|
L'Hopital-ийн дүрэм |
|
L'Hopital-ийн дүрэмтөрөл эсвэл тодорхойгүй байгаа хязгаарыг тооцоолох арга юм. Болъё ань хязгаарлагдмал бодит тоо эсвэл хязгааргүйтэй тэнцүү. гэх мэт тодорхойгүй байдалд L'Hopital-ийн дүрмийг мөн хэрэглэж болно
Эхний хоёр тодорхойгүй байдлыг төрөл болгон эсвэл алгебрийн хувиргалтаар бууруулж болно. |
|
Мөн тодорхой бус байдлыг хамаарлыг ашиглан төрөл болгон бууруулна |
|
L'Hopital-ийн дүрэм нь нэг талын хязгаарт мөн хүчинтэй. Жишээ 1 Хязгаарыг тооцоол. |
|
Шийдэл. |
|
L'Hopital-ийн дүрэм нь нэг талын хязгаарт мөн хүчинтэй. Жишээ 1 Тоолуур ба хуваагчийг ялгахдаа бид хязгаарын утгыг олно. |
|
Жишээ 2 |
|
Шууд орлуулалт нь төрлийн тодорхойгүй байдалд хүргэдэг тул бид L'Hopital-ийн дүрмийг хэрэгжүүлдэг. Жишээ 1 Жишээ 3 |
|
Хязгаарыг тооцоолох |
|
Энд бид төрлийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Жишээ 1 Энгийн өөрчлөлтүүдийн дараа бид олж авдаг
|
|
Жишээ 4 |
|
Энд бид төрлийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Жишээ 1 Хязгаарыг ол. L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан бид бичиж болно |
|
Жишээ 5 |
.
.
Энд бид төрлийн тодорхойгүй байдалтай тулгардаг.
гэж тэмдэглэе. Логарифмыг авсны дараа бид олж авна(1667-1748) Базелийн их сургуулийг амжилттай төгсөөд Европыг тойрон аялж байгаад 1690 онд Парист иржээ. Философич Николас Малебраншийн (1638-1715) утга зохиолын салон дээр Иоганн Францын математикч Маркиз Гийом Франсуа Антуан де Л'Хопитал (1661-1704) -тэй уулзав. Идэвхтэй яриа өрнүүлэх үеэр залуу Бернулли шинэ тооцоололд хэцүү асуудлуудыг "тоглож байгаа мэт" амархан шийдэж байгаад Л'Хопитал гайхав. Тиймээс L'Hopital түүнд хэд хэдэн лекц уншихыг хүссэн. Л'Хопитал аман ярианд дуртай байсан тул зохих төлбөрөөр бичгийн материал авч эхлэв. Тодорхой бус байдлыг илчлэхийн тулд одоо алдартай "L'Hopital дүрэм" -ийг Иоганн түүнд дамжуулсан болохыг анхаарна уу. Аль хэдийн 1696 онд L'Hopital-ийн алдарт "Муруйн шугамыг ойлгох хязгааргүй жижиг тоонуудын шинжилгээний танилцуулга" зохиол гарч ирэв. Иоганн I Бернуллигийн танилцуулсан хичээлийн хоёр дахь хэсэг нь зөвхөн 1742 онд хэвлэгдсэн бөгөөд "Интеграл ба бусад аргачлалын талаархи математикийн лекцүүд; Эмнэлгийн алдартай Маркизд зориулж бичсэн; 1691-1692 он." 1921 онд Иоганн I Бернуллигийн гараар бичсэн лекцийн хуулбарууд олдсон бөгөөд эх хувийг 1691-1692 онд L'Hopital руу шилжүүлжээ. Эдгээрээс Лоптал "Шинжилгээ" дээрээ залуу багшийнхаа лекцээс бараг хазайгаагүйг эрдэмтэд гэнэт олж мэдэв.
Теорем (Коши).Функцууд ба дээр үргэлжилсэн ба дээр ялгагдах боломжтой байг. Дараа нь:
Баталгаа.Функцийг авч үзье
Роллегийн теоремын бүх нөхцөл хангагдсан байхаар сонгоцгооё. .
Роллегийн теоремын дагуу:
L'Hopital-ийн анхны дүрэм
Тодорхойлолт.Үргэлжилсэн on , функцууд нь -д дифференциал болох ба let . Let . Дараа нь бид at харьцаа нь хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг илэрхийлдэг гэж хэлдэг.
Теорем.
-ийн сегментэд Коши теоремыг хэрэглэцгээе. Байгаа:
улмаар,
Энэ нь гэсэн үг 
.
Хязгааргүй тохиолдолд (1) тэгш бус байдлыг солино
тэмдэгээс хамаарна. Үлдсэн нотлох баримтууд өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.
