В каждой главе будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.
Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница
Определённым интегралом от непрерывной функции f (x ) на конечном отрезке [a , b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись
Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F (b ) - F (a )).
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a , b ] – отрезком интегрирования.
Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная функция для f (x ), то, согласно определению,
(38)
Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница . Разность F (b ) – F (a ) кратко записывают так:
Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:
(39)
Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F (x ) и Ф(х ) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х ) = F (x ) + C . Поэтому
Тем самым установлено, что на отрезке [a , b ] приращения всех первообразных функции f (x ) совпадают.
Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b , далее - значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) - F(a) . Полученное число и будет определённым интегралом. .
При a = b по определению принимается
Пример 1.
Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:
Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной
(при С = 0), получим
Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).
Пример 2. Вычислить определённый интеграл
Решение. Используя формулу
Найти определённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение
Свойства определённого интеграла
Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования , т.е.
(40)
Пусть F (x ) – первообразная для f (x ). Для f (t ) первообразной служит та же функция F (t ), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,
На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов
Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла , т.е.
(41)
Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций , т.е.
(42)
Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям , т.е. если
(43)
Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак , т.е.
(44)
Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его , т.е.
(45)
Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если
Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство
можно почленно интегрировать , т.е.
(46)
Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.
Пример 5. Вычислить определённый интеграл
Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим
Определённый интеграл с переменным верхним пределом
Пусть f (x ) – непрерывная на отрезке [a , b ] функция, а F (x ) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл
(47)
а через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х , которую обозначим через Ф (х ), т.е.
(48)
Докажем, что функция Ф (х ) является первообразной для f (x ) = f (t ). Действительно, дифференцируя Ф (х ), получим
так как F (x ) – первообразная для f (x ), а F (a ) – постояная величина.
Функция Ф (х ) – одна из бесконечного множества первообразных для f (x ), а именно та, которая при x = a обращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = a и воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.
Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной
где, по определению, F (x ) – первообразная для f (x ). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной
то в соответствии с формулой (16) можно записать
В этом выражении
первообразная функция для
В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции , равна
Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция
принимает соответственно значения a и b , т.е.
Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F (b ) – F (a ) есть
В большинстве прикладных задач вычислять точное значение определенного интеграла не целесообразно, более того, это далеко не всегда возможно. Часто нам бывает достаточно знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, например, с точностью до одной тысячной.
Для нахождения приближенного значения определенного интеграла с требуемой точностью применяют численное интегрирование, к примеру, метод Симпсона (метод парабол) , метод трапеций или метод прямоугольников . Однако, в некоторых случаях можно вычислить определенный интеграл точно.
В этой статье мы остановимся на использовании формулы Ньютона-Лейбница для вычисления точного значения определенного интеграла, приведем подробное решение характерных примеров. Также на примерах разберемся с заменой переменной в определенном интеграле и с нахождением значения определенного интеграла при интегрировании по частям.
Навигация по странице.
Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива : .
Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления .
Для доказательства формулы Ньютона-Лейбница нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом.
Если функция y = f(x)
непрерывна на отрезке
, то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию 
, причем эта функция непрерывная и справедливо равенство 
.
Действительно, запишем приращение функции , соответствующее приращению аргумента и воспользуемся пятым свойством определенного интеграла и следствием из десятого свойства:
где .
Перепишем это равенство в виде 
. Если вспомнить и перейти к пределу при , то получим . То есть, - это одна из первообразных функции y = f(x)
на отрезке
. Таким образом, множество всех первообразных F(x)
можно записать как 
, где С
– произвольная постоянная.
Вычислим F(a)
, используя первое свойство определенного интеграла: 
, следовательно, . Воспользуемся этим результатом при вычислении F(b)
: , то есть 
. Это равенство дает доказываемую формулу Ньютона-Лейбница .
Приращение функции принято обозначать как 
. Пользуясь этим обозначением, формула Ньютона-Лейбница примет вид 
.
Для применения формулы Ньютона-Лейбница нам достаточно знать одну из первообразных y=F(x) подынтегральной функции y=f(x) на отрезке и вычислить приращение этой первообразной на этом отрезке. В статье разобраны основные способы нахождения первообразной. Приведем несколько примеров вычисления определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница для разъяснения.
Пример.
Вычислить значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.
Решение.
Для начала отметим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , следовательно, интегрируема на нем. (Об интегрируемых функциях мы говорили в разделе функции, для которых существует определенный интеграл).
Разберем на примере для ясности.
Пример.
Вычислить значение определенного интеграла 
.
Решение.
Подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования, следовательно, определенный интеграл существует.
Обозначим 
. При x=9
имеем , а при x=18
имеем , то есть, . Подставляем полученные результаты в формулу 
:
Из таблицы неопределенных интегралов видно, что одной из первообразных функции является функция , поэтому, по формуле Ньютона-Лейбница имеем
Можно было обойтись и без формулы .
Если методом замены переменной взять неопределенный интеграл 
, то мы придем к результату 
.
Таким образом, по формуле Ньютона-Лейбница вычисляем определенный интеграл:
Как видите, результаты совпадают.
Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла.
Функция
является интегрируемой на отрезке в силу своей непрерывности.
Пусть u(x) = x
, а 
, тогда 
, а 
. По формуле 
получаем
Этот пример можно решить и по-другому.
Находим множество первообразных функции интегрированием по частям и применяем формулу Ньютона-Лейбница:
Данный калькулятор позволяет решить определенный интеграл онлайн. По сути, вычисление определенного интеграла - это нахождение числа, которое равно площади под графиком функции. Для решения необходимо задать границы интегрирования и интегрируемую функцию. После интегрирования система найдет первообразную для заданной функции, вычислит её значения в точках границах интегрирования, найдет их разность, что и будет являться решением определенного интеграла. Чтобы решить неопределенный интеграл вам необходимо воспользоваться похожим онлайн калькулятором, который находится на нашем сайте по ссылке - Решить неопределенный интеграл .
Мы позволяем вычислить определенный интеграл онлайн быстро и надежно. Вы получите всегда верное решение. Причем для табличных интегралов ответ будет представляться в классическом виде, то есть выражаться через известные константы, такие как число "пи", "экспонента" и т.д. Все вычисления полностью бесплатны и не требуют регистрации. Решая определенный интеграл у нас, вы избавите себя от трудоемких и сложных вычислений, либо решив интеграл самостоятельно - вы сможете проверить полученное вами решение.
Введите функцию, для которой надо найти интеграл
Калькулятор предоставляет ПОДРОБНОЕ решение определённых интегралов.
Этот калькулятор находит решение определенного интеграла от функции f(x) с данными верхними и нижними пределами.
Примеры
С применением степени
(квадрат и куб) и дроби
(x^2 - 1)/(x^3 + 1)
Квадратный корень
Sqrt(x)/(x + 1)
Кубический корень
Cbrt(x)/(3*x + 2)
С применением синуса и косинуса
2*sin(x)*cos(x)
Арксинус
X*arcsin(x)
Арккосинус
X*arccos(x)
Применение логарифма
X*log(x, 10)
Натуральный логарифм
Экспонента
Tg(x)*sin(x)
Котангенс
Ctg(x)*cos(x)
Иррациональне дроби
(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)
Арктангенс
X*arctg(x)
Арккотангенс
X*arсctg(x)
Гиберболические синус и косинус
2*sh(x)*ch(x)
Гиберболические тангенс и котангенс
Ctgh(x)/tgh(x)
Гиберболические арксинус и арккосинус
X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)
Гиберболические арктангенс и арккотангенс
X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x
или |x|
)
arccos(x)
Функция - арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция - арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
e
e
число, которое примерно равно 2.7
exp(x)
Функция - экспонента от x
(что и e
^x
)
log(x)
or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x)
, надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)
=log(x)/log(10))
pi
Число - "Пи", которое примерно равно 3.14
sin(x)
Функция - Синус от x
cos(x)
Функция - Косинус от x
sinh(x)
Функция - Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция - Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция - квадратный корень из x
sqr(x)
или x^2
Функция - Квадрат x
tg(x)
Функция - Тангенс от x
tgh(x)
Функция - Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция - кубический корень из x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7.5
, не 7,5
2*x
- умножение
3/x
- деление
x^3
- возведение в степень
x + 7
- сложение
x - 6
- вычитание
Другие функции:
floor(x)
Функция - округление x
в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция - округление x
в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция - Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
Примеры вычисления неопределённых интегралов
Вычисление интеграла по таблице
Интегрирование подстановкой:
Примеры вычисления интегралов
Основная формула Ньютона – Лейбница
Вычисления подстановкой
Глава 4 Дифференциальные уравнения.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х , искомую функции у и ее производные или дифференциалы.
Символически дифференцированное уравнение записывается так:
Дифференциальное уравнение называется обыкновенным , если искомая функция зависит от одного независимого переменного.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.
Решением (или интегралом ) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Общим решением (или общим интегралом ) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.
График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:
а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:
1. Найти общее решение уравнения
o Разделив переменные имеем
Интегрируя обе части полученного уравнения:
Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо C мы написали (1/2) lnC. Потенцируя последнее равенство получим
Это и есть общее решение данного уравнения.
Литература
В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование, «Популярные лекции по математике»,
Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1.
Никольский С. М. Глава 9. Определенный интеграл Римана // Курс математического анализа. - 1990. - Т. 1.
Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. - 1998. - Т. 1. - (Курс высшей математики и математической физики).
Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - 1990. - (Курс высшей математики и математической физики).
Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб.пособие-2-е изд.перераб. и доп. М.6Наука. 1989
Колягин Ю.М. Яковлев Г.Н. математика для техникумов. Алгебра и начала анализа 1 и 2 часть. Издательство «Наукка» М., 1981г.
Щипачев В.С. Задачи по высшей математике: Учеб. Пособие для вузов. Высш. Шк. 1997г.
Богомолов Н.В практические занятия по математике: учеб. Пособие для техникумов. Высш. Шк 1997г.