பணி எண் 1
தர்க்கம் எளிதானது: இப்போது முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் மிகவும் சிக்கலான வாதத்தைக் கொண்டிருக்கின்றன என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல், முன்பு செய்ததைப் போலவே செய்வோம்!
படிவத்தின் சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்றால்:
பின்னர் பின்வரும் பதிலை எழுதுவோம்:
அல்லது (அதிலிருந்து)
ஆனால் இப்போது இந்த வெளிப்பாட்டின் மூலம் எங்கள் பங்கு வகிக்கப்படுகிறது:
பின்னர் நாம் எழுதலாம்:
உங்களுடன் எங்கள் குறிக்கோள், இடது பக்கம் எந்த "அசுத்தங்களும்" இல்லாமல் எளிமையாக நிற்கிறது என்பதை உறுதிப்படுத்துவதாகும்!
படிப்படியாக அவற்றை அகற்றுவோம்!
முதலில், வகுப்பினை அகற்றுவோம்: இதைச் செய்ய, நமது சமத்துவத்தைப் பெருக்கவும்:
இப்போது இரண்டு பகுதிகளையும் பிரிப்பதன் மூலம் அதை அகற்றுவோம்:
இப்போது எட்டில் இருந்து விடுபடலாம்:
இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடு 2 தொடர் தீர்வுகளாக எழுதப்படலாம் (ஒரு இருபடி சமன்பாட்டுடன் ஒப்புமை மூலம், பாகுபாட்டைக் கூட்டலாம் அல்லது கழிக்கலாம்)
மிகப்பெரிய எதிர்மறை மூலத்தை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்! நாம் வரிசைப்படுத்த வேண்டும் என்பது தெளிவாகிறது.
முதலில் முதல் அத்தியாயத்தைப் பார்ப்போம்:
நாம் எடுத்துக் கொண்டால், இதன் விளைவாக நேர்மறை எண்களைப் பெறுவோம் என்பது தெளிவாகிறது, ஆனால் அவை எங்களுக்கு ஆர்வம் காட்டவில்லை.
எனவே நீங்கள் எதிர்மறையாக எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். இருக்கட்டும்.
வேர் குறுகலாக இருக்கும் போது:
மேலும் மிகப்பெரிய எதிர்மறையை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்!! எதிர்மறையான திசையில் செல்வது இங்கே அர்த்தமற்றது என்று அர்த்தம். இந்தத் தொடருக்கான மிகப்பெரிய எதிர்மறை ரூட் சமமாக இருக்கும்.
இப்போது இரண்டாவது தொடரைப் பார்ப்போம்:
மீண்டும் நாம் மாற்றுகிறோம்: , பின்னர்:
ஆர்வம் இல்லை!
பிறகு மேலும் அதிகரிப்பதில் அர்த்தமில்லை! குறைப்போம்! பிறகு விடுங்கள்:
பொருந்துகிறது!
இருக்கட்டும். பிறகு
பின்னர் - மிகப்பெரிய எதிர்மறை வேர்!
பதில்:
பணி எண் 2
சிக்கலான கொசைன் வாதத்தைப் பொருட்படுத்தாமல் நாங்கள் மீண்டும் தீர்க்கிறோம்:
இப்போது நாம் இடதுபுறத்தில் மீண்டும் வெளிப்படுத்துகிறோம்:
இருபுறமும் பெருக்கவும்
இருபுறமும் பிரிக்கவும்
அதன் அடையாளத்தை மைனஸிலிருந்து பிளஸாக மாற்றுவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது.
நாம் மீண்டும் 2 தொடர் வேர்களைப் பெறுகிறோம், ஒன்று மற்றும் மற்றொன்று.
மிகப்பெரிய எதிர்மறை மூலத்தை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முதல் அத்தியாயத்தைப் பார்ப்போம்:
முதல் எதிர்மறை மூலத்தைப் பெறுவோம் என்பது தெளிவாகிறது, அது சமமாக இருக்கும் மற்றும் 1 தொடரின் மிகப்பெரிய எதிர்மறை மூலமாக இருக்கும்.
இரண்டாவது தொடருக்கு
முதல் எதிர்மறை மூலமும் பெறப்படும் மற்றும் சமமாக இருக்கும். பின்னர், சமன்பாட்டின் மிகப்பெரிய எதிர்மறை வேர்.
பதில்: .
பணி எண் 3
சிக்கலான தொடுகோடு வாதத்தைப் பொருட்படுத்தாமல் நாங்கள் தீர்க்கிறோம்.
இப்போது, அது சிக்கலானதாகத் தெரியவில்லை, இல்லையா?
முன்பு போலவே, இடது பக்கத்தில் வெளிப்படுத்துகிறோம்:
நன்றாக இருக்கிறது, இங்கே ஒரே ஒரு தொடர் வேர்கள் மட்டுமே உள்ளன! மிகப்பெரிய எதிர்மறையை மீண்டும் கண்டுபிடிப்போம்.
கீழே வைத்தால் மாறிவிடும் என்பது தெளிவாகிறது. மேலும் இந்த வேர் சமமானது.
பதில்:
இப்போது பின்வரும் சிக்கல்களை நீங்களே தீர்க்க முயற்சிக்கவும்.
வீட்டுப்பாடம் அல்லது சுயாதீனமாக தீர்க்க 3 பணிகள்.
- சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.
- சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.
பை-ஷி-த்-தி-சிறிய-சாத்தியமான ரூட்டின் பதிலில். - சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.
பை-ஷி-த்-தி-சிறிய-சாத்தியமான ரூட்டின் பதிலில்.
தயாரா? சரிபார்ப்போம். முழு தீர்வு வழிமுறையையும் நான் விரிவாக விவரிக்க மாட்டேன்; இது ஏற்கனவே மேலே போதுமான கவனத்தைப் பெற்றுள்ளது என்று எனக்குத் தோன்றுகிறது.
சரி, எல்லாம் சரியாக இருக்கிறதா? ஓ, அந்த மோசமான சைனஸ்கள், அவற்றுடன் எப்பொழுதும் சில வகையான பிரச்சனைகள் இருக்கும்!
சரி, இப்போது நீங்கள் எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கலாம்!
