La oss fastslå de grunnleggende egenskapene til en parabel. La oss dissekere en rett sirkulær kjegle med toppunkt S ved et plan parallelt med en av dens generatorer. I tverrsnittet får vi en parabel. La oss tegne et plan ASB gjennom kjeglens akse ST, vinkelrett på planet (fig. 11). Generatrisen SA som ligger i den vil være parallell med planet. La oss skrive inn en sfærisk flate i kjeglen, tangerer kjeglen langs sirkelen UV og tangerer planet i punktet F. La oss tegne en rett linje gjennom punktet F parallelt med generatrisen SA. La oss betegne punktet for skjæringspunktet med generatrisen SB med P. Punkt F kalles parabelens fokus, punktet P er toppunktet, og den rette linjen PF som går gjennom toppunktet og fokuset (og parallelt med generatrisen SA) ) kalles parabelens akse. Parablen vil ikke ha et andre toppunkt - skjæringspunktet mellom PF-aksen og SA-generatrisen: dette punktet "går til det uendelige". La oss kalle retningslinjen (oversatt som "guide") linjen q 1 q 2 for skjæringspunktet mellom planet og planet der sirkelen UV ligger. Ta et vilkårlig punkt M på parabelen og koble det til toppunktet til kjeglen S. Den rette linjen MS berører ballen ved punkt D som ligger på sirkelen UV. La oss koble punkt M med fokus F og senke den perpendikulære MK fra punkt M til retningslinjen. Så viser det seg at avstandene til et vilkårlig punkt M i en parabel til fokus (MF) og til retningslinjen (MK) er lik hverandre (hovedegenskapen til en parabel), dvs. MF=MK.
Bevis: MF=MD (som tangenter til en ball fra ett punkt). La oss betegne vinkelen mellom en hvilken som helst av generatrisene til kjeglen og ST-aksen som c. La oss projisere segmentene MD og MK på ST-aksen. Segmentet MD danner en projeksjon på ST-aksen lik MDcosc, siden MD ligger på kjeglens generatrise; segmentet MK danner en projeksjon på ST-aksen lik MKsosc, siden segmentet MK er parallelt med generatrisen SA. (Faktisk er retningslinjen q 1 q 1 vinkelrett på planet ASB. Følgelig skjærer den rette linjen PF retningslinjen i punktet L i en rett vinkel. Men de rette linjene MK og PF ligger i samme plan, og MK er også vinkelrett på retningslinjen). Projeksjonene av begge segmentene MK og MD på ST-aksen er lik hverandre, siden en av endene deres - punkt M - er felles, og de to andre D og K ligger i et plan vinkelrett på ST-aksen (fig.) . Da er MDcosc = MKcosc eller MD = MK. Derfor er MF=MK.
Eiendom 1.(Fokal egenskap til en parabel).
Avstanden fra et hvilket som helst punkt på parabelen til midten av hovedakkorden er lik avstanden til retningslinjen.
Bevis.
Punkt F er skjæringspunktet mellom rett linje QR og hovedakkorden. Dette punktet ligger på symmetriaksen Oy. Faktisk er trekanter RNQ og ROF like, som rette trekanter
trekanter med sårede ben (NQ=OF, OR=RN). Derfor, uansett hvilket punkt N vi tar, vil den rette linjen QR konstruert fra den skjære hovedakkorden i dens midtre F. Nå er det klart at trekanten FMQ er likebenet. Faktisk er segmentet MR både medianen og høyden til denne trekanten. Det følger at MF=MQ.
Eiendom 2.(Optisk egenskap til en parabel).
Hver tangent til en parabel danner like vinkler med brennradiusen trukket til tangenspunktet og strålen som passerer fra tangenspunktet og samretning med aksen (eller stråler som kommer ut fra et enkelt fokus, reflektert fra parabelen, vil gå parallelt til aksen).
Bevis. For et punkt N som ligger på selve parablen, er likheten |FN|=|NH| gyldig, og for et punkt N" som ligger i det indre området av parablen, |FN"|.<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:
|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, det vil si at punkt M" ligger i det ytre området av parablen. Så hele den rette linjen l, unntatt punkt M, ligger i det ytre området, det vil si at det indre området av parablen ligger på den ene siden av l, noe som betyr at l er en tangent til parablen. Dette gir bevis på den optiske egenskapen til en parabel: vinkel 1 er lik vinkel 2, siden l er halveringslinjen til vinkel FMC.
III nivå
3.1. Hyperbole berører linje 5 x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Skriv ned ligningen til hyperbelen forutsatt at dens akser faller sammen med koordinataksene.
