ஒரு விமானத்தில் நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம். விண்வெளியில் உள்ள கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் வரிகளுக்கு இடையே ஒரு தீவிர கோணத்தைக் கண்டறியவும்

இந்த பொருள் இரண்டு வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணம் போன்ற ஒரு கருத்துக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. முதல் பத்தியில் அது என்ன என்பதை விளக்கி அதை விளக்கப்படங்களில் காண்பிப்போம். இந்த கோணத்தின் சைன், கோசைன் மற்றும் கோணத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்கும் வழிகளைப் பார்ப்போம் (ஒரு விமானம் மற்றும் முப்பரிமாண இடத்துடன் கூடிய வழக்குகளை நாங்கள் தனித்தனியாகக் கருதுவோம்), தேவையான சூத்திரங்களைத் தந்து எடுத்துக்காட்டுகளுடன் சரியாகக் காண்பிப்போம். அவை நடைமுறையில் எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

இரண்டு கோடுகள் வெட்டும் போது உருவாகும் கோணம் என்ன என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, கோணம், செங்குத்தாக மற்றும் வெட்டும் புள்ளியின் வரையறையை நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

வரையறை 1

இரண்டு கோடுகளுக்கு ஒரு பொதுவான புள்ளி இருந்தால் அவற்றை வெட்டும் என்று அழைக்கிறோம். இந்த புள்ளி இரண்டு கோடுகள் வெட்டும் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒவ்வொரு நேர் கோடும் ஒரு வெட்டு புள்ளியால் கதிர்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. இரண்டு நேர் கோடுகளும் 4 கோணங்களை உருவாக்குகின்றன, அவற்றில் இரண்டு செங்குத்து மற்றும் இரண்டு அருகில் உள்ளன. அவற்றில் ஒன்றின் அளவை நாம் அறிந்தால், மீதமுள்ளவற்றை நாம் தீர்மானிக்க முடியும்.

கோணங்களில் ஒன்று α க்கு சமம் என்று நமக்குத் தெரியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த வழக்கில், செங்குத்தாக இருக்கும் கோணமும் α க்கு சமமாக இருக்கும். மீதமுள்ள கோணங்களைக் கண்டுபிடிக்க, 180 ° - α வித்தியாசத்தைக் கணக்கிட வேண்டும். α 90 டிகிரிக்கு சமமாக இருந்தால், அனைத்து கோணங்களும் சரியான கோணங்களாக இருக்கும். செங்குத்து கோணங்களில் வெட்டும் கோடுகள் செங்குத்தாக அழைக்கப்படுகின்றன (ஒரு தனி கட்டுரை செங்குத்தான கருத்துக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது).

படத்தைப் பாருங்கள்:

முக்கிய வரையறையை உருவாக்குவதற்கு செல்லலாம்.

வரையறை 2

இரண்டு வெட்டும் கோடுகளால் உருவாக்கப்பட்ட கோணம் இந்த இரண்டு கோடுகளை உருவாக்கும் 4 கோணங்களில் சிறிய அளவாகும்.

வரையறையிலிருந்து ஒரு முக்கியமான முடிவு எடுக்கப்பட வேண்டும்: இந்த வழக்கில் கோணத்தின் அளவு இடைவெளியில் உள்ள எந்த உண்மையான எண்ணாலும் வெளிப்படுத்தப்படும் (0, 90]. கோடுகள் செங்குத்தாக இருந்தால், அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் எந்த வகையிலும் இருக்கும். 90 டிகிரிக்கு சமம்.

இரண்டு வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணத்தின் அளவைக் கண்டறியும் திறன் பல நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்க்க பயனுள்ளதாக இருக்கும். தீர்வு முறையை பல விருப்பங்களிலிருந்து தேர்வு செய்யலாம்.

தொடங்குவதற்கு, நாம் வடிவியல் முறைகளை எடுக்கலாம். நிரப்பு கோணங்களைப் பற்றி நமக்கு ஏதாவது தெரிந்தால், சமமான அல்லது ஒத்த உருவங்களின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி அவற்றை நமக்குத் தேவையான கோணத்துடன் தொடர்புபடுத்தலாம். உதாரணமாக, ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களை நாம் அறிந்திருந்தால், இந்த பக்கங்கள் அமைந்துள்ள கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை கணக்கிட வேண்டும் என்றால், கோசைன் தேற்றம் நமது தீர்வுக்கு ஏற்றது. நமது நிலையில் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் இருந்தால், கணக்கீடுகளுக்கு நாம் கோணத்தின் சைன், கோசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றையும் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

இந்த வகை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு ஒருங்கிணைப்பு முறை மிகவும் வசதியானது. அதை எவ்வாறு சரியாகப் பயன்படுத்துவது என்பதை விளக்குவோம்.

எங்களிடம் ஒரு செவ்வக (கார்டீசியன்) ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x y உள்ளது, இதில் இரண்டு நேர்கோடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றை a மற்றும் b எழுத்துக்களால் குறிப்போம். நேர்கோடுகளை சில சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கலாம். அசல் கோடுகள் ஒரு வெட்டுப்புள்ளி எம். இந்த நேர்கோடுகளுக்கு இடையே தேவையான கோணத்தை (அதைக் குறிக்கலாம் α) எவ்வாறு தீர்மானிப்பது?

கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளின் கீழ் ஒரு கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான அடிப்படைக் கொள்கையை உருவாக்குவதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம்.

ஒரு நேர் கோட்டின் கருத்து ஒரு திசை திசையன் மற்றும் ஒரு சாதாரண திசையன் போன்ற கருத்துகளுடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது என்பதை நாம் அறிவோம். ஒரு குறிப்பிட்ட கோட்டின் சமன்பாடு இருந்தால், அதிலிருந்து இந்த வெக்டார்களின் ஆயத்தொலைவுகளை எடுக்கலாம். ஒரே நேரத்தில் இரண்டு வெட்டும் கோடுகளுக்கு இதைச் செய்யலாம்.

இரண்டு வெட்டும் கோடுகளால் இணைக்கப்பட்ட கோணத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

திசை திசையன்களுக்கு இடையே கோணம்;
சாதாரண திசையன்களுக்கு இடையே கோணம்;
ஒரு வரியின் சாதாரண திசையன் மற்றும் மற்றொன்றின் திசை திசையன் இடையே உள்ள கோணம்.

இப்போது ஒவ்வொரு முறையையும் தனித்தனியாகப் பார்ப்போம்.

1. எங்களிடம் ஒரு திசை திசையன் a → = (a x, a y) மற்றும் ஒரு திசை திசையன் b → (b x, b y) உடன் ஒரு கோடு a உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இப்போது இரண்டு திசையன்கள் a → மற்றும் b → வெட்டும் புள்ளியிலிருந்து வரைவோம். இதற்குப் பிறகு அவை ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த நேர்கோட்டில் அமைந்திருப்பதைக் காண்போம். பின்னர் அவர்களின் உறவினர் ஏற்பாட்டிற்கு நான்கு விருப்பங்கள் உள்ளன. விளக்கப்படத்தைப் பார்க்கவும்:

இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் மழுங்கியதாக இல்லாவிட்டால், அது வெட்டும் கோடுகளான a மற்றும் b இடையே நமக்குத் தேவையான கோணமாக இருக்கும். அது மழுங்கியதாக இருந்தால், விரும்பிய கோணம் a →, b → ^ கோணத்திற்கு அருகில் இருக்கும் கோணத்திற்கு சமமாக இருக்கும். எனவே, α = a → , b → ^ என்றால் a → , b → ^ ≤ 90 ° , மற்றும் α = 180 ° - a → , b → ^ என்றால் a → , b → ^ > 90 ° .

சம கோணங்களின் கோசைன்கள் சமமாக இருக்கும் என்ற உண்மையின் அடிப்படையில், விளைவான சமத்துவங்களை நாம் பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்: cos α = cos a →, b → ^, a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, a →, b → ^ > 90 °.

இரண்டாவது வழக்கில், குறைப்பு சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன. இதனால்,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

கடைசி சூத்திரத்தை வார்த்தைகளில் எழுதுவோம்:

வரையறை 3

இரண்டு வெட்டும் நேர் கோடுகளால் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தின் கோசைன் அதன் திசை திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைனின் மாடுலஸுக்கு சமமாக இருக்கும்.

a → = (a x , a y) மற்றும் b → = (b x , b y) ஆகிய இரு திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைனுக்கான சூத்திரத்தின் பொதுவான வடிவம் இதுபோல் தெரிகிறது:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு நேர்கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனுக்கான சூத்திரத்தை அதிலிருந்து நாம் பெறலாம்:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

பின்னர் கோணத்தை பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

இங்கே a → = (a x , a y) மற்றும் b → = (b x , b y) ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட வரிகளின் திசை திசையன்கள்.

சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கு ஒரு உதாரணம் தருவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

ஒரு விமானத்தில் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், இரண்டு வெட்டும் கோடுகள் a மற்றும் b கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அவை x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R மற்றும் x 5 = y - 6 - 3 என்ற அளவுரு சமன்பாடுகளால் விவரிக்கப்படலாம். இந்த வரிகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு

எங்கள் நிலையில் ஒரு அளவுரு சமன்பாடு உள்ளது, அதாவது இந்த வரிக்கு அதன் திசை திசையன் ஆயங்களை உடனடியாக எழுதலாம். இதைச் செய்ய, அளவுருவின் குணகங்களின் மதிப்புகளை நாம் எடுக்க வேண்டும், அதாவது. நேர் கோட்டில் x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R திசை திசையன் a → = (4, 1) இருக்கும்.

இரண்டாவது வரி x 5 = y - 6 - 3 என்ற நியமன சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. இங்கே நாம் வகுப்பிலிருந்து ஆயங்களை எடுக்கலாம். எனவே, இந்த வரியில் திசை திசையன் b → = (5 , - 3) .

அடுத்து, கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு நேரடியாகச் செல்கிறோம். இதைச் செய்ய, இரண்டு திசையன்களின் தற்போதைய ஆயங்களை மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் மாற்றவும் α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

பதில்: இந்த நேர்கோடுகள் 45 டிகிரி கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

சாதாரண திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறிவதன் மூலம் இதேபோன்ற சிக்கலை நாம் தீர்க்க முடியும். நம்மிடம் ஒரு சாதாரண திசையன் n a → = (n a x , n a y) மற்றும் ஒரு சாதாரண திசையன் n b → = (n b x , n b y) உடன் ஒரு கோடு இருந்தால், அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் n a → மற்றும் இடையே உள்ள கோணத்திற்கு சமமாக இருக்கும். n b → அல்லது n a →, n b → ^ க்கு அருகில் இருக்கும் கோணம். இந்த முறை படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது:

வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கோசைனைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் மற்றும் சாதாரண திசையன்களின் ஆயங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த கோணம் இப்படி இருக்கும்:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c காஸ் n a x + n b y 2 n b x 2 + n b y 2

இங்கே n a → மற்றும் n b → இரண்டு கொடுக்கப்பட்ட வரிகளின் இயல்பான திசையன்களைக் குறிக்கிறது.

உதாரணம் 2

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், 3 x + 5 y - 30 = 0 மற்றும் x + 4 y - 17 = 0 ஆகிய சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி இரண்டு நேர் கோடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் சைன் மற்றும் கோசைன் மற்றும் இந்த கோணத்தின் அளவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

அசல் கோடுகள் A x + B y + C = 0 வடிவத்தின் சாதாரண வரி சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடப்படுகின்றன. சாதாரண வெக்டரை n → = (A, B) எனக் குறிப்பிடுகிறோம். ஒரு வரிக்கான முதல் சாதாரண வெக்டரின் ஆயங்களை கண்டுபிடித்து அவற்றை எழுதுவோம்: n a → = (3, 5) . இரண்டாவது வரி x + 4 y - 17 = 0 க்கு, சாதாரண திசையன் n b → = (1, 4) ஆயங்களைக் கொண்டிருக்கும். இப்போது பெறப்பட்ட மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் சேர்த்து மொத்தத்தை கணக்கிடுவோம்:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

ஒரு கோணத்தின் கோசைனை அறிந்தால், அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் சைனைக் கணக்கிடலாம். நேர்கோடுகளால் உருவாக்கப்பட்ட கோணம் α மழுங்கலாக இல்லாததால், sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

இந்த வழக்கில், α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

பதில்: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34

கடைசி வழக்கை பகுப்பாய்வு செய்வோம் - ஒரு நேர் கோட்டின் திசை திசையன் மற்றும் மற்றொன்றின் சாதாரண திசையன் ஆகியவற்றின் ஆயத்தொலைவுகள் நமக்குத் தெரிந்தால் நேர் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறிவோம்.

நேர்கோட்டில் a திசை திசையன் a → = (a x , a y) , மற்றும் நேர்கோட்டில் b ஒரு சாதாரண திசையன் n b → = (n b x , n b y) என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த திசையன்களை வெட்டும் புள்ளியில் இருந்து ஒதுக்கி வைத்து, அவற்றின் தொடர்புடைய நிலைகளுக்கான அனைத்து விருப்பங்களையும் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். படத்தில் காண்க:

கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் 90 டிகிரிக்கு மேல் இல்லை என்றால், அது a மற்றும் b க்கு இடையே உள்ள கோணத்தை சரியான கோணத்தில் பூர்த்தி செய்யும் என்று மாறிவிடும்.

a → , n b → ^ = 90 ° - α என்றால் a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

இது 90 டிகிரிக்கு குறைவாக இருந்தால், பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:

a → , n b → ^ > 90 ° , பின்னர் a → , n b → ^ = 90 ° + α

சம கோணங்களின் கொசைன்களின் சமத்துவ விதியைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α for a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α for a → , n b → ^ > 90 ° .

இதனால்,

சின் a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

ஒரு முடிவை உருவாக்குவோம்.

வரையறை 4

ஒரு விமானத்தில் வெட்டும் இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் சைனைக் கண்டுபிடிக்க, முதல் வரியின் திசை திசையன் மற்றும் இரண்டாவது சாதாரண திசையன் இடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைனின் மாடுலஸை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும்.

தேவையான சூத்திரங்களை எழுதுவோம். ஒரு கோணத்தின் சைனைக் கண்டறிதல்:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

கோணத்தையே கண்டறிதல்:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

இங்கே a → என்பது முதல் வரியின் திசை திசையன் மற்றும் n b → என்பது இரண்டாவது வரியின் இயல்பான திசையன் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 3

x - 5 = y - 6 3 மற்றும் x + 4 y - 17 = 0 ஆகிய சமன்பாடுகளால் இரண்டு வெட்டும் கோடுகள் வழங்கப்படுகின்றன. வெட்டும் கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளிலிருந்து வழிகாட்டி மற்றும் சாதாரண வெக்டரின் ஆயங்களை எடுத்துக்கொள்கிறோம். இது ஒரு → = (- 5, 3) மற்றும் n → b = (1, 4) ஆக மாறும். α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 என்ற சூத்திரத்தை எடுத்து கணக்கிடுகிறோம்:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

முந்தைய சிக்கலில் இருந்து சமன்பாடுகளை எடுத்து, அதே முடிவைப் பெற்றோம், ஆனால் வேறு வழியில் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

பதில்:α = a rc sin 7 2 34

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடுகளின் கோண குணகங்களைப் பயன்படுத்தி விரும்பிய கோணத்தைக் கண்டறிய மற்றொரு வழியை முன்வைப்போம்.

எங்களிடம் ஒரு கோடு உள்ளது, இது செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் y = k 1 x + b 1 சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் ஒரு வரி b, y = k 2 x + b 2 என வரையறுக்கப்படுகிறது. இவை சரிவுகளுடன் கூடிய கோடுகளின் சமன்பாடுகள். வெட்டும் கோணத்தைக் கண்டுபிடிக்க, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, இதில் k 1 மற்றும் k 2 ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட வரிகளின் சரிவுகளாகும். இந்த பதிவைப் பெற, சாதாரண திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் கோணத்தை தீர்மானிப்பதற்கான சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன.

எடுத்துக்காட்டு 4

y = - 3 5 x + 6 மற்றும் y = - 1 4 x + 17 4 ஆகிய சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு விமானத்தில் இரண்டு கோடுகள் வெட்டப்படுகின்றன. வெட்டு கோணத்தின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு

எங்கள் கோடுகளின் கோண குணகங்கள் k 1 = - 3 5 மற்றும் k 2 = - 1 4 க்கு சமம். அவற்றை α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 சூத்திரத்தில் சேர்த்து கணக்கிடுவோம்:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

பதில்:α = a rc cos 23 2 34

இந்தப் பத்தியின் முடிவுகளில், இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ள கோணத்தைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களை இதயப்பூர்வமாகக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டியதில்லை என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். இதைச் செய்ய, வழிகாட்டிகள் மற்றும்/அல்லது கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளின் இயல்பான திசையன்களின் ஆயங்களை அறிந்துகொள்வது போதுமானது மற்றும் பல்வேறு வகையான சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி அவற்றைத் தீர்மானிக்க முடியும். ஆனால் ஒரு கோணத்தின் கோசைனைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களை நினைவில் வைத்துக் கொள்வது அல்லது எழுதுவது நல்லது.