L'Hopital-ийн хоёр дахь дүрэм
Тодорхойлолт.Функцууд , болон -д тасралтгүй ба ялгагдах боломжтой байг. Let . Дараа нь бид at харьцаа нь хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг илэрхийлдэг гэж хэлдэг.
Теорем.Хэрэв заасан нөхцөлд байгаа бол
Баталгаа.Мэдээжийн хэрэг байцгаая. Сонгох замаар: тэгш бус байдал нь интервалд хадгалагдана
Нөхцөлөөс функцийг тодорхойлъё
цагт. Коши теоремыг сегментэд хэрэглэцгээе. Тэнд байгааг бид ойлгож байна:
Хэний төлөө
Энэ нь дур зоргоороо жижиг учраас
тохиолдолд тэгш бус байдал (2) -аар солигдоно
ба тэгш бус байдал (4) - тэгш бус байдал руу
-д болж байгаа, учир нь (3)-д хангалттай ойрхон байна.
Энэ хэргийг ижил төстэй байдлаар авч үздэг.
Шийдэл онлайн функцийн хязгаарлалт. Нэг цэг дээрх функц эсвэл функциональ дарааллын хязгаарлагдмал утгыг олох, тооцоол эцсийнхязгааргүй дэх функцийн утга. Манай онлайн үйлчилгээний ачаар тооны цувралын нийлэлтийг тодорхойлох болон бусад олон зүйлийг хийх боломжтой. Бид танд функцийн хязгаарыг онлайнаар хурдан бөгөөд үнэн зөв олох боломжийг олгодог. Та өөрөө функцийн хувьсагч болон түүний чиглэх хязгаарыг оруулдаг бөгөөд манай үйлчилгээ танд бүх тооцоог хийж, үнэн зөв бөгөөд энгийн хариултыг өгдөг. Мөн төлөө хязгаарыг онлайнаар олохТа тоон цуваа болон тогтмол илэрхийлэл агуулсан аналитик функцийг хоёуланг нь оруулж болно. Энэ тохиолдолд функцын олсон хязгаар нь эдгээр тогтмолуудыг илэрхийлэлд тогтмол аргумент болгон агуулна. Манай үйлчилгээ нь олоход төвөгтэй аливаа асуудлыг шийддэг онлайн хязгаарлалт, энэ нь функц болон тооцоолох шаардлагатай цэгийг зааж өгөхөд хангалттай функцийн хязгаарын утга. Тооцоолж байна онлайн хязгаарлалт, та олж авсан үр дүнг шалгахдаа тэдгээрийг шийдвэрлэх янз бүрийн арга, дүрмийг ашиглаж болно хязгаарлалтыг онлайнаар шийдвэрлэх www.site дээр, энэ нь даалгаврыг амжилттай дуусгахад хүргэнэ - та өөрийн алдаа, бичиг хэргийн алдаанаас зайлсхийх болно. Эсвэл та функцийн хязгаарыг бие даан тооцоолоход нэмэлт хүчин чармайлт, цаг зарцуулахгүйгээр бидэнд бүрэн итгэж, бидний үр дүнг ажилдаа ашиглах боломжтой. Бид хязгааргүй гэх мэт хязгаарын утгыг оруулахыг зөвшөөрдөг. Тооны дарааллын нийтлэг гишүүнийг оруулах шаардлагатай ба www.siteутгыг тооцох болно онлайнаар хязгаарлахнэмэх эсвэл хасах хязгааргүй.
Математик шинжилгээний үндсэн ойлголтуудын нэг нь функцийн хязгаарТэгээд дарааллын хязгаарнэг цэгт болон хязгааргүй үед зөв шийдэж чаддаг байх нь чухал хязгаар. Манай үйлчилгээгээр энэ нь тийм ч хэцүү биш байх болно. Шийдвэр гарч байна онлайн хязгаарлалтхэдхэн секундын дотор хариулт үнэн зөв, бүрэн дүүрэн байна. Математик анализын судалгаа нь дараахь үеэс эхэлдэг хязгаар руу шилжих, хязгаарДээд математикийн бараг бүх салбарт ашиглагддаг тул сервертэй байх нь ашигтай байдаг Онлайн хязгаарлалтын шийдэл, энэ нь matematikam.ru юм.
