Teorema inversă teoremei este mai puțin demonstrată. Teorema lui Ceva și Menelaus. De ce sunt necesare toate acestea

Clasă: 9

Obiectivele lecției:

generalizarea, extinderea și sistematizarea cunoștințelor și aptitudinilor elevilor; să învețe cum să folosească cunoștințele în rezolvarea unor probleme complexe;
promovează dezvoltarea abilităților de aplicare independentă a cunoștințelor în rezolvarea problemelor;
dezvoltarea gândirii logice și a vorbirii matematice a elevilor, capacitatea de a analiza, compara și generaliza;
educa elevii în încredere în sine, sârguință; capacitatea de a lucra în echipă.

Obiectivele lecției:

Educational: repetă teoremele lui Menelaus și Ceva; aplicați-le la rezolvarea problemelor.
În curs de dezvoltare: a învăța să prezinte o ipoteză și să-și apere cu pricepere opinia cu dovezi; testarea capacităţii de generalizare şi sistematizare a cunoştinţelor lor.
Educational: creste interesul pentru subiect si pregateste-te pentru rezolvarea unor probleme mai complexe.

Tip de lecție: lectie de generalizare si sistematizare a cunostintelor.

Echipament: carduri pentru lucru colectiv într-o lecție pe o anumită temă, carduri individuale pentru muncă independentă, un computer, un proiector multimedia, un ecran.

În timpul orelor

Eu pun în scenă. Moment organizatoric (1 min.)

Profesorul explică tema și scopul lecției.

etapa a II-a. Actualizarea cunoștințelor și abilităților de bază (10 min.)

Profesor:În lecție, ne amintim teoremele lui Menelaus și Ceva pentru a trece cu succes la rezolvarea problemelor. Să aruncăm o privire la ecran cu tine. Pentru ce teoremă este această imagine? (teorema lui Menelaus). Încercați să enunțați clar teorema.

Poza 1

Fie punctul A 1 să se afle pe latura BC a triunghiului ABC, punctul C 1 pe latura AB, punctul B 1 pe prelungirea laturii AC dincolo de punctul C. Punctele A 1 , B 1 și C 1 se află pe aceeași dreaptă dacă şi numai dacă egalitate

Profesor: Să aruncăm o privire la următoarea poză împreună. Formulați o teoremă pentru această figură.

Figura 2

Linia AD intersectează două laturi și prelungirea celei de-a treia laturi a triunghiului BMC.

Conform teoremei lui Menelaus

Linia MB intersectează două laturi și prelungirea celei de-a treia laturi a triunghiului ADC.

Conform teoremei lui Menelaus

Profesor: Cărei teoreme îi corespunde imaginea? (teorema lui Ceva). Formulați o teoremă.

Figura 3

Fie în triunghiul ABC punctul A 1 se află pe latura BC, punctul B 1 pe latura AC, punctul C 1 pe latura AB. Segmentele AA 1 , BB 1 și CC 1 se intersectează într-un punct dacă și numai dacă egalitatea

etapa a III-a. Rezolvarea problemelor. (22 min.)

Clasa este împărțită în 3 echipe, fiecare primește un cartonaș cu două sarcini diferite. Se acordă timp pentru rezolvare, apoi se afișează ecranul<Рисунки 4-9>. Conform desenelor gata făcute pentru sarcini, reprezentanții echipelor își explică pe rând soluția. Fiecare explicație este urmată de o discuție, răspunsuri la întrebări și verificarea corectitudinii soluției pe ecran. La discuție participă toți membrii echipei. Cu cât echipa este mai activă, cu atât este mai bine evaluată la rezumat.

Cardul 1.

1. În triunghiul ABC pe latura BC se ia punctul N astfel încât NC = 3BN; pe prelungirea laturii AC, punctul M este luat drept punct A astfel încât MA = AC. Linia MN intersectează latura AB în punctul F. Aflați raportul

2. Demonstrați că medianele unui triunghi se intersectează într-un punct.

Soluția 1

Figura 4

După starea problemei, MA = AC, NC = 3BN. Fie MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Linia MN intersectează două laturi ale triunghiului ABC și prelungirea celui de-al treilea.

Conform teoremei lui Menelaus

Răspuns:

Dovada 2

Figura 5

Fie AM 1 , BM 2 , CM 3 medianele triunghiului ABC. Pentru a demonstra că aceste segmente se intersectează la un moment dat, este suficient să arătăm că

Apoi, după teorema (inversa) Ceva, segmentele AM 1 , BM 2 și CM 3 se intersectează într-un punct.

Avem:

Deci, se dovedește că medianele unui triunghi se intersectează într-un punct.

Cardul 2.

1. Punctul N este luat pe latura PQ a triunghiului PQR, iar punctul L este luat pe latura PR, iar NQ = LR. Punctul de intersecție al segmentelor QL și NR împarte QL în raportul m:n, numărând din punctul Q. Aflați

2. Demonstrați că bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct.

Soluția 1

Figura 6

Prin ipoteza NQ = LR, Fie NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Linia NR intersectează două laturi ale triunghiului PQL și prelungirea celui de-al treilea.

Conform teoremei lui Menelaus

Răspuns:

Dovada 2

Figura 7

Să arătăm asta

Apoi, după teorema (inversa) Ceva, AL 1 , BL 2 , CL 3 se intersectează într-un punct. După proprietatea bisectoarelor unui triunghi

Înmulțind egalitățile obținute termen cu termen, obținem

Pentru bisectoarele unui triunghi, egalitatea lui Ceva este satisfăcută, prin urmare, ele se intersectează într-un punct.

Cardul 3.

1. În triunghiul ABC AD este mediana, punctul O este mijlocul medianei. Linia BO intersectează latura AC în punctul K. În ce raport punctul K împarte AC, numărând din punctul A?

2. Demonstrați că, dacă un cerc este înscris într-un triunghi, atunci segmentele care leagă vârfurile triunghiului cu punctele de contact ale laturilor opuse se intersectează într-un punct.

Soluția 1

Figura 8

Fie BD = DC = a, AO = OD = m. Linia VC intersectează două laturi și prelungirea celei de-a treia laturi a triunghiului ADC.

