தேற்றம் என்பது ஆதார தேற்றத்தின் நேர்மாறாகும். செவா மற்றும் மெனெலாஸின் தேற்றம். இதெல்லாம் ஏன் தேவை?

வர்க்கம்: 9

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

1. மாணவர்களின் அறிவு மற்றும் திறன்களை பொதுமைப்படுத்துதல், விரிவுபடுத்துதல் மற்றும் முறைப்படுத்துதல்; சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது அறிவை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் கற்பித்தல்;
2. சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது அறிவின் சுயாதீன பயன்பாட்டிற்கான திறன்களின் வளர்ச்சியை ஊக்குவித்தல்;
3. மாணவர்களின் தர்க்கரீதியான சிந்தனை மற்றும் கணித பேச்சு, பகுப்பாய்வு, ஒப்பீடு மற்றும் பொதுமைப்படுத்தும் திறன் ஆகியவற்றை உருவாக்குதல்;
4. மாணவர்களிடம் தன்னம்பிக்கையையும் கடின உழைப்பையும் ஏற்படுத்துங்கள்; ஒரு குழுவில் வேலை செய்யும் திறன்.

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

• கல்வி:மெனெலாஸ் மற்றும் சேவாவின் கோட்பாடுகளை மீண்டும் செய்யவும்; சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது அவற்றைப் பயன்படுத்துங்கள்.
• வளர்ச்சி:ஒரு கருதுகோளை முன்வைக்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள் மற்றும் உங்கள் கருத்தை ஆதாரங்களுடன் திறமையாக பாதுகாக்கவும்; உங்கள் அறிவைப் பொதுமைப்படுத்துவதற்கும் முறைப்படுத்துவதற்கும் உங்கள் திறனைச் சோதிக்கவும்.
• கல்வி:பாடத்தில் ஆர்வத்தை அதிகரிக்கவும் மேலும் சிக்கலான பிரச்சனைகளை தீர்க்க தயாராகவும்.

பாடம் வகை:அறிவின் பொதுமைப்படுத்தல் மற்றும் முறைப்படுத்தல் பாடம்.

உபகரணங்கள்:இந்த தலைப்பில் ஒரு பாடத்தில் கூட்டு வேலைக்கான அட்டைகள், சுயாதீன வேலைக்கான தனிப்பட்ட அட்டைகள், கணினி, மல்டிமீடியா ப்ரொஜெக்டர், திரை.

வகுப்புகளின் போது

நிலை I. நிறுவன தருணம் (1 நிமி.)

பாடத்தின் தலைப்பு மற்றும் நோக்கத்தை ஆசிரியர் அறிவிக்கிறார்.

நிலை II. அடிப்படை அறிவு மற்றும் திறன்களைப் புதுப்பித்தல் (10 நிமி.)

ஆசிரியர்:பாடத்தின் போது, ​​​​சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு வெற்றிகரமாக செல்ல மெனலாஸ் மற்றும் சேவாவின் கோட்பாடுகளை நினைவில் கொள்வோம். அது வழங்கப்படும் திரையைப் பார்ப்போம். இந்த எண்ணிக்கை எந்த தேற்றத்திற்காக கொடுக்கப்பட்டுள்ளது? (மெனெலாஸ் தேற்றம்). தேற்றத்தை தெளிவாக உருவாக்க முயற்சிக்கவும்.

படம் 1

முக்கோண ABCயின் BC யில் புள்ளி A 1 இருக்கட்டும், AB பக்கத்தில் C 1 புள்ளியும், C புள்ளிக்கு அப்பால் AC யின் தொடர்ச்சியில் B 1 புள்ளியும் இருக்கட்டும். A 1, B 1 மற்றும் C 1 புள்ளிகள் ஒரே நேர்கோட்டில் இருந்தால் மட்டும் சமத்துவம் இருந்தால்

ஆசிரியர்:பின்வரும் படத்தை ஒன்றாகப் பார்ப்போம். இந்த வரைபடத்திற்கான ஒரு தேற்றத்தை குறிப்பிடவும்.

படம் 2

AD கோடு இரண்டு பக்கங்களையும் IUD முக்கோணத்தின் மூன்றாவது பக்கத்தின் நீட்டிப்பையும் வெட்டுகிறது.

மெனெலாஸின் தேற்றத்தின்படி

நேர்கோடு MB இரண்டு பக்கங்களையும் மற்றும் முக்கோண ADC இன் மூன்றாவது பக்கத்தின் நீட்டிப்பையும் வெட்டுகிறது.

மெனெலாஸின் தேற்றத்தின்படி

ஆசிரியர்:படம் எந்த தேற்றத்துடன் ஒத்துப்போகிறது? (சேவாவின் தேற்றம்). தேற்றத்தைக் கூறு.

படம் 3

முக்கோண ABCயில் புள்ளி A 1 ஐ BC யில் இருக்கட்டும், புள்ளி B 1 பக்கத்தில் AC, புள்ளி C 1 AB பக்கத்தில் இருக்கட்டும். பிரிவுகள் AA 1, BB 1 மற்றும் CC 1 சமத்துவம் இருந்தால் மட்டுமே ஒரு புள்ளியில் வெட்டும்

நிலை III. சிக்கல் தீர்க்கும். (22 நிமி.)

வகுப்பு 3 அணிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றும் இரண்டு வெவ்வேறு பணிகளுடன் ஒரு அட்டையைப் பெறுகின்றன. தீர்மானிக்க நேரம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, பின் பின்வருபவை திரையில் தோன்றும்:<Рисунки 4-9>. பணிகளுக்கான முடிக்கப்பட்ட வரைபடங்களின் அடிப்படையில், குழு பிரதிநிதிகள் தங்கள் தீர்வுகளை விளக்குகிறார்கள். ஒவ்வொரு விளக்கத்தையும் தொடர்ந்து ஒரு விவாதம், கேள்விகளுக்கு பதில் அளித்தல் மற்றும் திரையில் தீர்வின் சரியான தன்மையை சரிபார்த்தல். அனைத்து குழு உறுப்பினர்களும் விவாதத்தில் பங்கேற்கிறார்கள். குழு எவ்வளவு சுறுசுறுப்பாக இருக்கிறதோ, அந்த முடிவுகளைச் சுருக்கும்போது அது அதிகமாக மதிப்பிடப்படுகிறது.

அட்டை 1.

1. ABC முக்கோணத்தில், புள்ளி N ஆனது BC யில் எடுக்கப்படுகிறது, அதனால் NC = 3BN; பக்க ஏசியின் தொடர்ச்சியில், புள்ளி M புள்ளி A ஆக எடுக்கப்படுகிறது, அதனால் MA = AC. கோடு MN பக்கம் AB ஐ F புள்ளியில் வெட்டுகிறது. விகிதத்தைக் கண்டறியவும்

2. ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலைகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு 1

படம் 4

சிக்கலின் நிபந்தனைகளின்படி, MA = AC, NC = 3BN. MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. கோடு MN ஏபிசி முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களையும் மூன்றாவது பக்கத்தின் தொடர்ச்சியையும் வெட்டுகிறது.

மெனெலாஸின் தேற்றத்தின்படி

பதில்:

ஆதாரம் 2

படம் 5

AM 1, BM 2, CM 3 முக்கோண ABC இன் இடைநிலைகளாக இருக்கட்டும். இந்த பிரிவுகள் ஒரு கட்டத்தில் வெட்டுகின்றன என்பதை நிரூபிக்க, அதைக் காட்டினால் போதும்

பின்னர், செவாவின் (உரையாடல்) தேற்றத்தின்படி, AM 1, BM 2 மற்றும் CM 3 ஆகிய பிரிவுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன.

எங்களிடம் உள்ளது:

எனவே, ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலைகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

அட்டை 2.

1. PQR முக்கோணத்தின் PQ பக்கத்தில் புள்ளி N எடுக்கப்படுகிறது, மேலும் L புள்ளி PR பக்கத்தில் எடுக்கப்படுகிறது, மேலும் NQ = LR. QL மற்றும் NR ஆகிய பிரிவுகளின் வெட்டுப்புள்ளி QL ஐ m:n என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது, Q புள்ளியில் இருந்து எண்ணுகிறது. கண்டுபிடி

2. ஒரு முக்கோணத்தின் இருபிரிவுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு 1

படம் 6

நிபந்தனையின்படி, NQ = LR, NA = LR =a, QF = km, LF = kn. கோடு NR PQL முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களையும் மூன்றாவது பக்கத்தின் தொடர்ச்சியையும் வெட்டுகிறது.

மெனெலாஸின் தேற்றத்தின்படி

பதில்:

ஆதாரம் 2

படம் 7

அதைக் காட்டுவோம்

பின்னர், செவாவின் (உரையாடல்) தேற்றத்தால், AL 1, BL 2, CL 3 ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன. முக்கோண இருபிரிவுகளின் சொத்து மூலம்

பெறப்பட்ட சமத்துவங்களை காலத்தால் பெருக்கினால், நாம் பெறுகிறோம்

ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பிரிவுகளுக்கு, சேவாவின் சமத்துவம் திருப்தி அளிக்கிறது, எனவே, அவை ஒரு கட்டத்தில் வெட்டுகின்றன.

அட்டை 3.

1. ABC முக்கோணத்தில், AD என்பது இடைநிலை, புள்ளி O என்பது இடைநிலையின் நடுப்பகுதி. BO என்ற நேர்கோடு K புள்ளியில் பக்கவாட்டு AC ஐ வெட்டுகிறது. புள்ளி A புள்ளியில் இருந்து எண்ணி K ஆனது ACயை எந்த விகிதத்தில் பிரிக்கிறது?

2. ஒரு வட்டம் ஒரு முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்டிருந்தால், முக்கோணத்தின் செங்குத்துகளை எதிர் பக்கங்களின் தொடர்பு புள்ளிகளுடன் இணைக்கும் பகுதிகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு 1

படம் 8

BD = DC = a, AO = OD = m. நேர்கோடு BK இரண்டு பக்கங்களையும் ADC முக்கோணத்தின் மூன்றாவது பக்கத்தின் நீட்டிப்பையும் வெட்டுகிறது.

மெனெலாஸின் தேற்றத்தின்படி

பதில்:

ஆதாரம் 2

படம் 9

A 1, B 1 மற்றும் C 1 முக்கோண ABC இன் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் தொடு புள்ளிகளாக இருக்கட்டும். AA 1, BB 1 மற்றும் CC 1 பிரிவுகள் ஒரு கட்டத்தில் வெட்டுகின்றன என்பதை நிரூபிக்க, சேவாவின் சமத்துவம் உள்ளது என்பதைக் காட்ட போதுமானது:

ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு வட்டத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோடுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

செவாவின் சமத்துவம் திருப்தியடைந்தது, அதாவது முக்கோணத்தின் இருசமப்பிரிவுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன.

