O teorema inverso ao teorema é menos prova. Teorema de Ceva e Menelau. Por que tudo isso é necessário

Aula: 9

Lições objetivas:

generalizar, ampliar e sistematizar os conhecimentos e habilidades dos alunos; ensinar a usar o conhecimento na resolução de problemas complexos;
promover o desenvolvimento de competências de aplicação autónoma de conhecimentos na resolução de problemas;
desenvolver o raciocínio lógico e a fala matemática dos alunos, a capacidade de analisar, comparar e generalizar;
educar os alunos em autoconfiança, diligência; capacidade de trabalhar em equipe.

Lições objetivas:

Educacional: repita os teoremas de Menelau e Ceva; aplicá-los à resolução de problemas.
Em desenvolvimento: ensinar a apresentar uma hipótese e defender habilmente a própria opinião com evidências; testar a capacidade de generalizar e sistematizar os seus conhecimentos.
Educacional: aumentar o interesse pelo assunto e se preparar para resolver problemas mais complexos.

Tipo de aula: aula de generalização e sistematização do conhecimento.

Equipamento: cartões para trabalho coletivo em uma aula sobre um determinado tópico, cartões individuais para trabalho independente, um computador, um projetor multimídia, uma tela.

durante as aulas

eu palco. Momento organizacional (1 min.)

O professor explica o tema e o objetivo da aula.

II etapa. Atualização de conhecimentos e habilidades básicas (10 min.)

Professor: Na lição, relembramos os teoremas de Menelau e Ceva para passar com sucesso à resolução de problemas. Vamos dar uma olhada na tela com você. A que teorema serve esta imagem? (teorema de Menelau). Tente enunciar claramente o teorema.

Imagem 1

Suponha que o ponto A 1 esteja no lado BC do triângulo ABC, o ponto C 1 esteja no lado AB, o ponto B 1 esteja na extensão do lado AC além do ponto C. Os pontos A 1 , B 1 e C 1 estão na mesma linha reta se e somente se a igualdade

Professor: Vamos dar uma olhada na próxima foto juntos. Formule um teorema para essa figura.

Figura 2

A linha AD intercepta dois lados e a extensão do terceiro lado do triângulo BMC.

De acordo com o teorema de Menelau

A linha MB intercepta dois lados e a extensão do terceiro lado do triângulo ADC.

De acordo com o teorema de Menelau

Professor: A que teorema a imagem corresponde? (Teorema de Ceva). Formule um teorema.

Figura 3

Seja no triângulo ABC que o ponto A 1 está no lado BC, o ponto B 1 está no lado AC, o ponto C 1 está no lado AB. Os segmentos AA 1 , BB 1 e CC 1 se interceptam em um ponto se e somente se a igualdade

III fase. Solução de problemas. (22 minutos)

A turma é dividida em 3 equipes, cada uma recebe um cartão com duas tarefas diferentes. É dado tempo para resolver, então a tela exibe<Рисунки 4-9>. De acordo com os desenhos prontos para as tarefas, os representantes das equipes explicam sua solução por sua vez. Cada explicação é seguida de uma discussão, respostas a perguntas e verificação da correção da solução na tela. Todos os membros da equipe participam da discussão. Quanto mais ativa a equipe, mais alta ela é avaliada na soma.

Cartão 1.

1. No triângulo ABC do lado BC, o ponto N é tomado de modo que NC = 3BN; na extensão do lado AC, o ponto M é tomado como ponto A de modo que MA = AC. A linha MN intercepta o lado AB no ponto F. Encontre a razão

2. Prove que as medianas de um triângulo se interceptam em um ponto.

Solução 1

Figura 4

Pela condição do problema, MA = AC, NC = 3BN. Seja MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. A linha MN intercepta dois lados do triângulo ABC e a extensão do terceiro.

De acordo com o teorema de Menelau

Responder:

Prova 2

Figura 5

Sejam AM 1 , BM 2 , CM 3 as medianas do triângulo ABC. Para provar que esses segmentos se interceptam em um ponto, basta mostrar que

Então, pelo teorema (inverso) de Ceva, os segmentos AM 1 , BM 2 e CM 3 se interceptam em um ponto.

Nós temos:

Assim, está provado que as medianas de um triângulo se interceptam em um ponto.

Cartão 2.

1. O ponto N é tomado no lado PQ do triângulo PQR, e o ponto L é tomado no lado PR, e NQ = LR. O ponto de interseção dos segmentos QL e NR divide QL na razão m:n, contando a partir do ponto Q. Encontre

2. Prove que as bissetrizes de um triângulo se cruzam em um ponto.

Solução 1

Figura 6

Pela hipótese NQ = LR, seja NA = LR =a, QF = km, LF = kn. A linha NR intercepta dois lados do triângulo PQL e a extensão do terceiro.

De acordo com o teorema de Menelau

Responder:

Prova 2

Figura 7

Vamos mostrar que

Então, pelo teorema (inverso) de Ceva, AL 1 , BL 2 , CL 3 se interceptam em um ponto. De acordo com a propriedade das bissetrizes de um triângulo

Multiplicando as igualdades obtidas termo a termo, obtemos

Para as bissetrizes de um triângulo, a igualdade de Ceva é satisfeita, portanto, elas se interceptam em um ponto.

Cartão 3.

1. No triângulo ABC AD é a mediana, o ponto O é o ponto médio da mediana. A linha BO intercepta o lado AC no ponto K. Em que proporção o ponto K divide AC, contando a partir do ponto A?

2. Prove que, se um círculo está inscrito em um triângulo, os segmentos que conectam os vértices do triângulo com os pontos de contato de lados opostos se cruzam em um ponto.

Solução 1

Figura 8

Seja BD = DC = a, AO = OD = m. A linha VC intercepta dois lados e a extensão do terceiro lado do triângulo ADC.