Conform teoremei lui Menelaus

Răspuns:

Dovada 2

Figura 9

Fie A 1 , B 1 și C 1 punctele tangente ale cercului înscris al triunghiului ABC. Pentru a demonstra că segmentele AA 1 , BB 1 și CC 1 se intersectează într-un punct, este suficient să arătăm că egalitatea lui Ceva este valabilă:

Folosind proprietatea tangentelor trasate la un cerc dintr-un punct, introducem notatia: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Egalitatea lui Ceva este valabilă, ceea ce înseamnă că bisectoarele triunghiului se intersectează într-un punct.

stadiul IV. Rezolvarea problemelor (muncă independentă) (8 min.)

Profesor: Munca echipelor s-a încheiat și acum vom începe lucrul independent pe cartonașe individuale pentru 2 opțiuni.

Materiale pentru lecția pentru munca independentă a elevilor

Opțiunea 1.Într-un triunghi ABC, a cărui aria este 6, pe latura AB, se ia un punct K, împărțind această latură în raportul AK:BK = 2:3, iar pe latura AC - punctul L, împărțind AC în raportul AL:LC = 5:3. Punctul Q de intersecție a dreptelor СК și BL este îndepărtat de pe dreapta AB la o distanță . Aflați lungimea laturii AB. (Răspuns: 4.)

Opțiunea 2. Punctul K este luat pe latura AC în triunghiul ABC.AK = 1, KS = 3. Punctul L este luat pe latura AB. AL:LВ = 2:3, Q este punctul de intersecție al dreptelor BK și CL. Aflați lungimea înălțimii triunghiului ABC, coborâtă de la vârful B. (Răspuns: 1.5.)

Lucrarea este transmisă profesorului pentru revizuire.

etapa V. Rezumatul lecției (2 min.)

Se analizează greșelile, se notează răspunsurile și comentariile originale. Rezultatele muncii fiecărei echipe sunt însumate și se acordă note.

etapa a VI-a. Tema pentru acasă (1 min.)

Tema pentru acasă este alcătuită din sarcinile nr. 11, 12 p. 289-290, nr. 10 p. 301.

Ultimul cuvânt al profesorului (1 min).

Astăzi v-ați auzit reciproc discursul matematic și v-ați evaluat capacitățile. Pe viitor, vom folosi astfel de discuții pentru a înțelege mai bine subiectul. Argumentele din lecție erau prietene cu faptele, iar teoria cu practica. Va multumesc tuturor.

Literatură:

Tkachuk V.V. Matematică pentru un solicitant. – M.: MTsNMO, 2005.

A.V. Shevkin

FMS № 2007

Teoremele lui Ceva și Menelaus privind examenul de stat unificat

Un articol detaliat „În jurul teoremelor lui Ceva și Menelaus” este publicat pe site-ul nostru în secțiunea ARTICOLE. Se adresează profesorilor de matematică și liceenilor care sunt motivați să aibă bune cunoștințe de matematică. Puteți reveni la el dacă doriți să înțelegeți problema mai detaliat. În această notă, vom oferi scurte informații din articolul menționat și vom analiza soluțiile la problemele din colecția de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat-2016.

teorema lui Ceva

Să fie dat un triunghi ABC iar pe laturile ei AB, î.HrȘi AC punctele sunt marcate C 1 , A 1 Și B 1 respectiv (fig. 1).

a) Dacă segmentele AA 1 , BB 1 și CC 1 se intersectează la un punct, atunci

b) Dacă egalitatea (1) este adevărată, atunci segmentele AA 1 , BB 1 și CC 1 se intersectează într-un punct.

Figura 1 prezintă cazul în care segmentele AA 1 , BB 1 și CC 1 se intersectează într-un punct din interiorul triunghiului. Acesta este așa-numitul caz punct interior. Teorema lui Ceva este valabilă și în cazul unui punct exterior, când unul dintre puncte A 1 , B 1 sau CU 1 aparține laturii triunghiului, iar celelalte două aparțin prelungirilor laturilor triunghiului. În acest caz, punctul de intersecție al segmentelor AA 1 , BB 1 și CC 1 se află în afara triunghiului (Fig. 2).

Cum să ne amintim ecuația lui Cheva?

Să fim atenți la metoda de memorare a egalității (1). Vârfurile triunghiului din fiecare relație și relațiile în sine sunt scrise în direcția de ocolire a vârfurilor triunghiului ABC, pornind de la punct A. din punct A mergi la subiect B, întâlnim un punct CU 1, notează fracția
. Mai departe de punct ÎN mergi la subiect CU, întâlnim un punct A 1, notează fracția
. În fine, din punct de vedere CU mergi la subiect A, întâlnim un punct ÎN 1, notează fracția
. În cazul unui punct exterior se păstrează ordinea scrierii fracțiilor, deși cele două „puncte de împărțire” ale segmentului se află în afara segmentelor lor. În astfel de cazuri, spunem că punctul împarte segmentul în exterior.

Rețineți că orice segment de linie care leagă vârful unui triunghi cu orice punct de pe dreapta care conține latura opusă a triunghiului se numește ceviana.

Să luăm în considerare câteva modalități de demonstrare a aserției a) a teoremei lui Ceva pentru cazul unui punct interior. Pentru a demonstra teorema lui Ceva, trebuie să demonstrăm afirmația a) prin oricare dintre metodele propuse mai jos și, de asemenea, să demonstrăm afirmația b). Dovada afirmaţiei b) este dată după prima metodă de demonstrare a aserţiei a). Demonstrațiile teoremei lui Ceva pentru cazul unui punct extern sunt realizate în mod similar.

Demonstrarea aserției a) a teoremei lui Ceva folosind teorema pe segmente proporționale

Lasă trei cevian AA 1 , BB 1 și CC 1 se intersectează într-un punct Zîn interiorul triunghiului ABC.

Ideea demonstrației este de a înlocui rapoartele segmentelor din egalitate (1) cu rapoartele segmentelor aflate pe aceeași linie dreaptă.

Prin punct ÎN trage o linie paralelă cu ceviana SS 1 . Drept AA 1 intersectează linia construită în punct M, iar linia care trece prin punct Cși paralele AA 1 , - la punct T. prin puncte AȘi CU trage linii drepte paralele cu cevianele BB 1 . Vor trece linia VM la puncte NȘi R respectiv (fig. 3).

