Tarefa #1
A lógica é simples: faremos como antes, apesar do fato de que as funções trigonométricas agora têm um argumento mais complexo!
Se fôssemos resolver uma equação da forma:
Então escreveríamos a seguinte resposta:
Ou (porque)
Mas agora estamos jogando a seguinte expressão:
Então você pode escrever:
Nosso objetivo com você é fazer com que você fique à esquerda simplesmente, sem nenhuma "impureza"!
Vamos nos livrar deles!
Primeiro, remova o denominador em: para fazer isso, multiplique nossa igualdade por:
Agora nos livramos dividindo as duas partes por ele:
Agora vamos nos livrar do oito:
A expressão resultante pode ser escrita como 2 séries de soluções (por analogia com uma equação quadrática, onde adicionamos ou subtraímos o discriminante)
Precisamos encontrar a maior raiz negativa! É claro que é necessário resolver.
Vejamos primeiro a primeira série:
É claro que se pegarmos, como resultado obteremos números positivos, mas não estamos interessados \u200b\u200bneles.
Portanto, deve ser considerado negativo. Deixe ser.
Quando a raiz já estará:
E precisamos encontrar o maior negativo!! Portanto, seguir na direção negativa aqui não faz mais sentido. E a maior raiz negativa desta série será igual.
Agora considere a segunda série:
E novamente substituímos: , então:
Não interessado!
Então não faz mais sentido aumentá-lo! Vamos reduzir! Vamos então:
Encaixa!
Deixe ser. Então
Então - a maior raiz negativa!
Responder:
Tarefa #2
Novamente, resolvemos, independentemente do argumento do cosseno complexo:
Agora expressamos novamente à esquerda:
Multiplique ambos os lados por
Divida os dois lados
Tudo o que resta é movê-lo para a direita, mudando seu sinal de menos para mais.
Novamente obtemos 2 séries de raízes, uma com e outra com.
Precisamos encontrar a maior raiz negativa. Considere a primeira série:
É claro que vamos obter a primeira raiz negativa em, ela será igual e será a maior raiz negativa da série 1.
Para a segunda série
A primeira raiz negativa também será obtida em e será igual a. Desde então, é a maior raiz negativa da equação.
Responder: .
Tarefa #3
Nós decidimos, independentemente do argumento complexo da tangente.
Isso parece não ser nada complicado, certo?
Como antes, expressamos no lado esquerdo:
Bem, isso é ótimo, geralmente há apenas uma série de raízes! Novamente, encontre o maior negativo.
É claro que acontece se colocarmos . E esta raiz é igual.
Responder:
Agora tente resolver os seguintes problemas por conta própria.
Dever de casa ou 3 tarefas para solução independente.
- Equação de Re-shi-te.
- Equação de Re-shi-te.
Em from-ve-te on-pi-shi-te, a menor raiz in-lo-zhi-tel-ny. - Equação de Re-shi-te.
Em from-ve-te on-pi-shi-te, a menor raiz in-lo-zhi-tel-ny.
Preparar? Nós verificamos. Não vou descrever em detalhes todo o algoritmo de solução, parece-me que já foi dada atenção suficiente a ele acima.
Bem, está tudo bem? Oh, esses seios nojentos, sempre há alguns problemas com eles!
Bem, agora você pode resolver as equações trigonométricas mais simples!
Confira as soluções e respostas:
Tarefa #1
Expressar
A menor raiz positiva é obtida se colocarmos, desde, então
Responder:
Tarefa #2
A menor raiz positiva será obtida em.
Ele será igual.
Responder: .
Tarefa #3
Quando chegarmos, quando tivermos.
Responder: .
Esse conhecimento o ajudará a resolver muitos dos problemas que você enfrentará no exame.
Se estás a candidatar-te a uma classificação "5", então só precisas de proceder à leitura do artigo para nível médio, que será dedicado à resolução de equações trigonométricas mais complexas (tarefa C1).
NÍVEL MÉDIO
Neste artigo vou descrever solução de equações trigonométricas de um tipo mais complexo e como selecionar suas raízes. Aqui vou focar nos seguintes tópicos:
- Equações trigonométricas para nível de entrada (ver acima).
