Требования к системе аксиом, аксиомы Пеано. При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила: 1) некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения; 2) каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение. В нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий. 3) формулируется аксиомы, т.е предложения, которое в данной теории принимается без доказательства. В аксиомах раскрываются свойства основных понятий. 4) каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом должно быть доказано. Такие предложения называются теоремами. Их доказывают на основе аксиом и теорем, предшествующих данной.
Т.О. аксиоматический метод построения математической теории проходит через несколько этапов: 1) введение основных неопределяемых понятий (н-р: множество, элемент множества в теории множеств). 2)введение основных отношений (н-р: отношение принадлежности в теории множеств). 3) через указание основных понятий и основных отношений вводится определение других понятий и отношений (н-р: в теории множеств понятия объединения, пересечения, разности, дополнения).
При аксиоматическом построении теории все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом. Основу такой теории составляет система аксиом, и к системе аксиом предъявляются особые требования: 1)система аксиом должна быть непротиворечивой. Систему аксиом называют непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимоисключающих друг друга предложения. Другими словами, нельзя вывести высказывание и отрицание данного высказывания, так чтобы они одновременно были истинными. Чтобы убедится в непротиворечивости системы аксиом достаточно построить модель этой системы. 2) система аксиом должна быть независимой. Система аксиом называется независимой, если никакие из аксиом этой системы не являются следствием других аксиом. Другими словами каждая аксиома этой системы не может быть выведена из остальных аксиом. Чтобы доказать независимость системы аксиом достаточно построить модель этой системы. 3) система аксиом должна быть полной, т.е. количество аксиом выбранных в данной теории должно быть достаточно для введения новых понятий, отношений, доказательства теорем, для построения всей теории.
При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом, но они должны быть равносильными. В качестве основного понятия при аксиоматическом построении системы натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за». Известными так же считаются понятия «множество», «элемент множества», правило логики. Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначается а - штрих.
Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах: 1) во множестве натуральных чисел существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества, данный элемент 1 (единица). 2) для каждого элемента а из множества натуральных чисел (N) существует единственный элемент а? , не посредственно следующий за а. 3) для каждого элемента а из N, существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а. 4) всякое подмножество М множества N, обладающего свойствами: 1 М, и из того, что а содержится в М что и а? содержится в М, совпадает со множеством N.
Перечисленные системы аксиом называются аксиомами Пеано. Т.О. множество чисел, для которых устанавливается отношение непосредственно следовать за, удовлетворяющее аксиомам Пеано, называется множеством натуральных чисел, а его элемент - натуральным числом. Четвертая аксиома описывает бесконечность натурального ряда чисел и называется аксиомой индукции. На ее основе проводится доказательство различных утверждений методом математической индукции, который заключается в следующем: чтобы доказать, что данное утверждение истинно для любого натурального числа необходимо: 1) доказать, что это утверждение истинно для единицы, 2) из предложения, что утверждение истинно для произвольного числа к, доказать, что оно истинно и для следующего числа к?.
В определении множества N ничего не говорится о природе этого множества, значит оно может быть каким угодно. Выбирая в качестве множества N любое множество, на котором задано отношение непосредственно следовать за и удовлетворяющее аксиомам Пеано получим модель данной системы аксиом. Между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие. Эти модели будут отличаться только природой элементов, названием и обозначением. Н-р: 1, 2, 3, 4, 5… 0.00,000,0000,00000, … Ѕ, 1/3, ј, 1/5,
Отдел образования администрации Кировского района г. Волгограда
Муниципальное общеобразовательное учреждение
гимназия №9
Секция математика
По теме: Натуральные числа
Ученицы 6 б класса
Шанина Лиза
Руководитель:
Учитель математики
Дата написания работы:
Подпись руководителя:
г. Волгоград 2013 г.
Введение стр.3
§1. Основные понятия и определения стр.4
§2. Аксиоматика натурального числа стр. 5
§3. «О НЕКОТОРЫХ ТАЙНАХ, КОТОРЫЕ ХРАНЯТ ЧИСЛА» стр.8
§4. Великие математики стр. 10
Заключение стр. 12
Список литературы стр. 13
Введение
Что такое натуральные числа? Все! Ой, как хорошо. А кто может объяснить? Гм, гм, "положительные целые числа", нет, не пойдёт. Придётся объяснять, что такое "целые числа", а это сложнее. Ещё есть версии? Количество яблок? Кажется, мы не понимаем, зачем нужно объяснять.
Натуральные числа это некоторые математические объекты, чтобы делать о них какие-то утверждения, вводить на них операции (сложение, умножение), нам нужно какое-то формальное определение. Иначе операция сложения останется такой же неформальной, на уровне "было две кучки яблок, сложили их в одну". И доказывать теоремы, в которых используется сложение, станет невозможно, это печально.
Да-да, совершенно верно вспомнить, что точки и прямые это неопределимые понятия. Но у нас есть аксиомы , задающие свойства, на которые можно опираться в доказательствах. Например, "через любые две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну". И т. п. Вот чего-нибудь такого хотелось бы.
В данной работе мы будем рассматривать натуральные числа, аксиомы Пеано и тайны чисел.
Актуальность и новизна работы состоит в том, что область аксиом Пеано не раскрыта в школьных учебниках и не показана их роль.
Целью данной работы является изучение вопроса о натуральном числе и тайны чисел.
