Sarcina nr. 1
Logica este simplă: vom proceda așa cum am făcut înainte, indiferent de faptul că acum funcțiile trigonometrice au un argument mai complex!
Dacă ar fi să rezolvăm o ecuație de forma:
Apoi vom scrie următorul răspuns:
Sau (din moment ce)
Dar acum rolul nostru este jucat de această expresie:
Apoi putem scrie:
Scopul nostru cu tine este să ne asigurăm că partea stângă stă simplu, fără „impurități”!
Să scăpăm treptat de ele!
În primul rând, să eliminăm numitorul de la: pentru a face acest lucru, înmulțiți egalitatea noastră cu:
Acum să scăpăm de el împărțind ambele părți:
Acum să scăpăm de cele opt:
Expresia rezultată poate fi scrisă ca 2 serii de soluții (prin analogie cu o ecuație pătratică, în care fie adunăm, fie scădem discriminantul)
Trebuie să găsim cea mai mare rădăcină negativă! Este clar că trebuie să rezolvăm.
Să ne uităm mai întâi la primul episod:
Este clar că dacă luăm, atunci ca rezultat vom primi numere pozitive, dar acestea nu ne interesează.
Deci trebuie să o luați negativ. Lasa.
Când rădăcina va fi mai îngustă:
Și trebuie să găsim cel mai mare negativ!! Aceasta înseamnă că mersul în direcția negativă nu mai are sens aici. Și cea mai mare rădăcină negativă pentru această serie va fi egală cu.
Acum să ne uităm la a doua serie:
Și din nou înlocuim: , apoi:
Nu sunt interesat!
Atunci nu mai are sens să crești! Să o reducem! Lasă atunci:
Se potrivește!
Lasa. Apoi
Apoi - cea mai mare rădăcină negativă!
Răspuns:
Sarcina nr. 2
Rezolvăm din nou, indiferent de argumentul cosinus complex:
Acum exprimăm din nou în stânga:
Înmulțiți ambele părți cu
Împărțiți ambele părți
Rămâne doar să îl mutați spre dreapta, schimbându-i semnul din minus în plus.
Obținem din nou 2 serii de rădăcini, una cu și alta cu.
Trebuie să găsim cea mai mare rădăcină negativă. Să ne uităm la primul episod:
Este clar că vom obține prima rădăcină negativă la, va fi egală cu și va fi cea mai mare rădăcină negativă din 1 serie.
Pentru a doua serie
Prima rădăcină negativă se va obține și la și va fi egală cu. Deoarece, atunci este cea mai mare rădăcină negativă a ecuației.
Răspuns: .
Sarcina nr. 3
Rezolvăm, indiferent de argumentul tangentei complexe.
Acum, nu pare complicat, nu?
Ca și înainte, exprimăm în partea stângă:
Ei bine, este grozav, există o singură serie de rădăcini aici! Să găsim din nou cel mai mare negativ.
Este clar că se dovedește dacă îl lași jos. Și această rădăcină este egală.
Răspuns:
Acum încercați să rezolvați singur următoarele probleme.
Teme sau 3 sarcini de rezolvat independent.
- Rezolvați ecuația.
- Rezolvați ecuația.
În răspunsul la rădăcina pi-shi-th-the-smallesest-possible. - Rezolvați ecuația.
În răspunsul la rădăcina pi-shi-th-the-smallesest-possible.
Gata? Sa verificam. Nu voi descrie în detaliu întreg algoritmul de soluție; mi se pare că a primit deja suficientă atenție mai sus.
Ei bine, este totul în regulă? Oh, sinusurile alea urâte, întotdeauna există un fel de probleme cu ele!
Ei bine, acum poți rezolva ecuații trigonometrice simple!
Consultați soluțiile și răspunsurile:
Sarcina nr. 1
Să ne exprimăm
Cea mai mică rădăcină pozitivă se obține dacă punem, din moment ce, atunci
Răspuns:
Sarcina nr. 2
Cea mai mică rădăcină pozitivă se obține la.
