Cos pi x 0 największy pierwiastek ujemny

Zadanie nr 1

Logika jest prosta: zrobimy to samo, co poprzednio, niezależnie od tego, że teraz funkcje trygonometryczne mają bardziej złożony argument!

Gdybyśmy mieli rozwiązać równanie postaci:

Następnie zapisalibyśmy następującą odpowiedź:

Lub (od)

Ale teraz naszą rolę odgrywa to wyrażenie:

Wtedy możemy napisać:

Naszym celem jest upewnienie się, że lewa strona stoi prosto, bez żadnych „nieczystości”!

Pozbądźmy się ich stopniowo!

Najpierw usuńmy mianownik w: aby to zrobić, pomnóż naszą równość przez:

Teraz pozbądźmy się tego, dzieląc obie części:

Teraz pozbądźmy się ósemki:

Otrzymane wyrażenie można zapisać jako 2 serie rozwiązań (analogicznie do równania kwadratowego, w którym albo dodajemy, albo odejmujemy wyróżnik)

Musimy znaleźć największy pierwiastek ujemny! To jasne, że musimy to uporządkować.

Najpierw spójrzmy na pierwszy odcinek:

Oczywiste jest, że jeśli weźmiemy, w rezultacie otrzymamy liczby dodatnie, ale one nas nie interesują.

Więc musisz to odebrać negatywnie. Zostawiać.

Kiedy korzeń będzie węższy:

I musimy znaleźć największy negatyw!! Oznacza to, że pójście w negatywnym kierunku nie ma już tutaj sensu. A największy pierwiastek ujemny dla tej serii będzie równy.

Teraz spójrzmy na drugą serię:

I znowu podstawiamy: , to:

Nie zainteresowany!

W takim razie nie ma już sensu zwiększać! Zmniejszmy to! Niech zatem:

Pasuje!

Zostawiać. Następnie

Następnie - największy pierwiastek ujemny!

Odpowiedź:

Zadanie nr 2

Rozwiązujemy ponownie, niezależnie od złożonego argumentu cosinusa:

Teraz wyrażamy ponownie po lewej stronie:

Pomnóż obie strony przez

Podziel obie strony przez

Pozostaje tylko przesunąć go w prawo, zmieniając jego znak z minus na plus.

Ponownie otrzymujemy 2 serie korzeni, jedną z i drugą z.

Musimy znaleźć największy pierwiastek ujemny. Spójrzmy na pierwszy odcinek:

Oczywiste jest, że otrzymamy pierwszy pierwiastek ujemny, będzie on równy i będzie największym pierwiastkiem ujemnym w 1 szeregu.

Na drugą serię

Pierwszy pierwiastek ujemny zostanie również uzyskany w i będzie równy. Ponieważ, to jest największy pierwiastek ujemny z równania.

Odpowiedź: .

Zadanie nr 3

Rozwiązujemy niezależnie od złożonego argumentu stycznego.

Teraz nie wydaje się to skomplikowane, prawda?

Podobnie jak poprzednio, wyrażamy po lewej stronie:

Cóż, to świetnie, jest tu tylko jedna seria korzeni! Znajdźmy jeszcze raz największy minus.

Oczywiste jest, że okaże się, jeśli to odłożysz. I ten pierwiastek jest równy.

Odpowiedź:

Teraz spróbuj samodzielnie rozwiązać następujące problemy.

Praca domowa lub 3 zadania do samodzielnego rozwiązania.

Rozwiąż równanie.
Rozwiąż równanie.
W odpowiedzi na pi-shi-th-najmniejszy możliwy pierwiastek.
Rozwiąż równanie.
W odpowiedzi na pi-shi-th-najmniejszy możliwy pierwiastek.

Gotowy? Sprawdźmy. Nie będę szczegółowo opisywał całego algorytmu rozwiązania, wydaje mi się, że poświęcono mu już wystarczająco dużo uwagi powyżej.

Czy wszystko w porządku? Ach, te okropne zatoki, zawsze jest z nimi jakiś problem!

Cóż, teraz możesz rozwiązywać proste równania trygonometryczne!

Sprawdź rozwiązania i odpowiedzi:

Zadanie nr 1

Wyraźmy

Najmniejszy dodatni pierwiastek otrzymamy, jeśli wstawimy, ponieważ wtedy

Odpowiedź:

Zadanie nr 2

Najmniejszy dodatni pierwiastek uzyskuje się przy.