Equações trigonométricas mais complexas são a base de problemas de maior complexidade. Eles exigem resolver a própria equação na forma geral e encontrar as raízes dessa equação que pertencem a algum intervalo dado.
A solução de equações trigonométricas é reduzida a duas subtarefas:
- solução de equação
- Seleção raiz
Deve-se notar que o segundo nem sempre é necessário, mas ainda na maioria dos exemplos é necessário fazer uma seleção. E se não for necessário, você pode simpatizar - isso significa que a equação em si é bastante complicada.
Minha experiência com a análise de tarefas C1 mostra que elas geralmente são divididas nas seguintes categorias.
Quatro categorias de tarefas de maior complexidade (anteriormente C1)
- Equações que reduzem à fatoração.
- Equações que se reduzem à forma.
- Equações Resolvidas por Mudança de Variável.
- Equações que requerem seleção adicional de raízes devido à irracionalidade ou denominador.
Simplificando: se você conseguir um dos três primeiros tipos de equações então considere-se com sorte. Para eles, por via de regra, além disso é necessário selecionar as raízes pertencentes a certo intervalo.
Se você se deparar com uma equação do tipo 4, terá menos sorte: precisará mexer nela por mais tempo e com mais cuidado, mas muitas vezes não requer seleção adicional de raízes. No entanto, analisarei este tipo de equações no próximo artigo, e dedicarei este a resolver equações dos três primeiros tipos.
Equações Reduzindo à Fatoração
A coisa mais importante que você precisa lembrar para resolver equações desse tipo é
Como mostra a prática, via de regra, esse conhecimento é suficiente. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1. Uma equação que reduz à fatoração usando as fórmulas de redução e o seno de um ângulo duplo
- equação de re-shi-te
- Encontre-di-essas todas as raízes desta equação
Aqui, como prometi, as fórmulas de elenco funcionam:
Então minha equação ficará assim:
Então minha equação terá a seguinte forma:
Um aluno míope pode dizer: e agora vou reduzir as duas partes, pegar a equação mais simples e aproveitar a vida! E ele estará amargamente enganado!
| LEMBRE-SE: NUNCA REDUZA AMBAS AS PARTES DE UMA EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA PARA UMA FUNÇÃO CONTENDO O DESCONHECIDO! DESSA FORMA, VOCÊ PERDE RAIZ! |
Então o que fazer? Sim, tudo é simples, transfira tudo em uma direção e tire o fator comum:
Bem, nós fatoramos, viva! Agora decidimos:
A primeira equação tem raízes:
E o segundo:
Isso completa a primeira parte do problema. Agora precisamos selecionar as raízes:
A lacuna é assim:
Ou também pode ser escrito assim:
Bem, vamos tirar as raízes:
Primeiro, vamos trabalhar com a primeira série (e é mais fácil, para dizer o mínimo!)
Como nosso intervalo é totalmente negativo, não há necessidade de tomar os não negativos, eles ainda darão raízes não negativas.
Vamos pegar então - um pouco demais, não cabe.
Deixe, então - novamente não atingiu.
Mais uma tentativa - então - lá, acerte! Primeira raiz encontrada!
Eu atiro de novo: então - acerte de novo!
Bem, mais uma vez: - isso já é um vôo.
Assim, da primeira série, 2 raízes pertencem ao intervalo: .
Estamos trabalhando com a segunda série (estamos construindo a uma potência de acordo com a regra):
Undershoot!
Faltando de novo!
Novamente déficit!
Entendi!
Voo!
Assim, as seguintes raízes pertencem ao meu span:
Usaremos esse algoritmo para resolver todos os outros exemplos. Vamos praticar mais um exemplo juntos.
Exemplo 2. Uma equação que reduz à fatoração usando fórmulas de redução
- Resolva a equação
Solução:
Mais uma vez as notórias fórmulas do elenco:
Novamente, não tente cortar!
A primeira equação tem raízes:
E o segundo:
Agora novamente a busca pelas raízes.
