I hvert kapittel vil det være oppgaver for selvstendig løsning, som du kan se svarene på.
Konseptet med et bestemt integral og Newton-Leibniz-formelen
Ved en bestemt integral fra en kontinuerlig funksjon f(x) på det siste segmentet [ en, b] (hvor ) er økningen av noen av dets antiderivater på dette segmentet. (Generelt vil forståelsen være merkbart lettere hvis du gjentar emnet for det ubestemte integralet) I dette tilfellet brukes notasjonen
Som du kan se i grafene nedenfor (økningen av antiderivatfunksjonen er indikert med ), et bestemt integral kan enten være et positivt eller et negativt tall(Den beregnes som forskjellen mellom verdien av antiderivatet i øvre grense og verdien i den nedre grensen, dvs. F(b) - F(en)).
Tall en Og b kalles henholdsvis nedre og øvre grense for integrasjon, og segmentet [ en, b] – segment av integrasjon.
Således, hvis F(x) – noen antiderivatfunksjon for f(x), så, i henhold til definisjonen,
(38)
Likestilling (38) kalles Newton-Leibniz formel . Forskjell F(b) – F(en) er kort skrevet som følger:
Derfor vil vi skrive Newton-Leibniz-formelen slik:
(39)
La oss bevise at det bestemte integralet ikke avhenger av hvilken antiderivert av integranden som tas når den beregnes. La F(x) og F( X) er vilkårlige antiderivater av integranden. Siden disse er antiderivater med samme funksjon, skiller de seg med en konstant term: Ф( X) = F(x) + C. Derfor
Dette fastslår at på segmentet [ en, b] trinn av alle antiderivater av funksjonen f(x) samsvarer.
For å beregne et bestemt integral, er det derfor nødvendig å finne en hvilken som helst antiderivert av integranden, dvs. Først må du finne den ubestemte integralen. Konstant MED ekskludert fra senere beregninger. Deretter brukes Newton-Leibniz-formelen: verdien av den øvre grensen erstattes med antiderivertefunksjonen b , videre - verdien av den nedre grensen en og differansen beregnes F(b) - F(a) . Det resulterende tallet vil være et bestemt integral..
På en = b per definisjon akseptert
Eksempel 1.
Løsning. Først, la oss finne det ubestemte integralet:
Bruk av Newton-Leibniz-formelen på antiderivatet
(på MED= 0), får vi
Men når man beregner et bestemt integral, er det bedre å ikke finne antideriverten separat, men umiddelbart skrive integralet i formen (39).
Eksempel 2. Beregn bestemt integral
Løsning. Ved hjelp av formel
Finn det bestemte integralet selv og se deretter på løsningen
Egenskaper til det bestemte integralet
Teorem 2.Verdien av det bestemte integralet avhenger ikke av betegnelsen på integrasjonsvariabelen, dvs.
(40)
La F(x) – antiderivat for f(x). Til f(t) antiderivatet har samme funksjon F(t), der den uavhengige variabelen bare er angitt annerledes. Derfor,
Basert på formel (39) betyr siste likhet integralenes likhet
Teorem 3.Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til det bestemte integralet, dvs.
(41)
Teorem 4.Det bestemte integralet av en algebraisk sum av et endelig antall funksjoner er lik den algebraiske summen av bestemte integraler av disse funksjonene, dvs.
(42)
Teorem 5.Hvis et integrasjonssegment er delt inn i deler, er det bestemte integralet over hele segmentet lik summen av bestemte integraler over dets deler, dvs. Hvis
(43)
Teorem 6.Når du omorganiserer grensene for integrasjon, endres ikke den absolutte verdien av det bestemte integralet, men bare dets fortegn endres, dvs.
(44)
Teorem 7(middelverditeorem). Et bestemt integral er lik produktet av lengden på integrasjonssegmentet og verdien av integranden på et tidspunkt inne i det, dvs.
(45)
Teorem 8.Hvis den øvre grensen for integrasjon er større enn den nedre og integranden er ikke-negativ (positiv), så er den bestemte integralen også ikke-negativ (positiv), dvs. Hvis
Teorem 9.Hvis den øvre grensen for integrasjon er større enn den nedre og funksjonene og er kontinuerlige, så er ulikheten
kan integreres termin for termin, dvs.
(46)
Egenskapene til det bestemte integralet gjør det mulig å forenkle den direkte beregningen av integraler.
Eksempel 5. Beregn bestemt integral
Ved å bruke setning 4 og 3, og når vi finner antiderivater - tabellintegraler (7) og (6), får vi
Definitiv integral med variabel øvre grense
La f(x) – kontinuerlig på segmentet [ en, b] funksjon, og F(x) er dets antiderivat. Tenk på den bestemte integralen
(47)
og gjennom t integrasjonsvariabelen er utpekt for ikke å forveksle den med den øvre grensen. Når det endres X det bestemte integralet (47) endres også, dvs. det er en funksjon av den øvre grensen for integrering X, som vi betegner med F(X), dvs.
