Med denne videoen begynner jeg en lang rekke leksjoner om derivater. Denne leksjonen består av flere deler.
Først av alt vil jeg fortelle deg hva derivater er generelt og hvordan du teller dem, men ikke på et sofistikert akademisk språk, men måten jeg forstår det selv og hvordan jeg forklarer det til elevene mine. For det andre vil vi vurdere den enkleste regelen for å løse problemer der vi vil se etter deriverte av summer, deriverte av forskjeller og deriverte av en potensfunksjon.
Vi vil se på mer komplekse kombinerte eksempler, hvor du spesielt vil lære at lignende problemer som involverer røtter og til og med brøker kan løses ved å bruke formelen for den deriverte av en potensfunksjon. I tillegg vil det selvsagt være mange problemer og eksempler på løsninger med svært ulike kompleksitetsnivåer.
Generelt skulle jeg i utgangspunktet spille inn en kort 5-minutters video, men du kan se hvordan det ble. Så nok av tekstene – la oss komme i gang.
Hva er et derivat?
Så la oss starte langveis fra. For mange år siden, da trærne var grønnere og livet var morsommere, tenkte matematikere på dette: tenk på en enkel funksjon definert av grafen, kall den $y=f\left(x \right)$. Selvfølgelig eksisterer ikke grafen alene, så du må tegne $x$-aksene så vel som $y$-aksen. La oss nå velge hvilket som helst punkt på denne grafen, absolutt hvilket som helst. La oss kalle abscissen $((x)_(1))$, ordinaten, som du kanskje gjetter, vil være $f\left(((x)_(1)) \right)$.
La oss se på et annet punkt på samme graf. Det spiller ingen rolle hvilken, det viktigste er at den skiller seg fra den originale. Den har igjen en abscisse, la oss kalle den $((x)_(2))$, og også en ordinat - $f\left(((x)_(2)) \right)$.
Så vi har to punkter: de har forskjellige abscisser og derfor forskjellige funksjonsverdier, selv om sistnevnte ikke er nødvendig. Men det som virkelig er viktig er at vi vet fra planimetrikurset: gjennom to punkter kan du tegne en rett linje og dessuten bare en. Så la oss gjennomføre det.
La oss nå tegne en rett linje gjennom den aller første av dem, parallelt med abscisseaksen. Vi får en rettvinklet trekant. La oss kalle det $ABC$, rett vinkel $C$. Denne trekanten har en veldig interessant egenskap: faktum er at vinkelen $\alpha $ faktisk er lik vinkelen der den rette linjen $AB$ skjærer fortsettelsen av abscisseaksen. Døm selv:
- den rette linjen $AC$ er parallell med $Ox$-aksen ved konstruksjon,
- linje $AB$ skjærer $AC$ under $\alpha $,
- derfor skjærer $AB$ $Ox$ under samme $\alpha $.
Hva kan vi si om $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Ikke noe spesifikt, bortsett fra at i trekanten $ABC$ er forholdet mellom ben $BC$ og ben $AC$ lik tangenten til denne vinkelen. Så la oss skrive det ned:
Selvfølgelig er $AC$ i dette tilfellet lett beregnet:
På samme måte for $BC$:
Med andre ord kan vi skrive følgende:
\[\operatørnavn(tg)\tekst( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\venstre(((x)_(2)) \høyre)-f\venstre( ((x)_(1)) \høyre))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]
Nå som vi har fått alt dette ut av veien, la oss gå tilbake til diagrammet vårt og se på det nye punktet $B$. La oss slette de gamle verdiene og ta $B$ et sted nærmere $((x)_(1))$. La oss igjen betegne abscissen med $((x)_(2))$, og ordinaten med $f\left(((x)_(2)) \right)$.
La oss se igjen på vår lille trekant $ABC$ og $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ inne i den. Det er ganske åpenbart at dette blir en helt annen vinkel, tangenten vil også være annerledes fordi lengdene på segmentene $AC$ og $BC$ har endret seg betydelig, men formelen for tangens til vinkelen har ikke endret seg i det hele tatt - dette er fortsatt forholdet mellom en endring i funksjonen og en endring i argumentet.
Til slutt fortsetter vi å flytte $B$ nærmere det opprinnelige punktet $A$, som et resultat vil trekanten bli enda mindre, og den rette linjen som inneholder segmentet $AB$ vil se mer og mer ut som en tangent til grafen til funksjonen.