நிலை IV. சிக்கலைத் தீர்ப்பது (சுயாதீனமான வேலை) (8 நிமி.)

ஆசிரியர்: குழுக்களின் பணி முடிந்தது, இப்போது 2 விருப்பங்களுக்கான தனிப்பட்ட அட்டைகளில் சுயாதீனமான வேலையைத் தொடங்குவோம்.

மாணவர்களின் சுயாதீன வேலைக்கான பாடம் பொருட்கள்

விருப்பம் 1.ஒரு முக்கோண ABC இல், அதன் பரப்பளவு 6 ஆகும், AB பக்கத்தில் K ஒரு புள்ளி உள்ளது, இந்தப் பக்கத்தை AK:BK = 2:3 என்ற விகிதத்தில் பிரித்து, AC யில் L புள்ளி உள்ளது, AC ஐப் பிரிக்கிறது. AL:LC = 5:3 என்ற விகிதத்தில். СК மற்றும் BL ஆகிய நேர் கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி Q தொலைவில் உள்ள AB நேர் கோட்டிலிருந்து அகற்றப்படுகிறது. AB பக்கத்தின் நீளத்தைக் கண்டறியவும். (பதில்: 4.)

விருப்பம் 2. ABC முக்கோணத்தில் AC இல் புள்ளி K எடுக்கப்படுகிறது. AK = 1, KS = 3. பக்கத்தில் AB, புள்ளி L எடுக்கப்பட்டது AL:LB = 2:3, Q என்பது BK மற்றும் CL ஆகிய நேர்கோடுகளை வெட்டும் புள்ளியாகும். முக்கோணத்தின் உயரத்தின் நீளத்தைக் கண்டறிக

பணி ஆசிரியரிடம் சரிபார்ப்பதற்காக சமர்ப்பிக்கப்படுகிறது.

V நிலை. பாடச் சுருக்கம் (2 நிமி.)

செய்யப்பட்ட பிழைகள் பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகின்றன, அசல் பதில்கள் மற்றும் கருத்துகள் குறிப்பிடப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு குழுவின் பணியின் முடிவுகளும் தொகுக்கப்பட்டு தரங்கள் ஒதுக்கப்படுகின்றன.

நிலை VI. வீட்டுப்பாடம் (1 நிமி.)

வீட்டுப்பாடம் என்பது பிரச்சனைகள் எண். 11, 12 பக். 289-290, எண். 10 ப. 301.

ஆசிரியரின் இறுதி வார்த்தைகள் (1 நிமிடம்).

இன்று நீங்கள் ஒருவருக்கொருவர் கணித பேச்சை வெளியில் இருந்து கேட்டு உங்கள் திறன்களை மதிப்பீடு செய்தீர்கள். எதிர்காலத்தில், இந்த விஷயத்தைப் பற்றிய கூடுதல் புரிதலுக்கு இதுபோன்ற விவாதங்களைப் பயன்படுத்துவோம். பாடத்தில் உள்ள வாதங்கள் உண்மைகளுடன் நண்பர்களாகவும், நடைமுறையுடன் கோட்பாடுகளாகவும் இருந்தன. உங்கள் அனைவருக்கும் நன்றி.

இலக்கியம்:

1. Tkachuk V.V. விண்ணப்பதாரர்களுக்கான கணிதம். – எம்.: MTsNMO, 2005.

ஏ.வி. ஷெவ்கின்

FMS எண். 2007

ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் சேவா மற்றும் மெனெலாஸின் கோட்பாடுகள்

“செவா மற்றும் மெனெலாஸின் கோட்பாடுகளைச் சுற்றி” என்ற விரிவான கட்டுரை எங்கள் இணையதளத்தில் கட்டுரைகள் பிரிவில் வெளியிடப்பட்டது. இது கணிதத்தில் நிபுணத்துவம் பெற உந்துதல் பெற்ற கணித ஆசிரியர்கள் மற்றும் உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கு உரையாற்றப்படுகிறது. சிக்கலை இன்னும் விரிவாகப் புரிந்துகொள்ள விரும்பினால், நீங்கள் அதற்குத் திரும்பலாம். இந்த குறிப்பில், குறிப்பிடப்பட்ட கட்டுரையிலிருந்து சுருக்கமான தகவல்களை வழங்குவோம் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு 2016 க்கு தயாராவதற்கான சேகரிப்பில் இருந்து சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

செவாவின் தேற்றம்

ஒரு முக்கோணம் கொடுக்கலாம் ஏபிசிமற்றும் அதன் பக்கங்களிலும் ஏபி, பொ.ச.மற்றும் ஏ.சி.புள்ளிகள் குறிக்கப்பட்டன சி 1 , ஏ 1 மற்றும் பி 1 அதன்படி (படம் 1).

a) பிரிவுகள் என்றால் ஏஏ 1 , பிபி 1 மற்றும் சிசி 1 ஒரு புள்ளியில் வெட்டும்

b) சமத்துவம் (1) உண்மையாக இருந்தால், பிரிவுகள் ஏஏ 1 , பிபி 1 மற்றும் சிசிஒரு புள்ளியில் 1 வெட்டும்.

பிரிவுகள் எப்போது என்பதை படம் 1 காட்டுகிறது ஏஏ 1 , பிபி 1 மற்றும் சிசிமுக்கோணத்தின் உள்ளே ஒரு புள்ளியில் 1 வெட்டும். இது இன்டீரியர் பாயிண்ட் கேஸ் எனப்படும். செவாவின் தேற்றம் ஒரு வெளிப்புற புள்ளியின் விஷயத்திலும் செல்லுபடியாகும், புள்ளிகளில் ஒன்று ஏ 1 , பி 1 அல்லது உடன் 1 முக்கோணத்தின் பக்கத்திற்கு சொந்தமானது, மற்ற இரண்டு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீட்டிப்புகளுக்கு சொந்தமானது. இந்த வழக்கில், பிரிவுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி ஏஏ 1 , பிபி 1 மற்றும் சிசி 1 முக்கோணத்திற்கு வெளியே உள்ளது (படம் 2).

சேவா சமத்துவத்தை எப்படி நினைவில் கொள்வது?

சமத்துவத்தை நினைவில் கொள்ளும் நுட்பத்திற்கு கவனம் செலுத்துவோம் (1). ஒவ்வொரு உறவிலும் உள்ள முக்கோணத்தின் செங்குத்துகள் மற்றும் உறவுகள் முக்கோணத்தின் செங்குத்துகளைக் கடக்கும் திசையில் எழுதப்பட்டுள்ளன. ஏபிசி, புள்ளியில் இருந்து தொடங்குகிறது ஏ. புள்ளியில் இருந்து ஏவிஷயத்திற்கு செல்வோம் பி, நாம் புள்ளியை சந்திக்கிறோம் உடன் 1, பின்னத்தை எழுதவும்
. புள்ளியில் இருந்து மேலும் INவிஷயத்திற்கு செல்வோம் உடன், நாம் புள்ளியை சந்திக்கிறோம் ஏ 1, பின்னத்தை எழுதவும்
. இறுதியாக, புள்ளியில் இருந்து உடன்விஷயத்திற்கு செல்வோம் ஏ, நாம் புள்ளியை சந்திக்கிறோம் IN 1, பின்னத்தை எழுதவும்
. ஒரு வெளிப்புற புள்ளியின் விஷயத்தில், பிரிவின் இரண்டு "பிரிவு புள்ளிகள்" அவற்றின் பிரிவுகளுக்கு வெளியே இருந்தாலும், எழுதும் பின்னங்களின் வரிசை பாதுகாக்கப்படுகிறது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், புள்ளி பிரிவை வெளிப்புறமாகப் பிரிக்கிறது என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள்.

முக்கோணத்தின் உச்சியை முக்கோணத்தின் எதிர் பக்கத்தைக் கொண்ட கோட்டின் எந்தப் புள்ளியுடன் இணைக்கும் எந்தப் பகுதியும் அழைக்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் செவியானா.

ஒரு உள்துறை புள்ளியின் வழக்குக்கான செவாவின் தேற்றத்தின் அறிக்கையை நிரூபிக்க பல வழிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். செவாவின் தேற்றத்தை நிரூபிக்க, நீங்கள் அறிக்கையை நிரூபிக்க வேண்டும் a) கீழே முன்மொழியப்பட்ட எந்த முறையிலும், மேலும் அறிக்கையை நிரூபிக்கவும் b). அறிக்கையின் ஆதாரம் b) அறிக்கையை நிரூபிக்கும் முதல் முறைக்குப் பிறகு வழங்கப்படுகிறது a). ஒரு வெளிப்புற புள்ளியின் வழக்குக்கான செவாவின் தேற்றத்தின் ஆதாரம் இதேபோல் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

அறிக்கையின் ஆதாரம் a) விகிதாசார பிரிவு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி செவாவின் தேற்றம்

மூன்று செவியன்களை விடுங்கள் ஏஏ 1 , பிபி 1 மற்றும் சிசிஒரு புள்ளியில் 1 வெட்டும் Zமுக்கோணத்தின் உள்ளே ஏபிசி.

சமத்துவம் (1) இலிருந்து பிரிவுகளின் உறவுகளை ஒரே வரியில் இருக்கும் பிரிவுகளின் உறவுகளுடன் மாற்றுவதே ஆதாரத்தின் யோசனை.

புள்ளி மூலம் INசெவியனுக்கு இணையாக ஒரு நேர்கோடு வரைவோம் எஸ்.எஸ் 1 . நேராக ஏஏ 1 புள்ளியில் கட்டப்பட்ட கோட்டை வெட்டுகிறது எம், மற்றும் புள்ளி வழியாக செல்லும் நேர்கோடு சிமற்றும் இணையாக ஏஏ 1 , - புள்ளியில் டி. புள்ளிகள் மூலம் ஏமற்றும் உடன்செவியன்களுக்கு இணையாக நேர்கோடுகளை வரைவோம் பிபி 1 . எல்லை மீறுவார்கள் வி.எம்புள்ளிகளில் என்மற்றும் ஆர்அதன்படி (படம் 3).

பி எங்களிடம் உள்ள விகிதாசார பிரிவுகளின் தேற்றம் பற்றி:

,
மற்றும்
.

