|
L'Hopital'in kuralı |
|
L'Hopital'in kuralı veya türünde belirsizliğe sahip limitlerin hesaplanmasına yönelik bir yöntemdir. İzin vermek A sonlu bir gerçek sayıdır veya sonsuza eşittir. L'Hopital kuralı aşağıdaki gibi belirsizliklere de uygulanabilir:
İlk iki belirsizlik türe göre veya cebirsel dönüşümlerle azaltılabilir. |
|
İlişki kullanılarak belirsizlikler türe indirgenir |
|
L'Hopital kuralı tek taraflı limitler için de geçerlidir. Örnek 1 Limiti hesaplayın. |
|
Çözüm. |
|
L'Hopital kuralı tek taraflı limitler için de geçerlidir. Örnek 1 Pay ve paydanın farklılığını alarak limitin değerini buluruz: |
|
Örnek 2 |
|
Doğrudan ikame tür belirsizliğine yol açtığından L'Hopital kuralını uyguluyoruz. Örnek 1 Örnek 3 |
|
Limiti hesapla |
|
Burada tür belirsizliğiyle uğraşıyoruz. Örnek 1 Basit dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz:
|
|
Örnek 4 |
|
Burada tür belirsizliğiyle uğraşıyoruz. Örnek 1 Limiti bulun. L'Hopital kuralını kullanarak şunu yazabiliriz: |
|
Örnek 5 |
.
.
Burada tür belirsizliğiyle karşılaşıyoruz.
belirtelim. Logaritma aldıktan sonra şunu elde ederiz:(1667-1748) Basel Üniversitesi'nden başarıyla mezun olduktan sonra Avrupa'yı dolaşarak 1690'da Paris'e geldi. Filozof Nicolas Malebranche'nin (1638-1715) edebiyat salonunda Johann, Fransız matematikçi Marquis Guillaume François Antoine de L'Hôpital (1661-1704) ile tanıştı. Canlı bir sohbet sırasında L'Hopital, genç Bernoulli'nin yeni matematikteki zor problemleri "oynuyormuş gibi" bu kadar kolay çözdüğünü görünce şaşırdı. Bu nedenle L'Hopital ondan birkaç ders vermesini istedi. L'Hopital sözlü sohbetleri beğendi ve makul bir ücret karşılığında yazılı materyaller almaya başladı. Belirsizliklerin ifşa edilmesine ilişkin artık iyi bilinen “L'Hopital kuralının” da kendisine Johann tarafından iletildiğini unutmayın. Zaten 1696'da, L'Hopital'in ünlü incelemesi “Eğri Çizgilerin Anlaşılması için Sonsuz Küçüklerin Analizine Giriş” ortaya çıktı. Kursun Johann I Bernoulli tarafından sunulan ikinci kısmı yalnızca 1742'de yayınlandı ve adı “İntegrallerin yöntemi ve diğerleri üzerine matematiksel dersler; ünlü Hastane Markisi için yazılmış; 1691-1692 yılları.” 1921'de, orijinalleri 1691-1692'de L'Hopital'e aktarılan Johann I Bernoulli'nin el yazısıyla yazılmış derslerin el yazısıyla yazılmış kopyaları keşfedildi. Bunlardan bilim adamları beklenmedik bir şekilde Loptal'ın "Analiz"inde genç öğretmeninin derslerinden neredeyse hiç sapmadığını keşfettiler.
Teorem (Cauchy). ve fonksiyonları ve üzerinde sürekli ve türevlenebilir olsun. Daha sonra :
Kanıt.İşlevi düşünün
Rolle teoreminin tüm koşullarının sağlanacağı şekilde seçim yapalım; .
Rolle teoremine göre:
L'Hopital'in ilk kuralı
Tanım. Sürekli olan fonksiyonlar, diferansiyellenebilir olsun ve olsun. İzin vermek . O halde, at ilişkisinin biçimin belirsizliğini temsil ettiğini söyleriz.
Teorem.
Cauchy teoremini şu segmente uygulayalım: Mevcut:
ve bu nedenle,
Bu şu anlama geliyor 
.