Som et resultat, hvis vi fortsetter å bringe punktene nærmere hverandre, dvs. redusere avstanden til null, vil den rette linjen $AB$ faktisk bli til en tangent til grafen ved et gitt punkt, og $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ vil transformere fra et vanlig trekantelement til vinkelen mellom tangenten til grafen og den positive retningen til $Ox$-aksen.
Og her går vi jevnt videre til definisjonen av $f$, nemlig at den deriverte av en funksjon i punktet $((x)_(1))$ er tangenten til vinkelen $\alpha $ mellom tangenten til graf ved punktet $((x)_( 1))$ og den positive retningen til $Ox$-aksen:
\[(f)"\venstre(((x)_(1)) \right)=\operatørnavn(tg)\tekst( )\!\!\alfa\!\!\tekst( )\]
For å gå tilbake til grafen vår, bør det bemerkes at et hvilket som helst punkt på grafen kan velges som $((x)_(1))$. For eksempel, med samme suksess kunne vi fjerne slaget på punktet vist i figuren.
La oss kalle vinkelen mellom tangenten og den positive retningen til aksen $\beta$. Følgelig vil $f$ i $((x)_(2))$ være lik tangenten til denne vinkelen $\beta $.
\[(f)"\venstre(((x)_(2)) \right)=tg\tekst( )\!\!\beta\!\!\tekst( )\]
Hvert punkt på grafen vil ha sin egen tangent, og derfor sin egen funksjonsverdi. I hvert av disse tilfellene, i tillegg til punktet der vi ser etter den deriverte av en forskjell eller sum, eller den deriverte av en potensfunksjon, er det nødvendig å ta et annet punkt som ligger i en avstand fra det, og deretter lede dette peker på den opprinnelige og, selvfølgelig, finn ut hvordan i prosessen En slik bevegelse vil endre tangens til helningsvinkelen.
Derivat av en potensfunksjon
Dessverre passer ikke en slik definisjon oss i det hele tatt. Alle disse formlene, bildene, vinklene gir oss ikke den minste idé om hvordan vi beregner den virkelige deriverte i virkelige problemer. La oss derfor gå litt bort fra den formelle definisjonen og vurdere mer effektive formler og teknikker som du allerede kan løse reelle problemer med.
La oss starte med de enkleste konstruksjonene, nemlig funksjoner av formen $y=((x)^(n))$, dvs. strømfunksjoner. I dette tilfellet kan vi skrive følgende: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Med andre ord, graden som var i eksponenten vises i frontmultiplikatoren, og selve eksponenten reduseres med enhet. For eksempel:
\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]
Her er et annet alternativ:
\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\venstre(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\venstre(x \høyre))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]
Ved å bruke disse enkle reglene, la oss prøve å fjerne berøringen av følgende eksempler:
Så vi får:
\[((\venstre(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]
La oss nå løse det andre uttrykket:
\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]
Dette var selvfølgelig veldig enkle oppgaver. Imidlertid er virkelige problemer mer komplekse og de er ikke begrenset til bare funksjonsgrader.
Så, regel nr. 1 - hvis en funksjon presenteres i form av de to andre, så er den deriverte av denne summen lik summen av de deriverte:
\[((\venstre(f+g \høyre))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]
På samme måte er den deriverte av forskjellen mellom to funksjoner lik forskjellen av de deriverte:
\[((\venstre(f-g \høyre))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]
\[((\venstre(((x)^(2))+x \høyre))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(2)) \høyre))^(\ prime ))+((\venstre(x \høyre))^(\prime ))=2x+1\]
I tillegg er det en annen viktig regel: hvis noen $f$ innledes med en konstant $c$, som denne funksjonen multipliseres med, beregnes $f$ for hele denne konstruksjonen som følger:
\[((\venstre(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]
\[((\venstre(3((x)^(3)) \høyre))^(\prime ))=3((\venstre(((x)^(3)) \høyre))^(\ prime ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]
Til slutt, en veldig viktig regel til: i oppgaver er det ofte et eget begrep som ikke inneholder $x$ i det hele tatt. For eksempel kan vi observere dette i våre uttrykk i dag. Den deriverte av en konstant, det vil si et tall som ikke på noen måte er avhengig av $x$, er alltid lik null, og det spiller ingen rolle i det hele tatt hva konstanten $c$ er lik:
\[((\venstre(c \høyre))^(\prime ))=0\]
Eksempel på løsning:
\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]
Nøkkelpunkter igjen:
- Den deriverte av summen av to funksjoner er alltid lik summen av de deriverte: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
- Av lignende grunner er den deriverte av differansen av to funksjoner lik differansen av to deriverte: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
- Hvis en funksjon har en konstant faktor, kan denne konstanten tas ut som et derivert tegn: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
- Hvis hele funksjonen er en konstant, er dens deriverte alltid null: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.