Będzie równe.

Odpowiedź: .

Zadanie nr 3

Kiedy dostajemy, kiedy mamy.

Odpowiedź: .

Ta wiedza pomoże Ci rozwiązać wiele problemów, które napotkasz na egzaminie.

Jeśli ubiegasz się o ocenę „5”, wystarczy przystąpić do czytania artykułu średni poziom który będzie poświęcony rozwiązywaniu bardziej złożonych równań trygonometrycznych (zadanie C1).

ŚREDNI POZIOM

W tym artykule opiszę rozwiązywanie bardziej złożonych równań trygonometrycznych i jak wybrać ich korzenie. Tutaj odniosę się do następujących tematów:

Równania trygonometryczne dla poziomu początkującego (patrz wyżej).

Bardziej złożone równania trygonometryczne są podstawą zaawansowanych problemów. Wymagają one zarówno rozwiązania samego równania w postaci ogólnej, jak i znalezienia pierwiastków tego równania należących do pewnego zadanego przedziału.

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych sprowadza się do dwóch podzadań:

Rozwiązanie równania
Wybór korzenia

Należy zauważyć, że to drugie nie zawsze jest wymagane, ale w większości przykładów nadal wymagana jest selekcja. Ale jeśli nie jest to wymagane, możemy ci współczuć - oznacza to, że równanie samo w sobie jest dość złożone.

Z mojego doświadczenia w analizie problemów C1 wynika, że zazwyczaj dzieli się je na następujące kategorie.

Cztery kategorie zadań o zwiększonej złożoności (dawniej C1)

Równania redukujące do faktoryzacji.
Równania zredukowane do formy.
Równania rozwiązywane poprzez zmianę zmiennej.
Równania wymagające dodatkowego wyboru pierwiastków ze względu na irracjonalność lub mianownik.

Krótko mówiąc: jeśli zostaniesz złapany jedno z równań trzech pierwszych typów, to uważaj się za szczęściarza. Dla nich z reguły trzeba dodatkowo wybrać pierwiastki należące do określonego przedziału.

Jeśli natkniesz się na równanie typu 4, masz mniej szczęścia: musisz majstrować przy nim dłużej i ostrożniej, ale dość często nie wymaga to dodatkowego wyboru pierwiastków. Niemniej jednak tego typu równania przeanalizuję w kolejnym artykule, a ten poświęcę rozwiązywaniu równań trzech pierwszych typów.

Równania redukujące do faktoryzacji

Najważniejszą rzeczą, o której musisz pamiętać, aby rozwiązać tego typu równanie, jest to

Jak pokazuje praktyka, z reguły ta wiedza jest wystarczająca. Spójrzmy na kilka przykładów:

Przykład 1. Równanie zredukowane do faktoryzacji za pomocą wzorów na redukcję i sinus podwójny kąt

Rozwiąż równanie
Znajdź wszystkie pierwiastki tego równania leżące nad przecięciem

Tutaj, tak jak obiecałem, działają formuły redukcyjne:

Wtedy moje równanie będzie wyglądać następująco:

Wtedy moje równanie będzie miało następującą postać:

Krótkowzroczny uczeń mógłby powiedzieć: teraz zmniejszę obie strony, obliczę najprostsze równanie i będę cieszyć się życiem! I bardzo się myli!

PAMIĘTAJ: NIGDY NIE MOŻESZ REDUKOWAĆ OBU STRON RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNEGO O FUNKCJĘ ZAWIERAJĄCĄ NIEZNANĄ! WIĘC TRACISZ SWOJE KORZENIE!

Co więc zrobić? Tak, to proste, przesuń wszystko na jedną stronę i usuń wspólny czynnik:

Cóż, rozłożyliśmy to na czynniki, hurra! Teraz zdecydujmy:

Pierwsze równanie ma pierwiastki:

I drugi:

Na tym kończy się pierwsza część problemu. Teraz musisz wybrać korzenie:

Przepaść wygląda następująco:

Lub można to również zapisać w ten sposób:

Cóż, weźmy korzenie:

Najpierw popracujmy nad pierwszym odcinkiem (i jest to co najmniej prostsze!)

Ponieważ nasz przedział jest całkowicie ujemny, nie ma potrzeby brać przedziałów nieujemnych, nadal będą dawać pierwiastki nieujemne.

