Cu ei sunt logaritmi în interior.
Exemple:
\(\log_3x≥\log_39\)
\(\log_3 ((x^2-3))< \log_3{(2x)}\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2((x+1))+10≤11 \lg((x+1))\)
Cum se rezolvă inegalitățile logaritmice:
Ar trebui să ne străduim să reducem orice inegalitate logaritmică la forma \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) (simbolul \(˅\) înseamnă oricare dintre ). Acest tip vă permite să scăpați de logaritmi și bazele lor, făcând trecerea la inegalitatea expresiilor sub logaritmi, adică la forma \(f(x) ˅ g(x)\).
Dar atunci când faceți această tranziție există o subtilitate foarte importantă:
\(-\) dacă este un număr și este mai mare decât 1, semnul inegalității rămâne același în timpul tranziției,
\(-\) dacă baza este un număr mai mare decât 0, dar mai mic decât 1 (se află între zero și unu), atunci semnul de inegalitate ar trebui să se schimbe la opus, adică.
|
\(\log_2((8-x))<1\) Soluţie: |
\(\log\)\(_(0,5)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) \(((x+ 1))\) Soluţie: |
Foarte important!În orice inegalitate, trecerea de la forma \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) la compararea expresiilor sub logaritmi se poate face numai dacă:
Exemplu . Rezolvați inegalitatea: \(\log\)\(≤-1\)
Soluţie:
|
\(\log\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) |
Să scriem ODZ. |
|
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) |
|
|
\(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) |
Deschidem parantezele și aducem . |
|
\(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) |
Înmulțim inegalitatea cu \(-1\), fără a uita să inversăm semnul de comparație. |
|
\(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) |
|
|
\(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) |
Să construim o dreaptă numerică și să marchem punctele \(\frac(7)(3)\) și \(\frac(3)(2)\) pe ea. Vă rugăm să rețineți că punctul este eliminat de la numitor, în ciuda faptului că inegalitatea nu este strictă. Cert este că acest punct nu va fi o soluție, deoarece atunci când este înlocuit în inegalitate, ne va conduce la împărțirea la zero. |
|
|
Acum trasăm ODZ pe aceeași axă numerică și notăm ca răspuns intervalul care se încadrează în ODZ. |
|
|
Scriem răspunsul final. |
Exemplu . Rezolvați inegalitatea: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Soluţie:
|
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Să scriem ODZ. |
|
ODZ: \(x>0\) |
Să ajungem la soluție. |
|
Soluție: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Aici avem o inegalitate tipică pătrat-logaritmică. Hai să o facem. |
|
\(t=\log_3x\) |
Extindem partea stângă a inegalității în . |
|
\(D=1+8=9\) |
|
|
Acum trebuie să revenim la variabila inițială - x. Pentru a face acest lucru, să mergem la , care are aceeași soluție și să facem înlocuirea inversă. |
|
|
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2\\\log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Transformă \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac(1)(3)\). |
|
\(\left[ \begin(gathered) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Să trecem la compararea argumentelor. Bazele logaritmilor sunt mai mari decât \(1\), deci semnul inegalităților nu se modifică. |
|
\(\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Să combinăm soluția inegalității și ODZ într-o singură figură. |
|
|
Să scriem răspunsul. |
Când rezolvăm inegalitățile logaritmice, folosim proprietatea de monotonitate a funcției logaritmice. De asemenea, folosim definiția logaritmului și formulele logaritmice de bază.
Să analizăm ce sunt logaritmii:
Logaritm un număr pozitiv la bază este un indicator al puterii la care trebuie ridicat pentru a ajunge.
În același timp
Identitatea logaritmică de bază:
Formule de bază pentru logaritmi:
(Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor)
(Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor)
(Formula pentru logaritmul puterii)
Formula pentru mutarea la o nouă bază:
Algoritm pentru rezolvarea inegalităților logaritmice
Putem spune că inegalitățile logaritmice sunt rezolvate folosind un algoritm specific. Trebuie să notăm intervalul de valori acceptabile (APV) ale inegalității. Reduceți inegalitatea la forma Semnul de aici poate fi orice: Este important ca în stânga și în dreapta inegalității să existe logaritmi la aceeași bază.