P despre teorema segmentelor proporționale avem:

,
Și
.

Apoi egalitățile

În paralelograme ZCTMȘi ZCRB segmente TM, СZȘi BR egale ca laturile opuse ale unui paralelogram. Prin urmare,
iar egalitatea este adevărată

Pentru a demonstra afirmația b) folosim următoarea aserțiune. Orez. 3

Lema 1. Dacă punctele CU 1 și CU 2 împărțiți tăietura AB imagine internă (sau externă) în același sens, numărând din același punct, atunci aceste puncte coincid.

Să demonstrăm lema pentru cazul în care punctele CU 1 și CU 2 împărțiți tăietura AB intern în același sens:
.

Dovada. Din egalitate
urmate de egalităţi
Și
. Ultima dintre ele este îndeplinită numai cu condiția ca CU 1 BȘi CU 2 B sunt egale, adică cu condiția ca punctele CU 1 și CU 2 meci.

Dovada lemei pentru cazul în care punctele CU 1 și CU 2 împărțiți tăietura AB desfășurată în exterior într-un mod similar.

Dovada afirmaţiei b) a teoremei lui Ceva

Acum să fie adevărată egalitatea (1). Să demonstrăm că segmentele AA 1 , BB 1 și CC 1 se intersectează într-un punct.

Lasă cevianele AA 1 și BB 1 se intersectează într-un punct Z, trageți un segment prin acest punct CC 2 (CU 2 se află pe segment AB). Apoi, pe baza afirmației a), obținem egalitatea corectă

. (2)

ȘI Comparând egalitățile (1) și (2), concluzionăm că
, adică puncte CU 1 și CU 2 împărțiți tăietura ABîn același raport, numărând din același punct. Lema 1 implică faptul că punctele CU 1 și CU 2 meci. Aceasta înseamnă că segmentele AA 1 , BB 1 și CC 1 se intersectează la un punct, ceea ce trebuia demonstrat.

Se poate dovedi că procedura de scriere a egalității (1) nu depinde de ce punct și în ce direcție sunt ocolite vârfurile triunghiului.

Exercitiul 1. Aflați lungimea segmentului ANîn figura 4, care arată lungimile altor segmente.

Răspuns. 8.

Sarcina 2. cevianele A.M, BN, CK se intersectează într-un punct din interiorul triunghiului ABC. Găsiți o atitudine
, Dacă
,
. Orez. 4

Răspuns.
.

P prezentam dovada teoremei lui Ceva din articol. Ideea demonstrației este de a înlocui rapoartele segmentelor din egalitate (1) cu rapoartele segmentelor aflate pe drepte paralele.

Lasă drept AA 1 , BB 1 , CC 1 se intersectează într-un punct Oîn interiorul triunghiului ABC(Fig. 5). Prin vârf CU triunghi ABC trage o linie paralelă AB, și punctele sale de intersecție cu liniile AA 1 , BB 1 denotă, respectiv A 2 , B 2 .

Din asemănarea a două perechi de triunghiuri CB 2 B 1 Și ABB 1 , BAA 1 Și CA 2 A 1, Fig. 5

avem egalitățile

,
. (3)

Din asemănarea triunghiurilor î.Hr 1 OȘi B 2 CO, ACU 1 OȘi A 2 CO avem egalitățile
, din care rezultă că

. (4)

P înmulțind egalitățile (3) și (4), obținem egalitatea (1).

Se dovedește aserția a) a teoremei lui Ceva.

Se consideră dovezile aserției a) ale teoremei lui Ceva cu ajutorul ariilor pentru un punct interior. Se precizează în cartea lui A.G. Myakishev și se bazează pe enunțurile pe care le vom formula sub formă de sarcini 3 Și 4 .

Sarcina 3. Raportul dintre ariile a două triunghiuri cu un vârf comun și baze situate pe aceeași linie este egal cu raportul lungimilor acestor baze. Demonstrează această afirmație.

Sarcina 4. Demonstrează că dacă
, Acea
Și
. Orez. 6

Lasă segmentele AA 1 , BB 1 și CC 1 se intersectează într-un punct Z(Fig. 6), atunci

,
. (5)

ȘI din egalităţi (5) şi al doilea enunţ al sarcinii 4 urmează că
sau
. În mod similar, obținem asta
Și
. Înmulțind ultimele trei egalități, obținem:

adică egalitatea (1) este adevărată, ceea ce trebuia demonstrat.

Se dovedește aserția a) a teoremei lui Ceva.

Sarcina 15. Lăsați cevianele să se intersecteze într-un punct din interiorul triunghiului și împărțiți-l în 6 triunghiuri, ale căror zone sunt egale cu S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 , S 6 (Fig. 7). Demonstrează că. Orez. 7

Sarcina 6. Găsiți zona S triunghi CNZ(ariile altor triunghiuri sunt prezentate în Figura 8).

Răspuns. 15.

Sarcina 7. Găsiți zona S triunghi CNO dacă aria triunghiului ANU este 10 și
,
(Fig. 9).

Răspuns. 30.

Sarcina 8. Găsiți zona S triunghi CNO dacă aria triunghiului Aî.Hr este egal cu 88 și ,
(Fig. 9).

R soluţie. Din moment ce , notăm
,
. Deoarece , atunci notăm
,
. Din teorema lui Ceva rezultă că
, și apoi
. Dacă
, Acea
(Fig. 10). Avem trei necunoscute ( X, y Și S), deci pentru a găsi S Să facem trei ecuații.

Deoarece
, Acea
= 88. Din moment ce
, Acea
, Unde
. Deoarece
, Acea
.

Asa de,
, Unde
. Orez. 10

Sarcina 9. Într-un triunghi ABC puncte KȘi L aparțin, respectiv, părților AB Și BC.
,
. P ALȘi CK. Aria unui triunghi PBC este egal cu 1. Aflați aria triunghiului ABC.

Răspuns. 1,75.

