Tekislikdagi to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak. Kosmosdagi chiziqlar orasidagi burchak. Chiziqlar orasidagi o'tkir burchakni toping onlayn kalkulyator

Ushbu material ikkita kesishgan chiziq orasidagi burchak kabi tushunchaga bag'ishlangan. Birinchi xatboshida biz bu nima ekanligini tushuntiramiz va uni rasmlarda ko'rsatamiz. Keyin biz bu burchakning sinusini, kosinusini va burchakning o'zini topish usullarini ko'rib chiqamiz (tekislik va uch o'lchovli fazoga ega bo'lgan holatlarni alohida ko'rib chiqamiz), biz kerakli formulalarni beramiz va aniq misollar bilan ko'rsatamiz. ular amalda qanday qo'llaniladi.

Ikki chiziq kesishganda hosil bo'lgan burchak nima ekanligini tushunish uchun burchak, perpendikulyarlik va kesishish nuqtasining ta'rifini eslab qolishimiz kerak.

Ta'rif 1

Agar bitta umumiy nuqta bo'lsa, biz kesishgan ikkita chiziq deb ataymiz. Bu nuqta ikki chiziqning kesishish nuqtasi deb ataladi.

Har bir to'g'ri chiziq kesishish nuqtasi bilan nurlarga bo'linadi. Ikkala to'g'ri chiziq 4 ta burchak hosil qiladi, ulardan ikkitasi vertikal va ikkitasi qo'shni. Agar biz ulardan birining o'lchamini bilsak, qolganlarini aniqlashimiz mumkin.

Aytaylik, burchaklardan biri a ga teng ekanligini bilamiz. Bunda unga nisbatan vertikal bo'lgan burchak ham a ga teng bo'ladi. Qolgan burchaklarni topish uchun 180 ° - a farqini hisoblashimiz kerak. Agar a 90 gradusga teng bo'lsa, barcha burchaklar to'g'ri burchak bo'ladi. To'g'ri burchak ostida kesishgan chiziqlar perpendikulyar deb ataladi (perpendikulyarlik tushunchasiga alohida maqola bag'ishlangan).

Rasmga qarang:

Keling, asosiy ta'rifni shakllantirishga o'tamiz.

Ta'rif 2

Ikkita kesishuvchi chiziq hosil qilgan burchak bu ikki chiziqni tashkil etuvchi 4 ta burchakdan kichigining oʻlchovidir.

Ta'rifdan muhim xulosa chiqarish kerak: bu holda burchakning o'lchami (0, 90) oraliqdagi istalgan haqiqiy son bilan ifodalanadi.Agar chiziqlar perpendikulyar bo'lsa, ular orasidagi burchak har qanday holatda ham shunday bo'ladi. 90 darajaga teng.

Ikki kesishuvchi chiziq orasidagi burchakning o'lchamini topish qobiliyati ko'plab amaliy muammolarni hal qilish uchun foydalidir. Yechim usuli bir nechta variantlardan tanlanishi mumkin.

Boshlash uchun biz geometrik usullarni olishimiz mumkin. Agar biz bir-birini to'ldiruvchi burchaklar haqida biror narsa bilsak, ularni teng yoki o'xshash figuralarning xususiyatlaridan foydalanib, kerakli burchak bilan bog'lashimiz mumkin. Misol uchun, agar biz uchburchakning tomonlarini bilsak va bu tomonlar joylashgan chiziqlar orasidagi burchakni hisoblashimiz kerak bo'lsa, u holda kosinuslar teoremasi bizning yechimimizga mos keladi. Agar bizning sharoitimizda to'g'ri burchakli uchburchak bo'lsa, unda hisob-kitoblar uchun biz burchakning sinusini, kosinusini va tangensini ham bilishimiz kerak bo'ladi.

Koordinata usuli bu turdagi masalalarni yechishda ham juda qulay. Keling, uni qanday qilib to'g'ri ishlatishni tushuntiramiz.

Bizda O x y to'rtburchak (kartezian) koordinatalar tizimi mavjud bo'lib, unda ikkita to'g'ri chiziq berilgan. Ularni a va b harflari bilan belgilaymiz. To'g'ri chiziqlarni ba'zi tenglamalar yordamida tasvirlash mumkin. Dastlabki chiziqlar M kesishish nuqtasiga ega. Bu to'g'ri chiziqlar orasidagi kerakli burchak (uni a belgilaymiz) qanday aniqlanadi?

Keling, berilgan sharoitlarda burchakni topishning asosiy tamoyilini shakllantirishdan boshlaylik.

To'g'ri chiziq tushunchasi yo'nalish vektori va normal vektor kabi tushunchalar bilan chambarchas bog'liqligini bilamiz. Agar bizda ma'lum bir chiziq tenglamasi bo'lsa, biz undan bu vektorlarning koordinatalarini olishimiz mumkin. Buni bir vaqtning o'zida ikkita kesishgan chiziq uchun qilishimiz mumkin.

Ikkita kesishuvchi chiziq bilan ajratilgan burchakni quyidagi yordamida topish mumkin:

yo'nalish vektorlari orasidagi burchak;
normal vektorlar orasidagi burchak;
bir chiziqning normal vektori bilan ikkinchisining yo'nalishi vektori orasidagi burchak.

Endi har bir usulni alohida ko'rib chiqamiz.

1. Faraz qilaylik, yo‘nalish vektori a → = (a x, a y) bo‘lgan a to‘g‘ri va yo‘nalishi b → (b x, b y) bo‘lgan b chiziq bor. Endi kesishgan nuqtadan ikkita a → va b → vektorlarini chizamiz. Shundan so'ng biz ularning har biri o'z to'g'ri chiziqda joylashganligini ko'ramiz. Keyin bizda ularni nisbiy tartibga solish uchun to'rtta variant mavjud. Rasmga qarang:

Agar ikkita vektor orasidagi burchak to'g'ri bo'lmasa, u holda biz kesishgan a va b chiziqlar orasidagi burchakka kerak bo'ladi. Agar u o'tmas bo'lsa, u holda kerakli burchak a →, b → ^ burchakka ulashgan burchakka teng bo'ladi. Shunday qilib, a = a →, b → ^ agar a → bo'lsa, b → ^ ≤ 90 ° , va a = 180 ° - a → , b → ^ a → bo'lsa, b → ^ > 90 ° .

Teng burchakli kosinuslar teng ekanligiga asoslanib, hosil boʻlgan tengliklarni quyidagicha qayta yozishimiz mumkin: cos a = cos a →, b → ^, agar a →, b → ^ ≤ 90 °; cos a = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, agar a →, b → ^ > 90 °.

Ikkinchi holda, kamaytirish formulalari ishlatilgan. Shunday qilib,

cos a cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Oxirgi formulani so'z bilan yozamiz:

Ta'rif 3

Ikkita kesishuvchi toʻgʻri chiziq hosil qilgan burchakning kosinusu uning yoʻnalish vektorlari orasidagi burchak kosinusining moduliga teng boʻladi.