Și după aceea „aruncăm” logaritmii! În plus, dacă baza este un grad , semnul de inegalitate rămâne același. Dacă baza este astfel încât semnul inegalității se schimbă în sens opus.
Desigur, nu doar „aruncăm” logaritmi. Folosim proprietatea de monotonitate a funcției logaritmice. Dacă baza logaritmului este mai mare decât unu, funcția logaritmică crește monoton, iar atunci o valoare mai mare a lui x corespunde unei valori mai mari a expresiei.
Dacă baza este mai mare decât zero și mai mică de unu, funcția logaritmică scade monoton. O valoare mai mare a argumentului x va corespunde unei valori mai mici
Notă importantă: cel mai bine este să scrieți soluția sub forma unui lanț de tranziții echivalente.
Să trecem la practică. Ca întotdeauna, să începem cu cele mai simple inegalități.
1. Se consideră inegalitatea log 3 x > log 3 5.
Deoarece logaritmii sunt definiți numai pentru numere pozitive, este necesar ca x să fie pozitiv. Condiția x > 0 se numește intervalul de valori admisibile (APV) a acestei inegalități. Numai pentru un astfel de x are sens inegalitatea.
Ei bine, această formulare sună atrăgătoare și este ușor de reținut. Dar de ce mai putem face asta?
Suntem oameni, avem inteligență. Mintea noastră este concepută în așa fel încât tot ceea ce este logic, de înțeles și are o structură internă să fie reținut și aplicat mult mai bine decât faptele întâmplătoare și fără legătură. De aceea, este important să nu memorezi mecanic regulile ca un câine de matematică dresat, ci să acționezi conștient.
Deci, de ce încă „scădem logaritmii”?
Răspunsul este simplu: dacă baza este mai mare decât unu (ca și în cazul nostru), funcția logaritmică crește monoton, ceea ce înseamnă că unei valori mai mari a lui x îi corespunde o valoare mai mare a lui y și din inegalitatea log 3 x 1 > log 3 x 2 rezultă că x 1 > x 2. 
Vă rugăm să rețineți că am trecut la o inegalitate algebrică, iar semnul inegalității rămâne același.
Deci x > 5.
Următoarea inegalitate logaritmică este, de asemenea, simplă.
2. log 5 (15 + 3x) > log 5 2x
Să începem cu intervalul de valori acceptabile. Logaritmii sunt definiți numai pentru numere pozitive, deci
Rezolvând acest sistem, obținem: x > 0.
Acum să trecem de la inegalitatea logaritmică la cea algebrică - „aruncăm” logaritmii. Deoarece baza logaritmului este mai mare decât unu, semnul inegalității rămâne același.
15 + 3x > 2x.
Se obține: x > −15.
Răspuns: x > 0.
Dar ce se întâmplă dacă baza logaritmului este mai mică de unu? Este ușor de ghicit că în acest caz, când treceți la o inegalitate algebrică, semnul inegalității se va schimba.
Să dăm un exemplu.
Să notăm ODZ. Expresiile din care se iau logaritmii trebuie să fie pozitive, adică
Rezolvând acest sistem, obținem: x > 4,5.
Deoarece , o funcție logaritmică cu o bază scade monoton. Aceasta înseamnă că o valoare mai mare a funcției corespunde unei valori mai mici a argumentului: 
Și dacă atunci
2x − 9 ≤ x.
Obținem că x ≤ 9.
Având în vedere că x > 4,5, scriem răspunsul:
În următoarea problemă, inegalitatea exponențială este redusă la o inegalitate pătratică. Așa că recomandăm repetarea subiectului „inegalități pătratice”.
Acum, pentru inegalități mai complexe:
4. Rezolvați inegalitatea
5. Rezolvați inegalitatea
Dacă, atunci. Suntem norocoși! Știm că baza logaritmului este mai mare decât unu pentru toate valorile lui x incluse în ODZ.