Основной гипотезой работы является аксиомы Пеано и тайны чисел.
§1. Основные понятия и определения
Число – это выражение определенного количества.
Натуральное число элемент неограниченно продолжающейся последовательности.
Натуральные числа (естественные числа) - числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
Существуют два подхода к определению натуральных чисел - числа, используемые при:
перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …).
Аксиома – это основные исходные положения (самоочевидные принципы) той или иной теории, из которых путем дедукции, то есть чисто логическими средствами, извлекается все остальное содержание этой теории.
Число, которое имеет только два делителя (само это число и единицу) называется - простым числом.
Составное число - это такое число, которое имеет более двух делителей.
§2. Аксиоматика натурального числа
Натуральные числа получаются при счете предметов и при измерении величин. Но если при измерении появляется числа, отличные от натуральных, то счет приводит только к числам натуральным. Чтобы вести счет, нужна последовательность числительных, которая начинается с единицы и которая позволяет осуществлять переход от одного числительного к другому и столько раз, сколько это необходимо. Иначе говоря, нужен отрезок натурального ряда. Поэтому, решая задачу обоснования системы натуральных чисел, в первую очередь надо было ответить на вопрос о том, что же представляет собой число как элемент натурального ряда. Ответ на это был дан в работах двух математиков - немца Грассмана и итальянца Пеано. Они предложили аксиоматику, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности.
Аксиоматическое построение системы натуральных чисел осуществляется по сформулированным правилам .
Пять аксиом можно рассматривать как аксиоматическое определение основных понятий:
1 есть натуральное число;
Следующее за натуральным числом есть натуральное число;
1 не следует ни за каким натуральным числом;
Если натуральное число а следует за натуральным числом b и за натуральным числом с , то b и с тождественны;
Если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа n , вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел.
Единица – это первое число натурального ряда, а также одна из цифр в десятичной системе счисления.
Считается, что обозначение единицы любого разряда одним и тем же знаком (довольно близким современному) появилось впервые в Древнем Вавилоне приблизительно за 2 тысячи лет до н. э.
Древние греки, считавшие числами лишь натуральные числа, рассматривали каждое из них как собрание единиц. Самой же единице отводится особое место: она числом не считалось.
И. Ньютон писал: «… под числом мы понимаем не столько собрание единиц, сколько отвлеченное отношение одной величины к другой величине, условно принятой нами за единицу». Таким образом, единица уже заняла своё законное место среди других чисел.
Арифметические действия над числами имеют самые различные свойства. Их можно описать словами, например: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Можно записать буквами: a+b = b+a. Можно выразить специальными терминами.
Мы применяем основные законы арифметики часто по привычке, не осознавая этого:
1) переместительный закон (коммутативность), – свойство сложения и умножения чисел, выражаемое тождествами:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) cочетательный закон (ассоциативность), – свойство сложения и умножения чисел, выражаемое тождествами:
(a+b)+с = а+(b+с) (a*b)*с = а*(b*с);
3) распределительный закон (дистрибутивность), – свойство, связывающее сложение и умножение чисел и выражающееся тождествами:
a*(b+с) = а*b+а*с (b+с) *a = b*а+с*а.
После доказательства переместительного, сочетательного и распределительного (по отношению к сложению) законов действия умножения дальнейшее построение теории арифметических действий над натуральными числами не представляет уже принципиальных затруднений.
В настоящее время в уме или на листке бумаги мы делаем лишь самые простые вычисления, все чаще и чаще поручая более сложную вычислительную работу калькуляторам, вычислительным машинам. Однако в основе работы всех вычислительных машин – простых и сложных – лежит самая простая операция – сложение натуральных чисел. Оказывается, самые сложные расчеты можно свести к сложению, только делать эту операцию надо многие миллионы раз.
§3. .«О НЕКОТОРЫХ ТАЙНАХ, КОТОРЫЕ ХРАНЯТ ЧИСЛА»
Числа Мерсенна.
В течение нескольких столетий шли поиски простых чисел.
Число, которое имеет только два делителя (само это число и единицу) называется - простым числом
Составное число - это такое число, которое имеет более двух делителей. Вот например: французский монах Марен Мерсенн (1г.) записал формулу числа « на простоту», которые получили название числа Мерсенна.
Это числа вида М р =2Р -1, где р = простое число.
Я проверила: выполнима ли эта формула для всех простых чисел
К настоящему времени числа большие 2 проверены на простоту для всех р до 50000.Е» результате было обнаружено более 30 простых чисел Мерсенна.
3.1 Совершенные числа.
Среди составных чисел выделяется такая группа чисел, которые получили название ■ совершенными, если число равнялось сумме всех своих делителей (исключая само число). Например:
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
3.2. Дружественные числа
Учёный Пифагор много путешествовал по странам Востока: был в Египте и в Вавилоне. Там Пифагор познакомился и с восточной математикой. Пифагор верил, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира, числа имеют свой особый жизненный смысл. Среди составных чисел встречаются пары чисел, из которых каждое равняется сумме делителей другого.
Например: 220 и 284
220=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
234=1+2+4+71+142=220
Я с помощью калькулятора нашла ещё пары дружественных чисел.
Например: 1184 и 1210
1184=1+2+4+8+16+32+37+74+148+296+592=1210
1210=1+2+5+10+1.1+22+55+110+121+242+605=1184 и. т.д.
