Oppgave nr. 1
Logikken er enkel: vi vil gjøre som vi gjorde før, uavhengig av at nå har trigonometriske funksjoner et mer komplekst argument!
Hvis vi skulle løse en ligning av formen:
Så vil vi skrive ned følgende svar:
Eller (siden)
Men nå spilles vår rolle av dette uttrykket:
Da kan vi skrive:
Vårt mål med deg er å sørge for at venstre side står enkelt, uten noen "urenheter"!
La oss gradvis bli kvitt dem!
Først, la oss fjerne nevneren ved: for å gjøre dette, multipliser vår likhet med:
La oss nå bli kvitt det ved å dele begge deler:
La oss nå bli kvitt de åtte:
Det resulterende uttrykket kan skrives som 2 serier med løsninger (i analogi med en kvadratisk ligning, hvor vi enten adderer eller subtraherer diskriminanten)
Vi må finne den største negative roten! Det er klart at vi må sortere.
La oss først se på den første episoden:
Det er klart at hvis vi tar, så vil vi som et resultat få positive tall, men de interesserer oss ikke.
Så du må ta det negativt. La være.
Når roten blir smalere:
Og vi må finne det største negative!! Dette betyr at det å gå i negativ retning ikke lenger gir mening her. Og den største negative roten for denne serien vil være lik.
La oss nå se på den andre serien:
Og igjen erstatter vi: , så:
Ikke interessert!
Da gir det ingen mening å øke mer! La oss redusere det! La da:
Passer inn!
La være. Deretter
Så - den største negative roten!
Svar:
Oppgave nr. 2
Vi løser igjen, uavhengig av det komplekse cosinusargumentet:
Nå uttrykker vi igjen til venstre:
Multipliser begge sider med
Del begge sider med
Alt som gjenstår er å flytte den til høyre, og endre tegnet fra minus til pluss.
Vi får igjen 2 serier med røtter, en med og den andre med.
Vi må finne den største negative roten. La oss se på den første episoden:
Det er klart at vi får den første negative roten ved, den vil være lik og vil være den største negative roten i 1 serie.
For den andre serien
Den første negative roten vil også bli oppnådd ved og vil være lik. Siden er den største negative roten av ligningen.
Svar: .
Oppgave nr. 3
Vi løser, uavhengig av det komplekse tangentargumentet.
Nå virker det ikke komplisert, ikke sant?
Som før uttrykker vi på venstre side:
Vel, det er flott, det er bare én serie med røtter her! La oss finne det største negative igjen.
Det er klart det viser seg om man legger den fra seg. Og denne roten er lik.
Svar:
Prøv nå å løse følgende problemer selv.
Lekser eller 3 oppgaver å løse selvstendig.
- Løs ligningen.
- Løs ligningen.
I svaret på pi-shi-th-den-minste-mulige roten. - Løs ligningen.
I svaret på pi-shi-th-den-minste-mulige roten.
Klar? La oss sjekke. Jeg vil ikke beskrive hele løsningsalgoritmen i detalj; det ser ut til at den allerede har fått nok oppmerksomhet ovenfor.
Vel, er alt riktig? Å, de ekle bihulene, det er alltid en slags problemer med dem!
Vel, nå kan du løse enkle trigonometriske ligninger!
Sjekk ut løsningene og svarene:
Oppgave nr. 1
La oss uttrykke
Den minste positive roten oppnås hvis vi setter, siden, da
Svar:
Oppgave nr. 2
Den minste positive roten oppnås ved.
Det blir likt.
Svar: .
Oppgave nr. 3
Når vi får, når vi har.
Svar: .
Denne kunnskapen vil hjelpe deg med å løse mange problemer som du vil møte på eksamen.
Hvis du søker om en "5" vurdering, trenger du bare å fortsette å lese artikkelen for midtnivå som vil bli viet til å løse mer komplekse trigonometriske ligninger (oppgave C1).
GJENNOMSNITTLIG NIVÅ
I denne artikkelen vil jeg beskrive løse mer komplekse trigonometriske ligninger og hvordan du velger røttene deres. Her vil jeg trekke på følgende temaer:
- Trigonometriske ligninger for nybegynnernivå (se ovenfor).