Va fi egal.
Răspuns: .
Sarcina nr. 3
Când primim, când avem.
Răspuns: .
Aceste cunoștințe te vor ajuta să rezolvi multe probleme pe care le vei întâlni la examen.
Dacă aplicați pentru o evaluare „5”, atunci trebuie doar să continuați să citiți articolul pentru nivel mediu care va fi dedicat rezolvării ecuaţiilor trigonometrice mai complexe (sarcina C1).
NIVEL MEDIU
În acest articol voi descrie rezolvarea unor ecuații trigonometrice mai complexeși cum să le aleagă rădăcinile. Aici mă voi baza pe următoarele subiecte:
- Ecuații trigonometrice pentru nivel începător (vezi mai sus).
Ecuațiile trigonometrice mai complexe stau la baza problemelor avansate. Ele necesită atât rezolvarea ecuației în sine în formă generală, cât și găsirea rădăcinilor acestei ecuații aparținând unui anumit interval dat.
Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice se reduce la două subsarcini:
- Rezolvarea ecuației
- Selectarea rădăcinilor
Trebuie remarcat faptul că al doilea nu este întotdeauna necesar, dar în majoritatea exemplelor selecția este încă necesară. Dar dacă nu este necesar, atunci vă putem simpatiza - aceasta înseamnă că ecuația este destul de complexă în sine.
Experiența mea în analiza problemelor C1 arată că acestea sunt de obicei împărțite în următoarele categorii.
Patru categorii de sarcini de complexitate crescută (fostul C1)
- Ecuații care se reduc la factorizare.
- Ecuații reduse la formă.
- Ecuații rezolvate prin schimbarea unei variabile.
- Ecuații care necesită o selecție suplimentară de rădăcini din cauza iraționalității sau numitorului.
Pentru a spune simplu: dacă ești prins una dintre ecuaţiile primelor trei tipuri, atunci consideră-te norocos. Pentru ei, de regulă, trebuie să selectați suplimentar rădăcinile care aparțin unui anumit interval.
Dacă întâlniți o ecuație de tip 4, atunci ești mai puțin norocos: trebuie să o faci mai mult și mai atent, dar destul de des nu necesită o selecție suplimentară de rădăcini. Cu toate acestea, voi analiza acest tip de ecuații în articolul următor, iar acesta îl voi dedica rezolvării ecuațiilor din primele trei tipuri.
Ecuații care se reduc la factorizare
Cel mai important lucru pe care trebuie să-l amintești pentru a rezolva acest tip de ecuație este
După cum arată practica, de regulă, aceste cunoștințe sunt suficiente. Să ne uităm la câteva exemple:
Exemplul 1. Ecuația redusă la factorizare folosind formulele de reducere și sinus cu unghi dublu
- Rezolvați ecuația
- Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află deasupra tăieturii
Iată, așa cum am promis, formulele de reducere funcționează:
Atunci ecuația mea va arăta astfel:
Atunci ecuația mea va lua următoarea formă:
Un student miop ar putea spune: acum voi reduce ambele părți, voi obține cea mai simplă ecuație și mă voi bucura de viață! Și se va înșela amarnic!
| REȚINEȚI: NU POȚI REDUCE NICIODATĂ AMBELE FEȚE ALE ECUATIEI TRIGONOMETRICE CU O FUNCȚIE CARE CONȚINE UN NECUNOSCUT! Așa că îți pierzi rădăcinile! |
Deci ce să fac? Da, este simplu, mutați totul într-o parte și eliminați factorul comun:
Ei bine, am luat-o în calcul în factori, hai! Acum să decidem:
Prima ecuație are rădăcini:
Si al doilea:
Aceasta completează prima parte a problemei. Acum trebuie să selectați rădăcinile:
Decalajul este astfel:
Sau poate fi scris și așa:
Ei bine, să luăm rădăcinile:
În primul rând, să lucrăm cu primul episod (și e mai simplu, ca să spunem cel puțin!)