T Teorema lui Menelaus

Să fie dat un triunghi ABC iar pe laturile ei ACȘi CB punctele sunt marcate B 1 și A 1 respectiv, şi pe continuarea laturii AB punct marcat C 1 (Fig. 11).

a) Dacă punctele A 1 , B 1 și CU Mă întind pe aceeași linie, atunci

. (6)

b) Dacă egalitatea (7) este adevărată, atunci punctele A 1 , B 1 și CU 1 se află pe aceeași linie. Orez. unsprezece

Cum să ne amintim egalitatea lui Menelaus?

Tehnica de memorare a egalității (6) este aceeași cu cea a egalității (1). Vârfurile triunghiului din fiecare relație și relațiile în sine sunt scrise în direcția de ocolire a vârfurilor triunghiului ABC- de la vârf la vârf, trecând prin puncte de diviziune (interne sau externe).

Sarcina 10. Demonstrați că atunci când scrieți egalitatea (6) de la orice vârf al triunghiului în orice direcție, se obține același rezultat.

Pentru a demonstra teorema lui Menelaus, trebuie să se demonstreze afirmația a) prin oricare dintre metodele propuse mai jos și, de asemenea, să se demonstreze afirmația b). Dovada afirmaţiei b) este dată după prima metodă de demonstrare a aserţiei a).

Demonstrarea afirmaţiei a) folosind teorema segmentelor proporţionale

eucale. a) Ideea demonstrației este de a înlocui rapoartele lungimilor segmentelor în egalitate (6) cu rapoartele lungimilor segmentelor aflate pe o singură dreaptă.

Lasă punctele A 1 , B 1 și CU 1 se află pe aceeași linie. Prin punct C hai sa tragem o linie dreapta l, paralel cu linia A 1 B 1, intersectează linia AB la punct M(Fig. 12).

R
este. 12

Conform teoremei segmentelor proporționale, avem:
Și
.

Apoi egalitățile
.

Dovada afirmaţiei b) a teoremei lui Menelaus

Acum, dacă egalitatea (6) este adevărată, vom demonstra că punctele A 1 , B 1 și CU 1 se află pe aceeași linie. Lasă drept ABȘi A 1 B 1 se intersectează într-un punct CU 2 (Fig. 13).

Din moment ce punctele A 1 B 1 și CU 2 se află pe aceeași linie, apoi prin afirmația a) a teoremei Menelaus

. (7)

Dintr-o comparație a egalităților (6) și (7) avem
, de unde rezultă că egalitățile

,
,
.

Ultima egalitate este adevărată numai cu condiția
, adică dacă punctele CU 1 și CU 2 meci.

Se dovedește aserția b) a teoremei lui Menelaus. Orez. 13

Dovada afirmaţiei a) folosind asemănarea triunghiurilor

Ideea demonstrației este de a înlocui rapoartele lungimilor segmentelor din egalitate (6) cu rapoartele lungimilor segmentelor aflate pe linii paralele.

Lasă punctele A 1 , B 1 și CU 1 se află pe aceeași linie. Din puncte A, BȘi C trage perpendiculare AA 0 , BB 0 și SS 0 la această linie dreaptă (Fig. 14).

R
este. 14

Din asemănarea a trei perechi de triunghiuri AA 0 B 1 Și CC 0 B 1 , CC 0 A 1 Și BB 0 A 1 , C 1 B 0 BȘi C 1 A 0 A(în două colțuri) avem egalitățile corecte

,
,
,

înmulțindu-le, obținem:

Se dovedește aserția a) a teoremei lui Menelaus.

Dovada afirmaţiei a) folosirea zonelor

Ideea demonstrației este de a înlocui raportul dintre lungimile segmentelor din egalitate (7) cu rapoartele ariilor triunghiurilor.

Lasă punctele A 1 , B 1 și CU 1 se află pe aceeași linie. Uneste punctele CȘi C 1 . Indicați ariile triunghiurilor S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 (Fig. 15).

Apoi egalitățile

,
,
. (8)

Înmulțind egalitățile (8), obținem:

Se dovedește aserția a) a teoremei lui Menelaus.

R
este. 15

Așa cum teorema lui Ceva rămâne valabilă dacă punctul de intersecție al lui Cevian este în afara triunghiului, teorema lui Menelaus rămâne valabilă dacă secanta intersectează doar prelungirile laturilor triunghiului. În acest caz, putem vorbi despre intersecția laturilor triunghiului în puncte externe.

Dovada afirmaţiei a) pentru cazul punctelor externe

P gura secantei intersectează laturile triunghiului ABCîn puncte externe, adică intersectează prelungirile laturilor AB,î.HrȘi AC la puncte C 1 , A 1 și B 1, respectiv, iar aceste puncte se află pe aceeași linie dreaptă (Fig. 16).

Conform teoremei segmentelor proporționale, avem:

Și .

Apoi egalitățile

Se dovedește aserția a) a teoremei lui Menelaus. Orez. 16

Rețineți că demonstrația de mai sus coincide cu demonstrația teoremei lui Menelaus pentru cazul în care secanta intersectează două laturi ale triunghiului în punctele interne și una în cel extern.

Dovada aserției b) a teoremei lui Menelaus pentru cazul punctelor externe este similară cu demonstrația dată mai sus.

Z iad11. Într-un triunghi ABC puncte A 1 , ÎN 1 culcat respectiv pe laterale SoareȘi ACU. P- punctul de intersecție al segmentelor AA 1 Și BB 1 .
,
. Găsiți o atitudine
.

Soluţie. Denota
,
,
,
(Fig. 17). După teorema lui Menelaus pentru un triunghi î.HrÎN 1 și secante PA 1 scrieți egalitatea corectă:

de unde rezultă că

. Orez. 17

Răspuns. .

Z iad12 (Universitatea de Stat din Moscova, cursuri pregătitoare prin corespondență). Într-un triunghi ABC, a cărui suprafață este 6, pe lateral AB punct luat LA, împărțind această latură în raport cu
, iar pe lateral AC- punct L, împărțind ACîntr-o relație
. Punct P intersecții de linii SCȘi ÎNL scos din linie AB la o distanta de 1,5. Aflați lungimea laturii AB.

