சிக்கலான வழித்தோன்றல்கள். மடக்கை வழித்தோன்றல். சக்தி-அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் (சக்திகள் மற்றும் வேர்கள்) ஒரு அதிவேக சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தை யார் நினைவில் கொள்கிறார்கள்

இந்த வீடியோ மூலம் டெரிவேடிவ்கள் பற்றிய ஒரு நீண்ட தொடர் பாடங்களைத் தொடங்குகிறேன். இந்த பாடம் பல பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது.

முதலில், டெரிவேட்டிவ்கள் பொதுவாக என்ன, அவற்றை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதை நான் உங்களுக்குச் சொல்கிறேன், ஆனால் அதிநவீன கல்வி மொழியில் அல்ல, ஆனால் அதை நானே புரிந்து கொள்ளும் விதம் மற்றும் எனது மாணவர்களுக்கு அதை எவ்வாறு விளக்குகிறேன். இரண்டாவதாக, சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய விதியைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதில் தொகைகளின் வழித்தோன்றல்கள், வேறுபாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்கள் ஆகியவற்றைப் பார்ப்போம்.

நாங்கள் மிகவும் சிக்கலான ஒருங்கிணைந்த எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம், அதில் இருந்து, குறிப்பாக, வேர்கள் மற்றும் பின்னங்கள் சம்பந்தப்பட்ட இதே போன்ற சிக்கல்களை ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும் என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்வீர்கள். கூடுதலாக, நிச்சயமாக, பல சிக்கல்கள் மற்றும் சிக்கலான பல்வேறு நிலைகளின் தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் இருக்கும்.

பொதுவாக, ஆரம்பத்தில் நான் ஒரு குறுகிய 5 நிமிட வீடியோவைப் பதிவு செய்யப் போகிறேன், ஆனால் அது எப்படி மாறியது என்பதை நீங்கள் பார்க்கலாம். எனவே பாடல் வரிகள் போதும் - விஷயத்திற்கு வருவோம்.

வழித்தோன்றல் என்றால் என்ன?

எனவே, தூரத்திலிருந்து தொடங்குவோம். பல ஆண்டுகளுக்கு முன்பு, மரங்கள் பசுமையாகவும், வாழ்க்கை மிகவும் வேடிக்கையாகவும் இருந்தபோது, ​​கணிதவியலாளர்கள் இதைப் பற்றி யோசித்தனர்: அதன் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு எளிய செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொண்டு, அதை $y=f\left(x \right)$ என்று அழைக்கவும். நிச்சயமாக, வரைபடம் சொந்தமாக இல்லை, எனவே நீங்கள் $x$ அச்சுகளையும் $y$ அச்சையும் வரைய வேண்டும். இப்போது இந்த வரைபடத்தில் எந்தப் புள்ளியையும் தேர்வு செய்வோம். abscissa ஐ அழைக்கலாம் $((x)_(1))$, நீங்கள் யூகித்தபடி, ஆர்டினேட் $f\left(((x)_(1)) \right)$ ஆக இருக்கும்.

அதே வரைபடத்தில் மற்றொரு புள்ளியைப் பார்ப்போம். எது என்பது முக்கியமல்ல, முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அது அசல் ஒன்றிலிருந்து வேறுபடுகிறது. இது, மீண்டும், ஒரு abscissa உள்ளது, அதை $((x)_(2))$ என்று அழைப்போம், மேலும் ஒரு ஆர்டினேட் - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

எனவே, எங்களிடம் இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன: அவை வெவ்வேறு அப்சிசாக்களைக் கொண்டுள்ளன, எனவே, வெவ்வேறு செயல்பாட்டு மதிப்புகள், பிந்தையது தேவையில்லை என்றாலும். ஆனால் உண்மையில் முக்கியமானது என்னவென்றால், பிளானிமெட்ரி பாடத்திலிருந்து எங்களுக்குத் தெரியும்: இரண்டு புள்ளிகள் மூலம் நீங்கள் ஒரு நேர் கோட்டை வரையலாம், மேலும் ஒன்று மட்டுமே. எனவே அதை நிறைவேற்றுவோம்.

இப்போது அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு இணையாக, அவற்றில் முதல் வழியாக ஒரு நேர் கோட்டை வரைவோம். நாம் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைப் பெறுகிறோம். அதை $ABC$, வலது கோணம் $C$ என்று அழைப்போம். இந்த முக்கோணத்தில் ஒரு சுவாரஸ்யமான குணம் உள்ளது: உண்மையில் $\alpha $ கோணம் $AB$ நேர்கோட்டில் abscissa அச்சின் தொடர்ச்சியுடன் வெட்டும் கோணத்திற்கு சமம் என்பதுதான் உண்மை. நீங்களே தீர்ப்பளிக்கவும்:

1. $AC$ நேர்கோடு $Ox$ அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது,
2. வரி $AB$ குறுக்கிடுகிறது $\alpha $ கீழ் $AC$,
3. எனவே $AB$ அதே $\alpha $ன் கீழ் $Ox$ ஐ வெட்டுகிறது.

$\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ பற்றி நாம் என்ன சொல்ல முடியும்? குறிப்பிட்ட எதுவும் இல்லை, $ABC$ முக்கோணத்தில் கால் $BC$ மற்றும் கால் $AC$ விகிதம் இந்தக் கோணத்தின் தொடுகோடு சமமாக உள்ளது. எனவே அதை எழுதுவோம்:

நிச்சயமாக, இந்த வழக்கில் $AC$ எளிதாக கணக்கிடப்படுகிறது:

அதேபோல் $BC$ க்கும்:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பின்வருவனவற்றை எழுதலாம்:

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \right))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

இப்போது நாம் எல்லாவற்றையும் முடித்துவிட்டோம், மீண்டும் எங்கள் விளக்கப்படத்திற்குச் சென்று $B$ என்ற புதிய புள்ளியைப் பார்ப்போம். பழைய மதிப்புகளை அழித்துவிட்டு $B$ஐ $((x)_(1))$க்கு அருகில் உள்ள இடத்தில் எடுத்துக்கொள்வோம். மீண்டும் அதன் abscissa ஐ $((x)_(2))$ என்றும், $f\left(((x)_(2)) \right)$ என்றும் குறிக்கலாம்.