தீர்வுகள் மற்றும் பதில்களைப் பாருங்கள்:
பணி எண் 1
வெளிப்படுத்துவோம்
சிறிய நேர்மறை மூலத்தை நாம் வைத்தால் பெறப்படுகிறது, பின்னர்
பதில்:
பணி எண் 2
மிகச்சிறிய நேர்மறை ரூட் பெறப்படுகிறது.
அது சமமாக இருக்கும்.
பதில்: .
பணி எண் 3
கிடைக்கும் போது, கிடைக்கும் போது.
பதில்: .
இந்த அறிவு தேர்வில் நீங்கள் சந்திக்கும் பல பிரச்சனைகளை தீர்க்க உதவும்.
நீங்கள் "5" மதிப்பீட்டிற்கு விண்ணப்பிக்கிறீர்கள் என்றால், நீங்கள் கட்டுரையைப் படிக்கத் தொடர வேண்டும் நடுத்தர நிலைஇது மிகவும் சிக்கலான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை (பணி C1) தீர்க்க அர்ப்பணிக்கப்படும்.
சராசரி நிலை
இந்த கட்டுரையில் நான் விவரிக்கிறேன் மிகவும் சிக்கலான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதுமற்றும் அவற்றின் வேர்களை எவ்வாறு தேர்வு செய்வது. இங்கே நான் பின்வரும் தலைப்புகளில் வரைகிறேன்:
- தொடக்க நிலைக்கான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் (மேலே காண்க).
மிகவும் சிக்கலான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மேம்பட்ட சிக்கல்களுக்கு அடிப்படையாகும். பொதுவான வடிவத்தில் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியைச் சேர்ந்த இந்த சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவது இரண்டும் அவர்களுக்குத் தேவை.
முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது இரண்டு துணைப் பணிகளுக்கு வரும்:
- சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது
- ரூட் தேர்வு
இரண்டாவது எப்போதும் தேவையில்லை என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும், ஆனால் பெரும்பாலான எடுத்துக்காட்டுகளில் தேர்வு இன்னும் தேவைப்படுகிறது. ஆனால் அது தேவையில்லை என்றால், நாங்கள் உங்களுடன் அனுதாபம் காட்டலாம் - இதன் பொருள் சமன்பாடு மிகவும் சிக்கலானது.
C1 சிக்கல்களை பகுப்பாய்வு செய்வதில் எனது அனுபவம், அவை பொதுவாக பின்வரும் வகைகளாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன என்பதைக் காட்டுகிறது.
அதிகரித்த சிக்கலான பணிகளின் நான்கு பிரிவுகள் (முன்பு C1)
- காரணியாக்கத்திற்கு குறைக்கும் சமன்பாடுகள்.
- சமன்பாடுகள் வடிவத்திற்கு குறைக்கப்பட்டன.
- ஒரு மாறியை மாற்றுவதன் மூலம் சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படுகின்றன.
- பகுத்தறிவின்மை அல்லது வகுப்பின் காரணமாக வேர்களின் கூடுதல் தேர்வு தேவைப்படும் சமன்பாடுகள்.
எளிமையாகச் சொல்வதானால்: நீங்கள் பிடிபட்டால் முதல் மூன்று வகைகளின் சமன்பாடுகளில் ஒன்று, பின்னர் உங்களை அதிர்ஷ்டசாலி என்று கருதுங்கள். அவர்களுக்கு, ஒரு விதியாக, நீங்கள் கூடுதலாக ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியைச் சேர்ந்த வேர்களைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.
நீங்கள் ஒரு வகை 4 சமன்பாட்டைக் கண்டால், நீங்கள் குறைவான அதிர்ஷ்டசாலி: நீங்கள் அதை நீண்ட மற்றும் கவனமாக டிங்கர் செய்ய வேண்டும், ஆனால் பெரும்பாலும் இதற்கு கூடுதல் வேர்கள் தேவையில்லை. ஆயினும்கூட, இந்த வகை சமன்பாடுகளை அடுத்த கட்டுரையில் பகுப்பாய்வு செய்வேன், மேலும் இது முதல் மூன்று வகைகளின் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு அர்ப்பணிப்பேன்.
காரணியாக்கத்திற்கு குறைக்கும் சமன்பாடுகள்
இந்த வகை சமன்பாட்டைத் தீர்க்க நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டிய மிக முக்கியமான விஷயம்
நடைமுறையில் காண்பிக்கிறபடி, ஒரு விதியாக, இந்த அறிவு போதுமானது. சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்:
எடுத்துக்காட்டு 1. சமன்பாடு குறைப்பு மற்றும் இரட்டை கோண சைன் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காரணியாக்கத்திற்கு குறைக்கப்பட்டது
- சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
- வெட்டுக்கு மேலே இருக்கும் இந்த சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களையும் கண்டறியவும்
இங்கே, நான் உறுதியளித்தபடி, குறைப்பு சூத்திரங்கள் வேலை செய்கின்றன:
பின்னர் எனது சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்:
பின்னர் எனது சமன்பாடு பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:
ஒரு குறுகிய பார்வையுள்ள மாணவர் கூறலாம்: இப்போது நான் இரு பக்கங்களையும் குறைத்து, எளிமையான சமன்பாட்டைப் பெற்று வாழ்க்கையை அனுபவிக்கிறேன்! மேலும் அவர் கடுமையாக தவறாக நினைக்கப்படுவார்!
| நினைவில் கொள்ளுங்கள்: அறியப்படாத ஒரு செயல்பாட்டின் மூலம் முக்கோணவியல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் உங்களால் குறைக்க முடியாது! எனவே நீங்கள் உங்கள் வேர்களை இழக்கிறீர்கள்! |
அதனால் என்ன செய்வது? ஆம், இது எளிதானது, எல்லாவற்றையும் ஒரு பக்கத்திற்கு நகர்த்தி பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்:
சரி, நாங்கள் அதை காரணிகளாகக் கருதினோம், ஹர்ரே! இப்போது முடிவு செய்வோம்:
முதல் சமன்பாடு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:
மற்றும் இரண்டாவது:
இது சிக்கலின் முதல் பகுதியை நிறைவு செய்கிறது. இப்போது நீங்கள் வேர்களைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்:
இடைவெளி பின்வருமாறு:
அல்லது இதை இப்படியும் எழுதலாம்:
சரி, வேர்களை எடுத்துக் கொள்வோம்:
முதலில், முதல் எபிசோடில் வேலை செய்வோம் (அது மிகவும் எளிமையானது, குறைந்த பட்சம்!)