பின்னர் சமத்துவங்கள் உண்மை

.

இணையான வரைபடங்களில் ZСTMமற்றும் ZCRBபிரிவுகள் டி.எம், СZமற்றும் பி.ஆர்ஒரு இணையான வரைபடத்தின் எதிர் பக்கங்களுக்கு சமம். எனவே,
மற்றும் சமத்துவம் உண்மை

.

அறிக்கையை நிரூபிக்க b) பின்வரும் அறிக்கையைப் பயன்படுத்துகிறோம். அரிசி. 3

லெம்மா 1.புள்ளிகள் என்றால் உடன் 1 மற்றும் உடன் 2 பகுதியைப் பிரிக்கவும் ஏபிஉட்புறமாக (அல்லது வெளிப்புறமாக) ஒரே உறவில், அதே புள்ளியில் இருந்து எண்ணினால், இந்த புள்ளிகள் ஒத்துப்போகின்றன.

புள்ளிகள் இருக்கும்போது வழக்குக்கான லெம்மாவை நிரூபிப்போம் உடன் 1 மற்றும் உடன் 2 பகுதியைப் பிரிக்கவும் ஏபிஉள்நாட்டில் அதே உறவில்:
.

ஆதாரம்.சமத்துவத்தில் இருந்து
சமத்துவங்கள் பின்பற்றப்படுகின்றன
மற்றும்
. அவர்களில் கடைசியானது நிபந்தனையின் கீழ் மட்டுமே திருப்தி அடைகிறது உடன் 1 பிமற்றும் உடன் 2 பிசமமாக இருக்கும், அதாவது, புள்ளிகள் வழங்கப்படுகின்றன உடன் 1 மற்றும் உடன் 2 போட்டி.

புள்ளிகள் போது வழக்கு lemma ஆதாரம் உடன் 1 மற்றும் உடன் 2 பகுதியைப் பிரிக்கவும் ஏபிவெளிப்புறமாக, இது இதேபோல் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

அறிக்கையின் ஆதாரம் b) செவாவின் தேற்றம்

இப்போது சமத்துவம் (1) உண்மையாக இருக்கட்டும். பிரிவுகள் என்பதை நிரூபிப்போம் ஏஏ 1 , பிபி 1 மற்றும் சிசிஒரு புள்ளியில் 1 வெட்டும்.

செவியன்களை விடுங்கள் ஏஏ 1 மற்றும் பிபிஒரு புள்ளியில் 1 வெட்டும் Z, இந்த புள்ளி மூலம் ஒரு பகுதியை வரையவும் சிசி 2 (உடன் 2 பிரிவில் உள்ளது ஏபி) பின்னர், அறிக்கையின் அடிப்படையில் a) சரியான சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்

. (2)

மற்றும் சமத்துவங்களை (1) மற்றும் (2) ஒப்பிடுகையில் நாம் முடிவு செய்கிறோம்
, அதாவது புள்ளிகள் உடன் 1 மற்றும் உடன் 2 பகுதியைப் பிரிக்கவும் ஏபிஅதே உறவில், அதே புள்ளியில் இருந்து எண்ணுதல். லெம்மா 1 இலிருந்து புள்ளிகள் பின்வருமாறு உடன் 1 மற்றும் உடன் 2 போட்டி. இதன் பொருள் பிரிவுகள் ஏஏ 1 , பிபி 1 மற்றும் சிசி 1 ஒரு கட்டத்தில் வெட்டுகிறது, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

சமத்துவத்தை எழுதுவதற்கான செயல்முறை (1) முக்கோணத்தின் முனைகள் எந்தப் புள்ளியில் இருந்து எந்தத் திசையில் பயணிக்கின்றன என்பதைப் பொறுத்து இல்லை என்பதை நிரூபிக்க முடியும்.

உடற்பயிற்சி 1.பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் ஏஎன்படம் 4 இல், இது மற்ற பிரிவுகளின் நீளத்தைக் காட்டுகிறது.

பதில். 8.

பணி 2.செவியன்கள் நான்., பிஎன், சி.கேமுக்கோணத்தின் உள்ளே ஒரு புள்ளியில் வெட்டுங்கள் ஏபிசி. ஒரு அணுகுமுறையைக் கண்டறியவும்
, என்றால்
,
. அரிசி. 4

பதில்.
.

பி கட்டுரையிலிருந்து சேவாவின் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை முன்வைக்கிறோம். சமத்துவம் (1) இலிருந்து பிரிவுகளின் உறவுகளை இணையான கோடுகளில் உள்ள பிரிவுகளின் உறவுகளுடன் மாற்றுவதே ஆதாரத்தின் யோசனை.

நேராக விடுங்கள் ஏஏ 1 , பிபி 1 , சிசிஒரு புள்ளியில் 1 வெட்டும் ஓமுக்கோணத்தின் உள்ளே ஏபிசி(படம் 5). மேல் வழியாக உடன்முக்கோணம் ஏபிசிஇணையாக ஒரு நேர்கோட்டை வரைவோம் ஏபி, மற்றும் கோடுகளுடன் வெட்டும் புள்ளிகள் ஏஏ 1 , பிபி 1 அதன்படி குறிக்கிறோம் ஏ 2 , பி 2 .

இரண்டு ஜோடி முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையிலிருந்து சி.பி. 2 பி 1 மற்றும் ஏபிபி 1 , BAA 1 மற்றும் சி.ஏ. 2 ஏ 1, படம். 5

எங்களுக்கு சமத்துவங்கள் உள்ளன

,
. (3)

முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையிலிருந்து கி.மு 1 ஓமற்றும் பி 2 CO, ஏஉடன் 1 ஓமற்றும் ஏ 2 COஎங்களுக்கு சமத்துவங்கள் உள்ளன
, அதில் இருந்து அது பின்வருமாறு

. (4)

பி சமத்துவங்களை (3) மற்றும் (4) பெருக்கினால், நாம் சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம் (1).

அறிக்கை a) செவாவின் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு உட்புள்ளிக்கான பகுதிகளைப் பயன்படுத்தி செவாவின் தேற்றம் அ) அறிக்கையின் ஆதாரத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம். இது புத்தகத்தில் வழங்கப்பட்டுள்ளது ஏ.ஜி. மியாகிஷேவ் மற்றும் பணிகளின் வடிவத்தில் நாங்கள் உருவாக்கும் அறிக்கைகளை நம்பியிருக்கிறார் 3 மற்றும் 4 .

பணி 3.இரண்டு முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் விகிதம் பொதுவான உச்சி மற்றும் ஒரே வரியில் அமைந்துள்ள தளங்களின் விகிதத்திற்கு சமம். இந்த அறிக்கையை நிரூபிக்கவும்.

பணி 4.இருந்தால் நிரூபிக்கவும்
, அந்த
மற்றும்
. அரிசி. 6

பிரிவுகளை விடுங்கள் ஏஏ 1 , பிபி 1 மற்றும் சிசிஒரு புள்ளியில் 1 வெட்டும் Z(படம் 6), பின்னர்

,
. (5)

மற்றும் சமத்துவங்களிலிருந்து (5) மற்றும் பணியின் இரண்டாவது அறிக்கை 4 அதை பின்பற்றுகிறது
அல்லது
. அதைப் போலவே நாங்கள் அதைப் பெறுகிறோம்
மற்றும்
. கடைசி மூன்று சமத்துவங்களைப் பெருக்கினால், நாம் பெறுகிறோம்:

,

அதாவது, சமத்துவம் (1) உண்மை, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டியது.

அறிக்கை a) செவாவின் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

பணி 15.செவியன்கள் முக்கோணத்தின் உள்ளே ஒரு புள்ளியில் குறுக்கிட்டு அதை சமமாக இருக்கும் 6 முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கவும். எஸ் 1 , எஸ் 2 , எஸ் 3 , எஸ் 4 , எஸ் 5 , எஸ் 6 (படம் 7). என்பதை நிரூபிக்கவும். அரிசி. 7

பணி 6.பகுதியைக் கண்டறியவும் எஸ்முக்கோணம் CNZ(மற்ற முக்கோணங்களின் பகுதிகள் படம் 8 இல் காட்டப்பட்டுள்ளன).

பதில். 15.

பணி 7.பகுதியைக் கண்டறியவும் எஸ்முக்கோணம் CNO, முக்கோணத்தின் பரப்பளவு என்றால் ஏஇல்லை 10 மற்றும் சமம்
,
(படம் 9).

பதில். 30.

பணி 8.பகுதியைக் கண்டறியவும் எஸ்முக்கோணம் CNO, முக்கோணத்தின் பரப்பளவு என்றால் ஏபொ.ச. 88 க்கு சமம் மற்றும்,
(படம் 9).

ஆர் முடிவு.என்பதால், நாங்கள் குறிக்கிறோம்
,
. ஏனெனில் , பின்னர் நாம் குறிக்கிறோம்
,
. செவாவின் தேற்றத்திலிருந்து அது பின்வருமாறு
, பின்னர்
. என்றால்
, அந்த
(படம் 10). எங்களிடம் மூன்று அறியப்படாத அளவுகள் உள்ளன ( எக்ஸ், ஒய் மற்றும் எஸ்), எனவே கண்டுபிடிக்க எஸ்மூன்று சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம்.

ஏனெனில்
, அந்த
= 88. முதல்
, அந்த
, எங்கே
. ஏனெனில்
, அந்த
.

அதனால்,
, எங்கே
. அரிசி. 10

பணி 9. ஒரு முக்கோணத்தில் ஏபிசிபுள்ளிகள் கேமற்றும் எல்முறையே கட்சிகளைச் சேர்ந்தவை ஏபி மற்றும் பிசி.
,
. பி ALமற்றும் சி.கே. ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு பிபிசிசமம் 1. முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் ஏபிசி.

பதில். 1,75.

டி மெனெலாஸ் தேற்றம்

ஒரு முக்கோணம் கொடுக்கலாம் ஏபிசிமற்றும் அதன் பக்கங்களிலும் ஏ.சி.மற்றும் சிபிபுள்ளிகள் குறிக்கப்பட்டன பி 1 மற்றும் ஏ 1 அதன்படி, மற்றும் தொடர்ச்சியான பக்கத்தில் ஏபிபுள்ளி குறிக்கப்பட்டது சி 1 (படம் 11).

a) புள்ளிகள் என்றால் ஏ 1 , பி 1 மற்றும் உடன் 1 அதே நேர்கோட்டில் படுத்துக் கொள்ளுங்கள்

. (6)

b) சமத்துவம் (7) உண்மையாக இருந்தால், புள்ளிகள் ஏ 1 , பி 1 மற்றும் உடன் 1 அதே நேர்கோட்டில் பொய். அரிசி. பதினொரு

மெனலாஸின் சமத்துவத்தை எப்படி நினைவில் கொள்வது?