3.2. Skriv likninger for tangenter til en hyperbel
1) passerer gjennom et punkt EN(4, 1), B(5, 2) og C(5, 6);
2) parallelt med rett linje 10 x – 3y + 9 = 0;
3) vinkelrett på rett linje 10 x – 3y + 9 = 0.
Parabel er det geometriske stedet for punkter i planet hvis koordinater tilfredsstiller ligningen
Parabolparametere:
Punktum F(s/2, 0) kalles fokus parabler, størrelse s – parameter , punktum OM(0, 0) – topp . I dette tilfellet den rette linjen AV, som parablen er symmetrisk om, definerer aksen til denne kurven.
 |
Omfanget 
Hvor M(x, y) – et vilkårlig punkt i en parabel, kalt brennradius
, rett D: x = –s/2 – rektor
(den skjærer ikke det indre området av parablen). Omfanget 
kalles parabelens eksentrisitet.
Den viktigste karakteristiske egenskapen til en parabel: alle punkter på parablen er like langt fra riktlinjen og fokuset (fig. 24).
Det er andre former for den kanoniske parabelligningen som bestemmer andre retninger av grenene i koordinatsystemet (fig. 25):
 |
Til parametrisk definisjon av en parabel som en parameter t ordinatverdien til parabelpunktet kan tas:
Hvor t er et vilkårlig reelt tall.
Eksempel 1. Bestem parametrene og formen til en parabel ved å bruke dens kanoniske ligning:
Løsning. 1. Ligning y 2 = –8x definerer en parabel med toppunkt i punktet OM Åh. Greinene er rettet mot venstre. Sammenligner denne ligningen med ligningen y 2 = –2px, finner vi: 2 s = 8, s = 4, s/2 = 2. Derfor er fokuset på punktet F(–2; 0), retningslikning D: x= 2 (fig. 26).
 |
2. Ligning x 2 = –4y definerer en parabel med toppunkt i punktet O(0; 0), symmetrisk om aksen Oy. Greinene er rettet nedover. Sammenligner denne ligningen med ligningen x 2 = –2py, finner vi: 2 s = 4, s = 2, s/2 = 1. Derfor er fokuset på punktet F(0; –1), retningslikning D: y= 1 (fig. 27).
Eksempel 2. Bestem parametere og type kurve x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Lag en tegning.
Løsning. La oss transformere venstre side av ligningen ved å bruke den komplette kvadratekstraksjonsmetoden:
x 2 + 8x– 16y – 32 =0;
(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;
(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;
(x + 4) 2 – 16(y + 3).
Som et resultat får vi
(x + 4) 2 = 16(y + 3).
Dette er den kanoniske ligningen til en parabel med toppunktet i punktet (–4, –3), parameteren s= 8, grener peker oppover (), akse x= –4. Fokus er på punktet F(–4; –3 + s/2), dvs. F(–4; 1) Rektor D gitt av ligningen y = –3 – s/2 eller y= –7 (fig. 28).
Eksempel 4. Skriv en ligning for en parabel med toppunktet i punktet V(3; –2) og fokuser på punktet F(1; –2).
Løsning. Toppunktet og fokuset til en gitt parabel ligger på en rett linje parallelt med aksen Okse(samme ordinater), grenene til parabelen er rettet mot venstre (fokusets abscisse er mindre enn abscissen til toppunktet), avstanden fra fokus til toppunktet er s/2 = 3 – 1 = 2, s= 4. Derfor den nødvendige ligningen
(y+ 2) 2 = –2 4( x– 3) eller ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).
Oppgaver for selvstendig løsning
jeg nivåer
1.1. Bestem parameterne til parablen og konstruer den:
1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;
3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.
1.2. Skriv ligningen til en parabel med toppunktet i origo hvis du vet at:
1) parablen er plassert i venstre halvplan symmetrisk i forhold til aksen Okse Og s = 4;
2) parablen er plassert symmetrisk i forhold til aksen Oy og går gjennom punktet M(4; –2).
3) retningslinjen er gitt av ligning 3 y + 4 = 0.
1.3. Skriv en ligning for en kurve der alle punkter er like langt fra punktet (2; 0) og den rette linjen x = –2.
Nivå II
2.1. Bestem typen og parameterne til kurven.
Jeg foreslår at resten av leserne utvider skolekunnskapen sin om parabler og hyperbler betydelig. Hyperbel og parabel - er de enkle? ...Kan ikke vente =)
Hyperbel og dens kanoniske ligning
Den generelle strukturen i presentasjonen av materialet vil ligne forrige avsnitt. La oss starte med det generelle konseptet med en hyperbel og oppgaven med å konstruere den.
Den kanoniske ligningen til en hyperbel har formen , hvor er positive reelle tall. Vær oppmerksom på at i motsetning til ellipse, betingelsen er ikke pålagt her, det vil si at verdien av "a" kan være mindre enn verdien av "be".