(48)
La oss bevise at funksjonen F(X) er et antiderivat for f(x) = f(t). Faktisk differensierende F(X), vi får
fordi F(x) – antiderivat for f(x), A F(en) er en konstant verdi.
Funksjon F(X) – en av det uendelige antallet antiderivater for f(x), nemlig den som x = en går til null. Dette utsagnet er oppnådd hvis i likhet (48) vi setter x = en og bruk teorem 1 i forrige avsnitt.
Beregning av bestemte integraler ved metoden for integrering av deler og metoden for endring av variabel
hvor, per definisjon, F(x) – antiderivat for f(x). Hvis vi endrer variabelen i integranden
så, i samsvar med formel (16), kan vi skrive
I dette uttrykket
antiderivative funksjon for
Faktisk er dens derivat, ifølge regel for differensiering av komplekse funksjoner, er lik
La α og β være verdiene til variabelen t, som funksjonen for
tar verdier i henhold til dette en Og b, dvs.
Men ifølge Newton-Leibniz-formelen er forskjellen F(b) – F(en) Det er
I de fleste anvendte problemer er det ikke tilrådelig å beregne den nøyaktige verdien av et bestemt integral; dessuten er dette ikke alltid mulig. Ofte er det nok for oss å vite verdien av et visst integral med en viss grad av nøyaktighet, for eksempel med en nøyaktighet på en tusendel.
For å finne den omtrentlige verdien av et bestemt integral med nødvendig nøyaktighet, brukes numerisk integrasjon, for eksempel Simpsons metode (parabelmetode), trapesmetode eller rektangelmetode. Imidlertid er det i noen tilfeller mulig å vurdere det bestemte integralet nøyaktig.
I denne artikkelen vil vi fokusere på å bruke Newton-Leibniz-formelen for å beregne den nøyaktige verdien av et bestemt integral og gi en detaljert løsning på typiske eksempler. Vi vil også bruke eksempler for å forstå hvordan man erstatter en variabel i et bestemt integral og hvordan man finner verdien av et bestemt integral når man integrerer med deler.
Sidenavigering.
Newton-Leibniz formel.
La funksjonen y = f(x) være kontinuerlig på et intervall og F(x) være en av antiderivertene til funksjonen på dette intervallet, da: .
Newton-Leibniz-formelen kalles grunnleggende formel for integralregning.
For å bevise Newton-Leibniz-formelen trenger vi konseptet med et integral med en variabel øvre grense.
Hvis funksjonen y = f(x) er kontinuerlig på intervallet, er integralet av formen for argumentet en funksjon av den øvre grensen. La oss betegne denne funksjonen 
, og denne funksjonen er kontinuerlig og likheten er sann 
.
Faktisk, la oss skrive ned økningen av funksjonen som tilsvarer økningen av argumentet og bruke den femte egenskapen til det bestemte integralet og følgen fra den tiende egenskapen: 
Hvor .
La oss omskrive denne likheten i skjemaet 
. Hvis vi husker og går til grensen kl , får vi . Det vil si at dette er en av antiderivatene til funksjonen y = f(x) på segmentet. Dermed kan settet med alle antiderivater F(x) skrives som 
, hvor C er en vilkårlig konstant.
La oss beregne F(a) ved å bruke den første egenskapen til det bestemte integralet: 
, derav, . La oss bruke dette resultatet når vi beregner F(b): , altså 
. Denne likheten gir den beviselige Newton-Leibniz-formelen.
Inkrementet til en funksjon er vanligvis betegnet som 
. Ved å bruke denne notasjonen tar Newton-Leibniz-formelen formen 
.
For å bruke Newton-Leibniz-formelen er det nok for oss å kjenne en av antiderivatene y=F(x) av integranden til funksjonen y=f(x) på et segment og beregne økningen av denne antideriverten på dette segmentet . Artikkelen diskuterer hovedmetodene for å finne et antiderivat. La oss gi noen eksempler på beregning av bestemte integraler ved å bruke Newton-Leibniz-formelen for avklaring.
Eksempel.
Beregn verdien av det bestemte integralet ved å bruke Newton-Leibniz-formelen.
Løsning.
Til å begynne med merker vi at integranden er kontinuerlig på intervallet, derfor integrerbar på den. (Vi snakket om integrerbare funksjoner i delen om funksjoner som det er en bestemt integral for.)
La oss se på et eksempel for klarhet.
Eksempel.
