Oblicz granicę reguły L'Hopitala online za pomocą rozwiązania. Zasady L'Hopitala. Przykłady rozwiązań. Nieskończenie mały stosunek

Reguła de l'Hopitala

Reguła de l'Hopitala to metoda obliczania limitów, które mają niepewność typu lub . Pozwalać A jest pewną skończoną liczbą rzeczywistą lub równą nieskończoności. Regułę L'Hopitala można również zastosować do niepewności, takich jak: . Pierwsze dwie niepewności można sprowadzić do typu lub poprzez przekształcenia algebraiczne.

Niepewności są redukowane do typu za pomocą relacji

Reguła L'Hopitala obowiązuje również w przypadku granic jednostronnych. Przykład 1 Oblicz limit.

Rozwiązanie.

Reguła L'Hopitala obowiązuje również w przypadku granic jednostronnych. Przykład 1 Różniczkując licznik i mianownik, znajdujemy wartość granicy:

Przykład 2

Ponieważ podstawienie bezpośrednie prowadzi do niepewności typu, stosujemy regułę L'Hopitala. . Przykład 1 Przykład 3

Oblicz limit

Mamy tu do czynienia z niepewnością typu. Przykład 1 Po prostych przekształceniach otrzymujemy

Przykład 4

Mamy tu do czynienia z niepewnością typu. Przykład 1 Znajdź granicę. Korzystając z reguły L'Hopitala, możemy napisać

Przykład 5

Tutaj spotykamy się z niepewnością typu.

Oznaczmy . Po wzięciu logarytmów otrzymujemy(1667-1748) po pomyślnym ukończeniu studiów na uniwersytecie w Bazylei i podróżowaniu po Europie przybył w 1690 roku do Paryża. W salonie literackim filozofa Nicolasa Malebranche'a (1638-1715) Johann spotkał francuskiego matematyka markiza Guillaume'a François Antoine'a de L'Hôpital (1661-1704). Podczas ożywionej rozmowy L'Hopital był zaskoczony, jak łatwo, „jak podczas zabawy”, młody Bernoulli rozwiązywał trudne problemy w nowym rachunku różniczkowym. Dlatego „L'Hopital” poprosił go o wygłoszenie kilku wykładów. L'Hopitalowi spodobały się rozmowy ustne i zaczął otrzymywać materiały pisemne za przyzwoitą opłatą. Należy zauważyć, że dobrze znana obecnie „zasada L'Hopitala” dotycząca ujawniania niepewności została mu również przekazana przez Johanna. Już w 1696 roku ukazał się słynny traktat L'Hopitala „Wprowadzenie do analizy nieskończoności w celu zrozumienia linii zakrzywionych”. Druga część kursu, zaprezentowana przez Jana I Bernoulliego, ukazała się dopiero w 1742 roku i nosiła tytuł „Wykłady matematyczne o metodzie całek i inne; napisany dla słynnego markiza Hospital; lata 1691-1692.” W 1921 roku odkryto rękopiśmienne kopie wykładów autorstwa Jana I Bernoulliego, których oryginały przekazano w latach 1691-1692 do L'Hopital. Spośród nich naukowcy nieoczekiwanie odkryli, że Loptal w swojej „Analizie” prawie nie odszedł od wykładów swojego młodego nauczyciela.

Twierdzenie (Cauchy'ego). Niech funkcje i będą ciągłe i różniczkowalne na i . Następnie :

Dowód. Rozważ funkcję

Wybierzmy tak, aby spełnione były wszystkie warunki twierdzenia Rolle’a, tj. .

Zgodnie z twierdzeniem Rolle’a istnieje:

Pierwsza zasada L'Hopitala

Definicja. Niech funkcje ciągłe będą różniczkowalne w i niech . Pozwalać . Mówimy wtedy, że relacja at reprezentuje niepewność formy .

Twierdzenie.

Zastosujmy twierdzenie Cauchy'ego do odcinka, w którym . Istnieje:

i dlatego

To oznacza, że .

W przypadku nieskończoności nierówność (1) zastępuje się przez

w zależności od znaku. Pozostała część dowodu pozostaje niezmieniona.

Druga zasada L'Hopitala

Definicja. Niech funkcje , będą ciągłe i różniczkowalne w , i . Pozwalać . Mówimy wtedy, że relacja at reprezentuje niepewność formy .