Mer komplekse trigonometriske ligninger er grunnlaget for avanserte problemer. De krever både å løse selve ligningen i generell form og finne røttene til denne ligningen som tilhører et visst gitt intervall.
Å løse trigonometriske ligninger kommer ned til to deloppgaver:
- Løse ligningen
- Rotvalg
Det skal bemerkes at den andre ikke alltid er nødvendig, men i de fleste eksempler er valg fortsatt nødvendig. Men hvis det ikke er nødvendig, kan vi sympatisere med deg - dette betyr at ligningen er ganske kompleks i seg selv.
Min erfaring med å analysere C1-problemer viser at de vanligvis er delt inn i følgende kategorier.
Fire kategorier av oppgaver med økt kompleksitet (tidligere C1)
- Ligninger som reduseres til faktorisering.
- Ligninger redusert til form.
- Ligninger løses ved å endre en variabel.
- Ligninger som krever ekstra utvalg av røtter på grunn av irrasjonalitet eller nevner.
For å si det enkelt: hvis du blir tatt en av ligningene til de tre første typene, så betrakt deg selv som heldig. For dem må du som regel i tillegg velge røtter som tilhører et visst intervall.
Hvis du kommer over en type 4-ligning, er du mindre heldig: du må tukle med den lenger og mer nøye, men ganske ofte krever den ikke ekstra utvalg av røtter. Likevel vil jeg analysere denne typen likninger i neste artikkel, og denne vil jeg vie til å løse likninger av de tre første typene.
Ligninger som reduseres til faktorisering
Det viktigste du må huske for å løse denne typen ligninger er
Som praksis viser, er denne kunnskapen som regel tilstrekkelig. La oss se på noen eksempler:
Eksempel 1. Ligning redusert til faktorisering ved å bruke reduksjons- og dobbelvinkelsinusformlene
- Løs ligningen
- Finn alle røttene til denne ligningen som ligger over kuttet
Her, som jeg lovet, fungerer reduksjonsformlene:
Da vil ligningen min se slik ut:
Da vil ligningen min ha følgende form:
En kortsynt student kan si: nå skal jeg redusere begge sider, få den enkleste ligningen og nyte livet! Og han vil ta bittert feil!
| HUSK: DU KAN ALDRI REDUSERE BEGGE SIDER AV EN TRIGONOMETRISK LIGNING VED EN FUNKSJON SOM INNEHOLDER EN UKJENT! SÅ DU MISTER RØTTENE DINE! |
Så, hva gjør vi? Ja, det er enkelt, flytt alt til den ene siden og ta ut den felles faktoren:
Vel, vi tok det inn i faktorer, hurra! La oss nå bestemme:
Den første ligningen har røtter:
Og den andre:
Dette fullfører den første delen av problemet. Nå må du velge røttene:
Avstanden er slik:
Eller det kan også skrives slik:
Vel, la oss ta røttene:
Først, la oss jobbe med den første episoden (og det er enklere, for å si det mildt!)
Siden vårt intervall er helt negativt, er det ikke nødvendig å ta ikke-negative, de vil fortsatt gi ikke-negative røtter.
La oss ta det, da - det er for mye, det treffer ikke.
La det være, da - jeg traff den ikke igjen.
Ett forsøk til - da - ja, jeg fikk det! Den første roten er funnet!
Jeg skyter igjen: så slår jeg igjen!
Vel, en gang til: : - dette er allerede en flytur.
Så fra den første serien er det 2 røtter som tilhører intervallet: .
Vi jobber med den andre serien (vi bygger til makten i henhold til regelen):
Underskudd!
Savner det igjen!
Savner det igjen!
Har det!
Flygning!
Dermed har intervallet mitt følgende røtter:
Dette er algoritmen vi skal bruke for å løse alle andre eksempler. La oss øve sammen med ett eksempel til.
Eksempel 2. Ligning redusert til faktorisering ved bruk av reduksjonsformler
- Løs ligningen
Løsning:
Igjen de beryktede reduksjonsformlene:
Ikke prøv å kutte ned igjen!
Den første ligningen har røtter:
Og den andre:
Nå igjen jakten på røtter.
