Uppgift nr 1
Logiken är enkel: vi kommer att göra som vi gjorde tidigare, oavsett att nu har trigonometriska funktioner ett mer komplext argument!
Om vi skulle lösa en ekvation av formen:
Sedan skulle vi skriva ner följande svar:
Eller (eftersom)
Men nu spelas vår roll av detta uttryck:
Då kan vi skriva:
Vårt mål med dig är att se till att vänster sida står enkelt, utan några "orenheter"!
Låt oss gradvis bli av med dem!
Låt oss först ta bort nämnaren vid: för att göra detta, multiplicera vår jämlikhet med:
Låt oss nu bli av med det genom att dela båda delarna:
Låt oss nu bli av med de åtta:
Det resulterande uttrycket kan skrivas som två serier av lösningar (i analogi med en andragradsekvation, där vi antingen adderar eller subtraherar diskriminanten)
Vi måste hitta den största negativa roten! Det är klart att vi måste reda ut.
Låt oss först titta på det första avsnittet:
Det är klart att om vi tar, så kommer vi som ett resultat att få positiva siffror, men de intresserar oss inte.
Så du måste ta det negativt. Låt vara.
När roten blir smalare:
Och vi måste hitta det största negativa!! Det betyder att det inte längre är meningsfullt att gå i negativ riktning här. Och den största negativa roten för denna serie kommer att vara lika med.
Låt oss nu titta på den andra serien:
Och återigen ersätter vi: , sedan:
Inte intresserad!
Då är det ingen mening att öka mer! Låt oss minska det! Låt då:
Passar!
Låt vara. Sedan
Sedan - den största negativa roten!
Svar:
Uppgift nr 2
Vi löser igen, oavsett det komplexa cosinusargumentet:
Nu uttrycker vi igen till vänster:
Multiplicera båda sidor med
Dela båda sidor med
Allt som återstår är att flytta den till höger, ändra dess tecken från minus till plus.
Vi får återigen 2 serier med rötter, en med och den andra med.
Vi måste hitta den största negativa roten. Låt oss titta på det första avsnittet:
Det är klart att vi kommer att få den första negativa roten vid, den kommer att vara lika med och kommer att vara den största negativa roten i 1 serie.
För den andra serien
Den första negativa roten kommer också att erhållas vid och kommer att vara lika med. Sedan är den största negativa roten av ekvationen.
Svar: .
Uppgift nr 3
Vi löser, oavsett det komplexa tangentargumentet.
Nu verkar det inte komplicerat, eller hur?
Som tidigare uttrycker vi på vänster sida:
Tja, det är bra, det finns bara en serie rötter här! Låt oss hitta det största negativa igen.
Det är klart att det visar sig om man lägger ner det. Och denna rot är lika.
Svar:
Försök nu att lösa följande problem själv.
Läxor eller 3 uppgifter att lösa självständigt.
- Lös ekvationen.
- Lös ekvationen.
I svaret på pi-shi-th-den-minsta-möjliga roten. - Lös ekvationen.
I svaret på pi-shi-th-den-minsta-möjliga roten.
Redo? Låt oss kolla. Jag kommer inte att beskriva hela lösningsalgoritmen i detalj; det verkar för mig att den redan har fått tillräckligt med uppmärksamhet ovan.
Tja, är allt rätt? Åh, de där otäcka bihålorna, det är alltid något slags problem med dem!
Nåväl, nu kan du lösa enkla trigonometriska ekvationer!
Kolla in lösningarna och svaren:
Uppgift nr 1
Låt oss uttrycka
Den minsta positiva roten erhålls om vi sätter, sedan, då
Svar:
Uppgift nr 2
Den minsta positiva roten erhålls vid.
Det blir lika.
Svar: .
Uppgift nr 3
När vi får, när vi har.
Svar: .
Denna kunskap kommer att hjälpa dig att lösa många problem som du kommer att stöta på i provet.
Om du ansöker om betyget "5" behöver du bara fortsätta att läsa artikeln för mellannivå som kommer att ägnas åt att lösa mer komplexa trigonometriska ekvationer (uppgift C1).
GENOMSNITTLIG NIVÅ
I den här artikeln kommer jag att beskriva lösa mer komplexa trigonometriska ekvationer och hur man väljer sina rötter. Här kommer jag att dra på följande ämnen:
- Trigonometriska ekvationer för nybörjarnivå (se ovan).