Vou começar com a segunda série, já sei tudo sobre ela do exemplo anterior! Observe e certifique-se de que as raízes pertencentes à lacuna são as seguintes:
Agora a primeira série e é mais simples:
Se - adequado
Se - também bom
Se - já voo.
Então as raízes serão:
Trabalho independente. 3 equações.
Bem, você entende a técnica? Resolver equações trigonométricas não parece mais tão difícil? Em seguida, resolva rapidamente os seguintes problemas e, em seguida, você e eu resolveremos outros exemplos:
- Resolva a equação
Encontre todas as raízes desta equação que estão ligadas à lacuna. - equação de re-shi-te
Indique as raízes da equação, que estão anexadas ao corte - equação de re-shi-te
Encontre-di-aquelas todas as raízes desta equação, at-acima-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
Equação 1
E novamente a fórmula de fundição:
Primeira série de raízes:
Segunda série de raízes:
Iniciamos a seleção para o intervalo
Responder: , .
Equação 2 Verificação de trabalho independente.
Agrupamento bastante complicado em fatores (vou usar a fórmula para o seno de um ângulo duplo):
então ou
Esta é uma solução geral. Agora precisamos pegar as raízes. O problema é que não podemos dizer o valor exato de um ângulo cujo cosseno é igual a um quarto. Portanto, não posso simplesmente me livrar do arccosine - que incômodo!
O que posso fazer é descobrir isso desde então.
Vamos fazer uma tabela: intervalo:
Bem, por meio de pesquisas dolorosas, chegamos à decepcionante conclusão de que nossa equação tem uma raiz no intervalo indicado: \displaystyle arcos\frac(1)(4)-5\pi
Equação 3. Verificação de trabalho independente.
Uma equação assustadora. No entanto, é resolvido simplesmente aplicando a fórmula do seno de um ângulo duplo:
Vamos reduzi-lo em 2:
Agrupamos o primeiro termo com o segundo e o terceiro com o quarto e retiramos os fatores comuns:
É claro que a primeira equação não tem raízes, e agora considere a segunda:
Em geral, eu ia me debruçar sobre a resolução dessas equações um pouco mais tarde, mas como apareceu, não havia o que fazer, tínhamos que decidir ...
Equações da forma:
Esta equação é resolvida dividindo ambos os lados por:
Assim, nossa equação tem uma única série de raízes:
Você precisa encontrar aqueles que pertencem ao intervalo: .
Vamos construir a tabela novamente, como fiz antes:
Responder: .
Equações que se reduzem à forma:
Bem, agora é hora de passar para a segunda parte das equações, especialmente porque já deixei escapar em que consiste a solução do novo tipo de equações trigonométricas. Mas não será supérfluo repetir que a equação da forma
É resolvido dividindo ambas as partes pelo cosseno:
- equação de re-shi-te
Indique as raízes da equação que estão anexadas ao corte. - equação de re-shi-te
Indique as raízes da equação, at-acima-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
Exemplo 1
A primeira é bem simples. Mova para a direita e aplique a fórmula do cosseno de ângulo duplo:
Ah! Equação do tipo: . Eu divido as duas partes em
Fazemos eliminação de raízes:
Brecha:
Responder:
Exemplo 2
Tudo também é bastante trivial: vamos abrir os colchetes à direita:
Identidade trigonométrica básica:
Seno de um ângulo duplo:
Finalmente obtemos:
Triagem de raízes: gap.
Responder: .
Bem, você gosta da técnica, não é muito complicada? Espero que não. Podemos fazer imediatamente uma reserva: em sua forma pura, as equações que se reduzem imediatamente a uma equação para a tangente são bastante raras. Normalmente, essa transição (divisão por cosseno) é apenas parte de um problema maior. Aqui está um exemplo para você praticar:
- equação de re-shi-te
- Encontre-di-aquelas todas as raízes desta equação, em-acima-le-zha-schie de corte.
Vamos checar:
A equação é resolvida imediatamente, basta dividir as duas partes por:
Peneiramento de raízes:
Responder: .
