Teorema isbot teoremasining teskarisi. Cheva va Menelaus teoremasi. Bularning barchasi nima uchun kerak?

Sinf: 9

Dars maqsadlari:

1. talabalarning bilim va ko'nikmalarini umumlashtirish, kengaytirish va tizimlashtirish; murakkab masalalarni yechishda bilimlardan foydalanishni o‘rgatish;
2. muammolarni hal qilishda bilimlarni mustaqil qo'llash ko'nikmalarini rivojlantirishga ko'maklashish;
3. talabalarning mantiqiy tafakkurini va matematik nutqini, tahlil qilish, taqqoslash va umumlashtirish qobiliyatini rivojlantirish;
4. o‘quvchilarda o‘ziga ishonch va mehnatsevarlikni shakllantirish; jamoada ishlash qobiliyati.

Dars maqsadlari:

• Tarbiyaviy: Menelaus va Cheva teoremalarini takrorlang; muammolarni hal qilishda ularni qo'llang.
• Rivojlanish: gipoteza qo'yishni va o'z fikringizni dalillar bilan mohirona himoya qilishni o'rganing; bilimlaringizni umumlashtirish va tizimlashtirish qobiliyatingizni sinab ko'ring.
• Tarbiyaviy: fanga qiziqishni oshirish va murakkabroq muammolarni hal qilishga tayyorlanish.

Dars turi: bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish darsi.

Uskunalar: ushbu mavzu bo'yicha darsda jamoaviy ish uchun kartalar, mustaqil ish uchun individual kartalar, kompyuter, multimedia proyektori, ekran.

Darslar davomida

I bosqich. Tashkiliy vaqt (1 daqiqa)

O'qituvchi dars mavzusi va maqsadini e'lon qiladi.

II bosqich. Asosiy bilim va ko'nikmalarni yangilash (10 min.)

O'qituvchi: Dars davomida biz muammolarni echishga muvaffaqiyatli o'tish uchun Menelaus va Cheva teoremalarini eslaymiz. Keling, u taqdim etilgan ekranni ko'rib chiqaylik. Bu raqam qaysi teorema uchun berilgan? (Menelaus teoremasi). Teoremani aniq shakllantirishga harakat qiling.

1-rasm

A 1 nuqta ABC uchburchakning BC tomonida, C 1 nuqta AB tomonida, B 1 nuqta AC tomonining C nuqtadan tashqari davomida bo‘lsin. A 1, B 1 va C 1 nuqtalar bir xil to‘g‘ri chiziqda yotsa va faqat tenglik saqlanib qolsa

O'qituvchi: Keling, quyidagi rasmni birgalikda ko'rib chiqaylik. Ushbu chizma uchun teoremani ayting.

2-rasm

AD chizig'i ikki tomonni va IUD uchburchagining uchinchi tomonining kengaytmasini kesib o'tadi.

Menelaus teoremasiga ko'ra

MB to'g'ri chiziq ADC uchburchakning ikki tomonini va uchinchi tomonining kengaytmasini kesib o'tadi.

Menelaus teoremasiga ko'ra

O'qituvchi: Rasm qaysi teoremaga mos keladi? (Ceva teoremasi). Teoremani ayting.

3-rasm

ABC uchburchakning A 1 nuqtasi BC tomonida, B 1 nuqtasi AC tomonida, C 1 nuqtasi AB tomonida yotsin. AA 1, BB 1 va CC 1 segmentlari tenglik bajarilgan taqdirdagina bir nuqtada kesishadi.

III bosqich. Muammoni hal qilish. (22 daqiqa)

Sinf 3 ta jamoaga bo'lingan, ularning har biri ikkita turli topshiriqli kartani oladi. Qaror qabul qilish uchun vaqt beriladi, keyin ekranda quyidagilar paydo bo'ladi:<Рисунки 4-9>. Vazifalar uchun bajarilgan chizmalarga asoslanib, jamoa vakillari navbatma-navbat o'z yechimlarini tushuntiradilar. Har bir tushuntirishdan so‘ng muhokama qilinadi, savollarga javob beriladi va yechimning to‘g‘riligi ekranda tekshiriladi. Munozarada barcha jamoa a'zolari ishtirok etadilar. Jamoa qanchalik faol bo'lsa, natijalarni sarhisob qilishda shunchalik yuqori baholanadi.

1-karta.

1. ABC uchburchakda BC tomonida N nuqta olinadiki, NC = 3BN; AC tomonining davomida M nuqta A nuqta sifatida olinadi, shunda MA = AC bo'ladi. MN chiziq AB tomonini F nuqtada kesib o'tadi. nisbatni toping

2. Uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishishini isbotlang.

Yechim 1

4-rasm

Muammoning shartlariga ko'ra, MA = AC, NC = 3BN. MA = AC =b, BN = k, NC = 3k bo'lsin. MN chiziq ABC uchburchakning ikki tomonini va uchinchisining davomini kesib o'tadi.

Menelaus teoremasiga ko'ra

Javob:

Dalil 2

5-rasm

ABC uchburchakning medianalari AM 1, BM 2, CM 3 bo‘lsin. Bu segmentlar bir nuqtada kesishishini isbotlash uchun shuni ko'rsatish kifoya

Keyin Ceva (teskari) teoremasi bo'yicha AM 1, BM 2 va CM 3 segmentlari bir nuqtada kesishadi.

Bizda ... bor:

Shunday qilib, uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishishi isbotlangan.

2-karta.

1. PQR uchburchakning PQ tomonida N nuqta, PR tomonida esa L nuqta olinadi va NQ = LR. QL va NR segmentlarining kesishish nuqtasi QL ni Q nuqtadan sanab m:n nisbatda ajratadi. Toping.

2. Uchburchakning bissektrisalari bir nuqtada kesishishini isbotlang.

Yechim 1

6-rasm

Shart bo'yicha NQ = LR, NA = LR =a, QF = km, LF = kn bo'lsin. NR chizig'i PQL uchburchakning ikki tomonini va uchinchisining davomini kesib o'tadi.

Menelaus teoremasiga ko'ra

Javob:

Dalil 2

7-rasm

Keling, buni ko'rsataylik

Keyin Ceva (teskari) teoremasi bo'yicha AL 1, BL 2, CL 3 bir nuqtada kesishadi. Uchburchak bissektrisalarining xossasi bo'yicha

Olingan tengliklarni muddatga ko'paytirib, biz hosil bo'lamiz

Uchburchakning bissektrisalari uchun Cheva tengligi bajariladi, shuning uchun ular bir nuqtada kesishadi.

Karta 3.

1. ABC uchburchakda AD mediana, O nuqta mediananing o‘rtasi. BO to'g'ri chiziq AC tomonini K nuqtada kesib o'tadi. K nuqta A nuqtadan hisoblab, ACni qanday nisbatda ajratadi?

2. Agar uchburchak ichiga aylana chizilgan bo‘lsa, u holda uchburchakning uchlarini qarama-qarshi tomonlarning tegish nuqtalari bilan tutashtiruvchi segmentlar bir nuqtada kesishishini isbotlang.

Yechim 1

8-rasm

BD = DC = a, AO = OD = m bo'lsin. BK to'g'ri chiziq ADC uchburchakning ikki tomonini va uchinchi tomonining kengaytmasini kesib o'tadi.