Ikki a → = (a x , a y) va b → = (b x , b y) vektorlari orasidagi burchak kosinusining formulasining umumiy shakli quyidagicha ko'rinadi:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Undan ikkita berilgan to'g'ri chiziq orasidagi burchakning kosinus formulasini olishimiz mumkin:

cos a = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Keyin burchakning o'zini quyidagi formuladan foydalanib topish mumkin:

a = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Bu yerda a → = (a x , a y) va b → = (b x , b y) berilgan chiziqlarning yo‘nalish vektorlari.

Muammoni yechishga misol keltiraylik.

1-misol

Tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida ikkita kesishuvchi a va b to'g'ri berilgan. Ularni x = 1 + 4 · l y = 2 + l l ∈ R va x 5 = y - 6 - 3 parametrik tenglamalar bilan tasvirlash mumkin. Ushbu chiziqlar orasidagi burchakni hisoblang.

Yechim

Bizning shartimizda parametrik tenglama mavjud, ya'ni bu chiziq uchun biz darhol uning yo'nalishi vektorining koordinatalarini yozishimiz mumkin. Buning uchun biz parametr uchun koeffitsientlarning qiymatlarini olishimiz kerak, ya'ni. x = 1 + 4 · l y = 2 + l l ∈ R to'g'ri chiziq a → = (4, 1) yo'nalish vektoriga ega bo'ladi.

Ikkinchi qator x 5 = y - 6 - 3 kanonik tenglama yordamida tasvirlangan. Bu erda biz maxrajlardan koordinatalarni olishimiz mumkin. Shunday qilib, bu chiziq yo'nalish vektoriga ega b → = (5 , - 3) .

Keyinchalik, biz to'g'ridan-to'g'ri burchakni topishga o'tamiz. Buning uchun ikkita vektorning mavjud koordinatalarini yuqoridagi formulaga a = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 o‘rniga qo‘yish kifoya. Biz quyidagilarni olamiz:

a = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Javob: Bu to'g'ri chiziqlar 45 graduslik burchak hosil qiladi.

Xuddi shunday masalani normal vektorlar orasidagi burchakni topish orqali hal qilishimiz mumkin. Agar normal vektori n a → = (n a x, n a y) va normal vektori n b → = (n b x, n b y) bo‘lgan b to‘g‘ri chiziqqa ega bo‘lsak, ular orasidagi burchak n a → va orasidagi burchakka teng bo‘ladi. n b → yoki n a →, n b → ^ ga ulashgan burchak. Ushbu usul rasmda ko'rsatilgan:

Oddiy vektorlarning koordinatalaridan foydalangan holda kesishgan chiziqlar orasidagi burchakning kosinusini va bu burchakning o'zini hisoblash uchun formulalar quyidagicha ko'rinadi:

cos a = cos n a →, n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 a = a r c cos n a x n b x + n a y + n a x2 + n a y + n a x2 y 2

Bu yerda n a → va n b → berilgan ikkita chiziqning normal vektorlarini bildiradi.

2-misol

To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimida 3 x + 5 y - 30 = 0 va x + 4 y - 17 = 0 tenglamalari yordamida ikkita to'g'ri chiziq berilgan. Ular orasidagi burchakning sinusi va kosinusini va bu burchakning kattaligini toping.

Yechim

Asl chiziqlar A x + B y + C = 0 ko'rinishidagi oddiy chiziq tenglamalari yordamida aniqlanadi. Normal vektorni n → = (A, B) deb belgilaymiz. Bir chiziq uchun birinchi normal vektorning koordinatalarini topamiz va ularni yozamiz: n a → = (3, 5) . Ikkinchi chiziq x + 4 y - 17 = 0 uchun normal vektor n b → = (1, 4) koordinatalariga ega bo'ladi. Endi olingan qiymatlarni formulaga qo'shamiz va jami hisoblaymiz:

cos a = cos n a →, n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Agar burchakning kosinusini bilsak, asosiy trigonometrik identifikatsiyadan foydalanib, uning sinusini hisoblashimiz mumkin. To'g'ri chiziqlar hosil qilgan burchak a burchak to'liq bo'lmaganligi uchun sin a = 1 - cos 2 a = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34 bo'ladi.

Bunda a = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Javob: cos a = 23 2 34, sin a = 7 2 34, a = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Keling, oxirgi holatni tahlil qilaylik - agar bitta to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori va ikkinchisining normal vektori koordinatalarini bilsak, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni topish.

Faraz qilaylik, a to'g'ri chiziq a → = (a x, a y) yo'nalish vektoriga, b to'g'ri chiziq esa normal vektorga ega n b → = (n b x, n b y) . Ushbu vektorlarni kesishish nuqtasidan chetga surib, ularning nisbiy pozitsiyalari uchun barcha variantlarni ko'rib chiqishimiz kerak. Rasmga qarang:

Agar berilgan vektorlar orasidagi burchak 90 darajadan oshmasa, u a va b orasidagi burchakni to'g'ri burchakka to'ldirishi ma'lum bo'ladi.

a →, n b → ^ = 90 ° - a agar a →, n b → ^ ≤ 90 ° bo'lsa.

Agar u 90 darajadan past bo'lsa, biz quyidagilarni olamiz:

a → , n b → ^ > 90 ° , keyin a → , n b → ^ = 90 ° + a

Teng burchakli kosinuslarning tenglik qoidasidan foydalanib, biz yozamiz:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - a) = sin a uchun a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a →, n b → ^ = cos 90 ° + a = - a → uchun sin a, n b → ^ > 90 °.

Shunday qilib,

sin a = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin a = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Keling, xulosa chiqaramiz.

Ta'rif 4

Tekislikda kesishgan ikkita chiziq orasidagi burchakning sinusini topish uchun birinchi chiziqning yo'nalish vektori bilan ikkinchisining normal vektori orasidagi burchak kosinusining modulini hisoblash kerak.

Kerakli formulalarni yozamiz. Burchakning sinusini topish:

sin a = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Burchakning o'zini topish:

a = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Bu yerda a → birinchi qatorning yo‘nalish vektori, n b → ikkinchisining normal vektori.

3-misol

Ikkita kesishuvchi chiziq x - 5 = y - 6 3 va x + 4 y - 17 = 0 tenglamalari bilan berilgan. Kesishish burchagini toping.

Yechim

Berilgan tenglamalardan hidoyat va normal vektorning koordinatalarini olamiz. Bu a → = (- 5, 3) va n → b = (1, 4) bo'lib chiqadi. a = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 formulasini olamiz va hisoblaymiz:

a = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

E'tibor bering, biz oldingi masaladagi tenglamalarni oldik va aynan bir xil natijaga erishdik, ammo boshqacha yo'l bilan.

Javob: a = a r c sin 7 2 34

Berilgan to'g'ri chiziqlarning burchak koeffitsientlaridan foydalanib, kerakli burchakni topishning boshqa usulini taqdim qilaylik.

