Установим основные свойства параболы. Рассечем прямой круговой конус с вершиной S плоскостью, параллельной одной из его образующих. В сечении получим параболу. Проведем через ось ST конуса плоскость АSB, перпендикулярную к плоскости (рис. 11). Образующая SА, лежащая в ней, будет параллельна плоскости. Впишем в конус шаровую поверхность, касающуюся конуса по окружности UV и касающуюся плоскости в точке F. Проведем через точку F прямую, параллельную образующей SA. Обозначим точку ее пересечения с образующей SB через P. Точка F называется фокусом параболы, точка Р - ее вершиной, а прямая РF, проходящая через вершину и фокус (и параллельная образующей SA), называется осью параболы. Второй вершины - точки пересечения оси РF с образующей SA у параболы не будет: эта точка «уходит в бесконечность». Назовем директрисой (в переводе значит «направляющая») линию q 1 q 2 пересечения плоскости с плоскостью, в которой лежит окружность UV. Возьмем на параболе произвольную точку М и соединим ее с вершиной конуса S. Прямая МS коснется шара в точке D, лежащей на окружности UV. Соединим точку М с фокусом F и опустим из точки М перпендикуляр МК на директрису. Тогда оказывается, что расстояния произвольной точки М параболы до фокуса (МF) и до директрисы (МК) равны друг другу (основное свойство параболы), т.е. МF=МК.
Доказательство: МF=MD (как касательные к шару из одной точки). Обозначим угол между любой из образующих конуса и осью ST через ц. Спроектируем отрезки МD и МК на ось ST. Отрезок MD образует проекцию на ось ST, равную МDcosц, так как MD лежит на образующей конуса; отрезок МК образует проекцию на ось ST, равную МКсоsц, так как отрезок МК параллелен образующей SA. (Действительно, директриса q 1 q 1 перпендикулярна плоскости АSB. Следовательно, прямая РF пересекает директрису в точке L под прямым углом. Но прямые МК и РF лежат в одной плоскости, причем МК тоже перпендикулярна директрисе). Проекции обоих отрезков МК и МD на ось ST равны друг другу, так как один их конец - точка М - общий, а два других D и К лежат в плоскости, перпендикулярной оси ST (рис.). Тогда МDcosц= МКсоsц или МD= МК. Следовательно, МF=MK.
Свойство 1. (Фокальное свойство параболы).
Расстояние от любой точки параболы до середины главной хорды равно её расстоянию до директрисы.
Доказательство.
Точка F - точка пересечения прямой QR и главной хорды. Эта точка лежит на оси симметрии Оу. Действительно, треугольники RNQ и ROF равны, как прямоугольные
треугольники с раными катетами (NQ=OF, OR=RN). Поэтому какую бы точку N мы не взяли, построенная по ней прямая QR пересечёт главную хорду в её середине F. Теперь ясно, что треугольник FMQ - равнобедренный. Действительно, отрезок MR является одновременно и медианой и высотой этого треугольника. Отсюда следует, что MF=MQ.
Свойство 2. (Оптическое свойство параболы).
Всякая касательная к параболе составляет равные углы с фокальным радиусом, проведённым в точку касания, и лучом, прходящим из точки касания и сонаправленным с осью (или, лучи, выходящие из единственного фокуса, отражаясь от параболы, пойдут параллельно оси).
Доказательство. Для точки N, лежащей на самой параболе справедливо равенство |FN|=|NH|, а для точки N", лежащей во внутренней области параболы, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:
|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, то есть точка M" лежит во внешней области параболы. Итак, вся прямая l, кроме точки М, лежит во внешней области, то есть внутренняя область параболы лежит по одну сторону от l, а это означает, что l - касательная к параболе. Это даёт доказательство оптического свойства параболы: угол 1 равен углу 2, так как l - биссектриса угла FМК.
III уровень
3.1. Гипербола касается прямых 5x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y – – 48 = 0. Запишите уравнение гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.
3.2. Составьте уравнения касательных к гиперболе
1) проходящих через точку A (4, 1), B (5, 2) и C (5, 6);
2) параллельных прямой 10x – 3y + 9 = 0;
3) перпендикулярных прямой 10x – 3y + 9 = 0.
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
Параметры параболы:
Точка F (p /2, 0) называется фокусом параболы, величина p – параметром , точка О (0, 0) – вершиной . При этом прямая OF , относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.
 |
Величина 
где M
(x
, y
) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом
, прямая D
: x
= –p
/2 – директрисой
(она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина 
называется эксцентриситетом параболы.
Основное характеристическое свойство параболы : все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 24).
Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 25).:
 |
Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:
где t – произвольное действительное число.