Deoarece intervalul nostru este în întregime negativ, nu este nevoie să luăm cele nenegative, ele vor da în continuare rădăcini nenegative.
Să o luăm, atunci - e prea mult, nu lovește.
Lasă să fie, atunci - nu l-am lovit din nou.
Încă o încercare - apoi - da, am înțeles! Prima rădăcină a fost găsită!
Trag iar: apoi lovesc iar!
Ei bine, încă o dată: : - acesta este deja un zbor.
Deci din prima serie sunt 2 rădăcini aparținând intervalului: .
Lucrăm cu a doua serie (construim la puterea conform regulii):
Undershoot!
Mi-a lipsit din nou!
Mi-a lipsit din nou!
Am înţeles!
Zbor!
Astfel, intervalul meu are următoarele rădăcini:
Acesta este algoritmul pe care îl vom folosi pentru a rezolva toate celelalte exemple. Să exersăm împreună cu încă un exemplu.
Exemplul 2. Ecuația redusă la factorizare folosind formule de reducere
- Rezolvați ecuația
Soluţie:
Din nou notoriile formule de reducere:
Nu încercați să reduceți din nou!
Prima ecuație are rădăcini:
Si al doilea:
Acum din nou căutarea rădăcinilor.
Voi începe cu al doilea episod, știu deja totul despre el din exemplul anterior! Priviți și asigurați-vă că rădăcinile aparținând intervalului sunt după cum urmează:
Acum primul episod și e mai simplu:
Dacă - potrivit
Dacă și asta e bine
Dacă este deja un zbor.
Apoi rădăcinile vor fi după cum urmează:
Muncă independentă. 3 ecuații.
Ei bine, tehnica este clară pentru tine? Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice nu mai pare atât de dificilă? Apoi rezolvați rapid următoarele probleme și apoi vom rezolva alte exemple:
- Rezolvați ecuația
Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află deasupra intervalului. - Rezolvați ecuația
Indicați rădăcinile ecuației care se află deasupra tăieturii - Rezolvați ecuația
Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află între ele.
Ecuația 1.
Și din nou formula de reducere:
Prima serie de rădăcini:
A doua serie de rădăcini:
Începem selecția pentru decalaj
Răspuns: , .
Ecuația 2. Verificarea muncii independente.
O grupare destul de complicată în factori (voi folosi formula sinusului cu unghi dublu):
apoi sau
Aceasta este o soluție generală. Acum trebuie să selectăm rădăcinile. Problema este că nu putem spune valoarea exactă a unui unghi al cărui cosinus este egal cu un sfert. Prin urmare, nu pot să scap doar de arc cosinus - atât de păcat!
Ce pot face este să-mi dau seama că așa, așa, atunci.
Să creăm un tabel: interval:
Ei bine, prin căutări dureroase am ajuns la concluzia dezamăgitoare că ecuația noastră are o singură rădăcină în intervalul indicat: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
Ecuația 3: Test de lucru independent.
O ecuație înspăimântătoare. Cu toate acestea, poate fi rezolvată destul de simplu prin aplicarea formulei sinusului cu unghi dublu:
Să o reducem cu 2:
Să grupăm primul termen cu al doilea și al treilea cu al patrulea și să scoatem factorii comuni:
Este clar că prima ecuație nu are rădăcini, iar acum să luăm în considerare a doua:
În general, aveam să mă opresc puțin mai târziu asupra rezolvării unor astfel de ecuații, dar din moment ce a apărut, nu e nimic de făcut, trebuie să o rezolv...
Ecuații de forma:
Această ecuație se rezolvă prin împărțirea ambelor părți la:
Astfel, ecuația noastră are o singură serie de rădăcini:
Trebuie să le găsim pe cele care aparțin intervalului: .
Să construim din nou un tabel, așa cum am făcut mai devreme:
Răspuns: .
