Выделяют отраслевые и интегральные промышленные районы.

Графическое представление и практическое применение уравнения Бернулли

Графическое представление уравнения Бернулли для потока идеальной и реальной жидкости.

Графическое представление уравнения Бернулли для струйки идеальной и реальной жидкости.

Бернулли уравнение одно из основных уравнений гидромеханики, которое при установившемся движении несжимаемой идеальной жидкости в однородном поле сил тяжести имеет вид:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
где v - скорость жидкости, ρ - её плотность, р - давление в ней, h - высота жидкой частицы над некоторой горизонтальной плоскостью, g - ускорение свободного падения, С - величина, постоянная на каждой линии тока, но в общем случае изменяющая своё значение при переходе от одной линии тока к другой.

Сумма первых двух членов в левой части уравнения (1) равна полной потенциальной, а третий член - кинетической энергиям, отнесённым к ед. массы жидкости; следовательно, всё уравнение выражает для движущейся жидкости закон сохранения механической энергии и устанавливает важную зависимость между v, p и h. Например, если при неизменной h скорость течения вдоль линии тока возрастает, то давление падает, и наоборот. Этот закон используют при измерении скорости с помощью трубок измерительных и при других аэродинамических измерениях.

Уравнение Бернулли представляют также в виде
h + p/γ + v 2 /2g = C или
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(где γ =ρg - удельный вес жидкости). В 1-м равенстве все слагаемые имеют размерность длины и называются соответствующей геометрической (нивелирной), пьезометрической и скоростной высотами, а во 2-м - размерности давления и соответственно именуются весовым, статическим и динамическим давлениями.

В общем случае, когда жидкость является сжимаемой (газ), но баротропной, т. е. р в ней зависит только от ρ, и когда её движение происходит в любом, но потенциальном поле объёмных (массовых) сил (см. Силовое поле), уравнение Бернулли получается как следствие Эйлера уравнений гидромеханики и имеет вид:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
где П - потенциальная энергия (потенциал) поля объёмных сил, отнесённая к ед. массы жидкости. При течении газов значение П мало изменяется вдоль линии тока, и его можно включить в константу, представив (3) в виде:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

В технических приложениях для течения, осреднённого по поперечному сечению канала, применяют т. н. обобщённое уравнение Бернулли: сохраняя форму уравнений (1) и (3), в левую часть включают работу сил трения и преодоления гидравлических сопротивлений, а также механическую работу жидкости или газа (работу компрессора или турбин) с соответствующим знаком. Обобщённое уравнение Бернулли широко применяется в гидравлике при расчёте течения жидкостей и газов в трубопроводах и в машиностроении при расчёте компрессоров, турбин, насосов и других гидравлических и газовых машин.

Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

Плотность жидкости,

Скорость потока,

Высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

Давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,

Ускорение свободного падения.

Константа в правой части обычно называется напором , или полным давлением, а также интегралом Бернулли . Размерность всех слагаемых - единица энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости.

Это соотношение, выведенное Даниилом Бернулли в 1738 г., было названо в его честь уравнением Бернулли . (Не путать с дифференциальным уравнением Бернулли.)

Для горизонтальной трубы h = 0 и уравнение Бернулли принимает вид: .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности ρ: .

Согласно закону Бернулли полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из гидростатического (ρgh ), атмосферного (p) и динамического давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. На самом деле экспериментально установлено, что скорость жидкости на поверхности твердого тела почти всегда в точности равна нулю (кроме случаев отрыва струй при некоторых редких условиях).

Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.

Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

p 0 - атмосферное давление,

h - высота столба жидкости в сосуде,

v - скорость истечения жидкости.

Отсюда: . Это - формула Торричелли (англ.). Она показывает, что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосуде жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты h .

L − 1 M T − 2 {\displaystyle L^{-1}MT^{-2}} Единицы измерения СИ Дж /м 3 =Па СГС эрг /см 3 Примечания Постоянно вдоль линии тока стационарного течения несжимаемой жидкости .

Вывод формулы Торричелли из закона Бернулли [ | ]

В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на свободной поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

ρ g h + p 0 = ρ v 2 2 + p 0 {\displaystyle \rho gh+p_{0}={\frac {\rho v^{2}}{2}}+p_{0}} , h {\displaystyle h} - высота столба жидкости в сосуде, отсчитанная от уровня отверстия, v {\displaystyle v} - скорость истечения жидкости, p 0 {\displaystyle p_{0}} - атмосферное давление .

Отсюда: v = 2 g h {\displaystyle v={\sqrt {2gh}}} . Это - формула Торричелли . Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты h {\displaystyle h} . Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосуде .

Другие проявления и применения закона Бернулли [ | ]

Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для ламинарных течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука .

Вдоль горизонтальной трубы координата z {\displaystyle z} постоянна и уравнение Бернулли принимает вид: ρ v 2 2 + p = c o n s t {\displaystyle {\tfrac {\rho v^{2}}{2}}+p=\mathrm {const} } . Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы расходомера Вентури и струйного насоса .

Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером «Олимпик ») .

Применение в гидравлике [ | ]

Последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины - гидравлики . Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены на «удельный вес » ρ g {\displaystyle \rho g} :

H = h + p ρ g + v 2 2 g = const , {\displaystyle H\,=\,h\,+\,{\frac {p}{\rho g}}\,+\,{\frac {v^{2}}{2\,g}}=\,{\text{const}},}

где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия:

Напор
Размерность	L {\displaystyle L}
Единицы измерения
СИ	метр
Примечания
Полное давление, делённое на удельный вес .

H {\displaystyle H} - гидравлическая высота или напор , h {\displaystyle h} - нивелирная высота , p ρ g {\displaystyle {\frac {p}{\rho g}}} - пьезометрическая высота или (в сумме с нивелирной высотой) гидростатический напор , v 2 2 g {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2\,g}}} - скоростная высота или скоростной напор .

Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на вязкое трение . Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «гидравлические потери напора» .

Интеграл Бернулли в баротропных течениях [ | ]

Уравнение Бернулли может быть выведено и из уравнения движения жидкости . При этом течение предполагается стационарным и баротропным . Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: ρ = ρ (p) {\displaystyle \rho =\rho (p)} , что позволяет ввести функцию давления P = ∫ d p ρ (p) . {\displaystyle {\cal {P}}=\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p)}}.} В этих предположениях величина

v 2 2 + g h + P = c o n s t {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gh+{\cal {P}}=\mathrm {const} }

постоянна вдоль любой линии тока и любой вихревой линии . Соотношение справедливо для течения в любом потенциальном поле , при этом g h {\displaystyle gh} заменяется на потенциал массовой силы .

Вывод интеграла Бернулли для баротропного течения

Формула Сен-Венана - Ванцеля [ | ]

p = p 0 ρ 0 ρ γ , ρ = ρ 0 p 0 1 / γ p 1 / γ , P = − γ γ − 1 p 0 ρ 0 [ 1 − (p p 0) (γ − 1) / γ ] , {\displaystyle p={\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\rho ^{\gamma },\qquad \rho ={\frac {\rho _{0}}{p_{0}^{1/\gamma }}}p^{1/\gamma },\qquad {\cal {P}}=-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left,}

то уравнение Бернулли выражается так (вкладом от силы тяжести обычно можно пренебречь):

v 2 2 − γ γ − 1 p 0 ρ 0 [ 1 − (p p 0) (γ − 1) / γ ] = c o n s t {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left=\mathrm {const} } вдоль линии тока или вихревой линии. Здесь γ = C p C V {\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}} - показатель адиабаты газа, выражающийся через теплоёмкости при постоянном давлении и при постоянном объёме, p , ρ {\displaystyle p,\,\rho } - давление и плотность газа, p 0 , ρ 0 {\displaystyle p_{0},\,\rho _{0}} - условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.

С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за p 0 , ρ 0 , {\displaystyle p_{0},\,\rho _{0},} тогда скорость истечения выражается через внешнее давление p {\displaystyle p} по формуле Сен-Венана - Ванцеля любого стационарного течения идеальной жидкости:

v 2 2 + w + φ = c o n s t , s = c o n s t , {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi =\mathrm {const} ,\qquad \qquad s={\rm {const}},}

где w {\displaystyle w} - энтальпия единицы массы , φ {\displaystyle \varphi } - гравитационный потенциал (равный для стационарного ( ∂ v → ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=0} ) движения идеальной жидкости в поле силы тяжести имеет вид:

(v → ⋅ ∇) v → = − 1 ρ ∇ p + g → , {\displaystyle ({\vec {v}}\cdot \nabla){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\vec {g}},}

где ускорение силы тяжести можно выразить через гравитационный потенциал этого уравнения на единичный вектор l → = v → v , {\displaystyle {\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v}},} касательный к линии тока даёт:

∂ ∂ l (v 2 2 + φ) = − 1 ρ ∂ p ∂ l , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi \right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial l}},}

Обобщения интеграла Бернулли [ | ]

Интеграл Бернулли также сохраняется при переходе потока через фронт ударной волны, в системе отсчета, в которой ударная волна покоится . Однако при таком переходе энтропия среды не остаётся постоянной (возрастает), поэтому соотношение Бернулли является лишь одним из трёх соотношений Гюгонио , наряду с законами сохранения массы и импульса, связывающих состояние среды за фронтом с состоянием среды перед фронтом и со скоростью ударной волны.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений ), в магнитной гидродинамике , феррогидродинамике . В релятивистской гидродинамике, когда скорости течения становятся сравнимыми со скоростью света c {\displaystyle c} , интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантных удельной энтальпии и удельной энтропии .