De acordo com o teorema de Menelau

Responder:

Prova 2

Figura 9

Sejam A 1 , B 1 e C 1 os pontos tangentes do círculo inscrito do triângulo ABC. Para provar que os segmentos AA 1 , BB 1 e CC 1 se interceptam em um ponto, basta mostrar que a igualdade de Ceva vale:

Usando a propriedade das tangentes desenhadas a um círculo a partir de um ponto, introduzimos a notação: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

A igualdade de Ceva é válida, o que significa que as bissetrizes do triângulo se cruzam em um ponto.

estágio IV. Resolução de problemas (trabalho independente) (8 min.)

Professor: O trabalho das equipes acabou e agora vamos começar o trabalho independente em cartões individuais para 2 opções.

Materiais para a aula para trabalho independente dos alunos

Opção 1. Em um triângulo ABC, cuja área é 6, no lado AB, um ponto K é tomado, dividindo este lado na razão AK:BK = 2:3, e no lado AC - ponto L, dividindo AC em a relação AL:LC = 5:3. O ponto Q de interseção das linhas СК e BL é removido da linha AB a uma distância . Encontre o comprimento do lado AB. (Resposta: 4.)

Opção 2. O ponto K é tomado no lado AC do triângulo ABC, AK = 1, KS = 3. O ponto L é tomado no lado AB, AL:L² = 2:3, Q é o ponto de interseção das linhas BK e CL. Encontre o comprimento da altura do triângulo ABC, abaixado do vértice B. (Resposta: 1.5.)

O trabalho é submetido ao professor para revisão.

fase V. Resumo da lição (2 min.)

Erros são analisados, respostas originais e comentários são anotados. Os resultados do trabalho de cada equipa são somados e são atribuídas notas.

estágio VI. Lição de casa (1 min.)

O dever de casa é composto pelas tarefas nº 11, 12 pp. 289-290, nº 10 p. 301.

Palavra final do professor (1 min).

Hoje vocês ouviram o discurso matemático um do outro e avaliaram suas capacidades. No futuro, usaremos essas discussões para melhor entender o assunto. Os argumentos da aula eram amigos dos fatos e a teoria da prática. Obrigado a todos.

Literatura:

Tkachuk V.V. Matemática para um candidato. – M.: MTsNMO, 2005.

AV Shevkin

FMS № 2007

Teoremas de Ceva e Menelau no Exame do Estado Unificado

Um artigo detalhado "Em torno dos teoremas de Ceva e Menelau" está publicado em nosso site na seção ARTIGOS. Destina-se a professores de matemática e alunos do ensino médio motivados a ter um bom conhecimento de matemática. Você pode retornar a ele se quiser entender o problema com mais detalhes. Nesta nota, forneceremos breves informações do artigo mencionado e analisaremos as soluções para os problemas da coleção de preparação para o Exame Estadual Unificado-2016.

teorema de Ceva

Seja um triângulo dado abc e em seus lados AB, BC E AC os pontos são marcados C 1 , A 1 E B 1 respectivamente (Fig. 1).

a) Se os segmentos AA 1 , BB 1 e CC 1 se interceptam em um ponto, então

b) Se a igualdade (1) for verdadeira, então os segmentos AA 1 , BB 1 e CC 1 se interceptam em um ponto.

A Figura 1 mostra o caso em que os segmentos AA 1 , BB 1 e CC 1 se cruzam em um ponto dentro do triângulo. Este é o chamado caso de ponto interior. O teorema de Ceva também é válido no caso de um ponto externo, quando um dos pontos A 1 , B 1 ou COM 1 pertence ao lado do triângulo e os outros dois pertencem às extensões dos lados do triângulo. Neste caso, o ponto de intersecção dos segmentos AA 1 , BB 1 e CC 1 está fora do triângulo (Fig. 2).

Como lembrar a equação de Cheva?

Prestemos atenção ao método de memorização da igualdade (1). Os vértices do triângulo em cada relação e as próprias relações são escritos na direção de contornar os vértices do triângulo abc, partindo do ponto A. do ponto A vá direto ao ponto B, encontramos um ponto COM 1, escreva a fração
. Mais longe do ponto EM vá direto ao ponto COM, encontramos um ponto A 1, escreva a fração
. Finalmente, do ponto COM vá direto ao ponto A, encontramos um ponto EM 1, escreva a fração
. No caso de um ponto externo, a ordem de escrita das frações é preservada, embora os dois "pontos de divisão" do segmento estejam fora de seus segmentos. Nesses casos, dizemos que o ponto divide o segmento externamente.

Observe que qualquer segmento de linha conectando o vértice de um triângulo com qualquer ponto na linha que contém o lado oposto do triângulo é chamado ceviana.

Consideremos várias maneiras de provar a afirmação a) do teorema de Ceva para o caso de um ponto interior. Para provar o teorema de Ceva, deve-se provar a afirmação a) por qualquer um dos métodos propostos abaixo, e também provar a afirmação b). A prova da asserção b) é dada após o primeiro método de provar a asserção a). As provas do teorema de Ceva para o caso de um ponto externo são feitas de maneira similar.

Prova da afirmação a) do teorema de Ceva usando o teorema sobre segmentos proporcionais

Deixe três cevianas AA 1 , BB 1 e CC 1 se interceptam em um ponto Z dentro do triângulo abc.

A ideia da prova é substituir as razões dos segmentos da igualdade (1) pelas razões dos segmentos que estão na mesma reta.

Através do ponto EM desenhe uma linha paralela a ceviana SS 1 . Direto AA 1 intercepta a linha construída no ponto M, e a reta que passa pelo ponto C e paralelo AA 1 , - no ponto T. através de pontos A E COM desenhar linhas retas paralelas aos cevianos BB 1 . Eles vão cruzar a linha VM em pontos N E R respectivamente (Fig. 3).