Bizda y = k 1 x + b 1 tenglamadan foydalangan holda to'rtburchaklar koordinatalar tizimida aniqlangan a chiziq va y = k 2 x + b 2 sifatida aniqlangan b chiziq mavjud. Bular qiyalikli chiziqlar tenglamalari. Kesishish burchagini topish uchun formuladan foydalanamiz:

a = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, bu erda k 1 va k 2 berilgan chiziqlarning qiyaliklari. Ushbu yozuvni olish uchun normal vektorlarning koordinatalari orqali burchakni aniqlash uchun formulalar ishlatilgan.

4-misol

Tekislikda y = - 3 5 x + 6 va y = - 1 4 x + 17 4 tenglamalar bilan berilgan ikkita chiziq kesishadi. Kesishish burchagi qiymatini hisoblang.

Yechim

Chiziqlarimizning burchak koeffitsientlari k 1 = - 3 5 va k 2 = - 1 4 ga teng. Ularni a = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 formulasiga qo‘shamiz va hisoblaymiz:

a = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Javob: a = a r c cos 23 2 34

Ushbu bandning xulosalarida shuni ta'kidlash kerakki, bu erda keltirilgan burchakni topish formulalarini yoddan o'rganish shart emas. Buning uchun berilgan chiziqlarning yoʻriqnomalari va/yoki normal vektorlarining koordinatalarini bilish va ularni har xil turdagi tenglamalar yordamida aniqlay olish kifoya. Ammo burchakning kosinusini hisoblash uchun formulalarni eslab qolish yoki yozish yaxshiroqdir.

Kosmosdagi kesishgan chiziqlar orasidagi burchakni qanday hisoblash mumkin

Bunday burchakni hisoblash yo'nalish vektorlarining koordinatalarini hisoblash va bu vektorlar tomonidan yaratilgan burchakning kattaligini aniqlash uchun qisqartirilishi mumkin. Bunday misollar uchun biz ilgari keltirgan mulohazalardan foydalaniladi.

Faraz qilaylik, bizda uch o'lchamli fazoda joylashgan to'rtburchaklar koordinatalar tizimi mavjud. U kesishish nuqtasi M bo'lgan ikkita a va b to'g'ri chiziqni o'z ichiga oladi. Yo'nalish vektorlarining koordinatalarini hisoblash uchun biz ushbu chiziqlar tenglamalarini bilishimiz kerak. a → = (a x, a y, a z) va b → = (b x, b y, b z) yo‘nalish vektorlarini belgilaymiz. Ularning orasidagi burchakning kosinusini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:

cos a = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Burchakning o'zini topish uchun bizga quyidagi formula kerak bo'ladi:

a = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

5-misol

Bizda x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 tenglamasi yordamida uch o'lchovli fazoda aniqlangan chiziq mavjud. Ma'lumki, u O z o'qi bilan kesishadi. Kesish burchagi va shu burchakning kosinusini hisoblang.

Yechim

Hisoblash kerak bo'lgan burchakni a harfi bilan belgilaymiz. Birinchi to'g'ri chiziq uchun yo'nalish vektorining koordinatalarini yozamiz – a → = (1, - 3, - 2) . Ilova o'qi uchun biz koordinata vektori k → = (0, 0, 1) ni ko'rsatma sifatida olishimiz mumkin. Biz kerakli ma'lumotlarni oldik va uni kerakli formulaga qo'shishimiz mumkin:

cos a = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Natijada, biz kerakli burchak a r c cos 1 2 = 45 ° ga teng bo'lishini aniqladik.

Javob: cos a = 1 2, a = 45 °.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Burchak φ umumiy tenglamalar A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 va A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, formula bilan hisoblangan:

Burchak φ berilgan ikki qator o'rtasida kanonik tenglamalar(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 va (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2, formula bilan hisoblangan:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

Kosmosdagi har bir tekislik chiziqli tenglama sifatida ifodalanishi mumkin umumiy tenglama samolyot

Maxsus holatlar.

o Agar (8) tenglamada bo'lsa, tekislik koordinatadan o'tadi.

o (,) tekislik mos ravishda o'qqa (o'q, o'q) parallel bo'lganda.

o (,) tekislik tekislikka parallel bo'lganda (tekislik, tekislik).

Yechim: foydalanish (7)

Javob: umumiy tekislik tenglamasi.

Misol.

To'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi tekislik Oxyz tekislikning umumiy tenglamasi bilan berilgan. . Bu tekislikning barcha normal vektorlarining koordinatalarini yozing.

Bizga ma'lumki, tekislikning umumiy tenglamasidagi x, y va z o'zgaruvchilarning koeffitsientlari bu tekislikning normal vektorining mos keladigan koordinatalaridir. Demak, berilgan tekislikning normal vektori koordinatalariga ega. Barcha normal vektorlar to'plamini quyidagicha aniqlash mumkin:

Oxyz to'rtburchaklar koordinata sistemasida fazoda nuqtadan o'tsa, tekislik tenglamasini yozing. , A bu tekislikning normal vektori.

Biz ushbu muammoning ikkita echimini taqdim etamiz.

Bizda mavjud sharoitdan. Ushbu ma'lumotni nuqtadan o'tadigan tekislikning umumiy tenglamasiga almashtiramiz:

Oyz koordinata tekisligiga parallel va nuqtadan o'tuvchi tekislikning umumiy tenglamasini yozing. .

Oyz koordinata tekisligiga parallel bo'lgan tekislik shaklning umumiy to'liq bo'lmagan tekislik tenglamasi bilan berilishi mumkin. Nuqtaidan beri sharti bo'yicha tekislikka tegishli bo'lsa, bu nuqtaning koordinatalari tekislik tenglamasini qanoatlantirishi, ya'ni tenglik to'g'ri bo'lishi kerak. Bu erdan topamiz. Shunday qilib, kerakli tenglama shaklga ega.

Yechim. 10.26 taʼrifi boʻyicha oʻzaro koʻpaytma p va q vektorlariga ortogonaldir. Binobarin, u kerakli tekislikka ortogonal bo'lib, vektor uning normal vektori sifatida olinishi mumkin. n vektorning koordinatalarini topamiz:

ya'ni . (11.1) formuladan foydalanib, biz olamiz

Ushbu tenglamadagi qavslarni ochib, biz yakuniy javobga erishamiz.

Javob: .

Oddiy vektorni ko'rinishda qayta yozamiz va uning uzunligini topamiz:

Yuqoridagilarga ko'ra:

Javob:

Parallel tekisliklar bir xil normal vektorga ega. 1) Tenglamadan tekislikning normal vektorini topamiz:.

2) nuqta va normal vektor yordamida tekislik tenglamasini tuzamiz:

Javob:

Kosmosdagi tekislikning vektor tenglamasi

Fazodagi tekislikning parametrik tenglamasi

Berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi

Uch o'lchovli fazoda to'rtburchak dekart koordinatalar tizimi berilsin. Keling, quyidagi muammoni tuzamiz:

Berilgan nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing M(x 0, y 0, z 0) berilgan vektorga perpendikulyar n = ( A, B, C} .

Yechim. Mayli P(x, y, z) fazodagi ixtiyoriy nuqtadir. Nuqta P vektor bo'lsa, tekislikka tegishli deputat = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) vektorga ortogonal n = {A, B, C) (1-rasm).

