Loven om akkumulering av feil. Matematisk leksikon: hva er feilakkumulering, hva betyr det og hvordan skrive det riktig. Måling av likespenninger med elektromekaniske enheter

Analytisk kjemi

UDC 543.08+543.422.7

prediksjon av fotometrifeil ved bruk av lov om feilakkumulering og MONTE CARLO-METODEN

I OG. Golovanov, EM Danilina

I et beregningseksperiment, ved bruk av en kombinasjon av feilutbredelsesloven og Monte Carlo-metoden, ble påvirkningen av løsningsforberedelsesfeil, blankeksperimentfeil og transmittansmålingsfeil på de metrologiske egenskapene til fotometrisk analyse undersøkt. Det ble funnet at resultatene av feilprediksjon ved hjelp av analytiske og statistiske metoder er gjensidig konsistente. Det er vist at et trekk ved Monte Carlo-metoden er evnen til å forutsi distribusjonsloven for feil i fotometri. Ved å bruke eksempelet på et rutineanalysescenario, vurderes påvirkningen av heteroskedastisiteten til spredningen langs kalibreringsgrafen på kvaliteten på analysen.

Stikkord: fotometrisk analyse, feilakkumuleringslov, kalibreringsgraf, metrologiske egenskaper, Monte Carlo metode, stokastisk modellering.

Introduksjon

Prediksjon av feil i fotometrisk analyse er hovedsakelig basert på bruk av lov om akkumulering av feil (LOA). For tilfellet med en lineær form av lysabsorpsjonsloven: - 1§T = A = b1c, skrives ZNO vanligvis av ligningen:

8A _ 8C _ 0,434-10^

En '8T-

I dette tilfellet antas standardavviket til transmittansmålingen å være konstant over hele fotometerets dynamiske område. Samtidig, som nevnt i, i tillegg til instrumentelle feil, påvirkes nøyaktigheten av analysen av feilen i blankeksperimentet, feilen ved innstilling av instrumentskalagrensene, kyvettefeilen, kjemiske faktorer og feilen i stille inn den analytiske bølgelengden. Disse faktorene regnes som de viktigste feilkildene i analyseresultatet. Bidrag til den akkumulerte feilen i nøyaktigheten ved utarbeidelse av kalibreringsløsninger blir vanligvis neglisjert.

Av dette ser vi at ligning (1) ikke har signifikant prediktiv kraft, siden den tar hensyn til påvirkning av kun én faktor. I tillegg er ligning (1) en konsekvens av den omtrentlige utvidelsen av lysabsorpsjonsloven til en Taylor-serie. Dette reiser spørsmålet om dens nøyaktighet, på grunn av neglisjeringen av vilkårene for utvidelsen over den første orden. Matematisk analyse av dekomponeringsrester er assosiert med beregningsvansker og brukes ikke i utøvelse av kjemisk analyse.

Hensikten med dette arbeidet er å studere muligheten for å bruke Monte Carlo-metoden (statistisk testmetode) som en uavhengig metode for å studere og forutsi akkumulering av feil i fotometrisk analyse, komplementere og utdype evnene til ZNO.

Teoretisk del

I dette arbeidet vil vi anta at den endelige tilfeldige feilen i kalibreringsfunksjonen er forårsaket ikke bare av instrumentelle feil ved måling av optisk tetthet, men også av feil ved å sette instrumentskalaen til 0 og 100 % transmittans (feilen til

lang erfaring), samt feil ved utarbeidelse av kalibreringsløsninger. Vi ser bort fra de andre feilkildene nevnt ovenfor. Deretter omskriver vi ligningen til Bouguer-Lambert-Beer-loven i en form som er praktisk for videre konstruksjon:

Ay = ks" + A

I denne ligningen er c51 konsentrasjonen av hodestandardløsningen av det fargede stoffet, hvorav alikvoter (Va) fortynnes i kolber med et nominelt volum Vd for å oppnå en kalibreringsserie med løsninger, Ai er den optiske tettheten til blindløsningen . Siden under fotometri måles den optiske tettheten til testløsningene i forhold til en blindløsning, dvs. Ay tas som en konvensjonell null, så er Ay = 0. (Merk at den optiske tetthetsverdien målt i dette tilfellet kan kalles den konvensjonelle ekstinksjonen. ) I ligning (2) har den dimensjonsløse mengden c" betydningen av konsentrasjonen av arbeidsløsningen, uttrykt i enheter av konsentrasjonen til hodestandarden. Vi vil kalle koeffisienten k ekstinksjonen av standarden, siden Ag1 = e1c81 med c" = 1.

La oss bruke operatoren for loven om akkumulering av tilfeldige feil på uttrykk (2), og anta at Vа, Vd og Ау er tilfeldige variabler. Vi får:

En annen uavhengig tilfeldig variabel som påvirker spredningen av A-verdier er graden av overføring, siden

A = -1§T, (4)

Derfor legger vi til ett ledd til til variansene på venstre side av ligning (3):

52а=(0,434-10а)Ч+8Іьі +

I denne siste registreringen av loven om akkumulering av feil er de absolutte standardavvikene til T, Ay og Ud konstante, og for Va er den relative standardfeilen konstant.

Når vi konstruerer en stokastisk modell av kalibreringsfunksjonen basert på Monte Carlo-metoden, antar vi at de mulige verdiene x* av de tilfeldige variablene T, Ay Ua og Vd er fordelt i henhold til normalloven. I henhold til Monte Carlo-prinsippet vil vi spille ut mulige verdier ved å bruke den inverse funksjonsmetoden:

X; =M(x1) + р-1(г])-вХ|, (6)

der M(x) er den matematiske forventningen (reelle verdien) til variabelen, ¥(r^) er den Laplace-Gaussiske funksjonen, μ er de mulige verdiene til den tilfeldige variabelen R jevnt fordelt over intervallet (0,1) ), dvs. tilfeldige tall, 3x - standardavvik for den tilsvarende variabelen, \ = 1...t - ordinalt tall for den uavhengige tilfeldige variabelen. Etter å ha erstattet uttrykk (6) i ligningene (4) og (2) har vi:

A" = -18Хі=-1810-а + Р-1(г])8т,

hvor A" = "k-+ x2

Beregninger ved bruk av ligning (7) returnerer en separat implementering av kalibreringsfunksjonen, dvs. avhengighet av A" av den matematiske forventningen M(c") (nominell verdi c"). Derfor er oppføring (7) et analytisk uttrykk for en tilfeldig funksjon. Deler av denne funksjonen oppnås ved å spille av tilfeldige tall gjentatte ganger ved hvert punkt av kalibreringsavhengigheten Et utvalg av implementeringer behandles ved hjelp av matematisk metodestatistikk med det formål å estimere generelle kalibreringsparametre og teste hypoteser om egenskapene til den generelle befolkningen.

Det er åpenbart at de to tilnærmingene vi vurderer til problemet med å forutsi metrologiske egenskaper i fotometri - basert på ZNO, på den ene siden, og basert på Monte Carlo-metoden, på den andre, bør utfylle hverandre. Spesielt fra ligning (5) er det mulig å få resultatet med en mye mindre mengde beregninger sammenlignet med (7), samt rangering

ranger tilfeldige variabler i henhold til betydningen av deres bidrag til den resulterende feilen. Rangering lar deg forlate screeningeksperimentet i statistiske tester og på forhånd utelukke ubetydelige variabler fra vurdering. Ligning (5) er lett å analysere matematisk for å bedømme arten av bidragene fra faktorer til den totale variansen. Delvise bidrag av faktorer kan deles inn i de som er uavhengige av A, eller økende med økende optisk tetthet. Derfor må sA som funksjon av A være en monotont økende avhengighet uten et minimum. Ved approksimering av eksperimentelle data ved ligning (5), vil delvise bidrag av samme art blandes, for eksempel kan den eksperimentelle feilen blandes med feilen i blankeksperimentet. På den annen side, når man statistisk tester modellen ved hjelp av Monte Carlo-metoden, er det mulig å identifisere så viktige egenskaper ved kalibreringsgrafen som loven(e) for feilfordeling, samt å evaluere konvergenshastigheten til prøveestimater til de generelle. En slik analyse er ikke mulig basert på kreft.

Beskrivelse av beregningseksperimentet

Når vi konstruerer en kalibreringssimuleringsmodell, antar vi at kalibreringsserien av løsninger tilberedes i målekolber med en nominell kapasitet på 50 ml og en maksimal feil på +0,05 ml. Tilsett fra 1 til 17 ml standard stamløsning til en serie kolber med en pipeteringsfeil på > 1 %. Volummålingsfeil ble vurdert ved hjelp av oppslagsboken. Alikvoter tilsettes i jevne trinn på 1 ml. Det er totalt 17 løsninger i serien, hvis optiske tetthet dekker området fra 0,1 til 1,7 enheter. Så i ligning (2) er koeffisienten k = 5. Feilen til blankeksperimentet er tatt på nivået 0,01 enheter. optisk tetthet. Feil ved måling av transmittansgrad, ifølge , avhenger bare av enhetens klasse og er i området fra 0,1 til 0,5 % T.

For bedre å relatere forholdene til beregningseksperimentet til laboratorieeksperimentet, brukte vi data om reproduserbarheten av målinger av de optiske tetthetene til K2Cr2O7-løsninger i nærvær av 0,05 M H2S04 på et SF-26 spektrofotometer. Forfatterne tilnærmer de eksperimentelle dataene i intervallet A = 0,1 ... 1,5 med en parabolsk ligning:

sBOCn*103 =7,9-3,53A + 10,3A2. (8)

Vi klarte å tilpasse beregningene ved hjelp av den teoretiske ligningen (5) til beregningene ved bruk av den empiriske ligningen (8) ved bruk av Newtons optimaliseringsmetode. Vi fant at ligning (5) på en tilfredsstillende måte beskriver eksperimentet ved s(T) = 0,12 %, s(Abi) = 0,007 og s r(Va) = 1,1 %.

De uavhengige feilestimatene gitt i forrige avsnitt er i god overensstemmelse med de som ble funnet under monteringen. For beregninger etter ligning (7) ble det laget et program i form av et MS Excel regneark. Den viktigste egenskapen til Excel-programmet vårt er bruken av uttrykket NORMSINV(RAND()) for å generere normalfordelte feil, se ligning (6). I den spesialiserte litteraturen om statistiske beregninger i Excel er verktøyet "Random Number Generation" beskrevet i detalj, som i mange tilfeller fortrinnsvis erstattes med funksjoner som NORMSINV(RAND()). Denne erstatningen er spesielt praktisk når du lager dine egne programmer for Monte Carlo-simulering.

Resultater og diskusjon

Før vi fortsetter med statistiske tester, la oss estimere bidragene til leddene på venstre side av ligning (5) til den totale spredningen av optisk tetthet. For å gjøre dette normaliseres hvert ledd til den totale variansen. Beregninger ble utført med s(T) = 0,12 %, s(Aw) = 0,007, Sr(Va)=l.l % og s(Vfi) = 0,05. Beregningsresultatene er vist i fig. 1. Vi ser at bidrag til den totale variansen av målefeil Vfl kan neglisjeres.

Mens bidragene til en annen verdi, som påvirker feilene ved utarbeidelse av løsninger, Va

dominerer i det optiske tetthetsområdet 0,8__1,2. Denne konklusjonen er imidlertid ikke generell

natur, siden når man måler på et fotometer med s(T) = 0,5%, bestemmes kalibreringsfeilene, ifølge beregninger, hovedsakelig av spredningen av Ay og spredningen av T. I fig. Figur 2 sammenligner de relative feilene i målinger av optiske tettheter predikert basert på ZNO (heltrukken linje) og Monte Carlo-metoden (symboler). I statistiske tester, kurven

feil ble rekonstruert fra 100 realiseringer av kalibreringsavhengigheten (1700 optiske tetthetsverdier). Vi ser at begge prognosene er gjensidig konsistente. Punktene er jevnt gruppert rundt den teoretiske kurven. Selv med et så ganske imponerende statistisk materiale, observeres imidlertid ikke fullstendig konvergens. I alle fall lar spredningen oss ikke identifisere den omtrentlige naturen til kreft, se introduksjonen.