Twierdzenie. Jeśli w określonych warunkach tak jest

Dowód. Niech tak będzie, oczywiście. Wybierając: nierówność zachodzi w przedziale

Zdefiniujmy funkcję na podstawie warunku

Na . Zastosujmy twierdzenie Cauchy'ego do odcinka. Dowiadujemy się, że istnieje:

Dla tych dla których

Ponieważ jest on dowolnie mały

W przypadku gdy , nierówność (2) zastępuje się przez

oraz nierówność (4) – do nierówności

odbywa się w , wystarczająco blisko ze względu na (3).

Sprawę traktuje się podobnie.

Rozwiązanie ograniczenia funkcji online. Znajdź wartość graniczną funkcji lub ciągu funkcjonalnego w punkcie, oblicz ostateczny wartość funkcji w nieskończoności. określenie zbieżności szeregu liczbowego i wiele więcej można zrobić dzięki naszemu serwisowi online -. Umożliwiamy szybkie i dokładne znalezienie ograniczeń funkcji online. Sam wprowadzasz zmienną funkcji i granicę do której ona zmierza, a nasz serwis wykonuje za Ciebie wszystkie obliczenia dając dokładną i prostą odpowiedź. i dla znalezienie limitu w Internecie można wprowadzać zarówno szeregi liczbowe, jak i funkcje analityczne zawierające stałe w wyrażeniu dosłownym. W tym przypadku znaleziony limit funkcji będzie zawierał te stałe jako stałe argumenty w wyrażeniu. Nasz serwis rozwiązuje wszelkie złożone problemy związane ze znalezieniem limity w Internecie, wystarczy wskazać funkcję i punkt, w którym należy wykonać obliczenia wartość graniczna funkcji. Obliczenie limity w Internecie, możesz zastosować różne metody i zasady ich rozwiązywania, sprawdzając uzyskany wynik rozwiązywanie limitów online na stronie www., co doprowadzi do pomyślnego wykonania zadania - unikniesz własnych błędów i błędów pisarskich. Możesz też całkowicie nam zaufać i wykorzystać nasz wynik w swojej pracy, nie poświęcając dodatkowego wysiłku i czasu na samodzielne obliczanie granicy funkcji. Umożliwiamy wprowadzenie wartości granicznych takich jak nieskończoność. Konieczne jest wprowadzenie wspólnego elementu ciągu liczbowego i www.strona obliczy wartość ogranicz w Internecie do plus lub minus nieskończoności.

Jednym z podstawowych pojęć analizy matematycznej jest granica funkcji I limit sekwencji w punkcie i w nieskończoności ważne jest, aby móc poprawnie rozwiązać limity. Z naszym serwisem nie będzie to trudne. Podjęto decyzję limity w Internecie w ciągu kilku sekund odpowiedź jest dokładna i kompletna. Nauka analizy matematycznej rozpoczyna się od przejście do limitu, limity są używane w prawie wszystkich obszarach wyższej matematyki, dlatego warto mieć pod ręką serwer rozwiązania limitowe online, czyli matematikam.ru.

Instrukcje

Bezpośrednie obliczanie granic wiąże się przede wszystkim z granicami wymiernymi Qm(x)/Rn(x), gdzie Q i R są wielomianami. Jeśli granicę obliczymy jako x →a (a jest liczbą), to może pojawić się np. niepewność. Aby to wyeliminować, podziel licznik i mianownik przez (x-a). Powtarzaj operację, aż niepewność zniknie. Podział wielomianów odbywa się prawie w taki sam sposób, jak dzielenie liczb. Opiera się na fakcie, że dzielenie i mnożenie są operacjami odwrotnymi. Przykład pokazano na ryc. 1.

Zastosowanie pierwszego niezwykłego limitu. Wzór na pierwszą niezwykłą granicę pokazano na ryc. 2a. Aby z niego skorzystać, przekonwertuj przykładowe wyrażenie na odpowiednią formę. Zawsze można to zrobić czysto algebraicznie lub zmieniając zmienną. Najważniejsze, aby nie zapomnieć, że jeśli sinus wynosi kx, to mianownikiem jest również kx. Przykład pokazano na ryc. 2e. Dodatkowo jeśli weźmiemy pod uwagę, że tgx=sinx/cosx, cos0=1 to w konsekwencji pojawia się (patrz rys. 2b). arcsin(sinx)=x i arctg(tgx)=x. Istnieją zatem jeszcze dwie konsekwencje (ryc. 2c. i 2d). Powstała dość szeroka gama metod.