Jeg må si, ganske uventet ... ligningen for "skole"-hyperbelen ligner ikke engang den kanoniske notasjonen. Men dette mysteriet må fortsatt vente på oss, men la oss foreløpig klø oss i hodet og huske hvilke karakteristiske trekk den aktuelle kurven har? La oss spre det på skjermen til fantasien vår grafen til en funksjon ….
En hyperbel har to symmetriske grener.
Ikke dårlig fremgang! Enhver hyperbole har disse egenskapene, og nå vil vi se med ekte beundring på halsen til denne linjen:
Eksempel 4
Konstruer hyperbelen gitt av ligningen
Løsning: i det første trinnet bringer vi denne ligningen til kanonisk form. Husk standard prosedyre. Til høyre må du få "en", så vi deler begge sider av den opprinnelige ligningen med 20: 
Her kan du redusere begge brøkene, men det er mer optimalt å gjøre hver av dem tre-etasjers:
Og først etter det utfør reduksjonen:
Velg rutene i nevnerne:
Hvorfor er det bedre å gjennomføre transformasjoner på denne måten? Tross alt kan fraksjonene på venstre side umiddelbart reduseres og oppnås. Faktum er at i eksemplet under vurdering var vi litt heldige: tallet 20 er delelig med både 4 og 5. I det generelle tilfellet fungerer ikke et slikt tall. Tenk for eksempel på ligningen. Her er alt tristere med delbarhet og uten tre-etasjers brøker ikke lenger mulig: 
Så la oss bruke frukten av vårt arbeid - den kanoniske ligningen:
Hvordan konstruere en hyperbel?
Det er to tilnærminger til å konstruere en hyperbel - geometrisk og algebraisk.
Fra et praktisk synspunkt, tegning med kompass... Jeg vil til og med si utopisk, så det er mye mer lønnsomt å bruke enkle beregninger for å hjelpe igjen.
Det anbefales å følge følgende algoritme, først den ferdige tegningen, deretter kommentarene:
I praksis er det ofte en kombinasjon av rotasjon med en vilkårlig vinkel og parallell translasjon av hyperbelen. Denne situasjonen diskuteres i klassen Redusere 2. ordens linjeligningen til kanonisk form.
Parabel og dens kanoniske ligning
Det er ferdig! Hun er den ene. Klar til å avsløre mange hemmeligheter. Den kanoniske ligningen til en parabel har formen , hvor er et reelt tall. Det er lett å legge merke til at i sin standardposisjon "ligger parabelen på siden" og toppunktet er i origo. I dette tilfellet spesifiserer funksjonen den øvre grenen av denne linjen, og funksjonen - den nedre grenen. Det er åpenbart at parablen er symmetrisk om aksen. Egentlig, hvorfor bry seg:
Eksempel 6
Konstruer en parabel
Løsning: toppunktet er kjent, la oss finne flere punkter. Ligningen 
bestemmer den øvre buen til parablen, bestemmer ligningen den nedre buen.
For å forkorte registreringen av beregningene, vil vi utføre beregningene "med en børste": 
For kompakt opptak kan resultatene oppsummeres i en tabell.
Før du utfører en elementær punkt-for-punkt-tegning, la oss formulere en streng
definisjon av parabel:
En parabel er settet av alle punkter i planet som er like langt fra et gitt punkt og en gitt linje som ikke går gjennom punktet.
Poenget heter fokus parabler, rett linje - rektor (stavet med ett "es") parabler. Den konstante "pe" av den kanoniske ligningen kalles fokal parameter, som er lik avstanden fra fokus til retningslinjen. I dette tilfellet . I dette tilfellet har fokuset koordinater, og retningslinjen er gitt av ligningen.
I vårt eksempel: 
Definisjonen av en parabel er enda enklere å forstå enn definisjonene av en ellipse og en hyperbel. For ethvert punkt på en parabel er lengden på segmentet (avstanden fra fokus til punktet) lik lengden på perpendikulæren (avstanden fra punktet til retningslinjen):
Gratulerer! Mange av dere har gjort en virkelig oppdagelse i dag. Det viser seg at en hyperbel og en parabel ikke er grafer av "vanlige" funksjoner i det hele tatt, men har en uttalt geometrisk opprinnelse.
Åpenbart, med en økning i fokalparameteren, vil grenene på grafen "heve" opp og ned, og nærme seg uendelig nær aksen. Når "pe"-verdien synker, vil de begynne å komprimere og strekke seg langs aksen
Eksentrisiteten til enhver parabel er lik enhet:
Rotasjon og parallell translasjon av en parabel
Parabelen er en av de vanligste linjene i matematikk, og du må bygge den veldig ofte. Vær derfor spesielt oppmerksom på det siste avsnittet i leksjonen, der jeg vil diskutere typiske alternativer for plasseringen av denne kurven.