уравнений гидродинамики - интеграл, определяющий давление рв каждой точке установившегося потока идеальной однородной жидкости или баротропного газа через скорость потока в соответствующей точке и через силовую функцию объемных сил:

Постоянная Симеет для каждой линии тока свое значение, меняющееся при переходе от одной линии тока к другой. Если движение потенциальное, то постоянная Сдля всего потока одна и та же.

Для неустановившегося движения Б. и. (наз. иногда интегралом Коши - Лагранжа) имеет место при наличии потенциала скоростей:

и есть произвольная функция времени.

Для несжимаемой жидкости левая часть уравнений (1), (2) приводится к виду ; для баротропного газа - к виду:

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит. : Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

- Даниил, швейц. учёный, чл. Петерб. АН. Проф. ун-та в Базеле. В 1725-33 работал в России. Одним из первых использовал методы теории вероятностей при рассмотрении ряда вопросов количеств, изучения нас. В работе "...
- Кристоф, швейц. учёный, проф. технич. наук ун-та в Базеле...
Демографический энциклопедический словарь
- автоморфизм пространства с мерой:, описывающий Бернулли испытания и их обобщение - последовательность независимых испытаний, имеющих одни и те же исходы и одно и то же распределение вероятностей...
Математическая энциклопедия
- случайное блуждание, порождаемое Бернулли испытаниями. На примере Б. б. можно пояснить нек-рые основные черты более общих случайных блужданий...
Математическая энциклопедия
- независимые испытания с двумя исходами каждое и такие, что вероятности исходов не изменяются от испытания к испытанию. Б. и. служат одной из основных схем, рассматриваемых в теории вероятностей...
Математическая энциклопедия
- плоская алгебраич...
Математическая энциклопедия
- метод нахождения наибольшего по абсолютной величине действительного корня алгебраич. уравнения вида Предложен Д. Бернулли; состоит- в следующем. Пусть - произвольно выбранные числа...
Математическая энциклопедия
- многочлены вида где Bs- Бернулли числа...
Математическая энциклопедия
- то же, что биномиальное распределение...
Математическая энциклопедия
- правило, согласно котором у сила сокращения мышцы при прочих равных условиях пропорциональна длине ее мышечных волокон, т. е. степени ее предварительного растяжения...
Большой медицинский словарь
- Даниэль, швейцарский математик и физик, член знаменитой семьи математиков. В своих трудах по гидродинамике показал, что давление жидкости уменьшается по мере возрастания скорости ее течения...
Научно-технический энциклопедический словарь
- династия швейцарских ученых родом из Антверпена, бежавших из города после захвата его испанцами и поселившихся в 1622 в Базеле...
Энциклопедия Кольера
- семейство, давшее ряд замечательных людей, преимущественно в области математических наук. Родоначальник его Яков Б. эмигрировал из Антверпена во время управления Фландрией герцога Альбы, во Франкфурт...
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
- семья швейцарских учёных, родоначальник которой Якоб Б. был выходцем из Голландии. Якоб Б. , профессор математики Базельского университета...
Большая Советская энциклопедия
- семья швейцарских ученых, давшая видных математиков...
Большой энциклопедический словарь
- Берн"улли, нескл., муж.: сх"ема Берн"улли, теор"ема Берн"улли, уравн"ение Берн"улли, ч"исла Берн"...
Русский орфографический словарь

"БЕРНУЛЛИ ИНТЕГРАЛ" в книгах

Вызов Бернулли

Из книги Больше, чем вы знаете. Необычный взгляд на мир финансов автора Мобуссин Майкл

Вызов Бернулли Компетентные инвесторы гордятся своей способностью определять правильную цену финансовых заявок. Эта способность является сутью инвестирования: рынок – лишь средство для обмена денег на будущие заявки и наоборот.Хорошо, вот вам ситуация для оценки:

11. ИНТЕГРАЛ В ЛОГИКЕ

Из книги Хаос и структура автора Лосев Алексей Федорович

11. ИНТЕГРАЛ В ЛОГИКЕ Как мы знаем, интегрирование определяется в математике или в качестве процесса, обратного дифференцированию, или в качестве нахождения предела суммы. В первом смысле интегрирование для нас менее интересно, так как здесь мы имеем дело с прямым