P sobre o teorema dos segmentos proporcionais temos:

,
E
.

Então as igualdades

Em paralelogramos ZCTM E ZCRB segmentos MT, СZ E BR iguais como lados opostos de um paralelogramo. Por isso,
e a igualdade é verdadeira

Para provar a asserção b) usamos a seguinte asserção. Arroz. 3

Lema 1. Se os pontos COM 1 e COM 2 divida o corte AB imagem interna (ou externa) no mesmo aspecto, contando a partir do mesmo ponto, então esses pontos coincidem.

Provemos o lema para o caso em que os pontos COM 1 e COM 2 divida o corte AB internamente no mesmo aspecto:
.

Prova. Da igualdade
seguido por igualdades
E
. O último deles é cumprido apenas sob a condição de que COM 1 B E COM 2 B são iguais, ou seja, desde que os pontos COM 1 e COM 2 partida.

Prova do lema para o caso em que os pontos COM 1 e COM 2 divida o corte AB externamente realizado de maneira semelhante.

Prova da afirmação b) do teorema de Ceva

Agora, seja verdadeira a igualdade (1). Vamos provar que os segmentos AA 1 , BB 1 e CC 1 se interceptam em um ponto.

deixa os cevianos AA 1 e BB 1 se interceptam em um ponto Z, desenhe um segmento através deste ponto CC 2 (COM 2 encontra-se no segmento AB). Então, com base na afirmação a), obtemos a igualdade correta

. (2)

E Comparando as igualdades (1) e (2), concluímos que
, ou seja, pontos COM 1 e COM 2 divida o corte AB na mesma proporção, contando a partir do mesmo ponto. O Lema 1 implica que os pontos COM 1 e COM 2 partida. Isso significa que os segmentos AA 1 , BB 1 e CC 1 se interceptam em um ponto, o que deveria ser provado.

Pode-se provar que o procedimento para escrever a igualdade (1) não depende de qual ponto e em qual direção os vértices do triângulo são contornados.

Exercício 1. Encontre o comprimento do segmento AN na figura 4, que mostra os comprimentos de outros segmentos.

Responder. 8.

Tarefa 2. cevianos SOU, BN, CK intersectam-se em um ponto dentro do triângulo abc. Encontre uma atitude
, Se
,
. Arroz. 4

Responder.
.

P apresentamos a prova do teorema de Ceva do artigo. A ideia da prova é substituir as razões dos segmentos da igualdade (1) pelas razões dos segmentos situados em retas paralelas.

Deixe reto AA 1 , BB 1 , CC 1 se interceptam em um ponto O dentro do triângulo abc(Fig. 5). pelo topo COM triângulo abc desenhe uma linha paralela AB, e seus pontos de intersecção com as linhas AA 1 , BB 1 denotam respectivamente A 2 , B 2 .

Da semelhança de dois pares de triângulos CB 2 B 1 E ABB 1 , BAA 1 E CA 2 A 1, Fig. 5

temos as igualdades

,
. (3)

Da semelhança de triângulos BC 1 O E B 2 CO, ACOM 1 O E A 2 CO temos as igualdades
, de onde se segue que

. (4)

P multiplicando as igualdades (3) e (4), obtemos a igualdade (1).

A afirmação a) do teorema de Ceva está provada.

Considere as provas da afirmação a) do teorema de Ceva com a ajuda de áreas para um ponto interior. É afirmado no livro de A.G. Myakishev e é baseado nas declarações que formularemos na forma de atribuições 3 E 4 .

Tarefa 3. A razão entre as áreas de dois triângulos com um vértice comum e bases situadas na mesma linha é igual à razão entre os comprimentos dessas bases. Prove esta afirmação.

Tarefa 4. Prove que se
, Que
E
. Arroz. 6

Deixe os segmentos AA 1 , BB 1 e CC 1 se interceptam em um ponto Z(Fig. 6), então

,
. (5)

E de igualdades (5) e a segunda declaração da tarefa 4 segue que
ou
. Da mesma forma, obtemos que
E
. Multiplicando as três últimas igualdades, obtemos:

isto é, a igualdade (1) é verdadeira, o que deveria ser provado.

A afirmação a) do teorema de Ceva está provada.

Tarefa 15. Deixe as cevianas se cruzarem em um ponto dentro do triângulo e divida-o em 6 triângulos, cujas áreas são iguais a S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 , S 6 (Fig. 7). Prove isso. Arroz. 7

Tarefa 6. Encontre a área S triângulo CNZ(as áreas de outros triângulos são mostradas na Figura 8).

Responder. 15.

Tarefa 7. Encontre a área S triângulo CNO se a área do triângulo ANÃOé 10 e
,
(Fig. 9).

Responder. 30.

Tarefa 8. Encontre a área S triângulo CNO se a área do triângulo ABCé igual a 88 e ,
(Fig. 9).

R solução. Como , denotamos
,
. Porque , então denotamos
,
. Segue do teorema de Ceva que
, e então
. Se
, Que
(Fig. 10). Temos três incógnitas ( x, y E S), para encontrar S Vamos fazer três equações.

Porque
, Que
= 88. Desde
, Que
, onde
. Porque
, Que
.

Então,
, onde
. Arroz. 10

Tarefa 9. Em um triângulo abc pontos k E eu pertencem respectivamente às partes AB E BC.
,
. P AL E CK. Área de um triângulo PBCé igual a 1. Encontre a área do triângulo abc.

Responder. 1,75.