Sonsuz olması durumunda eşitsizliğin (1) yerine
işaretine bağlı olarak. Kanıtın geri kalanı değişmeden kalır.
L'Hopital'in ikinci kuralı
Tanım. Fonksiyonlar ve'de sürekli ve türevlenebilir olsun. İzin vermek . O halde, at ilişkisinin biçimin belirsizliğini temsil ettiğini söyleriz.
Teorem. Belirtilen koşullar altında varsa
Kanıt. Tabii ki olsun. Seçerek: eşitsizlik aralıkta kalır
Koşuldan fonksiyonu tanımlayalım
. Cauchy teoremini segmente uygulayalım. Orada olduğunu anlıyoruz:
Kimler için
Keyfi olarak küçük olduğundan, o zaman
Eşitsizliğin (2) ile değiştirilmesi durumunda
ve eşitsizlik (4) – eşitsizliğe
, (3)'e yeterince yakın bir yerde gerçekleşiyor.
Dava aynı şekilde ele alınır.
Çözüm çevrimiçi işlev sınırları. Bir fonksiyonun veya fonksiyonel dizinin bir noktadaki sınırlayıcı değerini bulun, hesaplayın nihai fonksiyonun sonsuzdaki değeri. bir sayı serisinin yakınsaklığının belirlenmesi ve çok daha fazlası çevrimiçi hizmetimiz sayesinde yapılabilir -. İşlev sınırlarını çevrimiçi olarak hızlı ve doğru bir şekilde bulmanızı sağlıyoruz. Siz fonksiyon değişkenini ve onun yöneldiği limiti kendiniz girersiniz ve hizmetimiz sizin için tüm hesaplamaları yaparak doğru ve basit bir cevap verir. Ve için sınırı çevrimiçi bulma değişmez ifadede hem sayısal serileri hem de sabitleri içeren analitik fonksiyonları girebilirsiniz. Bu durumda fonksiyonun bulunan limiti bu sabitleri ifadede sabit argümanlar olarak içerecektir. Hizmetimiz her türlü karmaşık bulma sorununu çözer çevrimiçi sınırlar, fonksiyonu ve hesaplamanın gerekli olduğu noktayı belirtmek yeterlidir fonksiyonun sınır değeri. Hesaplanıyor çevrimiçi sınırlar ile elde edilen sonucu kontrol ederken bunları çözmek için çeşitli yöntem ve kuralları kullanabilirsiniz. çevrimiçi sınırları çözme www.sitede görevin başarıyla tamamlanmasına yol açacak - kendi hatalarınızdan ve yazım hatalarınızdan kaçınacaksınız. Veya fonksiyonun limitini bağımsız olarak hesaplamak için ekstra çaba ve zaman harcamadan, bize tamamen güvenebilir ve sonucumuzu çalışmanızda kullanabilirsiniz. Sonsuzluk gibi sınır değerlerin girilmesine izin veriyoruz. Bir sayı dizisinin ortak bir üyesini girmek gerekir ve www.site değerini hesaplayacak çevrimiçi sınırlama artı veya eksi sonsuza.
Matematiksel analizin temel kavramlarından biri fonksiyon sınırı Ve dizi sınırı bir noktada ve sonsuzda doğru çözebilmek önemlidir sınırlar. Hizmetimizle bu zor olmayacak. Bir karar verildi çevrimiçi sınırlar Birkaç saniye içinde cevap doğru ve eksiksiz olur. Matematiksel analiz çalışması şu şekilde başlar: sınıra geçiş, sınırlar yüksek matematiğin hemen hemen tüm alanlarında kullanılır, bu nedenle elinizin altında bir sunucunun olması faydalıdır. çevrimiçi limit çözümleri, matematikam.ru'dur.