Menelaus teoremasiga ko'ra

Javob:

Dalil 2

9-rasm

A 1, B 1 va C 1 ABC uchburchakning chizilgan aylanasining teginish nuqtalari bo'lsin. AA 1, BB 1 va CC 1 segmentlarining bir nuqtada kesishishini isbotlash uchun Cheva tengligi amal qilishini ko'rsatish kifoya:

Aylanaga bir nuqtadan chizilgan tangenslar xossasidan foydalanib, quyidagi yozuvni kiritamiz: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Cheva tengligi qanoatlantiriladi, ya’ni uchburchakning bissektrisalari bir nuqtada kesishadi.

IV bosqich. Masala yechish (mustaqil ish) (8 min.)

O'qituvchi: Guruhlarning ishi tugadi va endi biz 2 ta variant bo'yicha individual kartalar bo'yicha mustaqil ishlashni boshlaymiz.

Talabalarning mustaqil ishi uchun dars materiallari

Variant 1. ABC uchburchagining maydoni 6 ga teng bo'lgan AB tomonida bu tomonni AK:BK = 2:3 nisbatda bo'luvchi K nuqta, AC tomonida esa AC ni bo'luvchi L nuqta mavjud. AL: LC = 5: 3 nisbatda. SK va BL to'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtasi Q AB to'g'ri chiziqdan uzoqda chiqariladi. AB tomonining uzunligini toping. (Javob: 4.)

Variant 2. ABC uchburchakda AC tomonida K nuqta AK = 1, KS = 3. AB tomonida L nuqta olinadi AL:LB = 2:3, Q BK va CL to`g`ri chiziqlarning kesishish nuqtasi. ABC uchburchakning B cho‘qqisidan tushirilgan balandligi uzunligini toping (Javob: 1,5.)

Ish tekshirish uchun o'qituvchiga topshiriladi.

V bosqich. Dars xulosasi (2 min.)

Yo'l qo'yilgan xatolar tahlil qilinadi, original javoblar va sharhlar qayd etiladi. Har bir jamoaning ish natijalari umumlashtirilib, baholar qo‘yiladi.

VI bosqich. Uyga vazifa (1 daqiqa)

Uyga vazifa No11, 12 289-290-bet, 10-301-bet masalalardan tuzilgan.

O'qituvchining yakuniy so'zlari (1 daqiqa).

Bugun siz bir-biringizning matematik nutqini tashqaridan eshitdingiz va o'z imkoniyatlaringizni baholadingiz. Kelajakda biz mavzuni chuqurroq tushunish uchun bunday muhokamalardan foydalanamiz. Darsdagi bahslar faktlar bilan, nazariya esa amaliyot bilan do'st edi. Barchangizga rahmat.

Adabiyot:

1. Tkachuk V.V. Abituriyentlar uchun matematika. - M.: MTsNMO, 2005 yil.

A.V. Shevkin

FMS № 2007

Yagona davlat imtihonida Cheva va Menelaus teoremalari

Veb-saytimizda MAQOLA bo'limida "Ceva va Menelaus teoremalari atrofida" batafsil maqola chop etilgan. U matematika bo'yicha malakali bo'lishga intilayotgan matematika o'qituvchilari va o'rta maktab o'quvchilariga mo'ljallangan. Muammoni batafsilroq tushunishni istasangiz, unga qaytishingiz mumkin. Ushbu eslatmada biz yuqorida aytib o'tilgan maqoladan qisqacha ma'lumot beramiz va 2016 yilgi Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rish to'plamidagi muammolarni hal qilish usullarini tahlil qilamiz.

Ceva teoremasi

Uchburchak berilsin ABC va uning yon tomonlarida AB, Miloddan avvalgi Va A.C. nuqtalari belgilangan C 1 , A 1 Va B 1 mos ravishda (1-rasm).

a) segmentlar bo'lsa AA 1 , BB 1 va CC 1 bir nuqtada kesishadi, keyin

b) Agar (1) tenglik to'g'ri bo'lsa, u holda segmentlar AA 1 , BB 1 va CC 1 bir nuqtada kesishadi.

1-rasmda segmentlarning holati ko'rsatilgan AA 1 , BB 1 va CC 1 uchburchak ichidagi bir nuqtada kesishadi. Bu ichki nuqta deb ataladigan holat. Ceva teoremasi tashqi nuqtada, nuqtalardan biri bo'lganda ham o'rinlidir A 1 , B 1 yoki BILAN 1 uchburchak tomoniga, qolgan ikkitasi esa uchburchak tomonlarining kengaytmalariga tegishli. Bunday holda, segmentlarning kesishish nuqtasi AA 1 , BB 1 va CC 1 uchburchakdan tashqarida yotadi (2-rasm).

Chevaning tengligini qanday eslash kerak?

Keling, tenglikni eslab qolish texnikasiga e'tibor beraylik (1). Har bir munosabatdagi uchburchakning uchlari va munosabatlarning o'zi uchburchak uchlarini kesib o'tish yo'nalishi bo'yicha yoziladi. ABC, nuqtadan boshlab A. Nuqtai nazardan A keling, mavzuga o'tamiz B, biz nuqtaga duch kelamiz BILAN 1, kasrni yozing
. Nuqtadan keyin IN keling, mavzuga o'tamiz BILAN, biz nuqtaga duch kelamiz A 1, kasrni yozing
. Nihoyat, nuqtadan BILAN keling, mavzuga o'tamiz A, biz nuqtaga duch kelamiz IN 1, kasrni yozing
. Tashqi nuqta bo'lsa, segmentning ikkita "bo'linish nuqtasi" ularning segmentlaridan tashqarida bo'lsa-da, kasrlarni yozish tartibi saqlanib qoladi. Bunday hollarda ular nuqta segmentni tashqi tomondan ajratadi, deyishadi.

E'tibor bering, uchburchakning uchini uchburchakning qarama-qarshi tomonini o'z ichiga olgan chiziqning istalgan nuqtasi bilan bog'laydigan har qanday segment deyiladi. ceviana.

Ichki nuqta holati uchun Ceva teoremasining a) bayonini isbotlashning bir necha usullarini ko‘rib chiqamiz. Ceva teoremasini isbotlash uchun a) mulohazasini quyida taklif qilingan usullardan birortasi bilan, shuningdek b) mulohazasini isbotlash kerak. b) gapning isboti a) gapning birinchi isbotlash usulidan keyin beriladi. Tashqi nuqta holati uchun Ceva teoremasining isboti xuddi shunday amalga oshiriladi.

Ceva teoremasining a) bayonini proportsional segment teoremasi yordamida isbotlash

Uchta sevian bo'lsin AA 1 , BB 1 va CC 1 nuqtada kesishadi Z uchburchak ichida ABC.

Isbotning g'oyasi - tenglikdan (1) segmentlar munosabatlarini bir xil chiziqda yotgan segmentlar munosabatlari bilan almashtirish.

Nuqta orqali IN Kevianga parallel to'g'ri chiziq chizamiz SS 1 . Streyt AA 1 nuqtada tuzilgan chiziqni kesib o'tadi M, va nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq C va parallel AA 1 , - nuqtada T. Nuqtalar orqali A Va BILAN keling, kevianlarga parallel to'g'ri chiziqlar chizamiz BB 1 . Ular chiziqni kesib o'tadilar VM nuqtalarda N Va R mos ravishda (3-rasm).

P Proportsional segmentlar teoremasi haqida bizda:

,
Va
.

Keyin tenglik to'g'ri bo'ladi

.