Godne uwagi jest zastosowanie drugiej granicy (patrz rys. 3a). Granice tego typu służą do eliminacji niepewności tego typu. Aby rozwiązać odpowiednie problemy, wystarczy przekształcić warunek w strukturę odpowiadającą rodzajowi granicy. Pamiętaj, że podnosząc wyrażenie, które jest już w pewnym stopniu do potęgi, jego wykładniki są mnożone. Odpowiedni przykład pokazano na ryc. 2e.Zastosuj podstawienie α=1/х i uzyskaj konsekwencję drugiej niezwykłej granicy (rys. 2b). Przenosząc logarytm obu stron tego wniosku do podstawy a, dojdziesz do drugiego wniosku, także dla a = e (patrz rys. 2c). Dokonaj zamiany a^x-1=y. Wtedy x=log(a)(1+y). Ponieważ x dąży do zera, y również dąży do zera. Powstaje zatem trzecia konsekwencja (patrz ryc. 2d).

Zastosowanie nieskończoności równoważnych Funkcje nieskończenie małe są równoważne x →a, jeśli granica ich stosunku α(x)/γ(x) jest równa jedności. Obliczając granice przy użyciu takich nieskończenie małych, po prostu napisz γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) jest nieskończenie małą liczbą wyższego rzędu małości niż α(x). Dla tego lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Użyj tych samych cudownych granic, aby znaleźć równoważność. Metoda pozwala znacznie uprościć proces znajdowania limitów, czyniąc go bardziej przejrzystym.

Wyobraź sobie stado wróbli z wyłupiastymi oczami. Nie, to nie jest grzmot, ani huragan, ani nawet mały chłopiec z procą w rękach. Po prostu ogromna, ogromna kula armatnia leci w sam środek piskląt. Zgadza się Zasady L'Hopitala radzić sobie z granicami, w których niepewność lub .

Reguły L'Hôpitala to bardzo skuteczna metoda, która pozwala szybko i skutecznie wyeliminować te niepewności; to nie przypadek, że w zbiorach problemów, testów i testów często znajduje się stabilny znaczek: „oblicz granicę, bez użycia reguły de l'Hopitala" Wymóg zaznaczony pogrubioną czcionką można z czystym sumieniem zastosować do dowolnego limitu lekcji Granice. Przykłady rozwiązań, Cudowne Granice. Metody rozwiązywania granic, Niezwykłe odpowiedniki, gdzie występuje niepewność „zero do zera” lub „nieskończoność do nieskończoności”. Nawet jeśli zadanie zostanie sformułowane krótko – „oblicz granice”, milcząco rozumie się, że będziesz używać wszystkiego, ale nie zasad L'Hopital.

W sumie istnieją dwie zasady i są one do siebie bardzo podobne, zarówno pod względem istoty, jak i sposobu stosowania. Oprócz bezpośrednich przykładów na ten temat przestudiujemy również dodatkowy materiał, który będzie przydatny w dalszym studiowaniu analizy matematycznej.

Od razu zastrzegam, że zasady zostaną przedstawione w lakonicznej „praktycznej” formie, a jeśli trzeba przystąpić do egzaminu teoretycznego, polecam sięgnąć do podręcznika po bardziej rygorystyczne obliczenia.

Pierwsza zasada L'Hopitala

Rozważmy funkcje, które nieskończenie mały w pewnym momencie. Jeśli istnieje granica ich związku, to w celu wyeliminowania niepewności możemy ją przyjąć dwa pochodne- z licznika i z mianownika. W tym przypadku: , to jest .

Notatka : Limit musi również istnieć, w przeciwnym razie zasada nie ma zastosowania.

Co wynika z powyższego?

Po pierwsze trzeba umieć znaleźć pochodne funkcji, a im lepiej, tym lepiej =)

Po drugie, pochodne są brane ODDZIELNIE od licznika i ODDZIELNIE od mianownika. Proszę nie mylić z zasadą różniczkowania ilorazów !!!

I po trzecie, „X” może dążyć wszędzie, łącznie z nieskończonością – o ile istnieje niepewność.