நமது சிறிய முக்கோணமான $ABC$ மற்றும் $\text( )\!\!\!\alpha\!\!\text( )$ ஆகியவற்றை மீண்டும் பார்ப்போம். இது முற்றிலும் மாறுபட்ட கோணமாக இருக்கும் என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது, $AC$ மற்றும் $BC$ ஆகிய பிரிவுகளின் நீளம் கணிசமாக மாறியிருப்பதால் தொடுவானமும் வித்தியாசமாக இருக்கும், ஆனால் கோணத்தின் தொடுகோடுக்கான சூத்திரம் மாறவில்லை. - இது இன்னும் செயல்பாட்டில் ஏற்படும் மாற்றத்திற்கும் வாதத்தின் மாற்றத்திற்கும் இடையிலான உறவாகும்.

இறுதியாக, நாங்கள் $B$ ஐ அசல் புள்ளியான $A$ க்கு நெருக்கமாக நகர்த்துகிறோம், இதன் விளைவாக முக்கோணம் இன்னும் சிறியதாகிவிடும், மேலும் $AB$ என்ற பிரிவைக் கொண்ட நேர்கோடு மேலும் மேலும் வரைபடத்தின் தொடுகோடு போல இருக்கும். செயல்பாடு.

இதன் விளைவாக, புள்ளிகளை நெருக்கமாகக் கொண்டுவந்தால், அதாவது, தூரத்தை பூஜ்ஜியமாகக் குறைத்தால், $AB$ என்ற நேர்கோடு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வரைபடத்தின் தொடுகோடு மாறும், மேலும் $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ ஆனது ஒரு வழக்கமான முக்கோண உறுப்பிலிருந்து தொடுகோணத்திலிருந்து வரைபடத்திற்கும் $Ox$ அச்சின் நேர்மறையான திசைக்கும் இடையே உள்ள கோணத்திற்கு மாறும்.

இங்கே நாம் $f$ இன் வரையறைக்கு சுமுகமாக செல்கிறோம், அதாவது, $((x)_(1))$ புள்ளியில் உள்ள ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது $\alpha $-க்கு தொடுகோடு இடையே உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடு ஆகும். $((x)_( 1))$ புள்ளியில் வரைபடம் மற்றும் $Ox$ அச்சின் நேர்மறையான திசை:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\!\alpha\!\!\text( )\]

எங்கள் வரைபடத்திற்குத் திரும்புகையில், வரைபடத்தில் உள்ள எந்தப் புள்ளியையும் $((x)_(1))$ எனத் தேர்ந்தெடுக்கலாம் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். உதாரணமாக, அதே வெற்றியுடன் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள புள்ளியில் பக்கவாதத்தை அகற்றலாம்.

$\beta$ அச்சின் தொடுகோடு மற்றும் நேர்மறை திசைக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை அழைப்போம். அதன்படி, $((x)_(2))$ இல் உள்ள $f$ இந்த கோணத்தின் $\beta $க்கு சமமாக இருக்கும்.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் அதன் சொந்த தொடுகோடு இருக்கும், எனவே, அதன் சொந்த செயல்பாட்டு மதிப்பு. இந்த ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும், ஒரு வித்தியாசம் அல்லது தொகையின் வழித்தோன்றல் அல்லது சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைத் தேடும் புள்ளியுடன் கூடுதலாக, அதிலிருந்து சிறிது தொலைவில் அமைந்துள்ள மற்றொரு புள்ளியை எடுத்து, பின்னர் நேரடியாக இது அசல் ஒன்றைப் பற்றியது மற்றும், நிச்சயமாக, செயல்பாட்டில் இத்தகைய இயக்கம் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு எவ்வாறு மாறும் என்பதைக் கண்டறியவும்.

சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

துரதிர்ஷ்டவசமாக, அத்தகைய வரையறை எங்களுக்கு பொருந்தாது. இந்த சூத்திரங்கள், படங்கள், கோணங்கள் அனைத்தும் உண்மையான சிக்கல்களில் உண்மையான வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பது பற்றிய சிறிதளவு யோசனையையும் தருவதில்லை. எனவே, முறையான வரையறையிலிருந்து கொஞ்சம் விலகி, உண்மையான சிக்கல்களை நீங்கள் ஏற்கனவே தீர்க்கக்கூடிய மிகவும் பயனுள்ள சூத்திரங்கள் மற்றும் நுட்பங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எளிமையான கட்டுமானங்களுடன் ஆரம்பிக்கலாம், அதாவது $y=((x)^(n))$ வடிவத்தின் செயல்பாடுகள், அதாவது. சக்தி செயல்பாடுகள். இந்த வழக்கில், நாம் பின்வருவனவற்றை எழுதலாம்: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. வேறுவிதமாகக் கூறினால், அதிவேகத்தில் இருந்த பட்டம் முன் பெருக்கியில் காட்டப்படும், மற்றும் அடுக்கு தன்னை அலகு மூலம் குறைக்கப்பட்டது.

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\ end(align) \]

இதோ மற்றொரு விருப்பம்:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

இந்த எளிய விதிகளைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளின் தொடுதலை அகற்ற முயற்சிப்போம்:

எனவே நாம் பெறுகிறோம்:

\[((\இடது(((x)^(6))) \வலது))^(\ப்ரைம் ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

இப்போது இரண்டாவது வெளிப்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\\ பிரைம் ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\ end(align)\]

நிச்சயமாக, இவை மிகவும் எளிமையான பணிகள். இருப்பினும், உண்மையான சிக்கல்கள் மிகவும் சிக்கலானவை மற்றும் அவை செயல்பாட்டின் அளவுகளுக்கு மட்டுப்படுத்தப்படவில்லை.