T Teorema de Menelau

Seja um triângulo dado abc e em seus lados AC E CB os pontos são marcados B 1 e A 1 respectivamente, e na continuação do lado AB ponto marcado C 1 (Fig. 11).

a) Se os pontos A 1 , B 1 e COM 1 mentira na mesma linha, então

. (6)

b) Se a igualdade (7) for verdadeira, então os pontos A 1 , B 1 e COM 1 mentira na mesma linha. Arroz. onze

Como lembrar a igualdade de Menelau?

A técnica para memorizar a igualdade (6) é a mesma que para a igualdade (1). Os vértices do triângulo em cada relação e as próprias relações são escritos na direção de contornar os vértices do triângulo abc- de vértice a vértice, passando por pontos de divisão (internos ou externos).

Tarefa 10. Prove que ao escrever a igualdade (6) de qualquer vértice do triângulo em qualquer direção, o mesmo resultado é obtido.

Para provar o teorema de Menelau, deve-se provar a afirmação a) por qualquer um dos métodos propostos abaixo, e também provar a afirmação b). A prova da asserção b) é dada após o primeiro método de provar a asserção a).

Prova da afirmação a) usando o teorema sobre segmentos proporcionais

EUcaminho. a) A ideia da prova é substituir as razões dos comprimentos dos segmentos em igualdade (6) pelas razões dos comprimentos dos segmentos situados em uma reta.

deixe os pontos A 1 , B 1 e COM 1 mentira na mesma linha. Através do ponto C vamos desenhar uma linha reta eu, paralela à linha A 1 B 1 , ele intercepta a linha AB no ponto M(Fig. 12).

R
é. 12

Pelo teorema dos segmentos proporcionais, temos:
E
.

Então as igualdades
.

Prova da afirmação b) do teorema de Menelau

Agora seja verdadeira a igualdade (6), provaremos que os pontos A 1 , B 1 e COM 1 mentira na mesma linha. Deixe direto AB E A 1 B 1 se interceptam em um ponto COM 2 (Fig. 13).

Desde os pontos A 1 B 1 e COM 2 estão na mesma linha, então pela afirmação a) do teorema de Menelau

. (7)

A partir de uma comparação das igualdades (6) e (7), temos
, de onde se conclui que as igualdades

,
,
.

A última igualdade é verdadeira apenas sob a condição
, ou seja, se os pontos COM 1 e COM 2 partida.

A afirmação b) do teorema de Menelau está provada. Arroz. 13

Prova da afirmação a) usando a semelhança de triângulos

A ideia da prova é substituir as razões dos comprimentos dos segmentos da igualdade (6) pelas razões dos comprimentos dos segmentos situados em retas paralelas.

deixe os pontos A 1 , B 1 e COM 1 mentira na mesma linha. De pontos A, B E C desenhar perpendiculares AA 0 , BB 0 e SS 0 a esta reta (Fig. 14).

R
é. 14

Da semelhança de três pares de triângulos AA 0 B 1 E CC 0 B 1 , CC 0 A 1 E BB 0 A 1 , C 1 B 0 B E C 1 A 0 A(em dois cantos) temos as igualdades corretas

,
,
,

multiplicando-os, obtemos:

A afirmação a) do teorema de Menelau está provada.

Prova da afirmação a) usando áreas

A ideia da prova é substituir a razão dos comprimentos dos segmentos da igualdade (7) pelas razões das áreas dos triângulos.

deixe os pontos A 1 , B 1 e COM 1 mentira na mesma linha. Ligue os pontos C E C 1 . Denote as áreas dos triângulos S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 (Fig. 15).

Então as igualdades

,
,
. (8)

Multiplicando as igualdades (8), obtemos:

A afirmação a) do teorema de Menelau está provada.

R
é. 15

Assim como o teorema de Ceva permanece válido se o ponto de interseção de Cevian estiver fora do triângulo, o teorema de Menelau permanece válido se a secante intercepta apenas as extensões dos lados do triângulo. Nesse caso, podemos falar sobre a interseção dos lados do triângulo em pontos externos.

Prova da assertiva a) para o caso de pontos externos

P a boca da secante intercepta os lados do triângulo abc em pontos externos, ou seja, intercepta as extensões dos lados AB,BC E AC em pontos C 1 , A 1 e B 1, respectivamente, e esses pontos estão na mesma linha reta (Fig. 16).

Pelo teorema dos segmentos proporcionais, temos:

E .

Então as igualdades

A afirmação a) do teorema de Menelau está provada. Arroz. 16

Observe que a prova acima coincide com a prova do teorema de Menelau para o caso em que a secante intercepta dois lados do triângulo nos pontos internos e um no externo.

A prova da afirmação b) do teorema de Menelau para o caso de pontos externos é similar à prova dada acima.

C inferno11. Em um triângulo abc pontos A 1 , EM 1 mentira, respectivamente, nas laterais sol E ACOM. P- ponto de intersecção de segmentos AA 1 E BB 1 .
,
. Encontre uma atitude
.

Solução. denotar
,
,
,
(Fig. 17). Pelo teorema de Menelau para um triângulo BCEM 1 e secante PA 1 escreva a igualdade correta:

de onde se segue que

. Arroz. 17

Responder. .

C inferno12 (Moscow State University, cursos preparatórios por correspondência). Em um triângulo abc, cuja área é 6, no lado AB ponto tomado PARA, dividindo este lado em relação a
, e do lado AC- ponto eu, dividindo AC em uma relação
. Ponto P interseções de linha SC E EMeu removido da linha AB a uma distância de 1,5. Encontre o comprimento do lado AB.

Solução. De pontos R E COM vamos deixar cair as perpendiculares relações públicas E CM diretamente AB. denotar
,
,
,
(Fig. 18). Pelo teorema de Menelau para um triângulo AKC e secante PL escreva a equação correta:
, de onde tiramos isso
,
. Arroz. 18

Da semelhança de triângulos PARAMC E PARAPR(nos dois cantos) obtemos isso
, de onde se segue que
.

