Як побудувати параболу чи квадратичну функцію?
ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА
Парабола — це графік функції, описаний формулою ax 2 +bx+c=0.
Щоб побудувати параболу потрібно слідувати простому алгоритму дій:
1) Формула параболи y=ax 2 +bx+c,
якщо а>0то гілки параболи направлені вгору,
а то гілки параболи спрямовані вниз.
Вільний член cця точка перетинається параболи з віссю OY;
2) , її знаходять за формулою x=(-b)/2aзнайдений x підставляємо в рівняння параболи і знаходимо y;
3)Нулі функціїабо інакше точки перетину параболи з віссю OX вони ще називаються корінням рівняння. Щоб знайти коріння ми рівняння прирівнюємо до 0 ax 2 +bx+c=0;
Види рівнянь:
a) Повне квадратне рівняння має вигляд ax 2 +bx+c=0і вирішується за дискримінантом;
b) Неповне квадратне рівняння виду ax 2 + bx = 0.Щоб його вирішити, потрібно винести х за дужки, потім кожен множник прирівняти до 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 та ax+b=0;
c)Неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0.Щоб його вирішити, потрібно невідомі перенести в один бік, а відомі в інший. x =±√(c/a);
4) Знайти кілька додаткових точок для побудови функції.
ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
І так тепер на прикладі розберемо все за діями:
Приклад №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 означає парабола перетинає OY у точці х=0 у=3. Гілки параболи дивляться нагору оскільки а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 вершина знаходиться у точці (-2;-1)
Знайдемо коріння рівняння x2+4x+3=0
За дискримінантом знаходимо коріння
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3
Візьмемо кілька довільних точок, що знаходяться поруч із вершиною х=-2
х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3
Підставляємо замість х рівняння y=x 2 +4x+3 значення
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно за значеннями функції, що парабола симетрична щодо прямої х = -2
Приклад №2:
y=-x 2 +4x
c=0 означає парабола перетинає OY у точці х=0 у=0. Гілки параболи дивляться вниз оскільки а=-1 -1 Знайдемо коріння рівняння -x 2 +4x=0
Неповне квадратне рівняння виду ax2+bx=0. Щоб його вирішити, потрібно винести х за дужки, потім кожен множник прирівняти до 0.
х(-x+4)=0, х=0 та x=4.
Візьмемо кілька довільних точок, що знаходяться поруч із вершиною х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Підставляємо замість х рівняння y=-x 2 +4x значення
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно за значеннями функції, що парабола симетрична щодо прямої х = 2
Приклад №3
y=x 2 -4
c=4 означає парабола перетинає OY у точці х=0 у=4. Гілки параболи дивляться нагору оскільки а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина знаходиться в точці (0;-4 )
Знайдемо коріння рівняння x 2 -4 = 0
Неповне квадратне рівняння виду ax2+c=0. Щоб його вирішити, потрібно невідомі перенести в один бік, а відомі в інший. x =±√(c/a)
x 2 = 4
x 1 =2
x 2 =-2
Візьмемо кілька довільних точок, що знаходяться поруч із вершиною х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Підставляємо замість х рівняння y= x 2 -4 значення
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно за значеннями функції, що парабола симетрична щодо прямої х = 0
Підписуйтесь на канал на YOUTUBEщоб бути в курсі всіх новинок і готується з нами до іспитів.
ОПР 1.Параболою називається геометричне місце точок на площині, відстані від яких до деякої точки, яка називається фокусом, і до деякої прямої, званої директрисою, рівні.
Для виведення рівняння параболи введемо на площині прямокутну систему координат так, щоб вісь абсцис проходила через фокус перпендикулярно до директриси, і вважатимемо її позитивним напрямком напрямок від директриси до фокусу. Початок координат розташуємо посередині між фокусом та директрисою. Виведемо рівняння параболи у вибраній системі координат.
Нехай М ( х; у) – довільна точка площини.
Позначимо через rвідстань від точки М до фокусу F, нехай r= FM,
через d- Відстань від точки до директорки, а через рвідстань від фокусу до директорки.
Величину рназивають параметром параболи, його геометричний зміст розкрито далі.
Точка М лежатиме на цій параболі в тому і тільки в тому випадку, коли r = d.
У цьому випадку маємо
Рівняння
y 2 = 2 p x
називається канонічним рівнянням параболи .
Властивості параболи
1. Парабола проходить через початок координат, т.к. координати початку координат задовольняють рівняння параболи.
2. Парабола симетрична щодо осі ОХ, т.к. точки з координатами ( x, y) та ( x, − y) задовольняють рівняння параболи.
3. Якщо р> 0, то гілки параболи спрямовані праворуч і парабола перебуває у правій полуплоскости.
4. Точка О називається вершиною параболи, вісь симетрії (вісь Ох) - віссю параболи.