சமத்துவத்தை நினைவில் கொள்வதற்கான நுட்பம் (6) சமத்துவம் (1) போன்றது. ஒவ்வொரு உறவிலும் உள்ள முக்கோணத்தின் செங்குத்துகள் மற்றும் உறவுகள் முக்கோணத்தின் செங்குத்துகளைக் கடக்கும் திசையில் எழுதப்பட்டுள்ளன. ஏபிசி- உச்சியில் இருந்து உச்சி வரை, பிரிவு புள்ளிகள் வழியாக (உள் அல்லது வெளி).

பணி 10.முக்கோணத்தின் எந்த உச்சியிலிருந்தும் எந்தத் திசையிலும் சமத்துவம் (6) எழுதுவது அதே முடிவைத் தரும் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

மெனெலாஸின் தேற்றத்தை நிரூபிக்க, நீங்கள் அறிக்கையை நிரூபிக்க வேண்டும் a) கீழே முன்மொழியப்பட்ட எந்த முறையிலும், மேலும் அறிக்கையை நிரூபிக்கவும் b). அறிக்கையின் ஆதாரம் b) அறிக்கையை நிரூபிக்கும் முதல் முறைக்குப் பிறகு வழங்கப்படுகிறது a).

அறிக்கையின் ஆதாரம் a) விகிதாசார பிரிவு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல்

நான்வழி.அ) சமத்துவத்தில் (6) பிரிவுகளின் நீளங்களின் விகிதங்களை ஒரே வரியில் இருக்கும் பிரிவுகளின் நீளங்களின் விகிதங்களுடன் மாற்றுவதுதான் ஆதாரத்தின் யோசனை.

புள்ளிகளை விடுங்கள் ஏ 1 , பி 1 மற்றும் உடன் 1 அதே நேர்கோட்டில் பொய். புள்ளி மூலம் சிநேரடியாகச் செய்வோம் எல், கோட்டிற்கு இணையாக ஏ 1 பி 1, இது கோட்டை வெட்டுகிறது ஏபிபுள்ளியில் எம்(படம் 12).

ஆர்
இருக்கிறது. 12

விகிதாசாரப் பிரிவுகளின் தேற்றத்தின்படி நம்மிடம் உள்ளது:
மற்றும்
.

பின்னர் சமத்துவங்கள் உண்மை
.

அறிக்கையின் ஆதாரம் b) மெனலாஸ் தேற்றம்

இப்போது சமத்துவம் (6) உண்மையாக இருக்கட்டும், புள்ளிகள் என்பதை நிரூபிப்போம் ஏ 1 , பி 1 மற்றும் உடன் 1 அதே நேர்கோட்டில் பொய். நேராக விடுங்கள் ஏபிமற்றும் ஏ 1 பிஒரு புள்ளியில் 1 வெட்டும் உடன் 2 (படம் 13).

புள்ளிகள் இருந்து ஏ 1 பி 1 மற்றும் உடன் 2 அதே நேர்கோட்டில் படுத்து, பின்னர் அறிக்கையின்படி a) மெனெலாஸின் தேற்றம்

. (7)

சமத்துவங்களின் ஒப்பீட்டிலிருந்து (6) மற்றும் (7) நம்மிடம் உள்ளது
, இதிலிருந்து சமத்துவங்கள் உண்மை என்று பின்வருகிறது

,
,
.

கடைசி சமத்துவம் என்றால் மட்டுமே உண்மை
, அதாவது புள்ளிகள் என்றால் உடன் 1 மற்றும் உடன் 2 போட்டி.

அறிக்கை ஆ) மெனலாஸ் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. அரிசி. 13

அறிக்கையின் சான்று a) முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையைப் பயன்படுத்துதல்

சமத்துவம் (6) இலிருந்து பிரிவுகளின் நீளங்களின் விகிதங்களை இணையான கோடுகளில் உள்ள பகுதிகளின் நீளங்களின் விகிதங்களுடன் மாற்றுவதுதான் ஆதாரத்தின் யோசனை.

புள்ளிகளை விடுங்கள் ஏ 1 , பி 1 மற்றும் உடன் 1 அதே நேர்கோட்டில் பொய். புள்ளிகளிலிருந்து ஏ, பிமற்றும் சிசெங்குத்தாக வரைவோம் ஏஏ 0 , பிபி 0 மற்றும் எஸ்.எஸ்இந்த நேர் கோட்டிற்கு 0 (படம் 14).

ஆர்
இருக்கிறது. 14

மூன்று ஜோடி முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையிலிருந்து ஏ.ஏ. 0 பி 1 மற்றும் சிசி 0 பி 1 , சிசி 0 ஏ 1 மற்றும் பிபி 0 ஏ 1 , சி 1 பி 0 பிமற்றும் சி 1 ஏ 0 ஏ(இரண்டு கோணங்களில்) எங்களிடம் சரியான சமத்துவங்கள் உள்ளன

,
,
,

அவற்றைப் பெருக்கி, நாம் பெறுகிறோம்:

.

அறிக்கை அ) மெனலாஸ் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

அறிக்கையின் சான்று அ) பகுதிகளைப் பயன்படுத்துதல்

சமத்துவம் (7) இலிருந்து பிரிவுகளின் நீளங்களின் விகிதத்தை முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் விகிதங்களுடன் மாற்றுவதே ஆதாரத்தின் யோசனை.

புள்ளிகளை விடுங்கள் ஏ 1 , பி 1 மற்றும் உடன் 1 அதே நேர்கோட்டில் பொய். புள்ளிகளை இணைப்போம் சிமற்றும் சி 1 . முக்கோணங்களின் பகுதிகளைக் குறிப்போம் எஸ் 1 , எஸ் 2 , எஸ் 3 , எஸ் 4 , எஸ் 5 (படம் 15).

பின்னர் சமத்துவங்கள் உண்மை

,
,
. (8)

சமத்துவங்களைப் பெருக்கினால் (8), நாம் பெறுகிறோம்:

அறிக்கை அ) மெனலாஸ் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஆர்
இருக்கிறது. 15

செவியன்களின் வெட்டுப்புள்ளி முக்கோணத்திற்கு வெளியே இருந்தால், செவாவின் தேற்றம் செல்லுபடியாகும், முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீட்டிப்புகளை மட்டும் குறுக்கீடு செய்தால் மெனெலாஸின் தேற்றம் செல்லுபடியாகும். இந்த வழக்கில், வெளிப்புற புள்ளிகளில் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் குறுக்குவெட்டு பற்றி பேசலாம்.

அறிக்கையின் ஆதாரம் a) வெளிப்புற புள்ளிகளின் விஷயத்தில்

பி செகண்ட் முக்கோணத்தின் பக்கங்களை வெட்டுகிறது ஏபிசிவெளிப்புற புள்ளிகளில், அதாவது பக்கங்களின் நீட்டிப்புகளை வெட்டுகிறது ஏபி,பொ.ச.மற்றும் ஏ.சி.புள்ளிகளில் சி 1 , ஏ 1 மற்றும் பி 1, முறையே, இந்த புள்ளிகள் ஒரே நேர்கோட்டில் (படம் 16) உள்ளன.

விகிதாசாரப் பிரிவுகளின் தேற்றத்தின்படி நம்மிடம் உள்ளது:

மற்றும் .

பின்னர் சமத்துவங்கள் உண்மை

அறிக்கை அ) மெனலாஸ் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. அரிசி. 16

மேற்கூறிய ஆதாரம், மெனெலாஸ் தேற்றத்தின் ஆதாரத்துடன் ஒத்துப்போகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள்

வெளிப் புள்ளிகளின் வழக்குக்கான மெனலாஸ் தேற்றத்தின் அறிக்கை b) மேலே கொடுக்கப்பட்ட நிரூபணத்தைப் போன்றது.

Z பணி நியமனம்11. ஒரு முக்கோணத்தில் ஏபிசிபுள்ளிகள் ஏ 1 , INபக்கங்களில் முறையே 1 பொய் சூரியன்மற்றும் ஏஉடன். பி- பிரிவுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி ஏஏ 1 மற்றும் பிபி 1 .
,
. ஒரு அணுகுமுறையைக் கண்டறியவும்
.

தீர்வு.குறிப்போம்
,
,
,
(படம் 17). ஒரு முக்கோணத்திற்கான மெனெலாஸின் தேற்றத்தின்படி பொ.ச.IN 1 மற்றும் இரண்டாவது PA 1 நாம் சரியான சமத்துவத்தை எழுதுகிறோம்:

,

அது எங்கிருந்து வருகிறது

. அரிசி. 17

பதில். .

Z பணி நியமனம்12 (MSU, கடிதத் தயாரிப்பு படிப்புகள்). ஒரு முக்கோணத்தில் ஏபிசி, யாருடைய பகுதி 6, பக்கத்தில் உள்ளது ஏபிஎடுக்கப்பட்ட புள்ளி TO, இது தொடர்பாக இந்தப் பக்கத்தைப் பகிர்ந்துகொள்வது
, மற்றும் பக்கத்தில் ஏசி- புள்ளி எல், பிரித்தல் ஏசிஒரு உறவில்
. புள்ளி பி வரி குறுக்குவெட்டுகள் எஸ்.கேமற்றும் INஎல் நேர் கோட்டிலிருந்து விலகி ஏபி 1.5 தொலைவில். பக்க நீளத்தைக் கண்டறியவும் ஏபி

தீர்வு.புள்ளிகளிலிருந்து ஆர்மற்றும் உடன்செங்குத்தாக விடுவோம் PRமற்றும் முதல்வர்நேரடியாக ஏபி. குறிப்போம்
,
,
,
(படம் 18). ஒரு முக்கோணத்திற்கான மெனெலாஸின் தேற்றத்தின்படி ஏ.கே.சி.மற்றும் செகண்ட் பி.எல்.சரியான சமத்துவத்தை எழுதுவோம்:
, நாம் அதை எங்கிருந்து பெறுகிறோம்
,
. அரிசி. 18

முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையிலிருந்து TOஎம்.சி.மற்றும் TOஆர்.பி.(இரண்டு கோணங்களில்) நாம் அதைப் பெறுகிறோம்
, அதில் இருந்து அது பின்வருமாறு
.