Jeg starter med den andre episoden, jeg vet allerede alt om det fra forrige eksempel! Se og sørg for at røttene som tilhører intervallet er som følger:
Nå den første episoden og den er enklere:
Hvis - egnet
Hvis det er greit også
Hvis det allerede er en flytur.
Da vil røttene være som følger:
Selvstendig arbeid. 3 ligninger.
Vel, er teknikken klar for deg? Virker det ikke så vanskelig å løse trigonometriske ligninger lenger? Løs deretter raskt følgende problemer selv, og så løser vi andre eksempler:
- Løs ligningen
Finn alle røttene til denne ligningen som ligger over intervallet. - Løs ligningen
Angi røttene til ligningen som ligger over kuttet - Løs ligningen
Finn alle røttene til denne ligningen som ligger mellom dem.
Ligning 1.
Og igjen reduksjonsformelen:
Første serie med røtter:
Andre serie med røtter:
Vi begynner utvelgelsen for gapet
Svar: , .
Ligning 2. Kontrollerer selvstendig arbeid.
En ganske vanskelig gruppering i faktorer (jeg bruker sinusformelen med dobbel vinkel):
da eller
Dette er en generell løsning. Nå må vi velge røttene. Problemet er at vi ikke kan fortelle den nøyaktige verdien av en vinkel hvis cosinus er lik en fjerdedel. Derfor kan jeg ikke bare kvitte meg med buekosinus - så synd!
Det jeg kan gjøre er å finne ut at så, så, da.
La oss lage en tabell: intervall:
Vel, gjennom smertefulle søk kom vi til den skuffende konklusjonen at ligningen vår har én rot på det angitte intervallet: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
Ligning 3: Selvstendig arbeidsprøve.
En skremmende ligning. Imidlertid kan det løses ganske enkelt ved å bruke sinusformelen med dobbel vinkel:
La oss redusere den med 2:
La oss gruppere det første leddet med det andre og det tredje med det fjerde og ta ut de vanlige faktorene:
Det er klart at den første ligningen ikke har røtter, og la oss nå vurdere den andre:
Generelt skulle jeg dvele litt senere med å løse slike ligninger, men siden det dukket opp, er det ingenting å gjøre, jeg må løse det ...
Formens ligninger:
Denne ligningen løses ved å dele begge sider med:
Dermed har ligningen vår en enkelt serie med røtter:
Vi må finne de som hører til intervallet: .
La oss bygge et bord igjen, som jeg gjorde tidligere:
Svar: .
Ligninger redusert til formen:
Vel, nå er det på tide å gå videre til den andre delen av ligningene, spesielt siden jeg allerede har spilt bønner på hva løsningen på trigonometriske ligninger av en ny type består av. Men det er verdt å gjenta at ligningen er av formen
Løses ved å dele begge sider med cosinus:
- Løs ligningen
Angi røttene til ligningen som ligger over kuttet. - Løs ligningen
Angi røttene til ligningen som ligger mellom dem.
Eksempel 1.
Den første er ganske enkel. Flytt til høyre og bruk dobbel vinkel cosinusformelen:
Ja! Formens ligning: . Jeg deler begge deler med
Vi utfører rotscreening:
Mellomrom:
Svar:
Eksempel 2.
Alt er også ganske trivielt: la oss åpne parentesene til høyre:
Grunnleggende trigonometrisk identitet:
Sinus med dobbel vinkel:
Til slutt får vi:
Rotscreening: intervall.
Svar: .
Vel, hvordan liker du teknikken, er den ikke for komplisert? Jeg håper ikke. Vi kan umiddelbart ta forbehold: i sin rene form er likninger som umiddelbart reduseres til en likning for tangenten ganske sjeldne. Vanligvis er denne overgangen (inndeling etter cosinus) bare en del av et mer komplekst problem. Her er et eksempel for deg å øve på:
- Løs ligningen
- Finn alle røttene til denne ligningen som ligger over kuttet.
La oss sjekke:
Ligningen kan løses umiddelbart; det er nok å dele begge sider med:
Rotscreening:
Svar: .