! Merk : som i tilfellene med tidligere kurver er det mer riktig å snakke om rotasjon og parallell translasjon av koordinatakser, men forfatteren vil begrense seg til en forenklet versjon av presentasjonen slik at leseren har en grunnleggende forståelse av disse transformasjonene.
En funksjon av formen hvor kalles kvadratisk funksjon.
Graf av en kvadratisk funksjon – parabel.
La oss vurdere tilfellene:
I CASE, KLASSISK PARABOLA
Det er , ,
For å konstruere, fyll ut tabellen ved å erstatte x-verdiene i formelen:
Merk punktene (0;0); (1;1); (-1;1) osv. på koordinatplanet (jo mindre trinn vi tar x-verdiene (i dette tilfellet, trinn 1), og jo flere x-verdier vi tar, jo jevnere vil kurven være), får vi en parabel:
Det er lett å se at hvis vi tar kasus , , , altså, så får vi en parabel som er symmetrisk om aksen (oh). Det er enkelt å bekrefte dette ved å fylle ut en lignende tabell:
II TILFALL, "a" ER forskjellig fra ENHET
Hva vil skje hvis vi tar , , ? Hvordan vil adferden til parablen endre seg? With title="Gengitt av QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
På det første bildet (se over) er det godt synlig at punktene fra tabellen for parabelen (1;1), (-1;1) ble forvandlet til punktene (1;4), (1;-4), det vil si at med de samme verdiene multipliseres ordinaten til hvert punkt med 4. Dette vil skje med alle nøkkelpunktene i den opprinnelige tabellen. Vi resonnerer på samme måte i tilfellene med bilde 2 og 3.
Og når parablen "blir bredere" enn parablen:
La oss oppsummere:
1)Tegnet til koeffisienten bestemmer retningen til grenene. With title="Gengitt av QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Absolutt verdi koeffisient (modul) er ansvarlig for "ekspansjon" og "komprimering" av parablen. Jo større , jo smalere parabel, jo mindre |a|, jo bredere parabel.
III KAPITEL, "C" VISES
La oss nå introdusere inn i spillet (det vil si, vurdere tilfellet når), vi vil vurdere parabler av formen . Det er ikke vanskelig å gjette (du kan alltid referere til tabellen) at parablen vil skifte opp eller ned langs aksen avhengig av tegnet:
IV KASSE, "b" VISES
Når vil parablen "bryte seg løs" fra aksen og til slutt "gå" langs hele koordinatplanet? Når vil det slutte å være likeverdig?
Her for å konstruere en parabel trenger vi formel for å beregne toppunktet: , .
Så på dette punktet (som ved punktet (0;0) i det nye koordinatsystemet) vil vi bygge en parabel, som vi allerede kan gjøre. Hvis vi har å gjøre med saken, setter vi fra toppunktet ett enhetssegment til høyre, ett opp, - det resulterende punktet er vårt (tilsvarende et trinn til venstre, et trinn opp er vårt punkt); hvis vi for eksempel har å gjøre med, så setter vi fra toppunktet ett enhetssegment til høyre, to - oppover, etc.
For eksempel toppunktet til en parabel:
Nå er det viktigste å forstå at på dette toppunktet vil vi bygge en parabel i henhold til parabelmønsteret, fordi i vårt tilfelle.
Når du konstruerer en parabel etter å ha funnet koordinatene til toppunktet veldigDet er praktisk å vurdere følgende punkter:
1) parabel vil definitivt gå gjennom punktet . Faktisk, ved å erstatte x=0 i formelen, får vi det . Det vil si at ordinaten til skjæringspunktet for parabelen med aksen (oy) er . I vårt eksempel (over) skjærer parabelen ordinaten ved punkt , siden .
2) symmetriakse parabler er en rett linje, så alle punktene i parabelen vil være symmetriske rundt den. I vårt eksempel tar vi umiddelbart punktet (0; -2) og bygger det symmetrisk i forhold til symmetriaksen til parablen, vi får punktet (4; -2) som parablen vil passere gjennom.
3) Tilsvarer , finner vi ut skjæringspunktene til parabelen med aksen (oh). For å gjøre dette løser vi ligningen. Avhengig av diskriminanten vil vi få en (, ), to ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . I forrige eksempel er ikke vår rot av diskriminanten et heltall når vi konstruerer, det gir ikke mye mening for oss å finne røttene, men vi ser tydelig at vi vil ha to skjæringspunkter med aksen (oh) (siden title="Gengitt av QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Så la oss finne ut av det
Algoritme for å konstruere en parabel hvis den er gitt i formen
1) bestemme retningen til grenene (a>0 – opp, a<0 – вниз)
2) vi finner koordinatene til parabelens toppunkt ved hjelp av formelen , .