விண்வெளியில் வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணத்தை எவ்வாறு கணக்கிடுவது

அத்தகைய கோணத்தின் கணக்கீடு திசை திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளை கணக்கிடுவதற்கும் இந்த திசையன்களால் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தின் அளவை தீர்மானிப்பதற்கும் குறைக்கப்படலாம். அத்தகைய எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு, நாம் முன்பு கூறிய அதே நியாயம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இது ஒரு குறுக்குவெட்டு புள்ளி M உடன் இரண்டு நேர்கோடுகளை a மற்றும் b கொண்டுள்ளது. திசை திசையன்களின் ஆயங்களை கணக்கிட, இந்த கோடுகளின் சமன்பாடுகளை நாம் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். திசை திசையன்கள் a → = (a x , a y , a z) மற்றும் b → = (b x , b y , b z) . அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கோசைனைக் கணக்கிட, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b

கோணத்தைக் கண்டுபிடிக்க, நமக்கு இந்த சூத்திரம் தேவை:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

உதாரணம் 5

x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 என்ற சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி முப்பரிமாண இடைவெளியில் ஒரு கோடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இது O z அச்சுடன் வெட்டுகிறது என்று அறியப்படுகிறது. இடைமறிக்கும் கோணத்தையும் அந்த கோணத்தின் கொசைனையும் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு

α என்ற எழுத்தால் கணக்கிடப்பட வேண்டிய கோணத்தைக் குறிப்போம். முதல் நேர் கோட்டிற்கான திசை வெக்டரின் ஆயங்களை எழுதுவோம் – a → = (1, - 3, - 2) . பயன்பாட்டு அச்சுக்கு, ஆய திசையன் k → = (0, 0, 1) வழிகாட்டியாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். தேவையான தரவை நாங்கள் பெற்றுள்ளோம், அதை விரும்பிய சூத்திரத்தில் சேர்க்கலாம்:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

இதன் விளைவாக, நமக்குத் தேவையான கோணம் r c cos 1 2 = 45 ° க்கு சமமாக இருக்கும் என்பதைக் கண்டறிந்தோம்.

பதில்: cos α = 1 2, α = 45 °.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

மூலை φ பொது சமன்பாடுகள் A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 மற்றும் A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

மூலை φ கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு வரிகளுக்கு இடையில் நியமன சமன்பாடுகள்(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 மற்றும் (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

புள்ளியிலிருந்து வரிக்கு தூரம்

விண்வெளியில் உள்ள ஒவ்வொரு விமானத்தையும் ஒரு நேரியல் சமன்பாடு என்று குறிப்பிடலாம் பொது சமன்பாடுவிமானம்

சிறப்பு வழக்குகள்.

o சமன்பாட்டில் இருந்தால் (8) , பின்னர் விமானம் தோற்றம் வழியாக செல்கிறது.

o எப்போது (,) விமானம் முறையே அச்சுக்கு (அச்சு, அச்சு) இணையாக இருக்கும்.

o (,) விமானம் விமானத்திற்கு இணையாக இருக்கும்போது (விமானம், விமானம்).

தீர்வு: பயன்படுத்த (7)

பதில்: பொதுவான விமானச் சமன்பாடு.

உதாரணமாக.

செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பான Oxyz இல் ஒரு விமானம் விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. . இந்த விமானத்தின் அனைத்து சாதாரண திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளை எழுதவும்.

ஒரு விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டில் உள்ள மாறிகள் x, y மற்றும் z ஆகியவற்றின் குணகங்கள் இந்த விமானத்தின் சாதாரண திசையனின் தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்புகள் என்பதை நாம் அறிவோம். எனவே, கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் சாதாரண திசையன் ஆய உள்ளது. அனைத்து சாதாரண திசையன்களின் தொகுப்பையும் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:

விண்வெளியில் செவ்வக ஆய அமைப்பான Oxyz இல் அது புள்ளி வழியாக சென்றால் விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதவும் , ஏ இந்த விமானத்தின் சாதாரண திசையன்.

இந்த பிரச்சனைக்கு நாங்கள் இரண்டு தீர்வுகளை முன்வைக்கிறோம்.

நாம் இருக்கும் நிலையில் இருந்து. புள்ளி வழியாக செல்லும் விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டில் இந்தத் தரவை மாற்றுகிறோம்:

ஆயத் தளமான Oyz க்கு இணையாக ஒரு விமானத்தின் பொது சமன்பாட்டை எழுதவும் மற்றும் புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் .

ஆயத் தளமான Oyz க்கு இணையாக இருக்கும் ஒரு விமானம் வடிவத்தின் பொதுவான முழுமையற்ற சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கப்படலாம். புள்ளி இருந்து நிபந்தனையின்படி விமானத்திற்கு சொந்தமானது, பின்னர் இந்த புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் விமானத்தின் சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும், அதாவது சமத்துவம் உண்மையாக இருக்க வேண்டும். இங்கிருந்து நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம். எனவே, தேவையான சமன்பாடு வடிவம் உள்ளது.

தீர்வு. குறுக்கு தயாரிப்பு, வரையறை 10.26, திசையன்கள் p மற்றும் q ஆர்த்தோகனல் ஆகும். இதன் விளைவாக, இது விரும்பிய விமானத்திற்கு ஆர்த்தோகனல் மற்றும் திசையன் அதன் சாதாரண திசையனாக எடுத்துக்கொள்ளப்படலாம். திசையன் n இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

அது . சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (11.1), நாங்கள் பெறுகிறோம்

இந்த சமன்பாட்டில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதன் மூலம், நாம் இறுதி விடையை அடைகிறோம்.

பதில்: .

சாதாரண திசையனை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம் மற்றும் அதன் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்:

மேலே உள்ள படி:

பதில்:

இணை விமானங்கள் அதே சாதாரண திசையன் கொண்டவை. 1) சமன்பாட்டிலிருந்து விமானத்தின் சாதாரண திசையன்:

2) புள்ளி மற்றும் சாதாரண வெக்டரைப் பயன்படுத்தி விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

பதில்:

விண்வெளியில் ஒரு விமானத்தின் திசையன் சமன்பாடு

விண்வெளியில் ஒரு விமானத்தின் அளவுரு சமன்பாடு

கொடுக்கப்பட்ட வெக்டருக்கு செங்குத்தாக கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு

ஒரு செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை முப்பரிமாண இடத்தில் கொடுக்கலாம். பின்வரும் சிக்கலை உருவாக்குவோம்:

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை எழுதுங்கள் எம்(எக்ஸ் 0, ஒய் 0, z 0) கொடுக்கப்பட்ட வெக்டருக்கு செங்குத்தாக n = ( ஏ, பி, சி} .

தீர்வு. விடுங்கள் பி(எக்ஸ், ஒய், z) என்பது விண்வெளியில் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி. புள்ளி பிதிசையன் என்றால் மட்டுமே விமானத்திற்கு சொந்தமானது எம்.பி = {எக்ஸ் − எக்ஸ் 0, ஒய் − ஒய் 0, z − z 0) திசையன்களுக்கு ஆர்த்தோகனல் n = {ஏ, பி, சி) (வரைபடம். 1).

இந்த வெக்டார்களின் ஆர்த்தோகனாலிட்டிக்கான நிபந்தனையை எழுதிய பிறகு (n, எம்.பி) = 0 ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில், நாம் பெறுகிறோம்:

ஏ(எக்ஸ் − எக்ஸ் 0) + பி(ஒய் − ஒய் 0) + சி(z − z 0) = 0

மூன்று புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு

திசையன் வடிவில்

ஆயங்களில்

விண்வெளியில் விமானங்களின் பரஸ்பர ஏற்பாடு

- இரண்டு விமானங்களின் பொதுவான சமன்பாடுகள். பிறகு:

1) என்றால் , பின்னர் விமானங்கள் ஒத்துப்போகின்றன;

2) என்றால் , பின்னர் விமானங்கள் இணையாக இருக்கும்;

3) என்றால் அல்லது , விமானங்கள் வெட்டுகின்றன மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு

(6)

இந்த விமானங்களின் குறுக்குவெட்டு நேர்கோட்டின் சமன்பாடுகள்.