Soluţie. Din puncte RȘi CU să scăpăm perpendicularele relatii cu publiculȘi CM direct AB. Denota
,
,
,
(Fig. 18). După teorema lui Menelaus pentru un triunghi AKC si secante PL scrie ecuația corectă:
, de unde obținem asta
,
. Orez. 18

Din asemănarea triunghiurilor LAMCȘi LARP(pe două colțuri) obținem asta
, de unde rezultă că
.

Acum, știind lungimea înălțimii trase în lateral AB triunghi ABSși aria acestui triunghi, calculăm lungimea laturii:
.

Răspuns. 4.

Z iad13. Trei cercuri cu centre A,ÎN,CU, ale căror raze sunt legate ca
, atingeți unul pe celălalt în exterior la puncte X, Y, Z după cum se arată în figura 19. Segmente TOPORȘi DE se intersectează într-un punct O. În ce raport, numărând de la punct B, segment de linie czîmparte segmentul DE?

Soluţie. Denota
,
,
(Fig. 19). Deoarece
, apoi prin afirmația b) a teoremei lui Ceva, segmentele AX, DEȘi CUZ se intersectează la un punct O. Apoi segmentul czîmparte segmentul DEîntr-o relație
. Să găsim această relație. Orez. 19

După teorema lui Menelaus pentru un triunghi BCY si secante BOU avem:
, de unde rezultă că
.

Răspuns. .

Sarcina 14 (USE-2016).

puncte ÎN 1 și CU ACȘi AB triunghi ABC, în plus AB 1:B 1 CU =
= AC 1:CU 1 B. Direct BB 1 Și SS 1 se intersectează într-un punct DESPRE.

A ) Demonstrați că linia SA traversează partea laterală Soare.

AB 1 OC 1 la aria unui triunghi ABC dacă se ştie că AB 1:B 1 CU = 1:4.

Soluţie. a) Lasă linia AO traversează lateral î.Hr la punct A 1 (Fig. 20). După teorema lui Ceva, avem:

. (9)

Deoarece AB 1:B 1 CU = AC 1:CU 1 B, atunci din egalitatea (9) rezultă că
, acesta este CA 1 = A 1 B, ceea ce urma să fie dovedit. Orez. 20

b) Fie aria triunghiului AB 1 O este egal cu S. Deoarece AB 1:B 1 CU CB 1 O este egal cu 4 S, și aria triunghiului AOC este egal cu 5 S. Apoi aria triunghiului AOB este de asemenea egal cu 5 S, din moment ce triunghiurile AOB Și AOC au un teren comun AO, și vârfurile lor BȘi C echidistant de linie AO. Și aria triunghiului AOC 1 este egal S, deoarece AC 1:CU 1 B = 1:4. Apoi aria triunghiului ABB 1 este egal cu 6 S. Deoarece AB 1:B 1 CU= 1:4, apoi aria triunghiului CB 1 O este egal cu 24 S, și aria triunghiului ABC este egal cu 30 S. Acum să găsim raportul dintre aria patrulaterului AB 1 OC 1 (2S) la aria triunghiului ABC (30S), este egal cu 1:15.

Răspuns. 1:15.

Sarcina 15 (USE-2016).

puncte ÎN 1 și CU 1 întins pe laterale ACȘi AB triunghi ABC, în plus AB 1:B 1 CU =
= AC 1:CU 1 B. Direct BB 1 Și SS 1 se intersectează într-un punct DESPRE.

a) Demonstrați că linia SA traversează partea laterală Soare.

b) Aflați raportul dintre aria patrulaterului AB 1 OC 1 la aria unui triunghi ABC dacă se ştie că AB 1:B 1 CU = 1:3.

Răspuns. 1:10.

Z sarcina 16 (USE-2016). Pe segment BD punct luat CU. Bisectoare BL ABC cu baza Soare BLD cu baza BD.

a) Demonstrați că triunghiul DCL isoscel.

b) Se ştie că cos
ABC DL, adică triunghiul BD punct luat CU. Bisectoare BL triunghi isoscel ABC cu baza Soare este o latură laterală a unui triunghi isoscel BLD cu baza BD.

a) Demonstrați că triunghiul DCL isoscel.

b) Se ştie că cos ABC= . În ce fel este direct DL desparte partea AB?

Răspuns. 4:21.

Literatură

1. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Minunate puncte și linii triunghiulare. M.: Matematică, 2006, nr. 17.

2. Miakishev A.G. Elemente de geometrie triunghiulară. (Seria „Biblioteca „Educația matematică””). M.: MTsNMO, 2002. - 32 p.

3. Geometrie. Capitole suplimentare pentru manualul de clasa a VIII-a: Manual pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat / L.S. Atanasyan, V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev și alții - M.: Vita-Press, 2005. - 208 p.

4. Erdniev P., Mantsaev N. Cheva și teoremele lui Menelaus. M.: Kvant, 1990, nr. 3, p. 56–59.

5. Sharygin I.F. Teoremele lui Ceva și Menelaus. Moscova: Kvant, 1976, nr. 11, p. 22–30.

6. Vavilov V.V. Medianele și liniile mediane ale unui triunghi. M.: Matematică, 2006, nr. 1.

7. Efremov Dm. Noua geometrie a triunghiului. Odesa, 1902. - 334 p.

8. Matematică. 50 de variante de sarcini tipice de testare / I.V. Iascenko, M.A. Volkevici, I.R. Vysotsky și alții; ed. I.V. Iascenko. - M .: Editura „Examen”, 2016. - 247 p.

TEOREME LUI CHEVA SI MENELAU

teorema lui Ceva

Cele mai multe dintre punctele remarcabile ale unui triunghi pot fi obținute folosind următoarea procedură. Să existe o regulă conform căreia putem alege un anumit punct A 1 , pe latura BC (sau prelungirea acesteia) a triunghiului ABC (de exemplu, alegeți punctul de mijloc al acestei laturi). Apoi construim puncte similare B 1, C1 pe celelalte două laturi ale triunghiului (în exemplul nostru, mai sunt două puncte de mijloc ale laturilor). Dacă regula de selecție are succes, atunci direcționați AA 1, BB 1, CC 1 se intersectează la un punct Z (alegerea punctelor mijlocii ale laturilor în acest sens este, desigur, reușită, deoarece medianele triunghiului se intersectează într-un punct).