Agora, sabendo o comprimento da altura desenhada para o lado AB triângulo abdômen, e a área deste triângulo, calculamos o comprimento do lado:
.

Responder. 4.

C inferno13. Três círculos com centros A,EM,COM, cujos raios estão relacionados como
, se tocam externamente nos pontos x, Y, Z como mostrado na figura 19. Segmentos MACHADO E POR se cruzam em um ponto O. Em que proporção, contando a partir do ponto B, segmento de linha cz divide o segmento POR?

Solução. denotar
,
,
(Fig. 19). Porque
, então pela afirmação b) do teorema de Ceva, os segmentos Ax, POR E COMZ se cruzam em um ponto O. Então o segmento cz divide o segmento POR em uma relação
. Vamos encontrar essa relação. Arroz. 19

Pelo teorema de Menelau para um triângulo BCY e secante BOI Nós temos:
, de onde se segue que
.

Responder. .

Tarefa 14 (USE-2016).

pontos EM 1 e COM AC E AB triângulo abc, além disso AB 1:B 1 COM =
= AC 1:COM 1 B. direto BB 1 E SS 1 se cruzam em um ponto SOBRE.

A ) Prove que a reta JSC bisseccione o lado Sol.

AB 1 OC 1 à área de um triângulo abc se é sabido que AB 1:B 1 COM = 1:4.

Solução. a) Deixe a linha AO cruza o lado BC no ponto A 1 (Fig. 20). Pelo teorema de Ceva, temos:

. (9)

Porque AB 1:B 1 COM = AC 1:COM 1 B, segue da igualdade (9) que
, aquilo é CA 1 = A 1 B, o que estava para ser provado. Arroz. 20

b) Seja a área do triângulo AB 1 O é igual a S. Porque AB 1:B 1 COM CB 1 O igual a 4 S, e a área do triângulo AOC igual a 5 S. Então a área do triângulo AOB também é igual a 5 S, pois os triângulos AOB E AOC tem um terreno comum AO, e seus vértices B E C equidistante da linha AO. E a área do triângulo AOC 1 igual S, porque AC 1:COM 1 B = 1:4. Então a área do triângulo ABB 1 é igual a 6 S. Porque AB 1:B 1 COM= 1:4, então a área do triângulo CB 1 O é igual a 24 S, e a área do triângulo abc é igual a 30 S. Agora vamos encontrar a razão entre a área do quadrilátero AB 1 OC 1 (2S) para a área do triângulo abc (30S), é igual a 1:15.

Responder. 1:15.

Tarefa 15 (USE-2016).

pontos EM 1 e COM 1 mentira nas laterais, respectivamente AC E AB triângulo abc, além disso AB 1:B 1 COM =
= AC 1:COM 1 B. direto BB 1 E SS 1 se cruzam em um ponto SOBRE.

a) Prove que a reta JSC bisseccione o lado Sol.

b) Encontre a razão entre a área do quadrilátero AB 1 OC 1 à área de um triângulo abc se é sabido que AB 1:B 1 COM = 1:3.

Responder. 1:10.

C tarefa 16 (USE-2016). no segmento BD ponto tomado COM. Bissetriz BL abc com base sol BLD com base BD.

a) Prove que o triângulo DCL isósceles.

b) Sabe-se que cos
abc DL, ou seja, triângulo BD ponto tomado COM. Bissetriz BL Triângulo isósceles abc com base solé um lado lateral de um triângulo isósceles BLD com base BD.

a) Prove que o triângulo DCL isósceles.

b) Sabe-se que cos abc= . De que forma é o direto DL divide o lado AB?

Responder. 4:21.

Literatura

1. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Maravilhosos pontos e linhas de triângulo. M.: Matemática, 2006, nº 17.

2. Myakishev A.G. Elementos de geometria do triângulo. (Série "Biblioteca "Educação Matemática""). M.: MTsNMO, 2002. - 32 p.

3. Geometria. Capítulos adicionais para o livro didático da 8ª série: Livro didático para alunos de escolas e turmas com estudo aprofundado / L.S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S.B. Kadomtsev e outros - M.: Vita-Press, 2005. - 208 p.

4. Erdniev P., Mantsaev N. Cheva e teoremas de Menelau. M.: Kvant, 1990, nº 3, pp. 56–59.

5. Sharygin I.F. Teoremas de Ceva e Menelau. Moscou: Kvant, 1976, nº 11, pp. 22–30.

6. Vavilov V.V. Medianas e linhas médias de um triângulo. M.: Matemática, 2006, nº 1.

7. Efremov Dm. Nova geometria do triângulo. Odessa, 1902. - 334 p.

8. Matemática. 50 variantes de tarefas de teste típicas / I.V. Yashchenko, M.A. Volkevich, I. R. Vysotsky e outros; ed. 4. Yashchenko. - M.: Editora "Exame", 2016. - 247 p.

TEOREMAS DE CHEVA E MENELAU

teorema de Ceva

A maioria dos pontos notáveis de um triângulo pode ser obtida usando o seguinte procedimento. Que haja alguma regra segundo a qual podemos escolher um certo ponto A 1 , no lado BC (ou sua extensão) do triângulo ABC (por exemplo, escolha o ponto médio deste lado). Então construímos pontos semelhantes B 1 , C 1 nos outros dois lados do triângulo (no nosso exemplo, há mais dois pontos médios dos lados). Se a regra de seleção for bem-sucedida, direcione o AA 1 , BB 1 , CC 1 se cruzam em algum ponto Z (a escolha dos pontos médios dos lados nesse sentido é, obviamente, bem-sucedida, pois as medianas do triângulo se cruzam em um ponto).