Дру́жественные чи́сла - два натуральных числа́, для которых сумма всех делителей первого числа́ (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа́ (кроме него самого) равна первому числу.. Обычно же, говоря о дружественных числах, имеют в виду пары из двух разных чисел.
Дружественные числа
Дружественные числа - пара чисел, из которых каждое равняется сумме своих делителей (например, 220 и 284).
§4. Великие математики
Герман Гюнтер Грассман (нем. Hermann Günther Grassmann, 1809-1877) - физик, математик и филолог.
После того как Грассман получил образование в Штетине, он поступал в Берлинский университет, на факультет теологии. Сдав с успехом оба экзамена по теологии, он долго не оставлял мысли посвятить себя деятельности проповедника, а стремление к богословию сохранил до конца своей жизни. В то же время он заинтересовался математикой. В 1840 году он выдержал дополнительный экзамен на приобретение права преподавать математику, физику, минералогию и химию.
Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">дифференциальных уравнений, определение и объём понятия кривой и т. п.) и формально-логическим обоснованием математики. Во всеобщее употребление вошла его аксиоматика натурального ряда чисел Известен его пример непрерывной (жордановой) кривой, целиком заполняющей некоторый квадрат.
Сэр Исаа́к Нью́то́н
(англ. Sir Isaac Newton, 25 декабря 1642 - 20 марта 1727 по юлианскому календарю, действовавшему в Англии до 1752 года; или 4 января 1643 - 31 марта 1727 по григорианскому календарю) - английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисление, теорию цвета и многие другие математические и физические теории.
Маре́н Мерсе́нн (устаревшая транслитерация Мари́н Мерсе́нн; фр. Marin Mersenne; 8 сентября 1588 - 1 сентября 1648) - французский математик, физик, философ и теолог. На протяжении первой половины XVII века был по существу координатором научной жизни Европы, ведя активную переписку практически со всеми видными учёными того времени. Имеет также серьёзные личные научные заслуги в области акустики, математики и теории музыки.
Заключение
Мы встречаемся с числами на каждом шагу и настолько с этим свыклись, что почти не отдаем себе отчета, насколько важны они в нашей жизни. Числа составляют часть человеческого мышления.
Выполнив данную работу, я узнала аксиомы натуральных чисел, великих математиков, некоторые тайны о числах. Всего существует десять цифр, а числа, которые можно представить с их помощью, бесконечное множество.
Математика немыслима без чисел. Разные способы представления числа помогают ученым создавать математические модели, теории, объясняющие неразгаданные явления природы.
Список литературы
1. Кордемский школьников математикой: (Материал для клас. и внеклас. занятий). – М.: Просвещение, 1981. – 112 с.
2. , Шор арифметических задач повышенной трудности. – М.: Просвещение, 1968. – 238 с.
3. Перельман арифметика. – М.: АО Столетие, 1994. – 164 с.
4. Малыгин историзма в преподавании математики в средней школе . – М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1963. – 223 с.
5. , Шевкин. – М.: УНЦ довузовского обучения МГУ, 1996. – 303 с.
6. Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. ; Ред. кол.: , . – М.: Сов. энциклопедия, 1988. – 847 с.
7. Савин словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985. – 352с.
Соглашение об использовании материалов сайта
Просим использовать работы, опубликованные на сайте , исключительно в личных целях. Публикация материалов на других сайтах запрещена.
Данная работа (и все другие) доступна для скачивания совершенно бесплатно. Мысленно можете поблагодарить ее автора и коллектив сайта.
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Подобные документы
Сложение и умножение целых p-адических чисел, определяемое как почленное сложение и умножение последовательностей. Кольцо целых p-адических чисел, исследование свойств их деления. Объяснение данных чисел с помощью ввода новых математических объектов.
курсовая работа , добавлен 22.06.2015
Как люди научились считать, возникновение цифр, чисел и систем счисления. Таблица умножения на "пальцах": методика умножения для чисел 9 и 8. Примеры быстрого счета. Способы умножения двузначного числа на 11, 111, 1111 и т.д. и трехзначного числа на 999.
курсовая работа , добавлен 22.10.2011
Новый способ умножения чисел. Схожесть образующейся при вычислении матрицы из цифр, с треугольником относительна, но все же есть, особенно при умножении трехзначных чисел и выше. Треугольная матрица.
статья , добавлен 06.02.2005
реферат , добавлен 13.01.2011
Характеристика истории изучения значения простых чисел в математике путем описания способов их нахождения. Вклад Пьетро Катальди в развитие теории простых чисел. Способ Эратосфена составления таблиц простых чисел. Дружественность натуральных чисел.
контрольная работа , добавлен 24.12.2010
Множество неотрицательных действительных чисел как интерпретируемое подмножество R. Делимость в мультипликативных полугруппах. Строение числовых НОД и НОК полугрупп. Изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных действительных чисел с 0 и 1.
дипломная работа , добавлен 27.05.2008
Свойства действительных чисел, их роль в развитии математики. Анализ построения множества действительных чисел в историческом аспекте. Подходы к построению теории действительных чисел по Кантору, Вейерштрассу, Дедекинду. Их изучение в школьном курсе.
презентация , добавлен 09.10.2011
Первоначальные элементы математики. Свойства натуральных чисел. Понятие теории чисел. Общие свойства сравнений и алгебраических уравнений. Арифметические действия со сравнениями. Основные законы арифметики. Проверка результатов арифметических действий.