No to weźmy – to za dużo, nie trafia.

Niech tak będzie – nie trafiłem ponownie.

Jeszcze jedna próba – a potem – tak, udało mi się! Znaleziono pierwszy korzeń!

Strzelam ponownie: potem trafiam ponownie!

No to jeszcze raz: : - to już lot.

Zatem z pierwszego szeregu istnieją 2 pierwiastki należące do przedziału: .

Pracujemy z drugą serią (budujemy do potęgi zgodnie z regułą):

Niedoszacowany!

Znowu tego brakuje!

Rozumiem!

Lot!

Zatem mój przedział ma następujące pierwiastki:

To jest algorytm, którego użyjemy do rozwiązania wszystkich pozostałych przykładów. Poćwiczmy razem na jeszcze jednym przykładzie.

Przykład 2. Równanie zredukowane do faktoryzacji za pomocą wzorów redukcyjnych

Rozwiązać równanie

Rozwiązanie:

Znowu słynne formuły redukcyjne:

Nie próbuj się ponownie ograniczać!

Pierwsze równanie ma pierwiastki:

I drugi:

Teraz znowu poszukiwanie korzeni.

Zacznę od drugiego odcinka, wiem już o nim wszystko z poprzedniego przykładu! Przyjrzyj się i upewnij się, że pierwiastki należące do przedziału są następujące:

Teraz pierwszy odcinek i wszystko jest prostsze:

Jeśli - odpowiedni

Jeśli to też w porządku

Jeśli to już lot.

Wtedy korzenie będą następujące:

Niezależna praca. 3 równania.

Czy technika jest dla ciebie jasna? Czy rozwiązywanie równań trygonometrycznych nie wydaje się już takie trudne? Następnie szybko rozwiąż samodzielnie następujące problemy, a następnie rozwiążemy inne przykłady:

Rozwiązać równanie
Znajdź wszystkie pierwiastki tego równania leżące powyżej przedziału.
Rozwiąż równanie
Wskaż pierwiastki równania leżące nad przecięciem
Rozwiąż równanie
Znajdź wszystkie pierwiastki tego równania, które leżą pomiędzy nimi.

Równanie 1.

I znowu wzór redukcyjny:

Pierwsza seria korzeni:

Druga seria korzeni:

Rozpoczynamy selekcję do luki

Odpowiedź: , .

Równanie 2. Sprawdzanie samodzielnej pracy.

Dość trudne grupowanie na czynniki (użyję wzoru na sinus podwójnego kąta):

wtedy lub

Jest to rozwiązanie ogólne. Teraz musimy wybrać korzenie. Problem w tym, że nie możemy określić dokładnej wartości kąta, którego cosinus jest równy jednej czwartej. Dlatego nie mogę po prostu pozbyć się cosinusa łuku - szkoda!

Jedyne, co mogę zrobić, to dowiedzieć się, że tak, więc.

Stwórzmy tabelę: interwał:

Cóż, po bolesnych poszukiwaniach doszliśmy do rozczarowującego wniosku, że nasze równanie ma jeden pierwiastek ze wskazanego przedziału: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Równanie 3: Niezależny test pracy.

Przerażająco wyglądające równanie. Można to jednak rozwiązać po prostu, stosując wzór na sinus podwójnego kąta:

Zmniejszmy to o 2:

Pogrupujmy pierwszy wyraz z drugim i trzeci z czwartym i usuńmy wspólne czynniki:

Oczywiste jest, że pierwsze równanie nie ma pierwiastków, a teraz rozważmy drugie:

Ogólnie miałem zamiar trochę później rozwodzić się nad rozwiązywaniem takich równań, ale skoro się okazało, nie ma co robić, muszę to rozwiązać…

Równania postaci:

Równanie to rozwiązuje się dzieląc obie strony przez:

Zatem nasze równanie ma jedną serię pierwiastków:

Musimy znaleźć te, które należą do przedziału: .

Zbudujmy jeszcze raz tabelę, tak jak to zrobiłem wcześniej:

Odpowiedź: .