Mer komplexa trigonometriska ekvationer är grunden för avancerade problem. De kräver både att lösa själva ekvationen i allmän form och att hitta rötterna till denna ekvation som tillhör ett visst givet intervall.
Att lösa trigonometriska ekvationer kommer ner till två deluppgifter:
- Lösa ekvationen
- Rotval
Det bör noteras att den andra inte alltid krävs, men i de flesta exempel krävs fortfarande val. Men om det inte krävs, då kan vi sympatisera med dig - det betyder att ekvationen är ganska komplex i sig.
Min erfarenhet av att analysera C1-problem visar att de vanligtvis delas in i följande kategorier.
Fyra kategorier av uppgifter med ökad komplexitet (tidigare C1)
- Ekvationer som reduceras till faktorisering.
- Ekvationer reducerade till form.
- Ekvationer lösas genom att ändra en variabel.
- Ekvationer som kräver ytterligare urval av rötter på grund av irrationalitet eller nämnare.
Enkelt uttryckt: om du åker fast en av ekvationerna för de tre första typerna, anse dig sedan lycklig. För dem måste du som regel dessutom välja rötter som tillhör ett visst intervall.
Om du stöter på en typ 4-ekvation har du mindre tur: du måste mixtra med den längre och mer noggrant, men ganska ofta kräver det inte ytterligare urval av rötter. Ändå kommer jag att analysera denna typ av ekvationer i nästa artikel, och den här kommer jag att ägna åt att lösa ekvationer av de tre första typerna.
Ekvationer som reduceras till faktorisering
Det viktigaste du behöver komma ihåg för att lösa den här typen av ekvationer är
Som praktiken visar är denna kunskap som regel tillräcklig. Låt oss titta på några exempel:
Exempel 1. Ekvation reducerad till faktorisering med hjälp av reduktions- och dubbelvinkelsinusformlerna
- Lös ekvationen
- Hitta alla rötter till denna ekvation som ligger ovanför snittet
Här, som jag lovade, fungerar reduktionsformlerna:
Då kommer min ekvation att se ut så här:
Då kommer min ekvation att ha följande form:
En kortsynt student kanske säger: nu ska jag förminska båda sidorna, få den enklaste ekvationen och njuta av livet! Och han kommer att ta bittert fel!
| KOM IHÅG: DU KAN ALDRIG MINSKA BÅDA SIDORNA AV EN TRIGONOMETRISK EKVATION MED EN FUNKTION SOM INNEHÅLLER EN OKÄND! SÅ DU TLIPAR DINA RÖTTER! |
Så vad ska man göra? Ja, det är enkelt, flytta allt åt sidan och ta bort den gemensamma faktorn:
Tja, vi räknade in det i faktorer, hurra! Låt oss nu bestämma:
Den första ekvationen har rötter:
Och den andra:
Detta avslutar den första delen av problemet. Nu måste du välja rötterna:
Gapet är så här:
Eller så kan det också skrivas så här:
Nåväl, låt oss ta rötterna:
Låt oss först arbeta med det första avsnittet (och det är minst sagt enklare!)
Eftersom vårt intervall är helt negativt, finns det inget behov av att ta icke-negativa, de kommer fortfarande att ge icke-negativa rötter.
Låt oss ta det, då - det är för mycket, det slår inte.
Låt det vara, då - jag slog det inte igen.
Ett försök till - då - ja, jag fick det! Den första roten har hittats!
Jag skjuter igen: då slår jag igen!
Nåväl, en gång till: : - det här är redan ett flyg.
Så från den första serien finns det 2 rötter som hör till intervallet: .
Vi arbetar med den andra serien (vi bygger till makten enligt regeln):
Underskott!
Saknar det igen!
Saknar det igen!
Jag fattar!
Flyg!
Således har mitt intervall följande rötter:
Detta är algoritmen vi kommer att använda för att lösa alla andra exempel. Låt oss öva tillsammans med ytterligare ett exempel.
Exempel 2. Ekvation reducerad till faktorisering med användning av reduktionsformler
- Lös ekvationen
Lösning:
Återigen de ökända reduktionsformlerna:
Försök inte skära ner igen!