எனவே, விதி எண். 1 - ஒரு செயல்பாடு மற்ற இரண்டின் வடிவத்தில் வழங்கப்பட்டால், இந்தத் தொகையின் வழித்தோன்றல் வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

இதேபோல், இரண்டு செயல்பாடுகளின் வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றல் வழித்தோன்றல்களின் வேறுபாட்டிற்கு சமம்:

\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[(\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=(\left(((x)^(2)) \right))^(\\ பிரைம் ))+((\இடது(x \வலது))^(\ப்ரைம் ))=2x+1\]

கூடுதலாக, மற்றொரு முக்கியமான விதி உள்ளது: சில $f$ க்கு முன்னால் $c$ ஒரு மாறிலி இருந்தால், அதன் மூலம் இந்த செயல்பாடு பெருக்கப்படுகிறது, இந்த முழு கட்டுமானத்தின் $f$ பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

\[(\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[(\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3(\left(((x)^(3)) \right))^(\\ முதன்மை ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

இறுதியாக, இன்னும் ஒரு மிக முக்கியமான விதி: பிரச்சனைகளில் $x$ ஐக் கொண்டிருக்காத தனிச் சொல் அடிக்கடி இருக்கும். உதாரணமாக, இன்றைய நமது வெளிப்பாடுகளில் இதை அவதானிக்கலாம். மாறிலியின் வழித்தோன்றல், அதாவது, $x$ஐ எந்த வகையிலும் சார்ந்திருக்காத எண்ணானது, எப்போதும் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும், மேலும் $c$ மாறிலி எதற்குச் சமம் என்பது முக்கியமில்லை:

\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]

எடுத்துக்காட்டு தீர்வு:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=(\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

மீண்டும் முக்கிய புள்ளிகள்:

1. இரண்டு சார்புகளின் கூட்டுத்தொகையின் வழித்தோன்றல் எப்போதும் வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. இதே போன்ற காரணங்களுக்காக, இரண்டு சார்புகளின் வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றல் இரண்டு வழித்தோன்றல்களின் வேறுபாட்டிற்கு சமம்: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. ஒரு செயல்பாட்டிற்கு நிலையான காரணி இருந்தால், இந்த மாறிலி ஒரு வழித்தோன்றல் அடையாளமாக எடுக்கப்படலாம்: $(\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
4. முழு செயல்பாடும் மாறிலியாக இருந்தால், அதன் வழித்தோன்றல் எப்போதும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

உண்மையான எடுத்துக்காட்டுகளுடன் இது எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம். அதனால்:

நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5)))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left) (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\ end(align)\]

இந்த எடுத்துக்காட்டில் நாம் தொகையின் வழித்தோன்றல் மற்றும் வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றல் இரண்டையும் பார்க்கிறோம். மொத்தத்தில், வழித்தோன்றல் $5((x)^(4))-6x$க்கு சமம்.

இரண்டாவது செயல்பாட்டிற்கு செல்லலாம்:

தீர்வை எழுதுவோம்:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=(\left(3(x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x)) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\ end(align)\]

அதற்கான விடையை இதோ கண்டுபிடித்தோம்.

மூன்றாவது செயல்பாட்டிற்கு செல்லலாம் - இது மிகவும் தீவிரமானது:

\[\begin(align)& ((\left(2(x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3(x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left((\left) (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

விடை கண்டுபிடித்துவிட்டோம்.

கடைசி வெளிப்பாட்டிற்கு செல்லலாம் - மிகவும் சிக்கலான மற்றும் நீளமான:

எனவே, நாங்கள் கருதுகிறோம்:

\[\begin(align)& ((\left(6(x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14(x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

ஆனால் தீர்வு அங்கு முடிவடையவில்லை, ஏனென்றால் ஒரு பக்கவாதத்தை அகற்றுவது மட்டுமல்லாமல், அதன் மதிப்பை ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் கணக்கிடுமாறு கேட்கப்படுகிறோம், எனவே வெளிப்பாட்டில் $x$ க்கு பதிலாக −1 ஐ மாற்றுகிறோம்:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

மேலும் மேலும் சிக்கலான மற்றும் சுவாரஸ்யமான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு செல்லலாம். உண்மை என்னவென்றால், சக்தி வழித்தோன்றலைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரம் $((\left(((((x)))) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ பொதுவாக நம்பப்படுவதை விட இன்னும் பரந்த நோக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது. அதன் உதவியுடன், பின்னங்கள், வேர்கள் போன்றவற்றைக் கொண்டு உதாரணங்களைத் தீர்க்கலாம். இதைத்தான் இப்போது செய்வோம்.

தொடங்குவதற்கு, சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய உதவும் சூத்திரத்தை மீண்டும் எழுதுவோம்:

இப்போது கவனம்: இதுவரை நாம் இயற்கை எண்களை மட்டுமே $n$ ஆகக் கருதினோம், ஆனால் பின்னங்கள் மற்றும் எதிர்மறை எண்களைக் கூட கருத்தில் கொள்வதிலிருந்து எதுவும் நம்மைத் தடுக்கவில்லை. உதாரணமாக, நாம் பின்வருவனவற்றை எழுதலாம்:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ பிரைம் ))=(\இடது((((x))(\frac(1)(2))) \வலது))^(\ப்ரைம் ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\முடிவு(சீரமை)\]

சிக்கலான எதுவும் இல்லை, எனவே இந்த சூத்திரம் மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் நமக்கு எவ்வாறு உதவும் என்பதைப் பார்ப்போம். எனவே, ஒரு உதாரணம்:

தீர்வை எழுதுவோம்:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+(\இடது(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\\ இடது(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\இடது(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=(\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x) )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& ((( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=(\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\முடிவு(சீரமை)\]

எங்கள் உதாரணத்திற்குச் சென்று எழுதுவோம்:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

இது மிகவும் கடினமான முடிவு.

இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டுக்கு செல்லலாம் - இரண்டு சொற்கள் மட்டுமே உள்ளன, ஆனால் அவை ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு கிளாசிக்கல் பட்டம் மற்றும் வேர்கள் உள்ளன.

சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை இப்போது கற்றுக்கொள்வோம், கூடுதலாக, ரூட் உள்ளது:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x))^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3)))\cdot ((x)^(\frac(2)(3)) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=(\left(((x)^(\frac(11))(3 ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=(\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=(\left(((x)^(7\frac(1))(3 ))) \right))^(\ பிரைம் ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

இரண்டு சொற்களும் கணக்கிடப்பட்டுள்ளன, இறுதி பதிலை எழுதுவது மட்டுமே மீதமுள்ளது:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

விடை கண்டுபிடித்துவிட்டோம்.

சக்தி செயல்பாட்டின் மூலம் ஒரு பகுதியின் வழித்தோன்றல்

ஆனால் சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தின் சாத்தியக்கூறுகள் அங்கு முடிவடையவில்லை. உண்மை என்னவென்றால், அதன் உதவியுடன் நீங்கள் வேர்களைக் கொண்ட எடுத்துக்காட்டுகளை மட்டுமல்ல, பின்னங்களையும் கணக்கிடலாம். இது துல்லியமாக இத்தகைய எடுத்துக்காட்டுகளின் தீர்வை பெரிதும் எளிதாக்கும் அரிய வாய்ப்பாகும், ஆனால் பெரும்பாலும் மாணவர்களால் மட்டுமல்ல, ஆசிரியர்களாலும் புறக்கணிக்கப்படுகிறது.

எனவே, இப்போது நாம் ஒரே நேரத்தில் இரண்டு சூத்திரங்களை இணைக்க முயற்சிப்போம். ஒருபுறம், சக்தி செயல்பாட்டின் கிளாசிக்கல் வழித்தோன்றல்

\[((\left(((x)^(n))) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

மறுபுறம், $\frac(1)(((x)^(n)))$ வடிவத்தின் வெளிப்பாடு $((x)^(-n))$ ஆக குறிப்பிடப்படலாம் என்பதை நாங்கள் அறிவோம். எனவே,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n)) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x) )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

எனவே, எளிய பின்னங்களின் வழித்தோன்றல்கள், அங்கு எண் ஒரு மாறிலி மற்றும் வகுத்தல் ஒரு பட்டம், கிளாசிக்கல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது. இது நடைமுறையில் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்.

எனவே, முதல் செயல்பாடு:

\[(\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=(\left(((x)^(-2)) \ வலது))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

முதல் உதாரணம் தீர்க்கப்பட்டது, இரண்டாவதாக செல்லலாம்:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4(x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-(\left(\frac(2)(3((\) x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x))^(3)) \right))^(\prime ))-(\left( 3((x)^(4)) \வலது))^(\பிரதம )) \\& ((\இடது(\frac(7)(4(x)^(4))) \வலது))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3(x)^) (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)((x)^(3))) \right )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^--3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\இடது(\இடது) \frac(5)(2)((x)^(2)) \வலது))^(\ப்ரைம் ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\இடது(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ இடது(3((x)^(4)) \வலது))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ முடிவு(சீரமை)\]...

இப்போது இந்த விதிமுறைகள் அனைத்தையும் ஒரே சூத்திரத்தில் சேகரிக்கிறோம்:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்துள்ளது.

இருப்பினும், தொடர்வதற்கு முன், அசல் வெளிப்பாடுகளை எழுதும் வடிவத்திற்கு உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்க விரும்புகிறேன்: முதல் வெளிப்பாட்டில் $f\left(x \right)=...$, இரண்டாவதாக: $y =...$ பல மாணவர்கள் வெவ்வேறு விதமான பதிவுகளைப் பார்க்கும் போது தொலைந்து போகிறார்கள். $f\left(x \right)$ மற்றும் $y$ இடையே உள்ள வித்தியாசம் என்ன? உண்மையில் எதுவுமில்லை. அவை ஒரே பொருளைக் கொண்ட வெவ்வேறு உள்ளீடுகள் மட்டுமே. $f\left(x \right)$ என்று சொல்லும்போது, ​​முதலில், ஒரு செயல்பாட்டைப் பற்றி பேசுகிறோம், மேலும் $y$ பற்றி பேசும்போது, ​​பெரும்பாலும் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் குறிக்கிறோம். இல்லையெனில், இது ஒன்றுதான், அதாவது, இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் உள்ள வழித்தோன்றல் ஒரே மாதிரியாகக் கருதப்படுகிறது.

வழித்தோன்றல்களுடன் சிக்கலான சிக்கல்கள்

முடிவில், இன்று நாம் கருத்தில் கொண்ட அனைத்தையும் பயன்படுத்தும் சிக்கலான ஒருங்கிணைந்த சிக்கல்களை நான் கருத்தில் கொள்ள விரும்புகிறேன். அவை வேர்கள், பின்னங்கள் மற்றும் தொகைகளைக் கொண்டிருக்கின்றன. இருப்பினும், இந்த எடுத்துக்காட்டுகள் இன்றைய வீடியோ டுடோரியலில் மட்டுமே சிக்கலானதாக இருக்கும், ஏனென்றால் உண்மையிலேயே சிக்கலான வழித்தோன்றல் செயல்பாடுகள் உங்களுக்காக காத்திருக்கும்.