ИНТЕГРАЛ

Из книги Русский рок. Малая энциклопедия автора Бушуева Светлана

ИНТЕГРАЛ Эта «кузница кадров» возникла в городе Усть-Каменогорске в конце 80-х годов. В «Интеграле» в разное время переиграли: Юрий Лоза, Игорь Сандлер, Юрий Ильченко, Игорь Новиков, Ярослав Ангелюк, Женя Белоусов, Марина Хлебникова и другие. В начале 80-х группа играла

Бернулли

Из книги Энциклопедический словарь (Б) автора Брокгауз Ф. А.

Бернулли Бернулли (Bernoulli) – семейство, давшее ряд замечательных людей, преимущественно в области математических наук. Родоначальник его Яков Б. (ум. 1583 г.), эмигрировал из Антверпена вовремя управления Фландрией герцога Альбы во Франкфурт; внук его, также Яков Б, род. 1598 г.,

Бернулли

БСЭ

Бернулли схема

Из книги Большая Советская Энциклопедия (БЕ) автора БСЭ

Бернулли схема Бернулли схема (названа по имени Я. Бернулли), одна из основных математических моделей для описания независимых повторений опытов, используемых в вероятностей теории. Б. с. предполагает, что имеется некоторый опыт S и связанное с ним случайное событие А

Бернулли теорема

Из книги Большая Советская Энциклопедия (БЕ) автора БСЭ

автора Канеман Даниэль

Ошибки Бернулли В начале 1970-х годов Амос вручил мне брошюру швейцарского экономиста Бруно Фрея, где обсуждались психологические аспекты экономической теории. Я помню даже цвет обложки - темно-красный. Бруно Фрей почти и не вспоминает эту статью, но я все еще могу по

Ошибка Бернулли

Из книги Думай медленно... решай быстро автора Канеман Даниэль

Ошибка Бернулли Как хорошо понимал Фехнер, он не первый пытался найти функцию, связывающую психологическую интенсивность с физической силой стимула. В 1738 году швейцарский ученый Даниил Бернулли предвосхитил объяснения Фехнера и применил их к отношениям между

25. Уравнение Бернулли

Из книги Гидравлика автора Бабаев М А

25. Уравнение Бернулли Уравнение Громеки подходит для описания движения жидкости, если компоненты функции движения содержат какуююто вихревую величину. Например, эта вихревая величина содержится в компонентах?x, ?y,?z угловой скорости w.Условием того, что движение

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

Бернулли уравнение (интеграл Бернулли)

Бернулли уравнение (интеграл Бернулли) в гидроаэромеханике [[по имени швейцарского учёного Д. Бернулли (D. Bernoulli)], одно из основных уравнений гидромеханики, которое при установившемся движении несжимаемой идеальной жидкости в однородном поле сил тяжести имеет вид:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
где v — скорость жидкости, ρ — её плотность, р — давление в ней, h — высота жидкой частицы над некоторой горизонтальной плоскостью, g — ускорение свободного падения, С — величина, постоянная на каждой линии тока, но в общем случае изменяющая своё значение при переходе от одной линии тока к другой.

Сумма первых двух членов в левой части уравнения (1) равна полной потенциальной, а третий член — кинетической энергиям, отнесённым к ед. массы жидкости; следовательно, всё уравнение выражает для движущейся жидкости закон сохранения механической энергии и устанавливает важную зависимость между v, p и h. Например, если при неизменной h скорость течения вдоль линии тока возрастает, то давление падает, и наоборот. Этот закон используют при измерении скорости с помощью трубок измерительных и при других аэродинамических измерениях.

Уравнение Бернулли представляют также в виде
h + p/γ + v 2 /2g = C или
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(где γ =ρg — удельный вес жидкости). В 1-м равенстве все слагаемые имеют размерность длины и называются соответствующей геометрической (нивелирной), пьезометрической и скоростной высотами, а во 2-м — размерности давления и соответственно именуются весовым, статическим и динамическим давлениями.

В общем случае, когда жидкость является сжимаемой (газ), но баротропной, т. е. р в ней зависит только от ρ, и когда её движение происходит в любом, но потенциальном поле объёмных (массовых) сил (см. Силовое поле), уравнение Бернулли получается как следствие Эйлера уравнений гидромеханики и имеет вид:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
где П — потенциальная энергия (потенциал) поля объёмных сил, отнесённая к ед. массы жидкости. При течении газов значение П мало изменяется вдоль линии тока, и его можно включить в константу, представив (3) в виде:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)