La oss se hvordan det hele fungerer med virkelige eksempler. Så:
Vi skriver ned:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\venstre) (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\venstre(((x)^(2)) \høyre))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]
I dette eksemplet ser vi både den deriverte av summen og den deriverte av differansen. Totalt er den deriverte lik $5((x)^(4))-6x$.
La oss gå videre til den andre funksjonen:
La oss skrive ned løsningen:
\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=(\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\venstre(2x \høyre))^(\prime))+(2)"= \\& =3((\venstre(((x)) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]
Her har vi funnet svaret.
La oss gå videre til den tredje funksjonen - den er mer alvorlig:
\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\venstre(2((x)^(3)) \høyre))^(\prime ))-((\venstre(3((x)^(2)) \høyre ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\venstre(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Vi har funnet svaret.
La oss gå videre til det siste uttrykket - det mest komplekse og lengste:
Så vi vurderer:
\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\venstre(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x) )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]
Men løsningen slutter ikke der, fordi vi blir bedt om ikke bare å fjerne et slag, men å beregne verdien på et bestemt punkt, så vi erstatter −1 i stedet for $x$ i uttrykket:
\[(y)"\venstre(-1 \høyre)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]
La oss gå videre og gå videre til enda mer komplekse og interessante eksempler. Faktum er at formelen for å løse potensderiverten $((\venstre(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ har et enda bredere omfang enn man vanligvis tror. Med dens hjelp kan du løse eksempler med brøker, røtter osv. Dette skal vi gjøre nå.
Til å begynne med, la oss igjen skrive ned formelen som vil hjelpe oss å finne den deriverte av en potensfunksjon:
Og nå oppmerksomhet: så langt har vi betraktet bare naturlige tall som $n$, men ingenting hindrer oss i å vurdere brøker og til og med negative tall. Vi kan for eksempel skrive følgende:
\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\venstre(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]
Ikke noe komplisert, så la oss se hvordan denne formelen vil hjelpe oss når vi løser mer komplekse problemer. Så, et eksempel:
La oss skrive ned løsningen:
\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\venstre(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x) )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)) ^(3)))) \\\end(align)\]
La oss gå tilbake til vårt eksempel og skrive:
\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4) \sqrt(((x)^(3))))\]
Dette er en så vanskelig avgjørelse.
La oss gå videre til det andre eksemplet - det er bare to begreper, men hver av dem inneholder både en klassisk grad og røtter.
Nå skal vi lære hvordan du finner den deriverte av en potensfunksjon, som i tillegg inneholder roten:
\[\begin(align)& ((\venstre(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\venstre(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\venstre(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3) )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]
Begge ledd er regnet ut, det gjenstår bare å skrive ned det endelige svaret:
\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]
Vi har funnet svaret.
Derivert av en brøk gjennom en potensfunksjon
Men mulighetene til formelen for å løse den deriverte av en potensfunksjon slutter ikke der. Faktum er at med dens hjelp kan du beregne ikke bare eksempler med røtter, men også med brøker. Dette er nettopp den sjeldne muligheten som i stor grad forenkler løsningen av slike eksempler, men som ofte ignoreres ikke bare av elever, men også av lærere.
Så nå skal vi prøve å kombinere to formler samtidig. På den ene siden den klassiske deriverte av en potensfunksjon
\[((\venstre(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
På den annen side vet vi at et uttrykk på formen $\frac(1)(((x)^(n)))$ kan representeres som $((x)^(-n))$. Derfor,
\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\venstre(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]
\[((\venstre(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\venstre(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x) )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]
Dermed beregnes også de deriverte av enkle brøker, der telleren er en konstant og nevneren er en grad, ved hjelp av den klassiske formelen. La oss se hvordan dette fungerer i praksis.