தீர்வு: சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வரியின் நியதிச் சமன்பாடுகளை உருவாக்குகிறோம்:

பதில்:

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகளை நாங்கள் எடுத்து மனதளவில் "பிஞ்ச் ஆஃப்" செய்கிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, இடது துண்டு: . இப்போது இந்த பகுதியை சமன் செய்வோம் எந்த எண்ணுக்கும்(ஏற்கனவே பூஜ்ஜியம் இருப்பதை நினைவில் கொள்க), எடுத்துக்காட்டாக, ஒன்றுக்கு: . , பின்னர் மற்ற இரண்டு "துண்டுகள்" ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். அடிப்படையில், நீங்கள் கணினியை தீர்க்க வேண்டும்:

பின்வரும் நேர்கோடுகளின் அளவுரு சமன்பாடுகளை உருவாக்கவும்:

தீர்வு: கோடுகள் நியதிச் சமன்பாடுகளால் வழங்கப்படுகின்றன, முதல் கட்டத்தில் கோடு மற்றும் அதன் திசை வெக்டருக்குச் சொந்தமான சில புள்ளிகளைக் கண்டறிய வேண்டும்.

அ) சமன்பாடுகளிலிருந்து புள்ளி மற்றும் திசை வெக்டரை அகற்றவும்: . நீங்கள் மற்றொரு புள்ளியை தேர்வு செய்யலாம் (இதை எப்படி செய்வது என்பது மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளது), ஆனால் மிகவும் வெளிப்படையான ஒன்றை எடுத்துக்கொள்வது நல்லது. மூலம், தவறுகளைத் தவிர்க்க, எப்போதும் அதன் ஆயங்களை சமன்பாடுகளில் மாற்றவும்.

இந்த வரிக்கான அளவுரு சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம்:

அளவுரு சமன்பாடுகளின் வசதி என்னவென்றால், அவை ஒரு வரியில் மற்ற புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்பதை மிகவும் எளிதாக்குகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, அளவுருவின் மதிப்புடன் தொடர்புடைய ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட ஒரு புள்ளியைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இவ்வாறு: ஆ) நியமன சமன்பாடுகளைக் கவனியுங்கள் . இங்கே ஒரு புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுப்பது கடினம் அல்ல, ஆனால் துரோகமானது: (ஆயங்களை குழப்பாமல் கவனமாக இருங்கள்!!!). வழிகாட்டி வெக்டரை எவ்வாறு அகற்றுவது? இந்த வரி எதற்கு இணையாக உள்ளது என்பதைப் பற்றி நீங்கள் ஊகிக்கலாம் அல்லது ஒரு எளிய முறையான நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தலாம்: விகிதத்தில் "Y" மற்றும் "Z" உள்ளன, எனவே திசை திசையனை எழுதி , மீதமுள்ள இடத்தில் பூஜ்ஜியத்தை வைக்கிறோம்: .

நேர்கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம்:

c) வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை மீண்டும் எழுதுவோம், அதாவது, "zet" எதுவும் இருக்கலாம். மேலும் ஏதேனும் இருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக, . எனவே, புள்ளி இந்த வரிக்கு சொந்தமானது. திசை வெக்டரைக் கண்டுபிடிக்க, பின்வரும் முறையான நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்: அசல் சமன்பாடுகளில் "x" மற்றும் "y" உள்ளன, மேலும் இந்த இடங்களில் நாம் எழுதும் திசை திசையன் பூஜ்ஜியங்கள்: . மீதமுள்ள இடத்தில் வைக்கிறோம் அலகு: . ஒன்றுக்கு பதிலாக, பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எந்த எண்ணும் செய்யும்.

நேர்கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகளை எழுதுவோம்:

ஓ-ஓ-ஓ-ஓ-ஓ... சரி, அது கடினமானது, அவர் தனக்குத்தானே ஒரு வாக்கியத்தைப் படிப்பது போல் =) இருப்பினும், தளர்வு பின்னர் உதவும், குறிப்பாக இன்று நான் பொருத்தமான பாகங்கள் வாங்கியதிலிருந்து. எனவே, முதல் பகுதிக்குச் செல்வோம், கட்டுரையின் முடிவில் நான் மகிழ்ச்சியான மனநிலையைப் பேணுவேன் என்று நம்புகிறேன்.

இரண்டு நேர் கோடுகளின் ஒப்பீட்டு நிலை

பார்வையாளர்கள் கோரஸாகப் பாடும்போது இதுதான் நிலை. இரண்டு நேர் கோடுகள் முடியும்:

1) பொருத்தம்;

2) இணையாக இருங்கள்:

3) அல்லது ஒரு புள்ளியில் வெட்டுங்கள்: .

டம்மிகளுக்கான உதவி : கணித குறுக்குவெட்டு அடையாளத்தை நினைவில் கொள்ளவும், அது அடிக்கடி தோன்றும். குறியீடு என்பது புள்ளியில் உள்ள கோட்டுடன் கோடு வெட்டுகிறது.

இரண்டு வரிகளின் ஒப்பீட்டு நிலையை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது?

முதல் வழக்குடன் ஆரம்பிக்கலாம்:

இரண்டு கோடுகள் அவற்றின் தொடர்புடைய குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இருந்தால் மட்டுமே ஒத்துப்போகின்றன, அதாவது, "லாம்ப்டா" என்ற எண் உள்ளது, அதாவது சமத்துவங்கள் திருப்தி அடையும்

நேர்கோடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம் மற்றும் தொடர்புடைய குணகங்களிலிருந்து மூன்று சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம்: . ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலிருந்தும் இது பின்வருமாறு, எனவே, இந்த கோடுகள் ஒத்துப்போகின்றன.

உண்மையில், சமன்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களும் இருந்தால் -1 ஆல் பெருக்கவும் (அறிகுறிகளை மாற்றவும்), மற்றும் சமன்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களையும் 2 ஆல் குறைக்கவும், நீங்கள் அதே சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள்: .

இரண்டாவது வழக்கு, கோடுகள் இணையாக இருக்கும்போது:

மாறிகளின் குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு கோடுகள் இணையாக இருக்கும்: , ஆனாலும்.

உதாரணமாக, இரண்டு நேர் கோடுகளைக் கவனியுங்கள். மாறிகளுக்கான தொடர்புடைய குணகங்களின் விகிதாசாரத்தை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

இருப்பினும், இது மிகவும் வெளிப்படையானது.

மூன்றாவது வழக்கு, கோடுகள் வெட்டும் போது:

மாறிகளின் குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இல்லாவிட்டால் மட்டுமே இரண்டு கோடுகள் வெட்டுகின்றன, அதாவது, சமத்துவங்கள் திருப்தி அடையும் வகையில் "லாம்ப்டா" மதிப்பு இல்லை

எனவே, நேர் கோடுகளுக்கு நாம் ஒரு அமைப்பை உருவாக்குவோம்:

முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து அது பின்வருமாறு, மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து: , அதாவது அமைப்பு சீரற்றது(தீர்வுகள் இல்லை). எனவே, மாறிகளின் குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இல்லை.

முடிவு: கோடுகள் வெட்டுகின்றன

நடைமுறை சிக்கல்களில், நீங்கள் இப்போது விவாதிக்கப்பட்ட தீர்வுத் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தலாம். மூலம், கோலினரிட்டிக்கான திசையன்களைச் சரிபார்க்கும் வழிமுறையை இது மிகவும் நினைவூட்டுகிறது, இதை நாங்கள் வகுப்பில் பார்த்தோம். திசையன்களின் நேரியல் (சார்ந்த) கருத்து. திசையன்களின் அடிப்படை. ஆனால் மிகவும் நாகரீகமான பேக்கேஜிங் உள்ளது:

எடுத்துக்காட்டு 1

வரிகளின் தொடர்புடைய நிலையைக் கண்டறியவும்:

தீர்வுநேர் கோடுகளின் திசையன்களை இயக்கும் ஆய்வின் அடிப்படையில்:

அ) சமன்பாடுகளில் இருந்து கோடுகளின் திசை திசையன்களைக் காண்கிறோம்: .

, அதாவது திசையன்கள் கோலினியர் அல்ல மற்றும் கோடுகள் வெட்டுகின்றன.

ஒரு வேளை, குறுக்கு வழியில் அடையாளங்களுடன் ஒரு கல்லை வைப்பேன்:

மீதமுள்ளவர்கள் கல்லின் மேல் குதித்து மேலும் பின்தொடர்ந்து, நேராக காஷ்சே தி இம்மார்டல் =)

b) கோடுகளின் திசை திசையன்களைக் கண்டறியவும்:

கோடுகள் ஒரே திசை வெக்டரைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது அவை இணையாகவோ அல்லது தற்செயலாகவோ இருக்கும். இங்கே தீர்மானிப்பதை எண்ண வேண்டிய அவசியமில்லை.

அறியப்படாதவற்றின் குணகங்கள் விகிதாசாரமாக உள்ளன என்பது வெளிப்படையானது, மற்றும் .