எனவே, இன்றைய வீடியோ பாடத்தின் இறுதிப் பகுதி, இரண்டு ஒருங்கிணைந்த பணிகளைக் கொண்டது. அவற்றில் முதலாவதாக ஆரம்பிக்கலாம்:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3)))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-(\left(\frac(1)((x)^(3) )) \ வலது )=3((x)^(2)) \\& ((\இடது(\frac(1)(((x))^(3))) \வலது))^(\ப்ரைம் ))=((\\ இடது(((x)^(-3)) \வலது))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=(\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3)))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\ end(align)\]

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இதற்கு சமம்:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

முதல் உதாரணம் தீர்க்கப்பட்டது. இரண்டாவது சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில் நாம் இதேபோல் தொடர்கிறோம்:

\[(\இடது(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3))) )) \ வலது (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x))3))) \வலது))^ (\முதன்மை ))\]

ஒவ்வொரு வார்த்தையையும் தனித்தனியாக எண்ணுவோம்:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left(\left(\) ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )((((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=(\left(((x)^(\frac(\frac(\) 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\\ இடது(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \வலது))^(\prime ))=(\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4))) \right))^(\பிரதம ))=(\இடது(\frac(4)(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^--1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4)))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\ end(align)\]

அனைத்து விதிமுறைகளும் கணக்கிடப்பட்டுள்ளன. இப்போது நாம் அசல் சூத்திரத்திற்குத் திரும்பி, மூன்று சொற்களையும் ஒன்றாகச் சேர்க்கிறோம். இறுதி பதில் இப்படி இருக்கும் என்று நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம்:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

அவ்வளவுதான். இது எங்கள் முதல் பாடமாக இருந்தது. பின்வரும் பாடங்களில் நாம் மிகவும் சிக்கலான கட்டுமானங்களைப் பார்ப்போம், மேலும் டெரிவேடிவ்கள் ஏன் முதலில் தேவைப்படுகின்றன என்பதையும் கண்டுபிடிப்போம்.

அட்டவணையின் முதல் சூத்திரத்தைப் பெறும்போது, ​​ஒரு கட்டத்தில் வழித்தோன்றல் செயல்பாட்டின் வரையறையிலிருந்து தொடர்வோம். எங்கே எடுத்துக்கொள்வோம் எக்ஸ்- எந்த உண்மையான எண், அதாவது, எக்ஸ்- செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனில் இருந்து எந்த எண். செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புக்கும் வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கும் இடையிலான விகிதத்தின் வரம்பை இங்கே எழுதுவோம்:

வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் வெளிப்பாடு பெறப்படுகிறது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும், இது பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கப்படும் பூஜ்ஜியத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மை அல்ல, ஏனெனில் எண் எண்ணற்ற மதிப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை, ஆனால் துல்லியமாக பூஜ்ஜியம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நிலையான செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு எப்போதும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்.

இதனால், நிலையான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்வரையறையின் முழு டொமைன் முழுவதும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரம் வடிவம் கொண்டது , அங்கு அடுக்கு ப- எந்த உண்மையான எண்.

முதலில் இயற்கை அடுக்குக்கான சூத்திரத்தை நிரூபிப்போம், அதாவது ப = 1, 2, 3, …

வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம். ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புக்கும் வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கும் இடையிலான விகிதத்தின் வரம்பை எழுதுவோம்:

எண்களில் உள்ள வெளிப்பாட்டை எளிதாக்க, நாம் நியூட்டன் பைனோமியல் சூத்திரத்திற்கு திரும்புவோம்:

எனவே,

இது ஒரு இயற்கை அடுக்குக்கான ஆற்றல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தை நிரூபிக்கிறது.

அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

வரையறையின் அடிப்படையில் வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றலை நாங்கள் வழங்குகிறோம்:

நாங்கள் நிச்சயமற்ற நிலைக்கு வந்துள்ளோம். அதை விரிவுபடுத்த, ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துகிறோம், மற்றும் இல். பிறகு . கடைசி மாற்றத்தில், புதிய மடக்கை தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினோம்.

அசல் வரம்பிற்கு மாற்றுவோம்:

இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பை நாம் நினைவு கூர்ந்தால், அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்திற்கு வருகிறோம்:

மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

அனைவருக்கும் மடக்கைச் சார்பின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தை நிரூபிப்போம் எக்ஸ்வரையறையின் டொமைன் மற்றும் அடிப்படையின் அனைத்து செல்லுபடியாகும் மதிப்புகளிலிருந்து அமடக்கை வழித்தோன்றலின் வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:

நீங்கள் கவனித்தபடி, ஆதாரத்தின் போது மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி மாற்றங்கள் மேற்கொள்ளப்பட்டன. சமத்துவம் இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு காரணமாக உண்மை.

முக்கோணவியல் சார்புகளின் வழித்தோன்றல்கள்.

முக்கோணவியல் சார்புகளின் வழித்தோன்றல்களுக்கான சூத்திரங்களைப் பெற, நாம் சில முக்கோணவியல் சூத்திரங்களையும், முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பையும் நினைவுபடுத்த வேண்டும்.

நம்மிடம் உள்ள சைன் செயல்பாட்டிற்கான வழித்தோன்றலின் வரையறையின்படி .

சைன்ஸ் சூத்திரத்தின் வித்தியாசத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

இது முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்புக்கு திரும்ப உள்ளது:

இவ்வாறு, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பாவம் xஅங்கு உள்ளது cos x.

கொசைனின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரம் சரியாக அதே வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் cos xஅங்கு உள்ளது – பாவம் x.

நிரூபிக்கப்பட்ட வேறுபாடு விதிகளைப் பயன்படுத்தி டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்டுக்கான வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணைக்கான சூத்திரங்களைப் பெறுவோம் (ஒரு பின்னத்தின் வழித்தோன்றல்).

ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள்.

வேறுபாட்டின் விதிகள் மற்றும் டெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையில் இருந்து அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரம், ஹைபர்போலிக் சைன், கோசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வழித்தோன்றல்களுக்கான சூத்திரங்களைப் பெற அனுமதிக்கிறது.