Talimatlar
Limitlerin doğrudan hesaplanması, her şeyden önce, Q ve R'nin polinom olduğu rasyonel Qm(x)/Rn(x) limitleriyle ilişkilidir. Limit x →a (a bir sayıdır) şeklinde hesaplanırsa belirsizlik ortaya çıkabilir. Bunu ortadan kaldırmak için pay ve paydayı (x-a)'ya bölün. Belirsizlik ortadan kalkana kadar işlemi tekrarlayın. Polinomların bölünmesi neredeyse sayıların bölünmesiyle aynı şekilde gerçekleştirilir. Bölme ve çarpmanın ters işlemler olduğu gerçeğine dayanmaktadır. Bir örnek Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.
Birinci dikkate değer limitin uygulanması. İlk dikkate değer limitin formülü Şekil 2'de gösterilmektedir. 2a. Bunu kullanmak için örnek ifadenizi uygun forma dönüştürün. Bu her zaman tamamen cebirsel olarak veya bir değişkeni değiştirerek yapılabilir. Önemli olan sinüs kx ise paydanın da kx olduğunu unutmamaktır. Bir örnek Şekil 2'de gösterilmektedir. 2e.Ayrıca tgx=sinx/cosx, cos0=1 olduğunu hesaba katarsak sonuç olarak ortaya çıkar (bkz. Şekil 2b). arcsin(sinx)=x ve arctg(tgx)=x. Dolayısıyla iki sonuç daha var (Şekil 2c. ve 2d). Oldukça geniş bir yöntem yelpazesi ortaya çıktı.
İkinci limitin kullanımı dikkat çekicidir (bkz. Şekil 3a). Bu tip limitler, tipteki belirsizlikleri ortadan kaldırmak için kullanılır. Karşılık gelen problemleri çözmek için koşulu, limit türüne karşılık gelen bir yapıya dönüştürmek yeterlidir. Zaten bir dereceye kadar olan bir ifadeyi bir kuvvete yükseltirken üslerinin çarpıldığını unutmayın. İlgili bir örnek Şekil 2'de gösterilmektedir. 2e. α=1/х değişimini uygulayın ve ikinci dikkate değer limitin sonucunu elde edin (Şekil 2b). Bu sonucun her iki tarafının a tabanına göre logaritmasını alarak, a = e dahil olmak üzere ikinci sonuca ulaşacaksınız (bkz. Şekil 2c). Değiştirmeyi a^x-1=y yapın. Daha sonra x=log(a)(1+y) olur. X sıfıra doğru giderken y de sıfıra doğru yönelir. Bu nedenle üçüncü bir sonuç ortaya çıkar (bkz. Şekil 2d).
Eşdeğer sonsuz küçüklerin uygulanması. Sonsuz küçük fonksiyonlar, eğer α(x)/γ(x) oranlarının limiti bire eşitse, x →a olarak eşdeğerdir. Bu tür sonsuz küçükleri kullanarak limitleri hesaplarken, basitçe γ(x)=α(x)+o(α(x)) yazın. o(α(x)) α(x)'ten daha yüksek düzeyde küçüklüğe sahip sonsuz küçüktür. Bunun için lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Eşdeğerliği bulmak için aynı harika limitleri kullanın. Yöntem, sınırları bulma sürecini önemli ölçüde basitleştirmemize ve onu daha şeffaf hale getirmemize olanak tanır.
Gözleri şişkin bir serçe sürüsü hayal edin. Hayır, bu bir gök gürültüsü değil, bir kasırga değil, hatta elinde sapan taşıyan küçük bir çocuk bile değil. Sadece çok büyük bir gülle civcivlerin en kalın kısmına doğru uçuyor. Bu doğru L'Hopital'in kuralları belirsizliğin veya .
L'Hôpital'in kuralları, bu belirsizlikleri hızlı ve etkili bir şekilde ortadan kaldırmanıza olanak tanıyan çok güçlü bir yöntemdir; problemler, testler ve testler koleksiyonlarında sıklıkla sabit bir damga bulmanız tesadüf değildir: “limiti hesapla, L'Hopital kuralını kullanmadan" Kalın harflerle vurgulanan gereklilik, herhangi bir ders sınırına gönül rahatlığıyla uygulanabilir. Sınırlar. Çözüm örnekleri, Harika Sınırlar. Sınırları çözme yöntemleri, Dikkat çekici eşdeğerlikler"sıfırdan sıfıra" veya "sonsuzdan sonsuza" belirsizliğinin oluştuğu yer. Görev kısaca formüle edilmiş olsa bile - "sınırları hesapla", L'Hopital'in kurallarını değil, her şeyi kullanacağınız zımnen anlaşılıyor.