Wróćmy do przykładu 5 z pierwszego artykułu o granicach, co dało następujący wynik:

Do niepewności 0:0 stosujemy pierwszą regułę L'Hopitala:

Jak widać, różniczkowanie licznika i mianownika doprowadziło nas do odpowiedzi w pół obrotu: znaleźliśmy dwie proste pochodne, podstawiliśmy w nich „dwa” i okazało się, że niepewność zniknęła bez śladu!

Nierzadko zdarza się, że reguły L'Hopitala stosuje się kolejno dwa lub więcej razy (dotyczy to również drugiej reguły). Zabierzmy to na wieczór w stylu retro. Przykład lekcji 2 o cudownych granicach:

Dwa bajgle znów schładzają się na piętrowym łóżku. Zastosujmy regułę de l'Hopitala:

Należy pamiętać, że w pierwszym kroku pobierany jest mianownik pochodna funkcji zespolonej. Następnie przeprowadzamy szereg pośrednich uproszczeń, w szczególności pozbywamy się cosinusa, wskazując, że dąży on do jedności. Niepewność nie została wyeliminowana, dlatego ponownie stosujemy regułę de l'Hopitala (druga linia).

Celowo wybrałem niezbyt prosty przykład, abyś mógł przeprowadzić mały autotest. Jeśli nie jest do końca jasne, w jaki sposób zostały znalezione pochodne, powinieneś wzmocnić swoją technikę różnicowania. Jeśli sztuczka z cosinusem nie jest jasna, wróć do niezwykłe granice. Nie widzę większego sensu w komentarzach krok po kroku, ponieważ o instrumentach pochodnych i limitach mówiłem już wystarczająco szczegółowo. Nowość artykułu polega na samych zasadach i niektórych rozwiązaniach technicznych.

Jak już wspomniano, w większości przypadków nie ma potrzeby stosowania reguł de l'Hopitala, ale często zaleca się ich użycie w celu zgrubnego sprawdzenia rozwiązania. Często, ale nie zawsze. Na przykład sprawdzenie właśnie rozważanego przykładu jest znacznie bardziej opłacalne wspaniałe odpowiedniki.

Druga zasada L'Hopitala

Brat-2 walczy z dwiema śpiącymi ósemkami. Podobnie:

Jeśli istnieje limit relacji nieskończenie duży w punkcie funkcji: , to w celu wyeliminowania niepewności możemy przyjąć dwie pochodne– ODDZIELNIE od licznika i ODDZIELNIE od mianownika. W tym przypadku: , to jest przy różnicowaniu licznika i mianownika wartość granicy nie zmienia się.

Notatka : musi być granica

Znowu na różnych praktycznych przykładach znaczenie może być inne, w tym nieskończone. Ważne, żeby była niepewność.

Sprawdźmy przykład nr 3 z pierwszej lekcji: . Korzystamy z drugiej reguły L'Hopitala:

Skoro mówimy o gigantach, przyjrzyjmy się dwóm granicom kanonicznym:

Przykład 1

Oblicz limit

Uzyskanie odpowiedzi metodami „konwencjonalnymi” nie jest łatwe, dlatego aby ujawnić niepewność „od nieskończoności do nieskończoności” posługujemy się regułą L’Hopitala:

Zatem, funkcja liniowa wyższego rzędu wzrostu niż logarytm o podstawie większej niż jeden(itp.). Oczywiście „X” w wyższych potęgach również „ciągnie” takie logarytmy. Rzeczywiście, funkcja rośnie dość wolno i jest harmonogram jest bardziej płaski w stosunku do tego samego „X”.

Przykład 2

Oblicz limit

Kolejne znajome ujęcie. Aby wyeliminować niepewność, stosujemy ponadto regułę de l'Hopitala dwa razy z rzędu:

Funkcja wykładnicza o podstawie większej niż jeden(itp.) wyższy rząd wzrostu niż funkcja potęgowa o stopniu dodatnim.

Podobne ograniczenia występują podczas pełne badanie funkcji, a mianowicie podczas znajdowania asymptoty grafów. Są one również zauważalne w niektórych zadaniach teoria prawdopodobieństwa. Radzę zwrócić uwagę na dwa omówione przykłady; jest to jeden z niewielu przypadków, w których nie ma nic lepszego niż różniczkowanie licznika i mianownika.