தலைகீழ் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

விளக்கக்காட்சியின் போது குழப்பத்தைத் தவிர்க்க, வேறுபடுத்துதல் நிகழ்த்தப்படும் செயல்பாட்டின் வாதத்தை சப்ஸ்கிரிப்டில் குறிப்போம், அதாவது இது செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகும். f(x)மூலம் எக்ஸ்.

இப்போது உருவாக்குவோம் தலைகீழ் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான விதி.

செயல்பாடுகளை விடுங்கள் y = f(x)மற்றும் x = g(y)பரஸ்பர தலைகீழ், இடைவெளிகளில் மற்றும் முறையே வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வரையறுக்கப்பட்ட பூஜ்ஜியமற்ற வழித்தோன்றல் இருந்தால் f(x), பின்னர் புள்ளியில் தலைகீழ் செயல்பாட்டின் வரையறுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல் உள்ளது g(y), மற்றும் . இன்னொரு பதிவில் .

இந்த விதியை எவருக்கும் மாற்றி அமைக்கலாம் எக்ஸ்இடைவெளியில் இருந்து, பிறகு நாம் பெறுவோம் .

இந்த சூத்திரங்களின் செல்லுபடியை சரிபார்க்கலாம்.

இயற்கை மடக்கைக்கான தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம் (இங்கே ஒய்ஒரு செயல்பாடு, மற்றும் எக்ஸ்- வாதம்). இந்த சமன்பாட்டை தீர்த்து வைத்த பிறகு எக்ஸ், நாங்கள் பெறுகிறோம் (இங்கே எக்ஸ்ஒரு செயல்பாடு, மற்றும் ஒய்- அவளுடைய வாதம்). அது, மற்றும் பரஸ்பர தலைகீழ் செயல்பாடுகள்.

வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் இருந்து நாம் அதைக் காண்கிறோம் மற்றும் .

தலைகீழ் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்கள் அதே முடிவுகளுக்கு நம்மை இட்டுச் செல்கின்றன என்பதை உறுதி செய்வோம்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, டெரிவேடிவ்கள் அட்டவணையில் உள்ள அதே முடிவுகளைப் பெற்றுள்ளோம்.

தலைகீழ் முக்கோணவியல் சார்புகளின் வழித்தோன்றல்களுக்கான சூத்திரங்களை நிரூபிக்கும் அறிவு இப்போது எங்களிடம் உள்ளது.

ஆர்க்சைனின் வழித்தோன்றலுடன் ஆரம்பிக்கலாம்.

. பின்னர், தலைகீழ் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்

மாற்றங்களைச் செய்வது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது.

ஆர்க்சைன் வரம்பு இடைவெளி என்பதால் , அந்த (அடிப்படை அடிப்படை செயல்பாடுகள், அவற்றின் பண்புகள் மற்றும் வரைபடங்கள் பற்றிய பகுதியைப் பார்க்கவும்). எனவே, நாங்கள் அதை கருத்தில் கொள்ளவில்லை.

எனவே, . ஆர்க்சைன் வழித்தோன்றலின் வரையறையின் களம் இடைவெளி ஆகும் (-1; 1) .

ஆர்க் கொசைனுக்கு, எல்லாம் சரியாக அதே வழியில் செய்யப்படுகிறது:

ஆர்க்டேன்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்.

தலைகீழ் செயல்பாடு என்பது .

விளைந்த வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்த ஆர்க்கோசின் அடிப்படையில் ஆர்க்டேன்ஜெண்டை வெளிப்படுத்துவோம்.

விடுங்கள் arctgx = z, பிறகு

எனவே,

ஆர்க் கோடேன்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல் இதே வழியில் காணப்படுகிறது:

தலைப்பைப் படிக்கும் போது வசதிக்காகவும் தெளிவுக்காகவும் சுருக்க அட்டவணையை வழங்குகிறோம்.

நிலையானy = C சக்தி செயல்பாடு y = x p (x p) " = p x p - 1	அதிவேக செயல்பாடுy = கோடாரி (a x) " = a x ln a குறிப்பாக, எப்போதுஅ = இஎங்களிடம் உள்ளது y = e x (e x) " = e x
மடக்கை செயல்பாடு (log a x) " = 1 x ln a குறிப்பாக, எப்போதுஅ = இஎங்களிடம் உள்ளது y = பதிவு x (ln x) "= 1 x	முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகள் (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

குறிப்பிடப்பட்ட அட்டவணையின் சூத்திரங்கள் எவ்வாறு பெறப்பட்டன என்பதைப் பகுப்பாய்வு செய்வோம் அல்லது வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒவ்வொரு வகை செயல்பாட்டிற்கும் வழித்தோன்றல் சூத்திரங்களின் வழித்தோன்றலை நிரூபிப்போம்.

மாறிலியின் வழித்தோன்றல்

ஆதாரம் 1

இந்த சூத்திரத்தைப் பெறுவதற்கு, ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் வரையறையை அடிப்படையாக எடுத்துக்கொள்கிறோம். நாம் x 0 = x, எங்கே பயன்படுத்துகிறோம் எக்ஸ்எந்த உண்மையான எண்ணின் மதிப்பையும் எடுத்துக்கொள்கிறது, அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், எக்ஸ் f (x) = C செயல்பாட்டின் டொமைனில் இருந்து ஏதேனும் ஒரு எண்ணாகும். ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புக்கும் வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கும் இடையிலான விகிதத்தின் வரம்பை ∆ x → 0 என எழுதுவோம்:

லிம் ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = லிம் ∆ x → 0 C - C ∆ x = லிம் ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

0 ∆ x என்ற வெளிப்பாடு வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் வரும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். "பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்கப்பட்ட பூஜ்யம்" என்பது நிச்சயமற்ற தன்மை அல்ல, ஏனெனில் எண் எண்ணில் ஒரு எண்ணற்ற மதிப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை, ஆனால் துல்லியமாக பூஜ்ஜியம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நிலையான செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு எப்போதும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்.