இப்போது, ​​பக்கவாட்டில் வரையப்பட்ட உயரத்தின் நீளம் தெரியும் ஏபிமுக்கோணம் ஏபிசி, மற்றும் இந்த முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, பக்கத்தின் நீளத்தை கணக்கிடுகிறோம்:
.

பதில். 4.

Z பணி நியமனம்13. மையங்களைக் கொண்ட மூன்று வட்டங்கள் ஏ,IN,உடன், யாருடைய ஆரங்கள் தொடர்புடையவை
, புள்ளிகளில் வெளிப்புறமாக ஒருவருக்கொருவர் தொடவும் எக்ஸ், ஒய், Zபடம் 19. பிரிவுகளில் காட்டப்பட்டுள்ளது AXமற்றும் மூலம்ஒரு புள்ளியில் வெட்டும் ஓ. எந்த வகையில், புள்ளியில் இருந்து எண்ணுவது பி, கோட்டு பகுதி CZஒரு பகுதியை பிரிக்கிறது மூலம்?

தீர்வு.குறிப்போம்
,
,
(படம் 19). ஏனெனில்
, பின்னர் அறிக்கையின் படி b) செவாவின் தேற்றத்தின் பிரிவுகள் ஏஎக்ஸ், மூலம்மற்றும் உடன்Zஒரு புள்ளியில் வெட்டும் - ஒரு புள்ளி ஓ. பின்னர் பிரிவு CZஒரு பகுதியை பிரிக்கிறது மூலம்ஒரு உறவில்
. இந்த உறவைக் கண்டுபிடிப்போம். அரிசி. 19

ஒரு முக்கோணத்திற்கான மெனெலாஸின் தேற்றத்தின்படி பி.சி.ஒய்.மற்றும் செகண்ட் OXஎங்களிடம் உள்ளது:
, அதில் இருந்து அது பின்வருமாறு
.

பதில். .

பணி 14 (ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2016).

புள்ளிகள் IN 1 மற்றும் உடன் ஏசிமற்றும் ஏபிமுக்கோணம் ஏபிசி, மற்றும் ஏபி 1:பி 1 உடன் =
= ஏசி 1:உடன் 1 பி. நேரடி பிபி 1 மற்றும் எஸ்.எஸ் 1 ஒரு புள்ளியில் வெட்டும் பற்றி.

ஏ ) வரி என்று நிரூபிக்கவும் JSCபக்கத்தை பிரிக்கிறது சூரியன்.

ஏபி 1 ஓ.சி. 1 முக்கோணத்தின் பகுதிக்கு ஏபிசி, என்று தெரிந்தால் ஏபி 1:பி 1 உடன் = 1:4.

தீர்வு.அ) இது ஒரு நேர் கோட்டாக இருக்கட்டும் ஏ.ஓ. பக்கத்தை கடக்கிறது பொ.ச. புள்ளியில் ஏ 1 (படம் 20). செவாவின் தேற்றத்தின்படி நம்மிடம் உள்ளது:

. (9)

ஏனெனில் ஏபி 1:பி 1 உடன் = ஏசி 1:உடன் 1 பி, பின்னர் சமத்துவத்திலிருந்து (9) அது பின்வருமாறு
, அது சி.ஏ. 1 = ஏ 1 பி, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டியதாக இருந்தது. அரிசி. 20

b) முக்கோணத்தின் பரப்பளவை விடுங்கள் ஏபி 1 ஓ சமமாக எஸ். ஏனெனில் ஏபி 1:பி 1 உடன் சி.பி. 1 ஓ சமம் 4 எஸ், மற்றும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஏஓசி சமம் 5 எஸ். பின்னர் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஏஓபி 5 க்கும் சமம் எஸ், முக்கோணங்கள் இருந்து ஏஓபி மற்றும் ஏஓசிஒரு பொதுவான தளம் உள்ளது ஏ.ஓ., மற்றும் அவற்றின் முனைகள் பிமற்றும் சிகோட்டிலிருந்து சம தொலைவில் ஏ.ஓ.. மேலும், முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஏஓசி 1 சமம் எஸ், ஏனெனில் ஏசி 1:உடன் 1 பி = 1:4. பின்னர் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஏபிபி 1 சமம் 6 எஸ். ஏனெனில் ஏபி 1:பி 1 உடன்= 1:4, பின்னர் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு சி.பி. 1 ஓ 24 க்கு சமம் எஸ், மற்றும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஏபிசி 30 க்கு சமம் எஸ். இப்போது நாற்கரத்தின் பரப்பளவின் விகிதத்தைக் கண்டுபிடிப்போம் ஏபி 1 ஓ.சி. 1 (2எஸ்) முக்கோணத்தின் பகுதிக்கு ஏபிசி (30எஸ்), இது 1:15 க்கு சமம்.

பதில். 1:15.

பணி 15 (ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2016).

புள்ளிகள் IN 1 மற்றும் உடன்பக்கங்களில் முறையே 1 பொய் ஏசிமற்றும் ஏபிமுக்கோணம் ஏபிசி, மற்றும் ஏபி 1:பி 1 உடன் =
= ஏசி 1:உடன் 1 பி. நேரடி பிபி 1 மற்றும் எஸ்.எஸ் 1 ஒரு புள்ளியில் வெட்டும் பற்றி.

அ) வரி என்பதை நிரூபிக்கவும் JSCபக்கத்தை பிரிக்கிறது சூரியன்.

b) நாற்கர பகுதியின் விகிதத்தைக் கண்டறியவும் ஏபி 1 ஓ.சி. 1 முக்கோணத்தின் பகுதிக்கு ஏபிசி, என்று தெரிந்தால் ஏபி 1:பி 1 உடன் = 1:3.

பதில். 1:10.

Z பணி 16 (USE-2016).பிரிவில் BDஎடுக்கப்பட்ட புள்ளி உடன். இருமுனை பி.எல். ஏபிசிஅடித்தளத்துடன் சூரியன் BLDஅடித்தளத்துடன் BD.

அ) முக்கோணம் என்பதை நிரூபிக்கவும் டி.சி.எல்ஐசோசெல்ஸ்.

b) cos என்று அறியப்படுகிறது
ஏபிசி DL, அதாவது முக்கோணம் BDஎடுக்கப்பட்ட புள்ளி உடன். இருமுனை பி.எல்.சமபக்க முக்கோணம் ஏபிசிஅடித்தளத்துடன் சூரியன்ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் பக்கவாட்டு பக்கமாகும் BLDஅடித்தளத்துடன் BD.

அ) முக்கோணம் என்பதை நிரூபிக்கவும் டி.சி.எல்ஐசோசெல்ஸ்.

b) cos என்று அறியப்படுகிறது ஏபிசி= . எந்த வகையில் நேர்கோடு டி.எல். பக்கத்தை பிரிக்கிறது ஏபி?

பதில். 4:21.

இலக்கியம்

1. ஸ்மிர்னோவா ஐ.எம்., ஸ்மிர்னோவ் வி.ஏ. முக்கோணத்தின் அற்புதமான புள்ளிகள் மற்றும் கோடுகள். எம்.: கணிதம், 2006, எண். 17.

2. Myakishev ஏ.ஜி. முக்கோண வடிவியல் கூறுகள். (தொடர் "நூலகம் "கணிதக் கல்வி""). எம்.: MTsNMO, 2002. - 32 பக்.

3. வடிவியல். 8 ஆம் வகுப்பு பாடப்புத்தகத்திற்கான கூடுதல் அத்தியாயங்கள்: பள்ளிகள் மற்றும் வகுப்புகளின் மாணவர்களுக்கான பாடநூல் ஆழமான ஆய்வு / எல்.எஸ். அதனஸ்யன், வி.எஃப். புட்சோவ், எஸ்.பி. Kadomtsev மற்றும் பலர் - எம்.: வீடா-பிரஸ், 2005. - 208 பக்.

4. Erdniev P., Mantsaev N. Cheva மற்றும் Menelaus இன் கோட்பாடுகள். எம்.: குவாண்ட், 1990, எண். 3, பக். 56–59.

5. ஷரிகின் ஐ.எஃப். செவா மற்றும் மெனெலாஸின் கோட்பாடுகள். எம்.: குவாண்ட், 1976, எண். 11, பக். 22–30.

6. வவிலோவ் வி.வி. ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலைகள் மற்றும் நடுக்கோடுகள். எம்.: கணிதம், 2006, எண். 1.

7. எஃப்ரெமோவ் டிஎம். புதிய முக்கோண வடிவியல். ஒடெசா, 1902. - 334 பக்.

8. கணிதம். வழக்கமான சோதனைப் பணிகளின் 50 வகைகள் / I.V. யாஷ்செங்கோ, எம்.ஏ. வோல்கேவிச், ஐ.ஆர். வைசோட்ஸ்கி மற்றும் பலர்; திருத்தியவர் ஐ.வி. யாஷ்செங்கோ. - எம்.: பப்ளிஷிங் ஹவுஸ் "தேர்வு", 2016. - 247 பக்.

செவா மற்றும் மெனலாஸின் கோட்பாடுகள்

செவாவின் தேற்றம்

குறிப்பிடத்தக்க முக்கோண புள்ளிகளில் பெரும்பாலானவை பின்வரும் நடைமுறையைப் பயன்படுத்தி பெறலாம். சில விதிகள் இருக்கட்டும், அதன் படி நாம் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி A ஐ தேர்வு செய்யலாம் 1 , ABC முக்கோணத்தின் BC (அல்லது அதன் நீட்டிப்பு) பக்கத்தில் (உதாரணமாக, இந்தப் பக்கத்தின் நடுப்புள்ளியைத் தேர்வு செய்யவும்). பின்னர் இதே போன்ற புள்ளிகளை உருவாக்குவோம் B 1, சி 1 முக்கோணத்தின் மற்ற இரண்டு பக்கங்களிலும் (எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் பக்கங்களின் மேலும் இரண்டு நடுப்புள்ளிகள் உள்ளன). தேர்வு விதி வெற்றிகரமாக இருந்தால், நேராக AA 1, பிபி 1, சிசி 1 சில புள்ளி Z இல் வெட்டும் (இந்த அர்த்தத்தில் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளின் தேர்வு, நிச்சயமாக, வெற்றிகரமானது, ஏனெனில் முக்கோணத்தின் இடைநிலைகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன).

ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் உள்ள புள்ளிகளின் நிலையிலிருந்து தொடர்புடைய மூன்று கோடுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகிறதா இல்லையா என்பதை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கும் சில பொதுவான முறையை நான் விரும்புகிறேன்.