Równania zredukowane do postaci:

No cóż, teraz czas przejść do drugiej części równań, zwłaszcza, że już zdradziłem, na czym polega rozwiązanie równań trygonometrycznych nowego typu. Ale warto powtórzyć, że równanie ma postać

Rozwiązanie polega na podzieleniu obu stron przez cosinus:

Rozwiąż równanie
Wskaż pierwiastki równania leżące nad przecięciem.
Rozwiąż równanie
Wskaż pierwiastki równania leżące pomiędzy nimi.

Przykład 1.

Pierwszy z nich jest dość prosty. Przejdź w prawo i zastosuj wzór na cosinus podwójnego kąta:

Tak! Równanie postaci: . Obie części dzielę przez

Wykonujemy badania korzeni:

Luka:

Odpowiedź:

Przykład 2.

Wszystko też jest dość banalne: otwórzmy nawiasy po prawej stronie:

Podstawowa tożsamość trygonometryczna:

Sinus podwójnego kąta:

Wreszcie otrzymujemy:

Przegląd korzeni: interwał.

Odpowiedź: .

No i jak ci się podoba ta technika, czy nie jest zbyt skomplikowana? Mam nadzieję, że nie. Możemy od razu dokonać zastrzeżenia: w czystej postaci równania, które natychmiast sprowadzają się do równania na styczną, są dość rzadkie. Zazwyczaj to przejście (dzielenie przez cosinus) jest tylko częścią bardziej złożonego problemu. Oto przykład do ćwiczenia:

Rozwiąż równanie
Znajdź wszystkie pierwiastki tego równania leżące nad przecięciem.

Sprawdźmy:

Równanie można rozwiązać natychmiast, wystarczy podzielić obie strony przez:

Badanie korzeni:

Odpowiedź: .

Tak czy inaczej, nie spotkaliśmy się jeszcze z równaniami typu, który właśnie zbadaliśmy. Jest jednak za wcześnie, abyśmy o tym mówili: pozostała jeszcze jedna „warstwa” równań, której nie rozwiązaliśmy. Więc:

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych poprzez zmianę zmiennych

Tutaj wszystko jest przejrzyste: przyglądamy się dokładnie równaniu, upraszczamy je jak najbardziej, dokonujemy podstawienia, rozwiązujemy, dokonujemy odwrotnego podstawienia! Słowami wszystko jest bardzo proste. Zobaczmy w akcji:

Przykład.

Rozwiązać równanie: .
Znajdź wszystkie pierwiastki tego równania leżące nad przecięciem.

Cóż, tutaj zamiennik sam nam się narzuca!

Wtedy nasze równanie zmieni się w to:

Pierwsze równanie ma pierwiastki:

A drugi jest taki:

Znajdźmy teraz pierwiastki należące do przedziału

Odpowiedź: .

Przyjrzyjmy się razem nieco bardziej złożonemu przykładowi:

Rozwiąż równanie
Wskaż pierwiastki danego równania, leżące powyżej-leżące pomiędzy nimi.

Tutaj wymiana nie jest od razu widoczna, w dodatku nie jest zbyt oczywista. Najpierw pomyślmy: co możemy zrobić?

Możemy sobie na przykład wyobrazić

I w tym samym czasie

Wtedy moje równanie będzie miało postać:

A teraz uwaga, skupienie:

Podzielmy obie strony równania przez:

Nagle ty i ja mamy równanie kwadratowe względne! Dokonajmy zamiany i otrzymamy:

Równanie ma następujące pierwiastki:

Nieprzyjemna druga seria korzeni, ale nic nie da się zrobić! Wybieramy pierwiastki w przedziale.

Musimy to również rozważyć

Od i wtedy

Odpowiedź:

Aby to wzmocnić, zanim samodzielnie rozwiążesz problemy, mam dla Ciebie kolejne ćwiczenie:

Rozwiąż równanie
Znajdź wszystkie pierwiastki tego równania, które leżą pomiędzy nimi.

Tutaj musisz mieć oczy szeroko otwarte: mamy teraz mianowniki, które mogą wynosić zero! Dlatego musisz szczególnie zwracać uwagę na korzenie!

Przede wszystkim muszę zmienić układ równania, aby móc dokonać odpowiedniego podstawienia. Nie przychodzi mi teraz do głowy nic lepszego niż przepisanie tangensa w postaci sinusa i cosinusa:

Teraz przejdę od cosinusa do sinusa, korzystając z podstawowej tożsamości trygonometrycznej:

I na koniec sprowadzę wszystko do wspólnego mianownika:

Teraz mogę przejść do równania:

Ale o (to znaczy o).