Eu gostaria de ter algum método geral que nos permitisse determinar, a partir da posição dos pontos nos lados de um triângulo, se o correspondente triplo de linhas se cruzam em um ponto ou não.

A condição universal que “fechava” esse problema foi encontrada em 1678 por um engenheiro italianoGiovanni Ceva .

Definição. Os segmentos que conectam os vértices de um triângulo com pontos em lados opostos (ou suas extensões) são chamados cevianos se eles se interceptam em um ponto.

Existem duas opções para a localização do cevian. Em uma versão, o ponto

as interseções são internas e as extremidades das cevianas ficam nos lados do triângulo. Na segunda versão, o ponto de interseção é externo, a extremidade de uma ceviana fica na lateral e as pontas das outras duas cevianas ficam nas extensões dos lados (ver desenhos).

Teorema 3. (Teorema direto de Ceva) Em um triângulo arbitrário ABC nos lados BC, CA, AB ou suas extensões, os pontos A são tomados respectivamente 1 , EM 1 , COM 1 , de modo que AA direto 1 , BB 1 , SS 1 se interceptam em algum ponto comum, então

Prova: Como existem várias provas originais do teorema de Ceva, vamos considerar uma prova baseada em uma dupla aplicação do teorema de Menelau. Vamos escrever a relação do teorema de Menelau pela primeira vez para o triânguloABB 1 e secante CC 1 (denotamos o ponto de interseção de cevianZ):

e a segunda vez para o triânguloB 1 BC e secante AA 1 :

Multiplicando essas duas relações, fazendo as reduções necessárias, obtemos a relação contida no enunciado do teorema.

Teorema 4. (Teorema de Ceva Inversa) . Se para aqueles escolhidos nos lados do triângulo abc ou suas extensões de pontos A 1 , EM 1 E C 1 A condição de Ceva é satisfeita:

então direto AA 1 , BB 1 E CC 1 se cruzam em um ponto .

A prova deste teorema é feita por contradição, assim como a prova do teorema de Menelau.

Consideremos exemplos de aplicação dos teoremas direto e inverso de Ceva.

Exemplo 3 Prove que as medianas de um triângulo se interceptam em um ponto.

Solução. Considere a relação

para os vértices de um triângulo e os pontos médios de seus lados. Obviamente, em cada fração no numerador e no denominador existem segmentos iguais, portanto todas essas frações são iguais a um. Portanto, a relação Ceva é satisfeita, portanto, pelo teorema inverso, as medianas se cruzam em um ponto.

Teorema (teorema de Ceva) . deixe os pontos deitar de lado e triângulo respectivamente. Deixe os segmentos E se interceptam em um ponto. Então

(contorne o triângulo no sentido horário).

Prova. denotar por o ponto de interseção dos segmentos E . Queda de pontos E perpendiculares a uma linhaantes de cruzar com ele em pontos E respectivamente (ver figura).

Porque triângulos E tem um lado comum, então suas áreas estão relacionadas como as alturas desenhadas para este lado, ou seja, E :

A última igualdade é verdadeira, pois os triângulos retângulos E semelhantes em ângulo agudo.

Da mesma forma, obtemos

Vamos multiplicar essas três igualdades:

Q.E.D.

Sobre medianas:

1. Coloque massas unitárias nos vértices do triângulo ABC.
2. O centro de massa dos pontos A e B está no meio de AB. O centro de massa de todo o sistema deve estar na mediana do lado AB, pois o centro de massa do triângulo ABC é o centro de massa do centro de massa dos pontos A e B, e do ponto C.
(ficou confuso)
3. Da mesma forma - o CM deve estar na mediana dos lados AC e BC
4. Como o CM é o único ponto, todas essas três medianas devem se cruzar nele.

A propósito, segue-se imediatamente que eles são divididos pela interseção na proporção de 2: 1. Como a massa do centro de massa dos pontos A e B é 2, e a massa do ponto C é 1, portanto, o centro de massa comum, de acordo com o teorema da proporção, dividirá a mediana na razão 2/1.

Muito obrigado, é apresentado de forma acessível, acho que não seria supérfluo fornecer provas usando métodos de geometria de massa, por exemplo:
As linhas AA1 e CC1 se cruzam no ponto O; AC1: C1B = pe BA1: A1C = q. Precisamos provar que a reta BB1 passa pelo ponto O se e somente se CB1: B1A = 1: pq.
Coloquemos as massas 1, p e pq, respectivamente, nos pontos A, B e C. Então o ponto C1 é o centro de massa dos pontos A e B, e o ponto A1 é o centro de massa dos pontos B e C. Portanto, o centro de massa dos pontos A, B e C com massas dadas é o ponto O do interseção das linhas CC1 e AA1. Por outro lado, o ponto O está no segmento que liga o ponto B ao centro de massa dos pontos A e C. Se B1 é o centro de massa dos pontos A e C de massas 1 e pq, então AB1: B1C = pq: 1. Resta notar que no segmento AC existe um único ponto que o divide nesta razão AB1:B1C.

2. Teorema de Ceva

Um segmento de reta que conecta um vértice de um triângulo com algum ponto no lado oposto é chamadoceviana . Assim, se em um triânguloabc x , Y e Z - pontos nas lateraisBC , CA , AB respectivamente, então os segmentosMACHADO , POR , cz são chevianos. O termo vem do matemático italiano Giovanni Ceva, que em 1678 publicou o seguinte teorema muito útil:

Teorema 1.21. Se três cevianas AX, BY, CZ (uma de cada vértice) do triângulo ABC são competitivas, então

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Arroz. 3.