3) vi finner skjæringspunktet for parabelen med aksen (oy) ved å bruke det frie leddet, konstruer et punkt symmetrisk til dette punktet med hensyn til symmetriaksen til parablen (det bør bemerkes at det hender at det er ulønnsomt å markere dette punktet, for eksempel fordi verdien er stor... vi hopper over dette punktet...)
4) Ved det funnet punktet - toppunktet til parabelen (som ved punktet (0;0) til det nye koordinatsystemet) konstruerer vi en parabel. If title="Gengitt av QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Vi finner skjæringspunktene for parabelen med aksen (oy) (hvis de ennå ikke har "overflaten") ved å løse ligningen
Eksempel 1
Eksempel 2
Merknad 1. Hvis parabelen først er gitt til oss i formen , hvor er noen tall (for eksempel ), vil det være enda lettere å konstruere den, fordi vi allerede har fått koordinatene til toppunktet . Hvorfor?
La oss ta et kvadratisk trinomium og isolere hele kvadratet i det: Se, vi fikk det , . Du og jeg kalte tidligere toppunktet til en parabel, det vil si nå, .
For eksempel, . Vi markerer toppunktet til parabelen på planet, vi forstår at grenene er rettet nedover, parablen utvides (i forhold til ). Det vil si at vi gjennomfører punkt 1; 3; 4; 5 fra algoritmen for å konstruere en parabel (se ovenfor).
Notat 2. Hvis parabelen er gitt i en form som ligner på denne (det vil si presentert som et produkt av to lineære faktorer), så ser vi umiddelbart skjæringspunktene til parablen med aksen (okse). I dette tilfellet – (0;0) og (4;0). For resten handler vi i henhold til algoritmen, og åpner parentesene.
Punktet kalles parabelens fokus, den rette linjen er parabelens retningslinje, midten av perpendikulæren senket fra fokus til retningslinjen er toppunktet til parablen, avstanden fra fokus til retningslinjen er parameteren til parablen, og avstanden fra toppunktet til parablen til dens fokus er brennvidden (fig. 3.45a) . Den rette linjen vinkelrett på retningslinjen og som går gjennom fokuset kalles parabelens akse (parablens fokalakse). Segmentet som forbinder et vilkårlig punkt i en parabel med fokuset kalles brennradius for punktet. Segmentet som forbinder to punkter i en parabel kalles en akkord av parabelen.
For et vilkårlig punkt i en parabel er forholdet mellom avstanden til fokus og avstanden til retningslinjen lik én. Ved å sammenligne retningsegenskapene til ellipsen, hyperbelen og parabelen konkluderer vi med det parabels eksentrisitet per definisjon lik én.
Den geometriske definisjonen av en parabel, som uttrykker dens katalogegenskap, tilsvarer dens analytiske definisjon - linjen gitt av den kanoniske ligningen til parablen:
(3.51)
La oss faktisk introdusere et rektangulært koordinatsystem (fig. 3.45,6). Vi tar toppunktet til parabelen som opprinnelsen til koordinatsystemet; la oss ta den rette linjen som går gjennom fokuset vinkelrett på retningslinjen som abscisseaksen (den positive retningen på den fra punkt til punkt); La oss ta den rette linjen vinkelrett på abscisseaksen og passere gjennom toppunktet til parablen som ordinatakse (retningen på ordinataksen er valgt slik at det rektangulære koordinatsystemet er rett).
La oss lage en ligning for en parabel ved å bruke dens geometriske definisjon, som uttrykker regi-egenskapen til en parabel. I det valgte koordinatsystemet bestemmer vi koordinatene til fokuset og rettetriksligningen. For et vilkårlig punkt som tilhører en parabel, har vi:
hvor er den ortogonale projeksjonen av punktet på retningslinjen. Vi skriver denne ligningen i koordinatform:
Vi kvadrerer begge sider av ligningen: 
. Å bringe lignende termer, får vi kanonisk parabelligning
de. det valgte koordinatsystemet er kanonisk.
Ved å utføre resonnementet i omvendt rekkefølge kan vi vise at alle punkter hvis koordinater tilfredsstiller ligning (3.51), og bare de, tilhører lokuset til punkter som kalles en parabel. Dermed er den analytiske definisjonen av en parabel ekvivalent med dens geometriske definisjon, som uttrykker regiegenskapen til en parabel.
La oss presentere følgende egenskaper til en parabel:
Eiendom 10.10.
En parabel har en symmetriakse.