Ushbu vektorlarning ortogonallik shartini yozgandan so'ng (n, deputat) = 0 koordinata shaklida, biz olamiz:

A(x − x 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0

Uch nuqtadan foydalangan holda tekislik tenglamasi

Vektor shaklida

Koordinatalarda

Kosmosda samolyotlarning o'zaro joylashishi

– ikki tekislikning umumiy tenglamalari. Keyin:

1) agar , keyin samolyotlar mos keladi;

2) agar , keyin tekisliklar parallel;

3) agar yoki bo'lsa, tekisliklar kesishadi va tenglamalar tizimi

(6)

bu tekisliklarning kesishish to'g'ri chizig'ining tenglamalari.

Yechim: Quyidagi formuladan foydalanib chiziqning kanonik tenglamalarini tuzamiz:

Javob:

Olingan tenglamalarni olamiz va aqliy ravishda "chimchilab" olamiz, masalan, chap qism: . Endi bu qismni tenglashtiramiz istalgan raqamga(allaqachon nol borligini unutmang), masalan, bittaga: . Chunki , keyin boshqa ikkita "bo'lak" ham bittaga teng bo'lishi kerak. Asosan, siz tizimni hal qilishingiz kerak:

Quyidagi to‘g‘ri chiziqlarning parametrik tenglamalarini tuzing:

Yechim: Chiziqlar kanonik tenglamalar bilan berilgan va birinchi bosqichda siz chiziqqa tegishli bo'lgan nuqta va uning yo'nalishi vektorini topishingiz kerak.

a) tenglamalardan nuqta va yo'nalish vektorini olib tashlang: . Siz boshqa nuqtani tanlashingiz mumkin (buni qanday qilish yuqorida tavsiflangan), lekin eng aniqini olish yaxshiroqdir. Aytgancha, xatolikka yo'l qo'ymaslik uchun har doim uning koordinatalarini tenglamalarga almashtiring.

Ushbu chiziq uchun parametrik tenglamalar tuzamiz:

Parametrik tenglamalarning qulayligi shundaki, ular chiziqning boshqa nuqtalarini topishni juda oson qiladi. Masalan, koordinatalari parametr qiymatiga mos keladigan nuqtani topamiz:

Shunday qilib: b) kanonik tenglamalarni ko'rib chiqing . Bu erda nuqta tanlash qiyin emas, lekin xiyonatdir: (koordinatalarni chalkashtirmaslik uchun ehtiyot bo'ling!!!). Qo'llanma vektorini qanday olib tashlash mumkin? Bu chiziq nimaga parallel ekanligi haqida taxmin qilishingiz mumkin yoki oddiy rasmiy texnikadan foydalanishingiz mumkin: nisbatda "Y" va "Z" mavjud, shuning uchun biz yo'nalish vektorini yozamiz va qolgan bo'shliqqa nol qo'yamiz: .

To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini tuzamiz:

c) Keling, tenglamalarni ko'rinishida qayta yozamiz, ya'ni "zet" har qanday bo'lishi mumkin. Va agar mavjud bo'lsa, unda, masalan, . Shunday qilib, nuqta ushbu chiziqqa tegishli. Yo'nalish vektorini topish uchun biz quyidagi rasmiy texnikadan foydalanamiz: dastlabki tenglamalarda "x" va "y" mavjud va bu joylarda yo'nalish vektoriga yozamiz. nollar: . Qolgan bo'sh joyga biz joylashtiramiz birlik: . Bitta o'rniga noldan boshqa har qanday raqam bajariladi.

To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini yozamiz:

Oh-oh-oh-oh-oh ... yaxshi, bu qiyin, go'yo u o'ziga bir jumlani o'qiyotgandek =) Biroq, dam olish keyinchalik yordam beradi, ayniqsa, bugun men tegishli aksessuarlarni sotib oldim. Shuning uchun, keling, birinchi bo'limga o'tamiz, umid qilamanki, maqolaning oxirigacha men quvnoq kayfiyatni saqlab qolaman.

Ikki to'g'ri chiziqning o'zaro o'rni

Tomoshabinlar xorda qo'shiq kuylaganda shunday bo'ladi. Ikki to'g'ri chiziq bo'lishi mumkin:

1) mos kelish;

2) parallel bo'lsin: ;

3) yoki bitta nuqtada kesishadi: .

Dummies uchun yordam : Iltimos, matematik kesishish belgisini eslang, u tez-tez paydo bo'ladi. Belgilanish, chiziqning nuqtadagi chiziq bilan kesishishini bildiradi.

Ikki chiziqning nisbiy o'rnini qanday aniqlash mumkin?

Birinchi holatdan boshlaylik:

Ikki chiziq mos keladi, agar ularning koeffitsientlari proportsional bo'lsa, ya'ni tenglik qanoatlantiriladigan "lambda" soni mavjud

To'g'ri chiziqlarni ko'rib chiqamiz va mos keladigan koeffitsientlardan uchta tenglama tuzamiz: . Har bir tenglamadan kelib chiqadiki, shuning uchun bu chiziqlar bir-biriga mos keladi.

Haqiqatan ham, agar tenglamaning barcha koeffitsientlari bo'lsa -1 ga ko'paytiring (belgilarni o'zgartiring) va tenglamaning barcha koeffitsientlarini 2 ga kamaytiring, siz bir xil tenglamani olasiz: .

Ikkinchi holat, chiziqlar parallel bo'lganda:

Ikki chiziq parallel bo'ladi, agar ularning o'zgaruvchilar koeffitsientlari proportsional bo'lsa: , Lekin.

Misol tariqasida ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqing. O'zgaruvchilar uchun mos keladigan koeffitsientlarning mutanosibligini tekshiramiz:

Biroq, bu juda aniq.

Uchinchi holat, chiziqlar kesishganda:

Ikki chiziq kesishadi, agar ularning o'zgaruvchilar koeffitsientlari proportsional bo'lmasa, ya'ni "lambda" ning tengliklari qondiriladigan bunday qiymati YO'Q

Shunday qilib, to'g'ri chiziqlar uchun biz tizim yaratamiz:

Birinchi tenglamadan , ikkinchi tenglamadan esa: , degani kelib chiqadi tizim mos kelmaydi(echimlar yo'q). Shunday qilib, o'zgaruvchilarning koeffitsientlari proportsional emas.

Xulosa: chiziqlar kesishadi

Amaliy masalalarda siz hozirgina muhokama qilingan yechim sxemasidan foydalanishingiz mumkin. Aytgancha, bu biz sinfda ko'rib chiqqan vektorlarni kollinearlik uchun tekshirish algoritmini juda eslatadi. Vektorlarning chiziqli (in) bog'liqligi tushunchasi. Vektorlar asoslari. Ammo yanada madaniyatli qadoqlash mavjud:

1-misol

Chiziqlarning nisbiy o'rnini toping:

Yechim to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarini o'rganishga asoslangan:

a) Tenglamalardan biz chiziqlarning yo'nalish vektorlarini topamiz: .