Så den første funksjonen:
\[((\venstre(\frac(1)(((x)^(2))) \høyre))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(-2)) \ høyre))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]
Det første eksemplet er løst, la oss gå videre til det andre:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\venstre(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\venstre(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\venstre(\frac(2)(3((x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\venstre(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\venstre( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\venstre(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ left(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ end(align)\]...
Nå samler vi alle disse begrepene i en enkelt formel:
\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]
Vi har fått svar.
Før du går videre, vil jeg imidlertid gjøre deg oppmerksom på formen for å skrive selve originaluttrykkene: i det første uttrykket skrev vi $f\left(x \right)=...$, i det andre: $y =...$ Mange elever går seg vill når de ser ulike former for opptak. Hva er forskjellen mellom $f\left(x \right)$ og $y$? Ingenting egentlig. De er bare forskjellige oppføringer med samme betydning. Det er bare det at når vi sier $f\left(x \right)$, snakker vi først og fremst om en funksjon, og når vi snakker om $y$, mener vi oftest grafen til en funksjon. Ellers er dette det samme, det vil si at den deriverte i begge tilfeller anses som den samme.
Komplekse problemer med derivater
Avslutningsvis vil jeg vurdere et par komplekse kombinerte oppgaver som bruker alt vi har vurdert i dag. De inneholder røtter, brøker og summer. Imidlertid vil disse eksemplene bare være komplekse i dagens videoopplæring, fordi virkelig komplekse avledede funksjoner vil vente på deg fremover.
Så, den siste delen av dagens videoleksjon, som består av to kombinerte oppgaver. La oss starte med den første av dem:
\[\begin(align)& ((\venstre(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\venstre(((x)^(3)) \høyre))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime) )=3((x)^(2)) \\& ((\venstre(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ venstre(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\venstre(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]
Den deriverte av funksjonen er lik:
\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]
Det første eksemplet er løst. La oss vurdere det andre problemet:
I det andre eksemplet går vi frem på samme måte:
\[((\venstre(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\venstre(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\venstre (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime ))\]
La oss beregne hvert ledd separat:
\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8) )(((x)^(5))) \\& ((\venstre(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1) )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=(\left(\frac(4)(x\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\venstre(\frac(4)((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]
Alle vilkår er beregnet. Nå går vi tilbake til den opprinnelige formelen og legger sammen alle tre leddene. Vi får at det endelige svaret blir slik:
\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7) )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]
Og det er alt. Dette var vår første leksjon. I de følgende leksjonene skal vi se på mer komplekse konstruksjoner, og også finne ut hvorfor derivater er nødvendig i utgangspunktet.
Når vi utleder den aller første formelen i tabellen, vil vi gå ut fra definisjonen av den deriverte funksjonen ved et punkt. La oss ta hvor x– et hvilket som helst reelt tall, det vil si x– et hvilket som helst tall fra definisjonsdomenet til funksjonen. La oss skrive ned grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet ved: 
Det skal bemerkes at under grensetegnet oppnås uttrykket, som ikke er usikkerheten til null delt på null, siden telleren ikke inneholder en uendelig verdi, men nøyaktig null. Med andre ord er økningen av en konstant funksjon alltid null.
Dermed, derivert av en konstant funksjoner lik null i hele definisjonsdomenet.
Derivat av en potensfunksjon.
Formelen for den deriverte av en potensfunksjon har formen 
, hvor eksponenten s– et hvilket som helst reelt tall.
La oss først bevise formelen for den naturlige eksponenten, det vil si for p = 1, 2, 3, …
Vi vil bruke definisjonen av derivat. La oss skrive ned grensen for forholdet mellom økningen av en potensfunksjon og økningen av argumentet: 
For å forenkle uttrykket i telleren, går vi til Newtons binomialformel: 
Derfor, 
Dette beviser formelen for den deriverte av en potensfunksjon for en naturlig eksponent.
Derivert av en eksponentiell funksjon.
Vi presenterer avledningen av derivatformelen basert på definisjonen:
Vi har kommet til usikkerhet. For å utvide den introduserer vi en ny variabel, og på . Deretter . I den siste overgangen brukte vi formelen for overgang til en ny logaritmisk base.
La oss bytte inn i den opprinnelige grensen: 
Hvis vi husker den andre bemerkelsesverdige grensen, kommer vi til formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen: 
Derivert av en logaritmisk funksjon.