இந்த சிக்கலை "மூடிய" ஒரு உலகளாவிய நிலை 1678 இல் இத்தாலிய பொறியாளரால் கண்டறியப்பட்டதுஜியோவானி சேவா .

வரையறை. ஒரு முக்கோணத்தின் முனைகளை எதிர் பக்கங்களில் உள்ள புள்ளிகளுடன் இணைக்கும் பகுதிகள் (அல்லது அவற்றின் நீட்டிப்புகள்) ஒரு புள்ளியில் வெட்டினால் அவை செவியன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

செவியன்களுக்கு இரண்டு சாத்தியமான இடங்கள் உள்ளன. ஒரு பதிப்பில், புள்ளி

குறுக்குவெட்டுகள் உள், மற்றும் செவியன்களின் முனைகள் முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் உள்ளன. இரண்டாவது விருப்பத்தில், வெட்டுப்புள்ளி வெளிப்புறமானது, ஒரு செவியனின் முடிவு பக்கத்தில் உள்ளது, மற்ற இரண்டு செவியன்களின் முனைகள் பக்கங்களின் நீட்டிப்புகளில் உள்ளன (வரைபடங்களைப் பார்க்கவும்).

தேற்றம் 3. (செவாவின் நேரடி தேற்றம்) ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோண ABC இல், புள்ளிகள் A ஆனது முறையே BC, CA, AB அல்லது அவற்றின் நீட்டிப்புகளில் எடுக்கப்படுகிறது. 1 , IN 1 , உடன் 1 , நேராக AA 1 , பிபி 1 , எஸ்.எஸ் 1 சில பொதுவான புள்ளியில் வெட்டுங்கள்

.

ஆதாரம்: செவாவின் தேற்றத்தின் பல அசல் சான்றுகள் அறியப்பட்டாலும், மெனலாஸ் தேற்றத்தின் இரட்டைப் பயன்பாட்டின் அடிப்படையில் ஒரு நிரூபணத்தை நாங்கள் பரிசீலிப்போம். முக்கோணத்திற்கான மெனலாஸ் தேற்றத்தின் தொடர்பை முதன்முறையாக எழுதுவோம்ஏபிபி 1 மற்றும் இரண்டாவது சிசி 1 (செவியன்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியை நாங்கள் குறிக்கிறோம்Z):

,

மற்றும் ஒரு முக்கோணத்திற்கு இரண்டாவது முறைபி 1 பொ.ச.மற்றும் செகண்ட் ஏ.ஏ. 1 :

.

இந்த இரண்டு விகிதங்களையும் பெருக்கி தேவையான குறைப்புகளைச் செய்து, தேற்றத்தின் அறிக்கையில் உள்ள விகிதத்தைப் பெறுகிறோம்.

தேற்றம் 4. (சேவாவின் உரையாடல் தேற்றம்) . முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவர்களுக்கு என்றால் ஏபிசி அல்லது அவற்றின் புள்ளிகளின் நீட்டிப்புகள் ஏ 1 , IN 1 மற்றும் சி 1 சேவாவின் நிலைமை திருப்திகரமாக உள்ளது:

,

பின்னர் நேராக ஏ.ஏ. 1 , பிபி 1 மற்றும் சிசி 1 ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன .

இந்த தேற்றத்தின் நிரூபணம் மெனெலாஸ் தேற்றத்தின் நிரூபணம் போலவே முரண்பாட்டால் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

செவாவின் நேரடி மற்றும் தலைகீழ் தேற்றங்களின் பயன்பாட்டின் உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3. ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலைகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு. உறவைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்

ஒரு முக்கோணத்தின் முனைகளுக்கும் அதன் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளுக்கும். வெளிப்படையாக, ஒவ்வொரு பின்னத்திலும் எண் மற்றும் வகுப்பின் சம பிரிவுகள் உள்ளன, எனவே இந்த பின்னங்கள் அனைத்தும் ஒன்றுக்கு சமம். இதன் விளைவாக, சேவாவின் உறவு திருப்தி அடைந்தது, எனவே, மாற்று தேற்றத்தால், இடைநிலைகள் ஒரு கட்டத்தில் வெட்டுகின்றன.

தேற்றம் (சேவாவின் தேற்றம்) . புள்ளிகளை விடுங்கள் பக்கங்களிலும் பொய்மற்றும் முக்கோணம் முறையே. பிரிவுகளை விடுங்கள்மற்றும் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன. பிறகு

(நாங்கள் முக்கோணத்தை கடிகார திசையில் சுற்றி வருகிறோம்).

ஆதாரம்.மூலம் குறிப்போம் பிரிவுகளின் வெட்டும் புள்ளிமற்றும் . புள்ளிகளில் இருந்து விடுபடுவோம்மற்றும் ஒரு கோட்டிற்கு செங்குத்தாகபுள்ளிகளில் அதை வெட்டும் முன்மற்றும் அதன்படி (படம் பார்க்கவும்).

ஏனெனில் முக்கோணங்கள்மற்றும் ஒரு பொதுவான பக்கம் வேண்டும், பின்னர் அவர்களின் பகுதிகள் இந்த பக்கத்திற்கு வரையப்பட்ட உயரங்களுடன் தொடர்புடையவை, அதாவது.மற்றும்:

செங்கோண முக்கோணங்கள் என்பதால் கடைசி சமத்துவம் உண்மைமற்றும் கடுமையான கோணத்தில் ஒத்த.

இதேபோல் நமக்கும் கிடைக்கும்

மற்றும்

இந்த மூன்று சமத்துவங்களைப் பெருக்குவோம்:

கே.இ.டி.

மீடியன்கள் பற்றி:

1. முக்கோண ABCயின் முனைகளில் அலகு நிறைகளை வைக்கவும்.
2. A மற்றும் B புள்ளிகளின் நிறை மையம் AB இன் நடுவில் உள்ளது. ABC முக்கோணத்தின் வெகுஜன மையம் A மற்றும் B மற்றும் புள்ளி C ஆகியவற்றின் மையத்தின் வெகுஜன மையமாக இருப்பதால், முழு அமைப்பின் வெகுஜன மையம் AB க்கு பக்கமாக இருக்க வேண்டும்.
(குழப்பமாக இருந்தது)
3. இதேபோல் - முதல்வர் AC மற்றும் BC பக்கங்களுக்கு மீடியனில் படுக்க வேண்டும்
4. முதல்வர் ஒற்றை புள்ளி என்பதால், இந்த மூன்று நடுநிலைகளும் அதில் குறுக்கிட வேண்டும்.

மூலம், குறுக்குவெட்டு மூலம் அவை 2: 1 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கப்படுகின்றன என்பதை உடனடியாகப் பின்தொடர்கிறது. A மற்றும் B புள்ளிகளின் நிறை மையத்தின் நிறை 2 ஆகவும், புள்ளி C இன் நிறை 1 ஆகவும் இருப்பதால், பொது வெகுஜன மையம், விகிதாச்சார தேற்றத்தின்படி, சராசரியை 2/1 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கும். .

மிக்க நன்றி, இது அணுகக்கூடிய வழியில் வழங்கப்படுகிறது, வெகுஜன வடிவவியலின் முறைகளைப் பயன்படுத்தி ஆதாரத்தை முன்வைப்பது தவறாக இருக்காது என்று நான் நினைக்கிறேன், எடுத்துக்காட்டாக:
AA1 மற்றும் CC1 கோடுகள் O புள்ளியில் வெட்டுகின்றன; AC1: C1B = p மற்றும் BA1: A1C = q. CB1: B1A = 1: pq எனில், BB1 கோடு O புள்ளியின் வழியாக செல்கிறது என்பதை நாம் நிரூபிக்க வேண்டும்.
நிறை 1, p மற்றும் pq ஆகிய புள்ளிகளை முறையே A, B மற்றும் C புள்ளிகளில் வைப்போம். பின்னர் புள்ளி C1 என்பது A மற்றும் B புள்ளிகளின் வெகுஜனத்தின் மையமாகும், மேலும் A1 என்பது புள்ளிகள் B மற்றும் C புள்ளிகளின் வெகுஜனத்தின் மையம் ஆகும். எனவே, A, B மற்றும் C புள்ளிகளின் வெகுஜனத்தின் மையம் O ஆகும். கோடுகள் CC1 மற்றும் AA1. மறுபுறம், புள்ளி A மற்றும் C புள்ளிகளின் நிறை மையத்துடன் இணைக்கும் புள்ளி B பிரிவில் உள்ளது. B1 என்பது A மற்றும் C புள்ளிகளின் நிறை 1 மற்றும் pq உடன் இருந்தால், AB1: B1C = pq: 1. செக்மென்ட் ஏசியில் கொடுக்கப்பட்ட விகிதமான AB1: B1C இல் பிரிக்கும் ஒற்றைப் புள்ளி உள்ளது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

2. செவாவின் தேற்றம்

ஒரு முக்கோணத்தின் உச்சியை எதிர் பக்கத்தில் ஒரு புள்ளியுடன் இணைக்கும் பிரிவு அழைக்கப்படுகிறதுசெவியானா . இவ்வாறு, ஒரு முக்கோணத்தில் இருந்தால்ஏபிசி எக்ஸ் , ஒய் மற்றும் Z - புள்ளிகள் பக்கவாட்டில் கிடக்கின்றனபொ.ச. , சி.ஏ. , ஏபி அதன்படி, பின்னர் பிரிவுகள்AX , மூலம் , CZ செவியர்கள். இந்த வார்த்தை இத்தாலிய கணிதவியலாளர் ஜியோவானி செவாவிடமிருந்து வந்தது, அவர் 1678 இல் பின்வரும் மிகவும் பயனுள்ள தேற்றத்தை வெளியிட்டார்:

தேற்றம் 1.21. ஏபிசி முக்கோணத்தின் மூன்று செவியன்கள் AX, BY, CZ (ஒவ்வொரு உச்சியிலிருந்தும் ஒன்று) போட்டியாக இருந்தால், பிறகு

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

அரிசி. 3.

மூன்று கோடுகள் (அல்லது பிரிவுகள்) என்று நாம் கூறும்போதுபோட்டி , பின்னர் அவை அனைத்தும் ஒரு புள்ளியைக் கடந்து செல்கின்றன, அதை நாம் குறிக்கிறோம்பி . செவாவின் தேற்றத்தை நிரூபிக்க, சம உயரங்களைக் கொண்ட முக்கோணங்களின் பகுதிகள் முக்கோணங்களின் தளங்களுக்கு விகிதாசாரமாக இருப்பதை நினைவுபடுத்தவும். படம் 3 ஐக் குறிப்பிடுவது, எங்களிடம் உள்ளது:

|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX−SPBXSAXC−SPXC= SABPSCAP.