, ya'ni vektorlar kollinear emas va chiziqlar kesishadi.

Har holda, chorrahada belgilar bilan tosh qo'yaman:

Qolganlari toshdan sakrab, to'g'ridan-to'g'ri O'lmas Kashcheyga ergashadilar =)

b) chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping:

Chiziqlar bir xil yo'nalish vektoriga ega, ya'ni ular parallel yoki mos keladi. Bu erda determinantni hisoblashning hojati yo'q.

Ko'rinib turibdiki, noma'lumlarning koeffitsientlari proportsionaldir va .

Keling, tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olaylik:

Shunday qilib,

c) chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping:

Ushbu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz:
, shuning uchun yo'nalish vektorlari kollineardir. Chiziqlar parallel yoki mos keladi.

"Lambda" proportsionallik koeffitsientini to'g'ridan-to'g'ri kollinear yo'nalish vektorlari nisbatidan ko'rish oson. Biroq, uni tenglamalarning koeffitsientlari orqali ham topish mumkin: .

Endi tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olaylik. Ikkala bepul shart ham nolga teng, shuning uchun:

Olingan qiymat bu tenglamani qanoatlantiradi (umuman har qanday raqam uni qanoatlantiradi).

Shunday qilib, chiziqlar bir-biriga mos keladi.

Javob:

Tez orada siz og'zaki muhokama qilingan muammoni bir necha soniya ichida hal qilishni o'rganasiz (yoki hatto allaqachon o'rgangansiz). Shu munosabat bilan, men mustaqil yechim uchun biror narsa taklif qilishning ma'nosini ko'rmayapman, geometrik poydevorga yana bir muhim g'isht qo'yish yaxshiroqdir:

Berilgan chiziqqa parallel chiziqni qanday qurish mumkin?

Bu eng oddiy vazifani bilmaslik uchun Qaroqchi Bulbul qattiq jazolaydi.

2-misol

To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Nuqtadan o‘tuvchi parallel chiziq tenglamasini yozing.

Yechim: Noma'lum qatorni harf bilan belgilaymiz. Vaziyat u haqida nima deydi? To'g'ri chiziq nuqtadan o'tadi. Va agar chiziqlar parallel bo'lsa, "tse" to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori "de" to'g'ri chiziqni qurish uchun ham mos kelishi aniq.

Yo'nalish vektorini tenglamadan chiqaramiz:

Javob:

Misol geometriyasi oddiy ko'rinadi:

Analitik test quyidagi bosqichlardan iborat:

1) Biz chiziqlar bir xil yo'nalish vektoriga ega ekanligini tekshiramiz (agar chiziq tenglamasi to'g'ri soddalashtirilmagan bo'lsa, u holda vektorlar kollinear bo'ladi).

2) Nuqta natijaviy tenglamani qanoatlantirishini tekshiring.

Aksariyat hollarda analitik test og'zaki tarzda osonlik bilan amalga oshirilishi mumkin. Ikki tenglamani ko'rib chiqing va ko'pchiligingiz hech qanday chizmasiz chiziqlarning parallelligini tezda aniqlaydi.

Bugungi kunda mustaqil echimlar uchun misollar ijodiy bo'ladi. Chunki siz hali ham Baba Yaga bilan raqobatlashishingiz kerak bo'ladi va u, bilasizmi, har xil topishmoqlarni yaxshi ko'radi.

3-misol

Agar chiziqqa parallel nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasini yozing

Uni hal qilishning oqilona va unchalik oqilona bo'lmagan usuli mavjud. Eng qisqa yo'l - dars oxirida.

Biz parallel chiziqlar bilan biroz ishladik va ularga keyinroq qaytamiz. Bir-biriga mos keladigan chiziqlar masalasi unchalik qiziq emas, shuning uchun maktab o'quv dasturidan sizga juda tanish bo'lgan muammoni ko'rib chiqaylik:

Ikki chiziqning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin?

To'g'ri bo'lsa nuqtada kesishsa, u holda uning koordinatalari yechim hisoblanadi chiziqli tenglamalar tizimlari

Chiziqlarning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin? Tizimni hal qiling.

Mana ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimining geometrik ma'nosi- bu tekislikdagi ikkita kesishuvchi (ko'pincha) chiziqlar.

4-misol

Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping

Yechim: Yechishning ikkita usuli bor - grafik va analitik.

Grafik usul oddiygina berilgan chiziqlarni chizish va kesishish nuqtasini to'g'ridan-to'g'ri chizmadan topishdir:

Mana bizning fikrimiz: . Tekshirish uchun siz uning koordinatalarini chiziqning har bir tenglamasiga almashtirishingiz kerak, ular u erda ham, u erda ham mos kelishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, nuqtaning koordinatalari tizimning yechimidir. Asosan, biz grafik echimni ko'rib chiqdik chiziqli tenglamalar tizimlari ikkita tenglama, ikkita noma'lum.

Grafik usul, albatta, yomon emas, lekin sezilarli kamchiliklar mavjud. Yo‘q, gap yettinchi sinf o‘quvchilari shunday qaror qabul qilishlarida emas, gap shundaki, to‘g‘ri va ANIQ chizma yaratish uchun vaqt kerak bo‘ladi. Bundan tashqari, ba'zi to'g'ri chiziqlarni qurish unchalik oson emas va kesishish nuqtasi o'ttizinchi shohlikning biron bir joyida daftar varag'idan tashqarida joylashgan bo'lishi mumkin.

Shuning uchun kesishish nuqtasini analitik usul yordamida izlash maqsadga muvofiqdir. Keling, tizimni hal qilaylik:

Tizimni yechish uchun tenglamalarni muddat bo'yicha qo'shish usuli qo'llanildi. Tegishli ko'nikmalarni rivojlantirish uchun saboq oling Tenglamalar tizimini qanday yechish mumkin?

Javob:

Tekshirish ahamiyatsiz - kesishish nuqtasining koordinatalari tizimning har bir tenglamasini qondirishi kerak.

5-misol

Chiziqlar kesishsa, ularning kesishish nuqtasini toping.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Vazifani bir necha bosqichlarga bo'lish qulay. Vaziyatni tahlil qilish zarurligini ko'rsatadi:
1) To'g'ri chiziq tenglamasini yozing.
2) To‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing.
3) Chiziqlarning nisbiy holatini aniqlang.
4) Agar chiziqlar kesishsa, u holda kesishish nuqtasini toping.

Harakatlar algoritmini ishlab chiqish ko'pgina geometrik masalalar uchun xosdir va men bunga qayta-qayta e'tibor qarataman.

To'liq yechim va dars oxirida javob:

Darsning ikkinchi qismiga borgunimizcha bir juft poyabzal ham eskirgan emas:

Perpendikulyar chiziqlar. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.
To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak

Oddiy va juda muhim vazifadan boshlaylik. Birinchi qismda biz bunga parallel ravishda qanday qilib to'g'ri chiziq qurishni bilib oldik va endi tovuq oyoqlaridagi kulba 90 gradusga aylanadi:

Berilgan chiziqqa perpendikulyar chiziqni qanday qurish mumkin?