De uma forma ou de outra, ainda não encontramos equações do tipo que acabamos de discutir. Porém, ainda é cedo para encerrarmos: há mais uma "camada" de equações que não analisamos. Então:
Solução de equações trigonométricas por mudança de variável
Aqui tudo é transparente: olhamos bem a equação, simplificamos o máximo possível, fazemos uma substituição, resolvemos, fazemos uma substituição inversa! Em palavras, tudo é muito fácil. Vamos vê-lo em ação:
Exemplo.
- Resolva a equação: .
- Encontre-di-aquelas todas as raízes desta equação, em-acima-le-zha-schie de corte.
Bem, aqui a própria substituição se sugere em nossas mãos!
Então nossa equação se torna esta:
A primeira equação tem raízes:
E a segunda é assim:
Agora vamos encontrar as raízes que pertencem ao intervalo
Responder: .
Vejamos juntos um exemplo um pouco mais complexo:
- equação de re-shi-te
- Indique as raízes da equação dada, at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
Aqui a substituição não é imediatamente visível, além disso, não é muito óbvia. Vamos pensar primeiro: o que podemos fazer?
Podemos, por exemplo, imaginar
E ao mesmo tempo
Então minha equação se torna:
E agora atenção, foco:
Vamos dividir os dois lados da equação em:
De repente, você e eu temos uma equação quadrática para! Vamos fazer uma substituição, então obtemos:
A equação tem as seguintes raízes:
Uma desagradável segunda série de raízes, mas não há nada a ser feito! Fazemos uma seleção de raízes no intervalo.
Também precisamos levar em conta que
desde então
Responder:
Para consolidar, antes de você mesmo resolver os problemas, aqui vai mais um exercício para você:
- equação de re-shi-te
- Encontre-di-aquelas todas as raízes desta equação, at-acima-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
Aqui você precisa ficar de olho: temos denominadores que podem ser zero! Portanto, você precisa estar especialmente atento às raízes!
Em primeiro lugar, preciso transformar a equação para poder fazer uma substituição adequada. Não consigo pensar em nada melhor agora do que reescrever a tangente em termos de seno e cosseno:
Agora irei de cosseno para seno de acordo com a identidade trigonométrica básica:
E por fim, trarei tudo para um denominador comum:
Agora posso ir para a equação:
Mas em (ou seja, em).
Agora tudo está pronto para substituição:
Qualquer então
No entanto, observe que se, então ao mesmo tempo!
Quem sofre com isso? O problema é com a tangente, ela não é definida quando o cosseno é zero (ocorre divisão por zero).
Então as raízes da equação são:
Agora filtramos as raízes no intervalo:
| - encaixa | |
| - procurar |
Assim, nossa equação tem uma única raiz no intervalo e é igual.
Você vê: a aparência do denominador (assim como a tangente, leva a certas dificuldades com as raízes! Você precisa ter mais cuidado aqui!).
Bem, você e eu quase terminamos a análise das equações trigonométricas, resta muito pouco - para resolver dois problemas por conta própria. Aqui estão eles.
- Resolva a equação
Encontre-di-aquelas todas as raízes desta equação, em-acima-le-zha-schie de corte. - equação de re-shi-te
Indique as raízes desta equação, que estão anexadas ao corte.
Decidiu? Não é muito difícil? Vamos checar:
- Trabalhamos de acordo com as fórmulas de redução:
Substituímos na equação:
Vamos reescrever tudo em termos de cossenos, para que seja mais conveniente fazer a substituição:
Agora é fácil fazer a substituição:
É claro que é uma raiz estranha, pois a equação não tem soluções. Então:
Estamos procurando as raízes que precisamos no intervalo
Responder: .
Aqui a substituição é imediatamente visível:Qualquer então
- encaixa! - encaixa! - encaixa! - encaixa! - um monte de! - também muito! Responder:
Bem, agora tudo! Mas a solução de equações trigonométricas não para por aí, deixamos para trás os casos mais difíceis: quando há irracionalidade ou vários tipos de “denominadores complexos” nas equações. Como resolver essas tarefas, consideraremos em um artigo para um nível avançado.