எங்கள் இடைவெளி முற்றிலும் எதிர்மறையாக இருப்பதால், எதிர்மறையானவற்றை எடுக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, அவை இன்னும் எதிர்மறையான வேர்களைக் கொடுக்கும்.
அதை எடுத்துக்கொள்வோம், பிறகு - இது மிகவும் அதிகமாக உள்ளது, அது அடிக்காது.
அது இருக்கட்டும் - நான் அதை மீண்டும் அடிக்கவில்லை.
இன்னும் ஒரு முயற்சி - பிறகு - ஆம், நான் புரிந்துகொண்டேன்! முதல் வேர் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது!
நான் மீண்டும் சுடுகிறேன்: நான் மீண்டும் அடித்தேன்!
சரி, இன்னும் ஒரு முறை: : - இது ஏற்கனவே ஒரு விமானம்.
எனவே முதல் தொடரிலிருந்து இடைவெளியைச் சேர்ந்த 2 வேர்கள் உள்ளன: .
நாங்கள் இரண்டாவது தொடருடன் வேலை செய்கிறோம் (நாங்கள் உருவாக்குகிறோம் விதியின்படி அதிகாரத்திற்கு):
அண்டர்ஷூட்!
மீண்டும் காணவில்லை!
மீண்டும் காணவில்லை!
அறிந்துகொண்டேன்!
விமானம்!
எனவே, எனது இடைவெளி பின்வரும் வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:
மற்ற எல்லா உதாரணங்களையும் தீர்க்க நாம் பயன்படுத்தும் அல்காரிதம் இதுதான். மேலும் ஒரு உதாரணத்துடன் ஒன்றாக பயிற்சி செய்வோம்.
எடுத்துக்காட்டு 2. சமன்பாடு குறைப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காரணியாக்கத்திற்கு குறைக்கப்பட்டது
- சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
தீர்வு:
மீண்டும் மோசமான குறைப்பு சூத்திரங்கள்:
மீண்டும் குறைக்க முயற்சிக்காதே!
முதல் சமன்பாடு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:
மற்றும் இரண்டாவது:
இப்போது மீண்டும் வேர்களுக்கான தேடல்.
நான் இரண்டாவது எபிசோடில் தொடங்குகிறேன், முந்தைய உதாரணத்திலிருந்து அதைப் பற்றி எனக்கு ஏற்கனவே தெரியும்! இடைவெளியைச் சேர்ந்த வேர்கள் பின்வருமாறு இருப்பதைப் பார்த்து உறுதிப்படுத்தவும்:
இப்போது முதல் அத்தியாயம் மற்றும் அது எளிமையானது:
என்றால் - பொருத்தமானது
அதுவும் நன்றாக இருந்தால்
இது ஏற்கனவே விமானம் என்றால்.
பின்னர் வேர்கள் பின்வருமாறு இருக்கும்:
சுதந்திரமான வேலை. 3 சமன்பாடுகள்.
சரி, நுட்பம் உங்களுக்கு தெளிவாக இருக்கிறதா? முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது அவ்வளவு கடினமாகத் தெரியவில்லையா? பின்வரும் சிக்கல்களை நீங்களே விரைவாக தீர்க்கவும், பின்னர் மற்ற எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் தீர்ப்போம்:
- சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
இடைவெளிக்கு மேலே இருக்கும் இந்த சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களையும் கண்டறியவும். - சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
வெட்டுக்கு மேலே இருக்கும் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் குறிக்கவும் - சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
அவற்றுக்கிடையே இருக்கும் இந்த சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களையும் கண்டறியவும்.
சமன்பாடு 1.
மீண்டும் குறைப்பு சூத்திரம்:
முதல் தொடர் வேர்கள்:
இரண்டாவது தொடர் வேர்கள்:
இடைவெளிக்கான தேர்வைத் தொடங்குகிறோம்
பதில்:,.
சமன்பாடு 2. சுயாதீனமான வேலையைச் சரிபார்க்கிறது.
காரணிகளாக மிகவும் தந்திரமான தொகுத்தல் (நான் இரட்டை கோண சைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவேன்):
பின்னர் அல்லது
இது ஒரு பொதுவான தீர்வு. இப்போது நாம் வேர்களைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். பிரச்சனை என்னவென்றால், கோசைன் கால் பகுதிக்கு சமமாக இருக்கும் கோணத்தின் சரியான மதிப்பை நம்மால் சொல்ல முடியாது. எனவே, நான் ஆர்க் கொசைனை அகற்ற முடியாது - இது போன்ற ஒரு அவமானம்!
நான் என்ன செய்ய முடியும், அப்படி, அதனால், பிறகு என்று கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
அட்டவணையை உருவாக்குவோம்: இடைவெளி:
சரி, வலிமிகுந்த தேடல்களின் மூலம், சுட்டிக்காட்டப்பட்ட இடைவெளியில் நமது சமன்பாட்டிற்கு ஒரு வேர் உள்ளது என்ற ஏமாற்றமளிக்கும் முடிவுக்கு வந்தோம்: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
சமன்பாடு 3: சுதந்திரமான வேலை சோதனை.
ஒரு பயமுறுத்தும் சமன்பாடு. இருப்பினும், இரட்டை கோண சைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இது மிகவும் எளிமையாக தீர்க்கப்படலாம்:
அதை 2 ஆல் குறைப்போம்:
முதல் வார்த்தையை இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது நான்காவதுடன் தொகுத்து, பொதுவான காரணிகளை எடுத்துக்கொள்வோம்:
முதல் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை என்பது தெளிவாகிறது, இப்போது இரண்டாவதாகக் கருதுவோம்:
பொதுவாக, இதுபோன்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் நான் சிறிது நேரம் கழித்து வாழப் போகிறேன், ஆனால் அது மாறியதால், எதுவும் செய்ய முடியாது, நான் அதை தீர்க்க வேண்டும் ...