Den första ekvationen har rötter:
Och den andra:
Nu återigen sökandet efter rötter.
Jag börjar med det andra avsnittet, jag vet redan allt om det från föregående exempel! Titta och se till att rötterna som hör till intervallet är följande:
Nu är det första avsnittet och det är enklare:
Om - lämplig
Om det också är bra
Om det redan är ett flyg.
Då blir rötterna som följer:
Självständigt arbete. 3 ekvationer.
Tja, är tekniken tydlig för dig? Verkar det inte så svårt att lösa trigonometriska ekvationer längre? Lös sedan snabbt följande problem själv, så löser vi andra exempel:
- Lös ekvationen
Hitta alla rötter till denna ekvation som ligger ovanför intervallet. - Lös ekvationen
Ange rötterna till ekvationen som ligger ovanför snittet - Lös ekvationen
Hitta alla rötter till denna ekvation som ligger mellan dem.
Ekvation 1.
Och återigen reduktionsformeln:
Första serien av rötter:
Andra serien av rötter:
Vi börjar urvalet för gapet
Svar: , .
Ekvation 2. Kontrollerar självständigt arbete.
En ganska knepig gruppering i faktorer (jag kommer att använda sinusformeln med dubbel vinkel):
då eller
Detta är en generell lösning. Nu måste vi välja rötterna. Problemet är att vi inte kan säga det exakta värdet av en vinkel vars cosinus är lika med en fjärdedel. Därför kan jag inte bara bli av med bågkosinus - så synd!
Det jag kan göra är att komma på att så, så, då.
Låt oss skapa en tabell: interval:
Tja, genom smärtsamma sökningar kom vi till den nedslående slutsatsen att vår ekvation har en rot på det angivna intervallet: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
Ekvation 3: Självständigt arbetsprov.
En skrämmande ekvation. Det kan dock lösas helt enkelt genom att tillämpa sinusformeln med dubbel vinkel:
Låt oss minska det med 2:
Låt oss gruppera den första termen med den andra och den tredje med den fjärde och ta ut de gemensamma faktorerna:
Det är tydligt att den första ekvationen inte har några rötter, och låt oss nu överväga den andra:
I allmänhet tänkte jag uppehålla mig lite senare vid att lösa sådana ekvationer, men eftersom det dök upp finns det inget att göra, jag måste lösa det...
Formens ekvationer:
Denna ekvation löses genom att dividera båda sidor med:
Således har vår ekvation en enda serie rötter:
Vi måste hitta de som hör till intervallet: .
Låt oss bygga ett bord igen, som jag gjorde tidigare:
Svar: .
Ekvationer reducerade till formen:
Nåväl, nu är det dags att gå vidare till den andra delen av ekvationerna, särskilt eftersom jag redan har spelat bönor på vad lösningen på trigonometriska ekvationer av en ny typ består av. Men det är värt att upprepa att ekvationen är av formen
Lösas genom att dividera båda sidor med cosinus:
- Lös ekvationen
Ange rötterna till ekvationen som ligger ovanför snittet. - Lös ekvationen
Ange rötterna till ekvationen som ligger mellan dem.
Exempel 1.
Den första är ganska enkel. Flytta till höger och använd dubbelvinkel-kosinusformeln:
Ja! Formens ekvation: . Jag delar båda delarna med
Vi gör rotscreening:
Glipa:
Svar:
Exempel 2.
Allt är också ganska trivialt: låt oss öppna parenteserna till höger:
Grundläggande trigonometrisk identitet:
Sinus med dubbel vinkel:
Äntligen får vi:
Rotscreening: intervall.
Svar: .
Tja, hur gillar du tekniken, är den inte för komplicerad? Jag hoppas inte. Vi kan omedelbart göra en reservation: i sin rena form är ekvationer som omedelbart reduceras till en ekvation för tangenten ganska sällsynta. Vanligtvis är denna övergång (division med cosinus) bara en del av ett mer komplext problem. Här är ett exempel för dig att öva:
- Lös ekvationen
- Hitta alla rötter till denna ekvation som ligger ovanför snittet.
Låt oss kolla:
Ekvationen kan lösas omedelbart; det räcker att dela båda sidorna med:
Rotscreening:
Svar: .