NÍVEL AVANÇADO
Além das equações trigonométricas consideradas nos dois artigos anteriores, consideramos outra classe de equações que requer uma análise ainda mais cuidadosa. Esses exemplos trigonométricos contêm uma irracionalidade ou um denominador, o que torna sua análise mais difícil.. No entanto, você pode encontrar essas equações na Parte C da prova. No entanto, há um lado positivo: para tais equações, via de regra, a questão de qual de suas raízes pertence a um determinado intervalo não é mais levantada. Não vamos rodeios, mas apenas exemplos trigonométricos.
Exemplo 1
Resolva a equação e encontre as raízes que pertencem ao segmento.
Solução:
Temos um denominador que não deve ser igual a zero! Então resolver esta equação é o mesmo que resolver o sistema
Vamos resolver cada uma das equações:
E agora o segundo:
Agora vamos ver a série:
É claro que a opção não nos convém, pois neste caso o denominador é zero (veja a fórmula das raízes da segunda equação)
Se - então tudo está em ordem e o denominador não é igual a zero! Então as raízes da equação são: , .
Agora selecionamos as raízes pertencentes ao intervalo.
| - não apropriado | - encaixa | |
| - encaixa | - encaixa | |
| enumeração | enumeração |
Então as raízes são:
Veja bem, mesmo o aparecimento de uma pequena interferência na forma de um denominador afetou significativamente a solução da equação: descartamos uma série de raízes que anulam o denominador. As coisas podem ficar ainda mais complicadas se você encontrar exemplos trigonométricos que tenham irracionalidade.
Exemplo 2
Resolva a equação:
Solução:
Bem, pelo menos você não precisa selecionar as raízes, e isso é bom! Vamos resolver a equação primeiro, independentemente da irracionalidade:
E o que, isso é tudo? Não, infelizmente, isso seria muito fácil! Deve ser lembrado que apenas números não negativos podem ficar sob a raiz. Então:
Solução dessa desigualdade:
Agora resta descobrir se uma parte das raízes da primeira equação não caiu inadvertidamente em um lugar onde a desigualdade não é válida.
Para fazer isso, você pode usar novamente a tabela:
| : , Mas | Não! | |
| Sim! | ||
| Sim! |
Assim, uma das raízes “caiu” para mim! Acontece que se você colocar . Então a resposta pode ser escrita da seguinte forma:
Responder:
Você vê, a raiz requer ainda mais atenção! Vamos complicar: vamos agora ter uma função trigonométrica sob a raiz.
Exemplo 3
Como antes: primeiro resolveremos cada um separadamente e depois pensaremos no que fizemos.
Agora a segunda equação:
Agora o mais difícil é descobrir se valores negativos são obtidos sob a raiz aritmética se substituirmos as raízes da primeira equação aí:
O número deve ser entendido como radianos. Como um radiano é cerca de graus, radianos são cerca de graus. Este é o canto do segundo trimestre. Qual é o sinal do cosseno do segundo quarto? Menos. E o seno? Mais. E a expressão:
É menos que zero!
Então - não é a raiz da equação.
Agora vire.
Vamos comparar esse número com zero.
A cotangente é uma função decrescente em 1 trimestre (quanto menor o argumento, maior a cotangente). radianos são cerca de graus. Ao mesmo tempo
desde então, e portanto
,
Responder: .
Poderia ser ainda mais difícil? Por favor! Será mais difícil se a raiz ainda for uma função trigonométrica e a segunda parte da equação for novamente uma função trigonométrica.
Quanto mais exemplos trigonométricos melhor, procure mais:
Exemplo 4
A raiz não é adequada, devido ao cosseno limitado
Agora a segunda:
Ao mesmo tempo, por definição da raiz:
Devemos nos lembrar do círculo unitário: ou seja, aqueles quartos onde o seno é menor que zero. O que são esses quartos? Terceiro e quarto. Então estaremos interessados nas soluções da primeira equação que estão no terceiro ou quarto quadrante.
A primeira série dá raízes situadas na interseção do terceiro e quarto trimestres. A segunda série é diametralmente oposta a ela e dá origem a raízes situadas na fronteira do primeiro e segundo trimestres. Portanto, esta série não nos convém.