Aș dori să am o metodă generală care să ne permită să stabilim din poziția punctelor de pe laturile unui triunghi dacă triplul corespunzător de drepte se intersectează într-un punct sau nu.

Condiția universală care a „închis” această problemă a fost găsită în 1678 de un inginer italianGiovanni Ceva .

Definiție. Segmentele care leagă vârfurile unui triunghi cu puncte de pe laturile opuse (sau prelungirile acestora) se numesc cevian dacă se intersectează într-un punct.

Există două opțiuni pentru locația cevianului. Într-o versiune, ideea

intersecțiile sunt interne, iar capetele cevianelor se află pe laturile triunghiului. În a doua versiune, punctul de intersecție este exterior, capătul unui cevian se află pe lateral, iar capetele celorlalte două cevian se află pe prelungirile laturilor (vezi desene).

Teorema 3. (teorema directă a lui Ceva) Într-un triunghi arbitrar ABC pe laturile BC, CA, AB sau prelungirile acestora, punctele A sunt luate, respectiv 1 , IN 1 , CU 1 , astfel încât direct AA 1 , BB 1 , SS 1 se intersectează la un punct comun, atunci

Dovada: Deoarece există mai multe dovezi originale ale teoremei lui Ceva, vom lua în considerare o demonstrație bazată pe o dublă aplicare a teoremei lui Menelaus. Să notăm relația teoremei lui Menelaus pentru prima dată pentru triunghiABB 1 și secante CC 1 (notăm punctul de intersecție al lui CevianZ):

iar a doua oară pentru triunghiB 1 î.Hr si secante AA 1 :

Înmulțind aceste două relații, făcând reducerile necesare, obținem relația cuprinsă în enunțul teoremei.

Teorema 4. (Teorema inversă Ceva) . Dacă pentru cele alese pe laturile triunghiului ABC sau prelungirile lor de puncte A 1 , IN 1 Și C 1 Condiția Cevei este îndeplinită:

apoi drept AA 1 , BB 1 Și CC 1 se intersectează la un punct .

Demonstrarea acestei teoreme se realizează prin contradicție, la fel ca și demonstrarea teoremei lui Menelaus.

Să luăm în considerare exemple de aplicare a teoremelor directe și inverse ale lui Ceva.

Exemplul 3 Demonstrați că medianele unui triunghi se intersectează într-un punct.

Soluţie. Luați în considerare relația

pentru vârfurile unui triunghi și punctele medii ale laturilor sale. Evident, în fiecare fracție din numărător și numitor există segmente egale, prin urmare toate aceste fracții sunt egale cu unul. Prin urmare, relația Ceva este satisfăcută, prin urmare, prin teorema inversă, medianele se intersectează într-un punct.

Teorema (teorema lui Ceva) . Lasă punctele culcați pe lateraleși triunghi respectiv. Lasă segmenteleȘi se intersectează la un punct. Apoi

(ocolește triunghiul în sensul acelor de ceasornic).

Dovada. Notează prin punctul de intersecție al segmentelorȘi . Scăderea de la puncteȘi perpendiculare pe o dreaptăînainte de a se intersecta cu el în puncteȘi respectiv (vezi figura).

Pentru că triunghiuriȘi au o latură comună, atunci zonele lor sunt legate ca înălțimi trasate pe această parte, adică.Și :

Ultima egalitate este adevărată, deoarece triunghiuri dreptunghiulareȘi asemănătoare ca unghi ascuțit.

În mod similar, obținem

Și

Să înmulțim aceste trei egalități:

Q.E.D.

Despre mediane:

1. Plasați mase unitare la vârfurile triunghiului ABC.
2. Centrul de masă al punctelor A și B se află în mijlocul lui AB. Centrul de masă al întregului sistem trebuie să fie la mediana laturii AB, deoarece centrul de masă al triunghiului ABC este centrul de masă al centrului de masă al punctelor A și B și punctul C.
(a devenit confuz)
3. În mod similar - CM trebuie să se afle pe mediana laturilor AC și BC
4. Deoarece CM este singurul punct, atunci, prin urmare, toate aceste trei mediane trebuie să se intersecteze în el.

Apropo, rezultă imediat că acestea sunt împărțite la intersecție într-un raport de 2: 1. Deoarece masa centrului de masă al punctelor A și B este 2, iar masa punctului C este 1, prin urmare, centrul de masă comun, conform teoremei proporției, va împărți mediana în raportul 2/1.

Vă mulțumesc foarte mult, este prezentat într-un mod accesibil, cred că nu ar fi de prisos să oferiți dovezi folosind metode de geometrie de masă, de exemplu:
Liniile AA1 și CC1 se intersectează în punctul O; AC1: C1B = p și BA1: A1C = q. Trebuie să demonstrăm că dreapta BB1 trece prin punctul O dacă și numai dacă CB1: B1A = 1: pq.
Să plasăm masele 1, p și, respectiv, pq, în punctele A, B și C. Atunci punctul C1 este centrul de masă al punctelor A și B, iar punctul A1 este centrul de masă al punctelor B și C. Prin urmare, centrul de masă al punctelor A, B și C cu mase date este punctul O al intersecția liniilor CC1 și AA1. Pe de altă parte, punctul O se află pe segmentul care leagă punctul B cu centrul de masă al punctelor A și C. Dacă B1 este centrul de masă al punctelor A și C cu mase 1 și pq, atunci AB1: B1C = pq: 1. Rămâne de observat că pe segmentul AC există un singur punct care îl împarte în acest raport AB1: B1C.

2. Teorema lui Ceva

Se numește un segment de linie care leagă un vârf al unui triunghi cu un punct de pe latura opusăceviana . Astfel, dacă într-un triunghiABC X , Y și Z - puncte pe lateraleî.Hr , CA , AB respectiv, apoi segmenteleTOPOR , DE , cz sunt chevieni. Termenul provine de la matematicianul italian Giovanni Ceva, care în 1678 a publicat următoarea teoremă foarte utilă:

Teorema 1.21. Dacă trei ceviani AX, BY, CZ (câte unul din fiecare vârf) ai triunghiului ABC sunt competitivi, atunci

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Orez. 3.