Paralelogrammalarda ZSTM Va ZCRB segmentlar TM, SZ Va BR parallelogrammaning qarama-qarshi tomonlariga teng. Demak,
va tenglik haqiqatdir

.

b) gapni isbotlash uchun quyidagi gapdan foydalanamiz. Guruch. 3

Lemma 1. Agar ball BILAN 1 va BILAN 2 segmentni ajrating AB ichki (yoki tashqi) bir xil munosabatda, bir nuqtadan sanab, keyin bu nuqtalar mos keladi.

Nuqtalar berilgan holat uchun lemmani isbotlaylik BILAN 1 va BILAN 2 segmentni ajrating AB ichki jihatdan bir xil munosabatda:
.

Isbot. Tenglikdan
tenglik keladi
Va
. Ularning oxirgisi faqat sharti bilan qanoatlanadi BILAN 1 B Va BILAN 2 B teng bo'ladi, ya'ni ballar sharti bilan BILAN 1 va BILAN 2 ta o'yin.

Ballar berilgan holat uchun lemmaning isboti BILAN 1 va BILAN 2 segmentni ajrating AB Tashqi tomondan u xuddi shunday amalga oshiriladi.

Ceva teoremasining b) bayonining isboti

Endi tenglik (1) to'g'ri bo'lsin. Keling, segmentlar ekanligini isbotlaylik AA 1 , BB 1 va CC 1 bir nuqtada kesishadi.

Cheviyaliklarga ruxsat bering AA 1 va BB 1 nuqtada kesishadi Z, bu nuqta orqali segment chizing CC 2 (BILAN 2 segmentda yotadi AB). Keyin, a) bayonotiga asoslanib, biz to'g'ri tenglikni olamiz

. (2)

VA (1) va (2) tengliklarni taqqoslashdan shunday xulosaga kelamiz
, ya'ni nuqtalar BILAN 1 va BILAN 2 segmentni ajrating AB bir xil munosabatda, bir nuqtadan hisoblash. Lemma 1 dan nuqtalar kelib chiqadi BILAN 1 va BILAN 2 ta o'yin. Bu segmentlar degan ma'noni anglatadi AA 1 , BB 1 va CC 1 bir nuqtada kesishadi, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa.

Isbotlash mumkinki, (1) tenglikni yozish tartibi uchburchak uchlari qaysi nuqtadan va qaysi yo`nalishda o`tganligiga bog`liq emas.

1-mashq. Segment uzunligini toping AN boshqa segmentlarning uzunligini ko'rsatadigan 4-rasmda.

Javob. 8.

Vazifa 2. Cheviyaliklar A.M., BN, CK uchburchak ichida bir nuqtada kesishadi ABC. Munosabat toping
, Agar
,
. Guruch. 4

Javob.
.

P Biz maqoladan Ceva teoremasining isbotini keltiramiz. Isbotning g'oyasi tenglikdan (1) segmentlar munosabatlarini parallel chiziqlarda yotgan segmentlar munosabatlari bilan almashtirishdan iborat.

To'g'ri bo'lsin AA 1 , BB 1 , CC 1 nuqtada kesishadi O uchburchak ichida ABC(5-rasm). Yuqori orqali BILAN uchburchak ABC parallel to‘g‘ri chiziq chizamiz AB, va uning chiziqlar bilan kesishish nuqtalari AA 1 , BB 1 ni mos ravishda belgilaymiz A 2 , B 2 .

Ikki juft uchburchakning o'xshashligidan C.B. 2 B 1 Va ABB 1 , BAA 1 Va C.A. 2 A 1, rasm. 5

bizda tenglik bor

,
. (3)

Uchburchaklarning o'xshashligidan Miloddan avvalgi 1 O Va B 2 CO, ABILAN 1 O Va A 2 CO bizda tenglik bor
, shundan kelib chiqadiki

. (4)

P Tengliklarni (3) va (4) ko'paytirsak, biz (1) tenglikni olamiz.

Ceva teoremasining a) bayoni isbotlangan.

Ceva teoremasining a) bayonini ichki nuqta uchun maydonlar yordamida isbotlashni ko'rib chiqaylik. U A.G.ning kitobida keltirilgan. Myakishev va biz topshiriqlar shaklida tuzadigan bayonotlarga tayanadi 3 Va 4 .

Vazifa 3. Umumiy cho'qqisi va asoslari bir xil chiziqda yotgan ikkita uchburchaklar maydonlarining nisbati bu asoslar uzunliklarining nisbatiga teng. Ushbu bayonotni isbotlang.

Vazifa 4. Agar buni isbotlang
, Bu
Va
. Guruch. 6

Segmentlarga ruxsat bering AA 1 , BB 1 va CC 1 nuqtada kesishadi Z(6-rasm), keyin

,
. (5)

VA tenglikdan (5) va topshiriqning ikkinchi bayonoti 4 shunga amal qiladi
yoki
. Xuddi shunday, biz buni olamiz
Va
. Oxirgi uchta tenglikni ko'paytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

,

ya'ni, (1) tenglik to'g'ri, buni isbotlash kerak edi.

Ceva teoremasining a) bayoni isbotlangan.

15-topshiriq. Kevianlar uchburchak ichida bir nuqtada kesishsin va uni maydonlari teng bo'lgan 6 ta uchburchakka bo'lsin. S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 , S 6 (7-rasm). Buni isbotlang. Guruch. 7

Vazifa 6. Hududni toping S uchburchak CNZ(boshqa uchburchaklarning maydonlari 8-rasmda ko'rsatilgan).

Javob. 15.

Vazifa 7. Hududni toping S uchburchak CNO, agar uchburchakning maydoni bo'lsa AYO'Q 10 ga teng va
,
(9-rasm).

Javob. 30.

Vazifa 8. Hududni toping S uchburchak CNO, agar uchburchakning maydoni bo'lsa AMiloddan avvalgi 88 ga teng va ,
(9-rasm).

R qaror. dan boshlab, belgilaymiz
,
. Chunki , keyin belgilaymiz
,
. Ceva teoremasidan shunday xulosa kelib chiqadi
, undan keyin
. Agar
, Bu
(10-rasm). Bizda uchta noma'lum miqdor bor ( x, y Va S), shuning uchun topish S Keling, uchta tenglama tuzamiz.

Chunki
, Bu
= 88. Buyon
, Bu
, qayerda
. Chunki
, Bu
.

Shunday qilib,
, qayerda
. Guruch. 10

Vazifa 9. Uchburchakda ABC ball K Va L tegishli ravishda tomonlarga tegishlidir AB Va BC.
,
. P AL Va CK. Uchburchakning maydoni PBC 1 ga teng. Uchburchakning maydonini toping ABC.

Javob. 1,75.

T Menelaus teoremasi

Uchburchak berilsin ABC va uning yon tomonlarida A.C. Va CB nuqtalari belgilangan B 1 va A 1 mos ravishda va davomi tomonda AB nuqta belgilangan C 1 (11-rasm).

a) ball bo'lsa A 1 , B 1 va BILAN 1 bir xil to'g'ri chiziqda yotadi, keyin

. (6)

b) Agar (7) tenglik to'g'ri bo'lsa, u holda nuqtalar A 1 , B 1 va BILAN 1 bir xil to'g'ri chiziqda yotadi. Guruch. o'n bir

Menelausning tengligini qanday eslash kerak?