படிவத்தின் சமன்பாடுகள்:
இந்த சமன்பாடு இரு பக்கங்களையும் பிரிப்பதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது:
எனவே, எங்கள் சமன்பாடு ஒரு ஒற்றை தொடர் வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:
இடைவெளியைச் சேர்ந்தவைகளை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்: .
நான் முன்பு செய்ததைப் போல மீண்டும் ஒரு அட்டவணையை உருவாக்குவோம்:
பதில்: .
சமன்பாடுகள் படிவத்தில் குறைக்கப்பட்டன:
சரி, இப்போது சமன்பாடுகளின் இரண்டாவது பகுதிக்குச் செல்ல வேண்டிய நேரம் வந்துவிட்டது, குறிப்பாக ஒரு புதிய வகையின் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வு என்ன என்பதை நான் ஏற்கனவே சிந்தியுள்ளதால். ஆனால் சமன்பாடு வடிவத்தில் உள்ளது என்பதை மீண்டும் சொல்வது மதிப்பு
கொசைன் மூலம் இருபுறமும் பிரிப்பதன் மூலம் தீர்க்கப்பட்டது:
- சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
வெட்டுக்கு மேலே இருக்கும் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் குறிக்கவும். - சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
அவற்றுக்கிடையே இருக்கும் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் குறிக்கவும்.
எடுத்துக்காட்டு 1.
முதலாவது மிகவும் எளிமையானது. வலதுபுறம் நகர்த்தி இரட்டை கோண கொசைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:
ஆம்! படிவத்தின் சமன்பாடு: . நான் இரண்டு பகுதிகளையும் பிரிக்கிறேன்
நாங்கள் ரூட் ஸ்கிரீனிங் செய்கிறோம்:
இடைவெளி:
பதில்:
உதாரணம் 2.
எல்லாம் மிகவும் அற்பமானது: வலதுபுறத்தில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம்:
அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம்:
இரட்டை கோணத்தின் சைன்:
இறுதியாக நாம் பெறுகிறோம்:
ரூட் ஸ்கிரீனிங்: இடைவெளி.
பதில்: .
சரி, நீங்கள் நுட்பத்தை எப்படி விரும்புகிறீர்கள், இது மிகவும் சிக்கலானது அல்லவா? முடியாது என நம்புகிறேன். நாம் உடனடியாக முன்பதிவு செய்யலாம்: அவற்றின் தூய வடிவத்தில், தொடுவானுக்கான சமன்பாட்டிற்கு உடனடியாகக் குறைக்கும் சமன்பாடுகள் மிகவும் அரிதானவை. பொதுவாக, இந்த மாற்றம் (கோசைன் மூலம் பிரிவு) மிகவும் சிக்கலான சிக்கலின் ஒரு பகுதி மட்டுமே. நீங்கள் பயிற்சி செய்ய இங்கே ஒரு எடுத்துக்காட்டு:
- சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
- வெட்டுக்கு மேலே இருக்கும் இந்த சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களையும் கண்டறியவும்.
சரிபார்ப்போம்:
சமன்பாட்டை உடனடியாக தீர்க்க முடியும்; இருபுறமும் பிரித்தால் போதும்:
ரூட் ஸ்கிரீனிங்:
பதில்: .
ஒரு வழி அல்லது வேறு, நாம் இப்போது ஆய்வு செய்த வகையின் சமன்பாடுகளை நாம் இன்னும் சந்திக்கவில்லை. இருப்பினும், அதை ஒரு நாள் என்று அழைப்பது மிக விரைவில்: இன்னும் ஒரு "அடுக்கு" சமன்பாடுகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்யவில்லை. அதனால்:
மாறிகளை மாற்றுவதன் மூலம் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது
இங்கே எல்லாம் வெளிப்படையானது: நாம் சமன்பாட்டை உன்னிப்பாகப் பார்க்கிறோம், முடிந்தவரை எளிதாக்குகிறோம், மாற்றீடு செய்கிறோம், அதைத் தீர்க்கிறோம், தலைகீழ் மாற்றீடு செய்கிறோம்! வார்த்தைகளில் எல்லாம் மிகவும் எளிது. செயலில் பார்ப்போம்:
உதாரணமாக.
- சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: .
- வெட்டுக்கு மேலே இருக்கும் இந்த சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களையும் கண்டறியவும்.
சரி, இங்கே மாற்றீடு தானே நமக்கு அறிவுறுத்துகிறது!
பின்னர் எங்கள் சமன்பாடு இப்படி மாறும்:
முதல் சமன்பாடு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:
மற்றும் இரண்டாவது இது போன்றது:
இப்போது இடைவெளியைச் சேர்ந்த வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்
பதில்: .
சற்று சிக்கலான உதாரணத்தை ஒன்றாகப் பார்ப்போம்:
- சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
- கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வேர்களைக் குறிக்கவும், அவற்றுக்கிடையே மேலே பொய்.
இங்கே மாற்றீடு உடனடியாகத் தெரியவில்லை, மேலும், இது மிகவும் தெளிவாக இல்லை. முதலில் சிந்திப்போம்: நாம் என்ன செய்ய முடியும்?
உதாரணமாக, நாம் கற்பனை செய்யலாம்
மற்றும் அதே நேரத்தில்
பின்னர் எனது சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:
இப்போது கவனம், கவனம்:
சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பிரிப்போம்:
திடீரென்று உங்களுக்கும் எனக்கும் ஒரு இருபடி சமன்பாடு உறவினர்! மாற்றீடு செய்வோம், பிறகு நாம் பெறுகிறோம்:
சமன்பாடு பின்வரும் வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:
விரும்பத்தகாத இரண்டாவது தொடர் வேர்கள், ஆனால் எதுவும் செய்ய முடியாது! இடைவெளியில் வேர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்.
என்பதையும் நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்
முதல் மற்றும், பின்னர்
பதில்:
சிக்கலை நீங்களே தீர்க்கும் முன் இதை வலுப்படுத்த, உங்களுக்கான மற்றொரு பயிற்சி இங்கே:
- சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
- அவற்றுக்கிடையே இருக்கும் இந்த சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களையும் கண்டறியவும்.