0 0.4 0.8 1.2 1.6

Ris. 1. Vektet bidrag fra begrepene i ligning (5) til variansen A: 1 - for Ay; 2 - for Ua; 3 - for T; 4 - for

Ris. 2. Feilkurve for kalibreringsgrafen

Fra teorien om matematisk statistikk er det kjent at når man utfører intervallestimering av den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel, øker påliteligheten til estimeringen dersom fordelingsloven for denne verdien er kjent. I tillegg, ved normalfordeling, er estimeringen den mest effektive. Derfor er det en viktig oppgave å studere loven om distribusjon av feil i kalibreringsgrafen. I en slik studie testes først og fremst hypotesen om normaliteten til spredningen av optiske tettheter på individuelle punkter i grafen.

En enkel måte å teste hovedhypotesen på er å beregne skjevhetskoeffisientene (a) og kurtosekoeffisientene (e) til empiriske fordelinger, samt deres sammenligning med kriterieverdier. Påliteligheten til statistiske konklusjoner øker etter hvert som volumet av prøvedata øker. I fig. Figur 3 viser sekvensen av koeffisienter for 17 seksjoner av kalibreringsfunksjonen. Koeffisientene beregnes basert på resultatene av 100 tester på hvert punkt. De kritiske verdiene til koeffisientene for vårt eksempel er |a| = 0,72 og |e| = 0,23.

Fra fig. 3 kan vi konkludere med at spredningen av verdier ved punktene i grafen generelt ikke er det

motsier normalitetshypotesen, siden sekvensene av koeffisienter nesten ikke har noen foretrukket retning. Koeffisientene er tilfeldig lokalisert nær nulllinjen (vist med den stiplede linjen). For en normalfordeling er som kjent den matematiske forventningen til skjevhetskoeffisienten og kurtosekoeffisienten null. Å dømme etter det faktum at asymmetrikoeffisientene for alle seksjoner er betydelig lavere enn den kritiske verdien, kan vi trygt snakke om symmetrien til fordelingen av kalibreringsfeil. Det er mulig at feilfordelingene er litt skjeve sammenlignet med normalfordelingskurven. Denne konklusjonen følger av det som er observert i fig. 3 små polo-

Ris. 3. Kurtosis koeffisienter (1) og asymmetri koeffisienter (2) ved punktene i kalibreringsgrafen

bosatt forskyvning av den sentrale spredningslinjen av kurtosis koeffisienter. Fra å studere modellen for den generaliserte kalibreringsfunksjonen til fotometrisk analyse ved bruk av Monte Carlo-metoden (2), kan vi konkludere med at fordelingen av kalibreringsfeil er nær normalen. Derfor kan beregninger av konfidensintervaller for resultatene av fotometrisk analyse ved bruk av studentkoeffisienter anses som ganske berettiget.

Ved utførelse av stokastisk modellering ble hastigheten for konvergens av prøvefeilkurver (se fig. 2) til den matematiske forventningen til kurven vurdert. For den matematiske forventningen til feilkurven tar vi kurven beregnet fra ZNO. Nærheten til resultatene av statistiske tester med forskjellig antall kalibreringsimplementeringer n til den teoretiske kurven vil bli vurdert av usikkerhetskoeffisienten 1 - R2. Denne koeffisienten karakteriserer andelen variasjon i utvalget som ikke kunne beskrives teoretisk. Vi har fastslått at usikkerhetskoeffisientens avhengighet av antall realisasjoner av kalibreringsfunksjonen kan beskrives ved den empiriske ligningen I - K2 = -2,3n-1 + 1,6n~/a -0,1. Fra ligningen finner vi at ved n = 213 bør vi forvente nesten fullstendig sammenfall av de teoretiske og empiriske feilkurvene. Dermed kan en konsistent vurdering av feilene ved fotometrisk analyse kun oppnås på et ganske stort statistisk materiale.

La oss vurdere mulighetene til den statistiske testmetoden for å forutsi resultatene av regresjonsanalyse av kalibreringsgrafen og bruke grafen til å bestemme konsentrasjonene av fotometerde løsninger. For å gjøre dette vil vi velge målesituasjonen for rutineanalyse som et scenario. Grafen er plottet ved hjelp av enkeltmålinger av de optiske tetthetene til en serie standardløsninger. Konsentrasjonen av den analyserte løsningen er funnet fra grafen basert på 3-4 resultater av parallelle målinger. Ved valg av regresjonsmodell bør det tas hensyn til at spredningen av optiske tettheter på ulike punkter på kalibreringsgrafen ikke er den samme, se ligning (8). Ved heteroekedastisk spredning anbefales det å bruke ordningen med vektet minste kvadrater (WLS). I litteraturen har vi imidlertid ikke funnet klare indikasjoner på årsakene til at den klassiske OLS-ordningen, hvor en av vilkårene for anvendelse er kravet om homoskedastisitet til spredningen, er mindre å foretrekke. Disse årsakene kan fastslås ved å behandle det samme statistiske materialet innhentet ved Monte Carlo-metoden i henhold til rutineanalysescenarioet, med to varianter av OLS - klassisk og vektet.

Som et resultat av regresjonsanalyse av bare én implementering av kalibreringsfunksjonen, ble følgende minste kvadraters estimater oppnådd: k = 4,979 med Bk = 0,023. Når vi vurderer de samme egenskapene til VMNC, får vi k = 5.000 med Bk = 0.016. Regresjoner ble rekonstruert ved bruk av 17 standardløsninger. Konsentrasjonene i kalibreringsserien økte i aritmetisk progresjon, og de optiske tetthetene endret seg like jevnt i området fra 0,1 til 1,7 enheter. Når det gjelder VMNC, ble de statistiske vektene til punktene i kalibreringsgrafen funnet ved å bruke variansene beregnet i henhold til ligning (5).

Variansene av estimater for begge metodene er statistisk umulige å skille i henhold til Fishers test ved et 1 % signifikansnivå. På samme nivå av signifikans skiller imidlertid OLS-estimatet av k seg fra VMLS-estimatet i henhold til 1;-kriteriet. OLS-estimatet av koeffisienten til kalibreringsgrafen er forskjøvet i forhold til den faktiske verdien M(k) = 5.000, bedømt etter testen ved et 5 % signifikansnivå. Mens vektet OLS gir et estimat som ikke inneholder systematisk feil.

La oss nå finne ut hvordan neglisjering av heteroskedastisitet kan påvirke kvaliteten på kjemisk analyse. Tabellen viser resultatene av et simuleringseksperiment på analyse av 17 kontrollprøver av et farget stoff med forskjellige konsentrasjoner. Dessuten inkluderte hver analyseserie fire løsninger, dvs. For hver prøve ble det utført fire parallelle bestemmelser. For å behandle resultatene ble to forskjellige kalibreringsavhengigheter brukt: den ene ble gjenopprettet med en enkel minste kvadraters metode, og den andre med en vektet. Vi mener at kontrollløsninger ble forberedt for analyse på samme måte som kalibreringsløsninger.

Fra tabellen ser vi at de faktiske verdiene av konsentrasjonene av kontrollløsninger både i tilfelle av VMNC og i tilfelle av MNC ikke faller utenfor konfidensintervallene, det vil si at analyseresultatene ikke inneholder signifikante systematiske feil. De maksimale feilene for begge metodene er ikke statistisk forskjellige, med andre ord begge estimatene

Sammenligning av resultatene av å bestemme konsentrasjoner har samme effektivitet. Fra-

kontrollløsninger ved hjelp av to metoder, kan det konkluderes med at når

I rutineanalyser er bruken av et enkelt uvektet OLS-design ganske berettiget. Bruken av VMNC er å foretrekke dersom forskningsoppgaven kun er å bestemme molar ekstinksjon. På den annen side bør det tas i betraktning at våre konklusjoner er av statistisk natur. Det er sannsynlig at med en økning i antall parallelle bestemmelser, vil hypotesen om objektiviteten til OLS estimater av konsentrasjoner ikke finne bekreftelse, selv om de systematiske feilene er ubetydelige fra et praktisk synspunkt.

Den ganske høye kvaliteten på analysen vi oppdaget basert på et enkelt skjema med klassisk minste kvadrater virker spesielt uventet hvis vi tar i betraktning det faktum at veldig sterk heteroskedastisitet observeres i det optiske tetthetsområdet 0,1 t - 1,7. Graden av dataheterogenitet kan bedømmes av vektingsfunksjonen, som er godt tilnærmet av polynomet w = 0,057A2 - 0,193A + 0,173. Fra denne ligningen følger det at ved de ekstreme punktene av kalibreringen avviker de statistiske vektene med mer enn 20 ganger. La oss imidlertid være oppmerksom på det faktum at kalibreringsfunksjonene ble gjenopprettet ved å bruke 17 punkter på grafen, mens det under analysen bare ble utført 4 parallelle bestemmelser. Derfor kan den signifikante forskjellen vi oppdaget mellom LLS- og VMLS-kalibreringsfunksjonene og den ubetydelige forskjellen i resultatene av analysen ved bruk av disse funksjonene forklares av det signifikant forskjellige antallet frihetsgrader som var tilgjengelige når man konstruerte statistiske konklusjoner.

Konklusjon

1. En ny tilnærming til stokastisk modellering i fotometrisk analyse er foreslått basert på Monte Carlo-metoden og loven om feilakkumulering ved bruk av Excel-regnearkprosessoren.

2. Basert på 100 implementeringer av kalibreringsavhengigheten, er det vist at prediksjonen av feil ved de analytiske og statistiske metodene er gjensidig konsistente.

3. Koeffisientene for asymmetri og kurtose langs kalibreringsgrafen ble studert. Det ble funnet at variasjoner i kalibreringsfeil følger en distribusjonslov nær normalen.

4. Påvirkningen av heteroskedastisitet i spredningen av optiske tettheter under kalibrering på analysens kvalitet vurderes. Det ble funnet at i rutineanalyser fører ikke bruken av et enkelt uvektet OLS-skjema til en merkbar reduksjon i nøyaktigheten av analyseresultatene.

Litteratur

1. Bernstein, I.Ya. Spektrofotometrisk analyse i organisk kjemi / I.Ya. Bernstein, Yu.L. Kaminsky. - L.: Kjemi, 1986. - 200 s.

2. Bulatov, M.I. Praktisk veiledning til fotometriske analysemetoder / M.I. Bulatov, I.P. Kalinkin. - L.: Kjemi, 1986. - 432 s.