Tenglikni eslab qolish texnikasi (6) tenglik (1) bilan bir xil. Har bir munosabatdagi uchburchakning uchlari va munosabatlarning o'zi uchburchak uchlarini kesib o'tish yo'nalishi bo'yicha yoziladi. ABC- cho'qqidan tepaga, bo'linish nuqtalari (ichki yoki tashqi) orqali o'tadi.

Vazifa 10. Uchburchakning istalgan cho‘qqisidan istalgan yo‘nalishda (6) tenglikni yozish bir xil natija berishini isbotlang.

Menelaus teoremasini isbotlash uchun a) mulohazasini quyida taklif qilingan usullardan birortasi bilan isbotlash, shuningdek b) gapni isbotlash kerak. b) gapning isboti a) gapning birinchi isbotlash usulidan keyin beriladi.

Fikrni isbotlash a) proportsional segment teoremasidan foydalanish

Iyo'l. a) Isbot g'oyasi tenglikdagi (6) segmentlar uzunliklarining nisbatlarini bir xil chiziqda yotgan segmentlar uzunliklari nisbati bilan almashtirishdan iborat.

Ballarga ruxsat bering A 1 , B 1 va BILAN 1 bir xil to'g'ri chiziqda yotadi. Nuqta orqali C to'g'ridan-to'g'ri qilaylik l, chiziqqa parallel A 1 B 1, u chiziqni kesib o'tadi AB nuqtada M(12-rasm).

R
hisoblanadi. 12

Proportsional segmentlar teoremasi bo'yicha bizda quyidagilar mavjud:
Va
.

Keyin tenglik to'g'ri bo'ladi
.

Menelay teoremasining b) bayonining isboti

Endi (6) tenglik to'g'ri bo'lsin, nuqtalar ekanligini isbotlaymiz A 1 , B 1 va BILAN 1 bir xil to'g'ri chiziqda yotadi. To'g'ri bo'lsin AB Va A 1 B 1 nuqtada kesishadi BILAN 2 (13-rasm).

Ballardan beri A 1 B 1 va BILAN 2 bir xil to'g'ri chiziqda yotadi, keyin Menelaus teoremasining a) bayonotiga ko'ra

. (7)

(6) va (7) tengliklarni taqqoslashdan biz bor
, shundan kelib chiqadiki, tengliklar to'g'ri

,
,
.

Oxirgi tenglik faqat agar to'g'ri bo'lsa
, ya'ni nuqtalar bo'lsa BILAN 1 va BILAN 2 ta o'yin.

Menelay teoremasining b) bayoni isbotlangan. Guruch. 13

Fikrni isbotlash a) uchburchaklarning o'xshashligini qo'llash

Isbot g'oyasi tenglikdan (6) bo'lgan segmentlar uzunliklarining nisbatlarini parallel chiziqlarda yotgan segmentlar uzunliklari nisbati bilan almashtirishdan iborat.

Ballarga ruxsat bering A 1 , B 1 va BILAN 1 bir xil to'g'ri chiziqda yotadi. Ballardan A, B Va C perpendikulyarlarni chizamiz AA 0 , BB 0 va SS 0 bu to'g'ri chiziqqa (14-rasm).

R
hisoblanadi. 14

Uch juft uchburchakning o'xshashligidan A.A. 0 B 1 Va CC 0 B 1 , CC 0 A 1 Va BB 0 A 1 , C 1 B 0 B Va C 1 A 0 A(ikki burchakda) bizda to'g'ri tenglik bor

,
,
,

ularni ko'paytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

.

Menelay teoremasining a) bayoni isbotlangan.

Bayonotning isboti a) foydalanish joylari

Isbot g'oyasi tenglikdan (7) bo'lgan segmentlar uzunligi nisbatini uchburchaklar maydonlarining nisbati bilan almashtirishdan iborat.

Ballarga ruxsat bering A 1 , B 1 va BILAN 1 bir xil to'g'ri chiziqda yotadi. Keling, nuqtalarni bog'laymiz C Va C 1 . Keling, uchburchaklarning maydonlarini belgilaylik S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 (15-rasm).

Keyin tenglik to'g'ri bo'ladi

,
,
. (8)

Tenglikni (8) ko'paytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Menelay teoremasining a) bayoni isbotlangan.

R
hisoblanadi. 15

Sekantlarning kesishish nuqtasi uchburchakdan tashqarida bo'lsa, Ceva teoremasi o'z kuchini saqlab qolganidek, agar sekant faqat uchburchak tomonlarining kengaytmalarini kesib o'tsa, Menelaus teoremasi o'z kuchida qoladi. Bunday holda, biz tashqi nuqtalarda uchburchak tomonlarining kesishishi haqida gapirishimiz mumkin.

Bayonotning isboti a) tashqi nuqtalar ishi uchun

P sekant uchburchakning tomonlarini kesib o'tadi ABC tashqi nuqtalarda, ya'ni tomonlarning kengaytmalarini kesib o'tadi AB,Miloddan avvalgi Va A.C. nuqtalarda C 1 , A 1 va B 1, mos ravishda va bu nuqtalar bir xil to'g'ri chiziqda yotadi (16-rasm).

Proportsional segmentlar teoremasi bo'yicha bizda quyidagilar mavjud:

Va .

Keyin tenglik to'g'ri bo'ladi

Menelay teoremasining a) bayoni isbotlangan. Guruch. 16

E'tibor bering, yuqoridagi dalil Menelaus teoremasining isboti bilan sekant uchburchakning ikki tomonini ichki nuqtalarda va bir tomonini tashqi tomondan kesib o'tgan holat uchun mos keladi.

Menelay teoremasining tashqi nuqtalar holati uchun b) bayonining isboti yuqorida keltirilgan isbotga o'xshaydi.

Z topshiriq11. Uchburchakda ABC ball A 1 , IN 1 navbati bilan yon tomonlarda yotadi Quyosh Va ABILAN. P- segmentlarning kesishish nuqtasi AA 1 Va BB 1 .
,
. Munosabat toping
.

Yechim. belgilaylik
,
,
,
(17-rasm). Uchburchak uchun Menelaus teoremasiga ko'ra Miloddan avvalgiIN 1 va sekant PA 1 to'g'ri tenglikni yozamiz:

,

bundan kelib chiqadi

. Guruch. 17

Javob. .

Z topshiriq12 (MSU, sirtqi tayyorgarlik kurslari). Uchburchakda ABC, uning maydoni 6 ga teng, yon tomonda AB nuqta olingan TO, munosabatda bu tomonni baham ko'rish
, va yon tomonda AC- nuqta L, bo'linish AC nisbatan
. Nuqta P chiziqli kesishmalar SK Va INL to'g'ri chiziqdan uzoqda AB 1,5 masofada. Yon uzunligini toping AB.

Yechim. Nuqtalardan R Va BILAN perpendikulyarlarni tushiramiz PR Va SM bevosita AB. belgilaylik
,
,
,
(18-rasm). Uchburchak uchun Menelaus teoremasiga ko'ra A.K.C. va sekant P.L. To'g'ri tenglikni yozamiz:
, buni qayerdan olamiz
,
. Guruch. 18

Uchburchaklarning o'xshashligidan TOM.C. Va TOR.P.(ikki burchakda) biz buni olamiz
, shundan kelib chiqadiki
.

Endi yon tomonga chizilgan balandlikning uzunligini bilish AB uchburchak ABC, va bu uchburchakning maydoni, biz tomonning uzunligini hisoblaymiz:
.