Responder: ,
E de novo exemplos trigonométricos com "difícil irracionalidade". Não apenas temos novamente uma função trigonométrica sob a raiz, mas agora ela também está no denominador!
Exemplo 5
Bem, não há nada a ser feito - agimos como antes.
Agora trabalhamos com o denominador:
Não quero resolver a inequação trigonométrica e, portanto, farei algo complicado: pegarei e substituirei minha série de raízes na inequação:
Se for par, temos:
desde então, todos os ângulos de visão estão no quarto trimestre. E novamente a questão sagrada: qual é o sinal do seno no quarto trimestre? Negativo. Então a desigualdade
Se for ímpar, então:
Em que quarto está o ângulo? Este é o canto do segundo trimestre. Então todos os cantos são novamente os cantos do segundo tempo. O seno é positivo. Apenas o que você precisa! Então a série é:
Encaixa!
Lidamos com a segunda série de raízes da mesma forma:
Substituindo na nossa desigualdade:
Se for par, então
Cantos do primeiro quarto. O seno é positivo aí, então a série é adequada. Agora se é ímpar, então:
serve também!
Bem, agora anotamos a resposta!
Responder:
Bem, este foi talvez o caso mais trabalhoso. Agora eu ofereço tarefas para solução independente.
Treinamento
- Resolva e encontre todas as raízes da equação que pertencem ao segmento.
Soluções:
Primeira equação:
ou
Raiz ODZ:Segunda equação:
Seleção de raízes que pertencem ao intervalo
Responder:
Ou
ou
Mas
Considere: . Se for par, então
- não serve!
Se - ímpar, : - serve!
Portanto, nossa equação tem a seguinte série de raízes:
ou
Seleção de raízes no intervalo:
| - não apropriado | - encaixa | |
| - encaixa | - um monte de | |
| - encaixa | um monte de |
Responder: , .
Ou
Desde, então quando a tangente não está definida. Descarte imediatamente esta série de raízes!
Segunda parte:
Ao mesmo tempo, a ODZ exige que
Verificamos as raízes encontradas na primeira equação:
Se assinar:
Ângulos do primeiro trimestre, onde a tangente é positiva. Não apropriado!
Se assinar:
Canto do quarto quarto. Aí a tangente é negativa. Encaixa. Anote a resposta:
Responder: , .
Nós dividimos exemplos trigonométricos complexos juntos neste artigo, mas você deve ser capaz de resolver as equações sozinho.
RESUMO E FÓRMULA BÁSICA
Uma equação trigonométrica é uma equação na qual a incógnita está estritamente sob o sinal da função trigonométrica.
Existem duas maneiras de resolver equações trigonométricas:
A primeira maneira é usando fórmulas.
A segunda maneira é através de um círculo trigonométrico.
Permite medir ângulos, encontrar seus senos, cossenos e muito mais.
Muitas vezes, em tarefas de maior complexidade, há equações trigonométricas contendo módulo. A maioria deles requer uma abordagem heurística para a solução, que não é familiar para a maioria dos alunos.
As tarefas abaixo destinam-se a apresentá-lo aos métodos mais comuns para resolver equações trigonométricas contendo um módulo.
Problema 1. Encontre a diferença (em graus) entre as menores raízes positivas e as maiores raízes negativas da equação 1 + 2sin x · |cos x| = 0.
Solução.
Vamos expandir o módulo:
1) Se cos x ≥ 0, então a equação original terá a forma 1 + 2sin x cos x = 0.
Usamos a fórmula para o seno de um ângulo duplo, obtemos:
1 + sen2x = 0; sen2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Como cos x ≥ 0, então x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Se cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – sen2x = 0; sen2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n ∈ Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Como cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) A maior raiz negativa da equação: -π / 4; menor raiz positiva da equação: 5π/4.
Diferença desejada: 5π/4 - (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Resposta: 270°.
Problema 2. Encontre (em graus) a menor raiz positiva da equação |tg x| + 1/cos x = tg x.
Solução.
Vamos expandir o módulo:
1) Se tg x ≥ 0, então
tg x + 1/cos x = tg x;
Não há raízes na equação resultante.