அதேபோல்,

|CY||YA|= எஸ்.பி.சி.பிSABP, |AZ||ZB|= SCAPஎஸ்.பி.சி.பி.

இப்போது அவற்றைப் பெருக்கினால் கிடைக்கும்

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|= SABPSCAP· எஸ்.பி.சி.பிSABP· SCAPஎஸ்.பி.சி.பி=1 .

இந்த தேற்றத்தின் கருத்தும் உண்மையே:

தேற்றம் 1.22. AX, BY, CZ ஆகிய மூன்று செவியன்கள் உறவைத் திருப்திப்படுத்தினால்

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 ,

பின்னர் அவர்கள் போட்டியாக இருக்கிறார்கள் .

இதைக் காட்ட, முதல் இரண்டு செவியன்கள் புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம்பி , முன்பு போலவே, மூன்றாவது செவியன் புள்ளி வழியாக செல்கிறதுபி , விருப்பம்CZ′ . பின்னர், தேற்றம் 1.21 மூலம்,

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ′||Z′B|=1 .

ஆனால் அனுமானத்தின் மூலம்

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

எனவே,

|AZ||ZB|= |AZ′||Z′B| ,

புள்ளிZ′ புள்ளியுடன் ஒத்துப்போகிறதுZ , மற்றும் பிரிவுகள் என்பதை நாங்கள் நிரூபித்தோம்AX , மூலம் மற்றும்CZ போட்டி (, ப. 54 மற்றும் , பக். 48, 317).