På ett eller annat sätt har vi ännu inte stött på ekvationer av den typ som vi just har undersökt. Det är dock för tidigt för oss att kalla det en dag: det finns fortfarande ett "lager" av ekvationer kvar som vi inte har sorterat ut. Så:
Lösa trigonometriska ekvationer genom att ändra variabler
Allt är transparent här: vi tittar noga på ekvationen, förenklar den så mycket som möjligt, gör en substitution, löser den, gör en omvänd substitution! I ord är allt väldigt enkelt. Låt oss se i aktion:
Exempel.
- Lös ekvationen: .
- Hitta alla rötter till denna ekvation som ligger ovanför snittet.
Nåväl, här föreslår själva ersättaren sig för oss!
Då blir vår ekvation till detta:
Den första ekvationen har rötter:
Och den andra är så här:
Låt oss nu hitta rötterna som hör till intervallet
Svar: .
Låt oss titta på ett lite mer komplext exempel tillsammans:
- Lös ekvationen
- Ange rötterna till den givna ekvationen, som ligger ovanför dem.
Här är ersättningen inte direkt synlig, dessutom är den inte särskilt uppenbar. Låt oss först tänka: vad kan vi göra?
Vi kan till exempel föreställa oss
Och på samma gång
Då kommer min ekvation att ta formen:
Och nu uppmärksamhet, fokus:
Låt oss dividera båda sidor av ekvationen med:
Plötsligt har du och jag en andragradsekvation släkting! Låt oss byta ut, då får vi:
Ekvationen har följande rötter:
Otrevlig andra serie rötter, men ingenting kan göras! Vi väljer rötter i intervallet.
Det måste vi också tänka på
Sedan och då
Svar:
För att förstärka detta innan du löser problemen själv, här är en annan övning för dig:
- Lös ekvationen
- Hitta alla rötter till denna ekvation som ligger mellan dem.
Här måste du hålla ögonen öppna: vi har nu nämnare som kan vara noll! Därför måste du vara särskilt uppmärksam på rötterna!
Först och främst måste jag ordna om ekvationen så att jag kan göra en lämplig substitution. Jag kan inte komma på något bättre nu än att skriva om tangenten i termer av sinus och cosinus:
Nu ska jag gå från cosinus till sinus med den grundläggande trigonometriska identiteten:
Och slutligen ska jag föra allt till en gemensam nämnare:
Nu kan jag gå vidare till ekvationen:
Men vid (det vill säga kl).
Nu är allt klart för utbyte:
Sedan eller
Observera dock att om, då samtidigt!
Vem lider av detta? Problemet med tangenten är att den inte är definierad när cosinus är lika med noll (division med noll uppstår).
Således är rötterna till ekvationen:
Nu sållar vi ut rötterna i intervallet:
| - passar | |
| - överdrivet |
Således har vår ekvation en enda rot på intervallet, och den är lika.
Du förstår: utseendet på en nämnare (precis som tangenten leder till vissa svårigheter med rötterna! Här måste du vara mer försiktig!).
Tja, du och jag har nästan slutat analysera trigonometriska ekvationer, det finns väldigt lite kvar - att lösa två problem på egen hand. Här är de.
- Lös ekvationen
Hitta alla rötter till denna ekvation som ligger ovanför snittet. - Lös ekvationen
Ange rötterna till denna ekvation, som ligger ovanför snittet.
Bestämt? Är det inte väldigt svårt? Låt oss kolla:
- Vi arbetar enligt reduktionsformlerna:
Ersätt i ekvationen:
Låt oss skriva om allt genom cosinus för att göra det lättare att ersätta:
Nu är det enkelt att byta:
Det är tydligt att det är en främmande rot, eftersom ekvationen inte har några lösningar. Sedan:
Vi letar efter de rötter vi behöver i intervallet
Svar: .
Här syns ersättaren direkt:Sedan eller
- passar! - passar! - passar! - passar! - massor! - också mycket! Svar:
Nåväl, det är det nu! Men att lösa trigonometriska ekvationer slutar inte där, vi står efter i de svåraste fallen: när ekvationerna innehåller irrationalitet eller olika typer av "komplexa nämnare". Vi kommer att titta på hur man löser sådana uppgifter i en artikel för en avancerad nivå.