W dalszej części tekstu nie będę rozróżniał pierwszej i drugiej zasady L'Hôpital; zrobiono to jedynie w celu ustrukturyzowania artykułu. Ogólnie rzecz biorąc, moim zdaniem nieco szkodliwe jest nadmierne numerowanie matematycznych aksjomatów, twierdzeń, reguł, własności, ponieważ wyrażenia typu „zgodnie z wnioskiem 3 z Twierdzenia 19…” mają charakter informacyjny tylko w ramach konkretnego podręcznika . W innym źródle informacji to samo będzie brzmieć „Wniosek 2 i Twierdzenie 3”. Takie stwierdzenia są formalne i wygodne tylko dla samych autorów. Idealnie byłoby odnieść się do istoty faktu matematycznego. Wyjątkiem są terminy ugruntowane historycznie, np. pierwszy wspaniały limit Lub drugi wspaniały limit.

Kontynuujemy rozwijanie tematu, który zasugerował nam członek paryskiej Akademii Nauk, markiz Guillaume Francois de L'Hopital. Artykuł nabiera wyraźnego praktycznego charakteru i w dość powszechnym zadaniu jest wymagane:

Na rozgrzewkę zajmijmy się kilkoma małymi wróblami:

Przykład 3

Granicę można najpierw uprościć pozbywając się cosinusa, ale okażmy szacunek dla warunku i od razu różniczkujmy licznik i mianownik:

W procesie znajdowania pochodnych nie ma nic niestandardowego; na przykład mianownik używa zwykłego reguła różnicowania fabryka .

Rozważany przykład został rozwiązany poprzez wspaniałe granice, podobny przypadek omówiono na końcu artykułu Granice złożone.

Przykład 4

Oblicz granicę, korzystając z reguły L'Hopitala

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Dobry żart =)

Typową sytuacją jest sytuacja, gdy po zróżnicowaniu otrzymuje się frakcje trzy- lub czteropiętrowe:

Przykład 5

Oblicz granicę, korzystając z reguły L'Hopitala

Aż się prosi o wykorzystanie niezwykła równoważność, ale ścieżka jest ściśle określona przez warunek:

Po zróżnicowaniu zdecydowanie zalecam pozbycie się ułamka wielokondygnacyjnego i dokonanie maksymalnych uproszczeń. Oczywiście bardziej zaawansowani uczniowie mogą pominąć ostatni krok i od razu napisać: , ale nawet znakomici uczniowie będą w pewnych granicach pogubieni.

Przykład 6

Oblicz granicę, korzystając z reguły L'Hopitala

Przykład 7

Oblicz granicę, korzystając z reguły L'Hopitala

To są przykłady, które możesz rozwiązać samodzielnie. W przykładzie 7 nie trzeba niczego upraszczać; ułamek otrzymany po różniczkowaniu jest zbyt prosty. Ale w przykładzie 8, po zastosowaniu reguły L'Hopitala, wysoce pożądane jest pozbycie się trzypiętrowej konstrukcji, ponieważ obliczenia nie będą najwygodniejsze. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Jeśli masz jakieś trudności - tablica trygonometryczna pomóc.

A uproszczenia są absolutnie konieczne, gdy po różniczku pojawia się niepewność nie rozwiązany.

Przykład 8

Oblicz granicę, korzystając z reguły L'Hopitala

chodźmy:

Co ciekawe, pierwotna niepewność po pierwszym różniczku zamieniła się w niepewność, a reguła L'Hôpitala jest spokojnie stosowana dalej. Zwróć także uwagę, jak po każdym „podejściu” eliminowany jest ułamek czterokondygnacyjny, a stałe przesuwane są poza znak graniczny. W prostszych przykładach wygodniej jest nie uwzględniać stałych, ale gdy granica jest złożona, upraszczamy wszystko, wszystko, wszystko. Podstępność rozwiązanego przykładu polega również na tym, że kiedy , i dlatego podczas eliminacji sinusów nie jest zaskakujące pomylenie znaków. W przedostatniej linijce sinusów nie można było zabić, ale przykład jest dość ciężki, wybaczalny.

Któregoś dnia natknąłem się na ciekawe zadanie:

Przykład 9

Szczerze mówiąc, trochę wątpiłem, ile ta granica będzie wynosić. Jak wykazano powyżej, „x” jest wyższego rzędu wielkości niż logarytm, ale czy „przewyższy” logarytm sześcienny? Spróbuj sam przekonać się, kto wygra.