Javob. 4.

Z topshiriq13. Markazli uchta doira A,IN,BILAN, radiuslari sifatida bog'langan
, nuqtalarda bir-biriga tashqi tomondan tegib turing X, Y, Z 19-rasmda ko'rsatilganidek. Segmentlar AX Va BY bir nuqtada kesishadi O. Qaysi jihatdan, nuqtadan hisoblash B, chiziq segmenti CZ segmentni ajratadi BY?

Yechim. belgilaylik
,
,
(19-rasm). Chunki
, keyin Ceva teoremasining b) bayoniga muvofiq segmentlar AX, BY Va BILANZ bir nuqtada kesishadi - nuqta O. Keyin segment CZ segmentni ajratadi BY nisbatan
. Keling, bu munosabatni topamiz. Guruch. 19

Uchburchak uchun Menelaus teoremasiga ko'ra B.C.Y. va sekant OX bizda ... bor:
, shundan kelib chiqadiki
.

Javob. .

14-topshiriq (Yagona davlat imtihoni 2016).

Ballar IN 1 va BILAN AC Va AB uchburchak ABC, va AB 1:B 1 BILAN =
= AC 1:BILAN 1 B. To'g'ridan-to'g'ri BB 1 Va SS 1 bir nuqtada kesishadi HAQIDA.

A ) Chiziq ekanligini isbotlang OAJ tomonini ikkiga bo'ladi Quyosh.

AB 1 O.C. 1 uchburchak maydoniga ABC, agar ma'lum bo'lsa AB 1:B 1 BILAN = 1:4.

Yechim. a) to'g'ri chiziq bo'lsin A.O. tomonini kesib o'tadi Miloddan avvalgi nuqtada A 1 (20-rasm). Ceva teoremasi bo'yicha bizda:

. (9)

Chunki AB 1:B 1 BILAN = AC 1:BILAN 1 B, keyin (9) tenglikdan shunday kelib chiqadi
, ya'ni C.A. 1 = A 1 B, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa edi. Guruch. 20

b) Uchburchakning maydoni bo'lsin AB 1 O ga teng S. Chunki AB 1:B 1 BILAN C.B. 1 O 4 ga teng S, va uchburchakning maydoni AOC 5 ga teng S. Keyin uchburchakning maydoni AOB ham 5 ga teng S, chunki uchburchaklar AOB Va AOC umumiy asosga ega A.O., va ularning uchlari B Va C chiziqdan teng masofada A.O.. Bundan tashqari, uchburchakning maydoni AOC 1 teng S, chunki AC 1:BILAN 1 B = 1:4. Keyin uchburchakning maydoni ABB 1 6 ga teng S. Chunki AB 1:B 1 BILAN= 1:4, keyin uchburchakning maydoni C.B. 1 O 24 ga teng S, va uchburchakning maydoni ABC 30 ga teng S. Endi to'rtburchaklar maydonining nisbatini topamiz AB 1 O.C. 1 (2S) uchburchakning maydoniga ABC (30S), u 1:15 ga teng.

Javob. 1:15.

15-topshiriq (Yagona davlat imtihoni 2016).

Ballar IN 1 va BILAN 1 navbati bilan yon tomonlarda yotadi AC Va AB uchburchak ABC, va AB 1:B 1 BILAN =
= AC 1:BILAN 1 B. To'g'ridan-to'g'ri BB 1 Va SS 1 bir nuqtada kesishadi HAQIDA.

a) chiziq ekanligini isbotlang OAJ tomonini ikkiga bo'ladi Quyosh.

b) to'rtburchaklar maydonining nisbatini toping AB 1 O.C. 1 uchburchak maydoniga ABC, agar ma'lum bo'lsa AB 1:B 1 BILAN = 1:3.

Javob. 1:10.

Z vazifa 16 (FOYDALANISH-2016). Segmentda BD nuqta olingan BILAN. Bissektrisa B.L. ABC asos bilan Quyosh BLD asos bilan BD.

a) uchburchak ekanligini isbotlang DCL teng yon tomonlar.

b) Ma'lumki, cos
ABC DL, ya'ni BD uchburchagi nuqta olingan BILAN. Bissektrisa B.L. teng yonli uchburchak ABC asos bilan Quyosh teng yonli uchburchakning yon tomonidir BLD asos bilan BD.

a) uchburchak ekanligini isbotlang DCL teng yon tomonlar.

b) Ma'lumki, cos ABC= . Qaysi jihatdan to'g'ri chiziq D.L. tomonni ajratadi AB?

Javob. 4:21.

Adabiyot

1. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Uchburchakning ajoyib nuqtalari va chiziqlari. M.: Matematika, 2006 yil, 17-son.

2. Myakishev A.G. Uchburchak geometriya elementlari. ("Matematik ta'lim" kutubxonasi" seriyasi). M.: MTsNMO, 2002. - 32 p.

3. Geometriya. 8-sinf darsligi uchun qo'shimcha boblar: chuqurlashtirilgan maktablar va sinflar o'quvchilari uchun darslik / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev va boshqalar - M .: Vita-Press, 2005. - 208 p.

4. Erdniev P., Mantsaev N. Cheva va Menelaus teoremalari. M.: Kvant, 1990, No 3, 56-59-betlar.

5. Sharygin I.F. Cheva va Menelaus teoremalari. M.: Kvant, 1976, No 11, 22-30-betlar.

6. Vavilov V.V. Uchburchakning medianalari va oʻrta chiziqlari. M.: Matematika, 2006 yil, 1-son.

7. Efremov Dm. Yangi uchburchak geometriyasi. Odessa, 1902. - 334 p.

8. Matematika. Oddiy test topshiriqlarining 50 ta varianti / I.V. Yashchenko, M.A. Volkevich, I.R. Vysotskiy va boshqalar; tomonidan tahrirlangan I.V. Yashchenko. - M .: "Imtihon" nashriyoti, 2016. - 247 b.

CHEVA VA MENELAUS TEOREMALARI

Ceva teoremasi

Ko'pgina ajoyib uchburchak nuqtalarini quyidagi protsedura yordamida olish mumkin. Ba'zi bir qoida bo'lsin, unga ko'ra biz ma'lum bir A nuqtasini tanlashimiz mumkin 1 , ABC uchburchakning BC (yoki uning kengaytmasi) tomonida (masalan, bu tomonning o'rta nuqtasini tanlang). Keyin shunga o'xshash B nuqtalarini quramiz 1, C 1 uchburchakning boshqa ikki tomonida (bizning misolimizda tomonlarning yana ikkita o'rta nuqtasi mavjud). Agar tanlov qoidasi muvaffaqiyatli bo'lsa, to'g'ri AA 1, BB 1, CC 1 qaysidir Z nuqtada kesishadi (tomonlarning o‘rta nuqtalarini shu ma’noda tanlash, albatta, muvaffaqiyatli bo‘ladi, chunki uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishadi).

Men uchburchakning yon tomonlaridagi nuqtalarning holatidan mos keladigan uchlik chiziqlar bir nuqtada kesishadimi yoki yo'qligini aniqlashga imkon beradigan umumiy usulga ega bo'lishni xohlayman.

Ushbu muammoni "yopib qo'ygan" universal holat 1678 yilda italiyalik muhandis tomonidan topilganJovanni Cheva .

Ta'rif. Qarama-qarshi tomonlarda joylashgan nuqtalar (yoki ularning kengaytmalari) bilan uchburchakning cho'qqilarini tutashtiruvchi segmentlar, agar ular bir nuqtada kesishsa, seviyanlar deyiladi.

Kevianlar uchun ikkita mumkin bo'lgan joy mavjud. Bir versiyada, nuqta

chorrahalari ichki boʻlib, choʻqqilarning uchlari uchburchakning yon tomonlarida yotadi. Ikkinchi variantda kesishish nuqtasi tashqi bo'lib, bir kevianning uchi yon tomonda yotadi, qolgan ikkita kevianning uchlari esa tomonlarning kengaytmalarida yotadi (chizmalarga qarang).

Teorema 3. (Cevaning to'g'ridan-to'g'ri teoremasi) Ixtiyoriy ABC uchburchakda A nuqtalari mos ravishda BC, CA, AB tomonlari yoki ularning kengaytmalari olinadi. 1 , IN 1 , BILAN 1 , shunday qilib to'g'ri AA 1 , BB 1 , SS 1 bir umumiy nuqtada kesishadi, keyin

.

Isbot: Ceva teoremasining bir qancha asl isbotlari ma'lum bo'lsa-da, biz Menelay teoremasining ikki tomonlama qo'llanilishiga asoslangan isbotni ko'rib chiqamiz. Birinchi marta uchburchak uchun Menelaus teoremasining munosabatini yozamizABB 1 va sekant CC 1 (biz chovlarning kesishish nuqtasini belgilaymizZ):

,

va ikkinchi marta uchburchak uchunB 1 Miloddan avvalgi va sekant A.A. 1 :

.

Ushbu ikki nisbatni ko'paytirib, kerakli qisqartirishlarni amalga oshirib, biz teorema bayonotida mavjud bo'lgan nisbatni olamiz.

Teorema 4. (Cevaning teskari teoremasi) . Agar uchburchakning yon tomonlarida tanlanganlar uchun bo'lsa ABC yoki ularning nuqta kengaytmalari A 1 , IN 1 Va C 1 Chevaning ahvoli qoniqarli:

,

keyin to'g'ri A.A. 1 , BB 1 Va CC 1 bir nuqtada kesishadi .

Bu teoremaning isboti xuddi Menelay teoremasining isboti kabi qarama-qarshilik orqali amalga oshiriladi.

Cevaning to'g'ridan-to'g'ri va teskari teoremalarini qo'llash misollarini ko'rib chiqaylik.

3-misol. Uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishishini isbotlang.

Yechim. Munosabatni ko'rib chiqing

uchburchakning uchlari va uning tomonlarining o'rta nuqtalari uchun. Shubhasiz, har bir kasrda pay va maxraj teng segmentlarga ega, shuning uchun bu kasrlarning barchasi bittaga teng. Demak, Cheva munosabati qanoatlantiriladi, demak, teskari teorema bilan medianalar bir nuqtada kesishadi.

Teorema (Ceva teoremasi) . Ballarga ruxsat bering yon tomonlarga yoting va uchburchak mos ravishda. Segmentlarga ruxsat bering Va bir nuqtada kesishadi. Keyin

(biz uchburchak bo'ylab soat yo'nalishi bo'yicha aylanamiz).

Isbot. bilan belgilaymiz segmentlarning kesishish nuqtasi Va . Keling, fikrlarni chetlab o'tamiz Va chiziqqa perpendikulyaruni nuqtalarda kesishdan oldin Va mos ravishda (rasmga qarang).

Chunki uchburchaklar Va umumiy tomoni bor, keyin ularning maydonlari bu tomonga chizilgan balandliklar bilan bog'liq, ya'ni. Va:

Oxirgi tenglik to'g'ri, chunki to'g'ri burchakli uchburchaklar Va o'tkir burchakka o'xshash.

Xuddi shunday, biz ham olamiz

Va

Keling, ushbu uchta tenglikni ko'paytiramiz:

Q.E.D.

Medianlar haqida:

1. Birlik massalarni ABC uchburchakning uchlariga qo‘ying.
2. A va B nuqtalarning massa markazi AB ning o‘rtasida joylashgan. Butun tizimning massa markazi AB tomonining medianasida bo'lishi kerak, chunki ABC uchburchakning massa markazi A va B nuqtalari va C nuqtalarining massa markazidir.
(bu chalkash bo'ldi)
3. Xuddi shunday - CM AC va BC tomonlariga medianada yotishi kerak
4. CM bitta nuqta bo'lganligi sababli, demak, bu uchta mediananing hammasi unda kesishishi kerak.

Aytgancha, darhol kesishish orqali ular 2: 1 nisbatda bo'linadi. A va B nuqtalarning massa markazining massasi 2 va C nuqtasining massasi 1 bo'lganligi sababli, umumiy massa markazi, mutanosiblik teoremasiga ko'ra, medianani 2/1 nisbatda bo'ladi. .

Katta rahmat, u qulay tarzda taqdim etilgan, menimcha, isbotni massa geometriyasi usullaridan foydalangan holda taqdim etish noto'g'ri bo'lmaydi, masalan:
AA1 va CC1 chiziqlari O nuqtada kesishadi; AC1: C1B = p va BA1: A1C = q. BB1 chizig'i O nuqtadan o'tishini isbotlashimiz kerak, agar CB1: B1A = 1: pq bo'lsa.
1, p va pq massalarini mos ravishda A, B va C nuqtalarga joylashtiramiz. U holda C1 nuqta A va B nuqtalarning massa markazi, A1 nuqta esa B va C nuqtalarning massa markazidir. Demak, A, B va C nuqtalarning bu massalar bilan massa markazi O ning kesishish nuqtasidir. CC1 va AA1 qatorlari. Boshqa tomondan, O nuqta B nuqtasini A va C nuqtalarning massa markazi bilan bog'laydigan segmentda yotadi. Agar B1 massalari 1 va pq bo'lgan A va C nuqtalarning massa markazi bo'lsa, u holda AB1: B1C = pq: 1. Shuni ta'kidlash kerakki, AC segmentida uni berilgan AB1: B1C nisbatiga bo'luvchi bitta nuqta mavjud.

2. Ceva teoremasi

Uchburchakning uchini qarama-qarshi tomonidagi nuqta bilan tutashtiruvchi segment deyiladiceviana . Shunday qilib, agar uchburchakda bo'lsaABC X , Y va Z - tomonlarda joylashgan nuqtalarMiloddan avvalgi , C.A. , AB mos ravishda, keyin segmentlarAX , BY , CZ cheviyaliklardir. Bu atama 1678 yilda quyidagi juda foydali teoremani nashr etgan italiyalik matematik Jovanni Cevadan keladi:

Teorema 1.21. Agar ABC uchburchagining uchta AX, BY, CZ (har bir cho'qqidan bittadan) uchi raqobatdosh bo'lsa, u holda

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Guruch. 3.

Agar biz uchta chiziq (yoki segment) deb aytsakraqobatbardosh , demak, ularning barchasi bir nuqtadan o'tadi, biz uni belgilaymizP . Ceva teoremasini isbotlash uchun balandliklari teng bo'lgan uchburchaklarning maydonlari uchburchaklar asoslariga proporsional ekanligini eslaylik. 3-rasmga asoslanib, bizda:

|BX||XC|= SABXSAXC= SPBXSPXC= SABX−SPBXSAXC−SPXC= SABPSCAP.

Xuddi shunday,

|CY||YA|= SBCPSABP, |AZ||ZB|= SCAPSBCP.

Endi ularni ko'paytirsak, olamiz

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|= SABPSCAP· SBCPSABP· SCAPSBCP=1 .

Ushbu teoremaning teskarisi ham to'g'ri:

Teorema 1.22. Agar uchta cevian AX, BY, CZ munosabatni qanoatlantirsa

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 ,

keyin ular raqobatbardoshdir .

Buni ko'rsatish uchun, faraz qilaylik, birinchi ikkita kevian nuqtada kesishadiP , avvalgidek va uchinchi cevian nuqtadan o'tadiP , bo'ladiCZ' . Keyin, 1.21 teorema bo'yicha,

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ'||Z'B|=1 .

Ammo taxmin bilan

|BX||XC|· |CY||YA|· |AZ||ZB|=1 .

Demak,

|AZ||ZB|= |AZ'||Z'B| ,

nuqtaZ' nuqta bilan mos keladiZ , va biz segmentlar ekanligini isbotladikAX , BY VaCZ raqobatbardosh (, 54-bet va , 48, 317-betlar).

Matematika - 10-sinf Mendel Viktor Vasilevich, Uzoq Sharq davlat universiteti tabiiy fanlar, matematika va axborot texnologiyalari fakulteti dekani CHEVA TEOREMASI VA MENELAY TEOREMASI Planimetriyada ikkita ajoyib teorema alohida o'rin tutadi: Ceva teoremasi va Menela teoremasi. Ushbu teoremalar o'rta maktab geometriyasining asosiy o'quv dasturiga kiritilmagan, ammo ularni o'rganish (va qo'llash) matematikaga maktab o'quv dasturi doirasida mumkin bo'lganidan biroz ko'proq qiziqqan har bir kishi uchun tavsiya etiladi. Nima uchun bu teoremalar qiziq? Birinchidan, geometrik muammolarni echishda ikkita yondashuv samarali birlashtirilganligini ta'kidlaymiz: - biri asosiy tuzilmani aniqlashga asoslangan (masalan: uchburchak - aylana; uchburchak - kesuvchi chiziq; uchburchak - uchta to'g'ri chiziq uning cho'qqilaridan o'tuvchi va bir nuqtada kesishgan;ikki parallel tomoni bo'lgan to'rtburchak va boshqalar) - ikkinchisi esa tayanch masalalar usuli (murakkab masalani yechish jarayoni qisqartirilgan oddiy geometrik masalalar). Shunday qilib, Menelaus va Cheva teoremalari eng ko'p uchraydigan konstruktsiyalar qatoriga kiradi: birinchisi uchburchakni ko'rib chiqadi, uning tomonlari yoki kengaytmalari biron bir chiziq (sekant) bilan kesishadi, ikkinchisi uchburchak va undan o'tgan uchta chiziq bilan bog'liq. uning uchlari orqali, bir nuqtada kesishadi. Menelaus teoremasi Bu teorema segmentlarning kuzatiladigan (teskari munosabatlari bilan birga) munosabatlarini, uchburchakning uchlarini va sekantning kesishish nuqtalarini uchburchak tomonlari (tomonlarining kengaytmalari) bilan bog'lovchi naqshni ko'rsatadi. Chizmalar uchburchak va sekantning joylashishining ikkita mumkin bo'lgan holatini ko'rsatadi. Birinchi holda, sekant uchburchakning ikki tomonini va uchinchisining kengaytmasini kesib o'tadi, ikkinchisida - uchburchakning barcha uch tomonining davomi. Teorema 1. (Menelaus) ABC ni AB tomoniga parallel bo‘lmagan va uning ikki tomonini mos ravishda B1 va A1 nuqtalarda kesuvchi AC va BC to‘g‘ri chiziq bilan, keyin esa AB1 CA1 nuqtada AB to‘g‘ri chiziq bilan kesishilsin. BC1    1. B1C A1B C1 A teorema 2. (Menelay teoremasiga teskari) ABC uchburchakdagi A1, B1, C1 nuqtalar mos ravishda BC, AC, AB to‘g‘ri chiziqlarga tegishli bo‘lsin, u holda AB1 CA1 BC1   1 B1C A1B C1 A, keyin A1, B1, C1 nuqtalar bitta to‘g‘ri chiziqda yotadi. Birinchi teoremaning isboti quyidagicha amalga oshirilishi mumkin: uchburchakning barcha uchlaridan perpendikulyarlar sekant chizig'iga tushiriladi. Natijada uch juft o'xshash to'g'ri burchakli uchburchaklar hosil bo'ladi. Teoremani shakllantirishda paydo bo'ladigan segmentlarning munosabatlari o'xshashlikda ularga mos keladigan perpendikulyar munosabatlar bilan almashtiriladi. Ma'lum bo'lishicha, kasrlardagi har bir perpendikulyar segment ikki marta bo'ladi: bir marta hisoblagichdagi bir kasrda, ikkinchi marta maxrajdagi boshqa kasrda. Shunday qilib, barcha bu nisbatlarning mahsuloti bittaga teng bo'ladi. Qarama-qarshi teoremani qarama-qarshilik bilan isbotlash mumkin. 2-teorema shartlari bajarilsa, A1, B1, C1 nuqtalar bir xil to‘g‘ri chiziqda yotmaydi, deb faraz qilinadi. Keyin A1B1 to'g'ri chiziq AB tomonini C1 nuqtadan farqli ravishda C2 nuqtada kesib o'tadi. Bunda 1-teoremaga ko'ra A1, B1, C2 nuqtalari uchun A1, B1, C1 nuqtalaridagi kabi munosabat amal qiladi. Bundan kelib chiqadiki, C1 va C2 ​​nuqtalari AB segmentini bir xil nisbatlarda bo'ladi. Keyin bu fikrlar bir-biriga mos keladi - biz qarama-qarshilikka ega bo'lamiz. Menelaus teoremasini qo'llash misollarini ko'rib chiqamiz. 1-misol. Uchburchakning kesishish nuqtasidagi medianalari tepadan boshlab 2:1 nisbatda bo‘linishini isbotlang. Yechim. ABMb uchburchak va McM(C) to‘g‘ri chiziq uchun Menelaus teoremasida olingan munosabatni yozamiz: AM c BM M bC    1. M c B MM b CA Bu ko‘paytmadagi birinchi kasr aniq tengdir. 1 ga, uchinchi ikkinchi nisbat esa 1 ga teng. Shuning uchun 2 2:1, buni isbotlash kerak edi. 2-misol. ABC uchburchakning AC tomonining kengaytmasini B1 nuqtada kesib o'tgan sekant C nuqta AB1 segmentining o'rta nuqtasi bo'lsin. Bu sekant AB tomonini ikkiga bo'ladi. U BC tomonini qanday nisbatda bo'lishini toping? Yechim. Uchburchak va sekant uchun Menelay teoremasidan uchta nisbat ko‘paytmasini yozamiz: AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Masala shartlaridan kelib chiqadiki, birinchi nisbat bir ga teng va uchinchisi 1, 2, shuning uchun ikkinchi nisbat 2 ga teng, ya'ni sekant BC tomonini 2:1 nisbatda ajratadi. Menelay teoremasini qo‘llashning keyingi misolini Ceva teoremasining isbotini ko‘rib chiqsak ko‘ramiz. Ceva teoremasi Uchburchakning diqqatga sazovor nuqtalarining aksariyatini quyidagi protsedura yordamida olish mumkin. Qandaydir qoida bo'lsin, unga ko'ra biz ABC uchburchagining BC tomonida (yoki uning davomi) ma'lum bir A1 nuqtasini tanlashimiz mumkin (masalan, bu tomonning o'rta nuqtasini tanlang). Keyin uchburchakning qolgan ikki tomonida B1, C1 o'xshash nuqtalarni quramiz (bizning misolimizda tomonlarning yana ikkita o'rta nuqtasi). Agar tanlash qoidasi muvaffaqiyatli bo'lsa, u holda AA1, BB1, CC1 chiziqlari Z nuqtada kesishadi (tomonlarning o'rta nuqtalarini bu ma'noda tanlash, albatta, muvaffaqiyatli, chunki uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishadi. ). Men uchburchakning yon tomonlaridagi nuqtalarning holatidan mos keladigan uchlik chiziqlar bir nuqtada kesishadimi yoki yo'qligini aniqlashga imkon beradigan umumiy usulga ega bo'lishni xohlayman. Ushbu muammoni "yopib qo'ygan" universal shart 1678 yilda italiyalik muhandis Jovanni Ceva tomonidan topilgan. Ta'rif. Qarama-qarshi tomonlarda joylashgan nuqtalar (yoki ularning kengaytmalari) bilan uchburchakning cho'qqilarini tutashtiruvchi segmentlar, agar ular bir nuqtada kesishsa, seviyanlar deyiladi. Kevianlar uchun ikkita mumkin bo'lgan joy mavjud. Bitta variantda kesishish nuqtasi ichki bo'lib, kevianlarning uchlari uchburchakning yon tomonlarida yotadi. Ikkinchi variantda kesishish nuqtasi tashqi bo'lib, bir kevianning uchi yon tomonda yotadi, qolgan ikkita kevianning uchlari esa tomonlarning kengaytmalarida yotadi (chizmalarga qarang). Teorema 3. (Chevaning to'g'ridan-to'g'ri teoremasi) ABC ixtiyoriy uchburchakda BC, CA, AB tomonlarida yoki ularning kengaytmalarida mos ravishda A1, B1, C1 nuqtalar olinadi, shundayki AA1, BB1, CC1 to'g'ri chiziqlar qandaydir umumiy nuqtalarda kesishadi. nuqta, keyin BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 . Isbot: Ceva teoremasining bir nechta asl dalillari mavjud, biz Menelaus teoremasining ikki tomonlama qo'llanilishiga asoslangan isbotni ko'rib chiqamiz. ABB1 uchburchak va CC1 sekant uchun birinchi marta Menelaus teoremasining munosabatini yozamiz (Sevianlarning kesishish nuqtasini Z deb belgilaymiz): AC1 BZ B1C    1, C1B ZB1 CA va ikkinchi marta. B1BC uchburchak va AA1 sekant: B1Z BA1 CA    1. ZB A1C AB1 Bu ikki nisbatni ko‘paytirib, kerakli qisqartirishlarni amalga oshirib, teorema bayonida mavjud bo‘lgan nisbatni olamiz. Teorema 4. (Cevaning teskari teoremasi). Agar ABC uchburchakning tomonlarida yoki ularning kengaytmalarida tanlangan A1, B1 va C1 nuqtalar uchun Cheva sharti bajariladi: BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1, u holda AA1, BB1 va CC1 chiziqlar bir nuqtada kesishadi. Bu teoremaning isboti xuddi Menelay teoremasining isboti kabi qarama-qarshilik orqali amalga oshiriladi. Cevaning to'g'ridan-to'g'ri va teskari teoremalarini qo'llash misollarini ko'rib chiqaylik. 3-misol. Uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishishini isbotlang. Yechim. Uchburchak cho’qqilari va uning tomonlari o’rta nuqtalari uchun AC1 BA1 CB1   C1B A1C B1 A munosabatini ko’rib chiqaylik. Shubhasiz, har bir kasrda pay va maxraj teng segmentlarga ega, shuning uchun bu kasrlarning barchasi bittaga teng. Demak, Cheva munosabati qanoatlantiriladi, demak, teskari teorema bilan medianalar bir nuqtada kesishadi. Mustaqil yechish uchun masalalar Bu yerda taklif qilingan masalalar 9-sinf o`quvchilari uchun 1-sonli test ishi. Bu masalalarni yeching, yechimlarini alohida daftarga yozing (fizika va informatikadan). Muqovada o'zingiz haqingizda quyidagi ma'lumotlarni ko'rsating: 1. Familiya, ism, sinf, sinf profili (masalan: Vasiliy Pupkin, 9-sinf, matematika) 2. Pochta indeksi, yashash manzili, elektron pochta (agar mavjud bo'lsa), telefon ( uy yoki mobil)) 3. Maktab haqida ma'lumot (masalan: MBOU No1, Bikin qishlog'i) 4. Matematika o'qituvchisining familiyasi, to'liq ismi (masalan: matematika o'qituvchisi Petrova M.I.) Kamida to'rtta muammoni hal qilish tavsiya etiladi. M 9.1.1. Menelaus teoremasidan ajratilgan chiziq uchburchakning tomonlarini (yoki ularning kengaytmalarini) uzunlikdagi segmentlarga ajrata oladimi: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Agar shunday variantlar mumkin bo'lsa, misollar keltiring. Segmentlar turli tartibda borishi mumkin. M 9.1.2. Uchburchakning ichki tsevianlari uning tomonlarini segmentlarga ajrata oladimi: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Agar shunday variantlar mumkin bo'lsa, misollar keltiring. Segmentlar turli tartibda borishi mumkin. Maslahat: misollar keltirayotganda, uchburchakning bir xil emasligini tekshirishni unutmang. M 9.1.3. Cevaning teskari teoremasidan foydalanib isbotlang: a) uchburchakning bissektrisalari bir nuqtada kesishadi; b) uchburchakning uchlarini qarama-qarshi tomonlardagi nuqtalar bilan tutashtiruvchi segmentlar, bu tomonlar chizilgan doiraga tegib, bir nuqtada kesishadi. Yo'nalishlar: a) bissektrisa qarama-qarshi tomonni qanday nisbatda bo'lishini eslang; b) bir nuqtadan ma'lum aylanaga chizilgan ikkita tangensning segmentlari teng bo'lgan xususiyatdan foydalaning. M 9.1.4. Maqolaning birinchi qismida boshlangan Menelaus teoremasining isbotini to'ldiring. M 9.1.5. Cevaning teskari teoremasi yordamida uchburchakning balandliklari bir nuqtada kesishishini isbotlang. M 9.1.6. Simpson teoremasini isbotlang: ABC uchburchak atrofida aylanaga olingan ixtiyoriy M nuqtadan uchburchakning yon tomonlariga yoki kengaytmalariga perpendikulyarlar tushiriladi, bu perpendikulyarlarning asoslari bir xil to'g'ri chiziqda yotishini isbotlang. Maslahat: Menelaus teoremasining teskarisini ishlating. Munosabatlarda qo’llaniladigan segmentlarning uzunliklarini ularning M nuqtasidan chizilgan perpendikulyar uzunliklari bilan ifodalashga harakat qiling. Ichkari chizilgan to’rtburchak burchaklarining xossalarini eslash ham foydalidir.