3. Gmurman, V.E. Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk / V.E. Gmurman. - M.: Høyere skole, 1977. - 470 s.

nr. s", s", funnet (P = 95 %)

n/a gitt av MNK VMNK

1 0,020 0,021±0,002 0,021±0,002

2 0,040 0,041±0,001 0,041±0,001

3 0,060 0,061±0,003 0,061±0,003

4 0,080 0,080±0,004 0,080±0,004

5 0,100 0,098±0,004 0,098±0,004

6 0,120 0,122±0,006 0,121±0,006

7 0,140 0,140±0,006 0,139±0,006

8 0,160 0,163±0,003 0,162±0,003

9 0,180 0,181±0,006 0,180±0,006

10 0,200 0,201±0,002 0,200±0,002

11 0,220 0,219±0,008 0,218±0,008

12 0,240 0,242±0,002 0,241±0,002

13 0,260 0,262±0,008 0,261±0,008

14 0,280 0,281±0,010 0,280±0,010

15 0,300 0,307±0,015 0,306±0,015

16 0,320 0,325±0,013 0,323±0,013

17 0,340 0,340±0,026 0,339±0,026

4. Pravdin, P. V. Laboratorieinstrumenter og utstyr laget av glass / P.V. Pravdin. - M.: Kjemi, 1988.-336 s.

5. Makarova, N.V. Statistikk i Excel / N.V. Makarova, V.Ya. Trofimets. - M.: Finans og statistikk, 2002. - 368 s.

FORutsigelse AV FEIL I FOTOMETRI VED BRUK AV AKKUMULERING AV FEIL LOV OG MONTE CARLO METODE

Under dataeksperiment, i kombinasjon av lov om akkumulering av feil og Monte Carlo-metoden, er påvirkningen av løsningsfeil, blankeksperimentfeil og optiske overføringsmålefeil på metrologisk ytelse av fotometrisk analyse studert. Det har vist seg at resultatene av prediksjon med analytiske og statistiske metoder er interkonsistente. Det unike ved Monte Carlo-metoden har vist seg å muliggjøre prediksjon av akkumulering av feillover i fotometri. For versjonen av rutineanalyse er innflytelsen av heteroskedastisitet av dispersjon langs kalibreringskurven på analysekvaliteten blitt studert.

Nøkkelord: fotometrisk analyse, lov om akkumulering av feil, kalibreringskurve, metrologisk ytelse, Monte Carlo-metoden, stokastisk modellering.

Golovanov Vladimir Ivanovich - Dr. Sc. (kjemi), professor, leder for underavdelingen for analytisk kjemi, South Ural State University.

Golovanov Vladimir Ivanovich - Doktor i kjemiske vitenskaper, professor, leder for Institutt for analytisk kjemi, South Ural State University.

E-post: [e-postbeskyttet]

Danilina Elena Ivanovna - PhD (kjemi), førsteamanuensis, underavdeling for analytisk kjemi, South Ural State University.

Danilina Elena Ivanovna - Kandidat for kjemiske vitenskaper, førsteamanuensis, Institutt for analytisk kjemi, South Ural State University.

Hva er "FEILAKKUMULERING"? Hvordan stave dette ordet riktig. Konsept og tolkning.

AKKUMULERING AV FEIL når du løser algebraiske ligninger numerisk - den totale påvirkningen av avrundinger gjort ved individuelle trinn i beregningsprosessen på nøyaktigheten til den resulterende lineære algebraiske løsningen. systemer. Den vanligste måten å a priori estimere den totale virkningen av avrundingsfeil i numeriske metoder for lineær algebra er det såkalte skjemaet. omvendt analyse. I bruk for å løse et system av lineær algebraisk. ligninger, er det inverse analyseskjemaet som følger. Løsningen beregnet ved den direkte metoden tilfredsstiller ikke (1), men kan representeres som en eksakt løsning av det forstyrrede systemet Kvaliteten på den direkte metoden vurderes ved det beste a priori estimat, som kan gis for normene til matrisen og vektoren. Slike "best" og såkalte. henholdsvis matrisen og vektoren for ekvivalent forstyrrelse for metoden M. Hvis estimater for og er tilgjengelige, så kan teoretisk feilen til den omtrentlige løsningen estimeres ved ulikheten Her er tilstandsnummeret til matrisen A, og matrisenormen i (3) antas å være underordnet vektornormen I realiteten er estimatet for sjelden kjent , og hovedbetydningen av (2) er evnen til å sammenligne kvaliteten på ulike metoder. Nedenfor er formen for noen typiske estimater for matrisen For metoder med ortogonale transformasjoner og flyttallsaritmetikk (i system (1) regnes A og b som reelle) I dette estimatet - den relative nøyaktigheten av aritmetikk. operasjoner i en datamaskin, er den euklidiske matrisenormen, f(n) er en funksjon av formen, der n er systemets rekkefølge. De nøyaktige verdiene av konstanten C til indikatoren k bestemmes av slike detaljer om beregningsprosessen som metoden for avrunding, bruken av operasjonen til å akkumulere skalarprodukter, etc. Oftest er k = 1 eller 3/2 . Når det gjelder metoder av Gauss-typen, inkluderer høyre side av estimat (4) også en faktor som reflekterer muligheten for vekst av elementene i Ana-matrisen ved mellomtrinn av metoden sammenlignet med det opprinnelige nivået (en slik vekst er fraværende i ortogonale metoder). For å redusere verdien brukes ulike metoder for å velge det ledende elementet, og forhindrer at matriseelementene øker. For kvadratrotmetoden, som vanligvis brukes ved en positiv bestemt matrise A, oppnås det sterkeste estimat.Det finnes direkte metoder (Jordan, grenser, konjugerte gradienter), for hvilke direkte anvendelse av det inverse analyseskjemaet ikke gjør det føre til effektive estimater. I disse tilfellene, når man studerer N., legges også andre hensyn (se -). Lit.: Givens W., "TJ.S. Atomic Energy Commiss. Repts. Ser. OR NL", 1954, nr. 1574; Wilkinson J. H., Avrundingsfeil i algebraiske prosesser, L., 1963; Wilkinson J. stabilitet i direkte metoder for lineær algebra, M., 1969; hans, Computational foundations of linear algebra, M. , 1977; Peters G., Wilkinson J.H., "Communs Assoc. Comput. Math.", 1975, v. 18, nr. 1, s. 20-24; Crowden C. G., "J. Inst. Math, and Appl.", 1974, v. 14, nr. 2, s. 131-40; Reid J. K., i boken: Large Sparse Sets of Linear Equations, L.-N.Y., 1971, s. 231 - 254; Ikramov Kh. D., "J. Comput. matte. og matematikk. physics", 1978, vol. 18, nr. 3, s. 531-45. Kh. D. Ikramov. Problemet med avrunding eller metodefeil oppstår ved løsning av problemer der løsningen er et resultat av et stort antall sekvensielt utførte aritmetikk operasjoner. Betydelig Noen av disse problemene er relatert til løsning av algebraiske problemer, lineære eller ikke-lineære (se ovenfor). I sin tur, blant algebraiske problemer, er de vanligste problemer som oppstår ved tilnærming av differensialligninger. Disse problemene er preget av visse spesifikke trekk. metode for å løse et problem skjer i henhold til samme eller enklere lover som prinsippet om beregningsfeil; Prinsippet til en metode studeres når man vurderer metoden for å løse et problem. Når man studerer akkumulering av en beregningsfeil, to tilnærminger I det første tilfellet antas det at beregningsfeil på hvert trinn introduseres på den mest ugunstige måten og får et større estimat av feilen.I det andre tilfellet anses disse feilene for å være tilfeldige med en viss distribusjonslov. . Problemets karakter avhenger av problemet som skal løses, løsningsmetoden og en rekke andre faktorer som ved første øyekast kan virke uviktige; Dette inkluderer form for registrering av tall i en datamaskin (fast punkt eller flytende punkt), rekkefølgen som aritmetikk utføres i. operasjoner osv. For eksempel, i problemet med å beregne summen av N tall, er rekkefølgen operasjonene utføres i viktig. La beregningene utføres på en flyttallsmaskin med t binære sifre og alle tall ligger innenfor grensene. Når den beregnes direkte ved hjelp av den tilbakevendende formelen, er hovedfeilestimatet i størrelsesorden 2-tN. Du kan gjøre det annerledes (se). Ved beregning av parvise summer (hvis N=2l+1 er oddetall), anta. Deretter beregnes deres parvise summer osv. Etter trinnene med å danne parvise summer, oppnås et majorant estimat av rekkefølgefeilen ved å bruke formlene. I typiske oppgaver beregnes mengdene a m ved hjelp av formler, spesielt gjentakende, eller er legges sekvensielt inn i datamaskinens RAM; i disse tilfellene fører bruken av den beskrevne teknikken til en økning i datamaskinens minnebelastning. Imidlertid er det mulig å organisere sekvensen av beregninger slik at RAM-belastningen ikke overstiger -log2N-celler. Når du løser differensialligninger numerisk, er følgende tilfeller mulige. Når rutenetttrinnet h nærmer seg null, vokser feilen som hvor. Slike metoder for å løse problemer er klassifisert som ustabile. Bruken deres er sporadisk. karakter. Stabile metoder kjennetegnes av en økning i feil da Feilen ved slike metoder vanligvis vurderes som følger. En ligning konstrueres angående forstyrrelsen introdusert enten ved avrunding eller ved metodefeil, og deretter undersøkes løsningen til denne ligningen (se,). I mer komplekse tilfeller brukes metoden for ekvivalente forstyrrelser (se,), utviklet i forhold til problemet med å studere akkumulering av beregningsfeil ved løsning av differensialligninger (se,,). Beregninger ved bruk av et bestemt beregningsskjema med avrunding regnes som beregninger uten avrunding, men for en ligning med forstyrrede koeffisienter. Ved å sammenligne løsningen av den opprinnelige grid-ligningen med løsningen av ligningen med forstyrrede koeffisienter, oppnås et feilestimat. Det er lagt stor vekt på å velge en metode med, hvis mulig, lavere verdier på q og A(h). Med en fast metode for å løse oppgaven kan beregningsformlene vanligvis konverteres til formen hvor (se , ). Dette er spesielt viktig når det gjelder vanlige differensialligninger, hvor antall trinn i noen tilfeller viser seg å være svært stort. Verdien (h) kan vokse sterkt med økende integrasjonsintervall. Derfor prøver de å bruke metoder med lavere verdi på A(h) hvis mulig. I tilfellet med Cauchy-problemet kan avrundingsfeilen ved hvert spesifikt trinn i forhold til påfølgende trinn betraktes som en feil i starttilstanden. Derfor avhenger infimumet (h) av karakteristikken til divergensen til nære løsninger av differensialligningen definert av variasjonsligningen. Ved en numerisk løsning av en ordinær differensialligning har ligningen i variasjoner formen og derfor kan man ikke regne med konstanten A(h) i majoranten når man løser et problem på intervallet (x 0 , X). estimat av at beregningsfeilen er betydelig bedre enn. Derfor, når man løser dette problemet, er ett-trinnsmetoder mest brukte metoder av Runge-Kutta-typen eller metoder av Adams-typen (se,), hvor metoden hovedsakelig bestemmes ved å løse ligningen i variasjoner. For en rekke metoder akkumuleres hovedbegrepet til metodefeilen i henhold til en lignende lov, mens beregningsfeilen akkumuleres mye raskere (se. ). Praksisområde anvendeligheten av slike metoder viser seg å være betydelig smalere. Akkumuleringen av beregningsfeil avhenger vesentlig av metoden som brukes for å løse nettproblemet. For eksempel, når du løser gridgrenseverdiproblemer som tilsvarer vanlige differensialligninger ved bruk av skyte- og sveipemetoder, har det lineære problemet tegnet A(h)h-q, hvor q er det samme. Verdiene til A(h) for disse metodene kan variere så mye at i en viss situasjon blir en av metodene ubrukelig. Når man løser et grid-grenseverdiproblem for Laplaces ligning ved skytemetoden, har oppgaven karakteren c 1/h, c>1, og i tilfellet med sveipemetoden Ah-q. Med en probabilistisk tilnærming til studiet av avrundingsfeil, antar de i noen tilfeller a priori en slags feilfordelingslov (se), i andre tilfeller introduserer de et mål på rommet til problemene som vurderes, og basert på dette målet, få en lov om avrundingsfeilfordeling (se, ). Med moderat nøyaktighet i å løse problemet, gir store og sannsynlige tilnærminger for å vurdere akkumuleringen av beregningsfeil vanligvis kvalitativt de samme resultatene: enten i begge tilfeller oppstår feilen innenfor akseptable grenser, eller i begge tilfeller overskrider feilen slike grenser. Lit.: Voevodin V.V., Computational foundations of linear algebra, M., 1977; Shura-Bura M.R., «Anvendt matematikk og mekanikk», 1952, bind 16, nr. 5, s. 575-88; Bakhvalov N. S., Numeriske metoder, 2. utgave, M., 1975; Wilkinson J. X., The Algebraic Eigenvalue Problem, trans. fra engelsk, M.. 1970; Bakhvalov N. S., i boken: Computational methods and programmering, v. 1, M., 1962, s. 69-79; Godunov S.K., Ryabenkiy V.S., Difference schemes, 2. utgave, M., 1977; Bakhvalov N. S., "Doc. USSR Academy of Sciences", 1955, v. 104, nr. 5, s. 683-86; hans, "J. vil beregne, matematikk og matematisk fysikk", 1964; bind 4, nr. 3, s. 399-404; Lapshin E. A., ibid., 1971, bind 11, nr. 6, s. 1425-36. N. S. Bakhvalov.