இங்கே நீங்கள் உங்கள் கண்களைத் திறந்து வைத்திருக்க வேண்டும்: எங்களிடம் இப்போது பூஜ்ஜியமாக இருக்கக்கூடிய பிரிவுகள் உள்ளன! எனவே, நீங்கள் வேர்களுக்கு குறிப்பாக கவனத்துடன் இருக்க வேண்டும்!
முதலில், நான் சமன்பாட்டை மறுசீரமைக்க வேண்டும், அதனால் நான் பொருத்தமான மாற்றீடு செய்ய முடியும். சைன் மற்றும் கொசைன் அடிப்படையில் டேன்ஜென்ட்டை மீண்டும் எழுதுவதை விட சிறப்பாக எதையும் இப்போது என்னால் நினைக்க முடியாது:
இப்போது நான் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி கொசைனிலிருந்து சைனுக்குச் செல்வேன்:
இறுதியாக, நான் எல்லாவற்றையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருகிறேன்:
இப்போது நான் சமன்பாட்டிற்கு செல்லலாம்:
ஆனால் மணிக்கு (அதாவது, மணிக்கு).
இப்போது எல்லாம் மாற்றுவதற்கு தயாராக உள்ளது:
பின்னர் அல்லது
இருப்பினும், என்றால், அதே நேரத்தில் என்பதை நினைவில் கொள்க!
இதனால் பாதிக்கப்படுவது யார்? கோசைன் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் போது (பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் நிகழும்) தொடுகோடு உள்ள பிரச்சனை அது வரையறுக்கப்படவில்லை.
எனவே, சமன்பாட்டின் வேர்கள்:
இப்போது நாம் இடைவெளியில் வேர்களை பிரித்தெடுக்கிறோம்:
| - பொருந்துகிறது | |
| - அதிகப்படியாக |
எனவே, எங்கள் சமன்பாடு இடைவெளியில் ஒரு ஒற்றை வேர் உள்ளது, அது சமமாக உள்ளது.
நீங்கள் பார்க்கிறீர்கள்: ஒரு வகுப்பின் தோற்றம் (தொடுகோடு போலவே, வேர்களுடன் சில சிரமங்களுக்கு வழிவகுக்கிறது! இங்கே நீங்கள் மிகவும் கவனமாக இருக்க வேண்டும்!).
சரி, நீங்களும் நானும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை பகுப்பாய்வு செய்து முடித்துவிட்டோம்; மிகக் குறைவாகவே உள்ளது - உங்கள் சொந்தமாக இரண்டு சிக்கல்களைத் தீர்க்க. இங்கே அவர்கள்.
- சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
வெட்டுக்கு மேலே இருக்கும் இந்த சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களையும் கண்டறியவும். - சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
வெட்டுக்கு மேலே அமைந்துள்ள இந்த சமன்பாட்டின் வேர்களைக் குறிக்கவும்.
முடிவு செய்ததா? இது மிகவும் கடினம் அல்லவா? சரிபார்ப்போம்:
- குறைப்பு சூத்திரங்களின்படி நாங்கள் வேலை செய்கிறோம்:
சமன்பாட்டில் மாற்றவும்:
மாற்றீட்டை எளிதாக்குவதற்கு, கோசைன்கள் மூலம் அனைத்தையும் மீண்டும் எழுதுவோம்:
இப்போது மாற்றீடு செய்வது எளிது:
சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லாததால், இது ஒரு புறம்பான வேர் என்பது தெளிவாகிறது. பிறகு:
இடைவெளியில் நமக்குத் தேவையான வேர்களைத் தேடுகிறோம்
பதில்: .
இங்கே மாற்றீடு உடனடியாகத் தெரியும்:பின்னர் அல்லது
- பொருந்துகிறது! - பொருந்துகிறது! - பொருந்துகிறது! - பொருந்துகிறது! - நிறைய! - மேலும் நிறைய! பதில்:
சரி, இப்போது அவ்வளவுதான்! ஆனால் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது அங்கு முடிவடையாது; மிகவும் கடினமான சந்தர்ப்பங்களில் நாம் பின்தங்கியுள்ளோம்: சமன்பாடுகளில் பகுத்தறிவின்மை அல்லது பல்வேறு வகையான "சிக்கலான பிரிவுகள்" இருக்கும்போது. ஒரு மேம்பட்ட நிலைக்கான கட்டுரையில் இதுபோன்ற பணிகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைப் பார்ப்போம்.
மேம்பட்ட நிலை
முந்தைய இரண்டு கட்டுரைகளில் விவாதிக்கப்பட்ட முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளுக்கு கூடுதலாக, இன்னும் கவனமாக பகுப்பாய்வு தேவைப்படும் மற்றொரு வகை சமன்பாடுகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த முக்கோணவியல் எடுத்துக்காட்டுகள் பகுத்தறிவின்மை அல்லது வகுப்பினைக் கொண்டிருக்கின்றன, இது அவற்றின் பகுப்பாய்வை மிகவும் கடினமாக்குகிறது. இருப்பினும், பரீட்சை தாளின் பகுதி C இல் இந்த சமன்பாடுகளை நீங்கள் நன்கு சந்திக்கலாம். இருப்பினும், ஒவ்வொரு மேகத்திற்கும் ஒரு வெள்ளிப் புறணி உள்ளது: அத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கு, ஒரு விதியாக, அதன் வேர்களில் எது கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளிக்கு சொந்தமானது என்ற கேள்வி இனி எழுப்பப்படவில்லை. நாம் புஷ் சுற்றி அடிக்க வேண்டாம், ஆனால் நேராக முக்கோணவியல் உதாரணங்கள் செல்லலாம்.
எடுத்துக்காட்டு 1.
சமன்பாட்டைத் தீர்த்து, பிரிவின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு:
பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கக் கூடாத வகுத்தல் நம்மிடம் உள்ளது! இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது கணினியைத் தீர்ப்பதற்கு சமம்
ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்போம்:
இப்போது இரண்டாவது:
இப்போது தொடரைப் பார்ப்போம்:
இந்த விருப்பம் எங்களுக்கு பொருந்தாது என்பது தெளிவாகிறது, ஏனெனில் இந்த விஷயத்தில் எங்கள் வகுப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்கு மீட்டமைக்கப்படுகிறது (இரண்டாவது சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பார்க்கவும்)
என்றால், எல்லாம் ஒழுங்காக இருந்தால், மற்றும் வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக இல்லை! பின்னர் சமன்பாட்டின் வேர்கள் பின்வருமாறு: , .