Quando dizemos que três linhas (ou segmentos)competitivo , então queremos dizer que todos eles passam por um ponto, que denotamos porP . Para provar o teorema de Ceva, lembre-se de que as áreas dos triângulos com alturas iguais são proporcionais às bases dos triângulos. Com referência à Figura 3, temos:

|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX-SPBXSAXC-SPXC= SABPSCAP.

Da mesma maneira,

|CY||YA|= SBCPSABP, |AZ||ZB|= SCAPSBCP.

Agora, se os multiplicarmos, obtemos

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .

A inversa deste teorema também é verdadeira:

Teorema 1.22. Se três cevianas AX, BY, CZ satisfazem a relação

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 ,

então eles são competitivos .

Para mostrar isso, suponha que as duas primeiras cevianas se cruzem no pontoP , como antes, e a terceira ceviana passando pelo pontoP , vaiCZ' . Então, pelo Teorema 1.21,

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ′||Z'B|=1 .

Mas por suposição

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Por isso,

|AZ||ZB|= |AZ′||Z'B| ,

pontoZ' coincide com o pontoZ , e provamos que os segmentosMACHADO , POR Ecz competitiva (, pp. 54 e , pp. 48, 317).

Matemática - 10ª série Mendel Viktor Vasilievich, Reitor da Faculdade de Ciências Naturais, Matemática e Tecnologia da Informação, FESGU CHEVA E OS TEOREMAS DE MENELAY Um lugar especial na planimetria é dado a dois teoremas notáveis: o teorema de Ceva e o teorema de Menelau. Esses teoremas não estão incluídos no currículo básico de um curso de geometria do ensino médio, mas seu estudo (e aplicação) é recomendado para quem se interessa por matemática um pouco mais do que é possível no currículo escolar. Por que esses teoremas são interessantes? Primeiro, notamos que, ao resolver problemas geométricos, duas abordagens são combinadas produtivamente: - uma é baseada na definição de uma estrutura básica (por exemplo: um triângulo - um círculo; um triângulo - uma linha secante; um triângulo - três linhas que passam através de seus vértices e se cruzam em um ponto; um quadrilátero com dois lados paralelos, etc.), e o segundo é o método dos problemas de referência (problemas geométricos simples, aos quais se reduz o processo de resolução de um problema complexo). Assim, os teoremas de Menelau e Ceva estão entre as construções mais comuns: o primeiro considera um triângulo, cujos lados ou extensões dos lados são cruzados por alguma linha (secante), o segundo é sobre um triângulo e três linhas que passam por seus vértices, interceptando-se em um ponto. Teorema de Menelau Este teorema das relações observadas (junto com as inversas) mostra segmentos, regularidade, conectando os vértices de um determinado triângulo e os pontos de interseção da secante com os lados (extensões dos lados) do triângulo. Os desenhos mostram dois casos possíveis de localização do triângulo e da secante. No primeiro caso, a secante intercepta dois lados do triângulo e a continuação do terceiro, no segundo - a continuação dos três lados do triângulo. Teorema 1. (Menelau) Seja ABC interceptado por uma reta não paralela ao lado AB e interceptando seus dois lados AC e BC, respectivamente, nos pontos B1 e A1, e a reta AB no ponto C1, então AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Teorema 2. (Converse com o teorema de Menelau) Sejam os pontos A1, B1, C1 no triângulo ABC pertencentes às linhas BC, AC, AB, respectivamente, então se AB1 CA1 BC1   1 B1C A1B C1 A , então os pontos A1, B1, C1 estão em uma linha reta. A prova do primeiro teorema pode ser realizada da seguinte forma: as perpendiculares de todos os vértices do triângulo são rebaixadas para a linha secante. O resultado são três pares de triângulos retângulos semelhantes. As razões dos segmentos que aparecem na formulação do teorema são substituídas pelas razões das perpendiculares que lhes correspondem em similaridade. Acontece que cada segmento - uma perpendicular em frações estará presente duas vezes: uma vez em uma fração no numerador, a segunda vez, em outra fração, no denominador. Assim, o produto de todas essas razões será igual a um. O teorema inverso é provado pelo método "por contradição". Supõe-se que nas condições do Teorema 2 os pontos A1, B1, C1 não estão em uma linha reta. Então a linha A1B1 cruzará o lado AB no ponto C2, diferente do ponto C1. Neste caso, em virtude do Teorema 1, valerá para os pontos A1, B1, C2 a mesma relação que para os pontos A1, B1, C1. A partir disso, segue-se que os pontos C1 e C2 dividirão o segmento AB em proporções iguais. Então esses pontos coincidem - temos uma contradição. Considere exemplos da aplicação do teorema de Menelau. Exemplo 1. Prove que as medianas de um triângulo no ponto de interseção são divisíveis por uma razão de 2:1 contando do vértice. Solução. Vamos anotar a razão obtida no teorema Menelau para o triângulo ABMb e a reta McM(C): AM c BM M bC    1. M c B MM b CA A primeira fração deste produto é obviamente igual a 1, e a razão do terceiro segundo é igual a 1 . Portanto, 2 2:1, que deveria ser provado. Exemplo 2. A secante intercepta a extensão do lado AC do triângulo ABC no ponto B1 de modo que o ponto C é o ponto médio do segmento AB1. O lado AB é cortado ao meio por esta secante. Encontre a razão na qual ele divide o lado BC? Solução. Vamos escrever para o triângulo e a secante o produto de três razões do teorema de Menelau: AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Segue-se das condições do problema que a primeira razão é igual a um, e o terceiro 1 , 2 assim, a segunda razão é igual a 2, ou seja, a secante divide o lado BC na razão de 2:1. Encontraremos o seguinte exemplo de