курсовая работа , добавлен 15.05.2015
При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:
Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;
Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий;
Формулируются аксиомы - предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий;
Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.
Если построение теории осуществляется аксиоматическим методом, т.е. по названным выше правилам, то говорят, что теория построена дедуктивно.
При аксиоматическом построении теории по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом. Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования. Прежде всего, она должна быть непротиворечивой и независимой.
Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения.
Если система аксиом не обладает этим свойством, она не может быть пригодной для обоснования научной теории.
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.
При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равносильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Но если выбор аксиом условен, то сама наука или отдельная теория не зависят от каких-либо условий, - они являются отражением реального мира.
Аксиоматическое построение системы натуральных чисел осуществляется по сформулированным правилам. Изучая этот материал, мы должны увидеть, как из основных понятий и аксиом можно вывести всю арифметику натуральных чисел. Конечно, его изложение в нашем курсе будет не всегда строгим - некоторые доказательства мы опускаем в силу их большой сложности, но каждый такой случай будем оговаривать.
Упражнение
1. В чем суть аксиоматического способа построения теории?
2. Верно ли, что аксиома - это предложение, которое не требует доказательства?
3. Назовите основные понятия школьного курса планиметрии. Вспомните несколько аксиом из этого курса. Свойства каких понятий в них описываются?
4. Дайте определение прямоугольника, выбрав в качестве родового понятие параллелограмма. Назовите три понятия, которые в курсе геометрии должны предшествовать понятию «параллелограмм».
5. Какие предложения называют теоремами? Вспомните, какова логическая структура теоремы и что значит доказать теорему.
Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на непустом множестве N. Известными также считаются понятие множества, элемента множества и другие теоретико-множественные понятия, а также правила логики.
Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а".
Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах.
Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1.
Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент a ", непосредственно следующий за а.
Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.
Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М ; 2) из того, что а содержится в М , следует, что и а" содержится в М.
Сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано.
Используя отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, можно дать следующее определение натурального числа.
Определение. Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами.
В данном определении ничего не говорится о природе элементов множества N. Значит, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве
множества N некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, мы получим модель данной системы аксиом. В математике доказано, что между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение «непосредственно следовать за», и все такие модели будут отличаться только природой элементов, их названием и обозначением. Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел:
Каждое число этого ряда имеет свое обозначение и название, которое мы будем считать известными.
Рассматривая натуральный ряд чисел в качестве одной из моделей аксиом 1-4, следует отметить, что они описывают процесс образования этого ряда, причем происходит это при раскрытии в аксиомах свойств отношения «непосредственно следовать за». Так, натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4). Заметим, что аксиома 4 в формализованном виде описывает бесконечность натурального ряда, и на ней основано доказательство утверждений о натуральных числах.
Вообще моделью системы аксиом Пеано может быть любое счетное множество, например:!..
Рассмотрим, например, последовательность множеств, в которой множество {оо} есть начальный элемент, а каждое последующее множество получается из предыдущего приписыванием еще одного кружка (рис. 108, а). Тогда N есть множество, состоящее из множеств описанного вида, и оно является моделью системы аксиом Пеано. Действительно, в множестве N существует элемент {оо}, непосредственно не следующий ни за каким элементом данного множества, т.е.
существует единственное множество, которое получается из А добавлением одного кружка, т. е. выполняется аксиома 2. Для каждого множества А существует не более одного множества, из которого образуется множество А добавлением одного кружка, т.е. выполняется аксиома 3. Если М Ì N и известно, что множество А содержится в М, следует, что и множество, в котором на один кружок больше, чем в множестве А, также содержится в М, то М = N (и значит, выполняется аксиома 4).
Заметим, что в определении натурального числа ни одну из аксиом опустить нельзя - для любой из них можно построить множество, в котором выполнены остальные три аксиомы, а данная аксиома не выполняется. Это положение наглядно подтверждается примерами, приведенными на рисунках 109 и 110. На рисунке 109,а изображено множество, в котором выполняются аксиомы 2 и 3, но не выполнена аксиома 1 (аксиома 4 не будет иметь смысла, так как в множестве нет элемента, непосредственно не следующего ни за каким другим). На рисунке 109,б показано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 3 и 4, но за элементом а
непосредственно следуют два элемента, а не один, как требуется в аксиоме 2. На рисунке 109,в изображено множество, в котором выполнены аксиомы 1, 2, 4, но элемент с
непосредственно следует как за элементом а,
так и за элементом b.
На рисунке 110 показано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 2, 3, но не выполняется аксиома 4 - множество точек, лежащих на луче, оно содержит непосредственно следующее за ним число, но оно не совпадает со всем множеством точек, показанных на рисунке.
То обстоятельство, что в аксиоматических теориях не говорят об «истинной» природе изучаемых понятий, делает на первый взгляд эти теории слишком абстрактными и формальными, - оказывается, что одним и тем же аксиомам удовлетворяют различные множества объектов и разные отношения между ними. Однако в этой кажущейся абстрактности и состоит сила аксиоматического метода: каждое утверждение, выведенное логическим путем из данных аксиом, применимо к любым множествам объектов, лишь бы в них были определены отношения, удовлетворяющие аксиомам.