Ecuații reduse la forma:
Ei bine, acum este timpul să trec la a doua porțiune de ecuații, mai ales că am expus deja în ce constă soluția la ecuațiile trigonometrice de un nou tip. Dar merită repetat că ecuația este de formă
Rezolvat prin împărțirea ambelor părți la cosinus:
- Rezolvați ecuația
Indicați rădăcinile ecuației care se află deasupra tăieturii. - Rezolvați ecuația
Indicați rădăcinile ecuației care se află între ele.
Exemplul 1.
Primul este destul de simplu. Deplasați-vă la dreapta și aplicați formula cosinusului cu unghi dublu:
Da! Ecuația de formă: . Împărțim ambele părți la
Facem screening rădăcină:
Decalaj:
Răspuns:
Exemplul 2.
Totul este, de asemenea, destul de banal: să deschidem parantezele din dreapta:
Identitatea trigonometrică de bază:
Sinusul unghiului dublu:
În sfârșit obținem:
Screening rădăcină: interval.
Răspuns: .
Ei bine, cum vă place tehnica, nu este prea complicată? Sper ca nu. Putem face imediat o rezervă: în forma lor pură, ecuațiile care se reduc imediat la o ecuație pentru tangentă sunt destul de rare. De obicei, această tranziție (diviziunea prin cosinus) este doar o parte a unei probleme mai complexe. Iată un exemplu pe care să îl exersați:
- Rezolvați ecuația
- Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află deasupra tăieturii.
Sa verificam:
Ecuația poate fi rezolvată imediat; este suficient să împărțiți ambele părți la:
Screening rădăcină:
Răspuns: .
Într-un fel sau altul, încă nu am întâlnit ecuații de tipul pe care tocmai l-am examinat. Cu toate acestea, este prea devreme să numim asta: a mai rămas încă un „strat” de ecuații pe care nu l-am rezolvat. Asa de:
Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice prin schimbarea variabilelor
Totul este transparent aici: ne uităm atent la ecuație, o simplificăm pe cât posibil, facem o înlocuire, o rezolvăm, facem o înlocuire inversă! În cuvinte, totul este foarte ușor. Să vedem în acțiune:
Exemplu.
- Rezolvați ecuația: .
- Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află deasupra tăieturii.
Ei bine, aici înlocuitorul în sine ni se sugerează!
Atunci ecuația noastră se va transforma în asta:
Prima ecuație are rădăcini:
Iar al doilea este cam asa:
Acum să găsim rădăcinile aparținând intervalului
Răspuns: .
Să ne uităm împreună la un exemplu puțin mai complex:
- Rezolvați ecuația
- Indicați rădăcinile ecuației date, situate deasupra, între ele.
Aici înlocuirea nu este imediat vizibilă, în plus, nu este foarte evidentă. Să ne gândim mai întâi: ce putem face?
Ne putem, de exemplu, să ne imaginăm
Și în același timp
Atunci ecuația mea va lua forma:
Și acum atenție, concentrează-te:
Să împărțim ambele părți ale ecuației la:
Dintr-o dată, tu și cu mine avem o relativă ecuație pătratică! Să facem o înlocuire, apoi obținem:
Ecuația are următoarele rădăcini:
A doua serie neplăcută de rădăcini, dar nu se poate face nimic! Selectăm rădăcini în interval.
Trebuie să luăm în considerare și asta
De când și, atunci
Răspuns:
Pentru a consolida acest lucru înainte de a rezolva singur problemele, iată un alt exercițiu pentru tine:
- Rezolvați ecuația
- Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află între ele.
Aici trebuie să ții ochii deschiși: acum avem numitori care pot fi zero! Prin urmare, trebuie să fii deosebit de atent la rădăcini!