INTRODUKSJON

Eventuelle målinger, uansett hvor nøye de utføres, er ledsaget av feil (feil), dvs. avvik fra de målte verdiene fra deres sanne verdi. Dette forklares av det faktum at under måleprosessen endres forholdene konstant: tilstanden til det ytre miljøet, måleenheten og det målte objektet, samt oppmerksomheten til utøveren. Derfor, når du måler en mengde, oppnås alltid dens omtrentlige verdi, hvis nøyaktighet må vurderes. En annen oppgave oppstår: å velge en enhet, betingelser og metodikk for å utføre målinger med en gitt nøyaktighet. Teorien om feil bidrar til å løse disse problemene, som studerer lovene for distribusjon av feil, etablerer evalueringskriterier og toleranser for målenøyaktighet, metoder for å bestemme den mest sannsynlige verdien av mengden som bestemmes, og regler for forhåndsberegning av forventet nøyaktighet.

12.1. MÅL OG DERES KLASSIFISERING

Måling er prosessen med å sammenligne en målt mengde med en annen kjent mengde tatt som en måleenhet.
Alle mengder vi forholder oss til er delt inn i målt og beregnet. Målt en mengde er dens omtrentlige verdi, funnet ved sammenligning med en homogen måleenhet. Så ved å sekvensielt legge oppmålingsbåndet i en gitt retning og telle antall legginger, finner man en omtrentlig verdi av lengden på seksjonen.
Regnet ut en størrelse er dens verdi bestemt fra andre målte mengder funksjonelt relatert til den. For eksempel er arealet til et rektangulært plott produktet av dens målte lengde og bredde.
For å oppdage feil (grove feil) og øke nøyaktigheten av resultatene, måles samme verdi flere ganger. I henhold til nøyaktighet er slike målinger delt inn i like og ulikt. Lik strøm - homogene flere resultater av måling av samme mengde, utført av samme enhet (eller forskjellige enheter av samme nøyaktighetsklasse), med samme metode og antall trinn, under identiske forhold. Ulik - målinger utført når vilkårene for lik nøyaktighet ikke er oppfylt.
Ved matematisk behandling av måleresultater er antall målte verdier av stor betydning. For eksempel, for å få verdien av hver vinkel i en trekant, er det nok å måle bare to av dem - dette vil være nødvendig antall mengder. I det generelle tilfellet, for å løse ethvert topografisk-geodetisk problem, er det nødvendig å måle et visst minimum antall mengder som gir en løsning på problemet. De kalles antall nødvendige mengder eller målinger. Men for å bedømme kvaliteten på målingene, sjekk deres korrekthet og øke nøyaktigheten av resultatet, måles også trekantens tredje vinkel - overskytende . Antall overflødige mengder (k ) er forskjellen mellom antallet av alle målte mengder ( P ) og antall nødvendige mengder ( t ):

k = n - t

I topografisk og geodetisk praksis er overflødige målte mengder obligatoriske. De gjør det mulig å oppdage feil (unøyaktigheter) i målinger og beregninger og øker nøyaktigheten til de fastsatte verdiene.

Ved fysisk ytelse målinger kan være direkte, indirekte og fjerntliggende.
Direkte målinger er de enkleste og historisk sett de første typene målinger, for eksempel å måle lengden på linjer med et målebånd eller målebånd.
Indirekte målinger er basert på bruk av visse matematiske sammenhenger mellom de søkte og direkte målte størrelsene. For eksempel bestemmes arealet av et rektangel på bakken ved å måle lengdene på sidene.
Fjernkontroll målinger er basert på bruk av en rekke fysiske prosesser og fenomener og er som regel assosiert med bruk av moderne tekniske midler: lysavstandsmålere, elektroniske totalstasjoner, fototeodolitter, etc.

Måleinstrumenter som brukes i topografisk og geodetisk produksjon kan deles inn i tre hovedklasser :

• høy presisjon (presisjon);
• korrekt;
• teknisk.

12.2. MÅLEFEIL

Når man måler samme mengde flere ganger, oppnås litt forskjellige resultater hver gang, både i absolutt verdi og i fortegn, uansett hvor mye erfaring utøveren har og uansett hvilke høypresisjonsinstrumenter han bruker.
Feil skilles: grove, systematiske og tilfeldige.
Utseende frekk feil ( savner ) er forbundet med alvorlige feil under målearbeid. Disse feilene er lett å identifisere og eliminere som et resultat av målekontroll.
Systematiske feil er inkludert i hvert måleresultat i henhold til en strengt definert lov. De er forårsaket av påvirkning fra utformingen av måleinstrumenter, feil i kalibreringen av vekten, slitasje osv. ( instrumentelle feil) eller oppstår på grunn av undervurdering av måleforhold og mønstre for endringene deres, tilnærming av noen formler osv. ( metodiske feil). Systematiske feil er delt inn i fast (konstant i fortegn og størrelse) og variabler (endre deres verdi fra en dimensjon til en annen i henhold til en viss lov).
Slike feil kan fastslås på forhånd og kan reduseres til det nødvendige minimum ved å innføre passende rettelser.
For eksempel, påvirkningen av jordens krumning på nøyaktigheten av å bestemme vertikale avstander, påvirkningen av lufttemperatur og atmosfærisk trykk ved bestemmelse av lengdene på linjer med lysavstandsmålere eller elektroniske totalstasjoner kan tas i betraktning på forhånd, påvirkningen av atmosfærisk brytning etc. kan tas i betraktning på forhånd.
Hvis grove feil unngås og systematiske feil elimineres, vil kvaliteten på målingene kun bli bestemt tilfeldige feil. Disse feilene kan ikke elimineres, men deres oppførsel er underlagt lovene til store tall. De kan analyseres, kontrolleres og reduseres til det nødvendige minimum.
For å redusere påvirkningen av tilfeldige feil på måleresultater, tyr de til flere målinger, forbedrer arbeidsforholdene, velger mer avanserte instrumenter og målemetoder, og utfører sin forsiktige produksjon.
Ved å sammenligne serien av tilfeldige feil av målinger med like presisjon, kan vi finne at de har følgende egenskaper:
a) for en gitt type og måleforhold kan tilfeldige feil ikke overskride en viss grense i absolutt verdi;
b) feil som er små i absolutt verdi vises oftere enn store;
c) positive feil vises like ofte som negative feil som er like i absolutt verdi;
d) det aritmetiske gjennomsnittet av tilfeldige feil av samme mengde har en tendens til null med en ubegrenset økning i antall målinger.
Fordelingen av feil som tilsvarer de angitte egenskapene kalles normal (fig. 12.1).

Ris. 12.1. Gaussisk tilfeldig feil klokkekurve

Forskjellen mellom resultatet av å måle en viss mengde ( l) og dens sanne betydning ( X) kalt absolutt (sann) feil .

Δ = l - X

Det er umulig å oppnå den sanne (absolutt nøyaktige) verdien av den målte verdien, selv ved bruk av instrumenter med høyeste presisjon og de mest avanserte måleteknikkene. Bare i enkelttilfeller kan den teoretiske verdien av en mengde kjennes. Akkumulering av feil fører til dannelse av avvik mellom måleresultatene og deres faktiske verdier.
Forskjellen mellom summen av praktisk målte (eller beregnede) størrelser og dens teoretiske verdi kalles gjenværende. For eksempel er den teoretiske summen av vinkler i en plan trekant lik 180º, og summen av de målte vinklene viste seg å være lik 180º02"; da vil feilen i summen av de målte vinklene være +0º02". Denne feilen vil være vinkelavviket til trekanten.
Den absolutte feilen er ikke en fullstendig indikator på nøyaktigheten av utført arbeid. For eksempel hvis en bestemt linje hvis faktiske lengde er 1000 m, målt med et oppmålingsbånd med en feil på 0,5 m, og segmentet er 200 langt m- med en feil på 0,2 m Til tross for at den absolutte feilen for den første målingen er større enn den andre, ble den første målingen fortsatt utført med dobbelt så høy nøyaktighet. Derfor introduseres konseptet slektning feil:

Forholdet mellom den absolutte feilen til den målte verdienΔ til målt verdilkalt relativ feil.

Relative feil uttrykkes alltid som en brøk med en teller lik én (alikvotbrøk). Så i eksemplet ovenfor er den relative feilen til den første målingen

og den andre

12.3 MATEMATISK BEHANDLING AV RESULTATER AV LIKE MÅLINGER PÅ EN MENGDE

La en viss mengde med en sann verdi X målt like nøyaktig n ganger og resultatene ble oppnådd: l 1 , l 2 , l 3 , … lJeg (Jeg = 1, 2, 3, … n), som ofte kalles en rekke dimensjoner. Det er nødvendig å finne den mest pålitelige verdien av den målte mengden, som kalles mest sannsynlig , og vurdere nøyaktigheten av resultatet.
I feilteorien antas den mest sannsynlige verdien for et antall like nøyaktige måleresultater å være gjennomsnitt , dvs.

(12.1)

I fravær av systematiske feil, øker det aritmetiske gjennomsnittet etter hvert som antall målinger uendelig har en tendens til den sanne verdien av den målte mengden.
For å øke innflytelsen av større feil på resultatet av å vurdere nøyaktigheten av en rekke målinger, bruk root mean square error (UPC). Hvis den sanne verdien av den målte mengden er kjent, og den systematiske feilen er neglisjerbar, vil den gjennomsnittlige kvadratfeilen ( m ) av et separat resultat av målinger med like presisjon bestemmes av Gauss-formelen:

m = (12.2) ,

Hvor Δ Jeg - sann feil.

I geodetisk praksis er den sanne verdien av målt mengde i de fleste tilfeller ukjent på forhånd. Deretter beregnes rotmiddelkvadratfeilen til et individuelt måleresultat fra de mest sannsynlige feilene ( δ ) individuelle måleresultater ( l Jeg ); etter Bessels formel:

m = (12.3)

Hvor er de mest sannsynlige feilene ( δ Jeg ) er definert som avviket til måleresultatene fra det aritmetiske gjennomsnittet

δ Jeg = l Jeg - µ

Ofte, ved siden av den mest sannsynlige verdien av en mengde, er dens rotmiddelkvadratfeil ( m), for eksempel 70°05" ± 1". Dette betyr at den nøyaktige verdien av vinkelen kan være større eller mindre enn den spesifiserte med 1". Dette minuttet kan imidlertid ikke legges til eller trekkes fra vinkelen. Det karakteriserer kun nøyaktigheten av å oppnå resultater under gitte måleforhold.

Analyse av den gaussiske normalfordelingskurven viser at med et tilstrekkelig stort antall målinger av samme mengde, kan den tilfeldige målefeilen være:

• større enn middelkvadrat m i 32 tilfeller av 100;
• mer enn to ganger gjennomsnittlig kvadrat 2m i 5 tilfeller av 100;
• mer enn tredoble middelkvadraten 3m i 3 tilfeller av 1000.