Bevis
Variabelen y kommer inn i ligningen bare i andre potens. Derfor, hvis koordinatene til punktet M (x ; y) tilfredsstiller parabelligningen, vil koordinatene til punktet N (x ; – y) tilfredsstille den. Punkt N er symmetrisk med punkt M i forhold til Ox-aksen. Derfor er okseaksen symmetriaksen til parablen i det kanoniske koordinatsystemet.
Symmetriaksen kalles parabelens akse. Punktet der parabelen skjærer aksen kalles parabelens toppunkt. Toppunktet til en parabel i det kanoniske koordinatsystemet er ved opprinnelsen.
Eiendom 10.11.
Parablen er plassert i halvplanet x ≥ 0.
Bevis
Faktisk, siden parameteren p er positiv, kan ligningen bare tilfredsstilles av punkter med ikke-negativ abscisse, det vil si punkter i halvplanet x ≥ 0.
Ved utskifting av koordinatsystemet vil punktet A med koordinater spesifisert i betingelsen få nye koordinater bestemt ut fra relasjonene. Punkt A vil altså ha koordinater i det kanoniske systemet. Dette punktet kalles parabelens fokus bokstaven F.
Den rette linjen l, spesifisert i det gamle koordinatsystemet ved en ligning i det nye koordinatsystemet, vil bli sett, uten skyggelegging,
Denne linjen i det kanoniske koordinatsystemet kalles parabelens retningslinje. Avstanden fra den til fokuset kalles fokalparameteren til parablen. Det er åpenbart lik p. Eksentrisiteten til en parabel, per definisjon, antas å være lik enhet, det vil si ε = k = 1.
Nå kan egenskapen som vi definerte parablen gjennom, formuleres i nye termer som følger: ethvert punkt på parablen er like langt fra dens fokus og retning.
Utseendet til parablen i det kanoniske koordinatsystemet og plasseringen av dens retningslinje er vist i fig. 10.10.1.
Figur 10.10.1.
|
Over et felt P er det en lineær operator hvis 1) |
for alle vektorer2) 
for enhver vektor.|
1) Lineær operatørmatrise: La φ-L.O. vektorrom V over feltet P og en av basene til V: |
4) Lineær operatørkjerne:
La φ være L.O. vektorrom V over feltet P og Ifthen λ - egenverdi - egenvektor L.O. φ som tilsvarer λ. Karakteristisk ligning for L.O. φ: Sett med egenvektorer som tilsvarer egenverdien λ: L.O. vektorrom kalles L.O. med et enkelt spektrum, hvis φ, hvis φ har nøyaktig n egenverdier. Hvis φ er L.O. med et enkelt spektrum, så har det en basis av egenvektorer, med hensyn til hvilke matrisen L.O. φ er diagonal. |
La 
Så matrisen L.O.φ: 
2) Forholdet mellom lineære operatormatriser i forskjellige baser:
M(φ) - L.O φ i det gamle grunnlaget. M1(φ) - L.O φ i det nye grunnlaget. T er overgangsmatrisen fra det høyeste grunnlaget til det nye grunnlaget. 2) Handlinger på lineære operatorer: La φ og f være forskjellige L.O. vektorrom V. Da er φ+f summen av de lineære operatorene φ og f. k·φ - multiplikasjon L.O. til skalaren k. φ·f er produktet av lineære operatorer φ og f. Jeg er også L.O. vektorrom V.
d(φ) - dimensjonen til L.O. φ (defekt). 5) Bilde av en lineær operator:
ranφ - rang L.O. φ (dimensjon Jmφ). 6) Egenvektorer og egenverdier til en lineær vektor:
2) Posisjonen til en linje i rommet bestemmes fullstendig ved å spesifisere noen av dens faste punkter M 1
og en vektor parallell med denne linjen. 
En vektor parallell med en linje kalles guider vektor av denne linjen.
Så la den rette linjen l går gjennom et punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ), liggende på en linje parallelt med vektoren.
Tenk på et vilkårlig poeng M(x,y,z) på en rett linje. Av figuren er det tydelig at.
Vektorene er kollineære, så det er et slikt tall t, hva , hvor er multiplikatoren t kan ta hvilken som helst numerisk verdi avhengig av posisjonen til punktet M på en rett linje. Faktor t kalt en parameter. Etter å ha utpekt radiusvektorene til punktene M 1 Og M henholdsvis gjennom og, vi får. Denne ligningen kalles vektor ligning av en rett linje. Den viser det for hver parameterverdi t tilsvarer radiusvektoren til et punkt M, liggende på en rett linje.
La oss skrive denne ligningen i koordinatform. Merk at herfra
De resulterende ligningene kalles parametrisk ligninger av en rett linje.
Når du endrer en parameter t koordinater endres x, y Og z og periode M beveger seg i en rett linje.