På en eller annen måte har vi ennå ikke støtt på ligninger av den typen vi nettopp har undersøkt. Imidlertid er det for tidlig for oss å kalle det en dag: det er fortsatt ett "lag" med ligninger igjen som vi ikke har sortert ut. Så:
Løse trigonometriske ligninger ved å endre variabler
Alt er gjennomsiktig her: vi ser nøye på ligningen, forenkler den så mye som mulig, gjør en erstatning, løser den, gjør en omvendt erstatning! I ord er alt veldig enkelt. La oss se i aksjon:
Eksempel.
- Løs ligningen:.
- Finn alle røttene til denne ligningen som ligger over kuttet.
Vel, her foreslår selve erstatningen seg selv for oss!
Da blir ligningen vår til dette:
Den første ligningen har røtter:
Og den andre er slik:
La oss nå finne røttene som tilhører intervallet
Svar: .
La oss se på et litt mer komplekst eksempel sammen:
- Løs ligningen
- Angi røttene til den gitte ligningen, som ligger over mellom dem.
Her er ikke erstatningen umiddelbart synlig, dessuten er den ikke veldig tydelig. La oss først tenke: hva kan vi gjøre?
Vi kan for eksempel tenke oss
Og samtidig
Da vil ligningen min ha formen:
Og nå oppmerksomhet, fokus:
La oss dele begge sider av ligningen med:
Plutselig har du og jeg en annengradsligning relativ! La oss gjøre en erstatning, så får vi:
Ligningen har følgende røtter:
Ubehagelig andre serie med røtter, men ingenting kan gjøres! Vi velger røtter i intervallet.
Det må vi også vurdere
Siden og da
Svar:
For å forsterke dette før du løser problemene selv, her er en annen øvelse for deg:
- Løs ligningen
- Finn alle røttene til denne ligningen som ligger mellom dem.
Her må du holde øynene åpne: nå har vi nevnere som kan være null! Derfor må du være spesielt oppmerksom på røttene!
Først av alt må jeg omorganisere ligningen slik at jeg kan gjøre en passende erstatning. Jeg kan ikke tenke meg noe bedre nå enn å omskrive tangenten når det gjelder sinus og cosinus:
Nå vil jeg gå fra cosinus til sinus ved å bruke den grunnleggende trigonometriske identiteten:
Og til slutt vil jeg bringe alt til en fellesnevner:
Nå kan jeg gå videre til ligningen:
Men kl (det vil si kl).
Nå er alt klart for utskifting:
Så eller
Vær imidlertid oppmerksom på at hvis, så samtidig!
Hvem lider av dette? Problemet med tangenten er at den ikke er definert når cosinus er lik null (divisjon med null oppstår).
Derfor er røttene til ligningen:
Nå siler vi ut røttene i intervallet:
| - passer inn | |
| - overkill |
Dermed har ligningen vår en enkelt rot på intervallet, og den er lik.
Du skjønner: utseendet til en nevner (akkurat som tangenten, fører til visse vanskeligheter med røttene! Her må du være mer forsiktig!).
Vel, du og jeg er nesten ferdig med å analysere trigonometriske ligninger; det er veldig lite igjen - for å løse to problemer på egen hånd. Her er de.
- Løs ligningen
Finn alle røttene til denne ligningen som ligger over kuttet. - Løs ligningen
Angi røttene til denne ligningen, plassert over kuttet.
Besluttet? Er det ikke veldig vanskelig? La oss sjekke:
- Vi jobber etter reduksjonsformlene:
Bytt inn i ligningen:
La oss omskrive alt gjennom cosinus for å gjøre det enklere å gjøre erstatningen:
Nå er det enkelt å gjøre en erstatning:
Det er klart at det er en fremmed rot, siden ligningen ikke har noen løsninger. Deretter:
Vi leter etter røttene vi trenger i intervallet
Svar: .
Her er erstatningen umiddelbart synlig:Så eller
- passer inn! - passer inn! - passer inn! - passer inn! - mye av! – også mye! Svar:
Vel, det er det nå! Men å løse trigonometriske ligninger slutter ikke der; vi blir etterlatt i de vanskeligste tilfellene: når ligningene inneholder irrasjonalitet eller ulike typer «komplekse nevnere». Vi skal se på hvordan man løser slike oppgaver i en artikkel for et avansert nivå.