6-misol

To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Nuqtadan o`tuvchi chiziqqa perpendikulyar tenglama yozing.

Yechim: Shartga ko'ra ma'lumki. Chiziqning yo'naltiruvchi vektorini topish yaxshi bo'lar edi. Chiziqlar perpendikulyar bo'lgani uchun hiyla oddiy:

Tenglamadan normal vektorni "olib tashlaymiz": , bu to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori bo'ladi.

Nuqta va yo‘nalish vektoridan foydalanib to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz:

Javob:

Keling, geometrik eskizni kengaytiramiz:

Hm... To'q sariq osmon, to'q sariq dengiz, to'q sariq tuya.

Yechimni analitik tekshirish:

1) Tenglamalardan yo'nalish vektorlarini chiqaramiz va yordami bilan vektorlarning skalyar mahsuloti chiziqlar chindan ham perpendikulyar degan xulosaga kelamiz:.

Aytgancha, siz oddiy vektorlardan foydalanishingiz mumkin, bu yanada osonroq.

2) Nuqta natijaviy tenglamani qanoatlantirishini tekshiring .

Test, yana, og'zaki bajarish oson.

7-misol

Agar tenglama ma'lum bo'lsa, perpendikulyar chiziqlarning kesishish nuqtasini toping va davr.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Muammoda bir nechta harakatlar mavjud, shuning uchun yechimni nuqta bo'yicha shakllantirish qulay.

Bizning qiziqarli sayohatimiz davom etadi:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

Oldimizda daryoning tekis chizig'i bor va bizning vazifamiz unga eng qisqa yo'l bilan borishdir. Hech qanday to'siq yo'q va eng maqbul yo'nalish perpendikulyar bo'ylab harakatlanish bo'ladi. Ya'ni, nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa perpendikulyar segmentning uzunligidir.

Geometriyada masofa an'anaviy ravishda yunoncha "rho" harfi bilan belgilanadi, masalan: - "em" nuqtasidan "de" to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa formula bilan ifodalanadi

8-misol

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping

Yechim: Buning uchun faqat raqamlarni formulaga ehtiyotkorlik bilan almashtirish va hisob-kitoblarni bajarish kerak:

Javob:

Keling, rasm chizamiz:

Nuqtadan chiziqgacha topilgan masofa aynan qizil segmentning uzunligiga teng. Agar siz katak qog'ozga 1 birlik masshtabida chizma tuzsangiz. = 1 sm (2 hujayra), keyin masofani oddiy o'lchagich bilan o'lchash mumkin.

Xuddi shu rasmga asoslangan boshqa vazifani ko'rib chiqaylik:

Vazifa to'g'ri chiziqqa nisbatan nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqtaning koordinatalarini topishdir . Men qadamlarni o'zingiz bajarishni taklif qilaman, lekin men oraliq natijalar bilan hal qilish algoritmini tasvirlab beraman:

1) Chiziqga perpendikulyar bo'lgan chiziqni toping.

2) Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping: .

Ushbu darsda ikkala harakat ham batafsil muhokama qilinadi.

3) nuqta segmentning o'rta nuqtasidir. Biz o'rta va uchlaridan birining koordinatalarini bilamiz. tomonidan segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari uchun formulalar topamiz.

Masofa ham 2,2 birlik ekanligini tekshirish yaxshi bo'lardi.

Bu erda hisob-kitoblarda qiyinchiliklar paydo bo'lishi mumkin, ammo mikrokalkulyator oddiy kasrlarni hisoblash imkonini beruvchi minorada katta yordam beradi. Men sizga ko'p marta maslahat berdim va yana tavsiya qilaman.

Ikki parallel chiziq orasidagi masofani qanday topish mumkin?

9-misol

Ikki parallel chiziq orasidagi masofani toping

Bu o'zingiz qaror qilishingiz uchun yana bir misol. Men sizga bir oz maslahat beraman: buni hal qilishning cheksiz ko'p usullari mavjud. Dars oxirida brifing, lekin o'zingiz uchun taxmin qilishga harakat qilganingiz ma'qul, menimcha, sizning zukkoligingiz yaxshi rivojlangan.

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak

Har bir burchak jambdir:

Geometriyada ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak KICHIK burchak sifatida qabul qilinadi, undan avtomatik ravishda u to'g'ri bo'lishi mumkin emas degan xulosaga keladi. Rasmda qizil yoy bilan ko'rsatilgan burchak kesishgan chiziqlar orasidagi burchak hisoblanmaydi. Va uning "yashil" qo'shnisi yoki qarama-qarshi yo'naltirilgan"malina" burchagi.

Agar chiziqlar perpendikulyar bo'lsa, ular orasidagi burchak sifatida 4 ta burchakdan istalgan birini olish mumkin.

Burchaklar qanday farqlanadi? Orientatsiya. Birinchidan, burchakning "aylanishi" yo'nalishi juda muhimdir. Ikkinchidan, salbiy yo'naltirilgan burchak minus belgisi bilan yoziladi, masalan, agar .

Nega buni senga aytdim? Ko'rinishidan, biz odatiy burchak tushunchasi bilan shug'ullanishimiz mumkin. Gap shundaki, biz burchaklarni topadigan formulalar osongina salbiy natijaga olib kelishi mumkin va bu sizni ajablantirmasligi kerak. Minus belgisi bo'lgan burchak bundan ham yomon emas va juda aniq geometrik ma'noga ega. Chizmada salbiy burchak uchun uning yo'nalishini o'q bilan (soat yo'nalishi bo'yicha) ko'rsatishni unutmang.

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchakni qanday topish mumkin? Ikkita ishlaydigan formulalar mavjud:

10-misol

Chiziqlar orasidagi burchakni toping

Yechim Va Birinchi usul

Keling, umumiy shaklda tenglamalar bilan aniqlangan ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqaylik:

To'g'ri bo'lsa perpendikulyar emas, Bu yo'naltirilgan Ularning orasidagi burchakni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

Keling, maxrajga e'tibor qarataylik - bu aniq skalyar mahsulot to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlari:

Agar , u holda formulaning maxraji nolga aylanadi va vektorlar ortogonal, chiziqlar esa perpendikulyar bo'ladi. Shuning uchun formulada to'g'ri chiziqlarning perpendikulyar emasligi haqida shart qo'yilgan.

Yuqoridagilarga asoslanib, yechimni ikki bosqichda rasmiylashtirish qulay:

1) Chiziqlar yo‘nalish vektorlarining skalyar ko‘paytmasini hisoblaymiz:
, ya'ni chiziqlar perpendikulyar emas.

2) To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni formuladan foydalanib toping:

Teskari funktsiyadan foydalanib, burchakning o'zini topish oson. Bunday holda, biz arktangentning g'alatiligidan foydalanamiz (qarang. Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari):

Javob:

Sizning javobingizda biz kalkulyator yordamida hisoblangan aniq qiymatni, shuningdek, taxminiy qiymatni (har ikkala daraja va radianda afzalroq) ko'rsatamiz.