Заавар
Хязгаарын шууд тооцоолол нь юуны түрүүнд оновчтой Qm(x)/Rn(x) хязгаартай холбоотой бөгөөд Q ба R нь олон гишүүнт юм. Хэрэв хязгаарыг x →a (a нь тоо) гэж тооцвол тодорхойгүй байдал үүсч болно, жишээлбэл. Үүнийг арилгахын тулд тоологч ба хуваагчийг (x-a) гэж хуваана. Тодорхой бус байдал арилах хүртэл үйлдлийг давтана. Олон гишүүнтийг хуваах нь тооны хуваагдалтай бараг ижил аргаар явагддаг. Энэ нь хуваах, үржүүлэх нь урвуу үйлдлүүд гэдгийг үндэслэсэн болно. Жишээг Зураг дээр үзүүлэв. 1.
Анхны гайхалтай хязгаарыг хэрэглэх. Эхний гайхалтай хязгаарын томъёог Зураг дээр үзүүлэв. 2а. Үүнийг ашиглахын тулд жишээ илэрхийллээ тохирох хэлбэрт хөрвүүлнэ үү. Үүнийг зөвхөн алгебрийн аргаар эсвэл хувьсагчийг өөрчлөх замаар үргэлж хийж болно. Хамгийн гол нь хэрэв синус нь kx бол хуваагч нь бас kx гэдгийг мартаж болохгүй. Жишээг Зураг дээр үзүүлэв. 2e.Үүнээс гадна, хэрэв бид tgx=sinx/cosx, cos0=1 гэдгийг харгалзан үзвэл үр дүнд нь гарч ирнэ (2б-р зургийг үз). arcsin(sinx)=x ба arctg(tgx)=x. Тиймээс, өөр хоёр үр дагавар бий (Зураг 2c. ба 2d). Нэлээд өргөн хүрээний аргууд гарч ирэв.
Хоёрдахь хязгаарыг ашиглах нь гайхалтай (Зураг 3a-г үзнэ үү). Харгалзах асуудлыг шийдэхийн тулд нөхцөлийг хязгаарын төрөлд тохирох бүтэц болгон хувиргахад хангалттай. Аль хэдийн тодорхой хэмжээнд хүрсэн илэрхийлэлийг өсгөхөд тэдгээрийн илтгэгчийг үржүүлдэг гэдгийг санаарай. Холбогдох жишээг Зураг дээр үзүүлэв. 2e. α=1/х орлуулалтыг хэрэглэж, хоёр дахь гайхалтай хязгаарын үр дүнг олж авна (Зураг 2б). Энэ үр дүнгийн хоёр талын логарифмыг а суурь руу авбал, a = e-г оруулаад хоёр дахь үр дүнд хүрнэ (2в-р зургийг үз). a^x-1=y орлуулалтыг хийнэ. Дараа нь x=log(a)(1+y). x тэг рүү чиглэдэг тул у нь тэг рүү чиглэдэг. Тиймээс гурав дахь үр дагавар гарч ирдэг (2d-р зургийг үз).
Эквивалент хязгааргүй жижиг функцүүдийн хэрэглээ нь α(x)/γ(x) харьцааны хязгаар нь нэгтэй тэнцүү бол x →a-тай тэнцүү байна. Ийм хязгааргүй жижиг тоонуудыг ашиглан хязгаарыг тооцоолохдоо γ(x)=α(x)+o(α(x)) гэж бичнэ. o(α(x)) нь α(x)-аас бага зэрэглэлийн дээд эрэмбийн хязгааргүй жижиг тоо юм. Түүний хувьд lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Тэнцвэртэй байдлыг тодорхойлохын тулд ижил гайхалтай хязгааруудыг ашигла. Энэ арга нь хязгаарыг олох үйл явцыг ихээхэн хялбарчилж, илүү ил тод болгох боломжийг бидэнд олгодог.
Бөмбөлөг нүдтэй бор шувууны сүргийг төсөөлөөд үз дээ. Үгүй ээ, энэ бол аянга биш, хар салхи биш, бүр гартаа чавх барьсан бяцхан хүү ч биш. Дэгдээхэйнүүдийн дунд асар том их бууны сум нисч байна. Энэ нь зөв L'Hopital-ийн дүрэмтодорхойгүй байдал буюу .
L'Hôpital-ийн дүрмүүд нь эдгээр эргэлзээг хурдан бөгөөд үр дүнтэй арилгах боломжийг олгодог маш хүчирхэг арга бөгөөд асуудал, туршилт, тестийн цуглуулгад "хязгаарыг тооцоолох, L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглахгүйгээр" Тодоор тэмдэглэсэн шаардлагыг аливаа хичээлийн хязгаарт ухамсартайгаар хэрэглэж болно Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээ, Гайхамшигтай хязгаарууд. Хязгаарыг шийдвэрлэх аргууд, Гайхалтай тэнцэл, "тэгээс тэг" эсвэл "хязгааргүйгээс хязгааргүй" гэсэн тодорхойгүй байдал үүсдэг. Даалгаврыг товчхон томъёолсон ч гэсэн "хязгаарыг тооцоол" гэдэг нь L'Hopital-ийн дүрмийг биш харин бүх зүйлийг ашиглах болно гэдгийг далд ойлгодог.