Să facem un înlocuitor
Rețineți că mai întâi rezolvăm complet inegalitatea în raport cu noua variabilă t. Și numai după aceea revenim la variabila x. Amintiți-vă acest lucru și nu greșiți la examen!
Să ne amintim de regula: dacă o ecuație sau o inegalitate conține rădăcini, fracții sau logaritmi, soluția trebuie să înceapă de la intervalul de valori acceptabile. Deoarece baza logaritmului trebuie să fie pozitivă și nu egală cu unu, obținem un sistem de condiții:
Să simplificăm acest sistem:
Acesta este intervalul de valori acceptabile ale inegalității.
Vedem că variabila este conținută în baza logaritmului. Să trecem la baza permanentă. Să vă reamintim că
În acest caz, este convenabil să mergeți la baza 4.
Să facem un înlocuitor
Să simplificăm inegalitatea și să o rezolvăm folosind metoda intervalului:
Să revenim la variabilă x:
Am adăugat o condiție x> 0 (din ODZ).
7. Următoarea problemă poate fi rezolvată și folosind metoda intervalului
Ca întotdeauna, începem să rezolvăm o inegalitate logaritmică din intervalul de valori acceptabile. În acest caz
Această condiție trebuie îndeplinită și vom reveni asupra ei. Să ne uităm la inegalitatea însăși deocamdată. Să scriem partea stângă ca logaritm la baza 3:
Partea dreaptă poate fi, de asemenea, scrisă ca logaritm la baza 3, apoi treceți la inegalitatea algebrică:
Vedem că condiția (adică ODZ) este acum îndeplinită automat. Ei bine, acest lucru facilitează rezolvarea inegalității.
Rezolvăm inegalitatea folosind metoda intervalului:
Răspuns:
A funcționat? Ei bine, să creștem nivelul de dificultate:
8. Rezolvați inegalitatea:
Inegalitatea este echivalentă cu sistemul:
9. Rezolvați inegalitatea:
Expresia 5 - x 2 se repetă compulsiv în enunțul problemei. Aceasta înseamnă că puteți face o înlocuire:
Deoarece funcția exponențială ia doar valori pozitive, t> 0. Apoi
Inegalitatea va lua forma:
Deja mai bine. Să găsim intervalul de valori acceptabile ale inegalității. Am spus deja asta t> 0. În plus, ( t− 3) (5 9 · t − 1) > 0
Dacă această condiție este îndeplinită, atunci coeficientul va fi pozitiv.
Și expresia de sub logaritmul din partea dreaptă a inegalității trebuie să fie pozitivă, adică (625 t − 2) 2 .
Aceasta înseamnă că 625 t− 2 ≠ 0, adică
Să notăm cu atenție ODZ
și rezolvați sistemul rezultat folosind metoda intervalului.
Aşa,
Ei bine, jumătate din bătălie este gata - am rezolvat ODZ. Rezolvăm inegalitatea în sine. Să reprezentăm suma logaritmilor din partea stângă ca logaritm al produsului.