Teraz wszystko jest gotowe do wymiany:

Następnie lub

Pamiętaj jednak, że jeśli, to jednocześnie!

Kto na to cierpi? Problem ze styczną polega na tym, że nie jest ona zdefiniowana, gdy cosinus jest równy zero (następuje dzielenie przez zero).

Zatem pierwiastkami równania są:

Teraz przesiewamy korzenie w przedziale:


	- pasuje
	- przesada

Zatem nasze równanie ma jeden pierwiastek z przedziału i jest równe.

Widzisz: pojawienie się mianownika (podobnie jak styczna prowadzi do pewnych trudności z pierwiastkami! Tutaj musisz być bardziej ostrożny!).

Cóż, ty i ja prawie zakończyliśmy analizę równań trygonometrycznych, pozostało bardzo niewiele - samodzielne rozwiązanie dwóch problemów. Tutaj są.

Rozwiązać równanie
Znajdź wszystkie pierwiastki tego równania leżące nad przecięciem.
Rozwiąż równanie
Wskaż pierwiastki tego równania znajdujące się nad przecięciem.

Zdecydowany? Czy to nie jest bardzo trudne? Sprawdźmy:

Pracujemy według wzorów redukcyjnych:
Podstaw do równania:
Przepiszmy wszystko za pomocą cosinusów, aby ułatwić dokonanie zamiany:
Teraz łatwo jest dokonać wymiany:
Oczywiste jest, że jest to pierwiastek obcy, ponieważ równanie nie ma rozwiązań. Następnie:
Szukamy potrzebnych korzeni w przedziale
Odpowiedź: .
Tutaj zamiennik jest od razu widoczny:
Następnie lub

- pasuje! - pasuje!
- pasuje! - pasuje!
- dużo! - też dużo!
Odpowiedź:

Cóż, to wszystko! Ale na tym nie kończy się rozwiązywanie równań trygonometrycznych, w najtrudniejszych przypadkach pozostajemy w tyle: gdy w równaniach występuje irracjonalność lub różnego rodzaju „złożone mianowniki”. Przyjrzymy się, jak rozwiązać takie zadania w artykule dla poziomu zaawansowanego.

POZIOM ZAAWANSOWANY

Oprócz równań trygonometrycznych omówionych w dwóch poprzednich artykułach, rozważymy inną klasę równań, która wymaga jeszcze dokładniejszej analizy. Te przykłady trygonometryczne zawierają albo irracjonalność, albo mianownik, co utrudnia ich analizę. Jednakże możesz spotkać się z tymi równaniami w części C pracy egzaminacyjnej. Jednak każda chmura ma dobrą stronę: w przypadku takich równań z reguły nie pojawia się już pytanie, który z jej pierwiastków należy do danego przedziału. Nie owijajmy w bawełnę, ale przejdźmy od razu do przykładów trygonometrycznych.

Przykład 1.

Rozwiąż równanie i znajdź pierwiastki należące do odcinka.

Rozwiązanie:

Mamy mianownik, który nie powinien być równy zero! Wtedy rozwiązanie tego równania jest równoznaczne z rozwiązaniem układu

Rozwiążmy każde z równań:

A teraz drugie:

Teraz spójrzmy na serię:

Oczywiste jest, że ta opcja nam nie odpowiada, ponieważ w tym przypadku nasz mianownik jest resetowany do zera (patrz wzór na pierwiastki drugiego równania)

Jeśli wszystko jest w porządku, a mianownik nie wynosi zero! Wtedy pierwiastki równania są następujące: , .

Teraz wybieramy pierwiastki należące do przedziału.


	- nie pasujący	- pasuje
	- pasuje	- pasuje
	przesada	przesada

Następnie korzenie są następujące:

Widzisz, nawet pojawienie się niewielkiego zakłócenia w postaci mianownika znacząco wpłynęło na rozwiązanie równania: odrzuciliśmy serię pierwiastków, które unieważniły mianownik. Sprawy mogą się jeszcze bardziej skomplikować, jeśli natkniesz się na przykłady trygonometryczne, które są irracjonalne.

Przykład 2.

Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie:

No cóż, przynajmniej nie trzeba wyrywać korzeni i to dobrze! Najpierw rozwiążmy równanie, niezależnie od irracjonalności:

Czy to wszystko? Nie, niestety, to byłoby zbyt proste! Musimy pamiętać, że pod pierwiastkiem mogą pojawić się tylko liczby nieujemne. Następnie:

Rozwiązaniem tej nierówności jest:

Pozostaje teraz sprawdzić, czy część pierwiastków pierwszego równania przypadkowo nie znalazła się w miejscu, w którym nierówność nie jest spełniona.

Aby to zrobić, możesz ponownie skorzystać z tabeli:


	: , Ale	NIE!
		Tak!
		Tak!

W ten sposób jeden z moich korzeni „wypadł”! Okazuje się, jeśli to odłożysz. Następnie odpowiedź można zapisać w następujący sposób:

Odpowiedź:

Widzisz, korzeń wymaga jeszcze większej uwagi! Skomplikujmy to bardziej: niech teraz mam funkcję trygonometryczną pod pierwiastkiem.

Przykład 3.

Tak jak poprzednio: najpierw rozwiążemy każdy z osobna, a potem zastanowimy się nad tym, co zrobiliśmy.

Teraz drugie równanie:

Teraz najtrudniej jest dowiedzieć się, czy pod pierwiastek arytmetyczny otrzymamy wartości ujemne, jeśli podstawimy tam pierwiastki z pierwszego równania:

Liczbę należy rozumieć w radianach. Ponieważ radian to w przybliżeniu stopnie, radiany są więc rzędu stopni. To jest róg drugiej kwarty. Jaki jest znak cosinusa drugiej ćwiartki? Minus. A co z sinusem? Plus. Co zatem możemy powiedzieć o wyrażeniu:

To mniej niż zero!

Oznacza to, że nie jest to pierwiastek równania.

Teraz nadszedł czas.

Porównajmy tę liczbę z zerem.

Cotangens to funkcja malejąca w 1 ćwiartce (im mniejszy argument, tym większy kotangens). radiany to w przybliżeniu stopnie. W tym samym czasie

od tego czasu i dlatego
,

Odpowiedź: .

Czy to może być jeszcze bardziej skomplikowane? Proszę! Będzie trudniej, jeśli pierwiastek nadal będzie funkcją trygonometryczną, a druga część równania będzie znowu funkcją trygonometryczną.

Im więcej przykładów trygonometrycznych, tym lepiej, patrz poniżej:

Przykład 4.

Pierwiastek nie jest odpowiedni ze względu na ograniczony cosinus

Teraz drugie:

Jednocześnie z definicji korzenia:

Musimy pamiętać o okręgu jednostkowym, czyli o tych ćwiartkach, w których sinus jest mniejszy od zera. Co to za kwatery? Trzeci i czwarty. Wtedy będą nas interesować te rozwiązania pierwszego równania, które leżą w trzeciej lub czwartej ćwiartce.

Pierwsza seria daje korzenie leżące na przecięciu trzeciej i czwartej ćwiartki. Z drugiej serii – diametralnie do niej przeciwnej – wyrastają korzenie leżące na granicy pierwszej i drugiej ćwiartki. Dlatego ta seria nie jest dla nas odpowiednia.

Odpowiedź: ,

I jeszcze raz przykłady trygonometryczne z „trudną irracjonalnością”. Nie tylko znowu mamy funkcję trygonometryczną pod pierwiastkiem, ale teraz jest ona także w mianowniku!

Przykład 5.

No nic nie da się zrobić - robimy jak poprzednio.

Teraz pracujemy z mianownikiem:

Nie chcę rozwiązywać nierówności trygonometrycznej, więc zrobię coś przebiegłego: wezmę i podstawię mój szereg pierwiastków do nierówności:

Jeśli - jest parzyste, to mamy:

ponieważ wszystkie kąty widzenia leżą w czwartej ćwiartce. I znowu święte pytanie: jaki jest znak sinusa w czwartej ćwiartce? Negatywny. Potem nierówność

Jeśli -nieparzyste, to:

W której ćwiartce leży ten kąt? To jest róg drugiej kwarty. Następnie wszystkie rogi są ponownie rogami drugiej kwarty. Sinus jest dodatni. Tylko to, czego potrzebujesz! Zatem seria:

Pasuje!