சமத்துவம் உண்மையா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இதனால்,

c) கோடுகளின் திசை திசையன்களைக் கண்டறியவும்:

இந்த திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளால் உருவாக்கப்பட்ட தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம்:
எனவே, திசை திசையன்கள் கோலினியர் ஆகும். கோடுகள் இணையாகவோ அல்லது தற்செயலாகவோ இருக்கும்.

விகிதாச்சார குணகம் "லாம்ப்டா" கோலினியர் திசை திசையன்களின் விகிதத்திலிருந்து நேரடியாகப் பார்ப்பது எளிது. இருப்பினும், சமன்பாடுகளின் குணகங்கள் மூலமாகவும் இதைக் காணலாம்: .

இப்போது சமத்துவம் உண்மையா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இரண்டு இலவச சொற்களும் பூஜ்ஜியமாகும், எனவே:

இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு இந்த சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது (பொதுவாக எந்த எண்ணும் அதை திருப்திப்படுத்துகிறது).

இவ்வாறு, கோடுகள் ஒத்துப்போகின்றன.

பதில்:

வாய்மொழியாக விவாதிக்கப்பட்ட சிக்கலை சில நொடிகளில் தீர்க்க விரைவில் நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள் (அல்லது ஏற்கனவே கற்றுக்கொண்டீர்கள்). இது சம்பந்தமாக, ஒரு சுயாதீனமான தீர்வுக்கு எதையும் வழங்குவதில் நான் எந்த அர்த்தத்தையும் காணவில்லை; வடிவியல் அடித்தளத்தில் மற்றொரு முக்கியமான செங்கலை இடுவது நல்லது:

கொடுக்கப்பட்ட வரிக்கு இணையாக ஒரு கோடு கட்டுவது எப்படி?

இந்த எளிய பணியின் அறியாமைக்காக, நைட்டிங்கேல் தி ராபர் கடுமையாக தண்டிக்கிறார்.

உதாரணம் 2

நேர்கோடு சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. புள்ளியின் வழியாக செல்லும் இணையான கோட்டிற்கு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

தீர்வு: தெரியாத வரியை எழுத்தின் மூலம் குறிப்போம். நிலைமை அவளைப் பற்றி என்ன சொல்கிறது? நேர் கோடு புள்ளி வழியாக செல்கிறது. கோடுகள் இணையாக இருந்தால், "டி" என்ற நேர்கோட்டை உருவாக்குவதற்கு "tse" என்ற நேர்கோட்டின் திசை திசையன் பொருத்தமானது என்பது வெளிப்படையானது.

சமன்பாட்டிலிருந்து திசை வெக்டரை எடுக்கிறோம்:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு வடிவியல் எளிமையானது:

பகுப்பாய்வு சோதனை பின்வரும் படிகளைக் கொண்டுள்ளது:

1) கோடுகளுக்கு ஒரே திசை திசையன் இருக்கிறதா என்று சரிபார்க்கிறோம் (கோட்டின் சமன்பாடு சரியாக எளிமைப்படுத்தப்படவில்லை என்றால், திசையன்கள் கோலினியர்களாக இருக்கும்).

2) புள்ளி விளைவாக சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறதா என்பதை சரிபார்க்கவும்.

பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், பகுப்பாய்வு பரிசோதனையை எளிதாக வாய்வழியாகச் செய்யலாம். இரண்டு சமன்பாடுகளையும் பாருங்கள், உங்களில் பலர் எந்த வரைபடமும் இல்லாமல் கோடுகளின் இணையான தன்மையை விரைவாக தீர்மானிப்பீர்கள்.

இன்று சுயாதீன தீர்வுகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள் ஆக்கப்பூர்வமாக இருக்கும். ஏனென்றால் நீங்கள் இன்னும் பாபா யாகாவுடன் போட்டியிட வேண்டியிருக்கும், மேலும் அவள் எல்லா வகையான புதிர்களையும் விரும்புகிறாள்.

எடுத்துக்காட்டு 3

கோட்டிற்கு இணையான ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோட்டிற்கு சமன்பாட்டை எழுதவும்

அதை தீர்க்க ஒரு பகுத்தறிவு மற்றும் அவ்வளவு பகுத்தறிவு வழி உள்ளது. குறுகிய வழி பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

நாங்கள் இணையான கோடுகளுடன் சிறிது வேலை செய்தோம், பின்னர் அவற்றிற்குத் திரும்புவோம். இணையான வரிகளின் வழக்கு மிகவும் ஆர்வமாக இல்லை, எனவே பள்ளி பாடத்திட்டத்திலிருந்து உங்களுக்கு நன்கு தெரிந்த ஒரு சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

இரண்டு கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

நேராக இருந்தால் புள்ளியில் வெட்டுங்கள், அதன் ஆயத்தொகுப்புகள் தீர்வு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்

கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? அமைப்பைத் தீர்க்கவும்.

இதோ போ இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் வடிவியல் பொருள்- இவை ஒரு விமானத்தில் இரண்டு வெட்டும் (பெரும்பாலும்) கோடுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 4

கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: தீர்க்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன - வரைகலை மற்றும் பகுப்பாய்வு.

வரைகலை முறை என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளை வெறுமனே வரைந்து, வரைபடத்திலிருந்து நேரடியாக வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறிவது:

இங்கே எங்கள் புள்ளி: . சரிபார்க்க, நீங்கள் கோட்டின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் அதன் ஆயங்களை மாற்ற வேண்டும், அவை அங்கேயும் அங்கேயும் பொருந்த வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகள் கணினிக்கு ஒரு தீர்வாகும். அடிப்படையில், நாங்கள் ஒரு வரைகலை தீர்வைப் பார்த்தோம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்இரண்டு சமன்பாடுகளுடன், இரண்டு அறியப்படாதவை.

வரைகலை முறை, நிச்சயமாக, மோசமாக இல்லை, ஆனால் குறிப்பிடத்தக்க குறைபாடுகள் உள்ளன. இல்லை, ஏழாம் வகுப்பு மாணவர்கள் இப்படித் தீர்மானிக்கிறார்கள் என்பதல்ல, சரியான மற்றும் துல்லியமான வரைபடத்தை உருவாக்க நேரம் எடுக்கும் என்பதுதான் முக்கிய விஷயம். கூடுதலாக, சில நேர் கோடுகள் கட்டமைக்க மிகவும் எளிதானது அல்ல, மேலும் குறுக்குவெட்டு புள்ளி நோட்புக் தாளுக்கு வெளியே முப்பதாவது இராச்சியத்தில் எங்காவது அமைந்திருக்கலாம்.

எனவே, பகுப்பாய்வு முறையைப் பயன்படுத்தி வெட்டும் புள்ளியைத் தேடுவது மிகவும் பொருத்தமானது. அமைப்பைத் தீர்ப்போம்:

அமைப்பைத் தீர்க்க, சமன்பாடுகளின் கால-படி-கால சேர்க்கை முறை பயன்படுத்தப்பட்டது. பொருத்தமான திறன்களை வளர்த்துக் கொள்ள, பாடம் எடுக்கவும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

பதில்:

காசோலை அற்பமானது - குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்.

உதாரணம் 5

கோடுகள் வெட்டினால், அவை வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்.

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பணியை பல கட்டங்களாகப் பிரிப்பது வசதியானது. நிபந்தனையின் பகுப்பாய்வு இது அவசியம் என்று கூறுகிறது:
1) நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.
2) நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.
3) கோடுகளின் ஒப்பீட்டு நிலையைக் கண்டறியவும்.
4) கோடுகள் வெட்டினால், வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்.

செயல் வழிமுறையின் வளர்ச்சி பல வடிவியல் சிக்கல்களுக்கு பொதுவானது, மேலும் நான் மீண்டும் மீண்டும் இதில் கவனம் செலுத்துவேன்.

பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்:

பாடத்தின் இரண்டாவது பகுதிக்கு வருவதற்கு முன்பு ஒரு ஜோடி காலணிகள் கூட தேய்ந்து போகவில்லை:

செங்குத்து கோடுகள். ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரம்.
நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

ஒரு பொதுவான மற்றும் மிக முக்கியமான பணியுடன் ஆரம்பிக்கலாம். முதல் பகுதியில், இதற்கு இணையாக ஒரு நேர் கோட்டை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பதைக் கற்றுக்கொண்டோம், இப்போது கோழி கால்களில் உள்ள குடிசை 90 டிகிரியாக மாறும்:

கொடுக்கப்பட்ட வரிக்கு செங்குத்தாக ஒரு கோட்டை எவ்வாறு அமைப்பது?