Итак, мы начали аксиоматическое построение системы натуральных чисел с выбора основного отношения «непосредственно следовать за» и аксиом, в которых описаны его свойства. Дальнейшее построение теории предполагает рассмотрение известных свойств натуральных чисел и операций над ними. Они должны быть раскрыты в определениях и теоремах, т.е. выведены чисто логическим путем из отношения «непосредственно следовать за», и аксиом 1-4.
Первое понятие, которое мы введем после определения натурального числа, - это отношение «непосредственно предшествует», которое часто используют при рассмотрении свойств натурального ряда.
Определение. Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b.
Отношение «предшествует» обладает рядом свойств. Они формулируются в виде теорем и доказываются с помощью аксиом 1 – 4.
Теорема 1 . Единица не имеет предшествующего натурального числа.
Истинность данного утверждения вытекает сразу из аксиомы 1.
Теорема 2. Каждое натуральное число а, отличное от 1, имеет предшествующее число b, такое, что b ¢ = а.
Доказательство. Обозначим через М множество натуральных чисел, состоящее из числа 1 и из всех чисел, имеющих предшествующее. Если число а содержится в М, то и число а" также есть в М, поскольку предшествующим для а" является число а. Это значит, что множество М содержит 1, и из того, что число а принадлежит множеству М, следует, что и число а" принадлежит М. Тогда по аксиоме 4 множество М совпадает с множеством всех натуральных чисел. Значит, все натуральные числа, кроме 1, имеют предшествующее число.
Отметим, что в силу аксиомы 3 числа, отличные от 1, имеют единственное предшествующее число.
Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рассматривается ни в начальной, ни в средней школе. Однако те свойства отношения «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в начальном курсе математики. Уже в первом классе при рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Учащиеся убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен. И конечно, знание аксиоматической теории поможет учителю методически грамотно организовать усвоение детьми особенностей натурального ряда чисел.
Упражнения
1.Можно ли аксиому 3 сформулировать в таком виде: «Для каждого элемента а из N существует единственный элемент, за которым непосредственно следует а»?
2.Выделите условие и заключение в аксиоме 4, запишите их, используя символы Î, =>.
3.Продолжите определение натурального числа: «Натуральным числом называется элемент множества Î, Þ.
Сложение
По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отношение «непосредственно следовать за», и понятия «натуральное число» и «предшествующее число».
Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу а прибавить 1, то получим число а", непосредственно следующее за а, т.е. а + 1 = а", и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу а натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2 + 3 = 5, то сумма 2 + 4 равна числу 6, которое непосредственно следует за числом 5. Происходит так потому, что в сумме 2 + 4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. Таким образом, сумму а + b" можно найти, если известна сумма а + b. Эти факты и положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции.
Определение. Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:
1) ("а Î N ) а + 1=а",
2) (" а , b Î) а + b" = (а + b)".
Число а + b называется суммой чисел а и b, а сами числа а и b - слагаемыми.
Как известно, сумма любых двух натуральных чисел представляет собой также натуральное число, и для любых натуральных чисел а и b сумма а + b - единственна. Другими словами, сумма натуральных чисел существует и единственна. Особенностью определения является то, что заранее не известно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственна ли она? Поэтому при аксиоматическом построении теории натуральных чисел доказывают следующие утверждение:
Теорема 3. Сложение натуральных чисел существует и оно единственно.
Эта теорема состоит из двух утверждений (двух теорем):
1)сложение натуральных чисел существует;
2)сложение натуральных чисел единственно.
Как правило, существование и единственность связывают вместе, но они чаще всего не зависят друг от друга. Существование какого-либо объекта не подразумевает его единственность. (Например, если вы говорите, что у вас есть карандаш, то это не значит, что он только один.) Утверждение о единственности означает, что не может существовать двух объектов с заданными свойствами. Единственность часто доказывается методом от противного: предполагают, что имеется два объекта, удовлетворяющих данному условию, а затем выстраивают цепочку дедуктивных умозаключений, приводящую к противоречию.
Чтобы убедиться в истинности теоремы 3, сначала докажем, что если в множестве N существует операция, обладающая свойствами 1 и 2, то эта операция единственная; затем докажем, что операция сложения со свойствами 1 и 2 существует.
Доказательство единственности сложения. Допустим, что в множестве N существует две операции сложения, обладающие свойствами 1 и 2. Одну из них обозначим знаком + , а другую - знаком Å. Для этих операций имеем:
1) а + 1 = а"; 1) а Å =а"\
2) а + b" = (а + b)" 2) а Å b" = (а Å b)".
Докажем, что
("a, b Î N )a + b=a Å b . (1)
Пусть число а выбрано произвольно, а b М b, для которых равенство (1) истинно.
Нетрудно убедиться в том, что 1 Î М. Действительно, из того, что а + 1 = а" = а Å 1 следует, что а + 1 =а Å 1.
Докажем теперь, что если b Î М, то b" Î М, т.е. если а + b = а Å b, то а + b" = а Å b". Так как а + b - а Å b, то по аксиоме 2 (а + b)" = (а Å b)", и тогда а + b" - (а + b)" = (а Å b)" = а Å b". Поскольку множество М содержит 1 и вместе с каждым числом b содержит и число b¢ то по аксиоме 4, множество М совпадает с N , а значит, равенство (1) b. Так как число а было выбрано произвольно, то равенство (1) верно при любых натуральных а и b, т.е. операции + и Å на множестве N могут отличаться друг от друга только обозначениями.