KANONISKE LIGNINGER AV DIREKTE
La M 1
(x 1
, y 1
, z 1
) – et punkt som ligger på en rett linje l, Og 
er retningsvektoren. La oss igjen ta et vilkårlig punkt på linjen M(x,y,z) og vurdere vektoren. 
Det er klart at vektorene er kollineære, så deres tilsvarende koordinater må være proporsjonale, derfor,
– kanonisk ligninger av en rett linje.
Merknad 1. Merk at de kanoniske ligningene til linjen kan fås fra de parametriske ved å eliminere parameteren t. Faktisk, fra de parametriske ligningene får vi eller 
.
Eksempel. Skriv ned likningen til linjen 
i parametrisk form.
La oss betegne 
, herfra x =
2 + 3t, y =
–1 + 2t, z =
1 –t.
Notat 2. La den rette linjen være vinkelrett på en av koordinataksene, for eksempel aksen Okse. Da er retningsvektoren til linjen vinkelrett Okse, derfor, m=0. Følgelig vil de parametriske ligningene til linjen ta formen
Ekskluderer parameteren fra ligningene t, får vi likningene til linjen i skjemaet
Men også i dette tilfellet er vi enige om å formelt skrive de kanoniske likningene til linjen i skjemaet 
. Så hvis nevneren til en av brøkene er null, betyr dette at den rette linjen er vinkelrett på den tilsvarende koordinataksen.
Ligner på de kanoniske ligningene 
tilsvarer en rett linje vinkelrett på aksene Okse Og Oy eller parallelt med aksen Oz.
Eksempler.
Kanoniske ligninger: 
.
Parametriske ligninger:
Skriv ligninger for en linje som går gjennom to punkter M 1 (-2;1;3), M 2 (-1;3;0).
La oss komponere de kanoniske ligningene til linjen. For å gjøre dette finner vi retningsvektoren. Deretter l:
.
GENERELLE LIGNINGER AV EN RETT LINJE SOM STYRINGSLINJER AV TO FLY
Gjennom hver rett linje i rommet er det utallige fly. Hvilke som helst to av dem, kryssende, definerer det i rommet. Følgelig representerer likningene til alle to slike plan, sett sammen, likningene til denne linjen.
Generelt, alle to ikke-parallelle plan definert av de generelle ligningene
bestemme den rette linjen i skjæringspunktet deres. Disse ligningene kalles generelle ligninger rett.
Eksempler.
Konstruer en linje gitt av ligningene 
For å konstruere en rett linje er det nok å finne to av punktene. Den enkleste måten er å velge skjæringspunktene til en rett linje med koordinatplan. For eksempel skjæringspunktet med flyet xOy vi får fra ligningene til den rette linjen, forutsatt z=
0:
Etter å ha løst dette systemet finner vi poenget M 1 (1;2;0).
På samme måte, forutsatt y= 0, får vi skjæringspunktet for linjen med planet xOz:
Fra de generelle ligningene til en rett linje kan man gå videre til dens kanoniske eller parametriske ligninger. For å gjøre dette må du finne et poeng M 1
på en rett linje og retningsvektoren til en rett linje. 
Punktkoordinater M 1 vi får fra dette likningssystemet ved å gi en av koordinatene en vilkårlig verdi. For å finne retningsvektoren, merk at denne vektoren må være vinkelrett på både normalvektorer og. Derfor, for retningsvektoren rett l du kan ta vektorproduktet av normale vektorer:
.
Eksempel. Gi generelle ligninger for linjen 
til den kanoniske formen.
La oss finne et punkt som ligger på en linje. For å gjøre dette velger vi vilkårlig en av koordinatene, for eksempel, y= 0 og løs ligningssystemet:
Normalvektorene til planene som definerer linjen har koordinater. Derfor vil retningsvektoren til linjen være
. Derfor, l: 
.
1) La og være to baser inn R n .
Definisjon. Overgangsmatrise fra basen til basen kalles en matrise C, hvis kolonner er koordinatene til vektorene i grunnlaget :
Overgangsmatrisen er inverterbar fordi basisvektorene er lineært uavhengige og derfor
Vektoren uttrykkes lineært gjennom vektorene til begge basene. Sammenhengen mellom vektorkoordinater i ulike baser etableres i følgende teorem.
Teorem. Hvis
deretter koordinatene vektorer i grunnlaget , og dens koordinater i grunnlaget forbundet med relasjoner
Hvor - overgangsmatrise fra grunnlaget til basen , - vektorer-kolonne koordinater av vektoren i baser Og hhv.