aplicação do teorema de Menelau quando considerarmos a prova do teorema de Ceva. Teorema de Ceva A maioria dos pontos notáveis de um triângulo pode ser obtida usando o seguinte procedimento. Que haja alguma regra segundo a qual podemos escolher um certo ponto A1, no lado BC (ou sua extensão) do triângulo ABC (por exemplo, escolhemos o ponto médio deste lado). Em seguida, construímos pontos semelhantes B1, C1 nos outros dois lados do triângulo (no nosso exemplo, existem mais dois pontos médios dos lados). Se a regra de seleção for bem-sucedida, as linhas AA1, BB1, CC1 se cruzam em algum ponto Z (a escolha dos pontos médios dos lados é, obviamente, bem-sucedida nesse sentido, pois as medianas do triângulo se cruzam em um ponto) . Eu gostaria de ter algum método geral que nos permitisse determinar, a partir da posição dos pontos nos lados de um triângulo, se o correspondente triplo de linhas se cruzam em um ponto ou não. A condição universal que “fechou” esse problema foi encontrada em 1678 pelo engenheiro italiano Giovanni Ceva. Definição. Os segmentos que conectam os vértices de um triângulo com pontos em lados opostos (ou suas extensões) são chamados cevianos se eles se interceptam em um ponto. Existem duas opções para a localização do cevian. Em uma modalidade, o ponto de interseção é interno e as extremidades das cevianas ficam nas laterais do triângulo. Na segunda versão, o ponto de interseção é externo, a extremidade de uma ceviana fica na lateral e as pontas das outras duas cevianas ficam nas extensões dos lados (ver desenhos). Teorema 3. (Teorema direto de Ceva) Em um triângulo arbitrário ABC nos lados BC, CA, AB ou suas extensões, os pontos A1, B1, C1 são tomados, respectivamente, de modo que as linhas AA1, BB1, CC1 se cruzam em algum ponto comum , então BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 . Prova: São conhecidas várias provas originais do teorema de Ceva, vamos considerar uma prova baseada em uma dupla aplicação do teorema de Menelau. Vamos escrever a relação do teorema de Menelau pela primeira vez para o triângulo ABB1 e a secante CC1 (denominamos o ponto de interseção Cevian por Z): AC1 BZ B1C    1, C1B ZB1 CA e a segunda vez para o triângulo B1BC e a secante AA1: B1Z BA1 CA    1. ZB A1C AB1 Multiplicando essas duas relações e fazendo as reduções necessárias, obtemos a relação contida no enunciado do teorema. Teorema 4. (Teorema de Ceva Inverso). Se para os pontos A1, B1 e C1 escolhidos nos lados do triângulo ABC ou suas extensões, a condição Ceva é satisfeita: BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 , então as linhas AA1, BB1 e CC1 se interceptam em um ponto . A prova deste teorema é feita por contradição, assim como a prova do teorema de Menelau. Consideremos exemplos de aplicação dos teoremas direto e inverso de Ceva. Exemplo 3. Prove que as medianas de um triângulo se interceptam em um ponto. Solução. Considere a relação AC1 BA1 CB1   C1B A1C B1 A para os vértices de um triângulo e os pontos médios de seus lados. Obviamente, em cada fração no numerador e no denominador existem segmentos iguais, portanto todas essas frações são iguais a um. Portanto, a relação Ceva é satisfeita, portanto, pelo teorema inverso, as medianas se cruzam em um ponto. Tarefas para solução independente As tarefas aqui propostas são o trabalho de controle nº 1 para alunos do 9º ano. Resolva esses problemas, anote as soluções em um caderno separado (de física e ciência da computação). Indique as seguintes informações sobre você na capa: 1. Sobrenome, nome, turma, perfil da turma (por exemplo: Vasily Pupkin, 9ª série, matemática) 2. CEP, endereço residencial, e-mail (se houver), número de telefone (residencial ou celular) 3. Dados sobre a escola (por exemplo: MBOU No. 1 p. Bikin) 4. Sobrenome, nome do professor de matemática (por exemplo: professor de matemática Petrova M.I.) Recomenda-se resolver pelo menos quatro problemas. M 9.1.1. A reta secante do teorema de Menelau pode cortar os lados de um triângulo (ou suas extensões) em segmentos de comprimento: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10 Se tais opções forem possíveis, dê exemplos. Os segmentos podem ir em uma ordem diferente. M 9.1.2. As cevianas interiores de um triângulo podem dividir seus lados em segmentos: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10 Se tais opções forem possíveis, dê exemplos. Os segmentos podem ir em uma ordem diferente. Dica: Ao pensar em exemplos, não se esqueça de verificar se o triângulo não é igual. M 9.1.3. Usando o teorema de Ceva inverso, prove que: a) as bissetrizes de um triângulo se interceptam em um ponto; b) os segmentos que ligam os vértices do triângulo com pontos em lados opostos, nos quais esses lados tocam o círculo inscrito, se cruzam em um ponto. Instruções: a) lembre-se em que sentido a bissetriz divide o lado oposto; b) usar a propriedade de que os segmentos de duas tangentes traçadas de um ponto a algum círculo são iguais. M 9.1.4. Complete a prova do teorema de Menelau iniciada na primeira parte do artigo. M 9.1.5. Prove que as alturas de um triângulo se cruzam em um ponto usando o teorema inverso de Ceva. M 9.1.6. Prove o teorema de Simpson: de um ponto arbitrário M tomado no círculo circunscrito ao triângulo ABC, as perpendiculares são lançadas aos lados ou extensões dos lados do triângulo, prove que as bases dessas perpendiculares estão na mesma linha reta. Dica: use o teorema inverso de Menelau. Tente expressar os comprimentos dos segmentos usados na relação em termos dos comprimentos das perpendiculares traçadas a partir do ponto M. Também é útil recordar as propriedades dos ângulos de um quadrilátero inscrito.