Det er usannsynlig at den tilfeldige målefeilen vil være større enn trippel rotmiddelkvadraten, så trippel gjennomsnittlig kvadratfeil regnes som maksimum:

Δ forrige = 3m

Den maksimale feilen er verdien av en tilfeldig feil, hvis forekomst er usannsynlig under de gitte måleforholdene.

Gjennomsnittlig kvadratfeil lik

Δpre = 2,5m ,

Med en feilsannsynlighet på ca. 1 %.

Gjennomsnittlig kvadratfeil av summen av målte verdier

Kvadraten av den gjennomsnittlige kvadratfeilen til den algebraiske summen av argumentet er lik summen av kvadratene av de gjennomsnittlige kvadratfeilene til leddene

m S 2 = m 1 2+m 2 2+m 3 2 + .....+ m n 2

I det spesielle tilfellet når m 1 = m 2 = m 3 = m n= m for å bestemme rotmiddelkvadratfeilen til det aritmetiske gjennomsnittet, bruk formelen

m S =

Rotmiddelkvadratfeilen til den algebraiske summen av like presisjonsmålinger er flere ganger større enn rotmiddelkvadratfeilen til ett ledd.

Eksempel.
Hvis 9 vinkler måles med en 30-sekunders teodolitt, vil den gjennomsnittlige kvadratfeilen for vinkelmålinger være

m vinkel = 30 " = ±1,5"

Gjennomsnittlig kvadratfeil av aritmetisk gjennomsnitt
(nøyaktighet ved å bestemme det aritmetiske gjennomsnittet)

Gjennomsnittlig kvadratfeil av aritmetisk gjennomsnitt (mµ )ganger mindre enn kvadratroten av en måling.

Denne egenskapen til rotmiddelkvadratfeilen til det aritmetiske gjennomsnittet lar deg øke nøyaktigheten til målingene med øke antall målinger .

For eksempel, er det nødvendig å bestemme vinkelen med en nøyaktighet på ± 15 sekunder i nærvær av en 30 sekunders teodolitt.

Hvis du måler vinkelen 4 ganger ( n) og bestem det aritmetiske gjennomsnittet, deretter rotmiddelkvadratfeilen til det aritmetiske gjennomsnittet ( mµ ) vil være ± 15 sekunder.

Rotmiddelkvadratfeil av det aritmetiske gjennomsnittet ( m µ ) viser i hvilken grad påvirkningen av tilfeldige feil ved gjentatte målinger reduseres.

Eksempel
Lengden på en linje ble målt 5 ganger.
Basert på måleresultatene, beregn: den mest sannsynlige verdien av lengden L(gjennomsnitt); mest sannsynlige feil (avvik fra det aritmetiske gjennomsnittet); rotmiddel-kvadratfeil for én måling m; nøyaktigheten av å bestemme det aritmetiske gjennomsnittet mµ, og den mest sannsynlige verdien av linjelengden tatt i betraktning rot-middel-kvadratfeilen til det aritmetiske gjennomsnittet ( L).

Behandler avstandsmålingsresultater (eksempel)

Tabell 12.1.

Målenummer	Måleresultat, m	Mest sannsynlig feil dJeg, cm	Kvadrat for den mest sannsynlige feilen, cm 2	Karakteristisk nøyaktighet
				m=±=±19 cm mµ = 19 cm/= ±8 cm
		Σ dJeg = 0	[Σ dJeg]2 = 1446	L= (980,65 ±0,08) m

12.4. VEKTER AV RESULTATER AV ULIKE NØYAKTIGHETSMÅLINGER

Ved ulik målinger, når resultatene av hver måling ikke kan anses som like pålitelige, er det ikke lenger mulig å klare seg med å bestemme et enkelt aritmetisk gjennomsnitt. I slike tilfeller blir verdien (eller påliteligheten) av hvert måleresultat tatt i betraktning.
Verdien av måleresultater uttrykkes med et visst tall som kalles vekten av denne målingen. . Det er klart at det aritmetiske gjennomsnittet vil ha større vekt sammenlignet med en enkelt måling, og målinger som gjøres med en mer avansert og nøyaktig enhet vil ha større grad av sikkerhet enn de samme målingene som er gjort med en mindre nøyaktig enhet.
Siden målebetingelsene bestemmer forskjellige verdier av den gjennomsnittlige kvadratfeilen, tas sistnevnte vanligvis som grunnleggende for å vurdere vektverdier, målinger tatt. I dette tilfellet tas vektene av måleresultatene omvendt proporsjonal med kvadratene av deres tilsvarende gjennomsnittlige kvadratfeil .
Så hvis vi angir med R Og R målevekter som har henholdsvis rotmiddelkvadratfeil m Og µ , så kan vi skrive proporsjonalitetsrelasjonen:

For eksempel hvis µ rotmiddel-kvadratfeil av det aritmetiske gjennomsnittet, og m- henholdsvis én dimensjon, da, som følger av

kan skrives:

dvs. vekten av det aritmetiske gjennomsnittet i n ganger vekten av en enkelt måling.

Tilsvarende kan det fastslås at vekten av en vinkelmåling utført av en 15-sekunders teodolitt er fire ganger større enn vekten av en vinkelmåling utført av et 30-sekunders instrument.

I praktiske beregninger tas vekten av en verdi vanligvis som én, og under denne betingelsen beregnes vektene til de gjenværende dimensjonene. Så, i det siste eksemplet, hvis vi tar vekten av resultatet av en vinkelmåling med en 30-sekunders teodolitt som R= 1, vil vektverdien av måleresultatet med en 15 sekunders teodolitt være R = 4.

12.5. KRAV TIL REGISTRERING AV FELTMÅLERESULTATER OG DERES BEHANDLING

Alt materiale av geodetiske mål består av feltdokumentasjon, samt dokumentasjon av beregningsmessig og grafisk arbeid. Mange års erfaring med å produsere geodetiske målinger og behandle dem gjorde at vi kunne utvikle regler for vedlikehold av denne dokumentasjonen.

Utarbeidelse av feltdokumenter

Feltdokumenter inkluderer materialer fra verifisering av geodetiske instrumenter, målelogger og spesielle skjemaer, konturer og kjedelogger. All feltdokumentasjon anses kun å være gyldig i originalen. Den er kompilert i en enkelt kopi, og i tilfelle tap kan den bare gjenopprettes ved gjentatte målinger, noe som nesten ikke alltid er mulig.

Reglene for føring av feltjournal er som følger.

1. Feltjournaler skal fylles ut nøye, alle tall og bokstaver skal skrives ned tydelig og leselig.
2. Retting av tall og sletting av disse, samt skriving av tall etter tall er ikke tillatt.
3. Feilregistreringer av avlesninger er krysset over med én linje og "feil" eller "feiltrykk" er angitt til høyre, og de riktige resultatene er skrevet på toppen.
4. Alle oppføringer i journalene gjøres med en enkel middels hard blyant, blekk eller kulepenn; Bruk av kjemiske eller fargeblyanter til dette anbefales ikke.
5. Ved utførelse av hver type geodetisk undersøkelse gjøres registreringer av måleresultater i passende journaler av etablert form. Før arbeidet starter, er sidene i loggene nummerert og nummeret deres attesteres av arbeidsleder.
6. Under feltarbeid er sider med avviste måleresultater krysset ut diagonalt med én linje, årsaken til avslaget og nummeret på siden som inneholder resultatene av gjentatte målinger er angitt.
7. I hver journal, på tittelsiden, fyll ut informasjon om det geodetiske instrumentet (merke, antall, gjennomsnittlig kvadratmålefeil), noter dato og klokkeslett for observasjoner, værforhold (vær, sikt osv.), navn på utøvere, gi de nødvendige diagrammer, formler og notater.
8. Loggen skal fylles ut på en slik måte at en annen utøver som ikke er involvert i feltarbeid nøyaktig kan utføre etterbehandling av måleresultater. Når du fyller ut feltjournaler, bør du følge følgende registreringsskjemaer:
a) tall i kolonner skrives slik at alle sifrene i de tilsvarende sifrene er plassert under hverandre uten forskyvning.
b) alle resultater av målinger utført med samme nøyaktighet registreres med samme antall desimaler.

Eksempel
356,24 og 205,60 m - riktig,
356,24 og 205,6 m - feil;
c) verdiene av minutter og sekunder under vinkelmålinger og beregninger skrives alltid som et tosifret tall.

Eksempel
127°07"05 " , ikke 127º7"5 " ;

d) i de numeriske verdiene av måleresultatene, skriv ned et slikt antall sifre som lar deg få leseenheten til det tilsvarende måleinstrumentet. Hvis for eksempel lengden på en linje måles med et målebånd med millimeterinndelinger og avlesningen utføres med en nøyaktighet på 1 mm, skal avlesningen skrives som 27.400 m, ikke 27.4 m. Eller hvis goniometeret kan teller bare hele minutter, da vil avlesningen bli skrevet som 47º00 ", ikke 47º eller 47º00"00".

12.5.1. Konseptet med reglene for geodetiske beregninger

Behandling av måleresultater starter etter kontroll av alt feltmateriale. I dette tilfellet bør man følge reglene og teknikkene utviklet av praksis, hvis overholdelse letter kalkulatorens arbeid og lar ham bruke datateknologi og hjelpeverktøy rasjonelt.
1. Før du begynner å behandle resultatene av geodetiske målinger, bør det utvikles et detaljert beregningsskjema, som indikerer sekvensen av handlinger som lar deg oppnå ønsket resultat på den enkleste og raskeste måten.
2. Ta i betraktning volumet av beregningsarbeid, velg de mest optimale midlene og metodene for beregninger som krever minst kostnad samtidig som du sikrer den nødvendige nøyaktigheten.
3. Nøyaktigheten av beregningsresultatene kan ikke være høyere enn nøyaktigheten til målingene. Derfor bør tilstrekkelig, men ikke overdreven, nøyaktighet av beregningshandlinger spesifiseres på forhånd.
4. Når du gjør beregninger kan du ikke bruke utkast, siden omskriving av digitalt materiale tar mye tid og ofte er ledsaget av feil.
5. For å registrere resultatene av beregninger, anbefales det å bruke spesielle diagrammer, skjemaer og ark som bestemmer rekkefølgen på beregninger og gir mellomliggende og generell kontroll.
6. Uten kontroll kan ikke beregningen anses som fullstendig. Kontroll kan utføres ved å bruke et annet trekk (metode) for å løse problemet eller utføre gjentatte beregninger av en annen utøver (i "to hender").
7. Beregninger ender alltid med fastsettelse av feil og deres obligatoriske sammenligning med toleransene gitt i de relevante instruksjonene.
8. Ved utførelse av beregningsarbeid stilles det spesielle krav til nøyaktigheten og klarheten ved registrering av tall i beregningsskjemaer, siden uaktsomhet ved oppføringer fører til feil.
Som i feltjournaler, ved registrering av kolonner med tall i beregningsskjemaer, bør sifre med samme sifre plasseres under hverandre. I dette tilfellet er brøkdelen av tallet atskilt med komma; Det anbefales å skrive flersifrede tall med intervaller, for eksempel: 2 560 129.13. Registreringer av beregninger bør kun oppbevares med blekk og latinsk skrift; Kryss forsiktig ut feilaktige resultater og skriv de korrigerte verdiene øverst.
Når du behandler målematerialer, bør du vite med hvilken nøyaktighet beregningsresultatene må oppnås for ikke å operere med et for stort antall tegn; hvis det endelige resultatet av beregningen oppnås med et større antall sifre enn nødvendig, avrundes tallene.

12.5.2. Avrunding av tall

Rund nummer opp n tegn - betyr å bevare det første n betydelige tall.
De signifikante sifrene til et tall er alle dets sifre fra det første ikke-null-sifferet til venstre til det siste registrerte sifferet til høyre. I dette tilfellet regnes ikke nuller til høyre som signifikante sifre hvis de erstatter ukjente sifre eller plasseres i stedet for andre sifre ved avrunding av et gitt tall.
For eksempel har tallet 0,027 to signifikante tall, og tallet 139,030 har seks signifikante tall.