Пример 1. Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению:
Решение. 1. Уравнение y 2 = –8x определяет параболу с вершиной в точке О Оx . Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y 2 = –2px , находим: 2p = 8, p = 4, p /2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F (–2; 0), уравнение директрисы D : x = 2 (рис. 26).
 |
2. Уравнение x 2 = –4y задает параболу с вершиной в точке O (0; 0), симметричную относительно оси Oy . Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x 2 = –2py , находим: 2p = 4, p = 2, p /2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F (0; –1), уравнение директрисы D : y = 1 (рис. 27).
Пример 2. Определить параметры и вид кривой x 2 + 8x – 16y – 32 = 0. Сделать чертеж.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:
x 2 + 8x – 16y – 32 =0;
(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;
(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;
(x + 4) 2 – 16(y + 3).
В результате получим
(x + 4) 2 = 16(y + 3).
Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх (), осью x = –4. Фокус находится в точке F (–4; –3 + p /2), т. е. F (–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p /2 или y = –7 (рис. 28).
Пример 4. Составить уравнение параболы с вершиной в точке V (3; –2) и фокусом в точке F (1; –2).
Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p /2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Значит, искомое уравнение
(y + 2) 2 = –2 · 4(x – 3) или (y + 2) 2 = = –8(x – 3).
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Определите параметры параболы и построить ее:
1) y 2 = 2x ; 2) y 2 = –3x ;
3) x 2 = 6y ; 4) x 2 = –y .
1.2. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:
1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и p = 4;
2) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку M (4; –2).
3) директриса задана уравнением 3y + 4 = 0.
1.3. Составьте уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки (2; 0) и прямой x = –2.
II уровень
2.1. Определить тип и параметры кривой.
Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)
Гипербола и её каноническое уравнение
Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса , здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».
Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….
У гиперболы две симметричные ветви.
Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:
Пример 4
Построить гиперболу, заданную уравнением
Решение
: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:
Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной
:
И только после этого провести сокращение:
Выделяем квадраты в знаменателях:
Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей
уже не обойтись:
Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :
Как построить гиперболу?
Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.
Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:
На практике часто встречается комбинация поворота на произвольный угол и параллельного переноса гиперболы. Данная ситуация рассматривается на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .
Парабола и её каноническое уравнение
Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться:
Пример 6
Построить параболу
Решение
: вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение 
определяет верхнюю дугу параболы, уравнение – нижнюю дугу.
В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» :
Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.
Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое
определение параболы:
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку .
Точка называется фокусом
параболы, прямая – директрисой
(пишется с одной «эс»)
параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром
, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением .
В нашем примере :
Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки параболы длина отрезка (расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра (расстоянию от точки до директрисы):
Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение.
Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси
Эксцентриситет любой параболы равен единице:
Поворот и параллельный перенос параболы
Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой.
! Примечание : как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях.
Функция вида , где называется квадратичной функцией .
График квадратичной функции – парабола .
Рассмотрим случаи:
I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА
То есть , ,
Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:
Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х (в данном случае шаг 1), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:
Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:
II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ
Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):
На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.
А при парабола «станет шире» параболы :
Давайте подитожим:
1) Знак коэффициента отвечает за направление ветвей. При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз.
2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше , тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола.
III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»
Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :
IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»
Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .
Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: , .
Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.
Например, вершина параболы :
Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.
При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:
1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .
2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.
3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, ), две ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) . В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.
Итак, давайте выработаем
Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде
1) определяем направление ветвей (а>0 – вверх, a<0 – вниз)
2) находим координаты вершины параболы по формуле , .
3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)
4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с
5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение
Пример 1
Пример 2
Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?
Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .
Например, . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).
Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.
Точка называется фокусом параболы, прямая - директрисой параболы, середина перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, - вершиной параболы, расстояние от фокуса до директрисы - параметром параболы, а расстояние от вершины параболы до ее фокуса - фокусным расстоянием (рис.3.45,а). Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок , соединяющий произвольную точку параболы с ее фокусом, называется фокальным радиусом точки . Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы.
Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице .
Геометрическое определение параболы, выражающее ее директориальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением параболы:
(3.51)
Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.45,6). Вершину параболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокус перпендикулярно директрисе, примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки к точке ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через вершину параболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат оказалась правой).
Составим уравнение параболы, используя ее геометрическое определение, выражающее директориальное свойство параболы. В выбранной системе координат определяем координаты фокуса и уравнение директрисы . Для произвольной точки , принадлежащей параболе, имеем:
где - ортогональная проекция точки на директрису. Записываем это уравнение в координатной форме:
Возводим
обе части уравнения в квадрат: 
.
Приводя подобные члены, получаем каноническое
уравнение параболы
т.е. выбранная система координат является канонической.
Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.51), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому параболой. Таким образом, аналитическое определение параболы эквивалентно его геометрическому определению, выражающему директориальное свойство параболы.
Приведем следующие свойства параболы:
Свойство 10.10.
Парабола имеет ось симметрии.
Доказательство
Переменная y входит в уравнение только во второй степени. Поэтому, если координаты точки M (x ; y) удовлетворяют уравнению параболы, то и координаты точки N (x ; – y) будут ему удовлетворять. Точка N симметрична точке M относительно оси Ox . Следовательно, ось Ox является осью симметрии параболы в канонической системе координат.
Ось симметрии называется осью параболы. Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Вершина параболы в канонической системе координат находится в начале координат.
Свойство 10.11.
Парабола расположена в полуплоскости x ≥ 0.
Доказательство
Действительно, так как параметр p положителен, то уравнению могут удовлетворять только точки с неотрицательными абциссами, то есть точки полуплоскости x ≥ 0.
При замене системы координат заданная в условии точка A с координатами будет иметь новые координаты, определяемые из соотношенийТаким образом, точка A будет иметь в канонической системе координатыДанную точкуназывают фокусом параболы и обозначают буквой F .
Прямая l , задаваемая в старой системе координат уравнением в новой системе координат будет иметь видили, опуская штриховку,
Данная прямая в канонической системе координат называется директрисой параболы. Расстояние от нее до фокуса называется фокальным параметромпараболы. Очевидно, он равен p . Эксцентриситет параболы по определению полагают равным единице, то есть ε = k = 1.
Теперь свойство, через которое мы определили параболу, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: любая точка параболы равноудалена от ее фокуса и директрисы.
Вид параболы в канонической системе координат и расположение ее директрисы приведены на рис. 10.10.1.
Рисунок
10.10.1.
|
Над
полем P, есть линейный оператор,
если
1) |
для
любых векторов2)
для
любого вектораи
любого.|
1)
Матрица линейного оператора:
Пусть
φ-Л.О. векторного пространства V над
полем P и один из базисов V:
|
4)
Ядро линейного оператора:
Пусть φ - Л.О. векторного пространства V над полем P и иЕслито λ - собственное значение- собственный вектор Л.О. φ, отвечающий λ.
Характеристическое
уравнение Л.О. φ:
Множество
собственных векторов, отвечающих
собственному значению λ: Л.О. вектороного пространства называются Л.О. с простым спектром, если φ, если φ имеет ровно n собственных значений. Если φ - Л.О. с простым спектром, то он имеет базис из собственных векторов, относительно которого матрица Л.О. φ диагональна. |
Пусть
Тогда
матрица Л.О.φ:
2)
Связь между матрицами линейного
оператора в разных базисах:
M(φ)
- матрица Л.О. φ в старом базисе.
M1(φ)
- матрица Л.О. φ в новом базисе.
Т -
матрица перехода от старшего базиса
к новому базису.2)Действия
над линейными операторами:
Пусть
φ и f - различные Л.О. векторного
пространства V.
Тогда φ+f - сумма
линейных операторов φ и f.
k·φ -
умножение Л.О. на скаляр k.
φ·f -
произведение линейных операторов φ
и f.
Являюися также Л.О. вектороного
пространства V.
d(φ)
- размерность ядра Л.О. φ (дефект).5)
Образ линейного оператора:
ranφ
- ранг Л.О. φ (размерность Jmφ).6)
Собсвенные векторы и собственные
значения линейного вектора:
2)
Положение
прямой в пространстве вполне определяется
заданием какой-либо её фиксированной
точки М
1
и
вектора ,
параллельного этой прямой.
Вектор , параллельный прямой, называетсянаправляющим вектором этой прямой.
Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1 ), лежащую на прямой параллельно вектору .
Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .
Векторы иколлинеарны, поэтому найдётся такое числоt , что , где множительt может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и, получаем. Это уравнение называетсявекторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.
Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что ,иотсюда
Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.
При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
Пусть М
1
(x
1
, y
1
, z
1
)
– точка, лежащая на прямой l
,
и 
–
её направляющий вектор. Вновь возьмём
на прямой произвольную точкуМ(x,y,z)
и
рассмотрим вектор .
Ясно, что векторы иколлинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,
– канонические
уравнения
прямой.
Замечание
1.
Заметим,
что канонические уравнения прямой можно
было получить из параметрических,исключив
параметрt
.
Действительно, из параметрических
уравнений получаем или
.
Пример.
Записать
уравнение прямой 
в
параметрическом виде.
Обозначим 
,
отсюдаx
=
2 + 3t
, y
=
–1 + 2t
, z
=
1 –t
.
Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикуляренOx , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид
Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде
Однако
и в этом случае условимся формально
записывать канонические уравнения
прямой в виде
.