AVANCERAD NIVÅ
Utöver de trigonometriska ekvationerna som diskuterats i de två föregående artiklarna kommer vi att överväga en annan klass av ekvationer som kräver ännu mer noggrann analys. Dessa trigonometriska exempel innehåller antingen irrationalitet eller en nämnare, vilket gör deras analys svårare. Du kan dock mycket väl stöta på dessa ekvationer i del C av tentamensuppsatsen. Men varje moln har en silverkant: för sådana ekvationer ställs som regel inte längre frågan om vilka av dess rötter som hör till ett givet intervall. Låt oss inte slå runt, utan låt oss gå direkt till trigonometriska exempel.
Exempel 1.
Lös ekvationen och hitta rötterna som hör till segmentet.
Lösning:
Vi har en nämnare som inte ska vara lika med noll! Att sedan lösa denna ekvation är detsamma som att lösa systemet
Låt oss lösa var och en av ekvationerna:
Och nu den andra:
Låt oss nu titta på serien:
Det är tydligt att det här alternativet inte passar oss, eftersom vår nämnare i detta fall nollställs (se formeln för rötterna till den andra ekvationen)
Om så är allt i sin ordning, och nämnaren är inte noll! Då är ekvationens rötter följande: , .
Nu väljer vi rötterna som hör till intervallet.
| - inte lämplig | - passar | |
| - passar | - passar | |
| overkill | overkill |
Då är rötterna som följer:
Du förstår, till och med uppkomsten av en liten störning i form av nämnaren påverkade lösningen av ekvationen avsevärt: vi kasserade en serie rötter som annullerade nämnaren. Saker och ting kan bli ännu mer komplicerade om du stöter på trigonometriska exempel som är irrationella.
Exempel 2.
Lös ekvationen:
Lösning:
Tja, du behöver åtminstone inte ta bort rötterna, och det är bra! Låt oss först lösa ekvationen, oavsett irrationalitet:
Så, är det allt? Nej, tyvärr, det skulle vara för lätt! Vi måste komma ihåg att endast icke-negativa tal kan visas under roten. Sedan:
Lösningen på denna ojämlikhet är:
Nu återstår att ta reda på om en del av rötterna till den första ekvationen oavsiktligt hamnat där ojämlikheten inte håller.
För att göra detta kan du återigen använda tabellen:
| : , Men | Nej! | |
| Ja! | ||
| Ja! |
Därmed "föll" en av mina rötter ut! Det visar sig om man lägger ifrån sig den. Då kan svaret skrivas så här:
Svar:
Du förstår, roten kräver ännu mer uppmärksamhet! Låt oss göra det mer komplicerat: låt nu jag ha en trigonometrisk funktion under min rot.
Exempel 3.
Som tidigare: först ska vi lösa var och en för sig, och sedan ska vi fundera över vad vi har gjort.
Nu den andra ekvationen:
Nu är det svåraste att ta reda på om negativa värden erhålls under den aritmetiska roten om vi ersätter rötterna från den första ekvationen där:
Siffran måste förstås som radianer. Eftersom en radian är ungefär grader, är radianer i storleksordningen grader. Detta är hörnet av det andra kvartalet. Vad är tecknet på cosinus för andra kvartalet? Minus. Hur är det med sinus? Plus. Så vad kan vi säga om uttrycket:
Det är mindre än noll!
Det betyder att det inte är roten till ekvationen.
Nu är det dags.
Låt oss jämföra detta nummer med noll.
Cotangens är en funktion som minskar med 1 fjärdedel (ju mindre argument, desto större cotangens). radianer är ungefär grader. På samma gång
sedan, då och därför
,
Svar: .
Kan det bli mer komplicerat? Snälla du! Det blir svårare om roten fortfarande är en trigonometrisk funktion, och den andra delen av ekvationen är återigen en trigonometrisk funktion.
Ju fler trigonometriska exempel desto bättre, se nedan:
Exempel 4.
Roten är inte lämplig på grund av den begränsade cosinus
Nu den andra:
Samtidigt, per definition av en rot:
Vi måste komma ihåg enhetscirkeln: nämligen de fjärdedelar där sinus är mindre än noll. Vilka är dessa kvarter? Tredje och fjärde. Då kommer vi att vara intresserade av de lösningar av den första ekvationen som ligger i tredje eller fjärde kvartalet.