இப்போது நாம் இடைவெளியைச் சேர்ந்த வேர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்.
| - பொருத்தமானது அல்ல | - பொருந்துகிறது | |
| - பொருந்துகிறது | - பொருந்துகிறது | |
| அதிகப்படியாக | அதிகப்படியாக |
பின்னர் வேர்கள் பின்வருமாறு:
வகுப்பின் வடிவத்தில் ஒரு சிறிய இடையூறு தோன்றுவது கூட சமன்பாட்டின் தீர்வைக் கணிசமாகப் பாதித்தது: வகுப்பினை ரத்து செய்யும் தொடர்ச்சியான வேர்களை நாங்கள் நிராகரித்தோம். பகுத்தறிவற்ற முக்கோணவியல் எடுத்துக்காட்டுகளை நீங்கள் கண்டால் விஷயங்கள் இன்னும் சிக்கலானதாகிவிடும்.
உதாரணம் 2.
சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:
தீர்வு:
சரி, குறைந்தபட்சம் நீங்கள் வேர்களை எடுக்க வேண்டியதில்லை, அது நல்லது! பகுத்தறிவின்மையைப் பொருட்படுத்தாமல் முதலில் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:
எனவே, அவ்வளவுதானா? இல்லை, ஐயோ, இது மிகவும் எளிதாக இருக்கும்! மூலத்தின் கீழ் எதிர்மறை எண்கள் மட்டுமே தோன்றும் என்பதை நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். பிறகு:
இந்த சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு:
முதல் சமன்பாட்டின் வேர்களின் ஒரு பகுதி கவனக்குறைவாக சமத்துவமின்மை இல்லாத இடத்தில் முடிந்தது என்பதை இப்போது கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
இதைச் செய்ய, நீங்கள் மீண்டும் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தலாம்:
| : , ஆனாலும் | இல்லை! | |
| ஆம்! | ||
| ஆம்! |
இவ்வாறு, என் வேர்களில் ஒன்று "விழுந்தது"! கீழே வைத்தால் மாறிவிடும். பின்னர் பதில் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
பதில்:
நீங்கள் பார்க்கிறீர்கள், வேருக்கு இன்னும் அதிக கவனம் தேவை! அதை மேலும் சிக்கலாக்குவோம்: இப்போது எனது ரூட்டின் கீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடு உள்ளது.
எடுத்துக்காட்டு 3.
முன்பு போலவே: முதலில் ஒவ்வொன்றையும் தனித்தனியாகத் தீர்ப்போம், பிறகு நாம் என்ன செய்தோம் என்று யோசிப்போம்.
இப்போது இரண்டாவது சமன்பாடு:
இப்போது மிகவும் கடினமான விஷயம் என்னவென்றால், முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து வேர்களை மாற்றினால், எண்கணித மூலத்தின் கீழ் எதிர்மறை மதிப்புகள் பெறப்படுகின்றனவா என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது:
எண்ணை ரேடியன்களாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும். ஒரு ரேடியன் தோராயமாக டிகிரி என்பதால், ரேடியன்கள் டிகிரி வரிசையில் இருக்கும். இது இரண்டாவது காலாண்டின் மூலையாகும். இரண்டாம் காலாண்டின் கொசைனின் அடையாளம் என்ன? கழித்தல். சைன் பற்றி என்ன? மேலும். எனவே வெளிப்பாடு பற்றி நாம் என்ன சொல்ல முடியும்:
இது பூஜ்ஜியத்தை விடக் குறைவு!
இது சமன்பாட்டின் வேர் அல்ல என்று அர்த்தம்.
இப்போது நேரம் வந்துவிட்டது.
இந்த எண்ணை பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடலாம்.
கோட்டான்ஜென்ட் என்பது 1 காலாண்டில் குறையும் ஒரு செயல்பாடாகும் (வாதம் சிறியதாக, கோட்டான்ஜென்ட் அதிகமாகும்). ரேடியன்கள் தோராயமாக டிகிரி. அதே நேரத்தில்
அப்போதிருந்து, பின்னர், அதனால்
,
பதில்: .
இது இன்னும் சிக்கலானதாக இருக்க முடியுமா? தயவு செய்து! ரூட் இன்னும் ஒரு முக்கோணவியல் செயல்பாடாக இருந்தால், சமன்பாட்டின் இரண்டாம் பகுதி மீண்டும் ஒரு முக்கோணவியல் செயல்பாடாக இருந்தால் அது மிகவும் கடினமாக இருக்கும்.
மேலும் முக்கோணவியல் எடுத்துக்காட்டுகள் சிறந்தது, கீழே காண்க:
எடுத்துக்காட்டு 4.
வரம்புக்குட்பட்ட கொசைன் காரணமாக ரூட் பொருத்தமானது அல்ல
இப்போது இரண்டாவது:
அதே நேரத்தில், ஒரு ரூட்டின் வரையறையின்படி:
நாம் அலகு வட்டத்தை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்: அதாவது, சைன் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்கும் அந்த காலாண்டுகள். இந்த காலாண்டுகள் என்ன? மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது. மூன்றாவது அல்லது நான்காவது காலாண்டில் இருக்கும் முதல் சமன்பாட்டின் தீர்வுகளில் நாங்கள் ஆர்வமாக இருப்போம்.
முதல் தொடர் மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது காலாண்டுகளின் குறுக்குவெட்டில் வேர்களைக் கொடுக்கிறது. இரண்டாவது தொடர் - அதற்கு முற்றிலும் நேர்மாறானது - முதல் மற்றும் இரண்டாவது காலாண்டுகளின் எல்லையில் வேர்களை உருவாக்குகிறது. எனவே, இந்தத் தொடர் எங்களுக்குப் பொருந்தாது.
பதில்:,
மீண்டும் "கடினமான பகுத்தறிவின்மை" கொண்ட முக்கோணவியல் எடுத்துக்காட்டுகள். நாம் மீண்டும் ரூட்டின் கீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாட்டைக் கொண்டிருப்பது மட்டுமல்லாமல், இப்போது அது வகுப்பிலும் உள்ளது!
எடுத்துக்காட்டு 5.