La oss bevise formelen for den deriverte av en logaritmisk funksjon for alle x fra definisjonsdomenet og alle gyldige verdier for basen en logaritme Per definisjon av derivat har vi: 
Som du la merke til, under beviset ble transformasjonene utført ved å bruke egenskapene til logaritmen. Likestilling 
er sant på grunn av den andre bemerkelsesverdige grensen.
Derivater av trigonometriske funksjoner.
For å utlede formler for derivater av trigonometriske funksjoner, må vi huske noen trigonometriformler, så vel som den første bemerkelsesverdige grensen.
Per definisjon av den deriverte for sinusfunksjonen vi har 
.
La oss bruke forskjellen på sines-formelen: 
Det gjenstår å vende seg til den første bemerkelsesverdige grensen: 
Altså den deriverte av funksjonen synd x Det er fordi x.
Formelen for derivatet av cosinus er bevist på nøyaktig samme måte. 
Derfor er den deriverte av funksjonen fordi x Det er –sin x.
Vi vil utlede formler for tabellen med deriverte for tangent og cotangens ved å bruke påviste differensieringsregler (deriverte av en brøk). 
Derivater av hyperbolske funksjoner.
Reglene for differensiering og formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen fra tabellen med deriverte tillater oss å utlede formler for de deriverte av hyperbolsk sinus, cosinus, tangens og cotangens. 
Derivert av den inverse funksjonen.
For å unngå forvirring under presentasjonen, la oss betegne argumentet til funksjonen som differensiering utføres med, det vil si at det er den deriverte av funksjonen f(x) Av x.
La oss nå formulere regel for å finne den deriverte av en invers funksjon.
La funksjonene y = f(x) Og x = g(y) gjensidig invers, definert på intervallene og hhv. Hvis det på et punkt er en endelig ikke-null derivert av funksjonen f(x), så er det i punktet en endelig derivert av den inverse funksjonen g(y), og 
. I et annet innlegg 
.
Denne regelen kan omformuleres for alle x fra intervallet , så får vi 
.
La oss sjekke gyldigheten til disse formlene.
La oss finne den inverse funksjonen for den naturlige logaritmen 
(Her y er en funksjon, og x- argument). Etter å ha løst denne ligningen for x, får vi (her x er en funksjon, og y– hennes argument). Det er, 
og gjensidig inverse funksjoner.
Fra tabellen over derivater ser vi det 
Og 
.
La oss sørge for at formlene for å finne de deriverte av den inverse funksjonen fører oss til de samme resultatene: 
Som du kan se, fikk vi de samme resultatene som i derivattabellen.
Nå har vi kunnskapen til å bevise formler for deriverte av inverse trigonometriske funksjoner.
La oss starte med derivatet av arcsine.
. Så, ved å bruke formelen for den deriverte av den inverse funksjonen, får vi
Det gjenstår bare å gjennomføre transformasjonene.
Siden arcsine-området er intervallet 
, Det 
(se avsnittet om grunnleggende elementære funksjoner, deres egenskaper og grafer). Derfor vurderer vi det ikke.
Derfor, 
. Definisjonsdomenet til arcsine-derivatet er intervallet (-1;
1)
.
For arc cosinus er alt gjort på nøyaktig samme måte: 
La oss finne den deriverte av arctangensen.
For den inverse funksjonen er 
.
La oss uttrykke arctangensen i form av arccosine for å forenkle det resulterende uttrykket.
La arctgx = z, Deretter 
Derfor, 
Derivatet av lysbuen cotangens finnes på en lignende måte: 
Vi presenterer en oppsummeringstabell for enkelhets skyld og klarhet når vi studerer emnet.
|
Konstanty = C Effektfunksjon y = x p (x p) " = p x p - 1 |
Eksponentiell funksjony = øks (a x) " = a x ln a Spesielt nåra = evi har y = e x (e x) " = e x |
|
Logaritmisk funksjon (log a x) " = 1 x ln a Spesielt nåra = evi har y = log x (ln x) " = 1 x |
Trigonometriske funksjoner (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x |
|
Inverse trigonometriske funksjoner (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 |
Hyperbolske funksjoner (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x |
La oss analysere hvordan formlene til den angitte tabellen ble oppnådd, eller med andre ord, vi vil bevise utledningen av derivatformler for hver type funksjon.