solutie inegalitatiiîn mod online soluţie aproape orice inegalitate dată online. Matematic inegalități online pentru a rezolva matematica. Găsiți repede solutie inegalitatiiîn mod online. Site-ul www.site vă permite să găsiți soluţie aproape orice dat algebric, trigonometric sau inegalitatea transcendentală online. Când studiezi aproape orice ramură a matematicii în diferite etape, trebuie să te decizi inegalități online. Pentru a obține un răspuns imediat și, cel mai important, un răspuns precis, aveți nevoie de o resursă care vă permite să faceți acest lucru. Multumesc site-ului www.site rezolva inegalitatea online va dura câteva minute. Principalul avantaj al www.site-ului atunci când rezolvăm matematică inegalități online- aceasta este viteza și acuratețea răspunsului oferit. Site-ul este capabil să rezolve orice inegalități algebrice online, inegalități trigonometrice online, inegalități transcendentale online, și de asemenea inegalităților cu parametri necunoscuți în modul online. Inegalități servesc ca un puternic aparat matematic solutii probleme practice. Cu ajutorul inegalități matematice este posibil să se exprime fapte și relații care pot părea confuze și complexe la prima vedere. Cantitati necunoscute inegalităților poate fi găsit prin formularea problemei în matematic limba în formă inegalitățilorŞi decide sarcină primită în mod online pe site-ul www.site. Orice inegalitatea algebrică, inegalitatea trigonometrică sau inegalităților conţinând transcendental caracteristici pe care le puteți ușor decide online și obțineți răspunsul exact. Când studiezi științele naturii, întâmpinați inevitabil nevoia soluții la inegalități. În acest caz, răspunsul trebuie să fie corect și trebuie obținut imediat în modul online. Prin urmare pentru Rezolvarea inegalităților matematice online vă recomandăm site-ul www.site, care va deveni calculatorul dumneavoastră indispensabil pentru rezolvarea inegalităților algebrice online, inegalități trigonometrice online, și de asemenea inegalități transcendentale online sau inegalităților cu parametri necunoscuți. Pentru probleme practice de a găsi soluții online la diverse inegalități matematice resursa www.. Rezolvarea inegalități online singur, este util să verificați răspunsul primit folosind soluție online a inegalităților pe site-ul www.site. Trebuie să scrieți corect inegalitatea și să obțineți instantaneu soluție online, după care nu mai rămâne decât să compari răspunsul cu soluția ta la inegalitate. Verificarea răspunsului nu va dura mai mult de un minut, este suficient rezolva inegalitatea onlineși comparați răspunsurile. Acest lucru vă va ajuta să evitați greșelile în decizieși corectează răspunsul la timp când rezolvarea inegalităților online fie el algebric, trigonometric, transcendental sau inegalitate cu parametri necunoscuți.
Când am studiat funcția logaritmică, am luat în considerare în principal inegalitățile formei
log un x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.
Rezolvați logul inegalității (x + 1) ≤ 2 (1).
Soluţie.
1) Partea dreaptă a inegalității luate în considerare are sens pentru toate valorile lui x, iar partea stângă are sens pentru x + 1 > 0, adică. pentru x > -1.
2) Intervalul x > -1 se numește domeniul de definire al inegalității (1). O funcție logaritmică cu baza 10 este în creștere, prin urmare, cu condiția x + 1 > 0, inegalitatea (1) este satisfăcută dacă x + 1 ≤ 100 (deoarece 2 = log 100). Astfel, inegalitatea (1) și sistemul de inegalități
(x > -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,
sunt echivalente, cu alte cuvinte, mulțimea soluțiilor inegalității (1) și sistemul de inegalități (2) sunt aceleași.
3) Rezolvând sistemul (2), găsim -1< х ≤ 99.
Răspuns. -1< х ≤ 99.
Rezolvați inegalitatea log 2 (x – 3) + log 2 (x – 2) ≤ 1 (3).
Soluţie.
1) Domeniul de definire a funcției logaritmice luate în considerare este setul de valori pozitive ale argumentului, prin urmare partea stângă a inegalității are sens pentru x – 3 > 0 și x – 2 > 0.
În consecință, domeniul de definire al acestei inegalități este intervalul x > 3.
2) După proprietățile logaritmului, inegalitatea (3) pentru x > 3 este echivalentă cu inegalitatea log 2 (x – 3)(x – 2) ≤ log 2 (4).
3) Funcția logaritmică cu baza 2 este în creștere. Prin urmare, pentru x > 3, inegalitatea (4) este satisfăcută dacă (x – 3)(x – 2) ≤ 2.
4) Astfel, inegalitatea originală (3) este echivalentă cu sistemul de inegalități
((x – 3)(x – 2) ≤ 2,
(x > 3.
Rezolvând prima inegalitate a acestui sistem, obținem x 2 – 5x + 4 ≤ 0, de unde 1 ≤ x ≤ 4. Combinând acest segment cu intervalul x > 3, obținem 3< х ≤ 4.
Răspuns. 3< х ≤ 4.
Rezolvați inegalitatea log 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ -4. (5)
Soluţie.
1) Domeniul de definire al inegalității se găsește din condiția x 2 + 2x – 8 > 0.