Параболою називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки F
та заданої прямої dd, що не проходить через задану точку. Це геометричне визначення висловлює директоріальна властивість параболи.
Директоріальна властивість парабол
Точка F називається фокусом параболи, пряма d - директрисою параболи, середина O перпендикуляра, опущеного з фокусу на директрису, - вершиною параболи, відстань p від фокусу до директриси - параметром параболи, а відстань p2від вершини параболи до її фо. Пряма, перпендикулярна директрисі і проходить через фокус, називається віссю параболи (фокальною віссю параболи). Відрізок FM, що з'єднує довільну точку M параболи з її фокусом, називається фокальним радіусом точки
M. Відрізок, що з'єднує дві точки параболи, називається хордою параболи.
Для довільної точки параболи відношення відстані до фокусу до відстані до директриси дорівнює одиниці. Порівнюючи директоріальні властивості еліпса, гіперболи та параболи, укладаємо, що ексцентриситет параболиза визначенням дорівнює одиниці
Геометричне визначення параболи, що виражає її директоріальне властивість, еквівалентно її аналітичному визначенню - лінії, що задається канонічним рівнянням параболи:
Властивості
- Вона має вісь симетрії, званої віссю параболи. Вісь проходить через фокус і вершину перпендикулярно до директриси.
- Оптична властивість. Пучок променів, паралельних осі параболи, відбиваючись у параболі, збирається у її фокусі. І навпаки, світло від джерела, що у фокусі, відбивається параболою в пучок паралельних її осі променів.
- Якщо фокус параболи відобразити щодо дотичної, його образ лежатиме на директрисі.
- Відрізок, що з'єднує середину довільної хорди параболи і точку перетину дотичних до неї в кінцях цієї хорди, перпендикулярний директрисі, а його середина лежить на параболі.
- Парабола є прямою антиподерою.
- Усі параболи подібні. Відстань між фокусом та директрисою визначає масштаб.
Функція однієї дійсної змінної: основні поняття, приклади.
Визначення: Якщо кожному значенню х числової множини X за правилом f відповідає однина множини Y, то кажуть, що на числовій множині X задана функція у = f(x), значення х визначаються безліччю значень, що входять в область визначення функції (Х) .
І тут х називається аргументом, а у - значенням функції. Безліч X називається областю визначення функції, Y - безліччю значень функції.
Часто задають це правило формулою; наприклад, у = 2х + 5. Зазначений спосіб завдання функції за допомогою формули називається аналітичним.
Функцією можна задати графіком - Графіком функції у - f(x) називається безліч точок площини, координати х, у яких задовольняють співвідношенню у = f(x).
Парабола - це нескінченна крива, яка складається з точок, рівновіддалених від заданої прямої, званої директрис параболи, і заданої точки - фокусу параболи. Парабола є конічним перетином, тобто перетин площини і кругового конуса.
У загальному вигляді математичне рівняння параболи має вигляд: y=ax^2+bx+c, де a не дорівнює нулю, b відображає усунення графіка функції по горизонталі щодо початку координат, а c - вертикальне усунення графіка функції щодо початку координат. При цьому, якщо a>0, то при побудові графіка будуть спрямовані вгору, а у випадку, якщо aВластивості параболи
Парабола - це крива другого порядку, яка має вісь симетрії, що проходить через фокус параболи та перпендикулярну до директриси параболи.
Парабола має особливу оптичну властивість, що полягає у фокусування паралельних щодо осі її симетрії світлових променів, спрямованих у параболу, у вершині параболи і розфокусування пучка світла, спрямованого у вершину параболи, в паралельні світлові промені відносної тієї ж осі.
Якщо відбиток параболи щодо будь-якої дотичної, то образ параболи виявиться її директрисі. Усі параболи подібні між собою, тобто для кожних двох точок A і B однієї параболи, знайдуться точки A1 і B1, котрим правильне твердження |A1,B1| = |A,B|*k, де k – коефіцієнт подоби, що у чисельному значенні завжди більше нуля.
Прояв параболи у житті
Деякі космічні тіла, такі як комети або астероїди, що проходять поблизу великих космічних об'єктів на високій швидкості, мають траєкторію руху у формі параболи. Ця властивість малих космічних тіл використовується під час гравітаційних маневрів космічних кораблів.
Для тренувань майбутніх космонавтів на землі проводяться спеціальні польоти літаків по траєкторії параболи, чим досягається ефект невагомості в гравітаційному полі землі.
У побуті параболи можна зустріти у різних освітлювальних приладах. Це з оптичною властивістю параболи. Одним із останніх способів застосування параболи, заснованих на її властивостях фокусування та розфокусування світлових променів, стали сонячні батареї, які все більше входять у сферу енергопостачання у південних регіонах Росії.