Доказательство существования сложения. Покажем, что алгебраическая операция, обладающая свойствами 1 и 2, указанными в определении сложения, существует.
Пусть М - множество тех и только тех чисел а, для которых можно определить а + b так, чтобы были выполнены условия 1 и 2. Покажем, что 1 Î М. Для этого при любом b положим
1+b=b¢. (2)
1)1 + 1 = 1¢ - по правилу (2), т.е. выполняется равенство а + 1 = а" при а = 1.
2)1 + b" = (b" )¢b = (1 + b)" - по правилу (2), т. е. выполняется равенство а + b" = (а + b)" при а = 1.
Итак, 1 принадлежит множеству М.
Предположим, что а принадлежит М. Исходя из этого предположения, покажем, что и а" содержится в М, т.е. что можно определить сложение а" и любого числа b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2. Для этого положим:
а" + b = (а + b)". (3)
Так как по предположению число а + b определено, то по аксиоме 2, единственным образом определяется и число (а + b)". Проверим, что при этом выполняются условия 1 и 2:
1)а" + 1 = (а + 1)" = (а")". Таким образом, а" + 1 = (a ")".
2)а" + b" = (а+ b¢)" = ((а + b)")" = (а" + b)". Таким образом, а" + b" = = (а" + b)".
Итак, показали, что множество М содержит 1 и вместе с каждым числом а содержит число а". По аксиоме 4, заключаем, что множество М есть множество натуральных чисел. Таким образом, существует правило, которое позволяет для любых натуральных чисел а и b однозначно найти такое натуральное число а + b, что выполняются свойства 1 и 2, сформулированные в определении сложения.
Покажем, как из определения сложения и теоремы 3 можно вывести хорошо известную всем таблицу сложения однозначных чисел.
Условимся о следующих обозначениях: 1" = 2; 2"=3; 3¢ =4; 4"= 5 и т.д.
Составляем таблицу в такой последовательности: сначала к любому однозначному натуральному числу прибавляем единицу, затем - число два, потом - три и т.д.
1 + 1 = 1¢ на основании свойства 1 определения сложения. Но 1¢ мы условились обозначать 2, следовательно, 1 + 1=2.
Аналогично 2+1=2" = 3;3 + 1=3" = 4 и т.д.
Рассмотрим теперь случаи, связанные с прибавлением к любому однозначному натуральному числу числа 2.
1+2 = 1 + 1¢ - воспользовались принятым обозначением. Но 1 + 1¢ = = (1 + 1)" согласно свойству 2 из определения сложения, 1 + 1 - это 2, как было установлено выше. Таким образом,
1 +2 = 1 + 1" = (1 +1)" = 2" = 3.
Аналогично 2 + 2 = 2 + 1" = (2 + 1)" = 3" = 4; 3 + 2 = 3 + 1¢ = (3 + 1)" = = 4" = 5 и т.д.
Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу сложения однозначных чисел.
Следующий шаг в аксиоматическом построении системы натуральных чисел - это доказательство свойств сложения, причем первым рассматривается свойство ассоциативности, затем коммутативности и др.
Теорема 4. (" а,b,с Î N )(а + b) + с = а + (b + с).
Доказательство. Пусть натуральные числа а и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых равенство (а+b) +с = а+(b+с) верно.
Докажем сначала, что 1 Î М, т.е. убедимся в справедливости равенства (а + b) + 1 = а + (b + 1) Действительно, по определению сложения, имеем (а + b) + 1 = (а + b)" = а + b" = а + (b + 1).
Докажем теперь, что если с Î М, то с" Î М, т.е. из равенства (а + b) + с = а + (b + с) следует равенство (а + b) + с" = а + (b + с"). (а + b) + с" = ((а + b) + с)". Тогда на основании равенства (а + b) + с = а + (b + с) можно записать: ((а + b) + с)" = (a + (b + с))". Откуда, по определению сложения, получаем: (a + (b + с))" = а + (b + с)" =а + (b + с").
М содержит 1, и из того, что с содержится в М, следует, что и с" содержится в М. Следовательно, согласно аксиоме 4, М = N, т.е. равенство (а + b) + с = а + (b + с) истинно для любого натурального числа с, а поскольку числа а и b выбирались произвольно, то оно истинно и для любых натуральны чисел а и b, что и требовалось доказать.
Теорема 5. (" а, b Î N) а + b = b + а.
Доказательство. Состоит их двух частей: сначала доказывают, что ("a Î N) а +1 = 1+a , а затем, что (" а, b Î N) а + b=b + а.
1 .Докажем, что ("а ÎN) a + 1=1+а. Пусть М - множество всех тех и только тех чисел а, для которых равенство а + 1 = 1 + а истинно.
Так как 1+1=1 + 1- истинное равенство, то 1 принадлежит множеству М.
Докажем теперь, что если а Î М, то а" Î М, т. е. из равенства а + 1 = 1 + а следует равенство а" + 1 = 1 + а". Действительно, а" + 1 = (а + 1) + 1 по первому свойству сложения. Далее, выражение (а + 1) + 1 можно преобразовать в выражение (1 + а) + 1, воспользовавшись равенством а + 1 = 1 + а. Затем, на основании ассоциативного закона, имеем: (1 + а) + 1 = 1 + (а + 1). И наконец, по определению сложения, получаем: 1 +(а + 1) = 1 +а".