சரி, எதுவும் செய்ய முடியாது - நாங்கள் முன்பு போலவே செய்கிறோம்.
இப்போது நாம் வகுப்போடு வேலை செய்கிறோம்:
நான் முக்கோணவியல் சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்க விரும்பவில்லை, எனவே நான் தந்திரமான ஒன்றைச் செய்வேன்: சமத்துவமின்மையில் எனது தொடர் வேர்களை எடுத்து மாற்றுவேன்:
சமமாக இருந்தால், எங்களிடம் உள்ளது:
பார்வையின் அனைத்து கோணங்களும் நான்காவது காலாண்டில் இருப்பதால். மீண்டும் புனிதமான கேள்வி: நான்காவது காலாண்டில் சைனின் அடையாளம் என்ன? எதிர்மறை. பின்னர் சமத்துவமின்மை
ஒற்றைப்படை எனில், பின்:
கோணம் எந்த காலாண்டில் உள்ளது? இது இரண்டாவது காலாண்டின் மூலையாகும். பின்னர் அனைத்து மூலைகளும் மீண்டும் இரண்டாவது காலாண்டின் மூலைகளாகும். அங்குள்ள சைன் பாசிட்டிவ். உங்களுக்கு என்ன தேவை! எனவே தொடர்:
பொருந்துகிறது!
இரண்டாவது தொடர் வேர்களை நாங்கள் அதே வழியில் கையாளுகிறோம்:
எங்கள் சமத்துவமின்மைக்கு நாங்கள் மாற்றீடு செய்கிறோம்:
என்றால் - கூட, பின்னர்
முதல் கால் மூலைகள். அங்குள்ள சைன் பாசிட்டிவ், அதாவது தொடர் பொருத்தமானது. இப்போது என்றால் - ஒற்றைப்படை, பின்னர்:
பொருந்துகிறது!
சரி, இப்போது நாம் பதிலை எழுதுகிறோம்!
பதில்:
சரி, இது மிகவும் உழைப்பு மிகுந்த வழக்கு. இப்போது நான் உங்கள் சொந்த பிரச்சினைகளை தீர்க்க முன்மொழிகிறேன்.
பயிற்சி
- பிரிவைச் சேர்ந்த சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களையும் தீர்த்து கண்டுபிடிக்கவும்.
தீர்வுகள்:
முதல் சமன்பாடு:
அல்லது
மூலத்தின் ODZ:இரண்டாவது சமன்பாடு:
இடைவெளியைச் சேர்ந்த வேர்களின் தேர்வு
பதில்:
அல்லது
அல்லது
ஆனாலும்
கருத்தில் கொள்வோம்: . என்றால் - கூட, பின்னர்
- பொருந்தாது!
என்றால் - ஒற்றைப்படை, : - பொருத்தமானது!
இதன் பொருள் எங்கள் சமன்பாடு பின்வரும் தொடர் வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:
அல்லது
இடைவெளியில் வேர்களின் தேர்வு:
| - பொருத்தமானது அல்ல | - பொருந்துகிறது | |
| - பொருந்துகிறது | - நிறைய | |
| - பொருந்துகிறது | நிறைய |
பதில்:,.
அல்லது
பின்னர், தொடுகோடு வரையறுக்கப்படவில்லை. இந்த தொடர் வேர்களை நாங்கள் உடனடியாக நிராகரிக்கிறோம்!
இரண்டாம் பகுதி:
அதே நேரத்தில், DZ இன் படி அது தேவைப்படுகிறது
முதல் சமன்பாட்டில் காணப்படும் வேர்களை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:
அடையாளம் என்றால்:
தொடுகோடு நேர்மறையாக இருக்கும் முதல் காலாண்டு கோணங்கள். பொருந்தாது!
அடையாளம் என்றால்:
நான்காவது கால் மூலை. அங்கு தொடுகோடு எதிர்மறையாக உள்ளது. பொருந்துகிறது. நாங்கள் பதிலை எழுதுகிறோம்:
பதில்:,.
இந்தக் கட்டுரையில் சிக்கலான முக்கோணவியல் உதாரணங்களை ஒன்றாகப் பார்த்தோம், ஆனால் சமன்பாடுகளை நீங்களே தீர்க்க வேண்டும்.
சுருக்கம் மற்றும் அடிப்படை சூத்திரங்கள்
முக்கோணவியல் சமன்பாடு என்பது ஒரு சமன்பாடாகும், இதில் தெரியாதது கண்டிப்பாக முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் இருக்கும்.
முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன:
முதல் வழி சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவது.
இரண்டாவது வழி முக்கோணவியல் வட்டம் வழியாகும்.
கோணங்களை அளவிடவும், அவற்றின் சைன்கள், கொசைன்கள் போன்றவற்றைக் கண்டறியவும் உங்களை அனுமதிக்கிறது.
அதிகரித்த சிக்கலான சிக்கல்களில் அடிக்கடி நாம் சந்திக்கிறோம் மாடுலஸ் கொண்ட முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள். அவர்களில் பெரும்பாலோர் தீர்வுக்கு ஒரு ஹூரிஸ்டிக் அணுகுமுறை தேவைப்படுகிறது, இது பெரும்பாலான பள்ளி மாணவர்களுக்கு முற்றிலும் அறிமுகமில்லாதது.
கீழே முன்மொழியப்பட்ட சிக்கல்கள், ஒரு மாடுலஸ் கொண்ட முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் பொதுவான நுட்பங்களை உங்களுக்கு அறிமுகப்படுத்தும் நோக்கம் கொண்டது.
பிரச்சனை 1. 1 + 2sin x |cos x| = 0.
தீர்வு.
தொகுதியை விரிவாக்குவோம்:
1) cos x ≥ 0 எனில், அசல் சமன்பாடு 1 + 2sin x · cos x = 0 வடிவத்தை எடுக்கும்.
இரட்டை கோண சைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:
1 + பாவம் 2x = 0; பாவம் 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. cos x ≥ 0 என்பதால், x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) என்றால் x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – பாவம் 2x = 0; பாவம் 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. காஸ் x என்பதால்< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) சமன்பாட்டின் மிகப்பெரிய எதிர்மறை வேர்: -π/4; சமன்பாட்டின் மிகச் சிறிய நேர்மறை வேர்: 5π/4.