Нийтдээ хоёр дүрэм байдаг бөгөөд тэдгээр нь мөн чанар болон хэрэглээний аргын хувьд хоорондоо маш төстэй юм. Сэдвийн талаархи шууд жишээнүүдээс гадна бид математикийн шинжилгээний цаашдын судалгаанд хэрэг болох нэмэлт материалыг судлах болно.
Дүрмүүдийг товч "практик" хэлбэрээр танилцуулах болно гэдгийг би даруй анхааруулах бөгөөд хэрэв та онолын шалгалт өгөх шаардлагатай бол илүү нарийн тооцоолол хийхийн тулд сурах бичигт хандахыг зөвлөж байна.
L'Hopital-ийн анхны дүрэм
Үүний функцуудыг авч үзье хязгааргүй жижигхэзээ нэгэн цагт. Хэрэв тэдний харилцаанд хязгаарлалт байгаа бол тодорхойгүй байдлыг арилгахын тулд бид үүнийг авч болно хоёр деривативууд- тоологч болон хуваагчаас. Энэ тохиолдолд: 
, тэр нь .
Анхаарна уу : Хязгаар нь бас байх ёстой, эс тэгвээс дүрэм үйлчлэхгүй.
Дээрхээс юу гарах вэ?
Эхлээд та олох чадвартай байх хэрэгтэй функцүүдийн деривативууд, сайн байх тусмаа сайн =)
Хоёрдугаарт, деривативыг тоологчоос тусад нь, хуваагчаас тусад нь авдаг. Хэмжилтийг ялгах дүрэмтэй андуурч болохгүй 
!!!
Гуравдугаарт, "X" нь тодорхойгүй байдал байгаа тохиолдолд хаана ч, түүний дотор хязгааргүйд ч чиглэж болно.
Эхний өгүүллийн 5-р жишээ рүү буцъя хязгаарын тухай, энэ нь дараах үр дүнд хүргэсэн: 
0:0 тодорхойгүй байдлын хувьд бид L'Hôpital-ийн эхний дүрмийг баримтална:
Таны харж байгаагаар тоологч ба хуваагчийг ялгах нь биднийг хагас ээлжээр хариулт руу хөтөлсөн: бид хоёр энгийн деривативыг олж, тэдгээрийн "хоёрыг" орлуулж, тодорхойгүй байдал ул мөргүй алга болсон нь тодорхой болсон!
L'Hopital-ийн дүрмийг хоёр ба түүнээс дээш удаа дараалан хэрэглэх нь ердийн зүйл биш юм (энэ нь хоёр дахь дүрэмд мөн хамаарна). Үүнийг чимэг үдшийн 2-р хичээлээр гаргацгаая гайхалтай хязгааруудын тухай:
Давхар орон дээр хоёр уут дахин хөргөж байна. L'Hopital-ийн дүрмийг хэрэгжүүлье: 
Эхний алхамд хуваагчийг авдаг гэдгийг анхаарна уу нийлмэл функцийн дериватив. Үүний дараа бид хэд хэдэн завсрын хялбаршуулалтыг хийж, ялангуяа косинусаас салж, энэ нь нэгдмэл байх хандлагатай байгааг харуулж байна. Тодорхой бус байдал арилаагүй тул бид L'Hopital-ийн дүрмийг дахин хэрэглэнэ (хоёр дахь мөр).
Би зориуд тийм ч энгийн бус жишээг сонгосон бөгөөд ингэснээр та өөрийгөө бага зэрэг шалгах боломжтой. Тэд хэрхэн олдсон нь бүрэн тодорхойгүй бол деривативууд, та ялгах техникээ бэхжүүлэх хэрэгтэй, хэрэв косинусын трик тодорхойгүй байвал буцаж очно уу гайхалтай хязгаарууд. Би дериватив болон хязгаарлалтын талаар хангалттай дэлгэрэнгүй ярьсан тул алхам алхмаар тайлбар хийх нь тийм ч чухал зүйл олж харахгүй байна. Өгүүллийн шинэлэг зүйл нь дүрмүүд болон зарим техникийн шийдлүүдэд оршдог.
Өмнө дурьдсанчлан, ихэнх тохиолдолд L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглах шаардлагагүй боловч шийдлийг бүдүүлэг шалгахад ашиглахыг зөвлөж байна. Ихэнхдээ, гэхдээ үргэлж биш. Тиймээс, жишээлбэл, саяхан авч үзсэн жишээг шалгах нь илүү ашигтай байдаг гайхалтай тэнцэл.
L'Hopital-ийн хоёр дахь дүрэм
Ах-2 унтаж байгаа хоёр наймтай тулалддаг. Үүний нэгэн адил:
Хэрэв харилцааны хязгаар байгаа бол хязгааргүй томфункцийн цэг дээр: , дараа нь тодорхойгүй байдлыг арилгахын тулд авч болно хоёр дериватив– Тоологчоос тусад нь, хуваагчаас тусад нь. Энэ тохиолдолд: 
, тэр нь тоологч ба хуваагчийг ялгах үед хязгаарын утга өөрчлөгдөхгүй.
Анхаарна уу : хязгаар байх ёстой
Дахин хэлэхэд янз бүрийн практик жишээн дээр утга нь өөр байж болно, түүний дотор хязгааргүй. Тодорхой бус байдал байх нь чухал.
Эхний хичээлийн 3-р жишээг шалгая: 
. Бид L'Hopital-ийн хоёр дахь дүрмийг ашигладаг:
Бид аваргуудын тухай ярьж байгаа тул хоёр каноник хязгаарлалтыг харцгаая:
Жишээ 1
Хязгаарыг тооцоолох
"Ердийн" аргуудыг ашиглан хариулт авах нь тийм ч хялбар биш тул "хязгааргүйгээс хязгааргүй" тодорхойгүй байдлыг илрүүлэхийн тулд бид L'Hopital-ийн дүрмийг ашигладаг. 
Тиймээс, нэгээс их суурьтай логарифмаас илүү өсөлтийн дарааллын шугаман функц(гэх мэт). Мэдээжийн хэрэг, дээд түвшний "X" нь ийм логарифмуудыг "татах" болно. Үнэн хэрэгтээ, функц нь нэлээд удаан ургадаг бөгөөд түүний хуваарьижил "X" -тэй харьцуулахад илүү хавтгай байна.
Жишээ 2
Хязгаарыг тооцоолох
Өөр нэг танил буудлага. Тодорхой бус байдлыг арилгахын тулд бид L'Hopital-ийн дүрмийг хоёр удаа дараалан ашигладаг.
Нэгээс их суурьтай экспоненциал функц(гэх мэт) эерэг зэрэгтэй чадлын функцээс илүү өсөлтийн дараалал.
Энэ хугацаанд ижил төстэй хязгаарлалтууд тулгардаг бүрэн функциональ судалгаа, тухайлбал, олох үед графикийн асимптотууд. Тэд бас зарим ажилд мэдэгдэхүйц байдаг магадлалын онол. Хэлэлцсэн хоёр жишээг анхаарч үзэхийг би танд зөвлөж байна, энэ бол тоологч ба хуваагчийг ялгахаас илүү сайн зүйл байхгүй цөөн тохиолдлын нэг юм.
Цаашид бичвэрт би L'Hôpital-ийн эхний болон хоёр дахь дүрмийг ялгахгүй; Ер нь миний бодлоор математикийн аксиом, теорем, дүрэм, шинж чанарыг хэтрүүлэн тоолох нь бага зэрэг хортой, учир нь “Теорем 19-ийн 3-р дүгнэлтийн дагуу...” гэх мэт хэллэгүүд нь зөвхөн тодорхой нэг зүйлийн хүрээнд мэдээлэл өгөх шинж чанартай байдаг. сурах бичиг. Мэдээллийн өөр эх сурвалжид ижил зүйл "Үндэслэл 2 ба теорем 3" байх болно. Ийм мэдэгдэл нь зөвхөн зохиогчдын хувьд албан ёсны бөгөөд тохиромжтой байдаг. Математикийн баримтын мөн чанарыг дурдах нь дээр. Үл хамаарах зүйл бол түүхэн тогтсон нэр томъёо юм, жишээлбэл, анхны гайхалтай хязгаарэсвэл хоёр дахь гайхалтай хязгаар.
Парисын Шинжлэх ухааны академийн гишүүн Маркиз Гийом Франсуа де Л'Хопиталын санал болгосон сэдвийг бид үргэлжлүүлэн боловсруулж байна. Нийтлэл нь тодорхой практик амтыг олж авдаг бөгөөд нэлээд нийтлэг ажилд дараахь зүйлийг шаарддаг.
Дулаацахын тулд хэд хэдэн жижиг бор шувуутай харьцъя:
Жишээ 3
Эхлээд косинусыг арилгах замаар хязгаарыг хялбарчилж болох боловч нөхцөлийг хүндэтгэж, тоологч ба хуваагчийг нэн даруй ялгаж үзье. 
Деривативыг олох явцад стандарт бус зүйл байхгүй, жишээлбэл, хуваагч нь ердийн зүйлийг ашигладаг; ялгах дүрэмажилладаг 
.
Үзсэн жишээг дамжуулан шийдвэрлэв гайхалтай хязгаарууд, үүнтэй төстэй тохиолдлыг Цогцолборын хязгаарлалтын өгүүллийн төгсгөлд авч үзсэн болно.
Жишээ 4
L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан хязгаарыг тооцоол 
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Сайхан хошигнол =)
Ердийн нөхцөл байдал бол ялгасны дараа гурван эсвэл дөрвөн давхар бутархайг олж авах явдал юм.
Жишээ 5
L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан хязгаарыг тооцоол
Ашиглахыг гуйж байна гайхалтай тэнцэл, гэхдээ зам нь дараах нөхцлөөр тодорхойлогддог.
Ялгаварсны дараа би олон давхар фракцаас салж, хамгийн их хялбаршуулахыг зөвлөж байна.. Мэдээжийн хэрэг, ахисан түвшний оюутнууд сүүлийн алхамыг алгасаад шууд бичих боломжтой: 
, гэхдээ маш сайн оюутнууд ч гэсэн тодорхой хязгаарт төөрөлдөх болно.
Жишээ 6
L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан хязгаарыг тооцоол
Жишээ 7
L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан хязгаарыг тооцоол
Эдгээр нь танд бие даан шийдвэрлэх жишээ юм. Жишээ 7-д, ялгахын дараа олж авсан бутархайг хялбарчлах шаардлагагүй; Гэхдээ жишээ 8-д L'Hopital-ийн дүрмийг хэрэглэсний дараа тооцоолол нь хамгийн тохиромжтой биш тул гурван давхар байгууламжаас салах нь зүйтэй юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал - тригонометрийн хүснэгттуслах.
Мөн ялгааны дараа тодорхойгүй байдал үүссэн тохиолдолд хялбаршуулах нь зайлшгүй шаардлагатай шийдэгдээгүй.
Жишээ 8
L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан хязгаарыг тооцоол
Явцгаая: 
Анхны ялгааны дараах анхны тодорхойгүй байдал тодорхойгүй байдал болон хувирч, Л'Хопиталын дүрмийг цаашид тайван хэрэглэж байгаа нь сонирхолтой юм. Түүнчлэн "ойртох" бүрийн дараа дөрвөн давхар бутархайг хэрхэн арилгаж, тогтмолуудыг хязгаарын тэмдэгээс хэтрүүлэн авч байгааг анхаарна уу. Илүү энгийн жишээн дээр тогтмол тоонуудыг оруулахгүй байх нь илүү тохиромжтой, гэхдээ хязгаар нь нарийн төвөгтэй үед бид бүх зүйлийг, бүх зүйлийг, бүх зүйлийг хялбаршуулдаг. Шийдвэрлэсэн жишээний заль мэх нь бас хэзээд байдагт оршино 
, мөн, тиймээс, синусыг арилгах явцад тэмдгүүдэд эргэлзэх нь гайхмаар зүйл биш юм. Эцсийн шатанд синусыг устгах боломжгүй байсан ч жишээ нь нэлээд хүнд, уучлагдахуйц юм.
Нөгөө өдөр би нэгэн сонирхолтой даалгавартай таарав:
Жишээ 9
Үнэнийг хэлэхэд, энэ хязгаар нь юутай тэнцэх вэ гэдэгт би бага зэрэг эргэлзэж байсан. Дээр дурдсанчлан, "x" нь логарифмээс өндөр дараалалтай, гэхдээ энэ нь куб логарифмээс "давж" байх уу? Хэн ялахыг өөрөө олж мэдэхийг хичээгээрэй.
Тийм ээ, L'Hopital-ын дүрэм бол бор шувууг их буугаар харвахаас гадна шаргуу хөдөлмөр юм...
L'Hopital-ийн дүрмийг уут эсвэл ядарсан наймуудад хэрэглэхийн тулд маягтын тодорхой бус байдлыг багасгадаг.
Тодорхой бус байдлыг шийдвэрлэх талаар хичээлийн 9-13 дугаар жишээнд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно. Хязгаарыг шийдвэрлэх аргууд. Бичлэгийн хувьд өөр нэгийг авч үзье:
Жишээ 10
L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан функцийн хязгаарыг тооцоол 
Эхний алхамд бид илэрхийллийг нийтлэг хуваагч болгон авчирч, тодорхойгүй байдлыг тодорхой бус байдал болгон хувиргадаг. Дараа нь бид L'Hopital-ийн дүрмийг хариуцна: 
Энд дашрамд хэлэхэд дөрвөн давхар илэрхийлэлд хүрэх нь утгагүй юм.
Тодорхойгүй байдал нь дараах болон хувирахыг эсэргүүцдэггүй.
Жишээ 11
L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан функцийн хязгаарыг тооцоол
Энд байгаа хязгаарлалт нь нэг талыг барьсан бөгөөд ийм хязгаарлалтыг гарын авлагад аль хэдийн авч үзсэн болно Функцийн график ба шинж чанарууд. Таны санаж байгаагаар "сонгодог" логарифмын график тэнхлэгийн зүүн талд байхгүй тул бид зөвхөн баруун талаас тэг рүү ойртож чадна.
L'Hopital-ийн нэг талын хязгаарлалтын дүрмүүд ажилладаг боловч тодорхой бус байдлыг эхлээд шийдвэрлэх ёстой. Эхний алхамд бид гурван давхар бутархайг гаргаж, тодорхойгүй байдлыг олж авсны дараа шийдэл нь загвар схемийн дагуу явагдана. 
Тоолуур ба хуваагчийг ялгаж авсны дараа бид хялбаршуулахын тулд дөрвөн давхар бутархайг арилгадаг. Үүний үр дүнд тодорхойгүй байдал үүссэн. Бид заль мэхийг давтан хэлье: бид дахин гурван давхар бутархай болгож, үүссэн тодорхойгүй байдалд L'Hopital-ийн дүрмийг дахин хэрэглэнэ.
Бэлэн.
Анхны хязгаарыг хоёр гурилан бүтээгдэхүүн болгон багасгахыг оролдож болно: 
Гэхдээ нэгдүгээрт, хуваагч дахь дериватив нь илүү хэцүү, хоёрдугаарт, үүнээс сайн зүйл гарахгүй.
Тиймээс, Ижил төстэй жишээг шийдэхийн өмнө та дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй(амаар эсвэл ноорог хэлбэрээр) - "тэгээс тэг" эсвэл "хязгааргүйгээс хязгааргүй" болгон бууруулах нь тодорхойгүй байдлын аль нь илүү ашигтай вэ.
Хариуд нь архи уудаг нөхөд, илүү чамин нөхдүүд галд нэгддэг. Өөрчлөлтийн арга нь энгийн бөгөөд стандарт юм.
L'Hopital-ийн дүрэм
Тодорхойлолт 1
L'Hopital-ийн дүрэм:тодорхой нөхцөлд хувьсагч нь $a$ хандлагатай функцүүдийн харьцааны хязгаар нь тэдгээрийн деривативуудын харьцааны хязгаартай тэнцүү байх ба $x$ нь $a$-д ханддаг:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =\mathop(\lim)\limits_(x\to a) \frac(f"( x))(g"(x)) $
L'Hopital-ийн дүрмийг Шведийн математикч Иоганн Бернулли нээсэн бөгөөд дараа нь тэр энэ тухай L'Hopital-д захидал бичжээ. L'Hopital энэ дүрмийг 1696 онд дифференциал тооцооллын анхны сурах бичигт өөрийн зохиогчоор нийтлүүлсэн.
Дараах төрлийн тодорхойгүй байдал болгон бууруулж болох илэрхийлэлд L'Hopital-ийн дүрмийг хэрэглэнэ.
$\frac(0)(0) \begin(массив)(ccc) () & () & (\frac(\infty )(\infty ) ) \end(массив)$
Эхний илэрхийлэлд тэгийн оронд ямар ч хязгааргүй бага утга байж болно.
Ерөнхийдөө L'Hopital-ийн дүрмийг тоологч болон хуваагч хоёулаа хоёулаа тэг эсвэл хязгааргүй байвал ашиглаж болно.
L'Hopital-ийн дүрмийг хэрэглэж болох нөхцөлүүд:
- $f(x)$ ба $g(x)$ функцуудын $x$ нь $a$ руу чиглэдэг хязгаар нь хоорондоо тэнцүү байх ба тэг эсвэл хязгааргүй байх нөхцөл хангагдсан байна: $\mathop(\ lim )\limits_(x \to a) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=0$ эсвэл $\mathop(\lim )\limits_(x\to) a) f(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\infty $;
- $a$-ийн ойролцоо $f(x)$ ба $g(x)$-ийн деривативыг олж авах боломжтой;
- $g(x)$ функцийн дериватив $a$-ийн ойролцоо тэг биш $g"(x)\ne 0$;
- $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x) гэж бичсэн $f(x)$ ба $g(x)$ функцүүдийн деривативуудын харьцааны хязгаар. )(g"( x)) $ байна.
L'Hopital-ийн дүрмийн баталгаа:
- $f(x)$ ба $g(x)$ функцуудыг өгөөд хязгаарын тэгш байдал ажиглагдана.
- $\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) g(x)=0 $.
- $a$ цэг дээрх функцуудыг тодорхойлъё. Энэ тохиолдолд дараах нөхцөл үнэн байх болно.
- $\frac(f(x))(g(x)) =\frac(f(x)-f(a))(g(x)-g(a)) =\frac(f"(c)) (g"(c))$.
- $c$-ын утга нь $x$-с хамаарах боловч хэрэв $x\to a+0$ бол $c\to a$.
- $\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) \frac(f(x))(g(x)) =\mathop(\lim)\limits_(c\to a+0) \frac (f"(c))(g"(c)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a+0) \frac(f"(c))(g"(c)) $.
L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан шийдлийг тооцоолох алгоритм
- Илэрхийллийг бүхэлд нь тодорхойгүй байгаа эсэхийг шалгаж байна.
- L'Hopital-ийн дүрмийг цаашид хэрэглэхийн өмнө дээр дурдсан бүх нөхцлийг шалгана уу.
- Функцийн дериватив $0$ хандлагатай байгаа эсэхийг шалгаж байна.
- Тодорхой бус байдлыг дахин шалгаж байна.
Жишээ №1:
Хязгаарыг олох:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) +5x)(3x) $
Шийдэл:
- $f(x)$ функцийн хязгаар нь $g(x)$-ийн хязгаартай тэнцүү бөгөөд хоёулаа тэгтэй тэнцүү байна: $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x )=\mathop(\lim )\limits_ (x\to 0) (x^(2) +5x)=0$; $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (3x)=0$
- $g"(x)=3\ne $a$-ийн ойролцоо 0$
- $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x))(g"(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(2x) +5)(3)$
$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) +5x)(3x) =\left\langle \frac(0)(0) \right\rangle =\mathop( \lim )\limits_(x\to 0) \frac(\left(x^(2) +5x\right)")(\left(3x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x) \to 0) \frac(2x+5)(3) =\frac(0+5)(3) =\frac(5)(3) $
Жишээ №2:
Хязгаарыг олох:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^(3) -3x^(2) +2x)(x^(3) -x) $
Шийдэл:
L'Hopital-ийн дүрмийг хэрэгжүүлэх нөхцөлийг шалгая:
- $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) f(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (x^(3) -3x^(2) +2x) =\infty$; $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) g(x)=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (x^(3) -x)=\infty $
- $f(x)$ ба $g(x)$ нь $a$-ийн ойролцоо ялгаатай байна
- $g"(x)=6\ne $a$-ийн ойролцоо 0$
- $\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f"(x))(g"(x)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty) \frac( 3x^(2) -6x+2)(3x^(2) -1) $
Деривативыг бичээд функцийн хязгаарыг олъё:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^(3) -3x^(2) +2x)(x^(3) -x) =\left\langle \frac( \infty )(\infty ) \right\rangle =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(x^(3) -3x^(2) +2x\right)" )(\left(x^(3) -x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(3x^(2) -6x+2)(3x^( 2) -1) =\left\langle \frac(\infty )(\infty ) \right\rangle $
Бид тодорхойгүй байдлаас ангижрах хүртлээ дериватив тооцоог давтан хийнэ.
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(3x^(2) -6x+2\right)")(\left(3x^(2) -1\баруун) ") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(6x-6)(6x) =\left\langle \frac(\infty )(\infty ) \right\rangle =\mathop (\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\left(6x-6\right)")(\left(6x\right)") =\frac(6)(6) =1$
Жишээ №3:
Хязгаарыг олох:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(\sin 5x)(x) $
Шийдэл:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(\sin 5x)(x) =\left\langle \frac(0)(0) \right\rangle =\mathop(\lim )\ хязгаарууд_(x\to 0) \frac(\left(\sin 5x\right)")(\left(x\right)") =\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(5) \cos 5x)(1) =5\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \cos 5x=5$
Жишээ №4:
Хязгаарыг олох:
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (1+x^(2))^(1/x) $
Шийдэл:
Функцийн логарифмыг авч үзье:
$\ln y=\frac(1)(x) \ln (1+x^(2))=\frac(\ln (1+x^(2)(x) $
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\ln (1+x^(2)))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty) \frac(\left[\ln (1+x^(2))\баруун]")(x") =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(\frac(2x) (1+x^(2) ) )(1) =0$
$ln(y)$ функц тасралтгүй байх тул бид дараахыг авна.
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (\ln y)=\ln (\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y)$
Тиймээс,
$\ln (\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y)=0$
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) y=1$
$\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) (1+x^(2))^(1/x) =1$