Toplamda iki kural vardır ve bunlar hem özünde hem de uygulama yönteminde birbirine çok benzer. Konuyla ilgili doğrudan örneklere ek olarak, matematiksel analizin ilerideki çalışmalarında faydalı olacak ek materyaller de inceleyeceğiz.
Kuralların kısa ve öz bir "pratik" biçimde sunulması için hemen rezervasyon yapacağım ve eğer teori testine girmeniz gerekiyorsa, daha titiz hesaplamalar için ders kitabına dönmenizi tavsiye ederim.
L'Hopital'in ilk kuralı
olan fonksiyonları ele alalım. sonsuz küçük bir noktada. Eğer ilişkilerinin bir sınırı varsa belirsizliği ortadan kaldırmak için şunları yapabiliriz: iki türevler- paydan ve paydadan. Bu durumda: 
yani.
Not : Limitin de mevcut olması gerekir, aksi halde kural geçerli değildir.
Yukarıdakilerden ne sonuç çıkıyor?
Öncelikle bulabilmeniz gerekir fonksiyonların türevleri ve ne kadar iyi olursa o kadar iyi =)
İkinci olarak türevler paydan AYRI, paydadan AYRI alınır. Lütfen bölümlerin farklılaşması kuralını karıştırmayın 
!!!
Üçüncüsü, "X" belirsizlik olduğu sürece sonsuza kadar herhangi bir yere yönelebilir.
İlk makaledeki Örnek 5'e dönelim sınırlar hakkında, aşağıdaki sonucu üretti: 
0:0 belirsizliğine L'Hopital'in ilk kuralını uyguluyoruz:
Gördüğünüz gibi pay ve paydanın farklılaşması bizi yarım turda cevaba götürdü: iki basit türev bulduk, içlerindeki “iki”yi yerine koyduk ve belirsizliğin iz bırakmadan ortadan kaybolduğu ortaya çıktı!
L'Hopital kurallarının art arda iki veya daha fazla kez uygulanması alışılmadık bir durum değildir (bu ikinci kural için de geçerlidir). Retro bir akşam için dışarı çıkaralım Ders Örneği 2 harika sınırlar hakkında:
İki simit yine ranzada soğuyor. L'Hopital kuralını uygulayalım: 
Lütfen ilk adımda paydanın alındığını unutmayın. karmaşık bir fonksiyonun türevi. Bundan sonra bir takım ara sadeleştirmeler yapıyoruz, özellikle birlik eğiliminde olduğunu belirten kosinüsden kurtuluyoruz. Belirsizlik ortadan kaldırılmadığından L'Hopital kuralını tekrar uyguluyoruz (ikinci satır).
Küçük bir kendi kendine test yapabilmeniz için kasıtlı olarak o kadar basit olmayan bir örnek seçtim. Nasıl bulundukları tam olarak belli değilse türevler, farklılaşma tekniğinizi güçlendirmelisiniz, eğer kosinüs numarası net değilse lütfen geri dönün. dikkate değer sınırlar. Türevler ve limitler hakkında zaten yeterince detaylı konuştuğum için adım adım yorum yapmanın pek bir manasını göremiyorum. Makalenin yeniliği kuralların kendisinde ve bazı teknik çözümlerde yatmaktadır.
Daha önce de belirtildiği gibi, çoğu durumda L'Hopital kurallarının kullanılmasına gerek yoktur, ancak genellikle çözümün kabaca kontrol edilmesi için kullanılması tavsiye edilir. Sık sık ama her zaman değil. Yani, örneğin, az önce ele alınan örneği incelemek çok daha karlı harika eşdeğerlikler.