தேவையான வேறுபாடு: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
பதில்: 270°.
சிக்கல் 2. சமன்பாட்டின் மிகச்சிறிய நேர்மறை மூலத்தை (டிகிரிகளில்) கண்டறியவும் |tg x| + 1/cos x = டான் x.
தீர்வு.
தொகுதியை விரிவாக்குவோம்:
1) டான் x ≥ 0 என்றால்
tan x + 1/cos x = tan x;
இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.
2) tg x என்றால்< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 மற்றும் cos x ≠ 0.
படம் 1 மற்றும் நிபந்தனை tg x ஐப் பயன்படுத்தவும்< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) சமன்பாட்டின் மிகச் சிறிய நேர்மறை வேர் 5π/6 ஆகும். இந்த மதிப்பை டிகிரிக்கு மாற்றுவோம்:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
பதில்: 150°.
சிக்கல் 3. பாவம் |2x| சமன்பாட்டின் வெவ்வேறு வேர்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும் = cos 2x இடைவெளியில் [-π/2; π/2].
தீர்வு.
சமன்பாட்டை sin|2x| வடிவத்தில் எழுதுவோம் – cos 2x = 0 மற்றும் y = sin |2x| செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் - 2x. செயல்பாடு சமமாக இருப்பதால், x ≥0க்கான பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டுபிடிப்போம்.
sin 2x – cos 2x = 0; சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் cos 2x ≠ 0 ஆல் பிரிப்போம், நாம் பெறுவது:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
செயல்பாட்டின் சமநிலையைப் பயன்படுத்தி, அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் வடிவத்தின் எண்கள் என்பதைக் காண்கிறோம்.
± (π/8 + πn/2), இங்கு n € Z.
இடைவெளி [-π/2; π/2] எண்களைச் சேர்ந்தது: -π/8; π/8.
எனவே, சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்கள் கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியைச் சேர்ந்தவை.
பதில்: 2.
தொகுதியைத் திறப்பதன் மூலமும் இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க முடியும்.
சிக்கல் 4. சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும் sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x இடைவெளியில் [-π; 2π].
தீர்வு.
1) 2cos x – 1 > 0, அதாவது. cos x > 1/2, பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:
பாவம் x – பாவம் 2 x = பாவம் 2 x;
பாவம் x – 2sin 2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 அல்லது 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 அல்லது sin x = 1/2.
படம் 2 மற்றும் நிபந்தனை cos x > 1/2 ஐப் பயன்படுத்தி, சமன்பாட்டின் வேர்களைக் காண்கிறோம்:
x = π/6 + 2πn அல்லது x = 2πn, n € Z.
2) 2cos x – 1 ஆக இருக்கும்போது வழக்கைக் கவனியுங்கள்< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
பாவம் x + பாவம் 2 x = பாவம் 2 x;
x = 2πn, n € Z.
படம் 2 மற்றும் cos x நிபந்தனையைப் பயன்படுத்துதல்< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
இரண்டு நிகழ்வுகளையும் இணைத்து, நாம் பெறுகிறோம்:
x = π/6 + 2πn அல்லது x = πn.
3) இடைவெளி [-π; 2π] வேர்களுக்கு சொந்தமானது: π/6; -π; 0; π; 2π.
இவ்வாறு, கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் சமன்பாட்டின் ஐந்து வேர்கள் உள்ளன.
பதில்: 5.
சிக்கல் 5. சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும் (x – 0.7) 2 |sin x| + sin x = 0 இடைவெளியில் [-π; 2π].
தீர்வு.
1) sin x ≥ 0 எனில், அசல் சமன்பாடு வடிவத்தை எடுக்கும் (x – 0.7) 2 sin x + sin x = 0. பொதுவான காரணி sin x ஐ அடைப்புக்குறிக்குள் எடுத்த பிறகு, நாம் பெறுவது:
பாவம் x((x – 0.7) 2 + 1) = 0; அனைத்து உண்மையான x க்கும் (x – 0.7) 2 + 1 > 0, பின்னர் sinx = 0, அதாவது. x = πn, n € Z.
2) பாவம் என்றால் x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
பாவம் x((x – 0.7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 அல்லது (x – 0.7) 2 + 1 = 0. பாவம் x என்பதால்< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0.7 = 1 அல்லது x – 0.7 = -1, அதாவது x = 1.7 அல்லது x = -0.3.
நிபந்தனை sinx கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, அதாவது எண் -0.3 மட்டுமே அசல் சமன்பாட்டின் வேர்.
3) இடைவெளி [-π; 2π] எண்களுக்கு சொந்தமானது: -π; 0; π; 2π; -0.3.
இவ்வாறு, சமன்பாடு ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் ஐந்து வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
பதில்: 5.
இணையத்தில் கிடைக்கும் பல்வேறு கல்வி ஆதாரங்களைப் பயன்படுத்தி பாடங்கள் அல்லது தேர்வுகளுக்கு நீங்கள் தயாராகலாம். தற்போது யாரும் 
ஒரு நபர் வெறுமனே புதிய தகவல் தொழில்நுட்பங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும், ஏனென்றால் அவற்றின் சரியான மற்றும் மிக முக்கியமாக பொருத்தமான பயன்பாடு, பாடத்தைப் படிப்பதில் உந்துதலை அதிகரிக்கவும், ஆர்வத்தை அதிகரிக்கவும், தேவையான பொருட்களை சிறப்பாக ஒருங்கிணைக்கவும் உதவும். ஆனால் கணினி சிந்திக்க கற்றுக்கொடுக்கவில்லை என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்; பெறப்பட்ட தகவல்கள் செயலாக்கப்பட வேண்டும், புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும் மற்றும் நினைவில் வைக்கப்பட வேண்டும். எனவே, உங்களுக்கு விருப்பமான பிரச்சனைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கண்டறிய உதவும் எங்கள் ஆன்லைன் ஆசிரியர்களிடம் உதவி பெறலாம்.
இன்னும் கேள்விகள் உள்ளதா? முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்று தெரியவில்லையா?
ஆசிரியரின் உதவியைப் பெற, பதிவு செய்யவும்.
முதல் பாடம் இலவசம்!
இணையதளத்தில், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.