Når du avrunder tall, bør du følge følgende regler.
1. Hvis det første av de forkastede sifrene (teller fra venstre til høyre) er mindre enn 5, beholdes det siste gjenværende sifferet uendret.
For eksempel er tallet 145.873 etter avrunding til fem signifikante tall 145.87.
2. Hvis det første av de forkastede sifrene er større enn 5, økes det siste gjenværende sifferet med ett.
For eksempel blir tallet 73,5672 etter avrunding til fire signifikante tall 73,57.
3. Hvis det siste sifferet i det avrundede tallet er 5 og det må forkastes, økes det foregående sifferet i tallet med én bare hvis det er oddetall (regel med partall).
For eksempel vil tallene 45,175 og 81,325 etter avrunding til 0,01 være henholdsvis 45,18 og 81,32.

12.5.3. Grafisk fungerer

Verdien av grafiske materialer (planer, kart og profiler), som er sluttresultatet av geodetiske undersøkelser, bestemmes i stor grad ikke bare av nøyaktigheten av feltmålinger og riktigheten av deres beregningsmessige behandling, men også av kvaliteten på grafisk utførelse. Grafisk arbeid skal utføres ved hjelp av nøye utprøvde tegneverktøy: linjaler, trekanter, geodetiske vinkelmålere, målekompass, spisse blyanter (T og TM), etc. Organiseringen av arbeidsplassen har stor innflytelse på kvaliteten og produktiviteten i tegnearbeidet. Tegnearbeid må utføres på ark av høykvalitets tegnepapir, montert på et flatt bord eller på et spesielt tegnebrett. Den originale blyanttegningen av det grafiske dokumentet, etter nøye kontroll og korrigering, er tegnet med blekk i samsvar med de etablerte konvensjonene.

Spørsmål og oppgaver for selvkontroll

1. Hva betyr uttrykket «måle en mengde»?
2. Hvordan klassifiseres målinger?
3. Hvordan klassifiseres måleinstrumenter?
4. Hvordan klassifiseres måleresultater etter nøyaktighet?
5. Hvilke mål kalles lik presisjon?
6. Hva betyr begrepene: " nødvendig Og overflødig antall dimensjoner"?
7. Hvordan klassifiseres målefeil?
8. Hva forårsaker systematiske feil?
9. Hvilke egenskaper har tilfeldige feil?
10. Hva kalles absolutt (sann) feil?
11. Hva kalles relativ feil?
12. Hva kalles det aritmetiske gjennomsnittet i feilteori?
13. Hva kalles den gjennomsnittlige kvadratfeilen i feilteori?
14. Hva er den maksimale gjennomsnittlige kvadratfeilen?
15. Hvordan forholder middelkvadratfeilen til en algebraisk sum av like presisjonsmålinger seg til middelkvadratfeilen til ett ledd?
16. Hvordan henger den gjennomsnittlige kvadratfeilen til et aritmetisk gjennomsnitt og den gjennomsnittlige kvadratfeilen for en måling?
17. Hva betyr kvadratisk rotfeil i en aritmetisk middelverdi?
18. Hvilken parameter legges til grunn for å estimere vektverdier?
19. Hvordan henger vekten av det aritmetiske gjennomsnittet og vekten av en enkelt måling sammen?
20. Hvilke regler er vedtatt i geodesi for å føre feltjournaler?
21. Liste de grunnleggende reglene for geodetiske beregninger.
22. Rund av til nærmeste 0,01 tallene 31,185 og 46,575.
23. Liste de grunnleggende reglene for å utføre grafisk arbeid.

når du løser algebraiske ligninger numerisk - den totale påvirkningen av avrundinger gjort ved individuelle trinn i beregningsprosessen på nøyaktigheten til den resulterende lineære algebraiske løsningen. systemer. Den vanligste måten å a priori estimere den totale virkningen av avrundingsfeil i numeriske metoder for lineær algebra er det såkalte skjemaet. omvendt analyse. I bruk for å løse et system av lineær algebraisk. ligninger, er det inverse analyseskjemaet som følger. Løsningen beregnet ved den direkte metoden tilfredsstiller ikke (1), men kan representeres som en eksakt løsning av det forstyrrede systemet Kvaliteten på den direkte metoden vurderes ved det beste a priori estimat, som kan gis for normene til matrisen og vektoren. Slike "best" og såkalte. henholdsvis matrisen og vektoren for ekvivalent forstyrrelse for metoden M. Hvis estimater for og er tilgjengelige, så kan teoretisk feilen til den omtrentlige løsningen estimeres ved ulikheten Her er tilstandsnummeret til matrisen A, og matrisenormen i (3) antas å være underordnet vektornormen I realiteten er estimatet for sjelden kjent , og hovedbetydningen av (2) er evnen til å sammenligne kvaliteten på ulike metoder. Nedenfor er formen for noen typiske estimater for matrisen For metoder med ortogonale transformasjoner og flyttallsaritmetikk (i system (1) regnes A og b som reelle) I dette estimatet - den relative nøyaktigheten av aritmetikk. operasjoner i en datamaskin, er den euklidiske matrisenormen, f(n) er en funksjon av formen, der n er systemets rekkefølge. De nøyaktige verdiene av konstanten C til indikatoren k bestemmes av slike detaljer om beregningsprosessen som metoden for avrunding, bruken av operasjonen til å akkumulere skalarprodukter, etc. Oftest er k = 1 eller 3/2 . Når det gjelder metoder av Gauss-typen, inkluderer høyre side av estimat (4) også en faktor som reflekterer muligheten for vekst av elementene i Ana-matrisen ved mellomtrinn av metoden sammenlignet med det opprinnelige nivået (en slik vekst er fraværende i ortogonale metoder). For å redusere verdien brukes ulike metoder for å velge det ledende elementet, og forhindrer at matriseelementene øker. For kvadratrotmetoden, som vanligvis brukes ved en positiv bestemt matrise A, oppnås det sterkeste estimat.Det finnes direkte metoder (Jordan, grenser, konjugerte gradienter), for hvilke direkte anvendelse av det inverse analyseskjemaet ikke gjør det føre til effektive estimater. I disse tilfellene, når man studerer N., legges også andre hensyn (se -). Lit.: Givens W., "TJ.S. Atomic Energy Commiss. Repts. Ser. OR NL", 1954, nr. 1574; Wilkinson J.H., Avrundingsfeil i algebraiske prosesser, L., 1963; Wilkinson D.J.
Stabile metoder kjennetegnes av en økning i feil da Feilen ved slike metoder vanligvis vurderes som følger. En ligning konstrueres angående forstyrrelsen introdusert enten ved avrunding eller ved metodefeil, og deretter undersøkes løsningen til denne ligningen (se,). I mer komplekse tilfeller brukes metoden for ekvivalente forstyrrelser (se,), utviklet i forhold til problemet med å studere akkumulering av beregningsfeil ved løsning av differensialligninger (se,,). Beregninger ved bruk av et bestemt beregningsskjema med avrunding regnes som beregninger uten avrunding, men for en ligning med forstyrrede koeffisienter. Ved å sammenligne løsningen av den opprinnelige grid-ligningen med løsningen av ligningen med forstyrrede koeffisienter, oppnås et feilestimat. Det er lagt stor vekt på å velge en metode med, hvis mulig, lavere verdier på q og A(h). Med en fast metode for å løse oppgaven kan beregningsformlene vanligvis konverteres til formen hvor (se , ). Dette er spesielt viktig når det gjelder vanlige differensialligninger, hvor antall trinn i noen tilfeller viser seg å være svært stort. Verdien (h) kan vokse sterkt med økende integrasjonsintervall. Derfor prøver de å bruke metoder med lavere verdi på A(h) hvis mulig. I tilfellet med Cauchy-problemet kan avrundingsfeilen ved hvert spesifikt trinn i forhold til påfølgende trinn betraktes som en feil i starttilstanden. Derfor avhenger infimumet (h) av karakteristikken til divergensen til nære løsninger av differensialligningen definert av variasjonsligningen. Ved en numerisk løsning av en ordinær differensialligning har ligningen i variasjoner formen og derfor kan man ikke regne med konstanten A(h) i majoranten når man løser et problem på intervallet (x 0 , X). estimat av at beregningsfeilen er betydelig bedre enn. Derfor, når man løser dette problemet, er ett-trinnsmetoder mest brukte metoder av Runge-Kutta-typen eller metoder av Adams-typen (se,), hvor metoden hovedsakelig bestemmes ved å løse ligningen i variasjoner. For en rekke metoder akkumuleres hovedbegrepet til metodefeilen etter en lignende lov, mens beregningsfeilen akkumuleres mye raskere (se). Praksisområde anvendeligheten av slike metoder viser seg å være betydelig smalere. Akkumuleringen av beregningsfeil avhenger vesentlig av metoden som brukes for å løse nettproblemet. For eksempel, når du løser problemer med gridgrenseverdier som tilsvarer vanlige differensialligninger ved bruk av skyte- og sveipemetoder N. element har tegnet A(h)h-q, der q er det samme. Verdiene til A(h) for disse metodene kan variere så mye at i en viss situasjon blir en av metodene ubrukelig. Når man løser et grid-grenseverdiproblem for Laplaces ligning ved skytemetoden, har oppgaven karakteren c 1/h, c>1, og i tilfellet med sveipemetoden Ah-q. Med en probabilistisk tilnærming til studiet av avrundingsfeil, antar de i noen tilfeller a priori en slags feilfordelingslov (se), i andre tilfeller introduserer de et mål på rommet til problemene som vurderes, og basert på dette målet, få en lov om avrundingsfeilfordeling (se, ). Med moderat nøyaktighet i å løse problemet, gir store og sannsynlige tilnærminger for å vurdere akkumuleringen av beregningsfeil vanligvis kvalitativt de samme resultatene: enten i begge tilfeller oppstår feilen innenfor akseptable grenser, eller i begge tilfeller overskrider feilen slike grenser. Lit.: Voevodin V.V., Computational foundations of linear algebra, M., 1977; Shura-Bura M.R., «Anvendt matematikk og mekanikk», 1952, bind 16, nr. 5, s. 575-88; Bakhvalov N. S., Numeriske metoder, 2. utgave, M., 1975; Wilkinson J. X., The Algebraic Eigenvalue Problem, trans. fra engelsk, M.. 1970; Bakhvalov N. S., i boken: Computational methods and programmering, v. 1, M., 1962, s. 69-79; Godunov S.K., Ryabenkiy V.S., Difference schemes, 2. utgave, M., 1977; Bakhvalov N. S., "Doc. USSR Academy of Sciences", 1955, v. 104, nr. 5, s. 683-86; hans, "J. vil beregne, matematikk og matematisk fysikk", 1964; bind 4, nr. 3, s. 399-404; Lapshin E. A., ibid., 1971, bind 11, nr. 6, s. 1425-36. N. S. Bakhvalov.