Derivert av en konstant
Bevis 1For å utlede denne formelen tar vi utgangspunkt i definisjonen av den deriverte av en funksjon i et punkt. Vi bruker x 0 = x, hvor x tar verdien av et hvilket som helst reelt tall, eller med andre ord, x er et hvilket som helst tall fra domenet til funksjonen f (x) = C. La oss skrive ned grensen for forholdet mellom økningen av en funksjon og økningen av argumentet som ∆ x → 0:
lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0
Vær oppmerksom på at uttrykket 0 ∆ x faller under grensetegnet. Det er ikke usikkerheten "null delt på null", siden telleren ikke inneholder en uendelig liten verdi, men nøyaktig null. Med andre ord er økningen av en konstant funksjon alltid null.
Så den deriverte av konstantfunksjonen f (x) = C er lik null gjennom hele definisjonsdomenet.
Eksempel 1
Konstantfunksjonene er gitt:
f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7
Løsning
La oss beskrive de gitte forholdene. I den første funksjonen ser vi den deriverte av det naturlige tallet 3. I følgende eksempel må du ta den deriverte av EN, Hvor EN- et hvilket som helst reelt tall. Det tredje eksemplet gir oss den deriverte av det irrasjonelle tallet 4. 13 7 22, den fjerde er den deriverte av null (null er et heltall). Til slutt, i det femte tilfellet har vi den deriverte av den rasjonelle brøken - 8 7.
Svar: deriverte av gitte funksjoner er null for enhver reell x(over hele definisjonsområdet)
f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0
Derivat av en potensfunksjon
La oss gå videre til potensfunksjonen og formelen for dens deriverte, som har formen: (x p) " = p x p - 1, hvor eksponenten s er et hvilket som helst reelt tall.
Bevis 2
Her er beviset på formelen når eksponenten er et naturlig tall: p = 1, 2, 3, …
Vi stoler igjen på definisjonen av et derivat. La oss skrive ned grensen for forholdet mellom økningen av en potensfunksjon og økningen av argumentet:
(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x
For å forenkle uttrykket i telleren bruker vi Newtons binomiale formel:
(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +. . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p
Dermed:
(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . 1 + 0 +.
Dermed har vi bevist formelen for den deriverte av en potensfunksjon når eksponenten er et naturlig tall.
Bevis 3
Å fremlegge bevis for saken når p- et hvilket som helst reelt tall enn null, bruker vi den logaritmiske deriverte (her bør vi forstå forskjellen fra den deriverte av en logaritmisk funksjon). For å få en mer fullstendig forståelse, er det tilrådelig å studere den deriverte av en logaritmisk funksjon og videre forstå den deriverte av en implisitt funksjon og den deriverte av en kompleks funksjon.
La oss vurdere to tilfeller: når x positivt og når x negativ.
Så x > 0. Deretter: x p > 0 . La oss logaritme likheten y = x p til basen e og bruke egenskapen til logaritmen:
y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x
På dette stadiet har vi fått en implisitt spesifisert funksjon. La oss definere dens deriverte:
(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1
Nå vurderer vi saken når x – et negativt tall.
Hvis indikatoren s er et partall, er potensfunksjonen definert for x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1
Så x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.
Hvis s er et oddetall, er potensfunksjonen definert for x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:
y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1
Den siste overgangen er mulig på grunn av at hvis s er et oddetall, da p - 1 enten et partall eller null (for p = 1), derfor for negativ x likheten (- x) p - 1 = x p - 1 er sann.
Så vi har bevist formelen for den deriverte av en potensfunksjon for enhver reell p.
Eksempel 2
Funksjoner gitt:
f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12
Bestem deres derivater.
Løsning
Vi transformerer noen av de gitte funksjonene til tabellform y = x p , basert på egenskapene til graden, og bruker deretter formelen:
f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2" (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - stokk 7 12 x - stokk 7 12 - 1 = - stokk 7 12 x - stokk 7 12 - stokk 7 7 = - stokk 7 12 x - stokk 7 84
Derivert av en eksponentiell funksjon
Bevis 4La oss utlede den deriverte formelen ved å bruke definisjonen som grunnlag:
(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0
Vi fikk usikkerhet. For å utvide den, la oss skrive en ny variabel z = a ∆ x - 1 (z → 0 som ∆ x → 0). I dette tilfellet er a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . For den siste overgangen ble formelen for overgang til en ny logaritmebase brukt.