În primul rând, trebuie să rearanjez ecuația astfel încât să pot face o înlocuire adecvată. Nu mă pot gândi la nimic mai bun acum decât să rescriu tangenta în termeni de sinus și cosinus:
Acum voi trece de la cosinus la sinus folosind identitatea trigonometrică de bază:
Și, în sfârșit, voi aduce totul la un numitor comun:
Acum pot trece la ecuația:
Dar la (adică la).
Acum totul este gata pentru înlocuire:
Apoi sau
Cu toate acestea, rețineți că dacă, atunci în același timp!
Cine suferă de asta? Problema cu tangentei este că nu este definită când cosinusul este egal cu zero (se produce împărțirea la zero).
Astfel, rădăcinile ecuației sunt:
Acum cernem rădăcinile în interval:
| - se potrivește | |
| - exagerat |
Astfel, ecuația noastră are o singură rădăcină pe interval și este egală.
Vezi tu: apariția unui numitor (la fel ca și tangenta, duce la anumite dificultăți cu rădăcinile! Aici trebuie să fii mai atent!).
Ei bine, tu și cu mine aproape am terminat de analizat ecuațiile trigonometrice; a mai rămas foarte puțin - pentru a rezolva singur două probleme. Aici sunt ei.
- Rezolvați ecuația
Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care se află deasupra tăieturii. - Rezolvați ecuația
Indicați rădăcinile acestei ecuații, situate deasupra tăieturii.
Hotărât? Nu este foarte greu? Sa verificam:
- Lucrăm după formulele de reducere:
Înlocuiți în ecuație:
Să rescriem totul prin cosinus pentru a face mai ușor înlocuirea:
Acum este ușor să faci o înlocuire:
Este clar că este o rădăcină străină, deoarece ecuația nu are soluții. Apoi:
Căutăm rădăcinile de care avem nevoie în interval
Răspuns: .
Aici înlocuitorul este imediat vizibil:Apoi sau
- se potrivește! - se potrivește! - se potrivește! - se potrivește! - mult! - de asemenea, multe! Răspuns:
Ei bine, asta este acum! Dar rezolvarea ecuațiilor trigonometrice nu se termină aici; rămânem în urmă în cele mai dificile cazuri: atunci când ecuațiile conțin iraționalitate sau diferite tipuri de „numitori complecși”. Vom analiza cum să rezolvăm astfel de sarcini într-un articol pentru un nivel avansat.
NIVEL AVANSAT
Pe lângă ecuațiile trigonometrice discutate în cele două articole precedente, vom lua în considerare o altă clasă de ecuații care necesită o analiză și mai atentă. Aceste exemple trigonometrice conțin fie iraționalitate, fie un numitor, ceea ce face analiza lor mai dificilă. Cu toate acestea, este posibil să întâlniți aceste ecuații în partea C a lucrării de examen. Cu toate acestea, fiecare nor are o căptușeală de argint: pentru astfel de ecuații, de regulă, întrebarea care dintre rădăcinile sale aparține unui anumit interval nu se mai pune. Să nu ocolim tufișul, dar să trecem direct la exemple trigonometrice.
Exemplul 1.
Rezolvați ecuația și găsiți rădăcinile care aparțin segmentului.
Soluţie:
Avem un numitor care nu trebuie să fie egal cu zero! Atunci rezolvarea acestei ecuații este la fel cu rezolvarea sistemului
Să rezolvăm fiecare dintre ecuații:
Și acum al doilea:
Acum să ne uităm la serie:
Este clar că această opțiune nu ne convine, deoarece în acest caz numitorul nostru este resetat la zero (vezi formula pentru rădăcinile celei de-a doua ecuații)
Dacă, atunci totul este în ordine, iar numitorul nu este zero! Atunci rădăcinile ecuației sunt următoarele: , .
Acum selectăm rădăcinile aparținând intervalului.
| - nu sunt adecvate | - se potrivește | |
| - se potrivește | - se potrivește | |
| exagerat | exagerat |
Apoi rădăcinile sunt după cum urmează:
Vedeți, chiar și apariția unei mici perturbări sub forma numitorului a afectat semnificativ soluția ecuației: am aruncat o serie de rădăcini care au anulat numitorul. Lucrurile se pot complica și mai mult dacă dai peste exemple trigonometrice care sunt iraționale.