Xo'sh, minus, minus, katta narsa yo'q. Mana geometrik tasvir:

Burchakning salbiy yo'nalishga ega bo'lishi ajablanarli emas, chunki muammo bayonotida birinchi raqam to'g'ri chiziq bo'lib, burchakning "ochilishi" aynan shu bilan boshlangan.

Agar siz haqiqatan ham ijobiy burchakka ega bo'lishni istasangiz, siz chiziqlarni almashtirishingiz kerak, ya'ni ikkinchi tenglamadan koeffitsientlarni olishingiz kerak. , va birinchi tenglamadan koeffitsientlarni oling. Muxtasar qilib aytganda, siz to'g'ridan-to'g'ri boshlashingiz kerak .

Samolyotlar orasidagi burchak

Tenglamalar bilan aniqlangan ikkita a 1 va a 2 tekisliklarni ko'rib chiqing:

ostida burchak ikki tekislik o'rtasida biz bu tekisliklar hosil qilgan dihedral burchaklardan birini tushunamiz. Ko'rinib turibdiki, normal vektorlar va a 1 va a 2 tekisliklar orasidagi burchak ko'rsatilgan qo'shni ikki burchakli burchaklardan biriga teng yoki . Shunung uchun . Chunki Va , Bu

Misol. Samolyotlar orasidagi burchakni aniqlang x+2y-3z+4=0 va 2 x+3y+z+8=0.

Ikki tekislikning parallellik sharti.

Ikki tekislik a 1 va a 2 parallel bo'ladi, agar ularning normal vektorlari parallel bo'lsa va shuning uchun .

Shunday qilib, ikkita tekislik bir-biriga parallel, agar tegishli koordinatalarning koeffitsientlari proportsional bo'lsa:

yoki

Tekisliklarning perpendikulyarligi sharti.

Ikki tekislik perpendikulyar bo'lishi aniq, agar ularning normal vektorlari perpendikulyar bo'lsa va shuning uchun, yoki .

Shunday qilib, .

Misollar.

TO'G'RI FOSOSDA.

CHIZIQ UCHUN VEKTOR TENGLAMA.

PARAMETRIK TO'G'RISIY TENGLAMALAR

Chiziqning fazodagi o'rni uning har qanday qo'zg'almas nuqtasini ko'rsatish orqali to'liq aniqlanadi M 1 va bu chiziqqa parallel vektor.

Chiziqga parallel vektor deyiladi qo'llanmalar bu chiziqning vektori.

Shunday qilib, to'g'ri chiziq bo'lsin l nuqtadan o'tadi M 1 (x 1 , y 1 , z 1), vektorga parallel chiziq ustida yotgan .

Ixtiyoriy nuqtani ko'rib chiqing M(x,y,z) to'g'ri chiziqda. Rasmdan ko'rinib turibdiki .

Vektorlar va kollinear, shuning uchun bunday raqam mavjud t, nima , ko'paytuvchi qayerda t nuqtaning joylashuviga qarab har qanday raqamli qiymatni qabul qilishi mumkin M to'g'ri chiziqda. Faktor t parametr deb ataladi. Nuqtalarning radius vektorlarini belgilab M 1 va M mos ravishda, va orqali, biz . Bu tenglama deyiladi vektor to'g'ri chiziq tenglamasi. Bu har bir parametr qiymati uchun ekanligini ko'rsatadi t qaysidir nuqtaning radius vektoriga mos keladi M, to'g'ri chiziqda yotish.

Bu tenglamani koordinata shaklida yozamiz. E'tibor bering, va bu yerdan

Olingan tenglamalar deyiladi parametrik to'g'ri chiziq tenglamalari.

Parametrni o'zgartirganda t koordinatalari o'zgaradi x, y Va z va davr M to'g'ri chiziqda harakat qiladi.

DIREKTNING KANONIK TENGLAMALARI

Mayli M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - to'g'ri chiziqda yotgan nuqta l, Va uning yo'nalishi vektoridir. Keling, yana chiziqning ixtiyoriy nuqtasini olaylik M(x,y,z) va vektorni ko'rib chiqing.

Vektorlar ham kollinear ekanligi aniq, shuning uchun ularning mos keladigan koordinatalari proportsional bo'lishi kerak, shuning uchun

– kanonik to'g'ri chiziq tenglamalari.

Eslatma 1. E'tibor bering, chiziqning kanonik tenglamalarini parametriklardan parametrni yo'q qilish orqali olish mumkin. t. Haqiqatan ham, biz parametrik tenglamalardan olamiz yoki .

Misol. Chiziq tenglamasini yozing parametrik shaklda.

belgilaylik , bu yerdan x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Eslatma 2. To'g'ri chiziq koordinata o'qlaridan biriga perpendikulyar bo'lsin, masalan, o'q ho'kiz. Keyin chiziqning yo'nalishi vektori perpendikulyar bo'ladi ho'kiz, shuning uchun, m=0. Demak, chiziqning parametrik tenglamalari shaklni oladi

Parametrni tenglamalardan chiqarib tashlash t, shakldagi chiziq tenglamalarini olamiz

Biroq, bu holatda ham chiziqning kanonik tenglamalarini shaklda yozishga rozi bo'lamiz . Shunday qilib, agar kasrlardan birining maxraji nolga teng bo'lsa, bu to'g'ri chiziq mos keladigan koordinata o'qiga perpendikulyar ekanligini anglatadi.

Kanonik tenglamalarga o'xshash o'qlarga perpendikulyar to'g'ri chiziq mos keladi ho'kiz Va Oy yoki o'qga parallel Oz.

Misollar.

TO'G'RI CHIZIQNING UMUMIY TENGLAMALARI IKKI TAKSIKLIKNI KESISHISH CHIZIQLARI

Kosmosdagi har bir to'g'ri chiziq orqali son-sanoqsiz tekisliklar mavjud. Ularning istalgan ikkitasi kesishib, uni kosmosda aniqlaydi. Binobarin, birgalikda ko'rib chiqilgan har qanday ikkita bunday tekislikning tenglamalari ushbu chiziq tenglamalarini ifodalaydi.

Umuman olganda, umumiy tenglamalar bilan berilgan har qanday ikkita parallel bo'lmagan tekislik

ularning kesishuvining to‘g‘ri chizig‘ini aniqlang. Bu tenglamalar deyiladi umumiy tenglamalar Streyt.

Misollar.

Tenglamalar orqali berilgan chiziqni tuzing

To'g'ri chiziqni qurish uchun uning istalgan ikkita nuqtasini topish kifoya. Eng oson yo'li to'g'ri chiziqning koordinata tekisliklari bilan kesishish nuqtalarini tanlashdir. Masalan, tekislik bilan kesishish nuqtasi xOy faraz qilib, to'g'ri chiziq tenglamalaridan olamiz z= 0:

Ushbu tizimni hal qilib, biz nuqta topamiz M 1 (1;2;0).