AVANSERT NIVÅ
I tillegg til de trigonometriske ligningene som ble diskutert i de to foregående artiklene, vil vi vurdere en annen klasse ligninger som krever enda mer nøye analyse. Disse trigonometriske eksemplene inneholder enten irrasjonalitet eller en nevner, noe som gjør deres analyse vanskeligere. Du kan imidlertid godt støte på disse ligningene i del C av eksamensoppgaven. Hver sky har imidlertid en sølvkant: for slike ligninger er som regel ikke lenger spørsmålet om hvilke av røttene som tilhører et gitt intervall reist. La oss ikke slå rundt busken, men la oss gå rett til trigonometriske eksempler.
Eksempel 1.
Løs ligningen og finn røttene som hører til segmentet.
Løsning:
Vi har en nevner som ikke skal være lik null! Da er å løse denne ligningen det samme som å løse systemet
La oss løse hver av ligningene:
Og nå den andre:
La oss nå se på serien:
Det er klart at dette alternativet ikke passer oss, siden i dette tilfellet er nevneren vår tilbakestilt til null (se formelen for røttene til den andre ligningen)
Hvis, så er alt i orden, og nevneren er ikke null! Da er røttene til ligningen som følger: , .
Nå velger vi røttene som tilhører intervallet.
| - passer ikke | - passer inn | |
| - passer inn | - passer inn | |
| overkill | overkill |
Da er røttene som følger:
Du skjønner, selv utseendet til en liten forstyrrelse i form av nevneren påvirket løsningen av ligningen betydelig: vi forkastet en rekke røtter som annullerte nevneren. Ting kan bli enda mer komplisert hvis du kommer over trigonometriske eksempler som er irrasjonelle.
Eksempel 2.
Løs ligningen:
Løsning:
Vel, du trenger i det minste ikke å ta bort røttene, og det er bra! La oss først løse ligningen, uavhengig av irrasjonalitet:
Så, er det alt? Nei, akk, det ville vært for lett! Vi må huske at bare ikke-negative tall kan vises under roten. Deretter:
Løsningen på denne ulikheten er:
Nå gjenstår det å finne ut om en del av røttene til den første ligningen utilsiktet havnet der ulikheten ikke holder.
For å gjøre dette kan du igjen bruke tabellen:
| : , Men | Nei! | |
| Ja! | ||
| Ja! |
Dermed "falt" en av røttene mine ut! Det viser seg hvis du legger den fra deg. Da kan svaret skrives slik:
Svar:
Du skjønner, roten krever enda mer oppmerksomhet! La oss gjøre det mer komplisert: la nå jeg ha en trigonometrisk funksjon under roten min.
Eksempel 3.
Som før: først skal vi løse hver enkelt for seg, og så skal vi tenke på hva vi har gjort.
Nå den andre ligningen:
Nå er det vanskeligste å finne ut om negative verdier oppnås under den aritmetiske roten hvis vi erstatter røttene fra den første ligningen der:
Tallet må forstås som radianer. Siden en radian er omtrent grader, er radianer i størrelsesorden grader. Dette er hjørnet av andre kvartal. Hva er tegnet på cosinus i andre kvartal? Minus. Hva med sinus? I tillegg til. Så hva kan vi si om uttrykket:
Det er mindre enn null!
Dette betyr at det ikke er roten til ligningen.
Nå er det på tide.
La oss sammenligne dette tallet med null.
Cotangens er en funksjon som avtar i 1 kvartal (jo mindre argument, jo større cotangens). radianer er omtrent grader. På samme tid
siden, da og derfor
,
Svar: .
Kan det bli mer komplisert? Vær så snill! Det vil være vanskeligere hvis roten fortsatt er en trigonometrisk funksjon, og den andre delen av ligningen er igjen en trigonometrisk funksjon.
Jo flere trigonometriske eksempler, jo bedre, se nedenfor:
Eksempel 4.
Roten egner seg ikke på grunn av begrenset cosinus
Nå den andre:
Samtidig, per definisjon av en rot:
Vi må huske enhetssirkelen: nemlig de kvartalene der sinusen er mindre enn null. Hva er disse kvartalene? Tredje og fjerde. Da vil vi være interessert i de løsningene av den første ligningen som ligger i tredje eller fjerde kvartal.