Таким образом, еслив знаменателе одной
из дробей стоит нуль, то это означает,
что прямая перпендикулярна соответствующей
координатной оси.
Аналогично,
каноническим уравнениям 
соответствует
прямая перпендикулярная осямOx
и Oy
или
параллельная оси Oz
.
Примеры.
Канонические
уравнения: 
.
Параметрические уравнения:
Составить уравнения прямой, проходящей через две точки М 1 (-2;1;3), М 2 (-1;3;0).
Составим
канонические уравнения прямой. Для
этого найдем направляющий вектор .
Тогдаl
:
.
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.
Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями
определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.
Примеры.
Построить
прямую, заданную уравнениями 
Для
построения прямой достаточно найти
любые две ее точки. Проще всего выбрать
точки пересечения прямой с координатными
плоскостями. Например, точку пересечения
с плоскостью xOy
получим
из уравнений прямой, полагаяz
=
0:
Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).
Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостьюxOz :
От
общих уравнений прямой можно перейтик
её каноническим или параметрическим
уравнениям. Для этого нужно найти
какую-либо точку М
1
на
прямой и направляющий вектор прямой.
Координаты точки М 1 получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и. Поэтому за направляющий векторпрямойl можно взять векторное произведение нормальных векторов:
.
Пример.
Привести
общие уравнения прямой 
к
каноническому виду.
Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y = 0 и решим систему уравнений:
Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет
.
Следовательно, l
: 
.
1) Пусть и - два базиса в R n .
Определение. Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица C, столбцами которой являются координаты векторов в базисе :
Матрица перехода обратима, поскольку векторы базиса линейно независимы и, следовательно,
Вектор линейно выражается через векторы обоих базисов. Связь координат вектора в разных базисах установлена в следующей теореме.
Теорема. Если
то координаты вектора в базисе , и его координаты в базисе связаны соотношениями
где - матрица перехода от базиса к базису , - векторы-столбцы координат вектора в базисах и соответственно.
2)Взаимное расположение двух прямых
Если прямые заданы уравнениями ито они:
1)
параллельны (но не совпадают) 
2)
совпадают 
3)
пересекаются 
4)
скрещиваются 
Если то случаи 1 - 4 имеют место, когда (- знак отрицания условия):
3)
4)
Расстояние между двумя параллельными прямыми
В координатах
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
В координатах
Угол между двумя прямыми
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых
Или 
Взаимное расположение прямой и плоскости
Плоскость и прямая
1) пересекаются
2)
прямая лежит в плоскости 
3)
параллельны 
Если то случаи 1 - 3 имеют место, когда:
1) 
Необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости
Угол между прямой и плоскостью
Точка пересечения прямой с плоскостью
В координатах:
Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно к плоскости
В координатах:
1) Очевидно, что система линейных уранвений может быть записана в виде:
x 1 + x 2 + … + x n
Доказательство.
1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА * не изменяют ранга.
2) Если RgA = RgA * , то это означает, что они имеют один и тот жебазисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.
2) Плоскость в пространстве.
Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (х 0 ,у 0 , z 0 ) перпендикулярно вектору n = {A , B , C },называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z ) вектор М 0 М = {x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ) ортогонален вектору n , следовательно, их скалярное произведение равно нулю:
A (x - x 0 ) + B (y - y 0 ) + C (z - z 0 ) = 0. (8.1)
Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:
Ax + By + Cz + D = 0, (8.2)
где D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0 . Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости .
Неполные уравнения плоскости.
Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным.
Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:
1) D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.
2) А = 0 – n = {0,B , C }Ox , следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох .
3) В = 0 – плоскость Ax + Cz + D = 0 параллельна оси Оу .
4) С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси О z .
5) А = В = 0 – плоскость Cz + D Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу ).
6) А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Ох z .
7) B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оу z .
8) А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох .
9) B = D = 0 – плоскость Ах + С z = 0 проходит через ось Оу .
10) C = D = 0 - плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz .
11) A = B = D = 0 – уравнение С z = 0 задает координатную плоскость Оху.
12) A = C = D = 0 – получаем Ву = 0 – уравнение координатной плоскости Ох z .
13) B = C = D = 0 – плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оу z .
Если же общее уравнение плоскости является полным (то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду:
называемому уравнением плоскости в отрезках . Способ преобразования показан в лекции 7. Параметры а, b и с равны величинам отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.
1) Однородные системы линейных уравнений
Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rankA < n .
Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:
Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:
а
любое другое решение является их линейной
комбинацией. Вектор-решения 
образуют
нормированную фундаментальную систему.
В
линейном пространстве множество
решений однородной системы линейных
уравнений образует подпространство
размерностиn
- r
; 
-
базис этого подпространства.