Tak, zasady L'Hopital to nie tylko strzelanie z armaty do wróbli, ale także żmudna praca...

Aby zastosować reguły L'Hopitala do bajgli lub zmęczonych ósemek, zmniejsza się niepewność formy.

Radzenie sobie z niepewnością zostało szczegółowo omówione w przykładach nr 9-13 tej lekcji. Metody rozwiązywania granic. Weźmy dla ścisłości jeszcze jeden:

Przykład 10

Oblicz granicę funkcji, korzystając z reguły L'Hopitala

W pierwszym kroku sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika, przekształcając w ten sposób niepewność w niepewność. A następnie obciążamy regułę L'Hopitala:

Nawiasem mówiąc, tutaj jest przypadek, gdy dotykanie czteropiętrowego wyrażenia jest bezcelowe.

Niepewność nie opiera się również przekształceniu się w lub:

Przykład 11

Oblicz granicę funkcji, korzystając z reguły L'Hopitala

Granica jest tu jednostronna i takie ograniczenia były już omawiane w instrukcji Wykresy i własności funkcji. Jak pamiętacie, wykres „klasycznego” logarytmu nie istnieje po lewej stronie osi, więc do zera możemy zbliżyć się jedynie od prawej strony.

Reguły L'Hopitala dotyczące jednostronnych granic działają, ale najpierw należy uporać się z niepewnością. W pierwszym kroku wykonujemy ułamek trzypiętrowy, uzyskując niepewność, następnie rozwiązanie opiera się na szablonowym schemacie:

Po zróżnicowaniu licznika i mianownika pozbywamy się ułamka czteropiętrowego w celu przeprowadzenia uproszczeń. W efekcie pojawiła się niepewność. Powtarzamy sztuczkę: ponownie tworzymy ułamek trzypiętrowy i ponownie stosujemy regułę L'Hopitala do powstałej niepewności:

Gotowy.

Można by spróbować zmniejszyć pierwotny limit do dwóch pączków:

Ale po pierwsze pochodna w mianowniku jest trudniejsza, a po drugie, nic dobrego z tego nie wyniknie.

Zatem, Przed rozwiązaniem podobnych przykładów należy przeanalizować(ustnie lub w wersji roboczej), KTÓRĄ niepewność korzystniej jest sprowadzić do - do „zera do zera” lub do „nieskończoności do nieskończoności”.

Z kolei do ognia przyłączają się kumple od picia i bardziej egzotyczni towarzysze. Metoda transformacji jest prosta i standardowa.

Reguła de l'Hopitala

Definicja 1

Reguła de l'Hopitala: w pewnych warunkach granica stosunku funkcji, których zmienna dąży do $a$, jest równa granicy stosunku ich pochodnych, przy czym $x$ również zmierza do $a$:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"( x))(g"(x)) $

Regułę L'Hopitala odkrył szwedzki matematyk Johann Bernoulli, który następnie napisał o niej w liście do L'Hopitala. L'Hopital opublikował tę regułę w pierwszym podręczniku rachunku różniczkowego w 1696 r. własnego autorstwa.

Regułę L'Hopitala stosuje się do wyrażeń, które można sprowadzić do niepewności typu:

$\frac(0)(0) \begin(array)(ccc) () & () & (\frac(\infty )(\infty ) ) \end(array)$

Zamiast zera w pierwszym wyrażeniu może być dowolna nieskończenie mała wartość.

Ogólnie rzecz biorąc, regułę L'Hopitala można zastosować, jeśli zarówno licznik, jak i mianownik mają wartość zero lub nieskończoność.

Warunki, w jakich można zastosować regułę de l'Hopitala:

• Spełniony jest warunek, pod którym granice funkcji $f(x)$ i $g(x)$ przy $x$ dążącym do $a$ są sobie równe i dążą do zera lub nieskończoności: $\mathop(\ lim )\limits_(x \to a) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=0$ lub $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\infty $;
• Możliwe jest otrzymanie pochodnych $f(x)$ i $g(x)$ w sąsiedztwie $a$;
• Pochodna funkcji $g(x)$ nie wynosi zero $g"(x)\ne 0$ w sąsiedztwie $a$;
• Granica stosunku pochodnych funkcji $f(x)$ i $g(x)$, zapisana jako $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x) )(g"(x)) $ istnieje.