Beregn verdien av et bestemt integral 
.
Løsning.
Integrandfunksjonen er kontinuerlig på integrasjonsintervallet, derfor eksisterer det en bestemt integral.
La oss betegne 
. For x=9 har vi , og for x=18 har vi , det vil si . Vi erstatter de oppnådde resultatene i formelen 
:
Fra tabellen over ubestemte integraler er det klart at en av antiderivatene til funksjonen er funksjonen, derfor har vi i henhold til Newton-Leibniz-formelen
Det var mulig å klare seg uten formelen .
Hvis vi tar det ubestemte integralet ved å bruke metoden for endring av variabel 
, så kommer vi til resultatet 
.
Ved å bruke Newton-Leibniz-formelen beregner vi det bestemte integralet:
Som du kan se, er resultatene de samme.
Integrasjon av deler ved beregning av en bestemt integral.
Funksjon
er integrerbar på intervallet på grunn av kontinuiteten.
La u(x) = x, og 
, Deretter 
, A 
. I henhold til formelen 
vi får 
Dette eksemplet kan løses på en annen måte.
Finne et sett med antiderivater av en funksjon integrering av deler og bruk Newton-Leibniz-formelen: 
Denne kalkulatoren lar deg løse en bestemt integral online. Faktisk, sikker integralberegning er å finne et tall som er lik arealet under grafen til en funksjon. For å løse, er det nødvendig å spesifisere grensene for integrasjon og funksjonen som skal integreres. Etter integrasjon vil systemet finne antideriverten for den gitte funksjonen, beregne verdiene ved punktene på grensene for integrasjon, finne forskjellen deres, som vil være løsningen på det bestemte integralet. For å løse et ubestemt integral, må du bruke en lignende online kalkulator, som ligger på vår nettside på lenken - Løs en ubestemt integral.
Vi tillater beregne bestemt integral online raskt og pålitelig. Du vil alltid få den riktige avgjørelsen. Dessuten, for tabellintegraler vil svaret bli presentert i en klassisk form, det vil si uttrykt gjennom kjente konstanter, for eksempel tallet "pi", "eksponent", etc. Alle beregninger er helt gratis og krever ikke registrering. Ved å løse en bestemt integral hos oss vil du spare deg for tidkrevende og komplekse beregninger, eller ved å løse integralen selv vil du kunne sjekke løsningen du fikk.
Skriv inn funksjonen du trenger for å finne integralet
Kalkulatoren gir DETALJERTE løsninger til bestemte integraler.
Denne kalkulatoren finner en løsning på det bestemte integralet til funksjonen f(x) med gitte øvre og nedre grenser.
Eksempler
Bruker grad
(kvadrat og terning) og brøker
(x^2 - 1)/(x^3 + 1)
Kvadratrot
Sqrt(x)/(x + 1)
kubikkrot
Cbrt(x)/(3*x + 2)
Bruker sinus og cosinus
2*sin(x)*cos(x)
arcsine
X*arcsin(x)
buekosinus
X*arccos(x)
Anvendelse av logaritme
X*log(x, 10)
Naturlig logaritme
Utstiller
Tg(x)*sin(x)
Cotangens
Ctg(x)*cos(x)
Irrasjonelle brøker
(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)
Arctangens
X*arctg(x)
Arccotangens
X*arсctg(x)
Hyperbolsk sinus og cosinus
2*sh(x)*ch(x)
Hyperbolsk tangens og cotangens
Ctgh(x)/tgh(x)
Hyperbolsk arcsine og arccosine
X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)
Hyberbolsk arctangent og arccotangent
X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)
Regler for inntasting av uttrykk og funksjoner
Uttrykk kan bestå av funksjoner (notasjoner er gitt i alfabetisk rekkefølge): absolutt(x) Absolutt verdi x
(modul x eller |x|)
arccos(x) Funksjon - bue cosinus av x arccosh(x) Arc cosinus hyperbolsk fra x arcsin(x) Arcsine fra x arcsinh(x) Arcsine hyperbolsk fra x arctan(x) Funksjon - arctangens av x arctgh(x) Arktangens hyperbolsk fra x e e et tall som er omtrent lik 2,7 exp(x) Funksjon - eksponent for x(som e^x)
log(x) eller ln(x) Naturlig logaritme av x
(For å oppnå log7(x), må du skrive inn log(x)/log(7) (eller for eksempel for log10(x)=log(x)/log(10)) pi Tallet er "Pi", som er omtrent lik 3,14 synd(x) Funksjon - Sinus av x cos(x) Funksjon - Cosinus av x sinh(x) Funksjon - Sinus hyperbolsk fra x cosh(x) Funksjon - Cosinus hyperbolsk fra x sqrt(x) Funksjon - kvadratroten av x sqr(x) eller x^2 Funksjon - Firkantet x brun(x) Funksjon - Tangent fra x tgh(x) Funksjon - Tangent hyperbolsk fra x cbrt(x) Funksjon - terningrot av x
Følgende operasjoner kan brukes i uttrykk: Reelle tall skriv inn som 7.5
, Ikke 7,5
2*x- multiplikasjon 3/x- divisjon x^3- eksponentiering x+7- tillegg x - 6- subtraksjon
Andre funksjoner: etasje (x) Funksjon - avrunding x nedover (eksempel etasje(4.5)==4.0) tak(x) Funksjon - avrunding x oppover (eksempel tak(4.5)==5.0) tegn (x) Funksjon - Sign x erf(x) Feilfunksjon (eller sannsynlighetsintegral) laplace(x) Laplace funksjon
Eksempler på beregning av ubestemte integraler
Beregning av integralet fra tabellen
Integrasjon ved substitusjon:
Eksempler på integralberegninger
Newton – Leibniz grunnleggende formel
Substitusjonsberegninger
Kapittel 4 Differensialligninger.