Când spunem că trei linii (sau segmente)competitiv , atunci ne referim la faptul că toate trec printr-un punct, pe care îl notăm prinP . Pentru a demonstra teorema lui Ceva, amintim că ariile triunghiurilor cu înălțimi egale sunt proporționale cu bazele triunghiurilor. Referindu-ne la Figura 3, avem:

|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX-SPBXSAXC-SPXC= SABPSCAP.

De asemenea,

|CY||YA|= SBCPSABP, |AZ||ZB|= SCAPSBCP.

Acum, dacă le înmulțim, obținem

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .

Este adevărat și inversul acestei teoreme:

Teorema 1.22. Dacă trei ceviani AX, BY, CZ satisfac relația

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 ,

atunci sunt competitivi .

Pentru a arăta acest lucru, să presupunem că primele două cevian se intersectează în punctP , ca si inainte, si a treia ceviana trecand prin punctP , voiCZ′ . Apoi, prin teorema 1.21,

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ′||Z'B|=1 .

Dar prin presupunere

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Prin urmare,

|AZ||ZB|= |AZ′||Z'B| ,

punctZ' coincide cu punctulZ , și am demonstrat că segmenteleTOPOR , DE Șicz competitiv (, p. 54 și , p. 48, 317).

Matematică - Clasa a 10-a Mendel Viktor Vasilievici, Decanul Facultății de Științe ale Naturii, Matematică și Tehnologia Informației, FESGU CHEVA ȘI TEOREMELE LUI MENELAY Un loc aparte în planimetrie îl acordă două teoreme remarcabile: teorema lui Ceva și teorema lui Menelaus. Aceste teoreme nu sunt incluse în programa de bază a unui curs de geometrie de liceu, dar studiul (și aplicarea) lor este recomandat pentru oricine este interesat de matematică puțin mai mult decât este posibil în cadrul curriculumului școlar. De ce sunt interesante aceste teoreme? În primul rând, observăm că atunci când rezolvăm probleme geometrice, două abordări sunt combinate productiv: - una se bazează pe definirea unei structuri de bază (de exemplu: un triunghi - un cerc; un triunghi - o linie secantă; un triunghi - trei linii care trec. prin vârfurile sale și intersectându-se într-un punct; un patrulater cu două laturi paralele etc.), iar a doua este metoda problemelor de referință (probleme geometrice simple, la care se reduce procesul de rezolvare a unei probleme complexe). Deci, teoremele lui Menelaus și Ceva sunt printre cele mai comune construcții: prima consideră un triunghi, ale cărui laturi sau prelungiri ale laturilor sunt străbătute de vreo dreaptă (secantă), a doua este despre un triunghi și trei drepte care trec prin vârfurile sale, intersectându-se într-un punct. Teorema lui Menelaus Această teoremă a relațiilor observate (împreună cu inversele) prezintă segmente, regularitate, care leagă vârfurile unui anumit triunghi și punctele de intersecție ale secantei cu laturile (prelungirile laturilor) triunghiului. Desenele prezintă două cazuri posibile de locație a triunghiului și a secantei. În primul caz, secanta intersectează două laturi ale triunghiului și continuarea celei de-a treia, în al doilea - continuarea tuturor celor trei laturi ale triunghiului. Teorema 1. (Menelaus) Fie ABC intersectat de o dreaptă ne paralelă cu latura AB și care intersectează cele două laturi ale sale AC și, respectiv, BC, în punctele B1 și A1, și dreapta AB în punctul C1, apoi AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Teorema 2. (Conversați cu teorema lui Menelaus) Fie punctele A1, B1, C1 din triunghiul ABC aparțin dreptelor BC, AC, respectiv AB, atunci dacă AB1 CA1 BC1   1 B1C A1B C1 A, apoi punctele A1, B1, C1 se află pe o singură linie dreaptă. Demonstrarea primei teoreme se poate face astfel: perpendicularele de la toate vârfurile triunghiului sunt coborâte pe linia secante. Rezultatul sunt trei perechi de triunghiuri dreptunghiulare similare. Raporturile segmentelor care apar în formularea teoremei se înlocuiesc cu rapoartele perpendicularelor corespunzătoare acestora în similitudine. Se pare că fiecare segment - o perpendiculară în fracții va fi prezentă de două ori: o dată într-o fracție la numărător, a doua oară, într-o altă fracție, la numitor. Astfel, produsul tuturor acestor rapoarte va fi egal cu unu. Teorema inversă se dovedește prin metoda „prin contradicție”. Se presupune că în condițiile teoremei 2 punctele A1, B1, C1 nu se află pe o singură dreaptă. Apoi linia A1B1 va intersecta latura AB în punctul C2, diferit de punctul C1. În acest caz, în virtutea teoremei 1, aceeași relație va fi valabilă pentru punctele A1, B1, C2 ca și pentru punctele A1, B1, C1. De aici rezultă că punctele C1 și C2 vor împărți segmentul AB în proporții egale. Atunci aceste puncte coincid - avem o contradicție. Luați în considerare exemple de aplicare a teoremei Menelaus. Exemplul 1. Demonstrați că medianele unui triunghi în punctul de intersecție sunt divizibile cu un raport de 2:1 numărând de la vârf. Soluţie. Sa scriem raportul obtinut in teorema, Menelaus pentru triunghiul ABMb si dreapta McM(C): AM c BM M bC    1. M c B MM b CA Prima fractiune din acest produs este evident egala cu 1, iar al treilea al doilea raport este egal cu 1. Prin urmare, 2 2:1, care trebuia dovedit. Exemplul 2. Secanta intersectează prelungirea laturii AC a triunghiului ABC în punctul B1, astfel încât punctul C este punctul de mijloc al segmentului AB1. Latura AB este tăiată în două de această secantă. Aflați raportul în care împarte latura BC? Soluţie. Să notăm pentru triunghi și secanta produsul a trei rapoarte din teorema lui Menelaus: AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Din condițiile problemei rezultă că primul raport este egal cu unu, și al treilea 1, 2, astfel, al doilea raport este egal cu 2, adică secanta împarte latura BC într-un raport de 2:1. Vom întâlni următorul exemplu de aplicare a teoremei lui Menelaus când luăm în considerare