Den första serien ger rötter som ligger i skärningspunkten mellan tredje och fjärde kvartalet. Den andra serien - diametralt motsatt den - ger upphov till rötter som ligger på gränsen mellan första och andra kvartalet. Därför är den här serien inte lämplig för oss.
Svar: ,
Och igen trigonometriska exempel med "svår irrationalitet". Inte bara har vi den trigonometriska funktionen under roten igen, utan nu finns den också i nämnaren!
Exempel 5.
Nåväl, ingenting går att göra – vi gör som förut.
Nu arbetar vi med nämnaren:
Jag vill inte lösa den trigonometriska ojämlikheten, så jag ska göra något listigt: jag tar och ersätter min serie av rötter i ojämlikheten:
Om - är jämnt, så har vi:
eftersom alla synvinklar ligger i fjärde kvartalet. Och återigen den heliga frågan: vad är tecknet på sinus i fjärde kvartalet? Negativ. Sedan ojämlikheten
Om -udda, då:
I vilken fjärdedel ligger vinkeln? Detta är hörnet av det andra kvartalet. Då är alla hörn återigen hörnen i andra kvartalet. Sinusen där är positiv. Precis vad du behöver! Så serien:
Passar!
Vi hanterar den andra serien av rötter på samma sätt:
Vi ersätter i vår ojämlikhet:
Om - till och med, alltså
Första kvartens hörnor. Sinusen där är positiv, vilket betyder att serien är lämplig. Nu om - udda, då:
passar också!
Nåväl, nu skriver vi ner svaret!
Svar:
Tja, det här var kanske det mest arbetskrävande fallet. Nu erbjuder jag dig problem att lösa på egen hand.
Träning
- Lös och hitta alla rötter till ekvationen som hör till segmentet.
Lösningar:
Första ekvationen:
eller
ODZ för roten:Andra ekvationen:
Urval av rötter som hör till intervallet
Svar:
Eller
eller
Men
Låt oss överväga: . Om - till och med, alltså
- passar inte!
Om - udda, : - lämplig!
Detta betyder att vår ekvation har följande serie av rötter:
eller
Val av rötter i intervallet:
| - inte lämplig | - passar | |
| - passar | - massor | |
| - passar | massor |
Svar: , .
Eller
Sedan är tangenten inte definierad. Vi kastar omedelbart denna serie av rötter!
Andra delen:
Samtidigt krävs det enligt DZ
Vi kontrollerar rötterna som finns i den första ekvationen:
Om tecknet:
Första kvartsvinklarna där tangenten är positiv. Passar inte!
Om tecknet:
Fjärde kvartens hörna. Där är tangenten negativ. Passar. Vi skriver ner svaret:
Svar: , .
Vi har tittat på komplexa trigonometriska exempel tillsammans i den här artikeln, men du bör lösa ekvationerna själv.
SAMMANFATTNING OCH GRUNDFORMLER
En trigonometrisk ekvation är en ekvation där det okända står strikt under den trigonometriska funktionens tecken.
Det finns två sätt att lösa trigonometriska ekvationer:
Det första sättet är att använda formler.
Det andra sättet är genom den trigonometriska cirkeln.
Låter dig mäta vinklar, hitta deras sinus, cosinus, etc.
Ganska ofta i problem med ökad komplexitet vi möter trigonometriska ekvationer som innehåller modul. De flesta av dem kräver ett heuristiskt förhållningssätt till lösning, vilket är helt obekant för de flesta skolbarn.
De problem som föreslås nedan är avsedda att introducera dig till de mest typiska teknikerna för att lösa trigonometriska ekvationer som innehåller en modul.
Uppgift 1. Hitta skillnaden (i grader) mellan de minsta positiva och största negativa rötterna i ekvationen 1 + 2sin x |cos x| = 0.
Lösning.
Låt oss utöka modulen:
1) Om cos x ≥ 0, kommer den ursprungliga ekvationen att ha formen 1 + 2sin x · cos x = 0.
Med hjälp av sinusformeln med dubbel vinkel får vi:
1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Eftersom cos x ≥ 0, då x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Om cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – sin 2x = 0; sin 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Eftersom cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Den största negativa roten av ekvationen: -π/4; minsta positiva roten av ekvationen: 5π/4.