Se verdi Akkumulering av feil i andre ordbøker

Akkumulering- ansamlinger, jfr. (bok). 1. kun enheter Handling etter verb. akkumulere-akkumulere og akkumulere-akkumulere. vann. Innledende akkumulering av kapital (startpunkt for skapelse........
Ushakovs forklarende ordbok

Akkumulering Gj.sn.— 1. Handlingsprosess etter mening. verb: akkumulere, akkumulere. 2. Status etter verdi. verb: akkumulere, akkumulere. 3. Hva er akkumulert.
Forklarende ordbok av Efremova

Akkumulering- -JEG; ons
1. å akkumulere - akkumulere. N. rikdom. N. kunnskap. Kilder til akkumulering.
2. bare flertall: ansamlinger. Hva er akkumulert; sparing. Øk sparepengene dine...........
Kuznetsovs forklarende ordbok

Akkumulering— - 1. økning i personlig kapital, reserver, eiendom; 2.
andel av nasjonale
inntekt brukt til å fylle opp produksjons- og ikke-produksjonsmidler i........
Økonomisk ordbok

Akkumulering– Situasjonen det oppstår i
vekst av handelsposisjoner opprettet tidligere. Dette skjer vanligvis etterpå
ved å legge til nyåpnede stillinger til eksisterende.........
Økonomisk ordbok

Akkumulering brutto— anskaffelse av varer produsert i rapporteringsperioden
periode, men ikke konsumert.
Indeks
kontoer
Kapitaltransaksjoner i nasjonalregnskapssystemet inkluderer........
Økonomisk ordbok

Akkumulering av utbytte— I livsforsikring: en oppgjørsmetode i livsforsikringsvilkårene, som gir mulighet til å legge forsikringen igjen på en innskuddskonto......
Økonomisk ordbok

Akkumulering av investoren av mindre enn 5 % av aksjene i selskapet som er målet for tilbakekjøpet— Så snart 5 % av aksjene er kjøpt,
kjøper må gi opplysninger til Verdipapirtilsynet
papirer og
børser, til den aktuelle børsen og til selskapet,........
Økonomisk ordbok

Akkumulering av fast kapital brutto— investere i anleggsmidler (fond) for å skape nye inntekter i fremtiden.
Økonomisk ordbok

Anleggskapitalakkumulering, brutto- - investere i
grunnleggende
hovedstad (
anleggsmidler) for å opprette en ny
inntekt i fremtiden. V.n.o.c. består av følgende elementer: a)
oppkjøp........
Økonomisk ordbok

Akkumulasjonsforsikring— KAPITALFORSIKRINGEn form for livsforsikring som kombinerer
FORSIKRING og obligatorisk
akkumulering. Den skiller seg fra vanlig livsforsikring ved at etter en viss........
Økonomisk ordbok

Akkumulering, opphopning— Bedriftsfinansiering: overskudd som ikke utbetales som utbytte, men legges til selskapets aksjekapital. Se også akkumulert overskuddsskatt. Investeringer:........
Økonomisk ordbok

Attraksjon, akkumulering, dannelse av kapital; Økning i fast kapital- Opprettelse eller ekspansjon ved akkumulering av sparing av kapital eller produksjonsmidler (produsenter varer) - bygninger, utstyr, maskineri - nødvendig for produksjon av en rekke...
Økonomisk ordbok

Akkumulering- - transformasjon av en del av overskuddet til kapital, økning i lagre av materialer, eiendom, kontanter, kapitaløkning, anleggsmidler fra staten, foretak,...
Juridisk ordbok

Akkumulering- bruke deler av inntekten til å utvide produksjonen og øke produksjonen av produkter og tjenester på dette grunnlaget. Størrelsen på akkumuleringen og veksthastigheten avhenger av volumet........

Opprinnelig kapitalakkumulering- prosessen med å forvandle hoveddelen av små vareprodusenter (hovedsakelig bønder) til innleide arbeidere ved å skille dem fra produksjonsmidlene og transformere ......
Stor encyklopedisk ordbok

Målefeil- (målefeil) - avvik i måleresultater fra de sanne verdiene for den målte mengden. Systematiske målefeil skyldes hovedsakelig........
Stor encyklopedisk ordbok

Feil på måleinstrumenter— avvik av metrologiske egenskaper eller parametere til måleinstrumenter fra de nominelle, som påvirker feilene i måleresultatene (skaper såkalte instrumentelle målefeil).
Stor encyklopedisk ordbok

Innledende akkumulering— - prosessen med å forvandle hoveddelen av små råvareprodusenter, hovedsakelig bønder, til innleide arbeidere. Oppretting av besparelser av gründere for påfølgende organisasjon........
Historisk ordbok

Innledende akkumulering- akkumulering av kapital som går foran kapitalismen. produksjonsmetode, noe som gjør denne produksjonsmetoden historisk mulig og utgjør dens start, initial........
Sovjetisk historisk leksikon

Brutto investering i fast kapital- investering av hjemmehørende fond i anleggsmidler for å skape nye inntekter i fremtiden ved å bruke dem i produksjon. Bruttoinvesteringer i fast kapital........
Sosiologisk ordbok

Måling basert på feilindikator- - Engelsk måling, indikatorfeil,-orientert; tysk Fehlermessung. I følge V. Torgerson - en måling rettet mot å identifisere informasjon om indikatorer eller stimuli i reaksjonene til respondentene......
Sosiologisk ordbok

Kapitalakkumulering- - Engelsk Kapitalakkumulering; tysk Akkumulering. Transformasjonen av merverdi til kapital, som skjer i prosessen med utvidet reproduksjon.
Sosiologisk ordbok

Kapitalakkumulering Initial- - Engelsk kapitalakkumulering, primitiv; tysk Akkumulation, urprungliche. Den forrige kapitalisten, produksjonsmetoden, prosessen med å skille direkte produsenter (sjef arr. bønder).......
Sosiologisk ordbok

Kapitalakkumulering— (kapitalakkumulering) - se Kapitalakkumulering.
Sosiologisk ordbok

Akkumulering (eller utvidet reproduksjon) av kapital- (akkumulering (eller utvidet eller utvidet reproduksjon) av kapital) (marxisme) - prosessen der kapitalismen utvikler seg gjennom innleie av arbeidskraft for å produsere overskudd...
Sosiologisk ordbok

Innledende akkumulering- (primitiv akkumulering) (marxisme) - den historiske prosessen der kapital ble akkumulert før kapitalismen dukket opp. I «Das Kapital» lurer Marx på........
Sosiologisk ordbok

Midlertidig oppsamling av avfall på industriområdet- - lagring av avfall på foretakets territorium på steder som er spesielt utstyrt for disse formål inntil det brukes i den påfølgende teknologiske syklusen eller sendes......
Økologisk ordbok

AKKUMULERING- AKKUMULERING, -i, jfr. 1. se spare opp, -sya. 2. pl. Akkumulert mengde, mengde av noe. Store besparelser. || adj. kumulativ, -th, -oe (spesiell). Kumulativ uttalelse.
Ozhegovs forklarende ordbok

BIOLOGISK AKKUMULERING— BIOLOGISK AKKUMULERING konsentrasjon (akkumulering) av en rekke kjemiske stoffer (sprøytemidler, tungmetaller, radionuklider, etc.) i trofiske......
Økologisk ordbok

når du løser algebraiske ligninger numerisk - den totale påvirkningen av avrundinger gjort ved individuelle trinn i beregningsprosessen på nøyaktigheten til den resulterende lineære algebraiske løsningen. systemer. Den vanligste måten å a priori estimere den totale virkningen av avrundingsfeil i numeriske metoder for lineær algebra er det såkalte skjemaet. omvendt analyse. I bruk for å løse et system av lineær algebraisk. ligninger

Det omvendte analyseskjemaet er som følger. Løsningen beregnet ved den direkte metoden tilfredsstiller ikke (1), men kan representeres som en eksakt løsning av det forstyrrede systemet

Kvaliteten på den direkte metoden vurderes av det beste a priori-estimatet, som kan gis for normene til matrisen og vektoren. Slike "best" og såkalte. henholdsvis matrise og vektor med ekvivalent forstyrrelse for metoden M.

Hvis det er estimater for og, kan feilen til den omtrentlige løsningen teoretisk estimeres ved ulikheten

Her er tilstandsnummeret til matrise A, og matrisenormen i (3) antas å være underordnet vektornormen

I realiteten er estimatet for sjelden kjent, og hovedpoenget med (2) er å kunne sammenligne kvaliteten på ulike metoder. Nedenfor er formen for noen typiske estimater for matrisen For metoder med ortogonale transformasjoner og flytepunktaritmetikk (i system (1) regnes A og b som reelle)

I denne vurderingen - den relative nøyaktigheten av aritmetikk. datamaskindrift, er den euklidiske matrisenormen, f(n) er en funksjon av formen , hvor n er rekkefølgen til systemet. De nøyaktige verdiene av konstanten C til indikatoren k bestemmes av slike detaljer om beregningsprosessen som metoden for avrunding, bruken av operasjonen til å akkumulere skalarprodukter, etc. Oftest er k = 1 eller 3/2 .

Når det gjelder metoder av Gauss-typen, inkluderer høyre side av estimat (4) også en faktor som reflekterer muligheten for vekst av elementene i Ana-matrisen ved mellomtrinn av metoden sammenlignet med det opprinnelige nivået (slik vekst er fraværende i ortogonale metoder). For å redusere verdien av brukes ulike metoder for å velge det ledende elementet, og forhindrer at matriseelementene øker.

Til kvadratrotmetoden, som vanligvis brukes i tilfelle av en positiv bestemt matrise A, oppnås det sterkeste estimatet

Det er direkte metoder (Jordan, grenser, konjugerte gradienter), der direkte anvendelse av det inverse analyseskjemaet ikke fører til effektive estimater. I disse tilfellene, når man studerer N., legges også andre hensyn (se -).

Tent.: Givens W., "TJ. S. Atomic Energy Commiss. Repts. Ser. OR NL", 1954, nr. 1574; Wilkinson J. H., Avrundingsfeil i algebraiske prosesser, L., 1963; Wilkinson J.

Kh. D. Ikramov.

Problemet med avrunding eller metodefeil oppstår ved løsning av problemer der løsningen er et resultat av et stort antall sekvensielt utførte aritmetikk. operasjoner.

En betydelig del av slike problemer innebærer å løse algebraiske problemer. problemer, lineære eller ikke-lineære (se ovenfor). I sin tur blant algebraiske problemer De vanligste problemene oppstår ved approksimering av differensialligninger. Disse oppgavene har visse spesifikke egenskaper. særegenheter.

Metoden for å løse et problem følger de samme eller enklere lover som metoden for beregningsfeil; N., s. metode undersøkes ved vurdering av en metode for å løse et problem.

Når man studerer akkumulering av beregningsfeil, skilles to tilnærminger. I det første tilfellet antas det at beregningsfeil ved hvert trinn introduseres på den mest ugunstige måten og et større estimat av feilen oppnås. I det andre tilfellet antas det at disse feilene er tilfeldige med en viss fordelingslov.

Problemets karakter avhenger av problemet som skal løses, løsningsmetoden og en rekke andre faktorer som ved første øyekast kan virke uviktige; Dette inkluderer form for registrering av tall i en datamaskin (fast punkt eller flytende punkt), rekkefølgen som aritmetikk utføres i. operasjoner osv. For eksempel i oppgaven med å beregne summen av N tall

Rekkefølgen operasjonene utføres i er viktig. La beregningene utføres på en flyttallsmaskin med t binære sifre og alle tall ligger innenfor . Når det beregnes direkte ved hjelp av en tilbakevendende formel, er det største feilestimatet i orden 2 -t N. Du kan gjøre det annerledes (se). Ved beregning av parvise summer (Hvis N=21+1 merkelig) tror . Deretter beregnes deres parvise summer osv. Etter trinnene med å danne parvise summer ved å bruke formlene

få et estimat for større ordrefeil

I typiske problemer mengdene en t beregnes ved hjelp av formler, spesielt tilbakevendende, eller legges inn sekvensielt i datamaskinens RAM; i disse tilfellene fører bruken av den beskrevne teknikken til en økning i datamaskinens minnebelastning. Imidlertid er det mulig å organisere sekvensen av beregninger slik at RAM-belastningen ikke overstiger -log 2 N celler.

Når du løser differensialligninger numerisk, er følgende tilfeller mulige. Ettersom rutenetttrinnet h har en tendens til null, vokser feilen som hvor . Slike metoder for å løse problemer er klassifisert som ustabile. Bruken deres er sporadisk. karakter.