W ten sam sposób postępujemy z drugą serią korzeni:

Podstawiamy do naszej nierówności:

Jeśli - nawet wtedy

Rzuty rożne w pierwszej kwarcie. Sinus jest tam dodatni, co oznacza, że szereg jest odpowiedni. Teraz, jeśli - dziwne, to:

też pasuje!

Cóż, teraz zapisujemy odpowiedź!

Odpowiedź:

Cóż, to był chyba najbardziej pracochłonny przypadek. Teraz proponuję Ci problemy do samodzielnego rozwiązania.

Szkolenie

Rozwiąż i znajdź wszystkie pierwiastki równania należące do odcinka.

Rozwiązania:

Pierwsze równanie:
Lub
ODZ korzenia:
Drugie równanie:
Wybór pierwiastków należących do przedziału
Odpowiedź:

Lub
Lub
Ale

Rozważmy: . Jeśli - nawet wtedy
- nie pasuje!
Jeśli - dziwne, : - odpowiednie!
Oznacza to, że nasze równanie ma następujący szereg pierwiastków:
Lub
Wybór pierwiastków w przedziale:


	- nie pasujący	- pasuje
	- pasuje	- dużo
	- pasuje	dużo

Odpowiedź: , .

Lub
Ponieważ wtedy tangens nie jest zdefiniowany. Natychmiast odrzucamy tę serię korzeni!

Druga część:

Jednocześnie zdaniem DZ jest to wymagane

Sprawdzamy pierwiastki znalezione w pierwszym równaniu:

Jeżeli znak:

Kąt pierwszej ćwiartki, w którym tangens jest dodatni. Nie pasuje!
Jeżeli znak:

Czwarta kwarta rożna. Tam tangens jest ujemny. Pasuje. Zapisujemy odpowiedź:

Odpowiedź: , .

W tym artykule omówiliśmy razem złożone przykłady trygonometryczne, ale równania powinieneś rozwiązać samodzielnie.

PODSUMOWANIE I PODSTAWOWE FORMUŁY

Równanie trygonometryczne to równanie, w którym nieznana jest ściśle pod znakiem funkcji trygonometrycznej.

Istnieją dwa sposoby rozwiązywania równań trygonometrycznych:

Pierwszym sposobem jest użycie formuł.

Drugi sposób prowadzi przez okrąg trygonometryczny.

Pozwala mierzyć kąty, znajdować ich sinusy, cosinusy itp.

Dość często spotykamy się z problemami o zwiększonej złożoności równania trygonometryczne zawierające moduł. Większość z nich wymaga heurystycznego podejścia do rozwiązania, które jest zupełnie nieznane większości uczniów.

Zaproponowane poniżej zadania mają na celu zapoznanie Cię z najbardziej typowymi technikami rozwiązywania równań trygonometrycznych zawierających moduł.

Zadanie 1. Znajdź różnicę (w stopniach) najmniejszego dodatniego i największego ujemnego pierwiastka równania 1 + 2sin x |cos x| = 0.

Rozwiązanie.

Rozwińmy moduł:

1) Jeśli cos x ≥ 0, to pierwotne równanie przyjmie postać 1 + 2sin x · cos x = 0.

Korzystając ze wzoru na sinus podwójnego kąta, otrzymujemy:

1 + grzech 2x = 0; grzech 2x = -1;

2x = -π/2 + 2πn, n € Z;

x = -π/4 + πn, n € Z. Ponieważ cos x ≥ 0, to x = -π/4 + 2πk, k € Z.

2) Jeśli cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:

1 – grzech 2x = 0; grzech 2x = 1;

2x = π/2 + 2πn, n € Z;

x = π/4 + πn, n € Z. Ponieważ cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.

3) Największy pierwiastek ujemny równania: -π/4; najmniejszy dodatni pierwiastek równania: 5π/4.

Wymagana różnica: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.

Odpowiedź: 270°.

Zadanie 2. Znajdź (w stopniach) najmniejszy dodatni pierwiastek równania |tg x| + 1/cos x = tan x.

Rozwiązanie.

Rozwińmy moduł:

1) Jeśli tan x ≥ 0, to

tan x + 1/cos x = tan x;

Otrzymane równanie nie ma pierwiastków.

2) Jeśli tx< 0, тогда

Tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x – 2tg x = 0;

1/cos x – 2sin x / cos x = 0;

(1 – 2sin x) / cos x = 0;

1 – 2sin x = 0 i cos x ≠ 0.

