?
หากต้องการความช่วยเหลือจากติวเตอร์ - ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

ไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วนจำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา