Vazifa № 1
Mantiq oddiy: endi trigonometrik funksiyalar murakkabroq argumentga ega bo'lishidan qat'i nazar, biz avvalgidek qilamiz!
Agar biz shakldagi tenglamani yechsak:
Keyin quyidagi javobni yozamiz:
Yoki (bundan buyon)
Ammo endi bizning rolimiz ushbu ibora bilan o'ynaydi:
Keyin biz yozishimiz mumkin:
Siz bilan bizning maqsadimiz - chap tomonning oddiy, hech qanday "nopok"siz turishiga ishonch hosil qilish!
Keling, ularni asta-sekin yo'q qilaylik!
Birinchidan, maxrajni olib tashlaymiz: buning uchun tengligimizni ko'paytiramiz:
Endi ikkala qismni bo'lish orqali undan xalos bo'laylik:
Endi sakkiztadan xalos bo'laylik:
Olingan ifodani 2 seriyali yechim sifatida yozish mumkin (kvadrat tenglamaga o'xshash, bu erda biz diskriminantni qo'shamiz yoki ayitamiz)
Biz eng katta salbiy ildizni topishimiz kerak! Biz tartibga solishimiz kerakligi aniq.
Keling, birinchi bo'limni ko'rib chiqaylik:
Agar biz qabul qilsak, natijada ijobiy raqamlarni olishimiz aniq, ammo ular bizni qiziqtirmaydi.
Shuning uchun siz uni salbiy qabul qilishingiz kerak. Bo'lsin.
Qachon ildiz torroq bo'ladi:
Va biz eng katta salbiyni topishimiz kerak !! Bu shuni anglatadiki, bu erda salbiy yo'nalishga borish endi mantiqiy emas. Va bu seriya uchun eng katta salbiy ildiz teng bo'ladi.
Endi ikkinchi seriyani ko'rib chiqamiz:
Va yana o'rniga: , keyin:
Qiziqtirmaydi!
Keyin ko'proq oshirishning ma'nosi yo'q! Keling, uni kamaytiraylik! Unda ruxsat bering:
Mos keladi!
Bo'lsin. Keyin
Keyin - eng katta salbiy ildiz!
Javob:
Vazifa № 2
Murakkab kosinus argumentidan qat'i nazar, biz yana hal qilamiz:
Endi chap tomonda yana ifodalaymiz:
Ikkala tomonni ko'paytiring
Ikkala tomonni ham ajrating
Faqat uning belgisini minusdan ortiqchaga o'zgartirib, uni o'ngga siljitish qoladi.
Biz yana ikkita ildiz seriyasini olamiz, biri bilan, ikkinchisi esa.
Biz eng katta salbiy ildizni topishimiz kerak. Keling, birinchi epizodni ko'rib chiqaylik:
Biz birinchi salbiy ildizni olishimiz aniq, u 1 seriyadagi eng katta salbiy ildizga teng bo'ladi va bo'ladi.
Ikkinchi seriya uchun
Birinchi salbiy ildiz ham olinadi va unga teng bo'ladi. Chunki, u holda tenglamaning eng katta manfiy ildizi hisoblanadi.
Javob: .
Vazifa № 3
Biz murakkab tangens argumentidan qat'i nazar, hal qilamiz.
Endi bu murakkab ko'rinmaydi, to'g'rimi?
Avvalgidek, biz chap tomonda ifodalaymiz:
Xo'sh, bu ajoyib, bu erda faqat bir qator ildizlar bor! Keling, yana eng katta salbiyni topamiz.
Agar qo'ysangiz, bu chiqishi aniq. Va bu ildiz tengdir.
Javob:
Endi quyidagi muammolarni o'zingiz hal qilishga harakat qiling.
Mustaqil hal qilish uchun uy vazifasi yoki 3 ta vazifa.
- Tenglamani yechish.
- Tenglamani yechish.
Pi-shi-eng kichik-mumkin bo'lgan ildizga javobda. - Tenglamani yechish.
Pi-shi-eng kichik-mumkin bo'lgan ildizga javobda.
Tayyormisiz? Keling, tekshiramiz. Men butun yechim algoritmini batafsil tasvirlab bermayman, menimcha, u allaqachon yuqorida etarlicha e'tiborga olingan.
Xo'sh, hammasi to'g'rimi? Oh, bu yomon sinuslar, ular bilan har doim qandaydir muammo bor!
Xo'sh, endi siz oddiy trigonometrik tenglamalarni echishingiz mumkin!
Yechimlar va javoblarni ko'rib chiqing:
Vazifa № 1
ifoda qilaylik
Eng kichik musbat ildiz, agar, beri, keyin qo'ysak olinadi
Javob:
Vazifa № 2
Eng kichik musbat ildiz da olinadi.
Bu teng bo'ladi.
Javob: .
Vazifa № 3
Qachon biz bor, qachon bor.
Javob: .
Ushbu bilim sizga imtihonda duch keladigan ko'plab muammolarni hal qilishga yordam beradi.
Agar siz "5" reytingiga ariza topshirmoqchi bo'lsangiz, unda siz shunchaki maqolani o'qishni davom ettirishingiz kerak o'rta daraja Bu murakkabroq trigonometrik tenglamalarni echishga bag'ishlangan bo'ladi (topshiriq C1).
O'RTACHA DARAJASI
Ushbu maqolada men tasvirlab beraman murakkabroq trigonometrik tenglamalarni yechish va ularning ildizlarini qanday tanlash kerak. Bu erda men quyidagi mavzular bo'yicha chizaman:
- Boshlang'ich daraja uchun trigonometrik tenglamalar (yuqoriga qarang).
Murakkab trigonometrik tenglamalar ilg'or masalalar uchun asos bo'ladi. Ular tenglamaning o'zini umumiy shaklda echishni ham, ma'lum bir berilgan intervalga tegishli bu tenglamaning ildizlarini topishni ham talab qiladi.
Trigonometrik tenglamalarni yechish ikkita kichik vazifani bajaradi:
- Tenglamani yechish
- Ildiz tanlash
Shuni ta'kidlash kerakki, ikkinchisi har doim ham talab qilinmaydi, lekin ko'pchilik misollarda tanlov hali ham talab qilinadi. Ammo agar bu talab qilinmasa, biz sizga hamdard bo'lishimiz mumkin - bu tenglamaning o'zi juda murakkab ekanligini anglatadi.
C1 muammolarini tahlil qilish tajribam shuni ko'rsatadiki, ular odatda quyidagi toifalarga bo'linadi.
To'rtta murakkablikdagi vazifalar (ilgari C1)
- Faktorizatsiyaga keltiruvchi tenglamalar.
- Tenglamalar shaklga keltirildi.
- O'zgaruvchini o'zgartirish orqali yechilgan tenglamalar.
- Irratsionallik yoki maxraj tufayli ildizlarni qo'shimcha tanlashni talab qiladigan tenglamalar.
Oddiy qilib aytganda: agar qo'lga tushsangiz birinchi uch turdagi tenglamalardan biri, keyin o'zingizni omadli deb hisoblang. Ular uchun, qoida tariqasida, siz qo'shimcha ravishda ma'lum bir intervalga tegishli ildizlarni tanlashingiz kerak.
Agar siz 4-turdagi tenglamaga duch kelsangiz, unda siz kamroq omadlisiz: u bilan uzoqroq va ehtiyotkorlik bilan shug'ullanishingiz kerak, lekin ko'pincha bu ildizlarni qo'shimcha tanlashni talab qilmaydi. Shunga qaramay, men ushbu turdagi tenglamalarni keyingi maqolada tahlil qilaman va buni men birinchi uchta turdagi tenglamalarni echishga bag'ishlayman.
Faktorlarga ajratuvchi tenglamalar
Ushbu turdagi tenglamani hal qilish uchun eslash kerak bo'lgan eng muhim narsa
Amaliyot shuni ko'rsatadiki, qoida tariqasida, bu bilim etarli. Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik:
1-misol. Qisqartirish va ikki burchakli sinus formulalari yordamida faktorizatsiyaga tushirilgan tenglama
- Tenglamani yechish
- Ushbu tenglamaning kesim ustida joylashgan barcha ildizlarini toping
Bu erda, men va'da qilganimdek, kamaytirish formulalari ishlaydi:
Keyin mening tenglamam quyidagicha ko'rinadi:
Keyin mening tenglamam quyidagi shaklni oladi:
Qisqani ko'rmaydigan talaba aytishi mumkin: endi men ikkala tomonni ham qisqartiraman, eng oddiy tenglamani olaman va hayotdan zavqlanaman! Va u qattiq xato qiladi!
| ESDA OLING: TRIGONOMETRIK TENNGLAMANING Ikkala tomonini nomaʼlum FUNKSIYA BOʻLGAN HECH QACHON KISHAYTIRILA OLMAYSIZ! SHUNCHA SIZ ILDIZINGIZNI YO'qotasiz! |
Xo'sh, nima qilish kerak? Ha, hamma narsa oddiy, hamma narsani bir tomonga siljiting va umumiy omilni chiqarib tashlang:
Xo'sh, biz buni omillarga kiritdik, shoshiling! Endi qaror qilaylik:
Birinchi tenglamaning ildizlari bor:
Va ikkinchisi:
Bu muammoning birinchi qismini yakunlaydi. Endi siz ildizlarni tanlashingiz kerak:
Bo'shliq quyidagicha:
Yoki shunday yozilishi ham mumkin:
Keling, ildizlarni olaylik:
Birinchidan, keling, birinchi epizod bilan ishlaylik (va hech bo'lmaganda oddiyroq!)
Bizning intervalimiz butunlay salbiy bo'lgani uchun, salbiy bo'lmaganlarni olishning hojati yo'q, ular hali ham salbiy bo'lmagan ildizlarni beradi.
Qabul qilaylik, keyin - bu juda ko'p, u urmaydi.
Bo'lsin, keyin - men uni boshqa urmadim.
Yana bir urinib ko'ring - keyin - ha, tushundim! Birinchi ildiz topildi!
Men yana otaman: keyin yana urdim!
Xo'sh, yana bir bor: : - bu allaqachon parvoz.
Demak, birinchi qatordan intervalga tegishli 2 ta ildiz bor: .
Biz ikkinchi seriya bilan ishlayapmiz (biz qurmoqdamiz qoida bo'yicha hokimiyatga):
Pastga oling!
Yana sog'indim!
Yana sog'indim!
Tushundim!
Parvoz!
Shunday qilib, mening intervalim quyidagi ildizlarga ega:
Bu boshqa barcha misollarni hal qilishda foydalaniladigan algoritm. Keling, yana bir misol bilan birgalikda mashq qilaylik.
2-misol. Kamaytirish formulalari yordamida faktorlarga ajratilgan tenglama
- Tenglamani yeching
Yechim:
Yana mashhur qisqartirish formulalari:
Yana qisqartirishga urinmang!
Birinchi tenglamaning ildizlari bor:
Va ikkinchisi:
Endi yana ildizlarni qidirish.
Men ikkinchi qismdan boshlayman, men bu haqda hamma narsani oldingi misoldan bilaman! Ko'ring va intervalga tegishli ildizlar quyidagicha ekanligiga ishonch hosil qiling:
Endi birinchi qism va u oddiyroq:
Agar - mos
Agar bu ham yaxshi bo'lsa
Agar u allaqachon parvoz bo'lsa.
Keyin ildizlar quyidagicha bo'ladi:
Mustaqil ish. 3 ta tenglama.
Xo'sh, texnika sizga tushunarlimi? Trigonometrik tenglamalarni yechish endi unchalik qiyin emasmi? Keyin quyidagi muammolarni tezda o'zingiz hal qiling, keyin biz boshqa misollarni hal qilamiz:
- Tenglamani yeching
Ushbu tenglamaning intervaldan yuqorida joylashgan barcha ildizlarini toping. - Tenglamani yechish
Kesim tepasida joylashgan tenglamaning ildizlarini ko'rsating - Tenglamani yechish
Ushbu tenglamaning ular orasida joylashgan barcha ildizlarini toping.
Tenglama 1.
Va yana kamaytirish formulasi:
Ildizlarning birinchi seriyasi:
Ildizlarning ikkinchi seriyasi:
Biz bo'shliqni tanlashni boshlaymiz
Javob: , .
Tenglama 2. Mustaqil ishlarni tekshirish.
Faktorlarga juda qiyin guruhlash (men ikki burchakli sinus formulasidan foydalanaman):
keyin yoki
Bu umumiy yechim. Endi biz ildizlarni tanlashimiz kerak. Muammo shundaki, biz kosinusu to'rtdan biriga teng bo'lgan burchakning aniq qiymatini ayta olmaymiz. Shuning uchun, men shunchaki yoy kosinusidan xalos bo'lolmayman - bu sharmandalik!
Men nima qila olaman, shunday, shunday, keyin ekanligini aniqlash.
Jadval tuzamiz: interval:
Xo'sh, og'riqli qidiruvlar natijasida biz umidsizlikka uchragan xulosaga keldik, bizning tenglamamiz ko'rsatilgan intervalda bitta ildizga ega: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
Tenglama 3: Mustaqil ish testi.
Qo'rqinchli ko'rinishdagi tenglama. Biroq, buni ikki burchakli sinus formulasini qo'llash orqali oddiygina hal qilish mumkin:
Keling, uni 2 ga kamaytiraylik:
Keling, birinchi atamani ikkinchi, uchinchisini to'rtinchi bilan guruhlaymiz va umumiy omillarni chiqaramiz:
Birinchi tenglamaning ildizi yo'qligi aniq va endi ikkinchisini ko'rib chiqaylik:
Umuman olganda, men bunday tenglamalarni echish haqida biroz keyinroq to'xtalib o'tmoqchi edim, lekin u paydo bo'lganligi sababli, qiladigan hech narsa yo'q, men buni hal qilishim kerak ...
Shakl tenglamalari:
Ushbu tenglama ikkala tomonni quyidagiga bo'lish orqali hal qilinadi:
Shunday qilib, bizning tenglama bir qator ildizlarga ega:
Intervalga tegishli bo'lganlarni topishimiz kerak: .
Oldin qilganimdek yana jadval tuzamiz:
Javob: .
Tenglamalar shaklga keltiriladi:
Xo'sh, endi tenglamalarning ikkinchi qismiga o'tish vaqti keldi, ayniqsa, men yangi turdagi trigonometrik tenglamalarning yechimi nimadan iboratligini allaqachon to'kib tashlaganim uchun. Ammo takrorlash kerakki, tenglama shaklga ega
Ikkala tomonni kosinusga bo'lish yo'li bilan yechiladi:
- Tenglamani yechish
Kesim tepasida joylashgan tenglamaning ildizlarini ko'rsating. - Tenglamani yechish
Ular orasida joylashgan tenglamaning ildizlarini ko'rsating.
1-misol.
Birinchisi juda oddiy. O'ngga siljiting va ikki burchakli kosinus formulasini qo'llang:
Ha! Shakl tenglamasi: . Men ikkala qismni ham ajrataman
Biz ildiz skriningini qilamiz:
Bo'shliq:
Javob:
2-misol.
Hammasi ham juda ahamiyatsiz: keling, o'ngdagi qavslarni ochamiz:
Asosiy trigonometrik identifikatsiya:
Ikki burchakli sinus:
Nihoyat, biz olamiz:
Ildiz skriningi: interval.
Javob: .
Xo'sh, texnikani qanday yoqtirasiz, bu juda murakkab emasmi? Umid qilamanki, yo'q. Biz darhol rezervlashimiz mumkin: ularning sof shaklida, darhol tangens uchun tenglamaga tushadigan tenglamalar juda kam uchraydi. Odatda, bu o'tish (kosinus bo'yicha bo'linish) yanada murakkab muammoning faqat bir qismidir. Mana sizga mashq qilish uchun bir misol:
- Tenglamani yechish
- Ushbu tenglamaning kesim ustida joylashgan barcha ildizlarini toping.
Keling, tekshiramiz:
Tenglamani darhol yechish mumkin, buning uchun ikkala tomonni quyidagilarga bo'lish kifoya:
Ildiz skriningi:
Javob: .
Qanday bo'lmasin, biz hozirgina ko'rib chiqqan turdagi tenglamalarga duch kelmadik. Biroq, biz buni bir kun deb atashga hali erta: biz hal qilmagan yana bir "qatlam" tenglamalar qoldi. Shunday qilib:
Trigonometrik tenglamalarni o'zgaruvchilarni o'zgartirish orqali yechish
Bu erda hamma narsa shaffof: biz tenglamaga diqqat bilan qaraymiz, uni iloji boricha soddalashtiramiz, almashtirishni amalga oshiramiz, uni hal qilamiz, teskari almashtirishni amalga oshiramiz! Bir so'z bilan aytganda, hamma narsa juda oson. Keling, amalda ko'rib chiqaylik:
Misol.
- Tenglamani yeching: .
- Ushbu tenglamaning kesim ustida joylashgan barcha ildizlarini toping.
Xo'sh, bu erda almashtirishning o'zi bizga o'zini taklif qiladi!
Keyin bizning tenglamamiz shunday bo'ladi:
Birinchi tenglamaning ildizlari bor:
Ikkinchisi esa shunday:
Endi intervalga tegishli ildizlarni topamiz
Javob: .
Keling, biroz murakkabroq misolni birgalikda ko'rib chiqaylik:
- Tenglamani yechish
- Berilgan tenglamaning ildizlarini yuqorida ular orasida yotgan holda ko'rsating.
Bu erda almashtirish darhol ko'rinmaydi, bundan tashqari, bu juda aniq emas. Avval o'ylab ko'raylik: nima qilishimiz mumkin?
Biz, masalan, tasavvur qilishimiz mumkin
Va ayni paytda
Keyin mening tenglamam quyidagi shaklni oladi:
Va endi diqqat, diqqat:
Tenglamaning ikkala tomonini quyidagilarga ajratamiz:
To'satdan siz va men kvadrat tenglamaga egamiz! Keling, almashtiramiz, keyin biz olamiz:
Tenglama quyidagi ildizlarga ega:
Ildizlarning noxush ikkinchi seriyasi, lekin hech narsa qilish mumkin emas! Intervalda ildizlarni tanlaymiz.
Buni ham hisobga olishimiz kerak
O'shandan beri va keyin
Javob:
Muammolarni o'zingiz hal qilishdan oldin buni kuchaytirish uchun siz uchun yana bir mashq:
- Tenglamani yechish
- Ushbu tenglamaning ular orasida joylashgan barcha ildizlarini toping.
Bu erda siz ko'zingizni ochiq tutishingiz kerak: endi bizda nolga teng bo'lishi mumkin bo'lgan denominatorlar mavjud! Shuning uchun, ayniqsa, ildizlarga ehtiyot bo'lishingiz kerak!
Avvalo, mos almashtirishni amalga oshirishim uchun tenglamani qayta tartibga solishim kerak. Men tangensni sinus va kosinus nuqtai nazaridan qayta yozishdan ko'ra yaxshiroq narsani o'ylay olmayman:
Endi men asosiy trigonometrik identifikatsiyadan foydalanib, kosinusdan sinusga o'taman:
Va nihoyat, men hamma narsani umumiy maxrajga keltiraman:
Endi men tenglamaga o'tishim mumkin:
Lekin da (ya'ni, at).
Endi hamma narsa almashtirishga tayyor:
Keyin yoki
Biroq, e'tibor bering, agar bo'lsa, bir vaqtning o'zida!
Bundan kim azob chekadi? Tangens bilan bog'liq muammo shundaki, u kosinus nolga teng bo'lganda aniqlanmaydi (nolga bo'linish sodir bo'ladi).
Shunday qilib, tenglamaning ildizlari:
Endi biz oraliqda ildizlarni elakdan o'tkazamiz:
| - mos keladi | |
| - ortiqcha |
Shunday qilib, bizning tenglamamiz oraliqda bitta ildizga ega va u tengdir.
Ko'ryapsizmi: maxrajning ko'rinishi (xuddi tangens kabi, ildizlar bilan muayyan qiyinchiliklarga olib keladi! Bu erda siz ko'proq ehtiyot bo'lishingiz kerak!).
Xo'sh, siz va men trigonometrik tenglamalarni tahlil qilishni deyarli tugatdik; juda oz qoldi - ikkita muammoni mustaqil hal qilish. Mana ular.
- Tenglamani yeching
Ushbu tenglamaning kesim ustida joylashgan barcha ildizlarini toping. - Tenglamani yechish
Kesim tepasida joylashgan bu tenglamaning ildizlarini ko'rsating.
Qaror qildingizmi? Bu juda qiyin emasmi? Keling, tekshiramiz:
- Biz qisqartirish formulalari bo'yicha ishlaymiz:
Tenglamaga almashtiring:
O'zgartirishni osonlashtirish uchun keling, hamma narsani kosinuslar orqali qayta yozamiz:
Endi almashtirish oson:
Bu begona ildiz ekanligi aniq, chunki tenglamaning yechimlari yo'q. Keyin:
Biz intervalda kerakli ildizlarni qidiramiz
Javob: .
Bu erda almashtirish darhol ko'rinadi:Keyin yoki
- mos keladi! - mos keladi! - mos keladi! - mos keladi! - juda ko'p! - juda ko'p! Javob:
Xo'sh, hozir shunday! Ammo trigonometrik tenglamalarni echish shu bilan tugamaydi, biz eng qiyin holatlarda ortda qolamiz: tenglamalarda irratsionallik yoki turli xil "murakkab maxrajlar" mavjud bo'lganda. Biz ilg'or daraja uchun maqolada bunday vazifalarni qanday hal qilishni ko'rib chiqamiz.
ILG'IY DARAJA
Oldingi ikki maqolada muhokama qilingan trigonometrik tenglamalarga qo'shimcha ravishda, biz yanada sinchkovlik bilan tahlil qilishni talab qiladigan boshqa tenglamalar sinfini ko'rib chiqamiz. Ushbu trigonometrik misollar irratsionallik yoki maxrajni o'z ichiga oladi, bu ularni tahlil qilishni qiyinlashtiradi. Biroq, siz ushbu tenglamalarni imtihon qog'ozining C qismida uchratishingiz mumkin. Biroq, har bir bulutning kumush qoplamasi bor: bunday tenglamalar uchun, qoida tariqasida, uning ildizlaridan qaysi biri ma'lum bir intervalga tegishli ekanligi haqidagi savol endi ko'tarilmaydi. Keling, butaning atrofida urmaylik, lekin to'g'ridan-to'g'ri trigonometrik misollarga o'tamiz.
1-misol.
Tenglamani yeching va segmentga tegishli ildizlarni toping.
Yechim:
Bizda nolga teng bo'lmasligi kerak bo'lgan maxraj bor! U holda bu tenglamani yechish sistemani yechish bilan bir xil bo'ladi
Keling, har bir tenglamani hal qilaylik:
Va endi ikkinchisi:
Endi seriyani ko'rib chiqamiz:
Bu variant bizga mos kelmasligi aniq, chunki bu holda bizning maxrajimiz nolga qaytariladi (ikkinchi tenglamaning ildizlari formulasiga qarang)
Agar, unda hamma narsa tartibda va maxraj nolga teng emas! U holda tenglamaning ildizlari quyidagicha bo'ladi: , .
Endi biz intervalga tegishli ildizlarni tanlaymiz.
| - tog'ri kelmaydi | - mos keladi | |
| - mos keladi | - mos keladi | |
| haddan tashqari ko'p | haddan tashqari ko'p |
Keyin ildizlar quyidagicha bo'ladi:
Ko'ryapsizmi, hatto maxraj ko'rinishidagi kichik buzilishning paydo bo'lishi ham tenglamaning echimiga sezilarli ta'sir ko'rsatdi: biz maxrajni bekor qiladigan bir qator ildizlarni tashladik. Agar siz mantiqiy bo'lmagan trigonometrik misollarga duch kelsangiz, ishlar yanada murakkablashishi mumkin.
2-misol.
Tenglamani yeching:
Yechim:
Xo'sh, hech bo'lmaganda siz ildizlarni olib tashlashingiz shart emas va bu yaxshi! Keling, birinchi navbatda, irratsionallikdan qat'i nazar, tenglamani yechamiz:
Xo'sh, hammasi shumi? Yo'q, afsuski, bu juda oson bo'lardi! Esda tutishimiz kerakki, ildiz ostida faqat manfiy bo'lmagan raqamlar paydo bo'lishi mumkin. Keyin:
Bu tengsizlikning yechimi:
Endi birinchi tenglamaning ildizlarining bir qismi tasodifan tengsizlik bajarilmaydigan joyga tugaydimi yoki yo'qligini aniqlash kerak.
Buning uchun siz yana jadvaldan foydalanishingiz mumkin:
| : , Lekin | Yo'q! | |
| Ha! | ||
| Ha! |
Shunday qilib, mening ildizlarimdan biri "tushib ketdi"! Agar siz uni qo'ysangiz, chiqadi. Keyin javobni quyidagicha yozish mumkin:
Javob:
Ko'ryapsizmi, ildiz yanada ko'proq e'tibor talab qiladi! Keling, buni yanada murakkablashtiraylik: endi mening ildizim ostida trigonometrik funktsiya bo'lsin.
3-misol.
Avvalgidek: avval har birini alohida hal qilamiz, keyin nima qilganimiz haqida o‘ylaymiz.
Endi ikkinchi tenglama:
Endi eng qiyin narsa, agar u erda birinchi tenglamaning ildizlarini almashtirsak, arifmetik ildiz ostida salbiy qiymatlar olingan yoki yo'qligini aniqlashdir:
Raqamni radian deb tushunish kerak. Radian taxminan daraja bo'lganligi sababli, radyanlar darajalar tartibida. Bu ikkinchi chorakning burchagi. Ikkinchi chorak kosinusning belgisi nima? Minus. Sinus haqida nima deyish mumkin? Bundan tashqari. Xo'sh, ifoda haqida nima deyishimiz mumkin:
Bu noldan kam!
Bu tenglamaning ildizi emasligini anglatadi.
Endi vaqt keldi.
Keling, bu raqamni nol bilan taqqoslaylik.
Kotangent - 1 chorakda kamayuvchi funktsiya (argument qanchalik kichik bo'lsa, kotangens shunchalik katta bo'ladi). radianlar taxminan darajaga teng. Xuddi shu vaqtda
buyon, keyin va shuning uchun
,
Javob: .
Bu yanada murakkablashishi mumkinmi? Iltimos! Agar ildiz hali ham trigonometrik funktsiya bo'lsa va tenglamaning ikkinchi qismi yana trigonometrik funktsiya bo'lsa, qiyinroq bo'ladi.
Trigonometrik misollar qanchalik ko'p bo'lsa, quyida ko'ring:
4-misol.
Ildiz cheklangan kosinus tufayli mos emas
Endi ikkinchisi:
Shu bilan birga, ildizning ta'rifi bo'yicha:
Biz birlik doirasini esga olishimiz kerak: ya'ni sinus noldan kichik bo'lgan choraklarni. Bu kvartallar nima? Uchinchi va to'rtinchi. Keyin biz uchinchi yoki to'rtinchi chorakda joylashgan birinchi tenglamaning echimlari bilan qiziqamiz.
Birinchi seriya uchinchi va to'rtinchi choraklarning kesishmasida yotgan ildizlarni beradi. Ikkinchi qator - diametrik ravishda unga qarama-qarshi - birinchi va ikkinchi chorak chegarasida yotgan ildizlarni keltirib chiqaradi. Shuning uchun bu seriya biz uchun mos emas.
Javob: ,
Va yana "qiyin irratsionallik" bilan trigonometrik misollar. Bizda nafaqat trigonometrik funktsiya yana ildiz ostida, balki endi u maxrajda ham bor!
5-misol.
Xo'sh, hech narsa qilish mumkin emas - biz avvalgidek qilamiz.
Endi biz maxraj bilan ishlaymiz:
Men trigonometrik tengsizlikni yechmoqchi emasman, shuning uchun men ayyorlik qilaman: ildizlar qatorimni tengsizlikka almashtiraman:
Agar - juft bo'lsa, bizda:
chunki ko'rishning barcha burchaklari to'rtinchi chorakda yotadi. Va yana muqaddas savol: to'rtinchi chorakda sinusning belgisi nima? Salbiy. Keyin tengsizlik
Agar - g'alati bo'lsa, unda:
Burchak qaysi chorakda joylashgan? Bu ikkinchi chorakning burchagi. Keyin barcha burchaklar yana ikkinchi chorakning burchaklaridir. U erdagi sinus ijobiydir. Sizga kerak bo'lgan narsa! Shunday qilib, seriya:
Mos keladi!
Biz ildizlarning ikkinchi seriyasi bilan xuddi shu tarzda ishlaymiz:
Biz tengsizlikni almashtiramiz:
Agar - hatto, keyin
Birinchi chorak burchaklari. U erda sinus ijobiy, ya'ni seriya mos keladi. Endi agar - g'alati bo'lsa, unda:
ham mos keladi!
Xo'sh, endi biz javobni yozamiz!
Javob:
Xo'sh, bu, ehtimol, eng ko'p mehnat talab qiladigan ish edi. Endi men sizga o'zingiz hal qiladigan muammolarni taklif qilaman.
Trening
- Tenglamaning segmentga tegishli barcha ildizlarini yeching va toping.
Yechimlar:
Birinchi tenglama:
yoki
Ildizning ODZ:Ikkinchi tenglama:
Intervalga tegishli ildizlarni tanlash
Javob:
Yoki
yoki
Lekin
Keling, ko'rib chiqaylik: . Agar - hatto, keyin
- tog'ri kelmaydi!
Agar - g'alati bo'lsa,: - mos keladi!
Bu bizning tenglamamiz quyidagi ildiz qatoriga ega ekanligini anglatadi:
yoki
Intervalda ildizlarni tanlash:
| - tog'ri kelmaydi | - mos keladi | |
| - mos keladi | - juda ko'p | |
| - mos keladi | juda ko'p |
Javob: , .
Yoki
Shuning uchun tangens aniqlanmagan. Biz bu ildizlar seriyasini darhol yo'q qilamiz!
Ikkinchi qism:
Shu bilan birga, DZga ko'ra, bu talab qilinadi
Birinchi tenglamada topilgan ildizlarni tekshiramiz:
Agar belgi:
Tangens musbat bo'lgan birinchi chorak burchaklar. Tog'ri kelmaydi!
Agar belgi:
To'rtinchi chorak burchak. U erda tangens manfiy. Mos keladi. Javobni yozamiz:
Javob: , .
Biz ushbu maqolada murakkab trigonometrik misollarni birgalikda ko'rib chiqdik, ammo siz tenglamalarni o'zingiz hal qilishingiz kerak.
XULOSA VA ASOSIY FORMULALAR
Trigonometrik tenglama - bu noma'lum trigonometrik funktsiya belgisi ostida bo'lgan tenglama.
Trigonometrik tenglamalarni yechishning ikkita usuli mavjud:
Birinchi usul - formulalardan foydalanish.
Ikkinchi yo'l trigonometrik doiradan o'tadi.
Burchaklarni o'lchash, ularning sinuslari, kosinuslari va boshqalarni topish imkonini beradi.
Ko'pincha murakkablik darajasi yuqori bo'lgan muammolarga duch kelamiz modulli trigonometrik tenglamalar. Ularning aksariyati yechimga evristik yondashuvni talab qiladi, bu ko'pchilik maktab o'quvchilari uchun mutlaqo notanishdir.
Quyida taklif qilingan muammolar sizni modulli trigonometrik tenglamalarni yechishning eng tipik usullari bilan tanishtirishga qaratilgan.
Masala 1. 1 + 2sin x |cos x| tenglamaning eng kichik musbat va eng katta manfiy ildizlarining farqini (darajalarda) toping. = 0.
Yechim.
Keling, modulni kengaytiramiz:
1) Agar cos x ≥ 0 bo'lsa, u holda dastlabki tenglama 1 + 2sin x cos x = 0 ko'rinishini oladi.
Ikki burchakli sinus formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
1 + sin 2x = 0; gunoh 2x = -1;
2x = -p/2 + 2pn, n € Z;
x = -p/4 + pn, n € Z. cos x ≥ 0 bo'lgani uchun, u holda x = -p/4 + 2pk, k € Z.
2) cos x bo'lsa< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – sin 2x = 0; gunoh 2x = 1;
2x = p/2 + 2pn, n € Z;
x = p/4 + pn, n € Z. Chunki cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) tenglamaning eng katta manfiy ildizi: -p/4; tenglamaning eng kichik musbat ildizi: 5p/4.
Kerakli farq: 5p/4 – (-p/4) = 6p/4 = 3p/2 = 3 180°/2 = 270°.
Javob: 270°.
Masala 2. |tg x| tenglamaning eng kichik musbat ildizini toping (graduslarda). + 1/cos x = tan x.
Yechim.
Keling, modulni kengaytiramiz:
1) Agar tan x ≥ 0 bo'lsa, u holda
tan x + 1/cos x = tan x;
Olingan tenglamaning ildizlari yo'q.
2) Agar tg x bo'lsa< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 va cos x ≠ 0.
1-rasm va tg x shartidan foydalanish< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) tenglamaning eng kichik musbat ildizi 5p/6 ga teng. Keling, ushbu qiymatni darajaga aylantiramiz:
5p/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Javob: 150°.
Masala 3. sin |2x| tenglamaning turli ildizlari sonini toping = [-p/2 oraliqda cos 2x; p/2].
Yechim.
Tenglamani sin|2x| ko'rinishda yozamiz – cos 2x = 0 va y = sin |2x| funksiyasini hisobga oling - chunki 2x. Funktsiya juft bo'lgani uchun, biz x ≥ 0 uchun uning nollarini topamiz.
sin 2x – cos 2x = 0; Tenglamaning ikkala tomonini cos 2x ≠ 0 ga bo'lamiz, biz quyidagilarga erishamiz:
tg 2x – 1 = 0;
2x = p/4 + pn, n € Z;
x = p/8 + pn/2, n € Z.
Funksiyaning paritetidan foydalanib, biz asl tenglamaning ildizlari shakl raqamlari ekanligini aniqlaymiz
± (p/8 + pn/2), bu erda n € Z.
Interval [-p/2; p/2] sonlarga tegishli: -p/8; p/8.
Demak, tenglamaning ikkita ildizi berilgan intervalga tegishli.
Javob: 2.
Ushbu tenglamani modulni ochish orqali ham hal qilish mumkin.
Masala 4. [-p oraliqda sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x tenglamaning ildizlari sonini toping; 2p].
Yechim.
1) 2cos x – 1 > 0 bo'lgan holatni ko'rib chiqing, ya'ni. cos x > 1/2 bo'lsa, tenglama quyidagi shaklni oladi:
sin x – gunoh 2 x = gunoh 2 x;
sin x – 2sin 2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 yoki 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 yoki sin x = 1/2.
2-rasm va cos x > 1/2 shartidan foydalanib, tenglamaning ildizlarini topamiz:
x = p/6 + 2pn yoki x = 2pn, n € Z.
2) 2cos x – 1 bo'lgan holatni ko'rib chiqing< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
gunoh x + gunoh 2 x = gunoh 2 x;
x = 2pn, n € Z.
2-rasm va cos x shartidan foydalanish< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Ikki holatni birlashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
x = p/6 + 2pn yoki x = pn.
3) oraliq [-p; 2p] ildizlarga tegishli: p/6; -p; 0; p; 2p.
Shunday qilib, berilgan interval tenglamaning beshta ildizini o'z ichiga oladi.
Javob: 5.
Masala 5. (x – 0,7) tenglamaning ildizlari sonini toping 2 |sin x| + sin x = 0 [-p oraliqda; 2p].
Yechim.
1) Agar sin x ≥ 0 bo'lsa, asl tenglama (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0 ko'rinishini oladi. Sin x umumiy koeffitsientini qavslar ichidan chiqarganimizdan so'ng:
sin x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; chunki (x - 0,7) 2 + 1 > 0 barcha haqiqiy x uchun, keyin sinx = 0, ya'ni. x = pn, n € Z.
2) Agar sin x bo'lsa< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 yoki (x – 0,7) 2 + 1 = 0. sin x bo'lgani uchun< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0,7 = 1 yoki x – 0,7 = -1, ya’ni x = 1,7 yoki x = -0,3.
Sinx shartini hisobga olgan holda< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, bu faqat -0,3 raqami asl tenglamaning ildizi ekanligini anglatadi.
3) oraliq [-p; 2p] sonlarga tegishli: -p; 0; p; 2p; -0,3.
Shunday qilib, tenglama berilgan oraliqda beshta ildizga ega.
Javob: 5.
Siz Internetda mavjud bo'lgan turli xil o'quv manbalaridan foydalangan holda darslar yoki imtihonlarga tayyorgarlik ko'rishingiz mumkin. Hozirda har kim 
Inson shunchaki yangi axborot texnologiyalaridan foydalanishi kerak, chunki ulardan to'g'ri va eng muhimi, to'g'ri foydalanish mavzuni o'rganishda motivatsiyani oshirishga yordam beradi, qiziqishni oshiradi va kerakli materialni yaxshiroq o'zlashtirishga yordam beradi. Ammo unutmangki, kompyuter sizni fikrlashga o'rgatmaydi, olingan ma'lumotni qayta ishlash, tushunish va eslab qolish kerak. Shuning uchun, yordam uchun onlayn o'qituvchilarimizga murojaat qilishingiz mumkin, ular sizni qiziqtirgan muammolarni qanday hal qilishni aniqlashga yordam beradi.
Hali ham savollaringiz bormi? Trigonometrik tenglamalarni yechishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!
veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.