2)Den relative plasseringen av to linjer
Hvis linjene er gitt ved ligninger, er de:
1) parallell (men ikke identisk) 
2) match 
3) krysse 
4) interbreed 
Hvis så tilfellene 1 - 4 oppstår når (- negasjonstegn på tilstanden):
3)
4)
Avstand mellom to parallelle linjer
I koordinater
Avstand mellom to kryssende linjer
I koordinater
Vinkel mellom to rette linjer
Nødvendig og tilstrekkelig betingelse for vinkelrett på to linjer
Eller 
Den relative posisjonen til den rette linjen og planet
Flat og rett
1) krysse
2) den rette linjen ligger i planet 
3) parallell 
Hvis tilfellene 1 - 3 oppstår når:
1) 
Nødvendig og tilstrekkelig betingelse for parallellitet av en linje og et plan
Vinkel mellom en rett linje og et plan
Skjæringspunktet mellom en linje og et plan
I koordinater:
Ligninger av en linje som går gjennom et punkt vinkelrett på planet
I koordinater:
1) Selvfølgelig kan systemet med lineære ligninger skrives som:
x 1 + x 2 + … + x n
Bevis.
1) Hvis det finnes en løsning, så er kolonnen med frie ledd en lineær kombinasjon av kolonnene i matrise A, som betyr å legge denne kolonnen til matrisen, dvs. overgang AA * ikke endre rang.
2) Hvis RgA = RgA *, betyr dette at de har samme grunnmoll. Kolonnen med frie termer er en lineær kombinasjon av kolonnene i basismoll, så notasjonen ovenfor er korrekt.
2) Fly i verdensrommet.
La oss først finne ligningen til planet som går gjennom punktet M 0 (X 0 ,y 0 , z 0 ) vinkelrett på vektoren n = {EN, B, C), kalt normalen til flyet. For ethvert punkt på flyet M(x, y,z) vektor M 0 M = {x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ) er ortogonal til vektoren n , derfor er deres skalarprodukt lik null:
EN(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z - z 0 ) = 0. (8.1)
En ligning oppnås som tilfredsstilles av et hvilket som helst punkt i et gitt plan - likning av et plan som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor.
Etter å ha tatt med lignende, kan vi skrive ligning (8.1) i formen:
Axe + By + Cz + D = 0, (8.2)
Hvor D = -Ax 0 -Av 0 -Cz 0 . Denne lineære ligningen i tre variabler kalles generell planligning.
Ufullstendige planligninger.
Hvis minst ett av tallene A, B, C,D er lik null, ligning (8.2) kalles ufullstendig.
La oss vurdere mulige typer ufullstendige ligninger:
1) D= 0 – plan Øks + Av + Cz= 0 går gjennom origo.
2) EN = 0 – n = {0,B, C} Okse derfor flyet Av + Cz + D= 0 parallelt med aksen Åh.
3) I= 0 – plan Øks + Cz + D = 0 parallelt med aksen OU.
4) MED= 0 – plan Øks + Av + D= 0 parallelt med aksen OMz.
5) A = B= 0 – plan Cz + D Ååå(siden den er parallell med aksene Åh Og OU).
6) A = C= 0 – plan Wu +D= 0 parallelt med koordinatplanet Åhz.
7) B = C= 0 – plan Øks + D= 0 parallelt med koordinatplanet OUz.
8) A =D= 0 – plan Av + Cz= 0 går gjennom aksen Åh.
9) B = D= 0 – plan Ah + Cz= 0 går gjennom aksen OU.
10) C = D= 0 - plan Øks + Av= 0 går gjennom aksen Oz.
11) EN = B = D= 0 – ligning MEDz= 0 spesifiserer koordinatplanet Ååå.
12) EN = C = D= 0 – vi får Wu= 0 – koordinatplanligning Åhz.
13) B = C = D= 0 – plan Åh= 0 er koordinatplanet OUz.
Hvis den generelle ligningen til planet er fullstendig (det vil si at ingen av koeffisientene er null), kan den reduseres til formen:
kalt likning av planet i segmenter. Konverteringsmetoden er vist i forelesning 7. Parametre EN,b Og Med er lik verdiene til segmentene avskåret av planet på koordinataksene.
1) Homogene systemer av lineære ligninger
Homogent system av lineære ligninger AX = 0 alltid sammen. Den har ikke-trivielle (ikke-null) løsninger hvis r= rangering EN< n .
For homogene systemer uttrykkes de grunnleggende variablene (koeffisientene som danner den grunnleggende minor) gjennom frie variabler ved relasjoner av formen:
Deretter n-r Lineært uavhengige vektorløsninger vil være:
og enhver annen løsning er en lineær kombinasjon av dem. Vektorløsninger 
danne et normalisert grunnleggende system.
I et lineært rom danner settet med løsninger til et homogent system av lineære ligninger et underrom av dimensjon n-r; 
- grunnlaget for dette underrommet.