Exemplul 2.
Rezolvați ecuația:
Soluţie:
Ei bine, cel puțin nu trebuie să luați rădăcinile și asta e bine! Să rezolvăm mai întâi ecuația, indiferent de iraționalitate:
Deci, asta e tot? Nu, vai, ar fi prea ușor! Trebuie să ne amintim că numai numerele nenegative pot apărea sub rădăcină. Apoi:
Soluția acestei inegalități este:
Acum rămâne să aflăm dacă o parte din rădăcinile primei ecuații a ajuns din greșeală acolo unde inegalitatea nu este valabilă.
Pentru a face acest lucru, puteți utiliza din nou tabelul:
| : , Dar | Nu! | |
| Da! | ||
| Da! |
Astfel, una dintre rădăcinile mele „a căzut”! Se dovedește că dacă îl lași jos. Apoi răspunsul poate fi scris după cum urmează:
Răspuns:
Vedeți, rădăcina necesită și mai multă atenție! Să facem totul mai complicat: acum să am o funcție trigonometrică sub rădăcină.
Exemplul 3.
Ca și înainte: mai întâi le vom rezolva pe fiecare separat, apoi ne vom gândi la ce am făcut.
Acum a doua ecuație:
Acum, cel mai dificil lucru este să aflăm dacă se obțin valori negative sub rădăcina aritmetică dacă înlocuim acolo rădăcinile din prima ecuație:
Numărul trebuie înțeles ca radiani. Deoarece un radian este de aproximativ grade, atunci radianii sunt de ordinul gradelor. Acesta este colțul celui de-al doilea trimestru. Care este semnul cosinusului celui de-al doilea sfert? Minus. Ce zici de sine? La care se adauga. Deci, ce putem spune despre expresia:
Este mai puțin de zero!
Aceasta înseamnă că nu este rădăcina ecuației.
Acum este timpul.
Să comparăm acest număr cu zero.
Cotangenta este o functie care scade in 1 sfert (cu cat argumentul este mai mic, cu atat cotangenta este mai mare). radianii sunt aproximativ grade. În același timp
de când, atunci și deci
,
Răspuns: .
Ar putea deveni mai complicat? Vă rog! Va fi mai dificil dacă rădăcina este încă o funcție trigonometrică, iar a doua parte a ecuației este din nou o funcție trigonometrică.
Cu cât mai multe exemple trigonometrice, cu atât mai bine, vezi mai jos:
Exemplul 4.
Rădăcina nu este potrivită din cauza cosinusului limitat
Acum al doilea:
În același timp, prin definiția unei rădăcini:
Trebuie să ne amintim cercul unitar: și anume acele sferturi în care sinusul este mai mic decât zero. Ce sunt aceste sferturi? Al treilea și al patrulea. Atunci ne vor interesa acele soluții ale primei ecuații care se află în al treilea sau al patrulea trimestru.
Prima serie oferă rădăcini situate la intersecția celui de-al treilea și al patrulea sferturi. A doua serie - diametral opusă acesteia - dă naștere la rădăcini situate la granița primului și al doilea sferturi. Prin urmare, această serie nu este potrivită pentru noi.
Răspuns: ,
Și din nou exemple trigonometrice cu „iraționalitate dificilă”. Nu numai că avem din nou funcția trigonometrică sub rădăcină, dar acum este și în numitor!
Exemplul 5.
Ei bine, nu se poate face nimic - facem ca înainte.