L'Hopital'in ikinci kuralı
Kardeş-2 iki uyuyan sekizliyle savaşır. Aynı şekilde:
İlişki sınırı varsa sonsuz büyüklükte fonksiyon noktasında: , belirsizliği ortadan kaldırmak için şunu alabiliriz: iki türev– Paydan AYRI ve paydadan AYRI. Bu durumda: 
yani pay ve paydanın farklılığını alırken limitin değeri değişmez.
Not : Bir sınır olmalı
Yine çeşitli pratik örneklerle anlamı farklı olabilir sonsuz dahil. Belirsizliğin olması önemli.
İlk dersin 3 numaralı örneğini kontrol edelim: 
. L'Hopital'in ikinci kuralını kullanıyoruz:
Devlerden bahsettiğimize göre iki kanonik sınıra bakalım:
Örnek 1
Limiti hesapla
“Geleneksel” yöntemlerle yanıt almak kolay olmadığından, “sonsuzdan sonsuza” belirsizliğini ortaya çıkarmak için L'Hopital kuralını kullanıyoruz: 
Böylece, Tabanı birden büyük olan logaritmadan daha yüksek büyüme derecesine sahip doğrusal fonksiyon(vesaire.). Elbette daha yüksek güçlerdeki “X'ler” de bu tür logaritmaları “çekecektir”. Aslında fonksiyon oldukça yavaş büyüyor ve takvim aynı “X”e göre daha düzdür.
Örnek 2
Limiti hesapla
Başka bir tanıdık çekim. Belirsizliği ortadan kaldırmak için L'Hopital kuralını art arda iki kez kullanıyoruz:
Tabanı birden büyük olan üstel fonksiyon(vesaire.) Pozitif dereceli bir güç fonksiyonundan daha yüksek büyüme sırası.
Benzer sınırlarla şu durumlarda karşılaşılır: tam fonksiyon çalışması yani, bulduğunuzda grafiklerin asimptotları. Bazı görevlerde de fark edilirler olasılık teorisi. Tartışılan iki örneği dikkate almanızı tavsiye ederim; bu, pay ve paydayı ayırt etmekten daha iyi bir şeyin olmadığı birkaç durumdan biridir.
Metinde ayrıca L'Hôpital'in birinci ve ikinci kuralları arasında ayrım yapmayacağım; bu sadece makaleyi yapılandırmak amacıyla yapıldı. Genel olarak benim açımdan matematiksel aksiyomları, teoremleri, kuralları, özellikleri aşırı sayıda kullanmak biraz zararlıdır, çünkü “Teorem 19'un Sonuç 3'üne göre…” gibi ifadeler yalnızca belirli bir ders kitabı çerçevesinde bilgilendiricidir. . Başka bir bilgi kaynağında da aynı şey “Sonuç 2 ve Teorem 3” olacaktır. Bu tür ifadeler resmidir ve yalnızca yazarların kendileri için uygundur. İdeal olarak matematiksel gerçeğin özüne atıfta bulunmak daha iyidir. Bunun istisnası, tarihsel olarak belirlenmiş terimlerdir; örneğin, ilk harika sınır veya ikinci harika sınır.
Paris Bilimler Akademisi üyesi Marquis Guillaume Francois de L'Hopital'in bize önerdiği konuyu geliştirmeye devam ediyoruz. Makale belirgin bir pratik tat alıyor ve oldukça yaygın bir görevde gerekli:
Isınmak için birkaç küçük serçeyle ilgilenelim:
Örnek 3
Limit ilk önce kosinüsden kurtularak basitleştirilebilir, ancak koşula saygı gösterelim ve pay ve paydayı hemen ayırt edelim: 
Türev bulma sürecinde standart olmayan hiçbir şey yoktur; örneğin payda olağan yöntemi kullanır; farklılaşma kuralıçalışır 
.
Ele alınan örnek şu şekilde çözülür: harika sınırlar Benzer bir durum Karmaşık Limitler makalesinin sonunda tartışılmaktadır.