demonstrarea teoremei lui Ceva. Teorema lui Ceva Majoritatea punctelor remarcabile ale unui triunghi pot fi obținute folosind următoarea procedură. Să existe o regulă conform căreia putem alege un anumit punct A1, pe latura BC (sau prelungirea ei) a triunghiului ABC (de exemplu, alegem punctul de mijloc al acestei laturi). Apoi construim puncte similare B1, C1 pe celelalte două laturi ale triunghiului (în exemplul nostru, mai sunt două puncte de mijloc ale laturilor). Dacă regula de selecție este reușită, atunci liniile AA1, BB1, CC1 se intersectează într-un punct Z (alegerea punctelor medii ale laturilor este, desigur, reușită în acest sens, deoarece medianele triunghiului se intersectează într-un punct) . Aș dori să am o metodă generală care să ne permită să stabilim din poziția punctelor de pe laturile unui triunghi dacă triplul corespunzător de drepte se intersectează într-un punct sau nu. Condiția universală care a „închis” această problemă a fost găsită în 1678 de inginerul italian Giovanni Ceva. Definiție. Segmentele care leagă vârfurile unui triunghi cu puncte de pe laturile opuse (sau prelungirile acestora) se numesc cevian dacă se intersectează într-un punct. Există două opțiuni pentru locația cevianului. Într-o variantă de realizare, punctul de intersecție este intern, iar capetele cevianelor se află pe părțile laterale ale triunghiului. În a doua versiune, punctul de intersecție este exterior, capătul unui cevian se află pe lateral, iar capetele celorlalte două cevian se află pe prelungirile laturilor (vezi desene). Teorema 3. (Teorema directă a lui Ceva) Într-un triunghi arbitrar ABC pe laturile BC, CA, AB sau prelungirile acestora se iau punctele A1, B1, C1, respectiv, astfel încât dreptele AA1, BB1, CC1 să se intersecteze într-un punct comun. , apoi BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 . Demonstrație: Sunt cunoscute mai multe dovezi originale ale teoremei lui Ceva, vom lua în considerare o demonstrație bazată pe o dublă aplicare a teoremei lui Menelaus. Să scriem pentru prima dată relația teoremei Menelaus pentru triunghiul ABB1 și secanta CC1 (notăm punctul de intersecție Cevian cu Z): AC1 BZ B1C    1, C1B ZB1 CA și a doua oară pentru triunghi B1BC și secantei AA1: B1Z BA1 CA    1. ZB A1C AB1 Înmulțind aceste două relații și făcând reducerile necesare, obținem relația cuprinsă în enunțul teoremei. Teorema 4. (Teorema inversă Ceva). Dacă pentru punctele A1, B1 și C1 alese pe laturile triunghiului ABC sau prelungirile acestora este îndeplinită condiția Ceva: BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 , atunci dreptele AA1, BB1 și CC1 se intersectează într-un punct. . Demonstrarea acestei teoreme se realizează prin contradicție, la fel ca și demonstrarea teoremei lui Menelaus. Să luăm în considerare exemple de aplicare a teoremelor directe și inverse ale lui Ceva. Exemplul 3. Demonstrați că medianele unui triunghi se intersectează într-un punct. Soluţie. Se consideră relația AC1 BA1 CB1   C1B A1C B1 A pentru vârfurile unui triunghi și punctele mijlocii ale laturilor sale. Evident, în fiecare fracție din numărător și numitor există segmente egale, prin urmare toate aceste fracții sunt egale cu unul. Prin urmare, relația Ceva este satisfăcută, prin urmare, prin teorema inversă, medianele se intersectează într-un punct. Sarcini pentru rezolvare independentă Sarcinile propuse aici sunt lucrarea de control nr.1 pentru elevii din clasa a 9-a. Rezolvați aceste probleme, notați soluțiile într-un caiet separat (de fizică și informatică). Indicați următoarele informații despre dvs. pe copertă: 1. Nume, prenume, clasa, profilul clasei (de exemplu: Vasily Pupkin, clasa a 9-a, matematică) 2. Cod poștal, adresă de domiciliu, e-mail (dacă există), numar de telefon (acasa sau mobil) 3. Date despre școală (de exemplu: MBOU Nr. 1 p. Bikin) 4. Numele, prenumele profesorului de matematică (de exemplu: profesor de matematică Petrova M.I.) Se recomandă rezolvarea a cel puțin patru probleme. M 9.1.1. Poate linia secantă din teorema lui Menelaus să taie laturile unui triunghi (sau prelungirile acestora) în segmente de lungime: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10 Dacă astfel de opțiuni sunt posibile, dați exemple. Segmentele pot merge într-o ordine diferită. M 9.1.2. Pot cevianele interioare ale unui triunghi să-și împartă laturile în segmente: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10 Dacă astfel de opțiuni sunt posibile, dați exemple. Segmentele pot merge într-o ordine diferită. Sugestie: atunci când vă gândiți la exemple, nu uitați să verificați dacă triunghiul nu este egal. M 9.1.3. Folosind teorema inversă Ceva, demonstrați că: a) bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct; b) segmentele care leagă vârfurile triunghiului cu puncte de pe laturile opuse, în care aceste laturi ating cercul înscris, se intersectează într-un punct. Instrucțiuni: a) amintiți-vă în ce sens bisectoarea împarte partea opusă; b) folosiți proprietatea că segmentele a două tangente trase dintr-un punct la un cerc sunt egale. M 9.1.4. Completați demonstrația teoremei lui Menelaus începută în prima parte a articolului. M 9.1.5. Demonstrați că altitudinile unui triunghi se intersectează într-un punct folosind teorema inversă a lui Ceva. M 9.1.6. Demonstrați teorema lui Simpson: dintr-un punct arbitrar M luat pe cercul circumscris triunghiului ABC, se aruncă perpendiculare pe laturile sau prelungirile laturilor triunghiului, demonstrați că bazele acestor perpendiculare se află pe aceeași dreaptă. Sugestie: utilizați teorema inversă a lui Menelaus. Încercați să exprimați lungimile segmentelor utilizate în relație în termeni de lungimi ale perpendicularelor trase din punctul M. De asemenea, este util să amintiți proprietățile unghiurilor unui patrulater înscris.