கணிதம் - 10 ஆம் வகுப்பு மெண்டல் விக்டர் வாசிலீவிச், தூர கிழக்கு மாநில பல்கலைக்கழகத்தின் இயற்கை அறிவியல், கணிதம் மற்றும் தகவல் தொழில்நுட்ப பீடத்தின் டீன் சேவாவின் கோட்பாடு மற்றும் மெனலேயின் கோட்பாடு இரண்டு குறிப்பிடத்தக்க கோட்பாடுகளுக்கு கோளவியலில் ஒரு சிறப்பு இடம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: செவாவின் தேற்றம் மற்றும் மெனலாஸ் தேற்றம். இந்த கோட்பாடுகள் உயர்நிலைப் பள்ளி வடிவவியலின் அடிப்படை பாடத்திட்டத்தில் சேர்க்கப்படவில்லை, ஆனால் பள்ளி பாடத்திட்டத்தின் கட்டமைப்பிற்குள் சாத்தியமானதை விட சற்று அதிகமாக கணிதத்தில் ஆர்வமுள்ள எவருக்கும் அவற்றின் ஆய்வு (மற்றும் பயன்பாடு) பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. இந்த கோட்பாடுகள் ஏன் சுவாரஸ்யமானவை? முதலில், வடிவியல் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​​​இரண்டு அணுகுமுறைகள் உற்பத்தி ரீதியாக இணைக்கப்படுகின்றன என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்: - ஒன்று ஒரு அடிப்படை கட்டமைப்பின் வரையறையை அடிப்படையாகக் கொண்டது (உதாரணமாக: ஒரு முக்கோணம் - ஒரு வட்டம்; ஒரு முக்கோணம் - ஒரு செகண்ட் கோடு; ஒரு முக்கோணம் - மூன்று நேர் கோடுகள் அதன் செங்குத்துகள் வழியாகச் சென்று ஒரு கட்டத்தில் வெட்டும்; இரண்டு இணையான பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு நாற்கரம், முதலியன) - மற்றும் இரண்டாவது ஆதரவு சிக்கல்களின் முறை (சிக்கலான சிக்கலைத் தீர்க்கும் செயல்முறை குறைக்கப்படும் எளிய வடிவியல் சிக்கல்கள்). எனவே, மெனெலாஸ் மற்றும் சேவாவின் கோட்பாடுகள் அடிக்கடி எதிர்கொள்ளும் கட்டுமானங்களில் ஒன்றாகும்: முதலாவது ஒரு முக்கோணத்தைக் கருதுகிறது, பக்கங்களின் பக்கங்கள் அல்லது நீட்டிப்புகள் சில கோடுகளால் வெட்டப்படுகின்றன (செகண்ட்), இரண்டாவது ஒரு முக்கோணம் மற்றும் மூன்று கோடுகள் கடந்து செல்கிறது. அதன் செங்குத்துகள் வழியாக, ஒரு புள்ளியில் வெட்டும். மெனெலாஸின் தேற்றம் இந்த தேற்றம் பிரிவுகளின் காணக்கூடிய (தலைகீழ் ஒன்றாக) உறவுகளைக் காட்டுகிறது, ஒரு முக்கோணத்தின் செங்குத்துகளை இணைக்கும் ஒரு முறை மற்றும் முக்கோணத்தின் பக்கங்களுடன் (பக்கங்களின் நீட்டிப்புகள்) ஒரு செகண்டின் வெட்டுப்புள்ளிகள். வரைபடங்கள் முக்கோணத்தின் இருப்பிடம் மற்றும் செக்கன்ட்டின் இரண்டு சாத்தியமான நிகழ்வுகளைக் காட்டுகின்றன. முதல் வழக்கில், செகண்ட் முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களையும், மூன்றாவது நீட்டிப்பையும் வெட்டுகிறது, இரண்டாவதாக - முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் தொடர்ச்சி. தேற்றம் 1. (மெனெலாஸ்) ABC ஆனது AB பக்கத்திற்கு இணையாக இல்லாத ஒரு நேர்கோட்டால் வெட்டப்பட வேண்டும் மற்றும் அதன் இரு பக்கங்களான AC மற்றும் BC ஐ முறையே, B1 மற்றும் A1 புள்ளிகளிலும், AB என்ற நேர்கோடு C1 புள்ளியிலும், பின்னர் AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A தேற்றம் 2. (மெனெலாஸ் தேற்றத்திற்கு மாற்றவும்) ABC முக்கோணத்தில் உள்ள A1, B1, C1 புள்ளிகள் முறையே BC, AC, AB என்ற நேர்கோடுகளுக்கு உரியதாக இருக்கட்டும், பிறகு AB1 CA1 BC1 என்றால்   1 B1C A1B C1 A, பின்னர் A1, B1, C1 புள்ளிகள் ஒரு நேர்கோட்டில் இருக்கும். முதல் தேற்றத்தின் ஆதாரம் பின்வருமாறு மேற்கொள்ளப்படலாம்: முக்கோணத்தின் அனைத்து செங்குத்துகளிலிருந்தும் செங்குத்தாக செக்கன்ட் கோட்டில் குறைக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக மூன்று ஜோடி ஒத்த வலது முக்கோணங்கள் உள்ளன. தேற்றத்தின் உருவாக்கத்தில் தோன்றும் பிரிவுகளின் உறவுகள் ஒற்றுமையுடன் தொடர்புடைய செங்குத்து உறவுகளால் மாற்றப்படுகின்றன. பின்னங்களில் உள்ள ஒவ்வொரு செங்குத்து பிரிவும் இரண்டு முறை இருக்கும் என்று மாறிவிடும்: எண்ணில் ஒரு பின்னத்தில் ஒரு முறை, வகுப்பில் மற்றொரு பின்னத்தில் இரண்டாவது முறை. எனவே, இந்த அனைத்து விகிதங்களின் பலன் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும். மாற்று தேற்றத்தை முரண்பாட்டால் நிரூபிக்க முடியும். தேற்றம் 2 இன் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், A1, B1, C1 புள்ளிகள் ஒரே நேர்கோட்டில் இருக்காது என்று கருதப்படுகிறது. பின்னர் நேர்கோடு A1B1 புள்ளி C1 இலிருந்து வேறுபட்ட C2 புள்ளியில் AB பக்கத்தை வெட்டும். இந்த வழக்கில், தேற்றம் 1 இன் அடிப்படையில், A1, B1, C2 புள்ளிகளுக்கு A1, B1, C1 புள்ளிகளுக்கு இருக்கும் அதே தொடர்பு இருக்கும். இதிலிருந்து C1 மற்றும் C2 புள்ளிகள் AB பிரிவை ஒரே விகிதத்தில் பிரிக்கும். இந்த புள்ளிகள் ஒத்துப்போகின்றன - நமக்கு ஒரு முரண்பாடு கிடைக்கிறது. மெனெலாஸ் தேற்றத்தின் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம். எடுத்துக்காட்டு 1. வெட்டுப்புள்ளியில் உள்ள முக்கோணத்தின் இடைநிலைகள் உச்சியில் இருந்து தொடங்கி 2:1 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன என்பதை நிரூபிக்கவும். தீர்வு. தேற்றத்தில் பெறப்பட்ட தொடர்பை எழுதுவோம், ABMb முக்கோணத்திற்கும் McM(C) என்ற முக்கோணத்திற்கும் மெனெலாஸ்: AM c BM M bC    1. M c B MM b CA இந்த தயாரிப்பின் முதல் பின்னம் வெளிப்படையாக சமமாக உள்ளது. 1 க்கு, மூன்றாவது இரண்டாவது விகிதம் 1 க்கு சமம். எனவே 2 2:1, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டு 2. புள்ளி B1 இல் முக்கோண ABCயின் பக்க ஏசியின் நீட்டிப்பை ஒரு நொடி வெட்டுகிறது, இதனால் C என்பது பிரிவு AB1 இன் நடுப்புள்ளியாகும். இந்த செகண்ட் பக்க AB ஐ பாதியாக பிரிக்கிறது. இது எந்த விகிதத்தில் பக்கத்தை BC பிரிக்கிறது என்பதைக் கண்டறியவும்? தீர்வு. ஒரு முக்கோணம் மற்றும் ஒரு நொடிக்கு, மெனெலாஸின் தேற்றத்திலிருந்து மூன்று விகிதங்களின் பெருக்கத்தை எழுதுவோம்: AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A சிக்கலின் நிலைமைகளில் இருந்து, முதல் விகிதம் ஒன்றுக்கு சமம், மற்றும் மூன்றாவது 1, 2, எனவே இரண்டாவது விகிதம் 2 க்கு சமம், அதாவது, 2:1 என்ற விகிதத்தில் செகண்ட் BC பக்கத்தைப் பிரிக்கிறது. செவாவின் தேற்றத்தின் சான்றைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது மெனலாஸின் தேற்றத்தின் பயன்பாட்டின் அடுத்த உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். செவாவின் தேற்றம் ஒரு முக்கோணத்தின் குறிப்பிடத்தக்க புள்ளிகளில் பெரும்பாலானவற்றை பின்வரும் நடைமுறையைப் பயன்படுத்தி பெறலாம். ஏபிசி முக்கோணத்தின் (எடுத்துக்காட்டுக்கு, இந்தப் பக்கத்தின் நடுப்புள்ளியைத் தேர்வுசெய்யவும்) BC (அல்லது அதன் தொடர்ச்சி) பக்கத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி A1 ஐத் தேர்வுசெய்ய சில விதிகள் இருக்கட்டும். முக்கோணத்தின் மற்ற இரண்டு பக்கங்களிலும் இதே போன்ற புள்ளிகள் B1, C1 ஐ உருவாக்குவோம் (எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், பக்கங்களின் மேலும் இரண்டு நடுப்புள்ளிகள்). தேர்வு விதி வெற்றிகரமாக இருந்தால், AA1, BB1, CC1 கோடுகள் Z என்ற ஒரு கட்டத்தில் வெட்டும் (இந்த அர்த்தத்தில் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளின் தேர்வு, நிச்சயமாக, வெற்றிகரமானது, ஏனெனில் முக்கோணத்தின் இடைநிலைகள் ஒரு கட்டத்தில் வெட்டுகின்றன. ) ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் உள்ள புள்ளிகளின் நிலையிலிருந்து தொடர்புடைய மூன்று கோடுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகிறதா இல்லையா என்பதை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கும் சில பொதுவான முறையை நான் விரும்புகிறேன். இந்த சிக்கலை "மூடிய" உலகளாவிய நிலை 1678 இல் இத்தாலிய பொறியாளர் ஜியோவானி செவாவால் கண்டறியப்பட்டது. வரையறை. ஒரு முக்கோணத்தின் முனைகளை எதிர் பக்கங்களில் உள்ள புள்ளிகளுடன் இணைக்கும் பகுதிகள் (அல்லது அவற்றின் நீட்டிப்புகள்) ஒரு புள்ளியில் வெட்டினால் அவை செவியன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. செவியன்களுக்கு இரண்டு சாத்தியமான இடங்கள் உள்ளன. ஒரு மாறுபாட்டில், வெட்டுப்புள்ளி உட்புறமானது, மற்றும் செவியன்களின் முனைகள் முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் உள்ளன. இரண்டாவது விருப்பத்தில், வெட்டுப்புள்ளி வெளிப்புறமானது, ஒரு செவியனின் முடிவு பக்கத்தில் உள்ளது, மற்ற இரண்டு செவியன்களின் முனைகள் பக்கங்களின் நீட்டிப்புகளில் உள்ளன (வரைபடங்களைப் பார்க்கவும்). தேற்றம் 3. (சேவாவின் நேரடி தேற்றம்) ஏபிசியின் தன்னிச்சையான முக்கோணத்தில், BC, CA, AB அல்லது அவற்றின் நீட்டிப்புகளில், A1, B1, C1 புள்ளிகள் முறையே எடுக்கப்படுகின்றன, அதாவது AA1, BB1, CC1 கோடுகள் சில பொதுவான இடங்களில் வெட்டுகின்றன. புள்ளி, பின்னர் BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 . ஆதாரம்: செவாவின் தேற்றத்திற்கு பல அசல் சான்றுகள் உள்ளன; மெனலாஸ் தேற்றத்தின் இரட்டைப் பயன்பாட்டின் அடிப்படையில் ஒரு நிரூபணத்தை நாங்கள் பரிசீலிப்போம். முக்கோண ABB1 மற்றும் செகண்ட் CC1 ஆகியவற்றிற்கு முதன்முறையாக மெனெலாஸ் தேற்றத்தின் தொடர்பை எழுதுவோம் (செவியன்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியை Z எனக் குறிப்பிடுகிறோம்): AC1 BZ B1C    1, C1B ZB1 CA மற்றும் இரண்டாவது முறையாக முக்கோணம் B1BC மற்றும் செகண்ட் AA1: B1Z BA1 ​​CA    1. ZB A1C AB1 இந்த இரண்டு விகிதங்களையும் பெருக்கி தேவையான குறைப்புகளைச் செய்து, தேற்றத்தின் அறிக்கையில் உள்ள விகிதத்தைப் பெறுகிறோம். தேற்றம் 4. (செவாவின் உரையாடல் தேற்றம்). முக்கோண ABC அல்லது அவற்றின் நீட்டிப்புகளின் பக்கங்களில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட A1, B1 மற்றும் C1 புள்ளிகளுக்கு, சேவாவின் நிபந்தனை திருப்திகரமாக இருக்கும்: BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1, பின்னர் AA1, BB1 மற்றும் CC1 கோடுகள் ஒரு கட்டத்தில் வெட்டுகின்றன. இந்த தேற்றத்தின் நிரூபணம் மெனெலாஸ் தேற்றத்தின் நிரூபணம் போலவே முரண்பாட்டால் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. செவாவின் நேரடி மற்றும் தலைகீழ் தேற்றங்களின் பயன்பாட்டின் உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம். எடுத்துக்காட்டு 3. ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலைகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்பதை நிரூபிக்கவும். தீர்வு. முக்கோணத்தின் முனைகளுக்கும் அதன் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளுக்கும் AC1 BA1 CB1   C1B A1C B1 A என்ற தொடர்பைக் கவனியுங்கள். வெளிப்படையாக, ஒவ்வொரு பின்னத்திலும் எண் மற்றும் வகுப்பின் சம பிரிவுகள் உள்ளன, எனவே இந்த பின்னங்கள் அனைத்தும் ஒன்றுக்கு சமம். இதன் விளைவாக, சேவாவின் உறவு திருப்தி அடைந்தது, எனவே, மாற்று தேற்றத்தால், இடைநிலைகள் ஒரு கட்டத்தில் வெட்டுகின்றன. சுயாதீன தீர்வுக்கான சிக்கல்கள் இங்கு முன்மொழியப்பட்ட பிரச்சனைகள் 9 ஆம் வகுப்பு மாணவர்களுக்கான சோதனை வேலை எண். 1 ஆகும். இந்த சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும், தீர்வுகளை ஒரு தனி நோட்புக்கில் எழுதவும் (இயற்பியல் மற்றும் கணினி அறிவியலில் இருந்து). அட்டையில் உங்களைப் பற்றிய பின்வரும் தகவலைக் குறிப்பிடவும்: 1. கடைசி பெயர், முதல் பெயர், வகுப்பு, வகுப்பு சுயவிவரம் (எடுத்துக்காட்டாக: வாசிலி பப்கின், 9 ஆம் வகுப்பு, கணிதம்) 2. ஜிப் குறியீடு, வசிக்கும் முகவரி, மின்னஞ்சல் (ஏதேனும் இருந்தால்), தொலைபேசி ( வீடு அல்லது மொபைல்)) 3. பள்ளி பற்றிய தகவல் (உதாரணமாக: MBOU எண். 1, பிகின் கிராமம்) 4. கடைசி பெயர், கணித ஆசிரியரின் முழு பெயர் (உதாரணமாக: கணித ஆசிரியர் பெட்ரோவா எம்.ஐ.) குறைந்தது நான்கு சிக்கல்களைத் தீர்க்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. எம் 9.1.1. மெனெலாஸ் தேற்றத்திலிருந்து வரும் செகண்ட் கோடு ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களை (அல்லது அவற்றின் நீட்டிப்புகள்) நீளத்தின் பகுதிகளாக வெட்ட முடியுமா: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10, அத்தகைய விருப்பங்கள் சாத்தியமானால், எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொடுங்கள். பிரிவுகள் வெவ்வேறு ஆர்டர்களில் செல்லலாம். எம் 9.1.2. ஒரு முக்கோணத்தின் உட்புற செவியன்கள் அதன் பக்கங்களை பிரிவுகளாகப் பிரிக்க முடியுமா: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10, அத்தகைய விருப்பங்கள் சாத்தியமானால், எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொடுங்கள். பிரிவுகள் வெவ்வேறு ஆர்டர்களில் செல்லலாம். குறிப்பு: எடுத்துக்காட்டுகளுடன் வரும்போது, ​​​​முக்கோணம் ஒரே மாதிரியாக இல்லை என்பதை சரிபார்க்க மறக்காதீர்கள். எம் 9.1.3. செவாவின் உரையாடல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, இதை நிரூபிக்கவும்: a) ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பிரிவுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன; b) முக்கோணத்தின் முனைகளை எதிர் பக்கங்களில் உள்ள புள்ளிகளுடன் இணைக்கும் பகுதிகள், இந்த பக்கங்கள் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தைத் தொடும், ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன. திசைகள்: a) இருசெக்டார் எதிர் பக்கத்தை எந்த விகிதத்தில் பிரிக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க; b) ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட வட்டத்திற்கு வரையப்பட்ட இரண்டு தொடுகோடுகளின் பகுதிகள் சமமாக இருக்கும் பண்புகளைப் பயன்படுத்தவும். எம் 9.1.4. கட்டுரையின் முதல் பகுதியில் தொடங்கிய மெனலாஸின் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை முடிக்கவும். எம் 9.1.5. ஒரு முக்கோணத்தின் உயரங்கள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்பதை செவாவின் உரையாடல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்கவும். எம் 9.1.6. சிம்ப்சனின் தேற்றத்தை நிரூபிக்கவும்: ஏபிசி முக்கோணத்தைச் சுற்றி வளைக்கப்பட்ட ஒரு வட்டத்தில் எடுக்கப்பட்ட ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியில் இருந்து, செங்குத்துகள் முக்கோணத்தின் பக்கங்களிலும் அல்லது நீட்டிப்புகளிலும் விடப்படுகின்றன, இந்த செங்குத்துகளின் தளங்கள் ஒரே நேர்கோட்டில் உள்ளன என்பதை நிரூபிக்கவும். குறிப்பு: மெனெலாஸ் தேற்றத்தின் உரையாடலைப் பயன்படுத்தவும். உறவுகளில் பயன்படுத்தப்படும் பிரிவுகளின் நீளத்தை அவற்றின் புள்ளி M இலிருந்து வரையப்பட்ட செங்குத்துகளின் நீளத்தின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த முயற்சிக்கவும். பொறிக்கப்பட்ட நாற்கரத்தின் கோணங்களின் பண்புகளை நினைவுபடுத்துவதும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.