Dowód reguły L'Hopitala:

1. Niech zostaną podane funkcje $f(x)$ i $g(x)$ i zachowana zostanie równość granic:
2. $\mathop(\lim )\limits_(x\do a+0) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\do a+0) g(x)=0 $.
3. Zdefiniujmy funkcje w punkcie $a$. W tym momencie spełniony będzie następujący warunek:
4. $\frac(f(x))(g(x)) =\frac(f(x)-f(a))(g(x)-g(a)) =\frac(f"(c)) (g"(c))$.
5. Wartość $c$ zależy od $x$, ale jeśli $x\to a+0$, to $c\to a$.
6. $\mathop(\lim )\limits_(x\do a+0) \frac(f(x))(g(x)) =\mathop(\lim )\limits_(c\do a+0) \frac (f"(c))(g"(c)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) \frac(f"(c))(g"(c)) $.

Algorytm obliczania rozwiązania z wykorzystaniem reguły L'Hopitala

1. Sprawdzanie całego wyrażenia pod kątem niepewności.
2. Przed dalszym użyciem reguły de l'Hopitala sprawdź wszystkie warunki podane powyżej.
3. Sprawdzanie, czy pochodna funkcji dąży do $0$.
4. Ponowne testowanie pod kątem niepewności.

Przykład nr 1:

Znajdź granicę:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) +5x)(3x) $

Rozwiązanie:

• Granica funkcji $f(x)$ jest równa granicy $g(x)$ i obie są równe zero: $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x )=\mathop(\lim )\limits_ (x\to 0) (x^(2) +5x)=0$; $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (3x)=0$
• $g"(x)=3\ne 0$ w sąsiedztwie $a$
• $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x))(g"(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(2x +5)(3)$

$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) +5x)(3x) =\left\langle \frac(0)(0) \right\rangle =\mathop( \lim )\limits_(x\to 0) \frac(\left(x^(2) +5x\right)")(\left(3x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x \to 0) \frac(2x+5)(3) =\frac(0+5)(3) =\frac(5)(3) $

Przykład nr 2:

Znajdź granicę:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^(3) -3x^(2) +2x)(x^(3) -x) $

Rozwiązanie:

Sprawdźmy warunki stosowalności reguły L'Hopitala:

• $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (x^(3) -3x^(2) +2x) =\infty$; $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (x^(3) -x)=\infty $
• $f(x)$ i $g(x)$ są różniczkowalne w sąsiedztwie $a$
• $g"(x)=6\ne 0$ w sąsiedztwie $a$
• $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x))(g"(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac( 3x^(2) -6x+2)(3x^(2) -1) $

Zapiszmy pochodną i znajdźmy granicę funkcji:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^(3) -3x^(2) +2x)(x^(3) -x) =\left\langle \frac( \infty )(\infty ) \right\rangle =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(x^(3) -3x^(2) +2x\right)" )(\left(x^(3) -x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(3x^(2) -6x+2)(3x^( 2) -1) =\left\langle \frac(\infty )(\infty ) \right\rangle $

Obliczanie pochodnej powtarzamy, aż pozbędziemy się niepewności:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(3x^(2) -6x+2\right)")(\left(3x^(2) -1\right) ") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(6x-6)(6x) =\left\langle \frac(\infty )(\infty ) \right\rangle =\mathop (\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(6x-6\right)")(\left(6x\right)") =\frac(6)(6) =1$

Przykład nr 3:

Znajdź granicę:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(\sin 5x)(x) $

Rozwiązanie:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(\sin 5x)(x) =\left\langle \frac(0)(0) \right\rangle =\mathop(\lim )\ limity_(x\do 0) \frac(\left(\sin 5x\right)")(\left(x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(5 \cos 5x)(1) =5\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \cos 5x=5$

Przykład nr 4:

Znajdź granicę:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (1+x^(2))^(1/x) $

Rozwiązanie:

Logarytmujemy funkcję:

$\ln y=\frac(1)(x) \ln (1+x^(2))=\frac(\ln (1+x^(2)))(x) $

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\ln (1+x^(2)))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left[\ln (1+x^(2))\right]")(x") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\frac(2x) (1+x^(2) ) )(1) =0$

Ponieważ funkcja $ln(y)$ jest ciągła, otrzymujemy:

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (\ln y)=\ln (\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y)$

Stąd,

$\ln (\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y)=0$

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y=1$

$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (1+x^(2))^(1/x) =1$