Таким образом, мы показали, что множество М содержит 1 и вместе с каждым числом а содержит и число а". Следовательно, согласно аксиоме А, М = И, т.е. равенство а + 1 = 1 + а истинно для любого натурального а.
2 . Докажем, что (" а, b Î N ) а + b = b + а. Пусть а – произвольно выбранное натуральное число, а b принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел b, для которых равенство а + b =b + а истинно.
Так как при b = 1 получаем равенство а + 1 = 1 + а, истинность которого доказана в пункте 1, то 1 содержится в М.
Докажем теперь, что если b принадлежит М, то и b" также принадлежит М, т.е. из равенства а + b =b + а следует равенство а + b" = b" + а. Действительно, по определению сложения, имеем: а + b" = (а + b)". Так как а + b = b + а, то (а + b)" =(b + а)". Отсюда, по определению сложения: (b + а)" = b + а" = b + (a + 1). На основании того, что а + 1 = 1 + а, получаем: b + (а + 1) = b + (1 + а). Применив ассоциативное свойство и определение сложения, выполняем преобразования: b + (1 + a) = (b+1) + а = b" + а.
Итак, мы доказали, что 1 содержится в множестве М и вместе с каждым числом b множество М содержит и число b¢, непосредственно следующее за b¢. По аксиоме 4 получаем, что М = И, т.е. равенство a + b = b + а истинно для любого натурального числа b, а также для любого натурального а, поскольку его выбор был произвольным.
Теорема 6 .("а,b Î N) а + b ¹ b.
Доказательство. Пусть а - натуральное число, выбранное произвольно, а b принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество тех и только тех натуральных чисел b, для которых теорема 6 верна.
Докажем, что 1 Î М. Действительно, так как а + 1 = а" (по определению сложения), а 1 не следует ни за каким числом (аксиома 1), то а + 1 ¹ 1.
Докажем теперь, что если b Î М, то b" Î М, т.е. из того, что а +b Î b слеледует, что а + b" ¹ b". Действительно, по определению сложения, а + b" = (а + b)", но поскольку а +b Î b, то (а + b)" ¹ b" и, значит, а +b¢ =b¢.
По аксиоме 4 множества М и N совпадают, следовательно, для любых натуральных чисел а +b Î b, что и требовалось доказать.
Подход к сложению, рассматриваемый при аксиоматическом построении системы натуральных чисел, является основой начального обучения математике. Получение чисел путем прибавления 1 тесно связывается с принципом построения натурального ряда, а второе свойство сложения используется при вычислениях, например, в таких случаях: 6 + 3 = (6+ 2)+ 1=8 + 1= 9.
Все доказанные свойства изучаются в начальном курсе математики и используются для преобразования выражений.
Упражнения
1. Верно ли, что каждое натуральное число получается из предыдущего прибавлением единицы?
2. Используя определение сложения, найдите значение выражений:
а) 2 + 3; б) 3 + 3; в) 4 + 3.
3. Какие преобразования выражений можно выполнять, используя свойство ассоциативности сложения?
4. Выполните преобразование выражения, применив ассоциативное свойство сложения:
а) (12 + 3)+17; б) 24 + (6 + 19); в) 27+13+18.
5. Докажите, что ("а, b Î N) а + b ¹ а.
6. Выясните, как формулируются в различных учебниках математики для начальной школы:
а) коммутативное свойство сложения;
б) ассоциативное свойство сложения.
7 .В одном из учебников для начальной школы рассматривается правило прибавления числа к сумме на конкретном примере (4 + 3) + 2 и предлагаются следующие пути нахождения результата:
а) (4 + 3) + 2 = 7 + 2 = 9;
б) (4 + 3) + 2 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9;
в) (4 + 3) + 2 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 = 9.
Обоснуйте выполненные преобразования. Можно ли утверждать что правило прибавления числа к сумме есть следствие ассоциативного свойства сложения?
8 .Известно, что а + b = 17. Чему равно:
а) а + (b + 3); б) (а + 6) + b; в) (13+b )+a ?
9 .Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида а + b + с. Дайте обоснование этим способам и проиллюстрируйте йх на конкретных примерах.
Умножение
По правилам построения аксиоматической теории определить умножение натуральных чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за» и понятия, введенные ранее.
Предварим определение умножения следующими рассуждениями. Если любое натуральное число а умножить на 1, то получится а, т.е. имеет место равенство а× 1 = а и мы получаем правило умножения любого натурального числа на 1. Но как умножать число а на натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 7×5 = 35, то для нахождения произведения 7×6 достаточно к 35 прибавить 7, так как 7×6=7×(5 + 1) = 7×5 +7. Таким образом, произведение а×b" можно найти, если известно произведение: а×b" = а×b + а.
Отмеченные факты и положены в основу определения умножения натуральных чисел. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции.
Определение. Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:
1) ("a Î N ) а× 1 = а;
2) ("a, Î N ) а×b" = а×b + а.
Число а×b называется произведением чисел а и b, а сами числа а и b- множителями.
Особенностью данного определения, так же как и определения сложения натуральных чисел, является то, что заранее неизвестно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственная ли она. В связи с этим возникает необходимость в доказательстве этого факта.
Теорема 7. Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.