Örnek 4
L'Hopital kuralını kullanarak limiti hesaplayın 
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. İyi şaka =)
Tipik bir durum, farklılaşma sonrasında üç veya dört katlı kesirlerin elde edilmesidir:
Örnek 5
L'Hopital kuralını kullanarak limiti hesaplayın
Kullanılmak için yalvarıyor dikkate değer eşdeğerlik, ancak yol kesinlikle şu koşulla önceden belirlenir:
Farklılaştırmadan sonra, çok katlı bölümden kurtulmanızı ve maksimum basitleştirmeler yapmanızı şiddetle tavsiye ederim.. Elbette, daha ileri düzeydeki öğrenciler son adımı atlayıp hemen şunu yazabilirler: 
, ancak mükemmel öğrencilerin bile belirli sınırlar dahilinde kafaları karışacaktır.
Örnek 6
L'Hopital kuralını kullanarak limiti hesaplayın
Örnek 7
L'Hopital kuralını kullanarak limiti hesaplayın
Bunlar kendi başınıza çözebileceğiniz örneklerdir. Örnek 7'de hiçbir şeyi basitleştirmenize gerek yok; türev aldıktan sonra elde edilen kesir çok basit. Ancak Örnek 8'de, L'Hopital kuralını uyguladıktan sonra, hesaplamalar en uygun olmayacağından üç katlı yapıdan kurtulmak oldukça arzu edilir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız - trigonometrik tablo yardım etmek.
Ve farklılaştırmadan sonra belirsizlik ortaya çıktığında basitleştirmeler kesinlikle gereklidir. çözülmedi.
Örnek 8
L'Hopital kuralını kullanarak limiti hesaplayın
Hadi gidelim: 
İlk farklılaşmanın ardından başlangıçtaki belirsizliğin belirsizliğe dönüşmesi ve L'Hôpital kuralının daha da sakin bir şekilde uygulanması ilginçtir. Ayrıca her "yaklaşma" sonrasında dört katlı kesirin nasıl ortadan kaldırıldığına ve sabitlerin sınır işaretinin ötesine nasıl taşındığına dikkat edin. Daha basit örneklerde sabitleri dahil etmemek daha uygundur, ancak limit karmaşık olduğunda her şeyi, her şeyi, her şeyi basitleştiririz. Çözülmüş örneğin sinsiliği aynı zamanda şu gerçeğinde de yatmaktadır: 
ve bu nedenle sinüslerin ortadan kaldırılması sırasında işaretlerde kafa karışıklığı olması şaşırtıcı değildir. Sondan bir önceki satırda sinüsler öldürülemezdi, ancak örnek oldukça ağır ve affedilebilir.
Geçen gün ilginç bir görevle karşılaştım:
Örnek 9
Dürüst olmak gerekirse bu sınırın neye eşit olacağından biraz şüpheliydim. Yukarıda gösterildiği gibi, "x" logaritmadan daha yüksek bir büyüklüktedir, ancak küp logaritmasından "daha ağır" mı olacaktır? Kimin kazanacağını kendiniz bulmaya çalışın.
Evet, L'Hopital'in kuralları sadece serçeleri topla vurmak değil, aynı zamanda özenli bir çalışma...
L'Hopital'in kurallarını simitlere veya yorgun sekizlere uygulayabilmek için formdaki belirsizlikler azaltılıyor.
Belirsizlikle başa çıkmak dersin 9-13 numaralı Örneklerinde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Sınırları çözme yöntemleri. Kayıt için bir tane daha alalım:
Örnek 10
L'Hopital kuralını kullanarak bir fonksiyonun limitini hesaplayın 
İlk adımda ifadeyi ortak bir paydada buluşturarak belirsizliği belirsizliğe dönüştürüyoruz. Ve sonra L'Hopital kuralını uyguluyoruz: 
Bu arada dört katlı ifadesine dokunmanın manası yok.