எடுத்துக்காட்டு 6

நேர்கோடு சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

தீர்வு: நிபந்தனையின்படி அது அறியப்படுகிறது. வரியை இயக்கும் திசையனைக் கண்டறிவது நன்றாக இருக்கும். கோடுகள் செங்குத்தாக இருப்பதால், தந்திரம் எளிது:

சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் சாதாரண வெக்டரை "அகற்றுகிறோம்": , இது நேர் கோட்டின் இயக்கும் திசையனாக இருக்கும்.

ஒரு புள்ளி மற்றும் திசை வெக்டரைப் பயன்படுத்தி நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

பதில்:

வடிவியல் ஓவியத்தை விரிவுபடுத்துவோம்:

ம்ம்ம்... ஆரஞ்சு வானம், ஆரஞ்சு கடல், ஆரஞ்சு ஒட்டகம்.

தீர்வின் பகுப்பாய்வு சரிபார்ப்பு:

1) சமன்பாடுகளில் இருந்து திசை திசையன்களை வெளியே எடுக்கிறோம் மற்றும் உதவியுடன் திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்புகோடுகள் உண்மையில் செங்குத்தாக உள்ளன என்ற முடிவுக்கு வருகிறோம்: .

மூலம், நீங்கள் சாதாரண திசையன்களைப் பயன்படுத்தலாம், இது இன்னும் எளிதானது.

சோதனை, மீண்டும், வாய்வழி செய்ய எளிதானது.

எடுத்துக்காட்டு 7

சமன்பாடு தெரிந்தால், செங்குத்து கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும் மற்றும் காலம்.

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. சிக்கலில் பல செயல்கள் உள்ளன, எனவே புள்ளி மூலம் தீர்வுப் புள்ளியை உருவாக்குவது வசதியானது.

எங்கள் அற்புதமான பயணம் தொடர்கிறது:

புள்ளியிலிருந்து வரிக்கு தூரம்

எங்களுக்கு முன்னால் ஆற்றின் நேராகப் பகுதி உள்ளது, குறுகிய பாதையில் அதை அடைவதே எங்கள் பணி. எந்த தடைகளும் இல்லை, மேலும் செங்குத்தாக நகர்வதே மிகவும் உகந்த பாதை. அதாவது, ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரம் செங்குத்து பிரிவின் நீளம்.

வடிவவியலில் உள்ள தூரம் பாரம்பரியமாக கிரேக்க எழுத்து "rho" மூலம் குறிக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக: - "em" புள்ளியில் இருந்து "de" என்ற நேர்கோட்டுக்கான தூரம்.

புள்ளியிலிருந்து வரிக்கு தூரம் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

எடுத்துக்காட்டு 8

ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரத்தைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: நீங்கள் செய்ய வேண்டியதெல்லாம், சூத்திரத்தில் எண்களை கவனமாக மாற்றி கணக்கீடுகளை மேற்கொள்ளுங்கள்:

பதில்:

வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:

புள்ளியில் இருந்து கோட்டிற்கு காணப்படும் தூரம் சரியாக சிவப்பு பிரிவின் நீளம் ஆகும். 1 யூனிட் அளவுகோலில் சரிபார்க்கப்பட்ட காகிதத்தில் ஒரு வரைபடத்தை வரைந்தால். = 1 செமீ (2 செல்கள்), பின்னர் தூரத்தை ஒரு சாதாரண ஆட்சியாளரைக் கொண்டு அளவிட முடியும்.

அதே வரைபடத்தின் அடிப்படையில் மற்றொரு பணியைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

நேர்கோட்டுடன் தொடர்புடைய புள்ளிக்கு சமச்சீராக இருக்கும் ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதே பணி. . படிகளை நீங்களே செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன், ஆனால் இடைநிலை முடிவுகளுடன் தீர்வு வழிமுறையை கோடிட்டுக் காட்டுகிறேன்:

1) வரிக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் ஒரு கோட்டைக் கண்டறியவும்.

2) கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்: .

இரண்டு செயல்களும் இந்த பாடத்தில் விரிவாக விவாதிக்கப்பட்டுள்ளன.

3) புள்ளி என்பது பிரிவின் நடுப்புள்ளி. நடுத்தர மற்றும் முனைகளில் ஒன்றின் ஆயங்களை நாம் அறிவோம். மூலம் ஒரு பிரிவின் நடுப்புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகளுக்கான சூத்திரங்கள்நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்.

தூரமும் 2.2 யூனிட்கள் என்பதைச் சரிபார்ப்பது நல்லது.

இங்கே கணக்கீடுகளில் சிரமங்கள் ஏற்படலாம், ஆனால் மைக்ரோகால்குலேட்டர் கோபுரத்தில் ஒரு சிறந்த உதவியாகும், இது சாதாரண பின்னங்களைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது. நான் உங்களுக்கு பல முறை அறிவுரை கூறியுள்ளேன், மீண்டும் பரிந்துரைக்கிறேன்.

இரண்டு இணை கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?

எடுத்துக்காட்டு 9

இரண்டு இணை கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்

நீங்களே முடிவு செய்ய இது மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு. நான் உங்களுக்கு ஒரு சிறிய குறிப்பை தருகிறேன்: இதை தீர்க்க எண்ணற்ற வழிகள் உள்ளன. பாடத்தின் முடிவில் விளக்குவது, ஆனால் நீங்களே யூகிக்க முயற்சிப்பது நல்லது, உங்கள் புத்தி கூர்மை நன்கு வளர்ந்ததாக நான் நினைக்கிறேன்.

இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

ஒவ்வொரு மூலையிலும் ஒரு ஜம்ப்:

வடிவவியலில், இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் சிறிய கோணமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது, அதில் இருந்து அது மழுங்கியதாக இருக்க முடியாது என்பதை தானாகவே பின்பற்றுகிறது. படத்தில், சிவப்பு வளைவால் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட கோணம் வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணமாக கருதப்படுவதில்லை. மற்றும் அவரது "பச்சை" அண்டை அல்லது எதிர் நோக்குடையது"ராஸ்பெர்ரி" மூலையில்.

கோடுகள் செங்குத்தாக இருந்தால், 4 கோணங்களில் ஏதேனும் ஒன்றை அவற்றுக்கிடையேயான கோணமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

கோணங்கள் எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? நோக்குநிலை. முதலாவதாக, கோணம் எந்த திசையில் "ஸ்க்ரோல்" செய்யப்படுகிறது என்பது அடிப்படையில் முக்கியமானது. இரண்டாவதாக, எதிர்மறையான கோணம் ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன் எழுதப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக என்றால் .

இதை ஏன் உன்னிடம் சொன்னேன்? ஒரு கோணத்தின் வழக்கமான கருத்துடன் நாம் பெறலாம் என்று தோன்றுகிறது. உண்மை என்னவென்றால், கோணங்களைக் கண்டறியும் சூத்திரங்கள் எதிர்மறையான முடிவை எளிதில் விளைவிக்கலாம், மேலும் இது உங்களை ஆச்சரியத்தில் ஆழ்த்தக்கூடாது. மைனஸ் அடையாளத்துடன் கூடிய கோணம் மோசமாக இல்லை, மேலும் ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவியல் பொருளைக் கொண்டுள்ளது. வரைபடத்தில், எதிர்மறை கோணத்திற்கு, அதன் நோக்குநிலையை அம்புக்குறியுடன் (வலஞ்சுழியாக) குறிப்பிடுவதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்.

இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?இரண்டு வேலை சூத்திரங்கள் உள்ளன:

எடுத்துக்காட்டு 10

கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்

தீர்வுமற்றும் முறை ஒன்று

பொதுவான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டு நேர்கோடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

நேராக இருந்தால் செங்குத்தாக இல்லை, அந்த சார்ந்தஅவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

வகுப்பில் கவனம் செலுத்துவோம் - இது சரியாக உள்ளது அளவிடல் தயாரிப்புநேர் கோடுகளின் திசையன்களை இயக்குதல்:

என்றால், சூத்திரத்தின் வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக மாறும், மேலும் திசையன்கள் ஆர்த்தோகனலாகவும், கோடுகள் செங்குத்தாகவும் இருக்கும். அதனால்தான், நேர்கோடுகளின் செங்குத்தாக இல்லாதது குறித்து முன்பதிவு செய்யப்பட்டது.

மேற்கூறியவற்றின் அடிப்படையில், தீர்வை இரண்டு படிகளில் முறைப்படுத்துவது வசதியானது:

1) கோடுகளின் திசை திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கணக்கிடுவோம்:
, அதாவது கோடுகள் செங்குத்தாக இல்லை.

2) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்:

தலைகீழ் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது. இந்த வழக்கில், நாம் ஆர்க்டாஞ்ஜெண்டின் விந்தையைப் பயன்படுத்துகிறோம் (பார்க்க. அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் பண்புகள்):

பதில்:

உங்கள் பதிலில், கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்பட்ட சரியான மதிப்பையும், தோராயமான மதிப்பையும் (முன்னுரிமை டிகிரி மற்றும் ரேடியன்கள் இரண்டிலும்) குறிப்பிடுகிறோம்.

சரி, மைனஸ், மைனஸ், பெரிய விஷயமில்லை. இங்கே ஒரு வடிவியல் விளக்கம்:

கோணம் எதிர்மறை நோக்குநிலையாக மாறியதில் ஆச்சரியமில்லை, ஏனென்றால் சிக்கல் அறிக்கையில் முதல் எண் ஒரு நேர் கோடு மற்றும் கோணத்தின் "அவிழ்ப்பது" துல்லியமாக அதனுடன் தொடங்கியது.

நீங்கள் உண்மையில் நேர்மறை கோணத்தைப் பெற விரும்பினால், நீங்கள் கோடுகளை மாற்ற வேண்டும், அதாவது, இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து குணகங்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். , மற்றும் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து குணகங்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். சுருக்கமாக, நீங்கள் நேரடியாக தொடங்க வேண்டும் .

விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

சமன்பாடுகளால் முறையே வரையறுக்கப்பட்ட α 1 மற்றும் α 2 ஆகிய இரண்டு விமானங்களைக் கவனியுங்கள்:

கீழ் கோணம்இரண்டு விமானங்களுக்கு இடையில் இந்த விமானங்களால் உருவாக்கப்பட்ட இருமுனைக் கோணங்களில் ஒன்றைப் புரிந்துகொள்வோம். சாதாரண திசையன்கள் மற்றும் விமானங்கள் α 1 மற்றும் α 2 ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணம் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட அருகிலுள்ள இருமுனை கோணங்களில் ஒன்றிற்கு சமம் என்பது தெளிவாகிறது. . அதனால் தான் . ஏனெனில் மற்றும் , அந்த

உதாரணமாக.விமானங்களுக்கு இடையிலான கோணத்தை தீர்மானிக்கவும் எக்ஸ்+2ஒய்-3z+4=0 மற்றும் 2 எக்ஸ்+3ஒய்+z+8=0.

இரண்டு விமானங்களின் இணையான நிலை.

இரண்டு விமானங்கள் α 1 மற்றும் α 2 ஆகியவை அவற்றின் இயல்பான திசையன்கள் இணையாக இருந்தால் மட்டுமே இணையாக இருக்கும். .

எனவே, தொடர்புடைய ஆயங்களின் குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு விமானங்கள் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக இருக்கும்:

அல்லது

விமானங்களின் செங்குத்து நிலை.

இரண்டு விமானங்கள் அவற்றின் இயல்பான திசையன்கள் செங்குத்தாக இருந்தால் மட்டுமே செங்குத்தாக இருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது, எனவே அல்லது .

இதனால், .

எடுத்துக்காட்டுகள்.

விண்வெளியில் நேராக.

ஒரு வரிக்கான திசையன் சமன்பாடு.

பாராமெட்ரிக் நேரடி சமன்பாடுகள்

விண்வெளியில் ஒரு கோட்டின் நிலை அதன் நிலையான புள்ளிகளில் ஏதேனும் ஒன்றைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது எம் 1 மற்றும் இந்த வரிக்கு இணையான திசையன்.

ஒரு கோட்டிற்கு இணையான திசையன் அழைக்கப்படுகிறது வழிகாட்டுகிறதுஇந்த வரியின் திசையன்.

எனவே நேர்கோட்டில் விடுங்கள் எல்ஒரு புள்ளி வழியாக செல்கிறது எம் 1 (எக்ஸ் 1 , ஒய் 1 , z 1), வெக்டருக்கு இணையாக ஒரு கோட்டில் கிடக்கிறது.

ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியைக் கவனியுங்கள் M(x,y,z)ஒரு நேர் கோட்டில். படத்தில் இருந்து அது தெளிவாகிறது .

திசையன்கள் மற்றும் கோலினியர், எனவே அத்தகைய எண் உள்ளது டி, என்ன , பெருக்கி எங்கே டிபுள்ளியின் நிலையைப் பொறுத்து எந்த எண் மதிப்பையும் எடுக்கலாம் எம்ஒரு நேர் கோட்டில். காரணி டிஒரு அளவுரு என்று அழைக்கப்படுகிறது. புள்ளிகளின் ஆரம் திசையன்களை நியமித்தது எம் 1 மற்றும் எம்முறையே, மூலம் மற்றும் , நாம் பெறுகிறோம் . இந்த சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது திசையன்ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு. ஒவ்வொரு அளவுரு மதிப்பிற்கும் இது காட்டுகிறது டிசில புள்ளியின் ஆரம் திசையன் ஒத்துள்ளது எம், ஒரு நேர்கோட்டில் பொய்.

இந்த சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் எழுதுவோம். அதை கவனி , மற்றும் இங்கிருந்து

இதன் விளைவாக சமன்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன அளவுருஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடுகள்.

அளவுருவை மாற்றும்போது டிஆய மாற்றம் எக்ஸ், ஒய்மற்றும் zமற்றும் காலம் எம்நேர்கோட்டில் நகரும்.

நேரடியின் நியமன சமன்பாடுகள்

விடுங்கள் எம் 1 (எக்ஸ் 1 , ஒய் 1 , z 1) - ஒரு நேர்கோட்டில் கிடக்கும் புள்ளி எல், மற்றும் அதன் திசை திசையன் ஆகும். மீண்டும் வரியில் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம் M(x,y,z)மற்றும் திசையன் கருதுகின்றனர்.

திசையன்களும் கோலினியர் என்பது தெளிவாகிறது, எனவே அவற்றின் தொடர்புடைய ஆயங்கள் விகிதாசாரமாக இருக்க வேண்டும், எனவே,

– நியமனம்ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடுகள்.

குறிப்பு 1.அளவுருவை நீக்குவதன் மூலம் கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடுகளை அளவுருக்களில் இருந்து பெறலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் டி. உண்மையில், அளவுரு சமன்பாடுகளிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம் அல்லது .

உதாரணமாக.வரியின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள் அளவுரு வடிவத்தில்.

குறிப்போம் , இங்கிருந்து எக்ஸ் = 2 + 3டி, ஒய் = –1 + 2டி, z = 1 –டி.

குறிப்பு 2.நேர்கோடு ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளில் ஒன்றிற்கு செங்குத்தாக இருக்கட்டும், எடுத்துக்காட்டாக அச்சு எருது. பின்னர் கோட்டின் திசை திசையன் செங்குத்தாக உள்ளது எருது, எனவே, மீ=0. இதன் விளைவாக, கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகள் வடிவத்தை எடுக்கும்

சமன்பாடுகளிலிருந்து அளவுருவைத் தவிர்த்து டி, கோட்டின் சமன்பாடுகளை வடிவத்தில் பெறுகிறோம்

இருப்பினும், இந்த விஷயத்திலும், கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடுகளை முறையாக எழுத ஒப்புக்கொள்கிறோம் . எனவே, பின்னங்களில் ஒன்றின் வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், நேர்கோடு தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்பு அச்சுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது என்று அர்த்தம்.

நியதிச் சமன்பாடுகளைப் போன்றது அச்சுகளுக்கு செங்குத்தாக ஒரு நேர்கோட்டுடன் ஒத்துள்ளது எருதுமற்றும் ஓஅல்லது அச்சுக்கு இணையாக ஓஸ்.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

இரண்டு விமானங்களின் குறுக்குவெட்டுக் கோடுகளாக ஒரு நேரான கோட்டின் பொதுவான சமன்பாடுகள்

விண்வெளியில் ஒவ்வொரு நேர்கோட்டிலும் எண்ணற்ற விமானங்கள் உள்ளன. அவற்றில் ஏதேனும் இரண்டு, வெட்டும், அதை விண்வெளியில் வரையறுக்கின்றன. இதன் விளைவாக, அத்தகைய இரண்டு விமானங்களின் சமன்பாடுகள், ஒன்றாகக் கருதப்பட்டால், இந்தக் கோட்டின் சமன்பாடுகளைக் குறிக்கும்.

பொதுவாக, பொதுவான சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட எந்த இரண்டு இணை அல்லாத விமானங்கள்

அவற்றின் குறுக்குவெட்டின் நேர் கோட்டை தீர்மானிக்கவும். இந்த சமன்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன பொது சமன்பாடுகள்நேராக.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு வரியை உருவாக்கவும்

ஒரு நேர்கோட்டை உருவாக்க, அதன் இரண்டு புள்ளிகளைக் கண்டால் போதும். ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களுடன் ஒரு நேர் கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதே எளிதான வழி. உதாரணமாக, விமானத்துடன் வெட்டும் புள்ளி xOyநாம் நேர்கோட்டின் சமன்பாடுகளிலிருந்து பெறுகிறோம், அனுமானிக்கிறோம் z= 0:

இந்த அமைப்பைத் தீர்த்த பிறகு, புள்ளியைக் காண்கிறோம் எம் 1 (1;2;0).