Acum lucrăm cu numitorul:
Nu vreau să rezolv inegalitatea trigonometrică, așa că voi face ceva viclean: voi lua și voi înlocui seria mea de rădăcini în inegalitate:
Dacă - este par, atunci avem:
deoarece toate unghiurile de vedere se află în al patrulea sfert. Și din nou întrebarea sacră: care este semnul sinusului în al patrulea trimestru? Negativ. Apoi inegalitatea
Dacă -impar, atunci:
În ce sfert se află unghiul? Acesta este colțul celui de-al doilea trimestru. Apoi, toate colțurile sunt din nou colțurile celui de-al doilea sfert. Sinusul de acolo este pozitiv. Exact ce ai nevoie! Deci seria:
Se potrivește!
Ne ocupăm de a doua serie de rădăcini în același mod:
Înlocuim în inegalitatea noastră:
Dacă - chiar, atunci
Colțuri din primul sfert. Sinusul de acolo este pozitiv, ceea ce înseamnă că seria este potrivită. Acum, dacă - impar, atunci:
se potriveste si!
Ei bine, acum scriem răspunsul!
Răspuns:
Ei bine, acesta a fost poate cel mai laborios caz. Acum iti propun probleme de rezolvat singur.
Instruire
- Rezolvați și găsiți toate rădăcinile ecuației care aparțin segmentului.
Solutii:
Prima ecuație:
sau
ODZ al rădăcinii:A doua ecuație:
Selectarea rădăcinilor care aparțin intervalului
Răspuns:
Sau
sau
Dar
Sa luam in considerare: . Dacă - chiar, atunci
- nu se potriveste!
Dacă - ciudat, : - potrivit!
Aceasta înseamnă că ecuația noastră are următoarea serie de rădăcini:
sau
Selectarea rădăcinilor în interval:
| - nu sunt adecvate | - se potrivește | |
| - se potrivește | - mult | |
| - se potrivește | mult |
Răspuns: , .
Sau
Din moment ce, atunci tangenta nu este definită. Aruncăm imediat această serie de rădăcini!
A doua parte:
Totodată, potrivit DZ se cere ca
Verificăm rădăcinile găsite în prima ecuație:
Dacă semnul:
Unghiurile primului sfert în care tangenta este pozitivă. Nu se potrivește!
Dacă semnul:
Colțul al patrulea sfert. Acolo tangenta este negativă. Se potrivește. Scriem răspunsul:
Răspuns: , .
Am analizat împreună exemple trigonometrice complexe în acest articol, dar ar trebui să rezolvați singur ecuațiile.
REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ
O ecuație trigonometrică este o ecuație în care necunoscutul se află strict sub semnul funcției trigonometrice.
Există două moduri de a rezolva ecuații trigonometrice:
Prima modalitate este utilizarea formulelor.
A doua cale este prin cercul trigonometric.
Vă permite să măsurați unghiuri, să găsiți sinusurile, cosinusurile, etc.
Destul de des în problemele de complexitate crescută pe care le întâlnim ecuații trigonometrice care conțin modul. Cele mai multe dintre ele necesită o abordare euristică a soluției, care este complet necunoscută pentru majoritatea școlarilor.
Problemele propuse mai jos au scopul de a vă introduce în cele mai tipice tehnici de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice care conțin un modul.
Problema 1. Aflați diferența (în grade) dintre cele mai mici rădăcini pozitive și cele mai mari negative ale ecuației 1 + 2sin x |cos x| = 0.
Soluţie.
Să extindem modulul:
1) Dacă cos x ≥ 0, atunci ecuația inițială va lua forma 1 + 2sin x cos x = 0.
Folosind formula sinusului cu unghi dublu, obținem:
1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Deoarece cos x ≥ 0, atunci x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Dacă cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – sin 2x = 0; sin 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Deoarece cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Cea mai mare rădăcină negativă a ecuației: -π/4; cea mai mică rădăcină pozitivă a ecuației: 5π/4.
Diferența necesară: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Răspuns: 270°.
Problema 2. Aflați (în grade) cea mai mică rădăcină pozitivă a ecuației |tg x| + 1/cos x = tan x.
Soluţie.