Xuddi shunday, taxmin qilish y= 0, biz chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini olamiz xOz:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamalaridan uning kanonik yoki parametrik tenglamalariga o'tish mumkin. Buning uchun siz biron bir nuqtani topishingiz kerak M To'g'ri chiziqda 1 va to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori.

Nuqta koordinatalari M 1 koordinatalardan biriga ixtiyoriy qiymat berib, ushbu tenglamalar tizimidan olamiz. Yo'nalish vektorini topish uchun bu vektor ikkala normal vektorga perpendikulyar bo'lishi kerakligini unutmang Va . Shuning uchun, to'g'ri chiziqning yo'nalishi vektoridan tashqari l oddiy vektorlarning vektor mahsulotini olishingiz mumkin:

Misol. Chiziqning umumiy tenglamalarini keltiring kanonik shaklga.

Keling, chiziq ustida yotgan nuqtani topamiz. Buning uchun biz o'zboshimchalik bilan koordinatalardan birini tanlaymiz, masalan, y= 0 va tenglamalar tizimini yeching:

Chiziqni aniqlaydigan tekisliklarning normal vektorlari koordinatalarga ega Shuning uchun yo'nalish vektori to'g'ri bo'ladi

. Demak, l: .

TO'G'RILAR ORASIDAGI BURChAK

Burchak fazodagi to'g'ri chiziqlar orasidagi ma'lumotlarga parallel ravishda ixtiyoriy nuqta orqali o'tkazilgan ikkita to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan qo'shni burchaklarning har qandayini chaqiramiz.

Bo'shliqda ikkita qator berilgan bo'lsin:

Shubhasiz, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak ph ni ularning yo'nalish vektorlari orasidagi burchak va . dan boshlab, u holda vektorlar orasidagi burchakning kosinus formulasidan foydalanamiz

Men qisqacha gapiraman. Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak ularning yo'nalish vektorlari orasidagi burchakka teng. Shunday qilib, a = (x 1 ; y 1 ; z 1) va b = (x 2 ; y 2; z 2) yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topishga muvaffaq bo'lsangiz, burchakni topishingiz mumkin. Aniqrog'i, formula bo'yicha burchakning kosinusu:

Keling, ushbu formulaning aniq misollar yordamida qanday ishlashini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubida E va F nuqtalari belgilangan - mos ravishda A 1 B 1 va B 1 C 1 qirralarning o'rta nuqtalari. AE va BF chiziqlar orasidagi burchakni toping.

Kubning qirrasi ko'rsatilmaganligi sababli, AB = 1 ni o'rnatamiz. Standart koordinatalar tizimini kiritamiz: koordinatalar koordinatalari A nuqtada, x, y, z o'qlari mos ravishda AB, AD va AA 1 bo'ylab yo'naltirilgan. Birlik segmenti AB = 1 ga teng. Endi chiziqlarimiz uchun yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topamiz.

AE vektorining koordinatalarini topamiz. Buning uchun bizga A = (0; 0; 0) va E = (0,5; 0; 1) nuqtalari kerak. E nuqta A 1 B 1 segmentining o'rtasi bo'lgani uchun uning koordinatalari uchlari koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng. E'tibor bering, AE vektorining kelib chiqishi koordinatalarning kelib chiqishi bilan mos keladi, shuning uchun AE = (0,5; 0; 1).

Endi BF vektorini ko'rib chiqamiz. Xuddi shunday, biz B = (1; 0; 0) va F = (1; 0,5; 1) nuqtalarini tahlil qilamiz, chunki F - B 1 C 1 segmentining o'rtasi. Bizda ... bor:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Shunday qilib, yo'nalish vektorlari tayyor. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakning kosinusu yo'nalish vektorlari orasidagi burchakning kosinusidir, shuning uchun bizda:

Vazifa. Muntazam uchburchak prizmasida ABCA 1 B 1 C 1, barcha qirralari 1 ga teng, D va E nuqtalari belgilangan - mos ravishda A 1 B 1 va B 1 C 1 qirralarning o'rta nuqtalari. AD va BE chiziqlar orasidagi burchakni toping.

Standart koordinatalar sistemasini kiritamiz: koordinatalar koordinatalarining boshi A nuqtada, x o'qi AB bo'ylab, z - AA 1 bo'ylab yo'naltirilgan. Y o'qini OXY tekisligi ABC tekisligi bilan mos keladigan tarzda yo'naltiramiz. Birlik segmenti AB = 1 ga teng. Kerakli chiziqlar uchun yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topamiz.

Avval AD vektorining koordinatalarini topamiz. Nuqtalarni ko'rib chiqing: A = (0; 0; 0) va D = (0,5; 0; 1), chunki D - A 1 B 1 segmentining o'rtasi. AD vektorining boshlanishi koordinatalarning kelib chiqishiga to'g'ri kelganligi sababli AD = (0,5; 0; 1) ni olamiz.

Endi BE vektorining koordinatalarini topamiz. B nuqtasi = (1; 0; 0) hisoblash oson. E nuqtasi bilan - C 1 B 1 segmentining o'rtasi - bu biroz murakkabroq. Bizda ... bor:

Burchakning kosinusini topish qoladi:

Vazifa. Muntazam olti burchakli ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 prizmasida barcha qirralari 1 ga teng, K va L nuqtalari belgilangan - mos ravishda A 1 B 1 va B 1 C 1 qirralarning o'rta nuqtalari. . AK va BL chiziqlar orasidagi burchakni toping.

Prizma uchun standart koordinatalar tizimini kiritamiz: koordinatalar boshini pastki asosning markaziga joylashtiramiz, x o'qi FC bo'ylab yo'naltiriladi, y o'qi AB va DE segmentlarining o'rta nuqtalari orqali yo'naltiriladi va z. o'qi vertikal yuqoriga yo'naltirilgan. Birlik segmenti yana AB = 1 ga teng. Bizni qiziqtirgan nuqtalarning koordinatalarini yozamiz:

K va L nuqtalar mos ravishda A 1 B 1 va B 1 C 1 segmentlarining o'rta nuqtalari, shuning uchun ularning koordinatalari o'rtacha arifmetik orqali topiladi. Nuqtalarni bilib, biz AK va BL yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topamiz:

Endi burchakning kosinusini topamiz:

Vazifa. Barcha qirralari 1 ga teng bo'lgan muntazam to'rtburchaklar piramida SABCDda E va F nuqtalari belgilangan - mos ravishda SB va SC tomonlarning o'rta nuqtalari. AE va BF chiziqlar orasidagi burchakni toping.

Standart koordinatalar sistemasini kiritamiz: bosh A nuqtada, x va y o‘qlari mos ravishda AB va AD bo‘ylab, z o‘qi esa vertikal yuqoriga yo‘naltirilgan. Birlik segmenti AB = 1 ga teng.

E va F nuqtalar mos ravishda SB va SC segmentlarining o'rta nuqtalari, shuning uchun ularning koordinatalari uchlarning o'rtacha arifmetik qiymati sifatida topiladi. Bizni qiziqtirgan nuqtalarning koordinatalarini yozamiz:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)