இதேபோல், அனுமானம் ஒய்= 0, விமானத்துடன் கோட்டின் வெட்டும் புள்ளியைப் பெறுகிறோம் xOz:

ஒரு நேர்கோட்டின் பொதுவான சமன்பாடுகளில் இருந்து ஒருவர் அதன் நியமன அல்லது அளவுரு சமன்பாடுகளுக்கு செல்லலாம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் சில புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் எம்ஒரு நேர் கோட்டில் 1 மற்றும் ஒரு நேர் கோட்டின் திசை திசையன்.

புள்ளி ஆயத்தொலைவுகள் எம் 1 இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து நாம் பெறுகிறோம், ஆயத்தொகுப்புகளில் ஒன்றிற்கு தன்னிச்சையான மதிப்பைக் கொடுக்கிறோம். திசை வெக்டரைக் கண்டுபிடிக்க, இந்த திசையன் இரண்டு சாதாரண திசையன்களுக்கும் செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் மற்றும் . எனவே, நேர்கோட்டின் திசை வெக்டருக்கு அப்பால் எல்நீங்கள் சாதாரண திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பை எடுக்கலாம்:

உதாரணமாக.வரியின் பொதுவான சமன்பாடுகளைக் கொடுங்கள் நியமன வடிவத்திற்கு.

ஒரு கோட்டில் கிடக்கும் புள்ளியைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, ஆயத்தொலைவுகளில் ஒன்றைத் தன்னிச்சையாகத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, ஒய்= 0 மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

வரியை வரையறுக்கும் விமானங்களின் சாதாரண திசையன்கள் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளன எனவே, திசை திசையன் நேராக இருக்கும்

. எனவே, எல்: .

நேர்கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

கோணம்விண்வெளியில் நேர் கோடுகளுக்கு இடையில் தரவுக்கு இணையான ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி மூலம் வரையப்பட்ட இரண்டு நேர்கோடுகளால் உருவாகும் அருகிலுள்ள கோணங்களில் ஏதேனும் ஒன்றை அழைப்போம்.

விண்வெளியில் இரண்டு வரிகளை கொடுக்கலாம்:

வெளிப்படையாக, நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் φ அவற்றின் திசை திசையன்கள் மற்றும் . பின்னர், திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கோசைனுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்

நான் சுருக்கமாக சொல்கிறேன். இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் அவற்றின் திசை திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்திற்கு சமம். எனவே, திசை திசையன்கள் a = (x 1; y 1; z 1) மற்றும் b = (x 2; y 2; z 2) ஆகியவற்றின் ஆயங்களை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க முடிந்தால், நீங்கள் கோணத்தைக் கண்டறியலாம். இன்னும் துல்லியமாக, சூத்திரத்தின்படி கோணத்தின் கொசைன்:

குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி இந்த சூத்திரம் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்:

பணி. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 கனசதுரத்தில், E மற்றும் F புள்ளிகள் குறிக்கப்பட்டுள்ளன - முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள். AE மற்றும் BF கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

கனசதுரத்தின் விளிம்பு குறிப்பிடப்படாததால், AB = 1 ஐ அமைப்போம். நாங்கள் ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்: தோற்றம் A புள்ளியில் உள்ளது, x, y, z அச்சுகள் முறையே AB, AD மற்றும் AA 1 உடன் இயக்கப்படுகின்றன. யூனிட் பிரிவு AB = 1 க்கு சமம். இப்போது நமது வரிகளுக்கான திசை திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

திசையன் AE இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இதற்கு A = (0; 0; 0) மற்றும் E = (0.5; 0; 1) புள்ளிகள் தேவை. புள்ளி E என்பது A 1 B 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி என்பதால், அதன் ஆயத்தொலைவுகள் முனைகளின் ஆய எண்கணித சராசரிக்கு சமமாக இருக்கும். திசையன் AE இன் தோற்றம் ஒருங்கிணைப்புகளின் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, எனவே AE = (0.5; 0; 1).

இப்போது BF வெக்டரைப் பார்ப்போம். இதேபோல், B = (1; 0; 0) மற்றும் F = (1; 0.5; 1) புள்ளிகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்கிறோம், ஏனெனில் F என்பது B 1 C 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி. எங்களிடம் உள்ளது:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).

எனவே, திசை திசையன்கள் தயாராக உள்ளன. நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் திசை திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் ஆகும், எனவே எங்களிடம் உள்ளது:

பணி. ஒரு வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸம் ABCA 1 B 1 C 1 இல், அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், D மற்றும் E புள்ளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன - முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள். AD மற்றும் BE கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம்: தோற்றம் A புள்ளியில் உள்ளது, x அச்சு AB, z - AA 1 உடன் இயக்கப்படுகிறது. OXY விமானம் ABC விமானத்துடன் ஒத்துப்போகும் வகையில் y- அச்சை இயக்குவோம். அலகு பிரிவு AB = 1 க்கு சமம். தேவையான கோடுகளுக்கான திசை திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

முதலில், திசையன் AD இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். புள்ளிகளைக் கவனியுங்கள்: A = (0; 0; 0) மற்றும் D = (0.5; 0; 1), ஏனெனில் D - A 1 B 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி. திசையன் AD இன் ஆரம்பம் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போவதால், நாம் AD = (0.5; 0; 1) ஐப் பெறுகிறோம்.

இப்போது திசையன் BE இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம். புள்ளி B = (1; 0; 0) கணக்கிட எளிதானது. புள்ளி E உடன் - C 1 B 1 பிரிவின் நடுப்பகுதி - இது இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது. எங்களிடம் உள்ளது:

கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது:

பணி. ஒரு வழக்கமான அறுகோண ப்ரிஸத்தில் ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , இதன் அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், K மற்றும் L புள்ளிகள் முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன. . AK மற்றும் BL கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

ஒரு ப்ரிஸத்திற்கான நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம்: கீழ் அடித்தளத்தின் மையத்தில் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்தை வைக்கிறோம், x அச்சு FC வழியாக இயக்கப்படுகிறது, y அச்சு AB மற்றும் DE மற்றும் z பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாக இயக்கப்படுகிறது. அச்சு செங்குத்தாக மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது. யூனிட் பிரிவு மீண்டும் AB = 1 க்கு சமம். நமக்கு ஆர்வமுள்ள புள்ளிகளின் ஆயங்களை எழுதுவோம்:

புள்ளிகள் K மற்றும் L ஆகியவை முறையே A 1 B 1 மற்றும் B 1 C 1 பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகள் ஆகும், எனவே அவற்றின் ஆய எண்கணித சராசரி மூலம் கண்டறியப்படுகிறது. புள்ளிகளை அறிந்தால், திசை திசையன்களான AK மற்றும் BL இன் ஆயங்களை நாங்கள் காண்கிறோம்:

இப்போது கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டுபிடிப்போம்:

பணி. ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிடு SABCD இல், அதன் அனைத்து விளிம்புகளும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், E மற்றும் F புள்ளிகள் குறிக்கப்படுகின்றன - முறையே SB மற்றும் SC பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள். AE மற்றும் BF கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

ஒரு நிலையான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம்: தோற்றம் புள்ளி A இல் உள்ளது, x மற்றும் y அச்சுகள் முறையே AB மற்றும் AD உடன் இயக்கப்படுகின்றன, மேலும் z அச்சு செங்குத்தாக மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகிறது. அலகு பிரிவு AB = 1 க்கு சமம்.

புள்ளிகள் E மற்றும் F ஆகியவை முறையே SB மற்றும் SC பிரிவுகளின் நடுப்புள்ளிகளாகும், எனவே அவற்றின் ஆய எண்கள் எண்கணித சராசரியாகக் காணப்படுகின்றன. எங்களுக்கு ஆர்வமுள்ள புள்ளிகளின் ஆயங்களை எழுதுவோம்:
A = (0; 0; 0); பி = (1; 0; 0)

புள்ளிகளை அறிந்தால், திசை திசையன்களான AE மற்றும் BF இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்கிறோம்:

திசையன் AE இன் ஆயத்தொலைவுகள் புள்ளி E இன் ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன, ஏனெனில் புள்ளி A என்பது தோற்றம். கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது: