Det er industrielle og integrerte industridistrikter.

Grafisk fremstilling og praktisk anvendelse av Bernoullis ligning

Grafisk representasjon av Bernoullis ligning for ideell og reell væskestrøm.

Grafisk representasjon av Bernoullis ligning for en strøm av ideell og reell væske.

Bernoulli ligning en av de grunnleggende ligningene for fluidmekanikk, som under jevn bevegelse av en inkompressibel ideell væske i et jevnt tyngdefelt har formen:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
hvor v er hastigheten til væsken, ρ er dens tetthet, p er trykket i den, h er høyden til væskepartikkelen over et visst horisontalplan, g er akselerasjonen av fritt fall, C er en verdikonstant på hver strømlinjeforme, men i det generelle tilfellet endrer verdien når den går fra en strømlinje til en annen.

Summen av de to første leddene på venstre side av ligning (1) er lik det totale potensialet, og det tredje leddet er lik kinetisk energi, referert til enheter. flytende masse; Følgelig uttrykker hele ligningen loven om bevaring av mekanisk energi for et fluid i bevegelse og etablerer et viktig forhold mellom v, p og h. For eksempel, hvis, ved en konstant h, strømningshastigheten langs en strømlinje øker, så synker trykket, og omvendt. Denne loven brukes ved måling av hastighet ved hjelp av målerør og andre aerodynamiske målinger.

Bernoullis ligning er også representert i skjemaet
h + p/y + v 2 /2g = C eller
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(hvor γ =ρg er væskens egenvekt). I 1. likhet har alle ledd dimensjonen lengde og kalles tilsvarende geometriske (utjevnings-), piezometriske og hastighetshøyder, og i 2. - trykkdimensjonene og kalles henholdsvis vekt, statisk og dynamisk trykk.

I det generelle tilfellet, når væsken er komprimerbar (gass), men barotropisk, dvs. p i den avhenger bare av ρ, og når dens bevegelse skjer i et annet enn potensielt felt med volumetriske (masse) krefter (se kraftfelt), Bernoullis ligningen er oppnådd som en konsekvens av Euler-ligningene for fluidmekanikk og har formen:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
hvor P er den potensielle energien (potensialet) til det volumetriske kraftfeltet, referert til enheter. masse væske. Når gasser strømmer, endres verdien av P lite langs strømlinjen, og den kan inkluderes i konstanten, og presenterer (3) i formen:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

I tekniske applikasjoner, for strømning gjennomsnittlig over tverrsnittet av en kanal, den såkalte generalisert Bernoulli-ligning: bevare formen til ligningene (1) og (3), venstre side inkluderer arbeidet med friksjonskrefter og overvinnelse av hydraulisk motstand, så vel som det mekaniske arbeidet til en væske eller gass (arbeidet til en kompressor eller turbiner) ) med tilhørende fortegn. Den generaliserte Bernoulli-ligningen er mye brukt i hydraulikk ved beregning av flyt av væsker og gasser i rørledninger og i maskinteknikk ved beregning av kompressorer, turbiner, pumper og andre hydrauliske og gassmaskiner.

Bernoullis lov er en konsekvens av loven om bevaring av energi for en stasjonær strøm av en ideell (det vil si uten indre friksjon) inkompressibel væske:

Væsketetthet,

Strømningshastighet,

Høyden som det aktuelle væskeelementet befinner seg i,

Trykket på punktet i rommet der massesenteret til det aktuelle fluidelementet er plassert,

Akselerasjon av tyngdekraften.

Konstanten på høyre side kalles vanligvis press, eller totalt trykk, samt Bernoulli integral. Dimensjonen til alle ledd er energienheten per volumenhet væske.

Dette forholdet, avledet av Daniel Bernoulli i 1738, ble oppkalt etter ham Bernoullis ligning. (Ikke å forveksle med Bernoullis differensialligning.)

For horisontalt rør h= 0 og Bernoullis ligning har formen: .

Denne formen for Bernoullis ligning kan oppnås ved å integrere Eulers ligning for jevn endimensjonal væskestrøm, med konstant tetthet ρ: .

I følge Bernoullis lov forblir det totale trykket i en jevn væskestrøm konstant langs strømmen.

Fullt trykk består av hydrostatisk (ρ gh), atmosfærisk (p) og dynamisk trykk.

Fra Bernoullis lov følger det at når strømningstverrsnittet avtar, på grunn av en hastighetsøkning, det vil si dynamisk trykk, faller det statiske trykket. Dette er hovedårsaken til Magnus-effekten. Bernoullis lov er også gyldig for laminære gassstrømmer. Fenomenet med en reduksjon i trykk med en økning i strømningshastighet ligger til grunn for driften av forskjellige typer strømningsmålere (for eksempel et Venturi-rør), vann- og dampstrålepumper.

Bernoullis lov er gyldig i sin rene form bare for væsker hvis viskositet er null, det vil si væsker som ikke fester seg til overflaten av røret. Faktisk er det eksperimentelt fastslått at hastigheten til en væske på overflaten av et fast stoff nesten alltid er nøyaktig null (bortsett fra når det gjelder jetseparasjon under noen sjeldne forhold).

Bernoullis lov kan brukes på strømmen av en ideell inkompressibel væske gjennom et lite hull i sideveggen eller bunnen av et bredt kar.

I henhold til Bernoullis lov, setter vi likhetstegn mellom det totale trykket på den øvre overflaten av væsken og ved utløpet av hullet:

s 0 - atmosfærisk trykk,

h- høyden på væskekolonnen i karet,

v- væskestrømningshastighet.

Herfra: . Dette er Torricellis formel. Den viser at når en ideell inkompressibel væske strømmer ut av et hull i et bredt kar, får væsken hastigheten som et legeme som fritt faller fra en høyde ville oppnå h.

L − 1 M T − 2 (\displaystyle L^(-1)MT^(-2)) Enheter SI J/m3 = Pa GHS erg/cm 3 Notater Konstant langs strømlinjen av stasjonær strøm av en inkompressibel væske.

Avledning av Torricellis formel fra Bernoullis lov[ | ]

Når den brukes på strømmen av en ideell inkomprimerbar væske gjennom et lite hull i sideveggen eller bunnen av et bredt kar, gir Bernoullis lov likhet mellom de totale trykket på den frie overflaten av væsken og ved utgangen fra hullet:

ρ g h + p 0 = ρ v 2 2 + p 0 (\displaystyle \rho gh+p_(0)=(\frac (\rho v^(2))(2))+p_(0)), h (\displaystyle h)- høyden på væskekolonnen i karet, målt fra nivået av hullet, v (\displaystyle v)- væskestrømningshastighet, p 0 (\displaystyle p_(0))- Atmosfæretrykk.

Herfra: v = 2 g h (\displaystyle v=(\sqrt (2gh))). Dette er Torricellis formel. Den viser at når væsken renner ut, får den hastigheten som en kropp som fritt faller fra en høyde ville oppnå. h (\displaystyle h). Eller, hvis strømmen som strømmer fra et lite hull i fartøyet rettes oppover, ved topppunktet (bortsett fra tap) vil strømmen nå nivået til den frie overflaten i fartøyet.

Andre manifestasjoner og anvendelser av Bernoullis lov[ | ]

Den inkompressible væsketilnærmingen, og med den Bernoullis lov, er også gyldige for laminære gassstrømmer, hvis bare strømningshastighetene er små sammenlignet med lydhastigheten.

Langs den horisontale rørkoordinaten z (\displaystyle z) er konstant og Bernoulli-ligningen har formen: ρ v 2 2 + p = c o n s t (\displaystyle (\tfrac (\rho v^(2))(2))+p=\mathrm (const) ). Det følger at når strømningstverrsnittet avtar på grunn av en hastighetsøkning, synker trykket. Effekten av å redusere trykket når strømningshastigheten øker er grunnlaget for driften av Venturi-strømningsmåleren og jetpumpen.

Bernoullis lov forklarer hvorfor skip som beveger seg på en parallell kurs kan bli tiltrukket av hverandre (for eksempel skjedde en slik hendelse med den olympiske rutebåten).

Hydrauliske applikasjoner[ | ]

Den konsekvente anvendelsen av Bernoullis lov førte til fremveksten av en teknisk hydromekanisk disiplin - hydraulikk. For tekniske applikasjoner er Bernoullis ligning ofte skrevet i formen der alle ledd er delt med "spesifikk vekt" ρ g (\displaystyle \rho g):

H = h + p ρ g + v 2 2 g = const , (\displaystyle H\,=\,h\,+\,(\frac (p)(\rho g))\,+\,(\frac (v^(2))(2\,g))=\,(\tekst(konst)),)

hvor leddene med lengdedimensjonen i denne ligningen kan ha følgende navn:

Press
Dimensjon	L (\displaystyle L)
Enheter
SI	måler
Notater
Totaltrykk delt på egenvekt.

H (\displaystyle H)- hydraulisk høyde eller trykk, h (\displaystyle h)- nivelleringshøyde, p ρ g (\displaystyle (\frac (p)(\rho g)))- piezometrisk høyde eller (i sum med utjevningshøyden) hydrostatisk hode, v 2 2 g (\displaystyle (\frac (v^(2))(2\,g)))- hastighetshøyde eller hastighetstrykk.

Bernoullis lov er kun gyldig for ideelle væsker der det ikke er tap på grunn av viskøs friksjon. For å beskrive flyten av reelle væsker i teknisk fluidmekanikk (hydraulikk), brukes Bernoulli-integralet med tillegg av termer som omtrent tar hensyn til ulike "hydrauliske trykktap".

Bernoulli integral i barotropiske strømmer[ | ]

Bernoullis ligning kan også utledes fra ligningen for væskebevegelse. I dette tilfellet antas strømmen å være stasjonær og barotropisk. Det siste betyr at tettheten til en væske eller gass ikke nødvendigvis er konstant (som i den tidligere antatte inkompressible væsken), men kun er en funksjon av trykk: ρ = ρ (p) (\displaystyle \rho =\rho (p)), som lar deg gå inn trykkfunksjon P = ∫ d p ρ (p) . (\displaystyle (\cal (P))=\int (\frac (\mathrm (d) p)(\rho (p))).) Under disse forutsetningene, verdien

v 2 2 + g h + P = co n s t (\displaystyle (\frac (v^(2))(2))+gh+(\cal (P))=\mathrm (const) )

er konstant langs enhver strømlinje og enhver virvellinje. Forholdet er gyldig for flyt i ethvert potensielt felt, og g h (\displaystyle gh) erstattet av massekraftpotensial.

Avledning av Bernoulli-integralet for barotropisk strømning

Saint-Venant-Wanzels formel[ | ]

p = p 0 ρ 0 ρ γ , ρ = ρ 0 p 0 1 / γ p 1 / γ , P = − γ γ − 1 p 0 ρ 0 [ 1 − (p p 0) (γ − 1) / γ ], (\displaystyle p=(\frac (p_(0))(\rho _(0)))\rho ^(\gamma ),\qquad \rho =(\frac (\rho _(0))(p_( 0)^(1/\gamma )))p^(1/\gamma ),\qquad (\cal (P))=-(\frac (\gamma )(\gamma -1))(\frac (p_) (0))(\rho _(0)))\venstre,)

så er Bernoulli-ligningen uttrykt som følger (bidraget fra tyngdekraften kan vanligvis neglisjeres):

v 2 2 − γ γ − 1 p 0 ρ 0 [ 1 − (p p 0) (γ − 1) / γ ] = c o n s t (\displaystyle (\frac (v^(2))(2))-(\frac (\gamma )(\gamma -1))(\frac (p_(0))(\rho _(0)))\left=\mathrm (const) ) langs en strømlinje eller virvellinje. Her γ = C p C V (\displaystyle \gamma =(\frac (C_(p))(C_(V))))- gass adiabatisk indeks, uttrykt som varmekapasitet ved konstant trykk og konstant volum, p , ρ (\displaystyle p,\,\rho )- gasstrykk og tetthet, p 0 , ρ 0 (\displaystyle p_(0),\,\rho _(0))- betinget valgte konstante (identiske for hele strømmen) verdier for trykk og tetthet.

Ved å bruke den resulterende formelen blir hastigheten på gassen som strømmer fra en høytrykksbeholder gjennom et lite hull funnet. Det er praktisk å ta trykket og tettheten til gassen i et kar der gasshastigheten er null som p 0 , ρ 0 , (\displaystyle p_(0),\,\rho _(0),) da uttrykkes utstrømningshastigheten i form av ytre trykk p (\displaystyle p) i henhold til Saint-Venant-Wanzel-formelen for enhver stasjonær flyt av en ideell væske:

v 2 2 + w + φ = c o n s t , s = c o n s t , (\displaystyle (\frac (v^(2))(2))+w+\varphi =\mathrm (const) ,\qquad \qquad s=(\ rm(const)),)

Hvor w (\displaystyle w)- entalpi av enhetsmasse, φ (\displaystyle \varphi )- gravitasjonspotensial (lik for stasjonær (∂ v → ∂ t = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\vec (v)))(\partial t))=0)) bevegelsen til en ideell væske i et gravitasjonsfelt har formen:

(v → ⋅ ∇) v → = − 1 ρ ∇ p + g → , (\displaystyle ((\vec (v))\cdot \nabla)(\vec (v))=-(\frac (1)( \rho ))\nabla p+(\vec (g)),)

hvor akselerasjonen på grunn av tyngdekraften kan uttrykkes i form av gravitasjonspotensialet til denne ligningen per enhetsvektor l → = v → v , (\displaystyle (\vec (l))=(\frac (\vec (v))(v)),) tangent til strømlinjen gir:

∂ ∂ l (v 2 2 + φ) = − 1 ρ ∂ p ∂ l , (\displaystyle (\frac (\partial )(\partial l))\left((\frac (v^(2))(2) ))+\varphi \right)=-(\frac (1)(\rho ))(\frac (\partial p)(\partial l)),)

Generaliseringer av Bernoulli-integralet[ | ]

Bernoulli-integralet er også bevart når strømmen passerer gjennom sjokkbølgefronten, i referanserammen der sjokkbølgen er i ro. Under en slik overgang forblir imidlertid ikke mediets entropi konstant (øker), derfor er Bernoulli-relasjonen bare en av de tre Hugoniot-relasjonene, sammen med lovene om bevaring av masse og momentum, som forbinder mediets tilstand bak fronten med tilstanden til mediet foran foran og med sjokkbølgens hastighet.

Generaliseringer av Bernoulli-integralet er kjent for noen klasser av viskøse væskestrømmer (for eksempel for planparallelle strømmer), i magnetohydrodynamikk, ferrohydrodynamikk. I relativistisk hydrodynamikk, når strømningshastigheter blir sammenlignbare med lysets hastighet c (\displaystyle c), er integralet formulert i form av relativistisk invariant spesifikk entalpi og spesifikk entropi.

hydrodynamiske ligninger - et integral som bestemmer trykket p ved hvert punkt av en jevn strøm av en ideell homogen væske eller barotrop gass gjennom strømningshastigheten ved det tilsvarende punktet og gjennom kraftfunksjonen til volumetriske krefter:

Konstant Har sin egen verdi for hver gjeldende linje, og endres når du flytter fra en gjeldende linje til en annen. Hvis bevegelsen er potensiell, er konstanten C den samme for hele strømmen.

For ustø bevegelse av B. og. (noen ganger kalt Cauchy-Lagrange-integralet) finner sted i nærvær av et hastighetspotensial:

og er en vilkårlig funksjon av tid.

For en inkompressibel væske reduseres venstre side av ligninger (1), (2) til formen ; for barotrop gass - til formen:

B. og. foreslått av D. Bernoulli (1738). Tent.: Mil n-Thomson L.M., Teoretisk hydrodynamikk, trans. fra engelsk, M., 1964. L. N. Sretensky.

- Daniel, Sveits. vitenskapsmann, medlem Petersburg AN. Prof. Universitetet i Basel. I 1725-33 arbeidet han i Russland. Han var en av de første som brukte metodene for sannsynlighetsteori når han vurderte en rekke spørsmål om mengder, og studerte oss. På jobb "...
- Christophe, Sveits. vitenskapsmann, prof. teknisk Sciences University i Basel...
Demografisk encyklopedisk ordbok
- automorfisme av rom med et mål: beskriver Bernoulli-tester og deres generalisering - en sekvens av uavhengige tester som har samme utfall og samme sannsynlighetsfordeling...
Matematisk leksikon
- en tilfeldig tur generert av Bernoulli-tester. Ved å bruke eksempelet B. b. Det er mulig å forklare visse grunnleggende trekk ved mer generelle tilfeldige turer...
Matematisk leksikon
- uavhengige forsøk med to utfall hver og slik at sannsynlighetene for utfallene ikke endres fra forsøk til forsøk. B. og. tjene som en av hovedordningene vurdert i sannsynlighetsteori ...
Matematisk leksikon
- flat algebraisk...
Matematisk leksikon
- en metode for å finne den største virkelige algebraiske roten i absolutt verdi. ligninger av formen Foreslått av D. Bernoulli; består av følgende. La dem være vilkårlig utvalgte tall...
Matematisk leksikon
- polynomer av formen der Bs er Bernoulli-tall...
Matematisk leksikon
- det samme som binomialfordelingen...
Matematisk leksikon
- regelen som går ut på at sammentrekningskraften til en muskel, alt annet likt, er proporsjonal med lengden på muskelfibrene, dvs. graden av dens foreløpige strekking...
Stor medisinsk ordbok
- Daniel, sveitsisk matematiker og fysiker, medlem av en kjent familie av matematikere. I sine arbeider om hydrodynamikk viste han at trykket til en væske avtar når strømningshastigheten øker ...
Vitenskapelig og teknisk encyklopedisk ordbok
- et dynasti av sveitsiske forskere opprinnelig fra Antwerpen, som flyktet fra byen etter at den ble tatt til fange av spanjolene og slo seg ned i Basel i 1622...
Colliers leksikon
- en familie som produserte en rekke bemerkelsesverdige mennesker, hovedsakelig innen matematiske vitenskaper. Dens stamfar Jacob B. emigrerte fra Antwerpen under Flanderns regjeringstid av hertugen av Alba, til Frankfurt...
Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Euphron
- en familie av sveitsiske forskere, hvis grunnlegger Jacob B. var hjemmehørende i Holland. Jakob B., professor i matematikk ved Universitetet i Basel...
Stor sovjetisk leksikon
- en familie av sveitsiske forskere som produserte fremtredende matematikere...
Stor encyklopedisk ordbok
- Bern"ulli, uncl., hann: Bern"ullis skjema, Bern"ullis teorem, Bern"ullis ligning, h"isla Bern"...
Russisk rettskrivningsordbok

"BERNOULLI INTEGRAL" i bøker

Bernoullis utfordring

Fra boken Mer enn du vet. Et uvanlig blikk på finansverdenen av Mauboussin Michael

Bernoullis utfordring Kompetente investorer er stolte av deres evne til å prise finansielle bud riktig. Denne evnen er essensen av å investere: markedet er bare et middel for å veksle penger for fremtidige applikasjoner og omvendt. Ok, her er en situasjon du kan vurdere:

11. INTEGRAL I LOGIKK

Fra boken Kaos og struktur forfatter Losev Alexey Fedorovich

11. INTEGRAL I LOGIKK Som vi vet er integrasjon definert i matematikk enten som prosessen invers til differensiering, eller som å finne grensen for en sum. I første forstand er integrering mindre interessant for oss, siden vi her har med direkte å gjøre

INTEGRAL

Fra boken Russian Rock. Lite leksikon forfatter Bushueva Svetlana

INTEGRAL Denne "personellsmia" oppsto i byen Ust-Kamenogorsk på slutten av 80-tallet. I "Integral" spilte de til forskjellige tider: Yuri Loza, Igor Sandler, Yuri Ilchenko, Igor Novikov, Yaroslav Angelyuk, Zhenya Belousov, Marina Khlebnikova og andre. På begynnelsen av 80-tallet spilte gruppen

Bernoulli

Fra boken Encyclopedic Dictionary (B) forfatter Brockhaus F.A.

Bernoulli Bernoulli er en familie som produserte en rekke bemerkelsesverdige mennesker, hovedsakelig innen matematiske vitenskaper. Dens stamfar, Jacob B. (d. 1583), emigrerte fra Antwerpen under administrasjonen av Flandern av hertugen av Alba til Frankfurt; hans barnebarn, også Yakov B, f. 1598

Bernoulli

TSB

Bernoulli-opplegg

Fra boken Great Soviet Encyclopedia (BE) av forfatteren TSB

Bernoulli-skjema Bernoulli-skjema (oppkalt etter J. Bernoulli), en av de viktigste matematiske modellene for å beskrive uavhengige repetisjoner av eksperimenter brukt i sannsynlighetsteori. B. s. antar at det er noe erfaring S og en tilhørende tilfeldig hendelse A

Bernoullis teorem

Fra boken Great Soviet Encyclopedia (BE) av forfatteren TSB

forfatter Kahneman Daniel

Bernoullis feil På begynnelsen av 1970-tallet ga Amos meg en brosjyre av den sveitsiske økonomen Bruno Frey som diskuterte de psykologiske aspektene ved økonomisk teori. Jeg husker til og med fargen på omslaget - mørkerødt. Bruno Frey husker knapt denne artikkelen, men jeg kan fortsatt huske

Bernoullis feil

Fra boken Think Slow... Decide Fast forfatter Kahneman Daniel

Bernoullis feil Som Fechner godt forsto, var han ikke den første som prøvde å finne en funksjon som forbinder psykologisk intensitet med den fysiske styrken til en stimulus. I 1738 forutså den sveitsiske forskeren Daniel Bernoulli Fechners forklaringer og brukte dem på forhold mellom

25. Bernoullis ligning

Fra boken Hydraulikk forfatter Babaev M A

25. Bernoullis ligning Gromeki-ligningen er egnet for å beskrive bevegelsen til en væske dersom komponentene i bevegelsesfunksjonen inneholder en slags virvelmengde. For eksempel er denne virvelmengden inneholdt i komponentene ?x, ?y, ?z av vinkelhastigheten w. Betingelsen at bevegelsen

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

Bernoulli-ligning (Bernoulli-integral)

Bernoulli ligning(Bernoulli-integral) i hydroaeromekanikk [[oppkalt etter den sveitsiske vitenskapsmannen D. Bernoulli], en av hydromekanikkens grunnleggende ligninger, som under jevn bevegelse av en inkompressibel ideell væske i et jevnt tyngdefelt har formen:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
hvor v er hastigheten til væsken, ρ er dens tetthet, p er trykket i den, h er høyden til væskepartikkelen over et visst horisontalplan, g er akselerasjonen av fritt fall, C er en verdikonstant på hver strømlinjeforme, men i det generelle tilfellet endrer verdien når den går fra en strømlinje til en annen.