La oss bytte inn i den opprinnelige grensen:
(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z
La oss huske den andre bemerkelsesverdige grensen, og så får vi formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen:
(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a
Eksempel 3
Eksponentialfunksjonene er gitt:
f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x
Det er nødvendig å finne deres derivater.
Løsning
Vi bruker formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen og egenskapene til logaritmen:
f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x
Derivert av en logaritmisk funksjon
Bevis 5La oss gi et bevis på formelen for den deriverte av en logaritmisk funksjon for enhver x i definisjonsdomenet og eventuelle tillatte verdier av basen a til logaritmen. Basert på definisjonen av derivat, får vi:
(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a
Fra den indikerte likhetskjeden er det klart at transformasjonene var basert på egenskapen til logaritmen. Likhetsgrensen ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e er sann i samsvar med den andre bemerkelsesverdige grensen.
Eksempel 4
Logaritmiske funksjoner er gitt:
f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x
Det er nødvendig å beregne deres derivater.
Løsning
La oss bruke den avledede formelen:
f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3); f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x
Så den deriverte av den naturlige logaritmen er en dividert med x.
Derivater av trigonometriske funksjoner
Bevis 6La oss bruke noen trigonometriske formler og den første fantastiske grensen for å utlede formelen for den deriverte av en trigonometrisk funksjon.
I henhold til definisjonen av den deriverte av sinusfunksjonen får vi:
(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x
Formelen for forskjellen av sines vil tillate oss å utføre følgende handlinger:
(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2
Til slutt bruker vi den første fantastiske grensen:
sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x
Så den deriverte av funksjonen synd x vil fordi x.
Vi vil også bevise formelen for derivatet av cosinus:
cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x
De. den deriverte av cos x-funksjonen vil være – synd x.
Vi utleder formlene for derivatene av tangent og cotangens basert på reglene for differensiering:
t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x
Derivater av inverse trigonometriske funksjoner
Avsnittet om derivater av inverse funksjoner gir omfattende informasjon om beviset for formlene for derivatene av arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent, så vi vil ikke duplisere materialet her.
Derivater av hyperbolske funksjoner
Bevis 7Vi kan utlede formlene for de deriverte av den hyperbolske sinus, cosinus, tangens og cotangens ved å bruke differensieringsregelen og formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen:
s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
En potenseksponentiell funksjon er en funksjon som har form av en potensfunksjony = u v,
der basen u og eksponenten v er noen funksjoner av variabelen x:
u = u (x); v = v (x).
Denne funksjonen kalles også eksponentiell eller .
Merk at potens-eksponentialfunksjonen kan representeres i eksponentiell form:
.
Derfor kalles det også kompleks eksponentiell funksjon.
Derivert av en potens-eksponentiell funksjon
Beregning med logaritmisk derivert
La oss finne den deriverte av potens-eksponentialfunksjonen
(2)
,
hvor og er funksjoner til variabelen.
For å gjøre dette, logaritmer vi ligningen (2), ved å bruke egenskapen til logaritmen:
.
Differensier med hensyn til variabelen x:
(3)
.
Vi søker regler for å differensiere komplekse funksjoner og fungerer:
;
.
Vi erstatter i (3):
.
Herfra
.
Så vi fant den deriverte av potens-eksponentialfunksjonen:
(1)
.
Hvis eksponenten er konstant, så . Da er den deriverte lik den deriverte av en kompleks potensfunksjon:
.
Hvis bunnen av graden er konstant, så . Da er den deriverte lik den deriverte av den komplekse eksponentialfunksjonen:
.
Når og er funksjoner av x, så er den deriverte av potens-eksponentialfunksjonen lik summen av de deriverte av de komplekse potensene og eksponentialfunksjonene.
Beregning av den deriverte ved reduksjon til en kompleks eksponentiell funksjon
La oss nå finne den deriverte av potens-eksponentialfunksjonen
(2)
,
presenterer det som en kompleks eksponentiell funksjon:
(4)
.
La oss skille produktet:
.
Vi bruker regelen for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:
.
Og vi fikk igjen formel (1).
Eksempel 1
Finn den deriverte av følgende funksjon:
.
Vi regner med den logaritmiske deriverte. La oss logaritme den opprinnelige funksjonen:
(A1.1) .
Fra tabellen over derivater finner vi:
;
.
Ved å bruke produktderivatformelen har vi:
.
Vi skiller (A1.1):
.
Fordi det
,
At
.