எனவே, நிலையான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் f (x) = C வரையறையின் முழு டொமைன் முழுவதும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

நிலையான செயல்பாடுகள் வழங்கப்படுகின்றன:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளை விவரிப்போம். முதல் செயல்பாட்டில் இயற்கை எண் 3 இன் வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம். பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில், நீங்கள் வழித்தோன்றலை எடுக்க வேண்டும் ஏ, எங்கே ஏ- எந்த உண்மையான எண். மூன்றாவது உதாரணம், பகுத்தறிவற்ற எண் 4 இன் வழித்தோன்றலை நமக்கு வழங்குகிறது. 13 7 22, நான்காவது பூஜ்ஜியத்தின் வழித்தோன்றல் (பூஜ்ஜியம் ஒரு முழு எண்). இறுதியாக, ஐந்தாவது வழக்கில், பகுத்தறிவு பின்னத்தின் வழித்தோன்றல் உள்ளது - 8 7.

பதில்:கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள் எந்த உண்மைக்கும் பூஜ்ஜியமாகும் எக்ஸ்(முழு வரையறை பகுதியிலும்)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

சக்தி செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்திற்குச் செல்வோம், அதில் வடிவம் உள்ளது: (x p) " = p x p - 1, அங்கு அடுக்கு பஏதேனும் உண்மையான எண்.

ஆதாரம் 2

அடுக்கு ஒரு இயற்கை எண்ணாக இருக்கும் போது சூத்திரத்தின் ஆதாரம் இங்கே உள்ளது: ப = 1, 2, 3, …

நாங்கள் மீண்டும் ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறையை நம்புகிறோம். ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் அதிகரிப்புக்கும் வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கும் இடையிலான விகிதத்தின் வரம்பை எழுதுவோம்:

(x p) " = லிம் ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = லிம் ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

நியூமரேட்டரில் உள்ள வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்த, நியூட்டனின் பைனோமியல் ஃபார்முலாவைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

இதனால்:

(x p) " = லிம் ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = லிம் ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 + x p - 1 C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = லிம் ∆ x → 0 ( C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + .

எனவே, அடுக்கு ஒரு இயற்கை எண்ணாக இருக்கும் போது ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தை நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம்.

ஆதாரம் 3

வழக்குக்கான ஆதாரத்தை எப்போது வழங்க வேண்டும் ப-பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எந்த உண்மையான எண்ணும், மடக்கை வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்துகிறோம் (இங்கு மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலில் இருந்து வேறுபாட்டைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்). இன்னும் முழுமையான புரிதலைப் பெற, மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைப் படிப்பது நல்லது, மேலும் ஒரு மறைமுக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மற்றும் சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைப் புரிந்துகொள்வது நல்லது.

இரண்டு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்: எப்போது எக்ஸ்நேர்மறை மற்றும் எப்போது எக்ஸ்எதிர்மறை.

எனவே x > 0. பிறகு: x p > 0 . சமத்துவம் y = x p ஐ அடிப்படை e க்கு மடக்கை செய்வோம் மற்றும் மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவோம்:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

இந்த கட்டத்தில், மறைமுகமாகக் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம். அதன் வழித்தோன்றலை வரையறுப்போம்:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

இப்போது நாம் வழக்கை எப்போது கருதுகிறோம் எக்ஸ் -எதிர்மறை எண்.

காட்டி என்றால் பஒரு இரட்டை எண், பின்னர் சக்தி செயல்பாடு x க்கு வரையறுக்கப்படுகிறது< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

பின்னர் x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

என்றால் பஒற்றைப்படை எண், பின்னர் சக்தி செயல்பாடு x க்கு வரையறுக்கப்படுகிறது< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - (- (- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

என்றால் கடைசி மாற்றம் சாத்தியமாகும் பஒரு ஒற்றைப்படை எண், பின்னர் ப - 1இரட்டை எண் அல்லது பூஜ்ஜியம் (p = 1 க்கு), எனவே, எதிர்மறைக்கு எக்ஸ்சமத்துவம் (- x) p - 1 = x p - 1 உண்மை.

எனவே, எந்த உண்மையான p க்கும் ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தை நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

வழங்கப்பட்ட செயல்பாடுகள்:

f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x பதிவு 7 12

அவற்றின் வழித்தோன்றல்களைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு

பட்டத்தின் பண்புகளின் அடிப்படையில் கொடுக்கப்பட்ட சில செயல்பாடுகளை அட்டவணை வடிவமாக y = x p ஆக மாற்றுகிறோம், பின்னர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x பதிவு 7 12 = x - பதிவு 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - பதிவு 7 12 x - பதிவு 7 12 - 1 = - பதிவு 7 12 x - பதிவு 7 12 - பதிவு 7 7 = - பதிவு 7 12 x - பதிவு 7 84

அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

ஆதாரம் 4

வரையறையை அடிப்படையாகப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தைப் பெறுவோம்:

(a x) " = லிம் ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a 0

எங்களுக்கு நிச்சயமற்ற நிலை ஏற்பட்டது. அதை விரிவாக்க, ஒரு புதிய மாறி z = a ∆ x - 1 (z → 0 என ∆ x → 0) எழுதுவோம். இந்த வழக்கில், a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . கடைசி மாற்றத்திற்கு, புதிய மடக்கை தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரம் பயன்படுத்தப்பட்டது.

அசல் வரம்பிற்கு மாற்றுவோம்:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln லிம் ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பை நினைவில் கொள்வோம், பின்னர் அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம்:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

எடுத்துக்காட்டு 3

அதிவேக செயல்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

அவற்றின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவது அவசியம்.