Belirsizlik aynı zamanda şuna dönüşmeye de direnmez:
Örnek 11
L'Hopital kuralını kullanarak bir fonksiyonun limitini hesaplayın
Buradaki sınır tek taraflıdır ve bu tür sınırlar kılavuzda zaten tartışılmıştır. Fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Hatırlayacağınız gibi “klasik” logaritmanın grafiği eksenin solunda bulunmadığından sıfıra ancak sağdan yaklaşabiliriz.
L'Hopital'in tek taraflı sınırlamalara ilişkin kuralları işe yarıyor ancak öncelikle belirsizlikle ilgilenilmesi gerekiyor. İlk adımda belirsizlik elde ederek üç katlı bir kesir yaparız, ardından çözüm bir şablon şemasını takip eder: 
Pay ve paydanın farklılığını aldıktan sonra sadeleştirmeler yapmak için dört katlı kesirden kurtuluyoruz. Bunun sonucunda belirsizlik ortaya çıktı. Hileyi tekrarlıyoruz: kesri yine üç katlı yapıyoruz ve sonuçta ortaya çıkan belirsizliğe L'Hopital kuralını tekrar uyguluyoruz:
Hazır.
Orijinal limiti iki çöreğe düşürmeyi deneyebiliriz: 
Ancak öncelikle paydadaki türev daha zordur ve ikincisi bundan iyi bir şey çıkmayacak.
Böylece, Benzer örnekleri çözmeden önce analiz etmeniz gerekir.(sözlü olarak veya taslak halinde), HANGİSİ belirsizliğin - “sıfırdan sıfıra” veya “sonsuzdan sonsuza” düşürülmesi daha avantajlıdır.
Buna karşılık içki arkadaşları ve daha egzotik yoldaşlar da ateşe katılıyor. Dönüşüm yöntemi basit ve standarttır.
L'Hopital'in kuralı
Tanım 1
L'Hopital kuralı: belirli koşullar altında, değişkeni $a$'a eğilimli olan fonksiyonların oranının limiti, türevlerinin oranının limitine eşittir, $x$ da $a$'a eğilimlidir:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"( x))(g"(x)) $
L'Hopital kuralı İsveçli matematikçi Johann Bernoulli tarafından keşfedildi ve o da daha sonra bu kural hakkında L'Hopital'e bir mektup yazdı. L'Hopital bu kuralı 1696'da kendi yazarlığıyla diferansiyel analize ilişkin ilk ders kitabında yayınladı.
L'Hopital kuralı aşağıdaki türdeki belirsizliklere indirgenebilen ifadelere uygulanır:
$\frac(0)(0) \begin(array)(ccc) () & () & (\frac(\infty )(\infty ) ) \end(array)$
İlk ifadede sıfır yerine sonsuz küçük bir değer olabilir.
Genel olarak, hem pay hem de paydanın sıfır veya sonsuz olması durumunda L'Hopital kuralı kullanılabilir.
L'Hopital kuralının uygulanabileceği koşullar:
- $f(x)$ ve $g(x)$ fonksiyonlarının $x$ $a$ eğiliminde olduğundan limitlerinin birbirine eşit olması ve sıfıra veya sonsuza yönelmesi koşulu karşılanmıştır: $\mathop(\ lim )\limits_(x \to a) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=0$ veya $\mathop(\lim )\limits_(x\to) a) f(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\infty $;
- $a$ mahallesinde $f(x)$ ve $g(x)$ türevlerini elde etmek mümkündür;
- $g(x)$ fonksiyonunun türevi sıfır değildir $g"(x)\ne 0$ $a$ mahallesinde;
- $f(x)$ ve $g(x)$ fonksiyonlarının türevlerinin oranının limiti, $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x) olarak yazılır )(g"( x)) $ var.
L'Hopital kuralının kanıtı:
- $f(x)$ ve $g(x)$ fonksiyonları verilse ve limitlerin eşitliği gözlemlense:
- $\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) g(x)=0 $.
- Fonksiyonları $a$ noktasında tanımlayalım. Bu nokta için aşağıdaki koşul doğru olacaktır:
- $\frac(f(x))(g(x)) =\frac(f(x)-f(a))(g(x)-g(a)) =\frac(f"(c)) (g"(c))$.