Den nödvändiga skillnaden: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Svar: 270°.
Uppgift 2. Hitta (i grader) den minsta positiva roten av ekvationen |tg x| + 1/cos x = tan x.
Lösning.
Låt oss utöka modulen:
1) Om tan x ≥ 0, då
tan x + 1/cos x = tan x;
Den resulterande ekvationen har inga rötter.
2) Om tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 och cos x ≠ 0.
Med hjälp av figur 1 och villkoret tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Den minsta positiva roten av ekvationen är 5π/6. Låt oss konvertera detta värde till grader:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Svar: 150°.
Uppgift 3. Hitta antalet olika rötter i ekvationen sin |2x| = cos 2x på intervallet [-π/2; π/2].
Lösning.
Låt oss skriva ekvationen på formen sin|2x| – cos 2x = 0 och betrakta funktionen y = sin |2x| – för 2x. Eftersom funktionen är jämn kommer vi att hitta dess nollor för x ≥ 0.
sin 2x – cos 2x = 0; Låt oss dividera båda sidor av ekvationen med cos 2x ≠ 0, vi får:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Med hjälp av funktionens paritet finner vi att rötterna till den ursprungliga ekvationen är tal i formen
± (π/8 + πn/2), där n € Z.
Intervall [-π/2; π/2] hör till talen: -π/8; π/8.
Så, två rötter av ekvationen hör till det givna intervallet.
Svar: 2.
Denna ekvation kan också lösas genom att öppna modulen.
Uppgift 4. Hitta antalet rötter i ekvationen sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x på intervallet [-π; 2π].
Lösning.
1) Betrakta fallet när 2cos x – 1 > 0, dvs. cos x > 1/2, då tar ekvationen formen:
sin x – sin 2 x = sin 2 x;
sin x – 2sin 2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 eller 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 eller sin x = 1/2.
Med hjälp av figur 2 och villkoret cos x > 1/2 hittar vi rötterna till ekvationen:
x = π/6 + 2πn eller x = 2πn, n € Z.
2) Tänk på fallet när 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
sin x + sin 2 x = sin 2 x;
x = 2πn, n € Z.
Med hjälp av figur 2 och cos x-villkoret< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Om vi kombinerar de två fallen får vi:
x = π/6 + 2πn eller x = πn.
3) Intervall [-π; 2π] hör till rötterna: π/6; -π; 0; π; 2π.
Det givna intervallet innehåller alltså fem rötter av ekvationen.
Svar: 5.
Uppgift 5. Hitta antalet rötter i ekvationen (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 på intervallet [-π; 2π].
Lösning.
1) Om sin x ≥ 0, så tar den ursprungliga ekvationen formen (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Efter att ha tagit den gemensamma faktorn sin x ur parentes får vi:
sin x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; eftersom (x – 0,7) 2 + 1 > 0 för alla reella x, då sinx = 0, dvs. x = πn, n € Z.
2) Om sin x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 eller (x – 0,7) 2 + 1 = 0. Eftersom sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0,7 = 1 eller x – 0,7 = -1, vilket betyder x = 1,7 eller x = -0,3.
Med hänsyn till tillståndet sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, vilket betyder att endast talet -0,3 är roten till den ursprungliga ekvationen.
3) Intervall [-π; 2π] hör till talen: -π; 0; π; 2π; -0,3.
Således har ekvationen fem rötter på ett givet intervall.
Svar: 5.
Du kan förbereda dig för lektioner eller prov med hjälp av olika utbildningsresurser som finns tillgängliga på Internet. För närvarande vem som helst 
en person behöver helt enkelt använda ny informationsteknik, eftersom deras korrekta, och viktigast av allt lämpliga, användning kommer att bidra till att öka motivationen för att studera ämnet, öka intresset och hjälpa till att bättre assimilera det nödvändiga materialet. Men glöm inte att datorn inte lär dig att tänka, den mottagna informationen måste bearbetas, förstås och komma ihåg. Därför kan du vända dig till våra onlinehandledare för hjälp, som hjälper dig att ta reda på hur du löser de problem som intresserar dig.
Har du fortfarande frågor? Vet du inte hur man löser trigonometriska ekvationer?
För att få hjälp av en handledare, registrera dig.
Första lektionen är gratis!
webbplats, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till källan.