Differensial ligning er en ligning som relaterer en uavhengig variabel til hverandre X , den nødvendige funksjonen på og dens derivater eller differensialer.
Den symbolsk differensierte ligningen er skrevet som følger:
Differensialligningen kalles vanlig, hvis den nødvendige funksjonen avhenger av én uavhengig variabel.
I rekkefølge av en differensialligning er rekkefølgen til den høyeste deriverte (eller differensial) inkludert i denne ligningen.
Ved avgjørelse(eller integrert) av en differensialligning er en funksjon som gjør denne ligningen til en identitet.
Generell løsning(eller generell integral) av en differensialligning er en løsning som inkluderer like mange uavhengige vilkårlige konstanter som rekkefølgen til ligningen. Dermed inneholder den generelle løsningen av en førsteordens differensialligning én vilkårlig konstant.
Privat avgjørelse En differensialligning er en løsning hentet fra en generell løsning for forskjellige numeriske verdier av vilkårlige konstanter. Verdiene til vilkårlige konstanter finnes ved visse startverdier av argumentet og funksjonen.
Grafen til en bestemt løsning til en differensialligning kalles integrert kurve.
Den generelle løsningen av en differensialligning tilsvarer et sett (familie) av alle integralkurver.
Første ordens differensialligning er en ligning som inkluderer deriverte (eller differensialer) som ikke er høyere enn første orden.
Differensialligning med separerbare variabler kalt en formlikning
For å løse denne ligningen må du først skille variablene:
og deretter integrere begge sider av den resulterende likheten:
1. Finn den generelle løsningen på ligningen
o Deling av variablene vi har
Integrering av begge sider av den resulterende ligningen:
Siden en vilkårlig konstant MED kan ta alle numeriske verdier, da for å gjøre det enklere for ytterligere transformasjoner, i stedet for C vi skrev (1/2) ln C. Potensiere den siste likestillingen vi får
Dette er den generelle løsningen på denne ligningen.
Litteratur
V. G. Boltyansky, Hva er differensiering, "Populære forelesninger om matematikk",
Hefte 17, Gostekhizdat 1955, 64 sider.
V. A. Gusev, A. G. Mordkovich "Matematikk"
G. M. Fikhtengolts "Kurs for differensial- og integralregning", bind 1
V. M. Borodikhin, høyere matematikk, lærebok. manual, ISBN 5-7782-0422-1.
Nikolsky S. M. Kapittel 9. Riemanns bestemte integral // Forløp for matematisk analyse. - 1990. - T. 1.
Ilyin V. A., Poznyak, E. G. Kapittel 6. Ubestemt integral // Grunnleggende om matematisk analyse. - 1998. - T. 1. - (Kurs i høyere matematikk og matematisk fysikk).
Demidovich B.P. Del 3. Ubestemt integral // Samling av oppgaver og oppgaver om matematisk analyse. - 1990. - (Kurs i høyere matematikk og matematisk fysikk).
Valutse I.I., Diligul G.D. Matematikk for tekniske skoler med utgangspunkt i ungdomsskoler: Lærebok-2. utgave, revidert. og tillegg M.6Vitenskap. 1989
Kolyagin Yu.M. Yakovlev G.N. matematikk for tekniske skoler. Algebra og begynnelsen av analyse, del 1 og 2. Forlaget "Naukka" M., 1981.
Shchipachev V.S. Problemer i høyere matematikk: Proc. En håndbok for universiteter. Høyere Shk. 1997
Bogomolov N.V. praktiske leksjoner i matematikk: lærebok. Manual for tekniske skoler. Høyere Shk 1997