2) Inegalitatea (5) poate fi scrisă ca: 
log 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ log 1/2 16.
3) Deoarece funcția logaritmică cu baza ½ este în scădere, atunci pentru tot x din întregul domeniu de definire al inegalității obținem:
x 2 + 2x – 8 ≤ 16.
Astfel, egalitatea inițială (5) este echivalentă cu sistemul de inegalități
(x 2 + 2x – 8 > 0 sau (x 2 + 2x – 8 > 0,
(x 2 + 2x – 8 ≤ 16, (x 2 + 2x – 24 ≤ 0.
Rezolvând prima inegalitate pătratică, obținem x< -4, х >2. Rezolvând a doua inegalitate pătratică, obținem -6 ≤ x ≤ 4. În consecință, ambele inegalități ale sistemului sunt satisfăcute simultan pentru -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4.
Răspuns. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
Rezolvarea inegalităților online
Înainte de a rezolva inegalitățile, trebuie să înțelegeți bine cum sunt rezolvate ecuațiile.
Indiferent dacă inegalitatea este strictă () sau nestrictă (≤, ≥), primul pas este rezolvarea ecuației prin înlocuirea semnului de inegalitate cu egalitate (=).
Să explicăm ce înseamnă să rezolvi o inegalitate?
După studierea ecuațiilor, în capul elevului apare următoarea imagine: el trebuie să găsească valori ale variabilei astfel încât ambele părți ale ecuației să ia aceleași valori. Cu alte cuvinte, găsiți toate punctele în care este valabilă egalitatea. Totul este corect!
Când vorbim despre inegalități, ne referim la găsirea de intervale (segmente) pe care inegalitatea este valabilă. Dacă există două variabile în inegalitate, atunci soluția nu va mai fi intervale, ci niște zone din plan. Ghiciți singuri care va fi soluția la o inegalitate în trei variabile?
Cum se rezolvă inegalitățile?
O modalitate universală de rezolvare a inegalităților este considerată a fi metoda intervalelor (cunoscută și ca metoda intervalelor), care constă în determinarea tuturor intervalelor în limitele cărora va fi satisfăcută o anumită inegalitate.
Fără a intra în tipul de inegalitate, în acest caz nu acesta este ideea, trebuie să rezolvați ecuația corespunzătoare și să determinați rădăcinile acesteia, urmate de desemnarea acestor soluții pe axa numerelor.
Cum se scrie corect soluția unei inegalități?
Când ați determinat intervalele de soluție pentru inegalitate, trebuie să scrieți corect soluția în sine. Există o nuanță importantă - limitele intervalelor sunt incluse în soluție?
Totul este simplu aici. Dacă soluția ecuației satisface ODZ și inegalitatea nu este strictă, atunci granița intervalului este inclusă în soluția inegalității. Altfel, nu.
Luând în considerare fiecare interval, soluția inegalității poate fi intervalul în sine, sau un semi-interval (când una dintre limitele sale satisface inegalitatea), sau un segment - intervalul împreună cu limitele sale.
Punct important
Să nu credeți că numai intervalele, semiintervalele și segmentele pot rezolva inegalitatea. Nu, soluția poate include și puncte individuale.
De exemplu, inegalitatea |x|≤0 are o singură soluție - acesta este punctul 0.
Și inegalitatea |x|
De ce ai nevoie de un calculator de inegalități?
Calculatorul de inegalități oferă răspunsul final corect. În cele mai multe cazuri, este furnizată o ilustrare a unei axe sau a unui plan numeric. Este vizibil dacă limitele intervalelor sunt incluse în soluție sau nu - punctele sunt afișate ca umbrite sau perforate.
Datorită calculatorului de inegalități online, poți verifica dacă ai găsit corect rădăcinile ecuației, le-ai marcat pe axa numerelor și ai verificat îndeplinirea condiției de inegalități pe intervale (și limite)?
Dacă răspunsul dvs. diferă de răspunsul calculatorului, atunci trebuie neapărat să vă verificați soluția și să identificați greșeala.