Den første serien gir røtter liggende i skjæringspunktet mellom tredje og fjerde kvartal. Den andre serien - diametralt motsatt av den - gir opphav til røtter som ligger på grensen til første og andre kvartal. Derfor passer ikke denne serien for oss.
Svar: ,
Og igjen trigonometriske eksempler med "vanskelig irrasjonalitet". Ikke bare har vi den trigonometriske funksjonen under roten igjen, men nå er den også i nevneren!
Eksempel 5.
Vel, ingenting kan gjøres – vi gjør som før.
Nå jobber vi med nevneren:
Jeg ønsker ikke å løse den trigonometriske ulikheten, så jeg skal gjøre noe utspekulert: Jeg tar og erstatter serien min med røtter i ulikheten:
Hvis - er partall, så har vi:
siden alle synsvinkler ligger i fjerde kvartal. Og igjen det hellige spørsmålet: hva er tegnet på sinus i fjerde kvartal? Negativ. Så ulikheten
Hvis -odd, så:
I hvilket kvarter ligger vinkelen? Dette er hjørnet av andre kvartal. Da er alle hjørnene igjen hjørnene i andre kvartal. Sinusen der er positiv. Akkurat det du trenger! Så serien:
Passer inn!
Vi behandler den andre serien med røtter på samme måte:
Vi erstatter i vår ulikhet:
Hvis - til og med, da
Første kvarters hjørner. Sinusen der er positiv, noe som betyr at serien er passende. Nå hvis - merkelig, så:
passer også!
Vel, nå skriver vi ned svaret!
Svar:
Vel, dette var kanskje den mest arbeidskrevende saken. Nå tilbyr jeg deg problemer du kan løse på egen hånd.
Opplæring
- Løs og finn alle røttene til ligningen som hører til segmentet.
Løsninger:
Første ligning:
eller
ODZ av roten:Andre ligning:
Utvalg av røtter som hører til intervallet
Svar:
Eller
eller
Men
La oss vurdere: . Hvis - til og med, da
- passer ikke!
Hvis - odd, : - egnet!
Dette betyr at ligningen vår har følgende serie med røtter:
eller
Valg av røtter i intervallet:
| - passer ikke | - passer inn | |
| - passer inn | - mye av | |
| - passer inn | mye av |
Svar: , .
Eller
Siden er tangenten ikke definert. Vi forkaster umiddelbart denne serien med røtter!
Andre del:
Samtidig kreves det ifølge DZ at
Vi sjekker røttene funnet i den første ligningen:
Hvis tegnet:
Første kvartvinkler der tangenten er positiv. Passer ikke!
Hvis tegnet:
Fjerde kvarters hjørne. Der er tangenten negativ. Passer inn. Vi skriver ned svaret:
Svar: , .
Vi har sett på komplekse trigonometriske eksempler sammen i denne artikkelen, men du bør løse likningene selv.
SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMLER
En trigonometrisk ligning er en ligning der det ukjente er strengt tatt under tegnet til den trigonometriske funksjonen.
Det er to måter å løse trigonometriske ligninger på:
Den første måten er å bruke formler.
Den andre måten er gjennom den trigonometriske sirkelen.
Lar deg måle vinkler, finne sinus, cosinus osv.
Ganske ofte i problemer med økt kompleksitet vi møter trigonometriske ligninger som inneholder modul. De fleste av dem krever en heuristisk tilnærming til løsning, noe som er helt ukjent for de fleste skoleelever.
Oppgavene foreslått nedenfor er ment å introdusere deg til de mest typiske teknikkene for å løse trigonometriske ligninger som inneholder en modul.
Oppgave 1. Finn forskjellen (i grader) av de minste positive og største negative røttene til ligningen 1 + 2sin x |cos x| = 0.
Løsning.
La oss utvide modulen:
1) Hvis cos x ≥ 0, vil den opprinnelige ligningen ha formen 1 + 2sin x · cos x = 0.
Ved å bruke sinusformelen med dobbel vinkel får vi:
1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Siden cos x ≥ 0, så er x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Hvis cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – sin 2x = 0; sin 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Siden cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Den største negative roten av ligningen: -π/4; minste positive rot av ligningen: 5π/4.