Используя определение умножения, теорему 7 и таблицу сложения, Можно вывести таблицу умножения однозначных чисел. Делаем это в такой последовательности: сначала рассматриваем умножение на 1, затем на 2 и т.д.
Легко видеть, что умножение на 1 выполняется по свойству 1 в определении умножения: 1×1 = 1; 2×1=2; 3×1=3 и т.д.
Рассмотрим теперь случаи умножения на 2: 1×2 = 1×1"= 1×1 + 1 = 1 + 1=2- переход от произведения 1×2 к произведению 1×1¢ осуществлен согласно принятым ранее обозначениям; переход от выражения 1×1 к выражению 1×1+1 - на основе второго свойства умножения; произведение 1×1 заменено числом 1 в соответствии с уже полученным результатом в таблице; и, наконец, значение выражения 1+1 найдено в соответствии с таблицей сложения. Аналогично:
2×2 = 2×1" = 2×1 +2 = 2 + 2 = 4;
3×2 = 3×1¢ = 3×1 + 3 = 3 + 3 = 6.
Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу умножения однозначных чисел.
Как известно, умножение натуральных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения. При аксиоматическом построении теории удобно доказывать эти свойства, начиная с дистрибутивности.
Но в связи с тем, что свойство коммутативности будет доказано позже, необходимо рассматривать дистрибутивность справа и слева относительно сложения.
Теорема 8 . ("a,b,c Î N ) (а + b)×с =а×с + b×с.
Доказательство. Пусть натуральные числа a и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых верно равенство (a + b)×с = а×с + b×с.
Докажем, что 1 Î М, т.е. что равенство (a + b)× 1 = а ×1 + b× 1 истинно. Согласно свойству 1 из определения умножения имеем: (а + b)× 1=а+b=а× 1+ b ×1.
Докажем теперь, что если с Î М, то с" Î М, т.е. что из равенства (a + b)с = а×с + b×с следует равенство (а + b)×с" = а×с" + b×с". По определению умножения, имеем: (a + b)×с" = (a + b)×с + (a + b). Так как (а + b)×с=а×с + b×с, то (a + b)×с + (a + b) = (а×с + b×с) + (а + b). Используя ассоциативное и коммутативное свойство сложения, выполняем преобразования: (a ×с + b×с) + (а + b) = (a ×с + b×с + а) + b = (a×с + a + b×с) + b = = ((а×с + a ) + b×с) + b = (а×с + a ) + (b×с + b). И наконец, по определению умножения, получаем: (а×с + a) + (b×с + b) =а×с" + b×с".
Итак, мы показали, что множество М содержит 1, и из того, что оно содержит с, следует, что и с" содержится в М. По аксиоме 4 получаем, что М = N. Это означает, что равенство (a + b)×с = а×с + b×с верно для любых натуральных чисел с, а также для любых натуральных a и b, поскольку они были выбраны произвольно.
Теорема 9 . (" а, b, с Î N ) а×(b + с) =а×b + а×с.
Это свойство дистрибутивности слева относительно сложения. Доказывается оно аналогично тому, как это сделано для дистрибутивности справа.
Теорема 10 .(" a,b,c Î N)(a×b)×c=a×(b×c).
Это свойство ассоциативности умножения. Его доказательство основывается на определении умножения и теоремах 4-9.
Теорема 11 . ("a,b, Î N ) a×b .
Доказательство этой теоремы по форме аналогично доказательству коммутативного свойства сложения.
Поход к умножению, рассматриваемый в аксиоматической теории, является основой обучения умножению в начальной школе. Умножение на 1, как правило, определяется, а второе свойство умножения используется при составлении таблицы умножения однозначных чисел и вычислениях.
В начальном курсе изучаются все рассмотренные нами свойства умножения: и коммутативность, и ассоциативность, и дистрибутивность.
Упражнения
1 . Используя определение умножения, найдите значения выражений:
а) 3×3; 6) 3×4; в) 4×3.
2. Запишите свойство дистрибутивности умножения слева относительно сложения и докажите его. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Почему возникла необходимость в рассмотрении дистрибутивности умножения слева и справа относительно сложения?
3. Докажите свойство ассоциативности умножения натуральных чисел. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Изучается ли это свойство в начальной школе?
4. Докажите свойство коммутативности умножения. Приведите примеры его использования в начальном курсе математики.
5. Какие свойства умножения могут быть использованы при нахождении значения выражения:
а) 5×(10 + 4); 6)125×15×6; в) (8× 379)× 125?
6. Известно, что 37 - 3 = 111. Используя это равенство, вычислите:
а) 37×18; б)185×12.
Все выполненные преобразования обоснуйте.
7 . Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответ обоснуйте:
а) 8962×8 + 8962× 2; б) 63402×3 + 63402×97; в) 849+ 849×9.
8 . Какие свойства умножения будут использовать учащиеся начальных классов, выполняя следующие задания:
Можно ли, не вычисляя, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:
а) 3×7 + 3×5; б) 7×(5 + 3); в) (7 + 5)×3?
Верны ли равенства:
а) 18×5×2 = 18× (5×2); в) 5×6 + 5×7 =(6 + 7)×5;
б) (3×10)×17 = 3×10×17; г) 8×(7 + 9) = 8×7 + 9×8?
Можно ли, не выполняя вычислений, сравнить значения выражений:
а) 70×32+ 9×32... 79×30 + 79×2;
б) 87×70 + 87×8 ... 80×78 +7×78?