- $c$'ın değeri $x$'a bağlıdır, ancak eğer $x\to a+0$ ise, o zaman $c\to a$ olur.
- $\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) \frac(f(x))(g(x)) =\mathop(\lim )\limits_(c\to a+0) \frac (f"(c))(g"(c)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) \frac(f"(c))(g"(c)) $.
L'Hopital kuralını kullanarak çözümü hesaplamak için algoritma
- İfadenin tamamının belirsizlik açısından kontrol edilmesi.
- L'Hopital kuralını daha fazla kullanmadan önce yukarıda belirtilen tüm koşulları kontrol edin.
- Bir fonksiyonun türevinin $0$'a yönelip yönelmediği kontrol ediliyor.
- Belirsizlik için yeniden test etme.
Örnek #1:
Sınırı bulun:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) +5x)(3x) $
Çözüm:
- $f(x)$ fonksiyonunun limiti $g(x)$ fonksiyonunun limitine eşittir ve her ikisi de sıfıra eşittir: $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x )=\mathop(\lim )\limits_ (x\to 0) (x^(2) +5x)=0$; $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (3x)=0$
- $g"(x)=3\ne 0$ $a$ civarında
- $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x))(g"(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(2x) +5)(3)$
$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) +5x)(3x) =\left\langle \frac(0)(0) \right\rangle =\mathop( \lim )\limits_(x\to 0) \frac(\left(x^(2) +5x\right)")(\left(3x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x \to 0) \frac(2x+5)(3) =\frac(0+5)(3) =\frac(5)(3) $
Örnek #2:
Sınırı bulun:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^(3) -3x^(2) +2x)(x^(3) -x) $
Çözüm:
L'Hopital kuralının uygulanabilirliğine ilişkin koşulları kontrol edelim:
- $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (x^(3) -3x^(2) +2x) =\infty$; $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (x^(3) -x)=\infty $
- $f(x)$ ve $g(x)$, $a$ mahallesinde türevlenebilir
- $g"(x)=6\ne 0$ $a$ civarında
- $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x))(g"(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac( 3x^(2) -6x+2)(3x^(2) -1) $
Türevi yazalım ve fonksiyonun limitini bulalım:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^(3) -3x^(2) +2x)(x^(3) -x) =\left\langle \frac( \infty )(\infty ) \right\rangle =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(x^(3) -3x^(2) +2x\right)" )(\left(x^(3) -x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(3x^(2) -6x+2)(3x^( 2) -1) =\left\langle \frac(\infty )(\infty ) \right\rangle $
Belirsizlikten kurtuluncaya kadar türev hesaplamasını tekrarlıyoruz:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(3x^(2) -6x+2\right)")(\left(3x^(2) -1\right) ") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(6x-6)(6x) =\left\langle \frac(\infty )(\infty ) \right\rangle =\mathop (\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(6x-6\right)")(\left(6x\right)") =\frac(6)(6) =1$
Örnek #3:
Sınırı bulun:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(\sin 5x)(x) $
Çözüm:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(\sin 5x)(x) =\left\langle \frac(0)(0) \right\rangle =\mathop(\lim )\ limitler_(x\to 0) \frac(\left(\sin 5x\right)")(\left(x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(5 \cos 5x)(1) =5\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \cos 5x=5$
Örnek #4:
Sınırı bulun:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (1+x^(2))^(1/x) $
Çözüm:
Fonksiyonun logaritmasını alalım:
$\ln y=\frac(1)(x) \ln (1+x^(2))=\frac(\ln (1+x^(2)))(x) $
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\ln (1+x^(2)))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left[\ln (1+x^(2))\right]")(x") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\frac(2x) (1+x^(2) ) )(1) =0$
$ln(y)$ fonksiyonu sürekli olduğundan şunu elde ederiz:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (\ln y)=\ln (\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y)$
Buradan,
$\ln (\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y)=0$
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y=1$
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (1+x^(2))^(1/x) =1$