Den nødvendige forskjellen: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Svar: 270°.
Oppgave 2. Finn (i grader) den minste positive roten av ligningen |tg x| + 1/cos x = tan x.
Løsning.
La oss utvide modulen:
1) Hvis tan x ≥ 0, da
tan x + 1/cos x = tan x;
Den resulterende ligningen har ingen røtter.
2) Hvis tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 og cos x ≠ 0.
Ved å bruke figur 1 og betingelsen tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Den minste positive roten av ligningen er 5π/6. La oss konvertere denne verdien til grader:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Svar: 150°.
Oppgave 3. Finn antall forskjellige røtter av ligningen sin |2x| = cos 2x på intervallet [-π/2; π/2].
Løsning.
La oss skrive ligningen på formen sin|2x| – cos 2x = 0 og betrakt funksjonen y = sin |2x| – for 2x. Siden funksjonen er partall, vil vi finne dens nuller for x ≥ 0.
sin 2x – cos 2x = 0; La oss dele begge sider av ligningen med cos 2x ≠ 0, vi får:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Ved å bruke pariteten til funksjonen finner vi at røttene til den opprinnelige ligningen er tall på formen
± (π/8 + πn/2), hvor n € Z.
Intervall [-π/2; π/2] tilhører tallene: -π/8; π/8.
Så to røtter av ligningen tilhører det gitte intervallet.
Svar: 2.
Denne ligningen kan også løses ved å åpne modulen.
Oppgave 4. Finn antall røtter til ligningen sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x på intervallet [-π; 2π].
Løsning.
1) Tenk på tilfellet når 2cos x – 1 > 0, dvs. cos x > 1/2, så har ligningen formen:
sin x – sin 2 x = sin 2 x;
sin x – 2sin 2 x = 0;
sin x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 eller 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 eller sin x = 1/2.
Ved å bruke figur 2 og betingelsen cos x > 1/2 finner vi røttene til ligningen:
x = π/6 + 2πn eller x = 2πn, n € Z.
2) Tenk på tilfellet når 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
sin x + sin 2 x = sin 2 x;
x = 2πn, n € Z.
Ved å bruke figur 2 og cos x-tilstanden< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Ved å kombinere de to tilfellene får vi:
x = π/6 + 2πn eller x = πn.
3) Intervall [-π; 2π] tilhører røttene: π/6; -π; 0; π; 2π.
Dermed inneholder det gitte intervallet fem røtter av ligningen.
Svar: 5.
Oppgave 5. Finn antall røtter til ligningen (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 på intervallet [-π; 2π].
Løsning.
1) Hvis sin x ≥ 0, tar den opprinnelige ligningen formen (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Etter å ha tatt fellesfaktoren sin x ut av parentes, får vi:
sin x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; siden (x – 0,7) 2 + 1 > 0 for alle reelle x, så er sinx = 0, dvs. x = πn, n € Z.
2) Hvis synd x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 eller (x – 0,7) 2 + 1 = 0. Siden sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0,7 = 1 eller x – 0,7 = -1, som betyr x = 1,7 eller x = -0,3.
Tar hensyn til tilstanden sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, som betyr at bare tallet -0,3 er roten til den opprinnelige ligningen.
3) Intervall [-π; 2π] tilhører tallene: -π; 0; π; 2π; -0,3.
Dermed har ligningen fem røtter på et gitt intervall.
Svar: 5.
Du kan forberede deg til leksjoner eller eksamener ved å bruke ulike pedagogiske ressurser som er tilgjengelige på Internett. Foreløpig hvem som helst 
en person trenger rett og slett å bruke ny informasjonsteknologi, fordi deres korrekte, og viktigst av alt hensiktsmessige, bruk vil bidra til å øke motivasjonen for å studere emnet, øke interessen og bidra til å bedre assimilere nødvendig materiale. Men ikke glem at datamaskinen ikke lærer deg å tenke; informasjonen som mottas må behandles, forstås og huskes. Derfor kan du henvende deg til våre nettveiledere for å få hjelp, som vil hjelpe deg med å finne ut hvordan du kan løse problemene som interesserer deg.
Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser trigonometriske ligninger?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
Den første leksjonen er gratis!
nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.