Stabile metoder kjennetegnes av en økning i feil da Feilen ved slike metoder vanligvis vurderes som følger. En ligning konstrueres angående forstyrrelsen introdusert enten ved avrunding eller ved metodefeil, og deretter undersøkes løsningen til denne ligningen (se,).

I mer komplekse tilfeller brukes metoden for ekvivalente forstyrrelser (se,), utviklet i forhold til problemet med å studere akkumulering av beregningsfeil ved løsning av differensialligninger (se,,). Beregninger ved bruk av et bestemt beregningsskjema med avrunding regnes som beregninger uten avrunding, men for en ligning med forstyrrede koeffisienter. Ved å sammenligne løsningen av den opprinnelige grid-ligningen med løsningen av ligningen med forstyrrede koeffisienter, oppnås et feilestimat.

Det er lagt stor vekt på å velge en metode med, hvis mulig, lavere verdier på q og A(h) . Med en fast metode for å løse oppgaven kan beregningsformlene vanligvis konverteres til formen hvor (se , ). Dette er spesielt viktig når det gjelder vanlige differensialligninger, hvor antall trinn i noen tilfeller viser seg å være svært stort.

Verdien (h) kan vokse sterkt med økende integrasjonsintervall. Derfor prøver de å bruke metoder med lavere verdi på A(h) hvis mulig. . I tilfellet med Cauchy-problemet kan avrundingsfeilen ved hvert spesifikt trinn i forhold til påfølgende trinn betraktes som en feil i starttilstanden. Derfor avhenger infimumet (h) av karakteristikken til divergensen til nære løsninger av differensialligningen definert av variasjonsligningen.

Når det gjelder en numerisk løsning av en ordinær differensialligning ligningen i variasjoner har formen

og derfor, når du løser et problem på intervallet ( x 0, X) er det umulig å regne med at konstanten A(h) i majorantestimatet av beregningsfeilen er betydelig bedre enn

Derfor, når man løser dette problemet, er de mest brukte ett-trinnsmetoder av Runge-Kutta-typen eller metoder av Adams-typen (se,), hvor problemet hovedsakelig bestemmes ved å løse ligningen i variasjoner.

For en rekke metoder akkumuleres hovedbegrepet til metodefeilen etter en lignende lov, mens beregningsfeilen akkumuleres mye raskere (se). Praksisområde anvendeligheten av slike metoder viser seg å være betydelig smalere.

Akkumuleringen av beregningsfeil avhenger vesentlig av metoden som brukes for å løse nettproblemet. For eksempel, når du løser gridgrenseverdiproblemer som tilsvarer vanlige differensialligninger ved bruk av skyte- og sveipemetoder, har oppgaven tegnet A(h) h-q, hvor q er det samme. Verdiene til A(h) for disse metodene kan variere så mye at i en viss situasjon blir en av metodene ubrukelig. Når du løser et rutenettgrenseverdiproblem for Laplace-ligningen ved hjelp av skytemetoden, har oppgaven karakteren s 1/t, s>1, og når det gjelder sveipemetoden Ah-q. Med en probabilistisk tilnærming til studiet av avrundingsfeil, antar de i noen tilfeller a priori en slags feilfordelingslov (se), i andre tilfeller introduserer de et mål på rommet til problemene som vurderes, og basert på dette målet, få en lov om avrundingsfeilfordeling (se, ).

Med moderat nøyaktighet i å løse problemet, gir store og sannsynlige tilnærminger for å vurdere akkumuleringen av beregningsfeil vanligvis kvalitativt de samme resultatene: enten i begge tilfeller oppstår feilen innenfor akseptable grenser, eller i begge tilfeller overskrider feilen slike grenser.

Tent.: Voevodin V.V., Computational foundations of linear algebra, M., 1977; Shura-Bura M.R., «Anvendt matematikk og mekanikk», 1952, bind 16, nr. 5, s. 575-88; Bakhvalov N. S., Numeriske metoder, 2. utgave, M., 1975; Wilkinson J. X., The Algebraic Eigenvalue Problem, trans. fra engelsk, M.. 1970; Bakhvalov N. S., i boken: Computational methods and programmering, v. 1, M., 1962, s. 69-79; Godunov S.K., Ryabenkiy V.S., Difference schemes, 2. utgave, M., 1977; Bakhvalov N. S., "Doc. USSR Academy of Sciences", 1955, v. 104, nr. 5, s. 683-86; hans, "J. vil beregne, matematikk og matematisk fysikk", 1964; bind 4, nr. 3, s. 399-404; Lapshin E. A., ibid., 1971, bind 11, nr. 6, s. 1425-36.

• - avvik i måleresultater fra de sanne verdiene for den målte mengden. Systematisk...
• - metrologiske avvik egenskaper eller parametere til måleinstrumenter fra minnesmerker, som påvirker feilene i måleresultater...

  Naturvitenskap. encyklopedisk ordbok

• - avvik i måleresultater fra de sanne verdiene for den målte mengden. De spiller en betydelig rolle i en rekke rettsmedisinske undersøkelser...

  Rettsmedisinsk leksikon

• - : Se også: - feil ved måleinstrumenter - feil ved målinger...
• - Se...

  Encyclopedic Dictionary of Metallurgy

• - avvik av de metrologiske parametrene til måleinstrumenter fra de nominelle, som påvirker feilene i måleresultatene ...

  Encyclopedic Dictionary of Metallurgy

• - "...Periodiske feil er feil, hvis verdi er en periodisk funksjon av tid eller bevegelse av pekeren til måleanordningen.....

  Offisiell terminologi

• - "...Permanente feil er feil som beholder sin verdi i lang tid, for eksempel under hele måleserien. De oppstår oftest.....

  Offisiell terminologi

• - "...Progressive feil er kontinuerlig økende eller minkende feil...

  Offisiell terminologi

• - se Observasjonsfeil...

  Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Euphron

• - målefeil, avvik i måleresultater fra de sanne verdiene av de målte mengdene. Det er systematiske, tilfeldige og grove P. og. ...
• - avvik av de metrologiske egenskapene eller parametrene til måleinstrumentene fra de nominelle, som påvirker feilene i måleresultatene oppnådd ved bruk av disse instrumentene...

  Stor sovjetisk leksikon

• - forskjellen mellom måleresultatene og den sanne verdien av den målte verdien. Relativ målefeil er forholdet mellom den absolutte målefeilen og den sanne verdien ...

  Moderne leksikon

• - avvik av måleresultater fra de sanne verdiene for den målte mengden...

  Stor encyklopedisk ordbok

• - adj., antall synonymer: 3 korrigerte eliminerte unøyaktigheter eliminerte feil...

  Synonymordbok

• - adj., antall synonymer: 4 korrigert, eliminert defekter, eliminert unøyaktigheter, eliminert feil...

  Synonymordbok

"AKULUTION AV FEIL" i bøker

Tekniske feil

Fra boken Stjerner og litt nervøst forfatter

Tekniske feil

Fra boken Vain Perfections and Other Vignettes forfatter Zholkovsky Alexander Konstantinovich

Tekniske feil Historier om vellykket motstand mot makt er ikke så usannsynlige som vi frykter latent. Et angrep antar vanligvis offerets passivitet, og er derfor tenkt ut bare ett skritt fremover og tåler ikke et motangrep. Pappa fortalte meg om en av disse

Synder og feil

Fra boken Hvordan NASA viste Amerika månen av Rene Ralph

Synder og feil Til tross for all fiktiviteten til romnavigasjonen, skrøt NASA av utrolig nøyaktighet i alt den gjorde. Ni ganger på rad falt Apollo-kapslene perfekt inn i månebane uten å kreve store kurskorreksjoner. Månemodul,

Innledende akkumulering av kapital. Tvangsfjerning av bønder. Akkumulering av formue.

forfatter

Innledende akkumulering av kapital. Tvangsfjerning av bønder. Akkumulering av formue. Kapitalistisk produksjon forutsetter to grunnleggende betingelser: 1) tilstedeværelsen av en masse fattige mennesker, personlig frie og samtidig fratatt produksjonsmidlene og

Sosialistisk akkumulering. Akkumulering og forbruk i et sosialistisk samfunn.

Fra boken Politisk økonomi forfatter Ostrovityanov Konstantin Vasilievich

Sosialistisk akkumulering. Akkumulering og forbruk i et sosialistisk samfunn. Kilden til utvidet sosialistisk reproduksjon er sosialistisk akkumulering. Sosialistisk akkumulering er bruken av en del av nettoinntekten til samfunnet,

Målefeil

TSB

Feil på måleinstrumenter

Fra boken Great Soviet Encyclopedia (PO) av forfatteren TSB

Ultralydfeil

Fra boken Thyroid Restoration A Guide for Patients forfatter Ushakov Andrey Valerievich

Ultralydfeil Da en pasient kom til meg fra St. Petersburg for en konsultasjon, så jeg tre ultralydundersøkelsesrapporter på en gang. Alle ble laget av forskjellige spesialister. Beskrevet annerledes. Samtidig skilte datoene for studiene seg nesten fra hverandre

Vedlegg 13 Talefeil

Fra boken The Art of Get Your Way forfatter Stepanov Sergey Sergeevich

Vedlegg 13 Talefeil Selv tilsynelatende harmløse fraser kan ofte bli en alvorlig barriere for karriereutvikling. Den berømte amerikanske markedsføringsspesialisten John R. Graham kompilerte en liste over uttrykk, hvis bruk, ifølge hans observasjoner,

Talefeil

Fra boken Hvor mye er du verdt [Teknologi for en vellykket karriere] forfatter Stepanov Sergey Sergeevich

Talefeil Selv tilsynelatende harmløse fraser kan ofte bli en alvorlig hindring for karriereutvikling. Den berømte amerikanske markedsføringsspesialisten John R. Graham kompilerte en liste over uttrykk, som ifølge hans observasjoner ikke tillot bruken av disse.

Katastrofe feil

Fra boken Black Swan [Under the Sign of Unpredictability] forfatter Taleb Nassim Nicholas

Katastrofe feil Feil har en så ødeleggende egenskap: jo mer betydningsfulle de er, desto større maskeringseffekt. Ingen ser døde rotter, og jo mer dødelig risikoen er, jo mindre åpenbar er den, fordi ofrene er ekskludert fra antall vitner. Hvordan

Feil i orientering

Fra boken ABC of Tourism forfatter Bardin Kirill Vasilievich

Orienteringsfeil Så den vanlige orienteringsoppgaven som en turist må løse, er at han må komme seg fra ett punkt til et annet, kun ved hjelp av et kompass og et kart. Området er ukjent og dessuten lukket, det vil si blottet for evt

Feil: filosofi

Fra forfatterens bok

Feil: filosofi På et intuitivt nivå forstår vi at kunnskapen vår i mange tilfeller ikke er nøyaktig. Vi kan forsiktig anta at kunnskapen vår generelt bare kan være nøyaktig på en diskret skala. Du kan vite nøyaktig hvor mange baller som er i posen, men du kan ikke vite hva vekten deres er,

Feil: modeller

Fra forfatterens bok

Feil: modeller Når vi måler noe, er det praktisk å presentere informasjonen som er tilgjengelig på det tidspunktet målingene starter (både bevisst og ubevisst) i form av modeller av et objekt eller fenomen. "Nullnivå"-modellen er en modell av tilstedeværelsen av en mengde. Vi tror at det eksisterer -

Feil: hva og hvordan kontrollere

Fra forfatterens bok

Feil: hva og hvordan kontrollere Valget av kontrollerte parametere, måleskjema, metode og omfang av kontroll gjøres under hensyntagen til produktets utgangsparametere, dets design og teknologi, kravene og behovene til personen som bruker de kontrollerte produktene . Men igjen,