தீர்வு

அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மற்றும் மடக்கையின் பண்புகளுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

ஆதாரம் 5

எந்த ஒரு மடக்கை செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தின் ஆதாரத்தை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம் எக்ஸ்வரையறையின் களத்தில் மற்றும் மடக்கையின் அடிப்படை a இன் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகள். வழித்தோன்றலின் வரையறையின் அடிப்படையில், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x x x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x 1 → + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = x ∆ x · x x = x x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

சுட்டிக்காட்டப்பட்ட சமத்துவங்களின் சங்கிலியிலிருந்து, மாற்றங்கள் மடக்கையின் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை என்பது தெளிவாகிறது. சமத்துவ லிம் ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்புக்கு ஏற்ப உண்மை.

எடுத்துக்காட்டு 4

மடக்கை செயல்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

அவற்றின் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுவது அவசியம்.

தீர்வு

பெறப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

எனவே, இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றல் ஒன்றால் வகுக்கப்படுகிறது எக்ஸ்.

முக்கோணவியல் சார்புகளின் வழித்தோன்றல்கள்

ஆதாரம் 6

முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பெற சில முக்கோணவியல் சூத்திரங்களையும் முதல் அற்புதமான வரம்பையும் பயன்படுத்துவோம்.

சைன் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் வரையறையின்படி, நாம் பெறுகிறோம்:

(சின் x) " = லிம் ∆ x → 0 பாவம் (x + ∆ x) - பாவம் x ∆ x

சைன்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரம் பின்வரும் செயல்களைச் செய்ய அனுமதிக்கும்:

(sin x) " = லிம் ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x = 2 ∆ = லிம் ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

இறுதியாக, முதல் அற்புதமான வரம்பை நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம்:

பாவம் " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

எனவே, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பாவம் xவிருப்பம் cos x.

கொசைனின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தையும் நாங்கள் நிரூபிப்போம்:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x = 2 = ∆ - லிம் ∆ x → 0 பாவம் ∆ x 2 பாவம் x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - பாவம் x + 0 2 லிம் ∆ x → 0 பாவம் ∆ x 2 ∆ x 2 = - பாவம் x

அந்த. cos x செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இருக்கும் – பாவம் x.

வேறுபாட்டின் விதிகளின் அடிப்படையில் டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வழித்தோன்றல்களுக்கான சூத்திரங்களை நாங்கள் பெறுகிறோம்:

t g "x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x பாவம் 2 x = - பாவம் 2 x + cos 2 x பாவம் 2 x = - 1 பாவம் 2 x

தலைகீழ் முக்கோணவியல் சார்புகளின் வழித்தோன்றல்கள்

தலைகீழ் சார்புகளின் வழித்தோன்றல் பற்றிய பிரிவு, ஆர்க்சின், ஆர்க்கோசின், ஆர்க்டேன்ஜென்ட் மற்றும் ஆர்க்கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வழித்தோன்றல்களுக்கான சூத்திரங்களின் ஆதாரம் பற்றிய விரிவான தகவலை வழங்குகிறது, எனவே நாங்கள் இங்கே பொருளை நகலெடுக்க மாட்டோம்.

ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள்

சான்று 7

ஹைபர்போலிக் சைன், கோசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வழித்தோன்றல்களுக்கான சூத்திரங்களை நாம் வேறுபாடு விதி மற்றும் அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பெறலாம்:

s h "x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h " x c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x = s h 1

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

சக்தி-அதிவேக சார்பு என்பது ஒரு சக்தி செயல்பாட்டின் வடிவத்தைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாடு ஆகும்
y = u v,
இதில் அடிப்படை u மற்றும் அடுக்கு v ஆகியவை மாறி x இன் சில செயல்பாடுகள்:
u = u (எக்ஸ்); v = v (எக்ஸ்).
இந்த செயல்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது அதிவேகஅல்லது .

சக்தி-அதிவேக செயல்பாடு அதிவேக வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க:
.
எனவே இது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது சிக்கலான அதிவேக செயல்பாடு.

சக்தி-அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்

மடக்கை வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடு

சக்தி-அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்
(2) ,
மாறியின் செயல்பாடுகள் எங்கே மற்றும் உள்ளன.
இதைச் செய்ய, மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி மடக்கைச் சமன்பாடு (2) செய்கிறோம்:
.
x மாறியைப் பொறுத்து வேறுபடுத்தவும்:
(3) .
நாங்கள் விண்ணப்பிக்கிறோம் சிக்கலான செயல்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதற்கான விதிகள்மற்றும் வேலைகள்:
;
.

நாங்கள் (3) இல் மாற்றுகிறோம்:
.
இங்கிருந்து
.

எனவே, சக்தி-அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டோம்:
(1) .
அடுக்கு நிலையானதாக இருந்தால், . பின்னர் வழித்தோன்றல் ஒரு சிக்கலான சக்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கு சமம்:
.
பட்டத்தின் அடிப்படை நிலையானதாக இருந்தால், . பின்னர் வழித்தோன்றல் சிக்கலான அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கு சமம்:
.
x இன் செயல்பாடுகள் மற்றும் போது, ​​ஆற்றல்-அதிவேகச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் சிக்கலான சக்தி மற்றும் அதிவேக சார்புகளின் வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

ஒரு சிக்கலான அதிவேக செயல்பாட்டிற்கு குறைப்பதன் மூலம் வழித்தோன்றலின் கணக்கீடு

இப்போது சக்தி-அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்
(2) ,
அதை ஒரு சிக்கலான அதிவேக செயல்பாடாக வழங்குதல்:
(4) .

தயாரிப்பை வேறுபடுத்துவோம்:
.
சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

.
மீண்டும் சூத்திரம் (1) கிடைத்தது.

எடுத்துக்காட்டு 1

பின்வரும் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:
.

மடக்கை வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடுகிறோம். அசல் செயல்பாட்டை மடக்கை செய்வோம்:
(A1.1) .

வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் இருந்து நாம் காணலாம்:
;
.
தயாரிப்பு வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, எங்களிடம் உள்ளது:
.
நாங்கள் வேறுபடுத்துகிறோம் (A1.1):
.
ஏனெனில்
,
அந்த
.