Korzystając z rysunku 1 i warunku tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.

3) Najmniejszy dodatni pierwiastek równania to 5π/6. Przeliczmy tę wartość na stopnie:

5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.

Odpowiedź: 150°.

Zadanie 3. Znajdź liczbę różnych pierwiastków równania sin |2x| = cos 2x na przedziale [-π/2; π/2].

Rozwiązanie.

Zapiszmy równanie w postaci sin|2x| – cos 2x = 0 i rozważmy funkcję y = sin |2x| – co 2x. Ponieważ funkcja jest parzysta, znajdziemy jej zera dla x ≥ 0.

grzech 2x – cos 2x = 0; Podzielmy obie strony równania przez cos 2x ≠ 0 i otrzymamy:

tg 2x – 1 = 0;

2x = π/4 + πn, n € Z;

x = π/8 + πn/2, n € Z.

Korzystając z parzystości funkcji, stwierdzamy, że pierwiastkami pierwotnego równania są liczby postaci

± (π/8 + πn/2), gdzie n € Z.

Przedział [-π/2; π/2] należą do liczb: -π/8; π/8.

Zatem dwa pierwiastki równania należą do danego przedziału.

Odpowiedź: 2.

Równanie to można również rozwiązać otwierając moduł.

Zadanie 4. Znajdź liczbę pierwiastków równania sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x na przedziale [-π; 2π].

Rozwiązanie.

1) Rozważmy przypadek, gdy 2cos x – 1 > 0, tj. cos x > 1/2, wówczas równanie przyjmuje postać:

grzech x – grzech 2 x = grzech 2 x;

grzech x – 2 grzech 2 x = 0;

grzech x(1 – 2sin x) = 0;

grzech x = 0 lub 1 – 2 grzech x = 0;

grzech x = 0 lub grzech x = 1/2.

Korzystając z rysunku 2 i warunku cos x > 1/2, znajdujemy pierwiastki równania:

x = π/6 + 2πn lub x = 2πn, n € Z.

2) Rozważmy przypadek, gdy 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:

grzech x + grzech 2 x = grzech 2 x;

x = 2πn, n € Z.

Korzystając z rysunku 2 i warunku cox< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.

Łącząc oba przypadki otrzymujemy:

x = π/6 + 2πn lub x = πn.

3) Przedział [-π; 2π] należą do pierwiastków: π/6; -π; 0; π; 2π.

Zatem dany przedział zawiera pięć pierwiastków równania.

Odpowiedź: 5.

Zadanie 5. Znajdź liczbę pierwiastków równania (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 na przedziale [-π; 2π].

Rozwiązanie.

1) Jeżeli sin x ≥ 0, to pierwotne równanie przyjmuje postać (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Po usunięciu z nawiasu wspólnego czynnika sin x otrzymujemy:

grzech x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; ponieważ (x – 0,7) 2 + 1 > 0 dla wszystkich rzeczywistych x, wówczas sinx = 0, tj. x = πn, n € Z.

2) Jeśli grzech x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;

grzech x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;

sinx = 0 lub (x – 0,7) 2 + 1 = 0. Ponieważ sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:

x – 0,7 = 1 lub x – 0,7 = -1, co oznacza x = 1,7 lub x = -0,3.

Biorąc pod uwagę warunek sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, co oznacza, że tylko liczba -0,3 jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

3) Przedział [-π; 2π] należą do liczb: -π; 0; π; 2π; -0,3.

Zatem równanie ma pięć pierwiastków w danym przedziale.

Odpowiedź: 5.

Do lekcji czy egzaminów możesz przygotować się korzystając z różnych zasobów edukacyjnych dostępnych w Internecie. Obecnie ktokolwiek człowiek po prostu musi korzystać z nowych technologii informatycznych, ponieważ ich prawidłowe, a co najważniejsze właściwe użycie pomoże zwiększyć motywację do studiowania przedmiotu, zwiększyć zainteresowanie i pomóc lepiej przyswoić niezbędny materiał. Ale nie zapominaj, że komputer nie uczy myślenia, otrzymane informacje muszą zostać przetworzone, zrozumiane i zapamiętane. Dlatego możesz zwrócić się o pomoc do naszych korepetytorów online, którzy pomogą Ci rozwiązać interesujące Cię problemy.

Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązywać równania trygonometryczne?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.