2) Se tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x - 2sen x / cos x = 0;
(1 – 2sen x) / cos x = 0;
1 – 2sen x = 0 e cos x ≠ 0.
Usando a Figura 1 e a condição tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) A menor raiz positiva da equação 5π/6. Converta este valor para graus:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Resposta: 150°.
Tarefa 3. Encontre o número de diferentes raízes da equação sen |2x| = cos 2x no intervalo [-π/2; π/2].
Solução.
Vamos escrever a equação como sin|2x| – cos 2x = 0 e considere a função y = sin |2x| – cos 2x. Como a função é par, encontramos seus zeros para x ≥ 0.
sen 2x – cos 2x = 0; dividimos ambos os lados da equação por cos 2x ≠ 0, obtemos:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n ∈ Z;
x = π/8 + πn/2, n ∈ Z.
Usando a paridade da função, obtemos que as raízes da equação original são números da forma
± (π/8 + πn/2), onde n ∈ Z.
O intervalo [-π/2; π/2] números pertencem: -π/8; π/8.
Portanto, as duas raízes da equação pertencem ao intervalo dado.
Resposta: 2.
Essa equação também pode ser resolvida expandindo o módulo.
Tarefa 4. Encontre o número de raízes da equação sen x - (|2cos x - 1|) / (2cos x - 1) sen 2 x = sen 2 x no intervalo [-π; 2π].
Solução.
1) Considere o caso em que 2cos x – 1 > 0, ou seja, cos x > 1/2, então a equação se torna:
sen x - sen 2 x \u003d sen 2 x;
sen x - 2 sen 2 x \u003d 0;
senx(1 - 2sinx) = 0;
senx = 0 ou 1 - 2sinx = 0;
sen x = 0 ou sen x = 1/2.
Usando a Figura 2 e a condição cos x > 1/2, encontramos as raízes da equação:
x = π/6 + 2πn ou x = 2πn, n € Z.
2) Considere o caso em que 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
sen x + sen 2 x = sen 2 x;
x = 2πn, n ∈ Z.
Usando a Figura 2 e a condição cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Combinando os dois casos, obtemos:
x = π/6 + 2πn ou x = πn.
3) O intervalo [-π; 2π] pertencem às raízes: π/6; -π; 0; π; 2π.
Assim, cinco raízes da equação pertencem ao intervalo dado.
Resposta: 5.
Tarefa 5. Encontre o número de raízes da equação (x - 0,7) 2 |sin x| + sen x = 0 no intervalo [-π; 2π].
Solução.
1) Se sen x ≥ 0, então a equação original assume a forma (x - 0,7) 2 sen x + sen x = 0. Depois de retirar o fator comum sen x dos colchetes, obtemos:
sen x((x - 0,7) 2 + 1) = 0; uma vez que (x - 0,7) 2 + 1 > 0 para todo x real, então senx = 0, ou seja, x = πn, n ∈ Z.
2) Se sen x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sen x((x - 0,7) 2 - 1) = 0;
sinx \u003d 0 ou (x - 0,7) 2 + 1 \u003d 0. Como sen x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x - 0,7 \u003d 1 ou x - 0,7 \u003d -1, o que significa x \u003d 1,7 ou x \u003d -0,3.
Levando em consideração a condição senx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0 significa apenas que o número -0,3 é a raiz da equação original.
3) O intervalo [-π; 2π] pertencem aos números: -π; 0; π; 2π; -0,3.
Assim, a equação tem cinco raízes em um determinado intervalo.
Resposta: 5.
Você pode se preparar para aulas ou exames com a ajuda de vários recursos educacionais disponíveis na rede. No momento, qualquer um 
uma pessoa simplesmente precisa usar novas tecnologias de informação, porque sua aplicação correta e, o mais importante, adequada aumentará a motivação para estudar o assunto, aumentará o interesse e ajudará a assimilar melhor o material necessário. Mas não se esqueça que o computador não ensina a pensar, as informações recebidas devem ser processadas, compreendidas e memorizadas. Portanto, você pode buscar a ajuda de nossos tutores online que o ajudarão a lidar com a solução dos problemas que lhe interessam.
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