Să extindem modulul:
1) Dacă tan x ≥ 0, atunci
tan x + 1/cos x = tan x;
Ecuația rezultată nu are rădăcini.
2) Dacă tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 și cos x ≠ 0.
Folosind Figura 1 și condiția tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Cea mai mică rădăcină pozitivă a ecuației este 5π/6. Să convertim această valoare în grade:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Răspuns: 150°.
Problema 3. Aflați numărul de rădăcini diferite ale ecuației sin |2x| = cos 2x pe intervalul [-π/2; π/2].
Soluţie.
Să scriem ecuația sub forma sin|2x| – cos 2x = 0 și se consideră funcția y = sin |2x| – cos 2x. Deoarece funcția este pară, vom găsi zerourile sale pentru x ≥ 0.
sin 2x – cos 2x = 0; Să împărțim ambele părți ale ecuației la cos 2x ≠ 0, obținem:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Folosind paritatea funcției, aflăm că rădăcinile ecuației originale sunt numere de formă
± (π/8 + πn/2), unde n € Z.
Interval [-π/2; π/2] aparțin numerelor: -π/8; π/8.
Deci, două rădăcini ale ecuației aparțin intervalului dat.
Raspuns: 2.
Această ecuație ar putea fi rezolvată și prin deschiderea modulului.
Problema 4. Aflați numărul de rădăcini ale ecuației sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x pe intervalul [-π; 2π].
Soluţie.
1) Luați în considerare cazul când 2cos x – 1 > 0, adică. cos x > 1/2, atunci ecuația ia forma:
sin x – sin 2 x = sin 2 x;
sin x – 2sin 2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 sau 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 sau sin x = 1/2.
Folosind figura 2 și condiția cos x > 1/2, găsim rădăcinile ecuației:
x = π/6 + 2πn sau x = 2πn, n € Z.
2) Luați în considerare cazul când 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
sin x + sin 2 x = sin 2 x;
x = 2πn, n € Z.
Folosind Figura 2 și condiția cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Combinând cele două cazuri, obținem:
x = π/6 + 2πn sau x = πn.
3) Interval [-π; 2π] aparțin rădăcinilor: π/6; -π; 0; π; 2π.
Astfel, intervalul dat conține cinci rădăcini ale ecuației.
Raspuns: 5.
Problema 5. Aflați numărul de rădăcini ale ecuației (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 pe intervalul [-π; 2π].
Soluţie.
1) Dacă sin x ≥ 0, atunci ecuația inițială ia forma (x – 0.7) 2 sin x + sin x = 0. După ce scoatem din paranteze factorul comun sin x, obținem:
sin x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; deoarece (x – 0,7) 2 + 1 > 0 pentru tot x real, atunci sinx = 0, i.e. x = πn, n € Z.
2) Dacă sin x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 sau (x – 0.7) 2 + 1 = 0. Deoarece sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0,7 = 1 sau x – 0,7 = -1, ceea ce înseamnă x = 1,7 sau x = -0,3.
Tinand cont de conditia sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, ceea ce înseamnă că doar numărul -0,3 este rădăcina ecuației originale.
3) Interval [-π; 2π] aparțin numerelor: -π; 0; π; 2π; -0,3.
Astfel, ecuația are cinci rădăcini într-un interval dat.
Raspuns: 5.
Vă puteți pregăti pentru lecții sau examene folosind diverse resurse educaționale care sunt disponibile pe Internet. Momentan oricine 
o persoană trebuie pur și simplu să folosească noile tehnologii informaționale, deoarece utilizarea lor corectă și, cel mai important, adecvată va contribui la creșterea motivației în studierea subiectului, la creșterea interesului și la o mai bună asimilare a materialului necesar. Dar nu uitați că computerul nu vă învață să gândiți; informațiile primite trebuie procesate, înțelese și reținute. Prin urmare, puteți apela la tutorii noștri online pentru ajutor, care vă vor ajuta să vă dați seama cum să rezolvați problemele care vă interesează.
Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.